二、二阶行列式与逆矩阵

二阶求逆矩阵的方法二阶矩阵的求逆是线性代数中一个基础而重要的概念。

在这篇文章中，我们将讨论二阶矩阵的求逆方法。

首先，我们需要明确二阶矩阵的定义。

一个二阶矩阵是一个2行2列的矩阵，可以用如下形式表示：\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}\]其中，a、b、c、d是矩阵中的元素。

为了求一个二阶矩阵的逆，我们需要先计算矩阵的行列式。

二阶矩阵的行列式可以通过以下公式计算：\text{det} = ad - bc\]其中，ad表示矩阵的主对角线元素之积，bc表示矩阵的副对角线元素之积。

如果矩阵的行列式(det)不等于零，那么矩阵是可逆的。

在这种情况下，我们可以使用一个公式来计算矩阵的逆：\text{inverse} = \frac{1}{\text{det}} \begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}\]其中，a、b、c、d是原始矩阵的元素，det是矩阵的行列式。

下面，我们将使用一个具体的例子来演示二阶矩阵的求逆过程。

假设我们有一个二阶矩阵：\begin{bmatrix}2&3\\1&4\\\end{bmatrix}\]首先，我们需要计算行列式。

根据上述公式，行列式的值为：\]由于行列式不等于零，该矩阵是可逆的。

接下来，我们可以使用求逆公式来计算逆矩阵：\text{inverse} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix}4&-3\\-1&2\\\end{bmatrix}\]逆矩阵的值为：\begin{bmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\-\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\\end{bmatrix}\]通过求逆操作，我们得到了原始矩阵的逆矩阵。

需要注意的是，如果一个二阶矩阵的行列式等于零，那么该矩阵是不可逆的。

二阶行列式与逆矩阵教学目标1. 了解行列式的概念；2.会用二阶行列式求逆矩阵。

教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。

教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。

（2）逆矩阵的性质。

二、新课讲解. 例1 设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。

例2设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。

思考：对于一般的二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？结论：如果矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。

表达式bcad -称为二阶行列式，记作cadb ，即cadb =bc ad -。

ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。

符号记为：detA或|A|① 反之，当≠-bc ad 时，有⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c =⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。

当矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆时，1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -。

1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ--2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。

①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫⎪⎝⎭三、课堂小结1.矩阵是否可逆与其行列式的值的关系，2.逆矩阵的又一种求法。

D1 =
9 -3 -5 2
0ห้องสมุดไป่ตู้-6 -1 2
=81，
0 4-7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零， 则 方程组有唯一解xj=Dj/D(j=1， 2， ， n)。
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组



x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
2 -3
2
6 -6
2
-
245
=

1 3 2 1
3 -3
1
-52 -21

二、行列式的乘法定理
定理 设A、B为n阶矩阵，那么|AB|=|A||B|。
推论1 设A1，A2，……，Ar都是n阶矩阵，则 | A1A2……Ar |=|A1||A2|……| Ar |。
推论2 A可逆，则|A-1|=|A|-1。
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
- 6x4 2x4 6x4
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
例
2
求方阵 A = 132
2 2 4
133 的逆阵
解 由|A|=20 得知A-1存在。因为
所以
A*
=

2 -3
2
6 -6
2
-54 -2

A--11
=
|
1 A
|
A*
=
1 2

(3.5)
a11 a12 a1n 行列式 D = a21 a22 a2n 称为方程组(3.5)的系数行列式。

二阶矩阵的逆矩阵
什么是二阶矩阵
在线性代数中，一个二阶矩阵是一个2x2的矩阵，即有两行两列的矩阵。

通常我们将一个二阶矩阵表示为如下形式：
a b
c d
其中，a、b、c、d是实数或复数。

逆矩阵的定义
在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得乘积AB和BA都等于单位阵I，其中I是一个n 阶的单位矩阵，那么B就被称为A的逆矩阵。

也可以表示为A^-1 = B。

逆矩阵的存在性是由方阵的行列式决定的。

当且仅当一个n阶方阵的行列式不为0时，才存在逆矩阵。

二阶矩阵的逆矩阵计算方法
对于一个二阶矩阵A，我们可以通过以下公式求解其逆矩阵：
1/(ad - bc) * d -b
-c a
其中，ad - bc是矩阵A的行列式。

举例说明
下面举一个例子来说明如何计算一个二阶矩阵的逆矩阵。

假设有一个二阶矩阵A如下：
2 3
4 5
首先，我们需要计算矩阵A的行列式ad - bc。

ad - bc = (2 * 5) - (3 * 4) = 10 - 12 = -2
接下来，我们可以通过公式计算逆矩阵：
1/(-2) * 5 -3
-4 2
所以，矩阵A的逆矩阵为：
-5/2 3/2
2 -1
总结
二阶矩阵的逆矩阵可以通过求解矩阵的行列式和公式来计算。

逆矩阵的存在性由矩阵的行列式决定。

计算逆矩阵可以帮助我们解决线性方程组、求解矩阵方程等问题，是线性代数中重要的概念之一。

以上是关于二阶矩阵的逆矩阵的简要介绍，希望对你有所帮助！。

矩阵的逆与行列式在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。

矩阵的逆和行列式是矩阵运算中的两个基本概念，对于求解线性方程组和计算矩阵的特征值等问题都具有重要意义。

本文将详细介绍矩阵的逆和行列式的定义、性质以及计算方法。

一、矩阵的逆矩阵的逆是指存在一个矩阵B，与给定的矩阵A相乘等于单位矩阵。

即有AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。

只有方阵才有逆矩阵存在。

1. 逆矩阵的存在性若一个n阶矩阵A的行列式不等于零（|A|≠0），则矩阵A是可逆的，存在逆矩阵。

逆矩阵由A的伴随矩阵除以A的行列式得到。

即A的逆矩阵为A^-1 = adj(A)/|A|。

2. 逆矩阵的性质（1）逆矩阵的逆矩阵是它本身，即(A^-1)^-1=A。

（2）逆矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵的转置，即(A^-1)^T=(A^T)^-1。

（3）两个可逆矩阵的乘积的逆矩阵等于它们的逆矩阵的乘积，即(AB)^-1=B^-1*A^-1。

3. 逆矩阵的计算方法（1）对于2阶矩阵A = [a b; c d]，若AD-BC≠0，则A的逆矩阵为1/AD-BC * [d -b; -c a]。

（2）对于高阶矩阵A，计算逆矩阵的一种常用方法是利用初等变换将矩阵A化为一个单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，此时矩阵A就变为了单位矩阵，对应的单位矩阵就是矩阵A的逆矩阵。

二、行列式行列式是矩阵的一个标量值，用于刻画矩阵的性质和计算相关问题。

行列式的取值与矩阵的结构和元素有关。

1. 行列式的定义对于n阶矩阵A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，行列式用|A|表示。

当n=1时，|A|=a_11；当n>1时，行列式的定义如下：|A| = a_11*A_11 + a_12*A_12 + ... + a_1n*A_1n，其中A_ij=(-1)^(i+j)*M_ij，M_ij表示A中除去第i行第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。

人教版高中选修4-2二二阶行列式与逆矩阵课程设计一、引言本次课程设计是以人教版高中数学选修4-2的二二阶行列式与逆矩阵为主要内容，参考了国内外相关教材和研究文献，并根据自身教学经验和掌握的教学资源，结合高中学生的学情和实际需要，设计了课程的目标、内容、方法、评价等各个方面，并以Markdown文本格式输出。

二、课程目标本次课程的教学目标如下：1.掌握行列式的概念和计算方法；2.理解二元线性方程组解法中的逆矩阵概念和性质；3.熟悉行列式和逆矩阵的相关定理和公式；4.能够应用所学知识解决实际问题。

三、课程内容本次课程的内容主要包括以下几个方面：3.1 行列式1.行列式的概念和基本性质；2.行列式与行列式的基本运算法则；3.行列式的性质及应用。

3.2 逆矩阵1.逆矩阵的概念和性质；2.逆矩阵的求法和计算方法；3.逆矩阵与线性方程组的解法；4.实际问题的应用。

四、课程方法本次课程的教学方法主要包括以下几个方面：1.授课讲解：通过讲授掌握行列式和逆矩阵的概念、属性、应用等；2.课堂练习：通过在课堂上设置练习题，让学生更好地运用所学知识；3.实战演习：在课堂外设置一定量的习题和实战演习，让学生自主学习和运用知识；4.互动答疑：随时接受学生提问，给予正确的指导和帮助。

五、课程评价本次课程的评价主要采用以下几种方式：1.课堂表现：包括学生的听课和掌握情况，以及在练习课上的完成情况；2.作业和实验：通过作业和实验对学生学习成果进行评价，加强学生自主学习能力；3.期末考试：通过期末考试测试学生对于课程内容的掌握情况，同时提高考试应对能力。

六、总结本次课程设计以行列式和逆矩阵为主线，结合课程目标、内容、方法、评价等方面进行全面设计和规划，并通过Markdown文本格式输出，提高教学效率和教学质量，为高中学生的后续学习打下坚实的基础。

2阶矩阵的逆矩阵公式要得到一个2阶方阵的逆矩阵，我们可以使用以下公式：设A为一个2x2的矩阵，A=[ab;cd]，其中a，b，c，d为实数。

首先，我们需要计算A的行列式det(A)。

对于一个2阶矩阵来说，行列式det(A)可以通过ad-bc来计算。

如果行列式det(A)等于0，那么矩阵A没有逆矩阵。

因为一个矩阵的逆矩阵应该满足逆变性质：AA-1 = A-1A = I，其中I为单位矩阵。

如果行列式det(A)不等于0，那么我们可以计算A的伴随矩阵adj(A)。

伴随矩阵adj(A)通过将矩阵A的各元素的代数余子式转置得到。

代数余子式是将原矩阵中元素所在行和列删除后所得到的新的行列式，再乘以(-1)的幂。

然后，我们将得到的伴随矩阵adj(A)的每个元素除以行列式det(A)来得到A的逆矩阵A-1具体地，A的伴随矩阵adj(A)可以表示为：adj(A) = [d -b; -c a]。

将伴随矩阵adj(A)的每个元素除以det(A)：A-1 = adj(A)/det(A) = [d -b; -c a]/(ad-bc)。

这就是一个2阶矩阵的逆矩阵的计算公式。

让我们通过一个具体的例子来说明这个公式。

假设我们有一个2阶矩阵A=[21;34]，我们想找到它的逆矩阵。

首先，我们需要计算A的行列式det(A)：(2 x 4) - (1 x 3) = 5因为det(A)不等于0，那么我们可以计算其伴随矩阵adj(A)：[4 -1; -3 2]。

最后，我们将伴随矩阵adj(A)的每个元素除以det(A)来得到逆矩阵A-1：[4/5 -1/5; -3/5 2/5]。

所以，矩阵A的逆矩阵是A-1=[4/5-1/5;-3/52/5]。

逆矩阵的定义是如果A×A-1=A-1×A=I（其中I为单位矩阵），那么A-1就是矩阵A的逆矩阵。

我们可以验证一下：A×A-1=[21;34]×[4/5-1/5;-3/52/5]=[8/5-1/5+3/5-3/5;12/5-3/5+12/5-6/5]=[10;01]。

二阶矩阵逆矩阵的公式在矩阵运算中，矩阵的逆是一个非常重要的概念。

若存在一个矩阵A和它的逆矩阵A的乘积等于单位矩阵，则称A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。

其中，单位矩阵是一个n*n的矩阵，它的主对角线元素全为1，其余元素全为0。

对于二维矩阵，其逆矩阵的求解有一个较为简单的公式。

下面，我们将详细介绍这个公式。

二阶矩阵的求逆公式假设二阶矩阵A为以下形式：$$ A=\\begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{bmatrix} $$若A可逆，则其逆矩阵B可表示为：$$ B=\\frac{1}{ad-bc}\\begin{bmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{bmatrix} $$其中，ad-bc被称为A的行列式。

证明为了证明上述公式的正确性，我们需要验证AB是一个单位矩阵：$$ AB=\\frac{1}{ad-bc} \\begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{bmatrix} $$$$= \\frac{1}{ad-bc} \\begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\\\ 0 & ad-bc \\end{bmatrix} $$$$= \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} $$因此，AB是一个单位矩阵，B是A的逆矩阵。

示例为了更好地理解二阶矩阵逆矩阵的公式，我们来举一个例子。

假设对于矩阵A：$$ A=\\begin{bmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & 4 \\end{bmatrix} $$我们可以先计算出A的行列式：ad−bc=(2∗4)−(3∗1)=5因此，A的逆矩阵为：$$ B=\\frac{1}{5} \\begin{bmatrix} 4 & -3 \\\\ -1 & 2 \\end{bmatrix} $$当我们将A与B相乘时，应该得到单位矩阵：$$ AB=\\frac{1}{5} \\begin{bmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & 4 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} 4 & -3 \\\\ -1 & 2 \\end{bmatrix} $$$$ =\\frac{1}{5} \\begin{bmatrix} 5 & 0 \\\\ 0 & 5 \\end{bmatrix} $$$$ =\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} $$因此，我们验证了A和B确实满足A的定义。

1 0 对于矩阵N = 1 0 可用同样方法研究
u v 设N逆矩阵为A = s t
根据逆矩阵的定义
1 0 u v u v 1 0 NA = 1 0 s t = u v = 0 1
实数u,v,s,t必须满足方程组 u = 1, v = 0, u = 0, v = 1.
a b a b 定理 若矩阵M = c d 的行列式 c d ≠ 0, 则矩阵M 存在逆矩阵M -1 , 且 b d (4.2) M -1 = ad bc ad bc a c ad bc ad bc a b a b 若矩阵M = c d 的行列式 c d = 0, 则矩阵M不存在逆矩阵.
验证
MN=NM=I
b ad bc 是矩阵M的逆矩阵 a ad bc
d 矩阵N = ad bc c ad bc
当ad-bc=0时方程组无解,矩阵M不存在逆矩阵
a b 记 ad bc = c d a b 称它为矩阵 c d 的行列式
判断一个矩阵是否有逆矩阵就 要判断它的行列式是否为零 注 行列式与矩阵之间的差别 行列式是一个数,矩阵是一个数表
1 6 例 判断矩阵M = 2 7 是否存在逆矩阵, 若存在, 利用(4.2 ) 式求出它的逆矩阵, 并用逆矩阵的定义(4.1)式验证.
解
1 6 矩阵M = 2 7的行列式
1 6 =1×7 6×2 = 5 ≠ 0 2 7
7 6 7 6 1 5 5 = 5 5 M = 2 1 2 1 5 5 5 5
二阶行列式与逆矩阵
复习提问 逆矩阵的定义: 如何用几何方法求矩阵的逆矩阵? 它的一般步骤: 如何从代数角度思考逆矩阵的问题呢?
什么矩阵存在逆矩阵?
1 2 矩阵M = 3 4 是否存在逆矩阵,若存在,试着求出其逆矩阵

求二阶矩阵逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是指对于一个给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

二阶矩阵是指矩阵有2行2列的形式。

求解二阶矩阵的逆矩阵有多种方法，下面将介绍三种常见的方法：代数方法、几何方法和公式法。

在这些方法中，将详细说明二阶矩阵逆矩阵的求解步骤和原理。

1.代数方法：根据矩阵逆矩阵的定义，求解二阶矩阵的逆矩阵可以通过代数方法进行，即使用行列式和伴随矩阵的运算来求解。

首先，给定一个二阶矩阵A=[ab;cd]，求解其逆矩阵。

a. 计算矩阵A的行列式D = ad - bc。

b.如果D≠0，则矩阵A存在逆矩阵。

c.进一步，计算矩阵A的伴随矩阵[A*]，其中[A*]的元素为矩阵A的余子式，即[A*]=[d-b;-ca]。

d.最后，求解逆矩阵A^-1=[A*]/D，即将[A*]中的每个元素除以D。

2.几何方法：几何方法是通过向量的几何解释来求解二阶矩阵的逆矩阵。

对于一个二阶矩阵A，它的逆矩阵A^-1可以被理解为表示坐标点的线性变换的逆变换。

a.首先，将二阶矩阵A视为线性变换矩阵，它将一个二维向量变换为另一个二维向量。

b.然后，找到一个二维向量v，使得Av=I，其中I是单位矩阵。

这样的向量v可以被视为表示逆变换的向量。

c.最后，将向量v视为矩阵A的逆矩阵A^-13.公式法：公式法是通过使用特定的公式来求解二阶矩阵的逆矩阵，这个公式是针对二阶矩阵的特性进行推导得到的。

a. 首先，给定一个二阶矩阵A = [a b; c d]，计算其行列式D = ad - bc。

b.利用公式，求解逆矩阵A^-1=(1/D)*[d-b;-ca]。

以上三种方法是求解二阶矩阵逆矩阵的常见方法，它们都能够得到相同的逆矩阵结果。

但是，在实际计算中，通常会根据具体问题的特点和计算的方便性选取合适的方法来求解二阶矩阵的逆矩阵。

需要注意的是，在代数方法中，如果矩阵A的行列式D等于0，那么矩阵A不存在逆矩阵。

这是因为行列式D为0意味着矩阵A的行向量或列向量线性相关，无法表示一个一对一的线性变换。

高中数学教案矩阵的逆与行列式的计算高中数学教案：矩阵的逆与行列式的计算矩阵是数学中重要的概念之一，而矩阵的逆和行列式的计算是矩阵运算中的关键内容。

本教案将重点介绍矩阵的逆和行列式的计算方法，帮助学生掌握矩阵运算的基础知识。

一、矩阵的逆1.1 矩阵的逆的定义在矩阵运算中，如果对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，矩阵A也被称为可逆矩阵。

1.2 矩阵的逆的计算方法对于一个矩阵A，要求其逆矩阵B，可以使用以下方法进行计算：（1）利用伴随矩阵求逆矩阵：首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将Adj(A)除以A的行列式det(A)，即可得到矩阵A的逆矩阵B，即B = Adj(A) / det(A)。

（2）利用初等变换求逆矩阵：首先，将矩阵A进行扩展，形成一个增广矩阵[ A | I ]，然后通过初等变换将矩阵A化为单位矩阵I，此时，增广矩阵变为[ I | B ]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。

二、行列式的计算2.1 行列式的定义在矩阵运算中，行列式是一个重要的概念，用于求解矩阵的性质和方程组的解。

对于一个n阶方阵A，其行列式表示为|A|，计算公式为：|A| = a11 * a22 * ... * ann + a12 * a23 * ... * a(n-1)n + ... + a1n * a2(n-1) * ... * ann-1 * ann其中，aij表示矩阵A中的第i行第j列元素。

2.2 行列式的计算方法计算n阶方阵A的行列式的方法主要有两种：代数余子式法和按行（列）展开法。

（1）代数余子式法：首先，根据矩阵A的元素，按照某一行（列）展开，得到n个(n-1)阶子行列式，分别乘以相应的余子式，并进行加减操作，最后得到行列式的值。

（2）按行（列）展开法：首先，选择一行或一列，将矩阵展开成n个n-1阶子行列式的和，然后根据这些子行列式的值，按照正负号的规律进行计算，并最终得到行列式的值。

1 2
，问A是否可逆？如果可逆，
求其逆矩阵。
例2
设A=
2 4
1 2
，问A是否可逆？如果
可逆，求其逆矩阵。
抽象概括
对任意矩阵M
a c
b d
由逆矩阵的定义,有
假设它有逆矩阵N
u s
v t
MN
a c
b d
us
vt
au cu
bs ds
av cv
bt dt
10
10
实数u,v,s,t必须满足 au bs 1
cu ds 0 av bt 0 cv dt 1
即
au bs 1 cu ds 0
且cavv
bt dt
0 1
满足怎样条件有解?
当ad-bc≠0时有解
u
d ad bc
s
c ad bc
验证 MN=NM=I
且 v t
b ad bc a
ad bc
d
矩阵N
ad bc c
5
5
1 5
MM
1
1 2
6 7
7 5 2
5
6
5 1
5
1 0
0 1
I
7
M 1M
5 2
5
6
5 1
5
1 2
6 7
1 0
0 1
I
练习2 求下列矩阵的逆矩阵
1
1 0
11;
2
2 0
02;
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小结 如何判断一矩阵是否存在逆矩阵? 如何求一矩阵的逆矩阵?
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不 得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨 的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无 的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇��

2阶行列式的逆矩阵
2阶行列式的逆矩阵是求解线性方程组的有效的方法。

逆矩阵是特殊的矩阵，可以将线性方程组转换为更易于求解的另一种形式。

当且仅当行列式不为零时，才存在该矩阵。

对应2阶行列式的逆矩阵A^-1，由以下公式计算：
A ^ -1 = 1 / det(A) *
[d -b]
[-c a]
其中det(A)表示行列式的值，a, b, c, d分别表示A的第一行、第二行的第一个和第二个元素，例如行列式A=[a b; c d]，a，b，c，d都为常数。

因此，若A为2阶行列式，则其逆矩阵A^-1的元素等于行列式A 的值的倒数乘以以下矩阵：
[d -b]
[-c a]
例如，A= [3 2; 5 6]，则det(A) = 3 × 6 - 5 × 2 = 18，A^-1 = 1/18 ×
[6 -2]
[-5 3]
所以，A^-1 就是上述矩阵，它就是2阶行列式的逆矩阵。

高一数学二二阶行列式与逆矩阵试题1.（2012•闸北区一模）设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a 2b1=0，所以，故可得结论解：若，则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选B．点评：本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．2.（2010•宜春模拟）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．点评：本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．3.定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【答案】D【解析】直接利用新定义，求出z 的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z 即可． 解：因为，所以=zi+z=2． 所以z===1﹣i ．故选D ．点评：本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．4. 若，都是非零向量，且与垂直，则下列行列式的值为零的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】利用向量数量积的运算，可得x 1x 2+y 1y 2=0．根据二阶行列式的定义可知行列式的值为零的行列式． 解：∵，都是非零向量，且与垂直 ∴x 1x 2+y 1y 2=0根据二阶行列式的定义可知，∴故选D ．点评：本题的考点是二阶行列式的定义，考查向量垂直的充要条件，考查行列式的定义，属于基础题．5. 下列四个算式： ①； ②；③a 1b 2c 3+a 2b 3c 1+a 3b 1c 2﹣a 1b 3c 2﹣a 2b 1c 3﹣a 3b 2c 1； ④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a 1b 2c 3+a 2b 3c 1+a 3b 1c 2﹣a 1b 3c 2﹣a 2b 1c 3﹣a 3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；故正确；对于④故选C．点评：本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．6.（2012•德州一模）定义运算，函数图象的顶点是（m，n），且k、m、n、r成等差数列，则k+r= ．【答案】﹣9【解析】利用新定义的运算得出二次函数，利用配方法可求函数图象的顶点，利用k、m、n、r成等差数列，可求k+r的值．解：=（x﹣1）（x+3）﹣2（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7∵函数图象的顶点是（m，n），∴m=﹣2，n=﹣7，∵k、m、n、r成等差数列，∴k+r=m+n=﹣9．故答案为：﹣9点评：本题以新定义运算为素材，考查新定义的运用，考查二次函数，考查等差数列，解题的关键是对新定义的理解．7.（2012•徐汇区一模）不等式≥0的解为．【答案】[0，+∞）【解析】先根据行列式的运算法则进行化简变形，转化成一元二次不等式，然后解之即可求出所求．解：∵不等式≥0∴（2x+1）2x﹣2≥0，即22x+2x﹣2≥0解得2x≤﹣2舍去，2x≥1，解得x≥0．故答案为：[0，+∞）点评：本题主要考查了二阶行列式，同时考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．8.在三阶行列式中，5的余子式的值为．【答案】﹣21【解析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．点评：本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．9.将式子b2﹣4ac表示成行列式．【答案】【解析】根据行列式的定义，可写出满足题意的行列式．解：根据行列式的定义得，故答案为．点评：本题以代数式为载体，考查行列式的定义，属于基础题．10.定义运算，如果：，并且f（x）＜m对任意实数x恒成立，则实数m的范围是．【答案】m＞【解析】由=sinx+cosx=∈[﹣]，且f（x）＜m对任意实数x恒成立，能得到实数m的范围．解：∵，=sinx+cosx=∈[﹣]，∵f（x）＜m对任意实数x恒成立，∴m＞．故答案为：m＞．点评：本题考查二阶行列式的定义和三角函数的知识，解题时要认真审题，注意不等式性质的灵活运用．。

高一数学二二阶行列式与逆矩阵试题1.（2013•上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．点评：本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．2.（2010•宜春模拟）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．点评：本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．3.（2005•朝阳区一模）定义运算，则符合条件的复数z为（）A．3﹣i B．1+3i C．3+i D．1﹣3i【答案】A【解析】根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z== =3﹣i．故选A．点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．4.（2013•虹口区二模）已知，则cos2（α+β）= ．【答案】【解析】通过二阶行列式的定义，求出cos（α+β），利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．解：因为，所以cosαcosβ﹣sinαsinβ=，即cos（α+β）=．∴cos2（α+β）=2cos2（α+β）﹣1=2×（）2﹣1=．故答案为：．点评：本题考查二阶行列式的定义、三角函数的和角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．5.（2013•徐汇区一模）方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．6.（2013•宝山区二模）函数的最小正周期T= ．【答案】π【解析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．7.在三阶行列式中，5的余子式的值为．【答案】﹣21【解析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．点评：本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．8.将式子b2﹣4ac表示成行列式．【答案】【解析】根据行列式的定义，可写出满足题意的行列式．解：根据行列式的定义得，故答案为．点评：本题以代数式为载体，考查行列式的定义，属于基础题．9.不等式的解集为．【答案】[0，1]【解析】利用，将不等式等价转化为一元二次不等式，可解．解：由题意，x2﹣x≤0，∴0≤x≤1，故答案为[0，1]点评：本题主要考查二阶行列式的定义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．10.若规定，则不等式的解集是．【答案】（x﹣1）＜﹣1，再利用对数函数的单调性【解析】根据二阶行列式的定义原不等式可化为：log2去掉对数符号得出关于x的整式不等式，即可求解．解：原不等式可化为：（x﹣1）＜﹣1，log2即：⇒0＜x﹣1＜，⇒1＜x＜，故答案为：．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二阶行列式的定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．。

二阶行列式与逆矩阵【学习目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵;【教材解读】一、行列式与矩阵1. 行列式:我们把a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦两边的“⎡⎤⎢⎥⎣⎦”改为“”，于是,我们把a b c d 称为二阶行列式,并称它为矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2. 3. 矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦表示一个数表,而行列式a b A c d =是一个数值。

二、利用行列式求逆矩阵设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，记||a b A ad bc c d ==-。

则 1.矩阵A 2. 当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦【典例剖析】例1． 设4112A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断A 是否是可逆矩阵,若可逆，求出1A -.例2． 判断下列矩阵是否可逆?若可逆，求出逆矩阵（1） 1111A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (2)101b B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦例3． 已知矩阵234b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆，求实数b 的范围.【自我评价】1. 展开下列行列式,并化简(1）10937-- （2)121m m m m +++ （3）57792. 矩阵00a d 可逆的条件为 。

3. 行列式(,,,{1,1,2})a ba b c d c d ∈-的所有可能值中,最大的是 .4. 若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵。

二阶方针的逆矩阵1.前言在线性代数中，二阶矩阵是最简单的矩阵之一。

但是，逆矩阵却是非常重要的概念，尤其在线性代数中。

在本文中，我们将讨论二阶矩阵的逆矩阵，并讲解如何计算它。

2.二阶矩阵二阶矩阵可以用以下形式表示：$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$$其中$a$，$b$，$c$，$d$是实数。

当然，也可以是复数。

我们可以将上面的矩阵记为$A$。

3.矩阵的行列式对于二阶矩阵$A$，它的行列式可以用以下公式计算：$$\det(A)=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$$4.逆矩阵的定义对于任意一个$n$阶矩阵$A$，如果存在另一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I_n$，其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵，那么$A$就被称为可逆矩阵，$B$被称为$A$的逆矩阵。

式子$AB=BA=I_n$也被称为“$A$是可逆矩阵”的等价定义。

对于一个$n$阶实数矩阵$A$，它是可逆的，当且仅当它的行列式$\det(A)$不等于0。

5.逆矩阵的计算对于一个二阶矩阵$A$，如果它存在逆矩阵$A^{-1}$，那么我们可以使用以下公式计算$A^{-1}$：$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$其中，$\det(A)$是$A$的行列式。

如果$\det(A)=0$，那么$A$是不可逆的。

6.逆矩阵的验证我们可以使用以下步骤来验证一个矩阵$A$是否是可逆矩阵：1.计算$A$的行列式$\det(A)$；2.如果$\det(A)=0$，那么$A$不是可逆矩阵；3.如果$\det(A)\neq0$，那么$A$是可逆矩阵；4.计算$A$的逆矩阵$A^{-1}$；5.计算$AA^{-1}$和$A^{-1}A$，如果这两个矩阵都等于单位矩阵$I_2$，那么$A$是可逆矩阵。