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三次样条插值的求解

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三次样条插值的求解摘要：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。

如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。

因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。

关键字:三转角方程 三弯矩阵方程0. 引言1，三次样条函数定义1：若函数2()[,]S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤⎦⎣上是三次多项式，其中01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称()s x 是节点01,,,n x x x ⋯上的三次样条函数。

若节点j x 上 给定函数值()j j y f x =(0,1,)j n ⋯= ,且()j j s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1）成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。

从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间1[,]j j x x + 上确定4个待定系数，共有 n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点()1,2,3,,1j x j n ⋯=-处应满足连续性条件(0)(0),j j s x s x -=+ ''(0)(0),j j s x s x -=+''''(0)(0)j j s x s x -=+ （1.2） 共有 3n-3个条件，再加上()s x 满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定()s x 。

通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。

常见的三种： (1) 已知两端的一节导数值，即{''00''()()n n s x f s x f == （1.3）(2)两端的二阶导数已知，即{''''00''''()()n ns x f s x f == （1.4）特殊情况下的边界条件''''0()()0n s x s x == （1.4）’ 称为自然边界条件（3）当()f x 是以0n x x - 为周期函数时，则要求()s x 也是周期函数，这时边界条件应满足而此时式中 , 这样确定的样条函数称为周期函数。

2.三转角方程及相应的边界条件函数s(x)的表达式，若满足假定的在节点处的值为,再由，是 ,则由分段Hermite 插值式得（2.1）其中是插值基函数。

由得，（2.1）中在整个区间上连续。

且满足。

然而在公式（2.1）中是未知的,它可利用式及边界条件来确定。

为了求出，下面考虑是这里 ,对于是 112426''(0)()j j j j j jjjs x m m y y h h h+++=--+-同理可得''()s x 在区间1[,]j j x x -上的表达式111113221116(2)624642()()j j j jj jj j j jj j j x x x x x x x x x S x y y m m hhh--------+-----''=-++及 1!2111426''(0)()j j j j j j j j s x m m y y h h h------=++-由得(1,2,,1)j n =-用111j jh h -+,,除上式的两边并加以整理得1111111121,2,,1)3()1,2,,1)j j j j j j j j j jj j j j j j j jjjjj jm m m g n h h h h h h y y y y gn h h λμλμλμ-+----+-++==-==++--=+=- 其中：(j (j （2.2）1,1n n -+共个个方程个未知量(2.2)式称为基本方程组如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件:即 00m f '= n n m f '=基本方程组(2.2)化为n-1阶方程组11112211111112()3()j jj j j j j j j jjjj y y y y m m m h h h h hh+--+-----+++=+3.算法步骤： ①输 入 n 个插值结点，01n a x x x b ⋯=<<<=，对应的函数插值为1 2.,,,n y y y 边界条件''12,y y ，待求插值点0x 。

② 计算j j jh x x -=- (1,2,3,1)j n =- 。

③计算11j j j jh h h μ--=+ ，111116(),(2,,1)j jj j j j j j jy y y y d j n h h h h +-----=-=-+ 。

④ 计算'2111116()y y y h h β-=-， '1116()n n n n n n y y y h h β-----=-。

⑤ 用追赶法求解方程组() ⑥ 输出各区间的()j s x 表达式。

⑦ 判断0x 所在区间1[,]j j x x +并计算插值0y ，绘制各区间的三次样条插值曲线。

4.三次样条插值函数的Matlab程序设计在Matlab环境下根据上述算法步骤进行编程，源程序如下：function []=spline3(X,Y,dY,x0,m)N=size( X,2);s0=dY(1); sN=dY(2);inte rval=0.025;disp('x0为插值点')x0h=ze ros(1,N-1) ;for i=1:N-1 h(1,i) =X(i+1) -X(i); e ndd(1,1)=6*( (Y(1,2) -Y(1,1) )/h( 1,1)- s0)/h(1,1);d(N,1)=6*(sN-(Y(1,N)-Y(1,N-1))/h(1,N-1))/h(1,N-1);for i=2:N-1d(i,1)=6*((Y(1,i+1)-Y(1,i))/h(1,i)-(Y(1,i)-Y(1,i-1))/h(1,i-1) )/ ( h( 1,i)+h( 1,i-1)) ; endmu=zer os(1,N-1); md=zer os( 1,N-1);md=zeros(1,N-1);for i=1:N-2u=h(1,i+1)/(h(1,i)+h(1,i+1));mu(1,i+1)=u;md(1,i)=1-u; endp(1,1)=2; q(1,1)=mu(1,1)/2;for i=2:N-1p(1,i)=2-md(1,i-1)*q(1,i-1); q(1,i)=mu(1,i)/p(1,i); endp(1,N)=2-md(1,N-1)*q(1,N-1);y=zeros(1,N); y(1,1)=d(1)/2;for i=2:N y(1,i)=(d(i)-md(1,i-1)*y(1,i-1))/p(1,i); endx=zeros(1,N); x(1,N)=y(1,N);for i=N-1:-1:1 x(1,i)=y(1,i)-q(1,i)*x(1,i+1); endfprintf ('M为三对角方程的解\n'); M=x;fprintf ('\n');syms t;digits (m);for i=1:N-12pp(i)=M(i)*(X(i+1)-t)^3/(6*h(i))+M(i+1)*(t-X(i))^3/(6*h(i))+(Y(i)-M(i)*h(i)^2/6)*(X(i+1)-t)/h(i)+(Y(i+1)-M(i+1)*h(i)^2/6)*(t-X(i))/h(i);pp(i)=simplify(pp(i)); coeff=sym2poly(pp(i));if length(coeff)~=4tt=coeff(1:3); coeff(1:4)=0; coeff(2:4)=tt; endif x0>X(i)&x0<X(i+1) L=i;y0=coeff(1)*x0^3+coeff(2)*x0^2+coeff(3)*x0+coeff(4);endval=X(i):interval:X(i+1);for k=1:length(val)fval(k)=coeff(1)*val(k)^3+coeff(2)*val(k)^2+coeff(3)*val(k)+coeff(4); endif mod(i,2)==1 plot(val,fval,'r+')else plot(val,fval,'b.') endhold onans=poly2sym(ans,'t')fprintf('在区间[%f,%f]内\n',X(i),X(i+1));fprintf('三次样条函数S(%d)=',i);pretty(ans); endfprintf ('x0所在区间为[%f,%f]\n',X(L),X(L+1)); pretty(ans); end fprintf ('函数在插值点x0=%f的值为\n',x0);y0程序中：X,Y为输入结点，dY为两端点一阶导阵，x 为待求插值点，m为有效数字位数。

应syms xf1=1/(1+x^2);f2=1/(1+5*x^2);x=-5:5;y1=subs(f1,x);y2=subs(f2,x);xx=-5:0.25:5;yy=spline(x,y1,xx);yy2=spline(x,y2,xx); subplot(2,2,1);plot(x,y1,'o'.xx.yy), gridt=-5:0.25:5;yt=subs(f1,t);yt2=subs(f2,t); subplot(2,2,2);plot(t,yt).gridsubplot(2,2,3)plot(x,y2,'o',xx,yy2), gridsubplot(2,2,4)plot(t,yt2),grid。

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三次样条插值算法C++实现

三次样条插值算法C++实现

三次样条插值算法C++实现三次样条插值算法1 总体说明三次样条插值算法是⼀种计算量和效果都⽐较理想的插值算法。

关于三次样条插值算法的原理这⾥不做过多的解释，下⾯的代码是我在⽹上收集了两种C++实现版本的基础上⾃⼰整合的⼀个版本。

由于本⼈刚接触C++不久，⽔平有限。

没有使⽤模板机制将代码做的更通⽤。

关于算法实现有下⾯⼏点说明。

1. 所有有关的类都被包含到SplineSpace命名空间中。

2. SplineSpace中⼀个有三个类分别是异常类(SplineFailure),接⼝类(SplineInterface)和实现类(Spline)。

有⼀个枚举类型说明边界条件(BoundaryCondition),取值为：GivenFirstOrder和GivenSecondOrder。

分别对应I型边界条件和II型边界条件。

3. 接⼝类定义了Spline在实现的过程中必须要有的三个⽅法：单点插值、多点插值和⾃动⽣成插值序列。

4. 异常类是可能被实现类抛出的类，如果在实现类的运⾏过程中出现了已知数据过少构造失败、使⽤了外插值、设定输出点数过少等⾏为会抛出该类。

因此应该将插值的过程⽤try...catch(SplineFailure sf)包裹起来。

如：double x0[2]={1,2};double y0[2]={3,4};try{SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,2);//...}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}上⾯代码就会抛出异常并显⽰“构造失败,已知点数过少”。

2 插值⽅法调⽤2.1单点插值调⽤⽅法如下：#include <iostream>#include "Spline.h"using namespace std;using namespace SplineSpace;int main(void){//单点插值测试double x0[5]={1,2,4,5,6}; //已知的数据点double y0[5]={1,3,4,2,5};try{//Spline sp(x0,y0,5,GivenSecondOrder,0,0);SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,5); //使⽤接⼝，且使⽤默认边界条件double x=4.5;double y;sp->SinglePointInterp(x,y); //求x的插值结果ycout<<"x="<<x<<"时的插值结果为:"<<y<<endl;}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}getchar(); //程序暂停}此时屏幕会输出"x=4.5时的插值结果为2.71107"。

三次样条插值导数的关系式

三次样条插值导数的关系式

2. 平滑条件：S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1}) 将 x = x_{i+1} 代入多项式 S_i(x) 和 S_{i+1}(x)，得到： b_i + 2c_i(x_{i+1} - x_i) + 3d_i(x_{i+1} - x_i)^2 = b_{i+1}
三次样条插值导数的关系式
三次样条插值导数的关系式
三次样条插值是一种常用的插值方法，用于在已知数据点之间插值出平滑的曲线。在三次样条 插值中，导数是一个重要的性质，可以通过求解线性方程组来计算。
设有n+1个数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0 < x1 < ... < xn。对于每个区间 [x_i, x_{i+1}]，我们可以用一个三次多项式 S_i(x) 来插值。每个多项式 S_i(x) 的表达式为：
三次样条插值导数的关系式
最后，根据需要，可以使用导数的关系式来计算任意点的导数值。例如，对于区间 [x_i, x_{i+1}]，导数 S_i'(x) 的表达式为：
S_i'(x) = b_i + 2c_i(x - x_i) + 3d_i(x - x_i)^2
这样，我们就可以通过三次样条插值来计算导数值了。
S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3
三次样条插值导数的关系式
其中，a_i, b_i, c_i, d_i 是待定系数。为了保证插值曲线的平滑性，我们需要足以下条 件：
三次样条插值例题解析matlab

三次样条插值例题解析matlab

三次样条插值例题解析matlab 三次样条插值是一种常用的插值方法，可以通过一定数量的离散数据点，拟合出一个光滑的曲线。

在MATLAB中，插值函数interp1可以实现三次样条插值。

该函数的基本语法为：y_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');其中，x和y分别是原始数据的横坐标和纵坐标，x_interp是插值点的横坐标，'spline'表示使用三次样条插值方法。

插值函数会根据原始数据拟合出一个插值曲线，在插值点的位置上返回相应的纵坐标值。

下面我们以一个具体的例子来解析三次样条插值的使用。

假设我们有如下一组离散数据点：```matlabx = [0, 1, 2, 3, 4];y = [2, 3, 1, 4, 2];```我们希望通过这些离散数据点拟合出一个光滑的曲线，并在插值点处求取纵坐标值。

首先，我们需要在插值区间内定义一组插值点。

这里我们取0.1为步长，生成插值点：```matlabx_interp = 0:0.1:4;```然后，使用interp1函数进行插值计算：```matlaby_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');```最后，我们可以通过图表来比较原始数据和插值结果：```matlabplot(x, y, 'o', x_interp, y_interp, '-');legend('原始数据', '插值结果');```在生成的图表中，原始数据以圆点表示，插值结果以实线表示。

通过比较可以看出，插值结果在原始数据之间形成了光滑的曲线。

以上就是使用MATLAB进行三次样条插值的基本步骤和方法。

然而，三次样条插值在某些情况下可能会产生不稳定的结果。

这是因为三次样条插值的结果受到了边界条件的影响。

三次样条插值

三次样条插值

三次样条插值C++数值算法（第二版)3.3 三次样条插值给定一个列表显示的函数yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。

特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。

该区间的线性插值公式为(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。

因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。

三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。

做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。

如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。

进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。

可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。

使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数因为x=xj是A=1，x=x(i+1)时A=0，而B正相反，则(3.3.6)式表明y"恰为列表函数的二阶导数。

而且该二阶导数在两个区间(xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是连续的。

现在唯一的问题是，假设yj"是已知的。

而实际上并不知道。

然而，仍不要求从(3.3.5)式算出的一阶导数在两个区间的边界处是连续的。

三次样条的关键思想就在于要求这种连续性，并用它求得等式的二阶导数yi"。