2018届深圳市高三一模数学(理)16题-刘关云

全国省级联考⼴东省2018届⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试题及答案解析2018年普通⾼等学校招⽣试卷全国统⼀考试⼴东省理科数学模拟考试（⼆）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1.已知,x y R ∈，集合{}32,log A x =，集合{},B x y =，若{}0A B ?=，则x y +=（） A.13B. 0C. 1D. 3【答案】C 【解析】分析：⾸先应⽤{0}A B =I 确定出3log 0x =，从⽽求出x 的值，再进⼀步确定出y 的值，最后求得结果即可.详解：因为{0}A B =I ，所以3log 0x =，解得1x =，所以0y =，所以101x y +=+=，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的知识点，涉及到集合的交集中元素的特征，从⽽找到等量关系式，最后求得结果.2.若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（） A. 12z z ?是实数 B.12z z 是纯虚数 C. 24122z z =D. 22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进⾏相应的运算，对选项中的结果⼀⼀对照，从⽽选出满⾜条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ?=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题⼀⼀检验，从⽽找到正确的结果.3.已知()1,3a =-v ，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v ，若a b v P v，则b c ?=v v （）A. -7B. -2C. 5D. 8【答案】A 【解析】分析：利⽤向量平⾏列⽅程求出m 的值,然后直接利⽤向量数量积的坐标表⽰求解即可. 详解：因()1,3a v =-，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v，所以由//a b r r，可得()340m m +-=，则1,m =()()1,3,2,3b c ∴=-=v ，12337b c ?=?-?=-v v，故选A.点睛：利⽤向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题⽅式有两个：（1）两向量平⾏，利⽤12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利⽤12120x x y y +=解答.4.如图，?AD 是以正⽅形的边AD 为直径的半圆，向正⽅形内随机投⼊⼀点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.16πB.316C.4π D.14【答案】D 【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的⾯积，再⽤⼏何概型的概率公式进⾏求解. 详解：连接AE ，由圆的对称性得阴影部分的⾯积等于ABE ?的⾯积，易知1=4ABE ABCDS S ?正⽅形，由⼏何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为14P =.故选D. .点睛：本题的难点是求阴影部分的⾯积，本解法利⽤了圆和正⽅形的对称性，将阴影部分的⾯积转化为求三⾓形的⾯积.5.已知等⽐数列{}n a 的⾸项为1，公⽐1q ≠-，且()54323a a a a +=+91239a a a a =L （） A. 9- B. 9C. 81-D. 81【答案】B 【解析】分析：⾸先利⽤等⽐数列的项之间的关系，求得公⽐q 的值，之后判断根式的特征，化简求得是有关数列的第⼏项，再结合题中所给的数列的⾸项得出结果.详解：根据题意可知254323a a q a a +==+，942991239551139a a a a a a a q ?===?=?=，故选B.点睛：该题考查的是等⽐数列的有关问题，涉及到项与项之间的关系，还有就是数列的性质，两项的脚码和相等，则数列的两项的积相等，将式⼦化简，利⽤⾸项和公⽐求出结果.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的⼀个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的⽅程为( )A. 22188x y -=B. 2211616x y -=C. 22188y x -=D. 22188x y -=或22188y x -= 【答案】A 【解析】分析：先利⽤双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利⽤焦点位置确定双曲线的类型，最后利⽤⼏何元素间的等量关系进⾏求解. 详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a b =，⼜双曲线2222:x y C a b-=的⼀个焦点坐标为()4,0，所以2216a =，即228a b ==，即该双曲线的⽅程为22188x y -=.故选D.点睛：本题考查了双曲线的⼏何性质，要注意以下等价关系的应⽤：等轴双曲线的离⼼率为2，其两条渐近线相互垂直. 7.已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A. 86π+B. 66π+C. 812π+D. 612π+【答案】B 【解析】由三视图可得该⼏何体是由圆柱的⼀半（沿轴截⾯截得，底⾯半径为1，母线长为3）和⼀个半径为1的半球组合⽽成（部分底⾯重合），则该⼏何体的表⾯积为12π+π2π3236π62S =+??+?=+. 【名师点睛】先利⽤三视图得到该组合体的结构特征，再分别利⽤球的表⾯积公式、圆柱的侧⾯积公式求出各部分⾯积，最后求和即可.处理⼏何体的三视图和表⾯积、体积问题时，往往先由三视图判定⼏何体的结构特征，再利⽤相关公式进⾏求解. 8.设x ，y 满⾜约束条件0,2,xy x y ≥??+≤?则2z x y =+的取值范围是（）A. []22-,B. []4,4-C. []0,4D. []0,2【答案】B 【解析】分析：⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，是两个三⾓形区域，结合⽬标函数的属性，可知其为截距型的，从⽽确定出在哪个点处取得最⼩值，哪个点处取得最⼤值，从⽽确定出⽬标函数的范围. 详解：直线2x y +=-与x 轴交于(2,0)A -点，与y 轴交于(0,2)B -点，直线2x y +=与x 轴交于(2,0)C 点，与y 交于(0,2)D 点，题中约束条件对应的可⾏域为,AOB COD ??两个三⾓形区域，移动直线2y x z =-+，可知直线过点A 时截距取得最⼩值，过点C 时截距取得最⼤值，从⽽得到min max 2(2)04,2204z z =?-+=-=?+=，从⽽确定出⽬标函数的取值范围是[4,4]-，故选B.点睛：该题属于线性规划的问题，需要⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，判断⽬标函数的类型，属于截距型的，从⽽判断出动直线过哪个点时取得最⼩值，过哪个点时取得最⼤值，最后求得对应的范围，在求解的时候，判断最优解最关键.9.在印度有⼀个古⽼的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明⼈——宰相宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个⼩格⾥，赏给我1粒麦⼦，在第2个⼩格⾥给2粒，第3⼩格给4粒，以后每⼀⼩格都⽐前⼀⼩格加⼀倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆⼈吧！”国王觉得这要求太容易满⾜了，就命令给他这些麦粒．当⼈们把⼀袋⼀袋的麦⼦搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚⾄全世界的麦粒全拿来，也满⾜不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下⾯是四位同学为了计算上⾯这个问题⽽设计的程序框图，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】分析：先分析这个传说中涉及的等⽐数列的前64项的和，再对照每个选项对应的程序框图进⾏验证. 详解：由题意，得每个格⼦所放麦粒数⽬形成等⽐数列{}n a ，且⾸项11a =，公⽐2q =，所设计程序框图的功能应是计算2641222S =++++，经验证，得选项B 符合要求.故选B . 点睛：本题以数学⽂化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满⾜()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最⼩值为（）A. 494-B. 498-C. 14-D. 28-【答案】C 【解析】分析：⾸先对题中所给的数列的递推公式进⾏变形，整理得出数列25n a n ??-为等差数列，确定⾸项和公差，从⽽得到新数列的通项公式，接着得到{}n a 的通项公式，利⽤其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从⽽能够判断出n m S S -在什么情况下取得最⼩值，并求出最⼩值的结果. 详解：根据题意可知1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--，式⼦的每⼀项都除以(25)(23)n n --，可得112325n na a n n +=+--，即112(1)525n na a n n +-=+--，所以数列25n a n ??-??是以15525=--为⾸项，以1为公差的等差数列，所以5(1)1625na n n n =-+-?=--，即(6)(25)n a n n =--，由此可以判断出345,,a a a 这三项是负数，从⽽得到当5,2n m ==时，n m S S -取得最⼩值，且5234536514n m S S S a a S a -=-=++=---=-，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从⽽借助于等差数列求出{}n a 的通项公式，⽽题中要求的n m S S -的值表⽰的是连续若⼲项的和，根据通项公式判断出项的符号，从⽽确定出哪些项，最后求得结果.11.已知菱形ABCD 的边长为060BAD ∠=，沿对⾓线BD 将菱形ABCD 折起，使得⼆⾯⾓A BD C --的余弦值为13-，则该四⾯体ABCD 外接球的体积为( )A.B.C.D. 36π【答案】B 【解析】【分析】⾸先根据题中所给的菱形的特征，结合⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义，先找出⼆⾯⾓的平⾯⾓，之后结合⼆⾯⾓的余弦值，利⽤余弦定理求出翻折后AC 的长，借助勾股定理，得到该⼏何体的两个侧⾯是共⽤斜边的两个直⾓三⾓形，从⽽得到该四⾯体的外接球的球⼼的位置，从⽽求得结果. 【详解】取BD 中点M ,连结,AM CM ，根据⼆⾯⾓平⾯⾓的概念，可知AMC ∠是⼆⾯⾓A BD C --的平⾯⾓，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得32AM CM ===，此时满⾜ 2199233()243AC =+--=，从⽽求得AC =，22222AB BC AD CD AC +=+=，所以,ABC ADC ??是共斜边的两个直⾓三⾓形，所以该四⾯体的外接球的球⼼落在AC 中点，半径2ACR ==所以其体积为34433V R ππ==?=，故选B. 【点睛】该题所考查的是有关⼏何体的外接球的问题，解决该题的关键是弄明⽩外接球的球⼼的位置，这就要求对特殊⼏何体的外接球的球⼼的位置以及对应的半径的⼤⼩都有所认识，并且归类记忆即可. 12.已知函数()()ln 3xf x e x =-+，则下⾯对函数()f x 的描述正确的是（）A. ()3,x ?∈-+∞，()13f x ≥B. ()3,x ?∈-+∞，()12f x >- C. ()03,x ?∈-+∞，()01f x =- D. ()()min 0,1f x ∈【答案】B 【解析】分析：⾸先应⽤导数研究函数的单调性，借助于⼆阶导来完成，在求函数的极值点的时候，发现对应的⽅程，在中学阶段是解不出来的，所以⽤估算的办法求出来，之后进⾏⽐较，对题中各项的结果进⾏对⽐，排除不正确的，最后得到正确答案.详解：根据题意，可以求得函数的定义域为(3,)-+∞，1'()3x f x e x =-+，21''()(3)xf x e x =++，可以确定''()0f x >恒成⽴，所以'()f x 在(3,)-+∞上是增函数，⼜11'(1)02f e -=-<，11'()0522f -=->，所以01(1,)2x ?∈--，满⾜0'()0f x =，所以函数()f x 在0(3,)x -上是减函数，在0(+)x ∞，上是增函数，0()f x 是最⼩值，满⾜00103xe x -=+，000()ln(3)x f x e x =-+00x e x =+在1(1,)2--上是增函数，从⽽有01()()(1)1f x f x f e ≥>-=-，结合该值的⼤⼩，可知最⼩值是负数，可排除A,D ，且111e->-，从⽽排除C 项，从⽽求得结果，故选B.点睛：该题考查的是利⽤导数研究函数的性质，本题借着⼆阶导来得到⼀阶导函数是增函数，从⽽利⽤零点存在性定理对极值点进⾏估算，最后不是求出的确切值，⽽是利⽤估算值对选项进⾏排除，从⽽求得最后的结果.第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数()g x 的图象，则?的最⼤值是________________．【答案】6π- 【解析】分析：先利⽤三⾓函数的变换得到()g x 的解析式，再利⽤诱导公式和余弦函数为偶函数进⾏求解. 详解：函数()()()2sin 20f x x =+<的图象向左平移3π个单位长度，得到π2π2sin[2()]2sin(2)33y x x ??=++=++，即2π()2sin(2)3g x x ?=++，⼜()g x 为偶函数，所以2πππ,32k k Z ?+=+∈，即ππ,6k k Z ?=-+∈，⼜因为0?<，所以的最⼤值为π6-. 点睛：本题的易错点是：函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移3π个单位长度得到 ()g x 的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于⾃变量""x ⽽⾔，不要得到错误答案“π()2sin(2)3g x x ?=++”. 14.已知0a >，0b >，6b ax x ??+ ??展开式的常数项为52，则2+a b 的最⼩值为__________．【答案】2 【解析】分析：由题意在⼆项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为52，确定出12ab =，再利⽤基本不等式求得2+a b 的最⼩值.详解：6()bax x+展开式的通项公式为666166()()rrr r r r r r r b T C ax a b C x x----+==，令620r -=，得3r =，从⽽求的333652C a b =，整理得12ab =，⽽22a b +≥==，故答案是2. 点睛：该题考查的是有关⼆项式定理以及基本不等式的问题，解题的关键是要清楚⼆项展开式的通项公式以及确定项的求法，之后是有关利⽤基本不等式求最值的问题，注意其条件是⼀正⼆定三相等.15.已知函数()()2log 41xf x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．【答案】()0,1 【解析】分析：⾸先应⽤条件将函数解析式化简，通过解析式形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的⾃变量，从⽽将不等式转化为3(log )(0)f x f <，进⼀步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.详解：当0m =时，2()log (41)xf x =+是R 上的增函数，且2(0)log (11)1f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为3(log )(0)f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从⽽得答案为(0,1).点睛：解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满⾜的不等式，从⽽求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16.设过抛物线()220y px p =>上任意⼀点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另⼀个交点为Q ，则ABQ ABOS S ??=__________．【答案】3 【解析】分析：画出图形，将三⾓形的⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后转化为坐标⽐，设出点的坐标，写出直线的⽅程，联⽴⽅程组，求得交点的坐标，最后将坐标代⼊，求得⽐值,详解：画出对应的图就可以发现，1ABQ Q P Q ABOP PS x x y PQ S OP x y ??-===-设211(,)2y P y p ，则直线121:2y OP y x y p=，即12p y x y =，与28y px =联⽴，可求得14Q y y =，从⽽得到⾯积⽐为11413y y -=，故答案是3. 点睛：解决该题的关键不是求三⾓形的⾯积，⽽是应⽤⾯积公式将⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后将长度⽐转化为坐标⽐，从⽽将问题简化，求得结果.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17.在ABC ?中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =o ，8c =. （1）若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，ANBM =，求AM 的值；（2）若12b =，求ABC ?的⾯积.【答案】（1）213（2）24283+. 【解析】分析：第⼀问根据题意得出两个点的位置，从⽽设出对应的边长，在三⾓形中，应⽤余弦定理求得x所满⾜的等量关系式，求得对应的值，再放在三⾓形中应⽤余弦定理求得对应的边长，第⼆问根据正弦定理找出⾓所满⾜的条件，最后利⽤⾯积公式求得三⾓形的⾯积.详解：（1）由题意得M，N是线段BC的两个三等分点，设BM x=，则2BN x=，23AN x=，⼜60B=o，8AB=，在ABN中，由余弦定理得22 12644282cos60x x x=+-??o，解得2x=（负值舍去），则2 BM=.在ABN中，22182282522132AM=+-==.(2）在ABC中，由正弦定理sin sinb cB C=，得38sin32sin12c BCb===.⼜b c>，所以B C>，则C为锐⾓，所以6cos C=.则()3613323sin sin sin cos cos sin2A B C B C B C+=+=+=?+?=，所以ABC的⾯积1323sin48242832S bc A+==?=+.点睛：该题所考查的是有关利⽤正余弦定理解三⾓形的问题，在解题的过程中，需要时刻关注正余弦定理的内容，在求解的过程中，注意边长所满⾜的条件，对解出的结果进⾏相应的取舍，将⾯积公式要⽤活.18.如图，在五⾯体ABCDEF中，四边形EDCF是正⽅形，AD DE=，090ADE∠=，120ADC DCB∠=∠=.(1)证明：平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF ； (2)求直线AF 与平⾯BDF 所成⾓的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】分析：第⼀问证明⾯⾯垂直，在证明的过程中，利⽤常规⽅法，抓住⾯⾯垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果，第⼆问求的是线⾯⾓的正弦值，利⽤空间向量，将其转化为直线的⽅向向量与平⾯的法向量所成⾓的余弦值的绝对值，从⽽求得结果.详解：（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ?平⾯ABCD ，且AD CD D =I ，所以DE ⊥平⾯ABCD .⼜DE ?平⾯EDCF ，故平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF . （2）解：由已知//DC EF ，所以//DC 平⾯ABFE . ⼜平⾯ABCD ?平⾯ABFE AB =，故//AB CD . 所以四边形ABCD 为等腰梯形.⼜AD DE =，所以AD CD =，易得AD BD ⊥，令1AD =，如图，以D 为原点，以DA u u u v的⽅向为x 轴正⽅向，建⽴空间直⾓坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ??- ? ???，()B ，所以3,12FA ??=- ? ???u u u v，()DB =u u u v，12DF ??=- ? ???u u u v . 设平⾯BDF的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n DB n DF ??=??=?u u u v u u u v 所以0,10,22x y z ?=??-++=??取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =， cos ,FA n FA n FA n ?===u u u vu u u v u u u v .设直线与平⾯BDF 所成的⾓为θ，则sin θ=. 所以直线AF 与平⾯BDF点睛：该题在解题的过程中，第⼀问⽤的是常规法，第⼆问⽤的是空间向量法，既然第⼆问要⽤空间向量，则第⼀问也可以⽤空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题⽅法是不唯⼀的.19.经销商第⼀年购买某⼯⼚商品的单价为a （单位：元），在下⼀年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠⼒度越⼤，具体情况如下表：上⼀年度销售额/万元[)0,100[)100,200[)200,300[)300,400[)400,500[)500,+∞商品单价/元 a0.9a 0.85a 0.8a 0.75a 0.7a为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商⼀年的销售额，得到下⾯的柱状图.已知某经销商下⼀年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）该⼯⼚针对此次的调查制定了如下奖励⽅案：经销商购买单价不⾼于平均估计单价的获得两次抽奖活动，⾼于平均估计单价的获得⼀次抽奖活动.每次获奖的⾦额和对应的概率为记Y （单位：元）表⽰某经销商参加这次活动获得的资⾦，求Y 的分布及数学期望. 【答案】（1）0.873a （2）见解析【解析】分析：第⼀问根据题意，列出对应的变量的分布列，利⽤离散型随机变量的期望公式求得对应的平均值；第⼆问也是分析题的条件，将事件对应的情况找全，对应的概率值算对，最后列出分布列，利⽤公式求得其数学期望.详解：（1）由题可知：X 的平均估计值为：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=.（2）购买单价不⾼于平均估计单价的概率为10.240.120.10.040.52+++==. Y 的取值为5000，10000，15000，20000. ()1335000248P Y ==?=，()1113313100002424432P Y ==?+??=，()2111331500024416P Y C ===，()11112000024432P Y ==??=.所以Y 的分布列为()31331500010000150002000093758321632E Y =?+?+?+?=（元）.点睛：该题属于离散型随机变量的分布列及其期望值的运算，在解题的过程中，⼀定要对题的条件加以分析，正确理解，那些量有⽤，会提⽰我们得到什么样的结果，还有就是关于离散型随机变量的期望公式⼀定要熟记并能灵活应⽤.20.已知椭圆1C ：2221(0)8x y b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x =的焦点．（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为(1,1)，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值．【答案】（1）1 2-（2解:因为抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),所以284b -=,故2b =.所以椭圆222:184x y C +=.(1)设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,84{1,84x y x y +=+= 两式相减得1212()()8x x x x +-+1212()()04y y y y +-=，⼜MN 的中点为(1,1),所以12122,2x x y y +=+=.所以21211 2y y x x -=--. 显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为12-. (2)椭圆右焦点2(2,0)?F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时,11 m n +=+8=. 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的⽅程为(2)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ,联⽴⽅程得22(2),{28,y k x x y =-+=消去y 并化简得222(12)8k x k x +-2880k +-=，因为222(8)4(12)k k ?=--+22(88)32(1)0k k -=+>，所以2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k -=+.所以m =22)12k k+=+同理可得22)2k n k +=+.所以11 m n +=2222122()118k k k k +++=++为定值. 【解析】分析：（1）先利⽤抛物线的焦点是椭圆的焦点求出284b -=，进⽽确定椭圆的标准⽅程，再利⽤点差法求直线的斜率；（2）设出直线的⽅程，联⽴直线和椭圆的⽅程，得到关于x 的⼀元⼆次⽅程，利⽤根与系数的关系进⾏求解.详解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ?+=+=?? 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，⼜MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=.所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-.（2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的⽅程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联⽴⽅程得()222,28,y k x x y ?=-?+=?消去y 并化简得()2222128880k xk x k +-+-=，因为()()()()222228412883210k k k k ?=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+.所以)22112k m k +==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ??+++=+=?++?为定值. 点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利⽤点差法进⾏求解，⽐联⽴⽅程的运算量⼩，另设直线⽅程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解. 21.已知()'fx 为函数()f x 的导函数，()()()2'200x x f x e f e f x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()xaf x e x <-恒成⽴，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）[]1,0- 【解析】分析：第⼀问给⾃变量赋值求得解析式，利⽤导数研究函数的单调性即可，第⼆问关于恒成⽴问题可以转化为求函数最值问题来解决，最值也离不开函数图像的⾛向，所以离不开求导确定函数的单调区间. 详解：（1）由()()0120f f =+，得()01f =-. 因为() ()2220xx f x ee f =-'-'，所以()()0220f f =-'-'，解得()00f '=.所以()22xx f x ee =-，()()22221x x x xf x e e e e ='=--，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则函数()f x 在(),0-∞上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）令()()()221xxx g x af x e x aea e x =-+=-++，根据题意，当()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成⽴.()()()()222211211x x x x g x ae a e ae e '=-++=--.①当102a <<，()ln2,x a ∈-+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()ln2,a -+∞上是增函数，且()()()ln2,g x g a ∈-+∞，所以不符合题意；②当12a ≥，()0,x ∈+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g ∈+∞，所以不符合题意；③当0a ≤时，因为()0,x ∈+∞，所有恒有()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，于是“()0g x <对任意()0,x ∈+∞都成⽴”的充要条件是()00g ≤，即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤. 综上，a 的取值范围是[]1,0-.点睛：该题属于导数的综合应⽤问题，在解题的过程中，确定函数解析式就显得尤为重要，在这⼀步必须保持头脑清醒，第⼆问在证明不等式恒成⽴的时候，可以构造新函数，恒成⽴问题转化为最值来处理即可，需要注意对参数进⾏讨论.请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系xOy 中,直线l的参数⽅程为34x y a ?=?=?,（t 为参数），圆C 的标准⽅程为22(3)(3)4x y -+-=.以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.(1)求直线l 和圆C 的极坐标⽅程； (2)若射线(0)3πθρ=>与直线l 的交点为M ,与圆C 的交点为,A B ,且点M 恰好为线段AB 的中点,求a 的值.【答案】（1）cos sin ρθρθ-304a -+=.26cos 6sin 140ρρθρθ--+=（2）94a = 【解析】分析：（1）将直线l 的参数⽅程利⽤代⼊法消去参数，可得直线l 的直⾓坐标⽅程，利⽤cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 的极坐标⽅程，圆的标准⽅程转化为⼀般⽅程，两边同乘以ρ利⽤利⽤互化公式可得圆C 的极坐标⽅程；（2）联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得3,23M π??+ ? ???，将323M π??+ ? ???代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，解⽅程即可得结果.详解：（1）在直线l 的参数⽅程中消去t 可得，304x y a --+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代⼊以上⽅程中，所以，直线l 的极坐标⽅程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标⽅程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ??，2,3A πρ??，3,3B πρ??. 联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB 的中点，所以1ρ=，即3M π.把3M π代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a ++=，所以94 a =.。

2018年广东省深圳市第一次模拟考（物理）二、本题共8小题，每小题6分，共48分，在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．下列说法正确的是A ．在光电效应实验中，只要入射光足够强，时间足够长，金属表面就会逸出光电子B ．在光电效应的实验中，饱和光电流大小取决于入射光的频率，频率越大，饱和光电流越大C ．根据波尔的原子理论，氢原子从n =5的激发态跃迁到n =2的激发态时，原子能量减小，电势能增加D ．根据波尔的原子理论，大量处于基态的氢原子吸收波长为0λ的光子后，如果辐射出3种频率的光子，则其中波长最小的为0λ15．如图所示为甲乙两物体做直线运动的x -t 图像，对于0~t 1时间内两物体的运动，下列说法中正确的是A ．甲物体速度方向与加速度方向相同B ．乙物体加速度方向与速度方向相反C ．甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度D ．乙物体位移变小，速度变大16．如图所示，a 、b 两端接在正弦交流电源上，原副线圈回路中A 、B 电阻的阻值相同，原副线圈匝数比为12:n n ，下列说法正确的是A ．A 、B 电阻的电流之比为12:n n B ．A 、B 电阻的电压之比为12:n nC ．A 、B 电阻的功率之比为2221:n nD ．A 电阻与原线圈输入电压之比为1：117．如图所示，直线MN 左侧空间存在范围足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，在磁场中P 点有一个粒子源，可在纸面内各个方向射出质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子（重力不计），已知∠POM =60°，PO 间距为L ，粒子，则粒子在磁场中运动的最短时间为 A ．2mqBπ B ．3mqBπC ．4mqBπ D ．6mqBπ18．如图所示，轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端栓接条形磁铁，一个铜盘放在条形磁铁的正下方的绝缘水平桌面上，控制磁铁使弹簧处于原长，然后由静止释放磁铁，不计磁铁与弹簧之间的磁力作用，且磁铁运动过程中未与铜盘接触，下列说法中正确的是A ．磁铁所受弹力与重力等大反向时，磁铁的加速度为零B ．磁铁下降过程中，俯视铜盘，铜盘中产生顺时针方向的涡旋电流C ．磁铁从静止释放到第一次运动到最低点的过程中，磁铁减少的重力势能等于弹簧弹性势能D ．磁铁从静止释放到最终静止的过程中，磁铁减少的重力势能大于铜盘产生的焦耳热19．如图所示，斜面体abc 静止于粗糙水平地面上，物块m 1、m 2均沿斜面匀速下滑，已知m 1>m 2，θ1<θ2，下列说法中正确的是A ．地面对斜面体的摩擦力水平向右B ．地面对斜面体没有摩擦力C ．所给条件不足，不能判断摩擦力方向D ．斜面体ab 面和ac 面的动摩擦因数不同20．我国发射的某卫星，其轨道平面与地球赤道在同一平面内，卫星距地面的高度约为500km ，而地球同步卫星的轨道高度约为36 000 km ，已知地球半径约为6 400 km ，已知地球表面的重力加速度为210/g m s ，关于该卫星，下列说法中正确的是 A ．该卫星的线速度大小约为7.7km/s B ．该卫星的加速度大于同步卫星的加速度C ．一年内，该卫星被太阳光照射时间小于同步卫星被太阳光照射时间D ．该卫星的发射速度小于第一宇宙速度21．如图所示，滑轮大小可忽略的传送带以恒定速率顺时针转动，将小物块在传送带底端P 点无初速度释放，小物块在摩擦力作用下运动至传送带顶端，在小物块运动过程中，下列说法中正确的是A ．小物块所受摩擦力的瞬时功率一定不断变大B ．小物块所受摩擦力做的功大于小物块动能的增加量C ．若物块滑到顶端时恰好与传送带共速，则两者间因摩擦而产生的内能恰好等于物块增加的机械能D ．若物块滑动顶端时恰好与传送带共速，则两者间因摩擦而产生的内能恰好等于物块增加的动能22．（6分）某物理兴趣小组利用如图（a ）所示的装置来测量物体间的动摩擦因数，实验步骤如下：①把“”型木块放在光滑水平面上，木块表面AB 、BC 粗糙程度相同；②木块右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，（当力传感器受水平压力时，其示数为正值；当力传感器受到水平拉力时，其示数为负值）；③一个可视为质点的滑块从C 点由静止开始下滑，运动过程中，传感器记录到的力与时间的关系如图b 所示（物体经过B 时的速率不变）回答下列问题：（1）为了测出滑块与“”型木块的动摩擦因数，需要测量或已知哪些物理量___________。

2018年广东省深圳市第一次模拟考（物理）二、本题共8小题，每小题6分，共48分，在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．下列说法正确的是A ．在光电效应实验中，只要入射光足够强，时间足够长，金属表面就会逸出光电子B ．在光电效应的实验中，饱和光电流大小取决于入射光的频率，频率越大，饱和光电流越大C ．根据波尔的原子理论，氢原子从n =5的激发态跃迁到n =2的激发态时，原子能量减小，电势能增加D ．根据波尔的原子理论，大量处于基态的氢原子吸收波长为0λ的光子后，如果辐射出3种频率的光子，则其中波长最小的为0λ15．如图所示为甲乙两物体做直线运动的x -t 图像，对于0~t 1时间内两物体的运动，下列说法中正确的是A ．甲物体速度方向与加速度方向相同B ．乙物体加速度方向与速度方向相反C ．甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度D ．乙物体位移变小，速度变大16．如图所示，a 、b 两端接在正弦交流电源上，原副线圈回路中A 、B 电阻的阻值相同，原副线圈匝数比为12:n n ，下列说法正确的是A ．A 、B 电阻的电流之比为12:n n B ．A 、B 电阻的电压之比为12:n nC ．A 、B 电阻的功率之比为2221:n nD ．A 电阻与原线圈输入电压之比为1：117．如图所示，直线MN左侧空间存在范围足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在磁场中P点有一个粒子源，可在纸面内各个方向射出质量为m，电荷量为q的带正电粒子（重力不计），已知∠POM=60°，PO间距为L 3qBLA．2m qBπB．3mqB πC．4m qBπD．6m qBπ18．如图所示，轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端栓接条形磁铁，一个铜盘放在条形磁铁的正下方的绝缘水平桌面上，控制磁铁使弹簧处于原长，然后由静止释放磁铁，不计磁铁与弹簧之间的磁力作用，且磁铁运动过程中未与铜盘接触，下列说法中正确的是A．磁铁所受弹力与重力等大反向时，磁铁的加速度为零B．磁铁下降过程中，俯视铜盘，铜盘中产生顺时针方向的涡旋电流C．磁铁从静止释放到第一次运动到最低点的过程中，磁铁减少的重力势能等于弹簧弹性势能D．磁铁从静止释放到最终静止的过程中，磁铁减少的重力势能大于铜盘产生的焦耳热19．如图所示，斜面体abc静止于粗糙水平地面上，物块m1、m2均沿斜面匀速下滑，已知m1>m2，θ1<θ2，下列说法中正确的是A．地面对斜面体的摩擦力水平向右B．地面对斜面体没有摩擦力C．所给条件不足，不能判断摩擦力方向D．斜面体ab面和ac面的动摩擦因数不同20．我国发射的某卫星，其轨道平面与地球赤道在同一平面内，卫星距地面的高度约为500km，而地球同步卫星的轨道高度约为36 000 km，已知地球半径约为6 400 km，已知地球表面的重力加速度为210/g m s=，关于该卫星，下列说法中正确的是A．该卫星的线速度大小约为7.7km/sB．该卫星的加速度大于同步卫星的加速度C．一年内，该卫星被太阳光照射时间小于同步卫星被太阳光照射时间D．该卫星的发射速度小于第一宇宙速度21．如图所示，滑轮大小可忽略的传送带以恒定速率顺时针转动，将小物块在传送带底端P点无初速度释放，小物块在摩擦力作用下运动至传送带顶端，在小物块运动过程中，下列说法中正确的是A．小物块所受摩擦力的瞬时功率一定不断变大B．小物块所受摩擦力做的功大于小物块动能的增加量C．若物块滑到顶端时恰好与传送带共速，则两者间因摩擦而产生的内能恰好等于物块增加的机械能D．若物块滑动顶端时恰好与传送带共速，则两者间因摩擦而产生的内能恰好等于物块增加的动能22．（6分）某物理兴趣小组利用如图（a）所示的装置来测量物体间的动摩擦因数，实验步骤如下：①把“”型木块放在光滑水平面上，木块表面AB、BC粗糙程度相同；②木块右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，（当力传感器受水平压力时，其示数为正值；当力传感器受到水平拉力时，其示数为负值）；③一个可视为质点的滑块从C点由静止开始下滑，运动过程中，传感器记录到的力与时间的关系如图b所示（物体经过B时的速率不变）回答下列问题：（1）为了测出滑块与“”型木块的动摩擦因数，需要测量或已知哪些物理量___________。

2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4=(xlog2x<1},B={x\y[x>1},则4n B=()A.(0,3]B.[l,2)C.[-l,2)D.[-3,2)2.已知a G R,i为虚数单位，若复数z=者，\z\-1,则a=()A.+V2B.lC.2D.±l3.已知sin(：—x)=j,贝"sin(詈一x)+sin2(—争+%)=()A1c3〃1D'-lA.-B.-C,—4444.夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华舞回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为（）A.0.05 B.0.0075c-d-'3'65.若双曲线*—§=1（口>0,b>0）的一条渐近线与圆泌+⑶―口）2=§相切，则该双曲线的离心率为（）A.3B，V3cl归d.3归246.设有下面四个命题：Pi：Bn E N,n2>2n；p2-.x G R,"x>1”是“x>2”的充分不必要条件；P3：命题“若x=y,则sin x=siny w的逆否命题是“若s in%siny,贝!]x y"■,P4：若“p/q”是真命题，贝Up一定是真命题.其中为真命题的是（）A.Pi，P2B.p2，p3C.P2，p4D.pi，P37.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺,松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5,y=2,输出的71为4,则程序框图中的O中应填（）A.y<xB.y<xC.x<yD.x=y8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）C.167TD.25tt9.在AABC中4B1AC,|4C|=很，BC=y[3BD>则AD*XC=()A距 B.2V2 C.2V3d.也3310.已知函数,3)是定义在R上的奇函数，且在区间(0,+8)上有3f(x)+打'(X)>0恒成立.若g(x)=x3/(x),令a=g(Jog2^),b=^(log52),c=g(eT),则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a11.设等差数列｛知｝满足：3。

2018届广东省高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|111,|1A x x B x x =-<-<=<，则AB =（ ）A ．{}|1x 1x -<<B ．{}|01x x <<C ．{}|1x x <D ．{}|02x x << 2.设复数()4z a i a R =+∈，且()2i z -为纯虚数，则a = （ ） A ．-1 B ． 1 C ． 2 D ．-23. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）A ．320 B ．325π C ．325 D ．20π 4. 已知函数()f x 满足332x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象在1x =处的切线斜率为（ ） A ．0 B ． 9 C. 18 D ．275. 已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，点F 到C 的一条渐近线的距离为2a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．22B 35．2 6. ()5112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ） A ． 120 B ．160 C. 100 D ．807. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．488π+B ．968π+ C. 9616π+ D ．4816π+ 8.已知曲线:sin 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 （ ） A ．把C 向左平移512π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称D ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（ ）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥ C. n 是偶数，100n > D ．n 是奇数，100n > 10.在ABC ∆中，角,,C A B 所对的边分别为,,a b c ，若3A π=，且2sin 2sin 3b B c C bc a +=，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A 33B ．3233．3411.已知抛物线2:,C y x M =为x 轴负半轴上的动点，,MA MB 为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MA MB 的最小值为 （ ）A ．116-B ．18- C. 14- D ．12- 12.设函数()1222,21130,2x x f x x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则2222a b c d +++的取值范围是 （ ）A ．()6422,146+B ．()98,146 C. ()6422,266+ D ．()98,266二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -= ．14.设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为 ．15.已知0sin10cos102cos140m +=，则m = ．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知公差不为零的等差数列{}n a 满足15a =，且3611,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 步数/步 030003001600060018000800110000 10000以上男生人数/人 1 2 7 15 5 女性人数/人3791规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求()2P X ≤和X 的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ； 其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x y >的概率.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F ==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形. （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求二面角F BD C --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且C 过点31,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于,M N 两点，且满足2222PMO QMOPNO QNOPMO QMOPNO QNOS S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆++=（其中O 为坐标原点）.证明：直线l 的斜率为定值.21. 已知函数()()()2ln 1xf x x e a x x =-+-+. （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （2）若函数()f x 的最小值为e -，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3C R πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在13,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDACC 6-10: ABDDC 11、12：AB二、填空题13. 1 14. 2 15. 27三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3611,,a a a 成等比数列，所以26311a a a =，即()()()21115210a d a d a d +=++，化简得1520d a -=，又15a =，所以2d =，从而23n a n =+. （2）因为()1233n n b n -=+， 所以()0121537393233n n S n -=⨯+⨯+⨯+++， 所以()1233537393233n n S n =⨯+⨯+⨯+++， 以上两个等式相减得()()133********n n n S n ---=+⨯-+，化简得()131nn S n =+-.18.解：（1）被系统评为“积极性”的概率为3033,3,5055X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故()3398215125P X ⎛⎫≤=-= ⎪⎝⎭，X 的数学期望()39355E X =⨯=；（2）“x y >”包含“3,2x y ==”，“ 3,1x y ==”，“ 3,0x y ==”，“ 2,1x y ==”，“ 2,0x y ==”，“ 1,0x y ==”，()3242326413,y 230C C P x C C ===⨯=，()311422326423,115C C C P x y C C ===⨯=，()3042326413,130C C P x y C C ===⨯=，()210422326412,110C C C P x y C C ===⨯=，()210422326412,010C C C P x y C C ===⨯=，()122422326411,030C C C P x y C C ===⨯=，所以()121211113015305103015P x y >=+++++=. 19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥， 又AE CF ⊥，且EFCF F =，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF ，DG EC ⊥， 又,BD EC BD DG D ⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易证EGBBEC ∆∆，则EG EBEB BC=，得22EB = 以E 为坐标原点，EB 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，，则()(()(()0,3,0,0,2,22,22,4,0,A 2,22,0,0F D C B .故()()()(22,2,22,0,1,22,0,4,0,22,2,22BD FD BC CD =-=-==--，设(),,n x y z =是平面FBD 的法向量，则22222020n BD x y z n FD y z ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩，令1z =，得()3,22,1n =，设(),,m a b c =是平面BCD 的法向量，则4022220m BC b m CD a b c ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩，令1a =，则()1,0,1m =， 因为42cos ,3182n m n m n m===⨯，所以二面角F BD C --的余弦值为23.20.解：（1）由题意可得2231314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， 由12121111,,,2222PMO QMO PNO QNO S MO y S MO y S NO x S NO x ∆∆∆∆====， 化简得222212121212y y x x y y x x ++=，()()222222121212121212121222,y y x x y y x x y y x x y y x x --++-=-=，即21212y y k x x =，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=，则()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++， 故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因此()2212122121212k x x km x x m y y k x x x x +++==，即22228014k m m k -+=+， 又0m ≠，所以214k =，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()()()()()11110xxx xe a f x x e a x x x --⎛⎫'=-+-=> ⎪⎝⎭，令()()()()0,10xxg x xe a x g x x e '=->=+>，故()g x 在()0,+∞上单调递增，则()()0g x g a >=-，因此，当0a ≤或a e =时，()f x '只有一个零点； 当0a e <<或a e >时，()f x '有两个零点；（2）当0a ≤时，0xxe a ->，则函数()f x 在1x =处取得最小值()1f e =-，当0a >时，则函数xy xe a =-在()0,+∞上单调递增，则必存在正数0x ，使得000xx e a -=，若a e >，则01x >，函数()f x 在()0,1与()0,x +∞上单调递增，在()01,x 上单调递减， 又()1f e =-，故不符合题意.若a e =，则()01,0x f x '=≥，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 又()1f e =-，故不符合题意.若0a e <<，则001x <<，设正数()10,1eab e--=∈，则()()()12ln 1ln 1e bae f b b e a b b a eb a b e ab e a --⎛⎫⎛⎫=-+-+<-+=--=--<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 与函数()f x 的最小值为e -矛盾，综上所述，0a ≤，即(],0a ∈-∞.22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=， 所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C的平面直角坐标系方程为y =；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得1224ρρ=+=+，则OMN ∆的面积为((124sin 8236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<； 当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<，综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =-成立， 所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x Ry x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 由（1）可知()9,4g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦，所以9314a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

深圳中学2018届高三诊断性测试理科数学参考答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 12； 14. 10； 15. 4； 16. 23.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分） （I ）111nn n n T T a T -=-=-（2n ≥）， ∴11n n n n T T T T --=-，……………………………………………3分 ∴1111n n T T --=， ∴数列1{}n T 为等差数列，即数列1{}1na -为等差数列.………………………………5分 （II ）11111T a T =-=-，∴112T =，由（I ）知11111n n n T T =-+=+，……………………………6分∴2214112()(1)(21)(23)2123n T n n n n n =<=-+++++，……………………………9分 ∴222121111122()2()21233233nn i T T T i i n =++⋅⋅⋅+<-=-<+++∑.……………………12分18. （本小题满分12分）（I ）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.…………2分（II ）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ， 根据题意，()1011103110.4619.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.5419.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.70450.54φ=得，111030.7045116.59711719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分. ……………………………7分()()107103107110.207210.58320.416819.3P x φφ-⎛⎫>=-=-≈-= ⎪⎝⎭②，所以，理科数学成绩为107分，大约排在100000.41684168⨯=名.………………………………………………………………………………………………12分19. （本小题满分12分）解：（I ）E 为PD 的中点，证明如下： 连接OE ，因为//PB 平面AEC ， 平面PBD平面AEC OE =，PB ⊄平面AEC ，所以//OE PB ，又O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点. ................................................................................................5分 （II ）连接PO ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC =.因为PA PC =，所以PO AC ⊥.同理，得PO BD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， ................................................................................................7分以O 为原点，OP 为z 轴，过O 平行于AD 的直线为x 轴，过O 平行于CD 的直线为y 轴建立空间直角坐标系（如图所示）.易知1(,22A -，1(,22B，1(,22C -，1(,,0)22D --，1(0,0,)2P，11(,)444E --，则31(,)444EA =--，1(,22OA =. 显然，OP 是平面ACD 的一个法向量.设1(,,)n x y z =是平面ACE 的一个法向量，PBCDOE则1100n EA n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即310444102x y z x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取1y =，则1(2,1n =，..............................................................10分所以1cos ,n OP <>11n OP nOP⋅=11=，.....................................11分 所以二面角EAC D --的余弦值为11...............................12分 20（本小题满分12分）解：（I ）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--， ..............................2分()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =. ...............4分（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x k x x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，..............................6分112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴⋅=，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，..............................8分∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k-到直线l '的距离2d ==..............................10分3221||(1)2MAB S AB d k ∆==+=，解得1k =±，∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=...............................12分法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()0,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ 直线'l 的方程为012y x x =+， .............................6分过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x -........................8分 点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+..........................10分由2011||2(22MABSAB d x ==⨯+=解得01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+ ....................12分21（本小题满分12分） （I ）()()e 2e 2x x f x x ax x a =-=-′，当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln2a -∞上单调递增，在()ln2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；∴当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点. ..................................................................5分（Ⅱ）由()3e xf x x x +≥+得32e 0xx x ax x ---≥.当0x >时，2e 10xx ax ---≥，即2e 1x x a x--≤对0x ∀>恒成立.设()2e 1x x g x x --=，则()()()21e 1x x x g x x---=′. 设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x =-′.0x >，()0h x >∴′，()h x ∴在()0,+∞上单调递增， ()()00h x h >=∴，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()()1e 2g x g ≥=-∴，e 2a ≤-∴.当0x =时，不等式恒成立，a ∈R ； 当0x <时，2e 10xx ax ---≤.设()2e 1xh x x ax =---，则()e 2xh x x a =--′.设()e 2xx x a ϕ=--，则()e 20xx ϕ=-<′，()h x ∴′在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a >=-∴′′.若1a ≤，则()0h x ≥′，()h x ∴在(),0-∞上单调递增，()()00h x h <=∴. 若1a >，()010h a =-<′，00x ∃<∴，使得()0,0x x ∈时，()0h x <′，即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h >=∴，舍去.1a ≤∴.综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-. .....................................12分（二）选考题：22解：（I ）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32， 则曲线2C 的直角坐标方程为222()43x y +=，............................2分整理得22149x y +=，∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.........................5分（II ）将直线l的参数方程化为标准形式为''1222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t ''--+= 整理得27()183604t t ''++=........................7分 12727PA PB t t ''+=+=，121447PA PB t t ''==....................8分 72111714427PA PB PA PB PA PB++=== ..............................10分23.解:（I ）()31316f x x x =++-<当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-113x ∴-<<- ...........................1分当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立.1133x ∴-≤≤ ...........................2分当13x >时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x < ，113x ∴<< .............................3分 综上，()6f x <的解集{}11M x x =-<< .............................5分（II ）()()222222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+22(1)(1)a b =-- .........................7分由,a b M ∈得1,1a b <<2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b ∴-->1ab a b ∴+>+ ...........................10分。

数学（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1 •答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上•用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 • 2 •选择题每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案 •答案不能答在试卷上•3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用 铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效 •4 •作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答 •漏涂、错涂、 多涂的，答案无效•5•考生必须保持答题卡的整洁 .第I 卷（选择题共60分）、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合要求.（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4•已知 a 0.30'3, b 0.31'3, c(A )(B )5(C3(D )3,52.函数fx1 的定义域为log 1 22x 1(A )(和）(B )(1,) (C )(1-,0)U 0, 2(D )(3.设 x, yR,则“ x 2! 2y2 ”是“ x 1 且 y 1 ” 的1.已知全集U1,2，则 A (C U B)1,2,3,4,5,6 ,集合 A 1,3,5 , B0 31.3 ，则它们的大小关系是(A) c a b (B) c b a(C) b c a(D) a b c5.已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,4)，则cos 2si n2 的值为(A ) 3(B)§5 56.将余弦曲线y cOSX 上所有点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐标不变），再把所得各3(D )7 17点向左平移 n个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为6n(A ) y cos(3x ) (D) y COsQx 自数,则 f (/A 、 1 、31 .3(C )-1 .3(D )1「3 (A )(B )222211•设函数f:xxxe ,其中e 为自然对数的底数，则(A ) xR,a 1 (,),f (x)a(B )x R,a ( 1,),f (x) aee (C ) a(1, e),x R, f(x) a(D )a (£),X R, f(x) a12.已知函数f(x)m 2x 2 2mx ，x1 m 在区间 0,1上有且只有一个零点，则正实数10•若函数f(x)的定义域为 R ，且函数f (x) sin x 是偶函数,m 的取值范围是(B ) y sin 3x(C ) y sin 3x7. 函数 f(x) sinx 3cosx ( n(A )[护n (B )[ -,0]x 0)的单调递增区间是(O [6(D )[8.1,x 定义符号函数sgn(x) 0,x 1,x 0,0,则对任意x x0.(A ) tanx| sgn(x) tan x (B ) tanx sgn(x) tanx tan x(D ) tanx sgn(x)tanx函数f(x) cosx 是奇函tanx sgn(x)(C ) 9.(A )(B)(C)小值为 三、解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤•17.（本小题满分10分）(I )求 AU B ;方案代号基本月租（元）免费时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟）(A )0,1 U 2.3,(B ) 0,1 U 3,(C ) 0, .2 U 2 .一 3,(D )第II 卷（非选择题共90分）二、填空题 :本大题共4小题,每小题5分,共20分.13•设函数 f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x 0时，f （x ）1x 3，则 f ( 27)14.函数 f(x)x 2 2x a, x 1,的最小值为2，则实数a 的取值范围是2x ,x 1,15•在 ABC 中，sin 2 B sin 2C sin 2 A sin BsinC ，则 cosC 的取值范围为16.函数 f(x) x 2sin x ,对任意 x !, x 2[0, n ，恒有 f(xj f(x 2)M ，则 M 的最已知三个集合：A2x R log 2(x 5x 8)1 ， B xR 2x22x 82axa 2 19 (II )已知 AI C ,BI，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12 分）(I)写出“套餐”中方案1的月话费y (元)与月通话量t (分钟)(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式；(II )学生甲选用方案1,学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同，通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；(III )某用户的月通话量平均为案更合算，说明理由•20. (本小题满分12分)已知,均为锐角，且cos(I)比较，的大小；(II )设，均为锐角，且sin(21. (本小题满分12分)已知函数f (x) ax3 x2 b为常数•(I )求a,b的值；问命题p是否为真命题？证明你的结论22. (本小题满分12分)1 x已知函数f(x) alnx 「，其中实数a为常数且a 0.1 x(I )求函数f(x)的单调区间；(II )若函数f (x)既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围及所有极值之和;(H I )在(II )的条件下，记x「X2分别为函数f (x)的极大值点和极小值点，求证：X1 X2) f(xj f(X2)2 2320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方2J,tan 15 3)sin( ) 1,求的值.1的图象在点x 1处的切线方程为y 3,其中实数a,b(II )设命题p为“对任意x1(2,),都存在X2 (1,),使得f(X1)f(X2) 1数学（文科）参考答案第I卷（选择题共60分）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项符第II卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 3; 14. [3,);115 . (—,1)；16.22n -.3.3三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）2已知三个集合： A x R log2(x2 5x 8) 1 , B x R 2x 2x 81 ,2 2C x R x ax a 19 0 .(I )求AU B;(II )已知AI C ,BI C ，求实数a的取值范围.解：(1) Q A x R x2 5x 8 2 2,3 , ........................... 2分B x R x2 2x 8 0 2, 4 , .......................... 4分AU B 2,3, 4 . ......................... 5分⑵ Q AI C , BI C ,2 C, 4 C,3 C. .............................. 6分2 2Q C xRx ax a 19 0 ,222a a219 0,2 2(4) 4a a 19 0, ......................... 8分323a a219 0.18.(本小题满分12 分)③ f (、、2sin(2(£ ) 12 1，得nn2k n, n2kn -,k Z88424 由[ n , n 得n2 2 4所以n2,,a -2, b 1. ....................... ….6 分4(II ) 由 f (x)\ 2 sin c n2x —1 及 cosC f (- C )+1 得，42cosC72 sin C -sin C cosC ，即 cosCinC. .............. ............... 8 分42解得a4 分3 a 5,即 2,7 a 2 2或 a 5.、.、7,解得3 a 2.10分所以实数a 的取值范围是［ 3, 2).已知函数f (x) asin x的角A, B 所对的边,0,n n2,2].(I )求,,a,b 的值;(II )若Ccose f(2)+1,求解：(1)a 0,0及图象特征知:2n①f (x)的最小正周期 —2.②当sin f (x)min1;当sin1时, f (X )maxa b .21.1.ABC 的面积S .的部分图象如图所示，其中a,b 分别是 ABC2又sin C cos2C 1，得sin2 C 4,sin C 2亦.............. 1分5 5由0 C n得，sinC 红5, S 1abs in CV io............. 1分5 2 519.（本小题满分12分）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”具体方案如下:（I）写出“套餐”中方案的月话费（元）与月通话量t （分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式;（II ）学生甲选用方案1,学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同，通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；（III ）某用户的月通话量平均为320分钟,案更合算，说明理由•解：(1) y30, 0 t 48,30 0.6 (t 48), t 48.即:y 30,t 48, 0.6t 1.2 ,t 48（2）设该月甲乙两人的电话资费均为a元，通话量均为b分钟.当0 b 48时，甲乙两人的电话资费分别为30元，98元，不相等；……5分当b 170时，甲乙两人的电话资费分别为y1 30 0.6(b 48)(元)，y2 98 0.6(b 170)元，y如 5.2 0, y2 y1 ； ............................ 6分当48 b 170时，甲乙两人的电话资费分别为 a 30 0.6（b 48）（元）,a 98 484(元),解得b .3所以该月学生甲的电话资费98元. .......... 8分（3）月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方30+X( 320-48 )=(元)；........... 9 分方案2的月话费为：98+X( 320-170 ) =188 (元); .................... 10分方案3的月话费为168元.其它方案的月话费至少为 268元. ............. 11分经比较，选择方案3更合算• .......... 12分20.(本小题满分12分)2解：(1) Q cos5 已知均为锐角，且 cos215, tan5(I )比较 的大小;(II )设,均为锐角，且sin( )sin()1,求的值•sin.1 2cosQ tan tan(0T 函数tanx在(0,n单调递增,⑵ Q tan(ta n tan1 tan tan1,且(0, n ,Q sin()si n(sin( (0, n , 0 sin(),si n()1.)1,)sin()1,n4,21.(本小题满分12分)已知函数f(x) 3ax 为常数•(I )求a,b的值;(II )设命题p为3nx2 b的图象在点x 1处的切线方程为y 1,其中实数a,b3“对任意x1(2, ),都存在X2(1,),使得f(X1)f(X2)1 ”，问命题P是否为真命题？证明你的结论解：(I) Q f (x) ax3 x2 b, f (x) 3ax22x.Q f(1) a b 1,f (1) 3a 2,函数f(x)的图象在点x1处的切线方程为y(a b 1) (3a 2)(x 1), 即y (3a 2)x b 2a1Q该切线万程为y 33a 2 0,b 2a 1 3,即a 2,b 0.3(II )命题p为真命题.证明如下：f (x) f (x) 2x22x 2x( x 1). 当x 1 时，f (x) 0, f (x)在区间(1, )单调递减,集合A f (x) x 1,x1 ,f(1)) ( ,T).3当x 2时，f (x)的取值范围是4 ,f(2)) ( , 4)1集合B ——x 2,x Rf(x) 3,0).4 11分从而B A.1所以对任意X 1 (2,),都存在X 2 (1,),使得f (X i ) f (X 2), 即 f(X i )f(X 2)1. 12分22.(本小题满分12分) 1 x已知函数f(x) al nx D,其中实数a 为常数且a 0. 1 x (I )求函数f (x)的单调区间; (II )若函数f (x)既有极大值，又有极小值，求实数 a 的取值范围及所有极值之和; (III )在(II )的条件下，记X i ,X 2分别为函数f (x)的极大值点和极小值点,求证：f ( X 1 Xo f (X 1) f (X 2)解：(1)函数f (X ) aln x 2 2 ——1的定义域为(0,+ 1 x1. f (x)旦 X 2 (1 x)2 设 g(x) ax 2(a 2 ax 2(a 1)x a x(x 1)2 1)x a , 4(a 1)24a 2 4(1 2a).0，g(x) 0, f (x) 0，函数 f (x)在(0,+)内单调递增;X 1 ,X 2 ------------- ，且0aaf (X) 0g(x) 0 0 x x 1,或 x x 2.f (X) 0 g(x) 0 X 1 X X 2. 综上所述， 当 时， f(x)的单调递增区间为0，方程g(x) 0有两个不等实根: (0,+ 2 2a 2a②1 a 1 aa 2时， 1 x 2.),无单调递减区间; 1 当0 a 时,2f(x)的单调递增区间为(0, 1a 41)()，(单调递减区间(1 a 』1 2a 1 a V1 2a))，(II )由(I )的解答过程可知，当 a —时，函数f(x)没有极值 ....................... 5分21当0 a 时，函数f (x)有极大值f (x i )与极小值f (X 2),2Q x—x 22(1), x —x 21.a1 x1 x …1 x 2、2(1 x 1x 2)小f (x 1)f (x 2)(aln x 一)(aln x 一—) aln( x 1x 2)1 x 11 X 2(1 为)(1 X 2) (7)分故实数a 的取值范围为(0 1),所有极值之和为 0................ 8 分 ，21 (III )由(II )知 0 a —,r x-i x 2且 f (二 2) 1 f(- 1) 1aln(— 1) 2a 1 , 2 2 a af(xj f(X 2).............. 9分21i原不等式等价于证明当 0 a 一时，aln (— 1) 2a 1 0，2 a1 1 即 ln( 1) 2. ................... 10分a a1 设函数 h(x) Inx x 1,则h(1) 0,当 x 1 时，h (x)1 0. x函数h(x)在区间［1,)单调递减,11 1, h( 1) h(1) 0a 2.从而原不等式得证. 1 1 由0 a —知一 2 a 1 1即 In(— 1)- a a1份............ 12分。