幂函数的图像与性质教案与练习

高中数学教案《幂函数》章节一：幂函数的定义与性质教学目标：1. 理解幂函数的定义；2. 掌握幂函数的性质；3. 能够运用幂函数的性质解决问题。

教学内容：1. 幂函数的定义：一般形式为f(x) = x^a，其中a为实数，a≠0；2. 幂函数的性质：a) 当a>0时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；b) 当a<0时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增；c) 当a=1时，函数为常值函数f(x)=x；d) 当a=0时，函数为常值函数f(x)=1；e) 当a为负偶数时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；f) 当a为负奇数时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增。

教学活动：1. 引入幂函数的概念，引导学生理解幂函数的一般形式；2. 通过示例，引导学生掌握幂函数的性质；3. 进行练习，巩固学生对幂函数性质的理解。

章节二：幂函数的图像与性质教学目标：1. 能够绘制幂函数的图像；2. 理解幂函数图像的性质；3. 能够运用幂函数图像解决问题。

教学内容：1. 幂函数的图像：一般形式为一条曲线，当a>0时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减；当a<0时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增；2. 幂函数图像的性质：a) 当a>0时，图像在x轴正半轴上无界，在x轴负半轴上有界；b) 当a<0时，图像在x轴正半轴上有界，在x轴负半轴上无界；c) 当a=1时，图像为一条直线，穿过原点；d) 当a=0时，图像为一条水平线，位于y轴上；e) 当a为负偶数时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减，且过原点；f) 当a为负奇数时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增，且过原点。

教学活动：1. 通过示例，引导学生绘制幂函数的图像；2. 分析幂函数图像的性质，引导学生理解幂函数图像的特点；3. 进行练习，巩固学生对幂函数图像性质的理解。

2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。

（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。

力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。

情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。

（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。

2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。

教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。

3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。

（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。

为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。

问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。

函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。

）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。

将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。

教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。

初中数学幂函数的性质教案教学目标：1. 知识与技能：理解幂函数的定义，掌握幂函数的性质，能够运用幂函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，引导学生发现幂函数的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感、态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学重难点：1. 重点：掌握幂函数的性质。

2. 难点：理解幂函数的单调性和奇偶性。

教学准备：1. 教学工具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：学生准备幂函数的图象和表格。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习指数函数的定义和性质。

2. 提问：指数函数与幂函数有什么关系？二、新课导入（10分钟）1. 介绍幂函数的定义：一般地，函数的形式为y=x^a（a为常数），称为幂函数。

2. 分析幂函数的性质：a) 当a>0时，幂函数在x>0的区间上单调递增；b) 当a<0时，幂函数在x>0的区间上单调递减；c) 当a=0时，幂函数为常数函数。

三、实例分析（15分钟）1. 分析幂函数y=x^2的性质：a) 图像：抛物线，开口向上；b) 单调性：在x>0的区间上单调递增；c) 奇偶性：偶函数。

2. 分析幂函数y=x^-1的性质：a) 图像：反比例函数的图像；b) 单调性：在x>0的区间上单调递减；c) 奇偶性：奇函数。

四、学生实验探究（15分钟）1. 学生分组，每组选择一个幂函数进行实验。

2. 实验内容：观察幂函数的图像，分析幂函数的单调性和奇偶性。

3. 学生汇报实验结果，教师点评并总结。

五、巩固练习（10分钟）1. 学生自主完成幂函数的练习题。

2. 教师选取部分学生的作业进行点评。

六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结幂函数的性质。

2. 强调幂函数在实际问题中的应用。

七、作业布置（5分钟）1. 完成幂函数的练习题。

2. 调查生活中常见的幂函数现象，下节课分享。

幂函数的图像与性质教学案例一、引言在数学中，幂函数是一类非常常见的函数。

幂函数可以用来描述许多实际问题中的关系，如物体的运动、人口的增长等。

了解幂函数的图像与性质对于理解函数的特点以及应用数学模型是非常重要的。

本文将通过一个具体的教学案例，帮助学生更好地理解幂函数以及它的图像与性质。

二、教学案例1. 目标通过本教学案例，学生将能够：- 了解幂函数的定义；- 掌握幂函数的图像特点；- 理解幂函数的性质；- 运用幂函数解决实际问题。

2. 教学内容本教学案例的主要内容包括：- 幂函数的定义；- 幂函数的图像与特点；- 幂函数的性质；- 幂函数的应用实例。

3. 教学步骤3.1. 引入与导入教师可以通过提问的方式引入幂函数的概念，例如：“在生活中，你们遇到过哪些与数量关系有关的问题？”、“你们能够列举出一些函数的例子吗？”等，通过学生的回答引导他们认识到幂函数是一种常见的函数。

3.2. 幂函数的定义与图像特点教师向学生介绍幂函数的定义，并通过具体的数值例子和函数表达式，展示不同幂函数的图像特点。

教师可以给出不同指数幂函数的函数图像，让学生观察函数图像的变化规律，并总结出不同指数对图像的影响。

3.3. 幂函数的性质教师通过讲解幂函数的性质，如定义域、值域、增减性等，让学生对幂函数有更深入的了解。

教师可以通过证明、举例等方式来说明这些性质。

3.4. 幂函数的应用实例教师给出幂函数在实际问题中的应用实例，例如人口增长问题、物体从高空自由落体的问题等。

学生需要通过分析实际问题，建立数学模型，并用幂函数解决问题。

4. 教学评估教师可以通过小组讨论、个人作业、课堂练习等方式来评估学生的学习效果。

例如，给学生提供一个幂函数的图像，要求他们根据图像的特点写出函数的表达式。

此外，教师还可以通过提问学生回答问题的方式，检查他们对幂函数的理解和应用。

5. 总结与拓展在课程的最后，教师对本课的内容进行总结，并鼓励学生思考如何将幂函数的知识应用到更多的实际问题中。

幂函数的图像与性质【知识整理】1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项。

2、幂函数的图像 （1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =y x =2y x = 3y x =12y x =1y x -=定义域 R R R {}|0x x ≥{}|0x x ≠奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限 单调增减性在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递减 定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴。

基础训练：1. 下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)32.已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，则m=________，n=_________.3.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (100)＝________．4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x 125. 下列函数中，定义域为R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －16. 函数y ＝x 53的图象大致是( )7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 138. 函数y ＝x －2在区间[12，2]上的值域为________．9. 设α∈{－1，1，12，3}，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．例题精析：例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为______________变式训练：幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是___________.例2．比较下列各组数的大小： (1)和3.1－52； (2)－8－78和－(19)78；(3)(－23)－23和(－π6)－23； (4)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.变式训练：用“>”或“<”填空：(1)(23)12________(34)12； (2)(－23)－1________(－35)－1； (3)(－2.1)37________(－2.2)－37.例3已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 12(1－4t －t 2)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数解析式．变式训练：若函数f (x )＝(m 2－m －1)x －m ＋1是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围.课后作业：1. 若幂函数f (x )的图象经过点(2，14)，则f (12)＝________．2.设α∈{－1，1，12，3}，则使幂函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为_________.3. 幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，18)，则满足f (x )＝－27的x 值等于________．4. 函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是[－53，1]，则实数a ＝__________5. 比较下列各组中两个值的大小：(1)1.535与1.635； (2)0.61.3与0.71.3；(3)3.5－23与5.3－23； (4)0.18－0.3与0.15－0.3.6. 设a ＝(25)35，b ＝(25)25，c ＝(35)25，则a ，b ，c 的大小关系是_______________7. 已知函数y＝x23.(1)求定义域；(2)判断奇偶性；(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．8.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．9. 点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)?【题目】如果幂函数y=f （x ）的图像经过点（2，4），则f （3）=【题目】下列命题中，正确命题的题号为 ①幂函数的图像都经过点（1，1）②图像经过点（−1，1）的幂函数是偶函数 ③幂函数的图像不经过第四象限④当n=0时，函数y=x n 的图像是一条直线 ⑤当n<0时，函数y=x n 在定义域内为减函数【题目】研究幂函数23()f x x =的性质 （1）指出f （x ）的定义域和值域；（2）指出并证明f （x ）的奇偶性和单调性； （3）画出f （x ）的图像。

《幂函数》教案《幂函数》教案《幂函数》教案1教学目标1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念．教学难点：函数单调性的判定．教学过程设计一、引入新课师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：第二组：生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）二、对概念的分析（板书课题：）师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．（学生朗读．）师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x 的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f （x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．（指图说明．）师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数．师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索．）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？生：不能．因为此时函数值是一个数．师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．师：你答的很对．能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）师：“属于”是什么意思？生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以．师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f （x1）都大于f（x2）．师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻．）生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．师：那么如何来说明“都有”呢？生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f （x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f （x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）三、概念的应用例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f （x）是增函数还是减函数？（用投影幻灯给出图象．）生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然．例2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．（指出用定义证明的必要性．）师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b 就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，所以f（x）是增函数．师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）调函数吗？并用定义证明你的结论．师：你的结论是什么呢？上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．上是减函数．（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1．要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤．五、作业1．课本P53练习第1，2，3，4题．数．=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．课堂教学设计说明是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．《幂函数》教案2教学目标1、使学生掌握的概念，图象和性质。

初中数学幂函数教案教学目标：1. 了解幂函数的定义和性质。

2. 能够解析幂函数的图像和特点。

3. 学会运用幂函数解决实际问题。

教学重点：1. 幂函数的定义和性质。

2. 幂函数的图像和特点。

教学难点：1. 幂函数的图像和特点。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 幂函数的图像资料。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的函数知识，如线性函数、二次函数等。

2. 提问：今天我们要学习一种新的函数——幂函数，你们知道幂函数是什么吗？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解幂函数的定义：一般地，形如y=x^a（a是常数）的函数，叫做幂函数。

2. 讲解幂函数的性质：（1）当a>0时，幂函数在x>0的区间内是增函数；（2）当a<0时，幂函数在x>0的区间内是减函数；（3）当a=0时，幂函数恒等于0。

3. 展示幂函数的图像，让学生观察和理解幂函数的特点。

三、实例分析（15分钟）1. 给出几个幂函数的实例，如y=x^2、y=x^-1等，让学生分析其图像和性质。

2. 让学生尝试解决实际问题，如计算幂函数在特定点的值，找出幂函数的零点等。

四、练习与讨论（10分钟）1. 布置一些有关幂函数的练习题，让学生独立完成。

2. 引导学生讨论幂函数在实际生活中的应用，如面积、体积计算等。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结幂函数的知识点，如定义、性质和应用。

2. 提问：你们觉得幂函数在实际生活中有哪些应用呢？教学延伸：1. 讲解幂函数的进一步性质，如幂函数的导数、积分等。

2. 引导学生学习幂函数在高等数学中的应用。

教学反思：本节课通过讲解和实例分析，使学生掌握了幂函数的定义、性质和应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动参与、积极思考，提高学生的数学素养。

同时，结合生活实际，让学生感受数学的趣味性和应用价值。

在课后，加强对学生的辅导和练习，巩固所学知识。

【教学目标】1、掌握幂函数的概念。

2、掌握幂函数的性质和图像。

3、通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。

4、熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。

【教学重点】幂函数的图像与性质 【教学难点】幂函数的图像教学过程一、回顾与本堂课相关的知识点(1) 若0a b >>，则0k k a b >>。

(*k N ∈)(2) 若0a b >>，则0>>。

（*k N ∈且1k >） (3) 有理数集Q={|,,,0,,qx x p q Z p p q p=∈≠互质} (4) 如图: 二、新课1、引入熟悉的函数——这些函数都可以写成底数为x，指数是一个有理数的形式。

(1) 2y x = 3y x = 12y x == 13y x ==(2) 11y x x -== 221y x x -== 331y x x -== 12y x -== y x ==2、定义形如q py x =，（其中,,0p q Z p ∈≠且,p q 互质）的函数叫幂函数。

注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，指数是有理数qp。

练习这节课是学习一类新的函数——幂函数。

因此课前先要复习相关的知识点。

给出幂函数的定义，由运用定义来判断几个函数是否是幂函数。

判断：下列各式中表示幂函数的有（ ） 答案：C E F A 、123y x = B 、xy x = C 、23y x = D 、2x y =E、y =、0.5y x = G、y =思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？ （回顾第三章的内容——函数的性质考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像）3、研究探索例1、研究函数12y x -=的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。

解：函数12y x -=的定义域为(0,)+∞，值域为(0,)+∞。

（1）奇偶性。

因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。

（2）单调性。

幂函数的图像与性质【学习目标】1.学生通过创设情境，初步感知幂函数概念的形成过程，由具体到一般，得到幂函数的定义；2.学生通过动手做图，能由具体的函数图像归纳出一般幂函数的图像特征；3.根据幂函数的性质，会判断幂函数的奇偶性，利用单调性比较大小，体会数形结合的思想。

【学习重难点】重点：幂函数的概念、幂函数的图像与性质难点：幂函数性质的应用数学核心素养：数学抽象、直观想象德育目标：培养学生热爱生活，积极向上的乐观心态一、回顾小测1.奇函数的图像具有怎样的对称性？奇函数的图像在对称区间上具有怎样的单调性？2.偶函数的图像具有怎样的对称性？偶函数的图像在对称区间上具有怎样的单调性？3.)1aay x是什么函数？,0(≠>=a【学生活动设计】：学生独立思考，回顾知识点，回答问题【教师活动设计】教师对学生的回答进行评价【设计意图】为后面学习幂函数做铺垫二、新授（一）探究新知(1)_______________________________________________________; (2)_______________________________________________________； (3)_______________________________________________________; (4)_______________________________________________________; (5)_______________________________________________________. 5.在第一象限内，你能画出10,0,1<<<>ααα的图像吗？【学生活动设计】：学生独立画图，小组讨论图像的特点，小组代表展示小组讨论的结果【教师活动设计】：教师对学生的回答进行评价，总结幂函数图像的特点【设计意图】幂函数的图像与性质学习目标 3.根据幂函数的性质，会判断幂函数的奇偶性，利用单调性比较大小，体会数形结合的思想。