管理运筹学讲义：多目标决策

详细信息如下
图3
对应于第二优先等级，将 ＝0作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解 ＝0 ， ，最优值为6。具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）：
model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END
图4
LINGO运算后输出为（参见图5）：
图5
对应于第三优先等级，将 ＝0， 作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解是 ， ，最优值为7。具体LINGO程序及输出信息如下（参见图6） ：
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
在以上各式中，kl+ 、kl- 分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负偏差变量的权系数，gk为第 k个目标的预期值，xj为决策变量，dk+ 、dk- 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量。
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
目标规划数学模型中的有关概念。
(1) 偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有d +×d - =0成立。
第二部分 多目标决策的数学模型及其非劣解
一、多目标决策的数学模型
（一）任何多目标决策问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标决策问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：

C
•2
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• 2 • A • 6• 8 • 1 • x
管理运筹学讲义第5章目标规划 0
1
•二、升级调资问题
例 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵 守以下规定： • (1) 不超过月工资总额60000元； • (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； • (3) Ⅱ、Ⅲ级的升级面不低于现有人数的20%且无越级提升； • (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又Ⅰ级的职工中有 10%要退休。 • 有关资料汇总于表中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。
• (4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回(2)。 • (5) 当所有检验数 j≥0时，计算结束。表中的解即为满意解。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
例4 试用单纯形法来求解例2。 将例2的数学模型化为标准型：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
① 取xs，d1-，d2-，d3-为初始基变量，列初始单 纯形表，见表5-1。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
解 按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1，P2， P3优先因子。这问题的数学模型是：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
目标规划的一般数学模型为
•
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为权系数。
管理运筹学讲义第5章目标规划
课堂练习：
某公司经销两种货物，售出每吨甲货物可盈利202元， 乙货物可盈利175元，各种货物每吨所占用的流动资 金为683元，公司现有流动资金1200万元，货物经销中 有8.48%的损耗。公司的决策者希望下月能达到以下 目标。 （1）第一目标：盈利5030000元以上； （2）第二目标：经销甲货物5000吨以上； （3）第三目标：经销乙货物18000吨以上； （4）第四目标：经销损耗在1950吨以下。 试问应怎样决策？

17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午2时2分15秒 下午2时 2分14: 02:1521.6.28
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
计算优系数和劣系数之前，必须确定各目 标的权数。
一、目标权数的确定
确定权数的方法有： • 简单编码法 • 环比法 • 优序图
• 简单编码法 将目标按重要性依次排序，最次要的目
标定为1，然后按自然数顺序由小到大确定 权数。此种方法计算简单，但是权数差别小， 欠缺合理性。
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• 环比法
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
（1）除去从属目标，归并类似目标。
（2）把那些只要求达到一般标准而不要求达 到最优的目标降为约束条件。
（3）采取综合方法将能归并的目标用一个综 合指数来反映。
2. 分析各目标重要性大小、优劣程度，分 别赋予不同权数。
二、 层次分析法
层次分析法，简称AHP法，是用于处理有 限个方案的多目标决策方法。
劣系数的最好标准是 0。

f
f1(x)
f2(x)
0
x1* Rpa* x2*
x
§2 多目标规划模型及其解的概念
定义4 设 ∈R，若不存在X∈R，使 F(X)<F( )， 则称 为问题的弱有效解。其全体记为 。
注：有效解必是弱有效解。
f
f1(x
)
f2(x
)
0
x
Rwp *
§2 多目标规划模型及其解的概念
两个目标的最大化问题： f2 D
• 全序与半序: 方案di与dj之间 单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况 是不可比较大小
• 决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对 目标的偏好。
• 解概念区别
单目标决策的解只有一种（绝对）最优解; 多目标决策的解有下面三种情况： ➢ 绝对最优解
决策变量：甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2 约束条件：
§2 多目标规划模型及其解的概念
目标函数：何为最佳？ （1）总花费最小： min f1(x1,x2)=4x1+2x2 （2）糖的总数量最大： max f2(x1,x2)=x1+x2 （3）甲级糖的数量最大： max f3(x1,x2)=x1
多目标规划问题
C B
A 0
劣解与有效解
E f1
§2 多目标规划模型1 最优点集合。 定理2
f
0
，其中 为单目标 fi (X) 上
f1(x) R1R* pa*= RabR*2*
f2(x)
Rwp *
x
§2 多目标规划模型及其解的概念 多目标规划——解的关系 定理3 定理4
§2 多目标规划模型及其解的概念 多目标规划——解的关系 例1 下图中，R1*=｛x1｝，R2*=｛x2｝，

环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。

多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示： 多目标规划的矩阵表示：
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中： 其中： Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量，此外，引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示： 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示： 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值， 即恒有 d + × d − = 0
例：LP----目标规划：加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子（优先等级）与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数（权）。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1，次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……，表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中，
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K

多目标决策培训资料1. 引言多目标决策是在面临多个冲突目标时做出最佳决策的过程。

在现实生活中，我们经常面临多个目标之间的权衡和冲突，而多目标决策方法能够帮助我们找到最优解。

本文将介绍多目标决策的基本概念、常用的方法和工具。

2. 多目标决策的基本概念在开始学习多目标决策之前，我们需要了解一些基本概念。

2.1 目标与决策在多目标决策中，目标是我们希望实现的结果或者状态，而决策是我们为了实现目标而采取的行动或者选择的方案。

目标通常可以分为主要目标和次要目标，主要目标通常是我们希望最大化或最小化的指标，而次要目标则是我们希望在主要目标满足的前提下尽量优化的指标。

2.2 多目标决策的挑战多目标决策面临的挑战主要包括目标冲突、不确定性、可行性问题等。

目标冲突是指不同目标之间存在矛盾和冲突，达到一个目标可能会牺牲其他目标的实现；不确定性是指决策过程中存在不确定的因素，可能会导致目标的达成受到影响；可行性问题是指在实施决策方案时可能会面临资源限制、技术限制等问题。

3. 多目标决策的常用方法多目标决策有多种方法，下面介绍一些常用的方法。

3.1 加权和法加权和法是一种简单直观的多目标决策方法。

它通过对每个目标设置权重，并将每个方案在各个目标上的得分加权求和，最后选择得分最高的方案作为最佳决策。

加权和法的优点是简单易用，但它不能处理目标之间的相对重要性和不确定性。

3.2 敏感性分析敏感性分析是一种通过改变目标权重或方案得分来评估方案在不同情况下的稳定性和灵活性的方法。

通过分析方案得分对目标权重的敏感程度，可以帮助决策者了解方案在不同目标权重下的优劣势，并找到合适的权衡点。

3.3 Pareto优化Pareto优化是一种基于Pareto最优解概念的多目标决策方法。

Pareto最优解是指不能再进一步改善一个目标的情况下改善其他目标的解。

Pareto优化通过寻找Pareto最优解集合来帮助决策者进行决策。

Pareto优化的优点是能够考虑目标之间的权衡和冲突，但它需要较大的计算量和对目标之间的关系进行分析。

min
ck x
LP(xˆ) : s.t.
k 1
ck x ck xˆ
(k 1,L , p)
Ax b
x0
结论：
若 ˆx为 LP 的最优解，则必为有效解
若 ˆx不是 LP 的最优解，而是 y，则 y 即是有效解
例 已知一个多目标决策问题（Max问题）
max z 1=x 1 -x 2 +x 3
p
d1 =
k=1
1
fk
f
* k
r
)r
fk
f
* k
d2 =
p
(fk
f
* k
)2
k=1
d =
m ax{
1 k p
fk
f
* k
}
fk 关于
f
* k
的正偏差
dk
=fk 0,
fk*,
fk fk* >0 其余
fk 关于
f
* k
的负偏差
dk
=fk* 0,
fk,
fk fk* 0 其余
由定义知
i)
d
理 想 点 ： f* (0 , 4 2 1 0 , 2 4 0 )
( x 1 x 2 x 3 2 0 8 , 1 5 x 1 1 4 x 2 1 2 x 3 , 3 x 1 )
m in
s .t. 8 0 x1 0 125 x2 0 105 x3 0 x1 x2 x3 2 0 8 0 x1 x2 x3 2 0 8 0 1 5 x1 1 4 x2 1 2 x3 4 2 1 0 3 x1 2 4 0 x1, x2 , x3, 0
p
min wk fk (x) k 1

d
m
1
ax
k p
(
d
k
d
k
)
s.t. fk dk dk fk*
xX, dk,dk 0 (dkgdk 0)
k1,2,L,p
可以略去
A
47
r = 1 距离定义下的目标规划模型
m in
p
(
d
+ k
+
d
k
)
k=1
s.t. x X
fk
(x)
d
+ k
+
d
k
=
f
* k
d
+ k
,
d
k
0
第十章 多目标决策
多目标决策问题及其有效解 偏爱和多目标决策问题的求解 评价函数法 目标规划 层次分析法 软件应用
A
1
10.1 多目标决策问题及其有效解
多目标决策问题引例 多目标决策问题的有效解
A
2
例1（投资决策问题）
公司有50万元资金，打算向两个项目投资。已知项 目1的利润为投资额的10%，但风险小；项目2的利 润为投资额的20%，但风险大。由于其他原因，公司 对项目1的投资不能少于10万元。试问：如何投资， 才能兼顾利润和风险？
分层求解法－－分层模型 完全分层法，分层评价法，分层单纯形法
目标规划法
A
39
10.4 目标规划
目标规划的产生与发展 目标规划模型
A
40
目标规划的产生与发展
目标规划由美国学者查恩斯与库伯于1961年首次提出，基 本思想是求尽可能接近某个目标值的解
1965年，艾吉里在处理多目标问题、分析各类目标的重要 性时，引入了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念， 进一步完善了目标规划的数学模型

乘法规则多维合并公式
n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于0。公式：一般公式： 对数形式：ρi为正常数。
举例
例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合关系，符合乘法法则。功能强而可靠性差的系统，或者可靠性好而功能差的系统，起总体运行质量都是差的，两者之间不能相互代替和补偿。
制定多目标决策的过程
明确问题，标明目标和辨别属性
实施或重新评价ຫໍສະໝຸດ 多维效用并合方法 多目标决策问题有s 个评价准则，有 m 个可行方案ai（i=1,2,……,m）。相应的效用函数为u1,u2,……,us，在s 个评价准则下的效用值分别是uj(i),j=1,2,……,s。将s 个分效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行评价选优。这种多目标决策方法，称为多维效用并合方法。主要用来解决序列型多层次目标准则体系问题。
多维并合的距离规则计算公式
n维效用空间是2n个顶点的凸多面体，其中必有一点Q*(1,1,……,1)为最大值点,即W(Q*)=1。也必有一点Q(0,0,……,0)为最小值点。N维效用空间任一点Q与点Q*的距离为d。点Q*与Q之间的距离为 ，于是：
代换规则
二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用达到最高水平一样，形象的说，代换规则反映了效用之间的“一好遮百丑”的特征。
返回
评价准则和效用函数
不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同，如何给出可行方案关于全部目标的满意度，是多目标决策的关键。为此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳和综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。如：效用和效用函数

目标很多并形成目标体系，这类决策称为多目标决策。

2
OR:SM
第一节 决策分析概论
二、决策程序
方 案 实 施 与 控 制
确 定 决 策 目 标
预 测 自 然 状 态
拟 定 决 策 方 案
决 策 方 案 优 选
确定性决策：自然状态的信息是确知的 风险性决策：已知状态概率分布，但确知 不确定决策：未来状态信息全无
17 OR:SM
• 期望值与标准差准则
决策者希望尽可能回避风险， 标准差刻划各损益值数据与期望值偏离程度 标准差越小则期望值实现的可靠性越大
8 OR:SM
第三节 风险性决策
二、决策树—单级决策树 • 决策树的画法
从左向右依次展开的横向树 决策结点“□”引出方案分 枝 状态结点“○”引出概率分 枝 A 结果结点“△”后随损益值
确定性决策、风险性决策和不确定性决策。
4
OR:SM
第二节 不确定性决策
•
悲观准则
决策者对客观情况持悲观态度，将结果估计得比较保守 基本想法是坏中求好
•
乐观准则
决策者总是对客观情况抱乐观的态度 基本思路是好中求好
•
乐观系数准则
决策者对客观情况既不那么乐观，也不那么悲观的“折衷准则” 根据以往经验，确定乐观系数
3 OR:SM
第一节 决策分析概论
三、决策分类
1. 按决策方法的性质分类
定性决策和定量决策
2. 按决策问题的层次分类
不同管理层级决定不同层次的管理问题， 分成战略性决策、战术性决策和运作层决策。
3. 按决策出现的频率划分
程序性决策和非程序性决策
4. 按自然状态的熟知度分

第十六章多目标决策 1．共同最优解假定有m个目标f1(x)，…，fm(x)同时要考查，并要求越大越好。

在不考虑其他目标时，记第i个目标的最优值为相应的最优解记为x(i)，i=1，2，…，m；其中R是解的约束集合R={x｜g(x)≥0}，g(x)={g1(x)，…，gl(x)}T当这些x(i)都相同时，就以这共同解作为多目标的共同最优解。

2．求解多目标规划问题的方法(1)主要目标法。

①优选法：在实际问题中通过分析讨论，抓住其中一两个主要目标，让它们尽可能地好，而其他指标只要满足一定条件即可通过若干次试验以达到最佳。

②数学规划法：设有m个目标f1(x)，f2(x)，…，fm(x)要考查其中方案变量x∈R(约束集合)，若以某目标为主要目标，如f1(x)要求实现最优(最大)，而对其他目标只是满足一定规格要求即可。

(2)线性加权和法。

①α－法对于有m个目标f1(x)，…，fm(x)的情况，不妨设其中f1(x)，…，fk(x)是要求最小化而fk+1(x)，…，fm(x)是要求最大化，这时可构成下重新目标函数。

其中{aj}满足下列方程组②λ－法当m个目标都要求实现最大时，可用下述加权和效用函数，即其中λ取i(3)多目标线性规划的解法。

逐步法是一种迭代法，在求解过程中，每进行一步，分析者把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果做出评价。

若认为已满意了，则停止迭代；否则分析者再根据决策者的意见修改和再计算。

如此，直到求得决策者认为满意的解为止。

设有k个目标的线性规划问题3．层次分析法(1)根据层次结构图确定每一层的各因素的相对重要性的权数，直至计算出措施层各方案的相对权数，这就给出了各方案的优劣次序。

设有n件物件A1，A2，…，An；它们的重量分别为ω1，ω2，…，ωn，若将它们两两地比较其重量，其比值可构成n×n矩阵A。