余数问题(教师版)

一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。

知识精讲余数问题2.余数的乘法定理 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。

用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m |(a －b )【例1】用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ．【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=⨯+，所以43a =，14r =．【例2】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【解析】 (法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；【解析】 则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．【解析】 (法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．经典例题【例3】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。

方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两 位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【例4】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。

【例5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【例6】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于13(61)91⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．【例7】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

【例8】 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【例9】求2461135604711⨯⨯÷的余数． 【解析】 因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，根据同余定理(三)， 2461135604711⨯⨯÷的余数等于83811⨯⨯÷的余数，而838192⨯⨯=， 1921117...5÷=，所以2461135604711⨯⨯÷的余数为5．【例10】 求19973的最后两位数．【解析】 即考虑19973除以100的余数．由于100425=⨯，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8，103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除以4余1，则203除以4余1；即2031-能被4 和25整除，而4与25互质，所以2031-能被100整除，即203除以100余1，由于1997209917=⨯+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=⨯，所以173除以100的余数等于292943⨯⨯除以100的余数，而29294336163⨯⨯=除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63．【例11】2008222008+除以7的余数是多少？【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【作业1】5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

【答案】79【作业2】明明在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少3而余数恰恰相同，这题中的除数是多少？【答案】18【作业3】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179---÷+=（）（），所以，被除数为7948324⨯+=。

【作业4】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【解析】 1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。

【作业5】求478296351⨯⨯除以17的余数．【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1⨯⨯÷=．【作业6】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a ，2a +，5a +，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a ）． 既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是29023357-=的约数，又是23319538-=的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．【作业7】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【作业8】某个大于1的自然数分别除442，297，210，得到相同的余数，则该自然数为 。

【分析】首先要清楚一个事实：两个数被同一个数除余数相同，则这两个数相减（大减小）能被这个数整除。

知道了这个事实后我们就很容易做这个题了。

因为该自然数能整除442297145-=，也能整除442210232-=，同样能整除29721087-=。

所以可知这个自然数必定是145，232，87的公约数。

而这三个数大于1的公约数只有29。

所以可知这个自然数为29。

【作业9】两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ⨯．【解析】 ab ba -能被7整除，即(10)10)9a b b a a b +-+=⨯-（（）能被7整除．所以只能有7a b -=，那么ab 可能为92和81，验算可得当92ab =时，29 ba =满足题目要求，92292668ab ba ⨯=⨯=【作业10】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=的公约数，所求答案为17．。