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2.4 绝对值与相反数一、选择题1.3的相反数是()A．﹣3 B．13C．3 D．±32.计算：-(-1)=( )A.±1B.-2C.-1D.13.下列说法中正确的是( )A.一个数的相反数是负数B.0没有相反数C.互为相反数的两个点到原点的距离相等D.表示相反数的两个点，可以在原点的同一侧4.相反数等于本身的数是( )A.正数B.负数C.0D.非负数5.若a的相反数是- 12，则a的值是( )A.2B.-2C.12 D.-126.-(-3)的绝对值是( )A.-3B.13 C.3 D.-137.下列说法正确的是( )A.一个数的绝对值一定是正数B.一个数的相反数一定是负数C.若一个数的绝对值是它本身，则这个数一定是正数D.若一个数的相反数是它本身，则这个数一定是零8.下列说法中正确的是( )A.|a|一定大于0B.有理数分为正数和负数C.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等D.互为相反数的两个数的绝对值相等9.a为有理数，下列判断正确的是()A.－a一定是负数B.|a|一定是正数C.|a|一定不是负数D.－|a|一定是负数10.已知点M,N,P,Q在数轴上的位置如图所示,则其中表示的数的绝对值最大的点是( )A.MB.NC.PD.Q11.若|a|=|b|,则a,b的关系是( )A.a=bB.a=-bC.a=b或a=-bD.a=0且b=012.下列结论正确的有（）①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；④若有理数a,b互为相反数，那么a+b=0；⑤若有理数a,b互为相反数，则它们一定异号.A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题13.﹣4的相反数为．14.填空：﹣（+5）表示的相反数，即﹣（+5）= ；﹣（﹣5）表示的相反数，即﹣（﹣5）= 。
15.在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8，则这两点所表示的数分别是.16.3.14－π的绝对值为.17.在数轴上，绝对值为14，且在原点左边的点表示的数为18.绝对值大于5并且小于8的所有整数是_______，绝对值小于3.5的非负整数有_______.三、解答题19.写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：-1.5，-534，＋225，-2.8，7，＋5.5.20.在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数连接起来.－(－4)，－|－3.5|，＋(－12)，0，＋(＋2.5)，112.21.如图,图中数轴的单位长度为1.(1)如果点B,E表示的数互为相反数,那么点D表示的数是多少?(2)如果点C,E表示的数互为相反数,那么点D表示的数的相反数是什么?22.已知|a|=5，|b|=3，且a>0，b>0，求a＋b的值；23.化简下列各式的符号,并回答问题：(1)-(-2)；(2)+(- 12)；(3)-[-(-4)]；(4)-[-(+3.5)]；(5)-{-[-(-5)]}；(6)-{-[-(+5)]}. 问：①当+5前面有2 026个负号时,化简后结果是多少?②当-5前面有2 023个负号时,化简后结果是多少?你能总结出什么规律?参考答案1.A2.D3.C4.C5.C6.C7.D8.D9.C10.D11.C12.A13.答案为：4．14.答案为：5，﹣5，﹣5，5；15.答案为：4，-4.16.答案为：π-3.1417.答案为：-1418.答案为：±6，±70，1，2，319.解：各数的相反数分别为：1.5，534，-225，2.8，-7，-5.5.在数轴上表示略.20.解：化简得－(－4)=4，－|－3.5|=－3.5，＋(－12)=－12，＋(＋2.5)=2.5.所以在数轴上表示各数如图：－|－3.5|＜＋(－12)＜0＜112＜＋(＋2.5)＜－(－4).21.解：(1)由点B,E表示的数互为相反数,得点D为坐标原点,即点D表示的数为0.(2)由点C,E表示的数互为相反数,得点D表示的数为-1,其相反数为1.22.解：因为|a|=5，|b|=3，且a>0，b>0，所以a=5，b=3.所以a＋b=5＋3=8.23.解：(1)-(-2)=2；(2)+(- 12)=-12；(3)-[-(-4)]=-4；(4)-[-(+3.5)]=+3.5；(5)-{-[-(-5)]}=5；(6)-{-[-(+5)]}=-5.①当+5前面有2 022个负号时,化简后结果是+5；②当-5前面有2 023个负号时,化简后结果是+5,规律：当一个数的前面有偶数个负号时,化简结果是本身；当一个数的前面有奇数个负号时,化简结果是这个数的相反数.。
相反数、绝对值专题训练注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.若m•n≠0，则+的取值不可能是（）A. 0B. 1C. 2D.2.若a、b都是不为零的数，则的结果为A. 3或B. 3或C. 或1D. 3或或13.如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A. 0B. 1或C. 2或D. 0或4.有理数abc＜0，则++的值是（）A. 1B. 3C. 0D. 1或5.实数a、b在数轴上的位置如图，则|a+b|-|a-b|等于（）A. 2aB. 2bC.D.6.在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac＜0，b+a＜0，则（）A. B. C. D.7.如图，a，b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b，b-a，|a-b|，|b|-|a|中，负数的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）8.已知|a|=3，|b|=4，且a<b，则的值为______ ．9.如果n＜0，那么= ______ ．10.若a，b都是不为零的有理数，那么+的值是______．11.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：-|c-a|+|b|+|a|-|c|=______．12.若a、b、c在数轴上的位置如图，则|a|-|b-c|+|c|= ______ ．13.若，则的取值范围是________.14.若有理数在数轴上的位置如图所示,则化简:______.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|a-b|-|a+b|+|a|+|a-c|．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|．（1）用“＞”“＜”或“=”填空：b______0，a+b______0，a-c______0，b-c______0；（2）化简：|c-a|-|c-b|+|a+b|．17.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当x＞0时，==1；当x＜0时，==-1．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，+= ______ ；（2）已知a，b是有理数，当abc≠0时，++= ______ ；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0，则++= ______ ．18.已知a、b、c均为非零的有理数，且=-1，求++的值．19.实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|b+c|-|b+a|+|a+c|．20.设a为有理数．（1）若b=（a+2）2+3，则b是否有最小值？若有，请求出这个最小值，并求此时a的值；若没有，请说明理由．（2）试比较a2与|a|的大小．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了绝对值的定义及有理数的加法法则．由于m、n为非零的有理数，则有3种情况要考虑到，用到了分类讨论的思想．由于m、n为非零的有理数，根据有理数的分类，m、n的值可以是正数，也可以是负数．那么分三种情况分别讨论：①两个数都是正数；②两个数都是负数；③其中一个数是正数另一个是负数，针对每一种情况，根据绝对值的定义，先去掉绝对值的符号，再计算即可.【解答】解：分3种情况：①两个数都是正数；∴+=1+1=2，②两个数都是负数；∴+=-1-1=-2，③其中一个数是正数另一个是负数，所以，原式=-1+1=0．∴+的取值不可能是1.故选B.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了绝对值的意义及分式的化简．正数和0的绝对值是它本身，负数和0的绝对值是它的相反数．当x＞0时，=1;当x＜0时，=-1.互为相反数（0除外）的两个数的商为-1，相同两个数（0除外）的商为1．可从a、b同号，a、b异号，分类讨论得出结论．【解答】解：①当a＞0，b＞0时则++=1+1+1=3；②当a＜0，b＜0时=-1-1+1=-1；③当a＞0，b＜0时=1-1-1=-1；④当a＜0，b＞0时=-1+1-1=-1；故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．根据a、b、c是非零实数，且a+b+c=0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时：，所以；②当a，b，c为两负一正时：，所以．由①②知所有可能的值为0．应选A．4.【答案】D【解析】解：∵abc＜0，∴a，b，c中有一个负数或三个负数，当有一个负数时，原式=-1+1+1=1；当有三个负数时，-1-1-1=-3，故选D．利用有理数的乘法法则判断得到a，b，c中负数的个数，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】此题考查了整式的加减，绝对值，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，且|a|＜|b|，∴a+b＞0，a-b＜0，则原式=a+b+a-b=2a．故选A．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，能举出错误选项的反例．根据数轴和ac＜0，b+a＜0，可以判断选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，a＜b＜c，∵ac＜0，b+a＜0，∴如果a=-2，b=0，c=2，则b+c＞0，故选项A错误；如果a=-2，b=-1，c=0.9，则|b|＞|c|，故选项B错误；如果a=-2，b=0，c=2，则abc=0，故选D错误；∵a＜b，ac＜0，b+a＜0，∴a＜0，c＞0，|a|＞|b|，故选项C正确；故选：C．7.【答案】B【解析】解：有数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，b-a＞0，|a-b|＞0，|b|-|a|＜0，∴负数的个数有2个．故选：B．由数轴的性质可知a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，由此判断每个式子的符号．本题考查了数轴．关键是利用数轴判断a、b的符号，a、b的关系式．8.【答案】-7或-【解析】【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据绝对值的性质求出a，b，再根据有理数的加法判断出b的值，有理数的除法进行计算即可得解．【解答】解：∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4，∵a＜b，∴当a=3时，b=4，∴=-，当a=-3时，b=4，∴=-7，故答案为-7或-．9.【答案】-1【解析】解：∵n＜0，∴|n|=-n，∴==-1．故答案为：-1．根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，再根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解．本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，是基础题，正确去掉绝对值号是解题的关键．10.【答案】2，0或-2【解析】解：①a＞0，b＞0；则+=1+1=2，②a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，则+=1-1=0或+=-1+1=0③a＜0，b＜0，则+=-1-1=-2．所以+的值是2，0或-2．故答案为：2，0或-2．分情况讨论①a＞0，b＞0；②a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，③a＜0，b＜0，然后根据范围去掉绝对值可得出+可能的值．本题考查有理数的除法及绝对值的知识，难度不大，关键是分类讨论a和b的范围．11.【答案】b+2c【解析】解：从数轴可知：c＜0＜a＜b，|c|＞|a|，∴c-a＜0，∴-|c-a|+|b|+|a|-|c|=c-a+b+a+c=b+2c，故答案为：b+2c．根据数轴得出c＜0＜a＜b，|c|＞|a|，求出c-a＜0，再去掉绝对值符号合并同类项即可．本题考查了整式的加减，数轴的应用，注意：整式的加法实质就是合并同类项．12.【答案】b-a【解析】【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，∴b-c＜0，则原式=-a+b-c+c=b-a，故答案为：b-a13.【答案】【解析】【分析】本题考查了绝对值的性质，依据绝对值的性质得到，即可求得x的取值范围.【解答】解：∵ ，∴ ，∴ ，故答案为.14.【答案】a【解析】【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断.先根据数轴上各点的位置判断出a，b，c的符号及|a|，|b|和|c|的大小，接着判定a+c、2a+b、c-b的符号，再化简绝对值即可求解.【解答】解：由上图可知，c＜b＜0＜a，|b|＜|a|＜|c|，∴a+c＜0、2a+b＞0、c-b＜0，原式=-(a+c)+2a+b-(b-c)=-a－c＋2a＋b－b＋c=a.故答案为a.15.【答案】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，∴a-b＞0，a+b＜0，a-c＜0，则原式=a-b+a+b-a-a+c=c．【解析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】（1）＜= ＞＜（2）由数轴可得，b＜c＜0＜a，∵|a|=|b|，∴|c-a|-|c-b|+|a+b|=a-c-（c-b）+0=a-c-c+b=a+b-2c．【解析】解：（1）由数轴可得，b＜c＜0＜a，∵|a|=|b|，∴b＜0，a+b=0，a-c＞0，b-c＜0，故答案为：＜，=，＞，＜；（2）见答案【分析】（1）根据数轴可以解答本题；（2）根据数轴可以将题目中式子的绝对值去掉，然后化简即可解答本题．本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数大小的比较，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答．17.【答案】（1）±2或0；（2）±1或±3；（3）-1.【解析】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，+=-1-1=-2，②a＞0，b＞0，+=1+1=2，③a、b异号，+=0，故答案为：±2或0；（2）已知a，b是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，++=-1-1-1=-3，②a＞0，b＞0，c＞0，++=1+1+1=3，③a、b、c两负一正，++=-1-1+1=-1，④a、b、c两正一负，++=-1+1+1=1，故答案为：±1或±3；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0，则b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，则++═---=1-1-1=-1，故答案为：-1．【分析】（1）分3种情况讨论即可求解；（2）分4种情况讨论即可求解；（3）根据已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，进一步计算即可求解．此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：∵a、b、c是非零实数，且=-1，∴可知a，b，c为两正一负或三负．①当a，b，c为两正一负时：++=1+1-1=1；②当a，b，c为三负时：++=-1-1-1=-3．故++的值可能为1和-3．【解析】本题考查了代数式求值有关知识，根据a、b、c均为非零的有理数，且=-1，可知a，b，c为两正一负或三负，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可.19.【答案】解：|b+c|-|b+a|+|a+c|=-（b+c）-（-b-a）+（a+c）=-b-c+b+a+a+c=2a．【解析】先由数轴上点的关系，可得a，、c互为相反数，再根据负数的绝对值是它的相反数，可化简去掉绝对值，再合并同类项，得答案．本题考查了整式的加减，先根据数轴上点的位置关系，化简掉绝对值，再合并同类项．20.【答案】解：（1）∵（a+2）2≥0，∴（a+2）2+3＞0，∴b是否有最小值是3，此时a的值为-2；（2）当a＜-1时，a2＜|a|，当-1＜a＜0时，a2＞|a|，当0≤a＜1时，a2＜|a|，当a＞1时，a2＞|a|．【解析】（1）根据非负数的性质解答即可；（2）利用分情况讨论思想解答．本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．。
2.４绝对值1．|－3|＝ ， |112|＝ ， |－0.4|＝ ，|0|＝ ，-|+3|＝ ,3-- =_________.2．（1）在数轴上点A 表示-65，点B 表示43，则点 离原点的距离近些，___________的绝对值大．（2）绝对值等于6的数是_______________,绝对值等于2.5的数是________________, 绝对值等于0的数是______________. （3)________（填“有”或“没有”）绝对值是-1的数，绝对值最小的数是_________． （4）绝对值小于3的所有整数是_____________________，非正整数是 . 3.(1)若x=1，则4x - =__________； (2)若|x|=6，则x = . (3)若10x -= ，则x=_________；(4)若|x|=|-3|，则x = .4.如图所示，若数轴上A 、B 两点对应的有理数分别为a 、b ，则a 、b 两数的绝对值大小关 系是______________.5.如图，数轴的单位是1，如果点A 、B 表示的绝对值相等，那么点A 表示的数是_________.6.用“＜”把|－3|、|－0.4|及|－2|连接起来.7.计算：（1）|—5| + |—2.49| （2）354-++--8.在数轴上表示下列各数：0，－3，2，－14，5 , 并将它们的绝对值用“<”号连接起来．9.某车间生产一批圆形零件,从中抽取8件进行检验,比规定直径长的毫米数记为正数,比规定直径短的毫米数记为负数,检查记录如下:指出第几个零件最标准？最接近标准的是哪个零件？误差最大的是哪个零件？10.正式的排球比赛对所用排球的重量有严格的规定．检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，检查结果如下(单位：克)：+12，－14，+23，－16，－7．请用学过的绝对值的知识来说明哪个排球的质量最好．11.如果两个有理数的绝对值分别是3和1，那么在数轴上表示这两个有理数的点相距多少个单位长度？12.如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，•再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，已知点A ，B 是数轴上的点，•请参照下图并思考，完成下列各题:（1）如果点A 表示数-3，•将点A•向右移动7•个单位长度，•那么终点B•表示的数是_______，A ，B 两点间的距离是________；（2）如果点A 表示数3，将A 点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，• 那么终点B 表示的数是_______，A ，B 两点间的距离为________；（3）如果点A 表示数-4，将A 点向右移动168个单位长度，再向左移动256•个单位长度，那么终点B 表示的数是_________，A ，B 两点间的距离是________．（4）一般地，如果A 点表示的数为m ，将A 点向右移动n 个单位长度，再向左移动p•个单位长度，那么，请你猜想终点B 表示什么数？A ，B 两点间的距离为多少？ -5-4-3-2-10234参考答案1.3,1.5,0.4,0,-3，-32.（1）B,A （2）±6，,2.5，0 （3）没有，0 （4）±2，±1,0；0,1,23.（1）3 （2）±6 （3）1 （ 4）±34.|a|＞ |b|5.-26.|－0.4|＜|－2|＜|－3|7.（1）7.49 （2）128.|0|＜|－14|＜|2|＜|-3|＜|5|9.5,6,710.-7的那个11.2或4（1）4,7 （2）1,2 （3）-92,88 （4）m+n-p，|n-p|初中数学试卷马鸣风萧萧12.13.。
2.4 绝对值与相反数一．选择题（共10 小题）1．﹣2017 的相反数是（）A．﹣2017 B．2017 C．﹣D．2．﹣的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．D．﹣3．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（）A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列各组数中，互为相反数的是（）A．|+2|与|﹣2| B．﹣|+2|与+（﹣2）C．﹣（﹣2）与+（+2）D．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3|5．如图，数轴上有A，B，C，D 四个点，其中表示2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．|﹣|的相反数是（）A．﹣B．C．﹣2D．27．设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y 没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y 取最小值D．有无穷多个x使y取最小值8．已知a，bA．B．C．D．9．已知点M、N、P、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（）A．M B．N C．P D．Q10．a，b 在数轴上的位置如图，化简|a+b|的结果是（）A．﹣a﹣b B．a+b C．a﹣b D．b﹣a二．填空题（共10 小题）11．1的绝对值是．12．﹣2017 的绝对值是．13．若|2+a|+|3﹣b|=0，则a b=．14．若|x+y|+|y﹣3|=0，则x﹣y 的值为．15．已知整数x1，x2，x3，x4，…满足下列条件，x1=0，x2=﹣|x1+1|，x3=﹣|x2+2|，x4=﹣|x3+3|，x5=﹣|x4+4|，依此类推，则x2017 的值为．16．如果|2x+5|=3，则x=．17．如果m，n 互为相反数，那么|m+n﹣2017|=．18．当a=1 时，|a﹣3|的值为．19．已知m，n 互为相反数，则3+m+n=．20．若|a﹣2|+|b+3|=0，则a﹣b 的值为．三．解答题（共11 小题）21．结合数轴与绝对值的知识解答下列问题：（1）数轴上表示3和2两点间的距离是；表示﹣3 和2两点间的距离是；一般地，数轴上表示数m和n两点间的距离=；（2）如果在数轴上表示数a的点与﹣2 的距离是3，那么a=；（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4 和2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（4）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为多少？请说明理由；（5）直接回答：当式子|a+9|+|a+1|+|a﹣5|+|a﹣7|取最小值时，相应的a取值范围是什么？最小值是多少？22．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B 在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B 两点间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B 表示的数为x、﹣1，①A、B 之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离为2，那么x值为．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为，此时x的取值是；（3）已知（|x+1|+|x﹣（|y﹣3|+|y+2|）=15，求x﹣2y 的最大值和最小值．23．阅读下面的材料，然后回答问题．点A，B 在数轴上分别表示实数a，b，A，B 两点之间的距离用|AB|表示．当A ，B两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1 所示，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|．当A，B 两点都不在原点时，①如图2所示，点A，B 都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3所示，点A，B 都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图4所示，点A，B 分别在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|．综上可知，数轴上任意两点A，B 之间的距离可表示为：|AB|=|a﹣b|．（1）数轴上表示﹣2 和﹣5 两点之间的距离是，数轴上表示2和﹣5 两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和2两点A和B之间的距离是；如果|AB|=3，那么x．（3）当代数式|x+2|+|x﹣3|取最小值时，x 的取值范围是．24．阅读：已知点 A 、B 在数轴上分别表示有理数 a 、b ，A 、B 两点之间的距离 表示为|AB |=|a ﹣b |． 理解：（1）数轴上表示 2 和﹣3 的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示 x 和﹣5 的两点 A 和 B 之间的距离是；（3）当代数式|x ﹣1|+|x +3|取最小值时，相应的 x 的取值范围是 ；最小值是． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A 、B 、C 、D ，它们顺次有快递 车 16 辆，8 辆，4 辆，12 辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公 司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出 的最少车辆数． 25．同学们，我们在《有理数》中学过：数轴上表示数 a 的点与原点的距离记 作|a |．一般地，|a ﹣b |表示数轴上数 a 的点与数 b 的点的距离． （1）|x ﹣1|表示；（2）数轴上是否存在数 x ，使|x ﹣1|+2|x ﹣2|+|x ﹣4|的值最小？若存在，请求 出最小值及 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）若|x ﹣1|+2|x ﹣2|的值为 8，求 x 的值． 26．阅读下列材料： 我们知道|x |的几何意义是例 1：解方程|x |=2，容易看出，在数轴上与原点距离为 2 点的对应数为 2 或﹣2， 即该方程的解为 x=2 或 x =﹣2 例 2：解不等式|x ﹣1|＞2，如图 1，在数轴上找出|x ﹣1|=2 的解，即到 1 的距 离为 2 的点对应的数为﹣1 和 3，则|x ﹣1|＞2 的解集为 x ＜﹣1 或 x ＞3．初中-数学-打印版例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2 的距离之和为5 的点对应的x 的值在数轴上，1 和﹣2 的距离为3，满足方程的x对应点在1 的右边或﹣2 的左边，若x对应点在1的右边，由图2可以看出x=2．同理，若x对应点在﹣2 的左边，可得x=﹣3，故原方程的解是x=2 或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4 的解为．（2）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9 的解集为．27．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+（b﹣1）2=0．现将A、B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a﹣b|．（1）|AB|=；（2）设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|=2 时，直接写出x的值；（3）设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|+|PB|=7 时，直接写出x的值．28．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3 和2 两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2 的两点之间的距离是3，那么a=（2）若数a表示数轴上的整数点，当a取何值时，|a+1|+|a﹣2|的值最小，最小为多少？29．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2 的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x 与3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|=．（2）若|x﹣2|=5，则x=（3）同理|x﹣4|+|x+2|=6 表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2 所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|=6，这样的整数是．30．点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B 两点之间的距离表示为A B，在数轴上A、B 两点之间的距离A B=|a﹣b|．请用上面的知识解答下面的问题：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2 和﹣4 的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3 的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1 的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；（3）|x+1|+|x﹣2|取最小值是．31．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|= ．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0 和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与（1）m＜（2）﹣1≤m（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2| 可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1 时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2 时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；（3）当m≥2 时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共10 小题）（2017•黔西南州）﹣2017 的相反数是（）A．﹣2017 B．2017 C．﹣D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：﹣2017 的相反数是2017，故选：B．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．（2017•孝感）﹣的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．D．﹣【分析】根据绝对值的意义即可求出答案．【解答】解：|﹣|= ，故选C【点评】本题考查绝对值的意义，解题的关键是正确理解绝对值的意义，本题属于基础题型（2017•天水）若x与3互为相反数，则|x+3|等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】先求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵x 与3互为相反数，∴x=﹣3，∴|x+3|=|﹣3+3|=0．故选A．【点评】本题考查的是绝对值，熟知0的绝对值是0是解答此题的关键．4．下列各组数中，互为相反数的是（）A．|+2|与|﹣2| B．﹣|+2|与+（﹣2）C．﹣（﹣2）与+（+2）D．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3|【分析】利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出即可． 【解答】解：A 、|+2|=2，|﹣2|=2，故这两个数相等，故此选项错误； B 、﹣|+2|=﹣2，+（﹣2）=﹣2，故这两个数相等，故此选项错误； C、﹣（﹣2）与+（，故这两个数相等，故此选项错误； D 、|﹣（﹣3）|=3，﹣|﹣3|=﹣3，3﹣3=0，故这两个数是互为相反数，故此 选项正确． 故选：D ． 【此题主要考查了相反数与绝对值的正确把握相关定义是解题关键． 5．如图，数轴上有 A ，B ，C ，D 四个点，其中表示 2 的相反数的点是（ ） A ．点 A B ．点 B C ．点 C D ．点 D 【分析】相反数的定义：符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数．根据定 义，结合数轴进行分析． 【解答】解：∵表示 2 的相反数的点，到原点的距离与 2 这点到原点的距离相等， 并且与 2 分别位于原点的左右两侧， ∴在 A ，B ，C ，D 这四个点中满足以上条件的是 A ． 故选 A ． 【点评】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的 左右两侧，并且到原点的距离相等．6．|﹣|的相反数是（ ）A ．﹣B ．C ．﹣ 2D ．2【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答． 【解答】解：|﹣|= ， 的相反数为﹣， 故选：A ．【点评】本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键．7．设 y =|x ﹣1|+|x +1|，则下面四个结论中正确的是（ ）A ．y 没有最小值B ．只有一个 x 使 y 取最小值C ．有限个 x （不止一个）y 取最小值D ．有无穷多个 x 使 y 取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论 x 的取值范围，再判断 y 的最值问题．【解答】解：方法一：由题意得：当 x ＜﹣1 时，y=﹣x +1﹣1﹣x=﹣2x ； 当﹣1≤x ≤1 时，y=﹣x +1+1+x=2；当 x ＞1 时，y=x ﹣1+1+x=2x ； 故由上得当﹣1≤x ≤1 时，y 有最小值为 2； 故选 D ．方法二：由题意，y 表示数轴上一点 x ，到﹣1，1 的距离和，这个距离和的最小 值为 2，此时 x 的范围为﹣1≤x ≤1， 故选 D ．【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的 取值分情况讨论．8．已知 a，b是有理数，|a b |A ． B ．C ．D ．【分析】根据题中的两个等式，分别得到 a 与 b 异号，a 为负数，b 为正数， 且 a 的绝对值大于 b 的绝对值，采用特值法即可得到满足题意的图形． 【解答】解：∵|a b |=﹣a b ∴|a |＞|b |，且 a ＜0 在原点左侧，b ＞0 在原点右侧， 得到满足题意的图形为选项 C ． 故选 C ． 【点评】此题考查了绝对值的代数意义、几何意义，及异号两数的加法法则．其 中绝对值的代数意义为：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0 的绝对值还是0．几何意义为：|a|表示在数轴上表示a的点到原点的距离．此类题目比较简单，可根据题中已知的条件利用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．（2016•娄底）已知点M、N、P、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（）A．M B．N C．P D．Q【分析】根据各点到原点的距离进行判断即可．【解答】解：∵点Q到原点的距离最远，∴点Q的绝对值最大．故选：D．【点评】本题主要考查的是绝对值的定义，掌握绝对值的定义是解题的关键．10．a，b 在数轴上的位置如图，化简|a+b|的结果是（）A．﹣a﹣b B．a+bC．a﹣b D．b﹣a【分析】根据数轴判断出a、b 的正负情况，然后根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：由图形可知，a＜0，b＜0，所以a+b＜0，所以|a+b|=﹣a﹣b．故选：A．【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质，熟记数轴的概念并准确判断出a、b的正负情况是解题的关键．二．填空题（共10 小题）11．1的绝对值是1．【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．【解答】解：1的绝对值是1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．12．﹣2017 的绝对值是2017 ．【分析】根据绝对值的定义可得﹣2017 的绝对值是表示﹣2017 这个数的点到原点的距离，进而可得是2017．【解答】解：﹣2017 的绝对值是2017，故答案为：2017．【点评】此题主要考查了绝对值的定义，关键是掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．13．若|2+a|+|3﹣b|=0，则a b= ﹣6 ．【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b 的值，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由|2+a|+|3﹣b|=0，得a+2=0，3﹣b=0．解得a=﹣2，b=3．则a b=﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．14．若|x+y|+|y﹣3|=0，则x﹣y 的值为﹣6 ．【分析】依据非负数的性质求得x、y 的值，然后再代入计算即可．【解答】解：|x+y|+|y﹣3|=0，∴x+y=0，y﹣3=0，解得y=3，x=﹣3．∴x﹣y=﹣3﹣3=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查的是绝对值的定义，依据非负数的性质求得x、y 的值是解题的关键．15．已知整数x1，x2，x3，x4，…满足下列条件，x1=0，x2=﹣|x1+1|，x3=﹣|x2+2|，x4=﹣|x3+3|，x5=﹣|x4+4|，依此类推，则x2017 的值为﹣1008 ．【分析】先依据求得x2，x3，x4 的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可．【解答】解：∵x1=0，x2=﹣|x1+1|，x2=﹣1．同理：x3=﹣1；x4=﹣2，x5=﹣2，x6=﹣3，x7=﹣3…∴（2017﹣1）÷2=1008．∴x2017=﹣1008．【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，找出其中的规律是解题的关键．16．如果|2x+5|=3，则x= ﹣4 或﹣1 ．【分析】直接利用绝对值的性质得出关于x等式进而得出答案．【解答】解：∵|2x+5|=3，∴2x+5=±3，解得：x=﹣4 或﹣1．故答案为：﹣4 或﹣1．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确得出关于x的等式是解题关键．17．如果m，n 互为相反数，那么|m+n﹣2017|= 2017 ．【分析】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2017|，【解答】解：∵m，n 互为相反数，∴m+n=0，∴|m+n﹣2017|=|﹣2017|=2017；故答案为2017．【点评】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．18．当a=1 时，|a﹣3|的值为 2 ．【分析】直接将a的值代入化简求出答案．【解答】解：当a=1 时，|a﹣3|=|1﹣3|=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．19．已知m，n 互为相反数，则3+m+n= 3 ．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0 可得m+n=0，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵m，n 互为相反数，∴m+n=0，∴3+m+n=3+0=3．故答案为：3．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记互为相反数的两个数的和等于0是解题的关键．20．若|a﹣2|+|b+3|=0，则a﹣b 的值为 5 ．【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a、b 的值，代入计算即可．【解答】解：由题意得，a﹣2=0，b+3=0，解得，a=2，b=﹣3，则a﹣b=5，故答案为：5．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．三．解答题（共11 小题）21．结合数轴与绝对值的知识解答下列问题：（1）数轴上表示 3 和 2 两点间的距离是 1 ；表示﹣3 和 2 两点间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数 m 和 n 两点间的距离= |m ﹣n | ；（2）如果在数轴上表示数 a 的点与﹣2 的距离是 3，那么 a = ﹣5 或 1 ；（3）如果数轴上表示数 a 的点位于﹣4 和 2 之间，求|a +4|+|a ﹣2|的值；（4）当 a 取何值时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|的值最小，最小值为多少？请说明 理由；（5）直接回答：当式子|a +9|+|a +1|+|a ﹣5|+|a ﹣7|取最小值时，相应的 a取值范围是什么？最小值是多少？【（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据两点间的距离公式可得|a +2|=3，解方程可得答案；（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；（4）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案．【解答（1）数轴上表示 3 和 2 两点间的距离是 3﹣2=1；表示﹣3 和 2 两点间的距离是 2﹣（﹣3）=5；一般地，数轴上表示数 m 和 n 两点间的距离=|m ﹣n |； （2）依题意有|a +2|=3，解得 a =﹣5 或 1；（3）∵数轴上表示数 a 的点位于﹣4 和 2 之间，∴|a +4|+|a ﹣2|=a +4﹣a +2=6；（4）因为|a +5|+|a ﹣4|最小值为 4﹣（﹣5）=9，|a ﹣1|是非负数 所以当 a =1 时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|=6+0+3=9；（5）|a+9|+|a+1|+|a﹣5|+|a﹣7|取最小值时，相应的a取值范围是﹣1≤x≤5，最小值是a+9+a+1﹣a+5﹣a+7=22．故答案为：1，5，|m﹣n|；﹣5 或1．【点评】本题考查了绝对值，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．22．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B 在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B 两点间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B 表示的数为x、﹣1，①A、B 之间的距离可用含x的式子表示为|x+1| ；②若该两点之间的距离为2，那么x值为﹣3 或1．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3 ，此时x的取值是﹣1≤x≤2 ；（3）已知（|x+1|+|x﹣（|y﹣3|+|y+2|）=15，求x﹣2y 的最大值 6 和最小值﹣7 ．【（1）①根据题目已知中的A、B 两点间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．即可解答；②使①中的式子等于2，解出即可；（2）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤2 时，|x+1|+|x﹣2|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x 的取值；（3）由于（|x+1|+|x≤y≤3，依此得到x﹣2y 的最大值和最小值．【解答（1）①A、B 之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|；②依题意有|x +1|=2，x +1=﹣2 或 x +1=2， 解得 x =﹣3 或 x =1．故 x 值为﹣3 或 1．（2）|x +1|+|x ﹣2|的最小值为 3，此时 x 的取值是﹣1≤x ≤2；（3）∵（|x +1|+|x ﹣（|y ﹣3|+|y +2|）=15， ∴﹣1≤x ≤2，﹣2≤y ≤3， ∴x ﹣2y 的最大值为2﹣2×（﹣2）=6，最小值为﹣1﹣2×3=﹣7． 故x ﹣2y 的最大值 6，最小值﹣7． 故答案为：|x +1|；﹣3 或 1；3，﹣1≤x ≤2；6，﹣7． 【点评】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上 有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种 相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A ﹣B |表示的几何意义就 是在数轴上表示数 A 与数 B 的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是23．阅读下面的材料，然后回答问题． 点 A ，B 在数轴上分别表示实数 a ，b ，A ，B 两点之间的距离用|AB |表示．当 A ， B 两 点 中 有 一 点 在 原 点 时 ， 不 妨 设 点 A 在 原 点 ， 如 图 1 所 示 ， |AB |=|OB |=|b |=|a ﹣b |．当 A ，B 两点都不在原点时， ①如图 2 所示，点 A ，B 都在原点的右边，|AB |=|OB |﹣|OA |=|b |﹣|a |=b ﹣a=|a ﹣b |； ②如图 3 所示，点 A ，B 都在原点的左边，|AB |=|OB |﹣|OA |=|b |﹣|a |=﹣b ﹣（﹣a ）=|a ﹣b |； ③如图 4 所示，点 A ，B 分别在原点的两边，|AB |=|OA |+|OB |=|a |+|b |=a + （﹣b ）=|a ﹣b |． 综上可知，数轴上任意两点 A ，B 之间的距离可表示为：|AB |=|a ﹣b |．（1）数轴上表示﹣2 和﹣5 两点之间的距离是 3 ，数轴上表示 2 和﹣5 两点 之间的距离是 7 ．（2）数轴上表示x和2两点A和B之间的距离是|x﹣2| ；如果|AB|=3，那么x=5 或﹣1 ．（3）当代数式|x+2|+|x﹣3|取最小值时，x 的取值范围是﹣2≤x≤3 ．【1）依据两点间的距离公式计算即可；（2）依据两点间的距离公式以及绝对值的定义回答即可；（3）|x+2|+|x﹣3|表示数轴上表示数字x的点到3与﹣2 的距离之和．【解答1）﹣2 和﹣5 两点之间的距离=|﹣2﹣（﹣5）|=3；2 和﹣5 两点之间的距离=|﹣5﹣2|=|﹣7|=7；（2）x 和2两点A和B之间的距离=|x﹣2|，|x﹣2|=3，则x﹣2=3 或x﹣2=﹣3．解得：x=5 或x=﹣1．（3）|x+2|+|x﹣3|表示数轴上表示数字x的点到3与﹣2 的距离之和，∴当﹣2≤x≤3 时，|x+2|+|x﹣3|有最小值．故答（1）3（2）|x﹣2|；5【点评】本题主要考查的是数轴、绝对值，掌握绝对值的几何意义是解题的关键．24．阅读：已知点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B 两点之间的距离表示为|AB|=|a ﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3 的两点之间的距离是 5 ；（2）数轴上表示x和﹣5 的两点A和B之间的距离是|x+5| ；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤ 1 ；最小值是 4 ．应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16 辆，8 辆，4 辆，12 辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．【分析】根据题意，可以求得第（3）的答案，根据应用的题意，可以画出五种调配方案，从而可以解答本题．【解答（1）2 和﹣3 的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|=5，故答案为：5．（2）A 和B之间的距离是|x﹣（﹣5）|=|x+5|，故答案为：|x+5|．（3）代数式|x﹣1|+|x+3|表示在数轴上到1 和﹣3 两点的距离的和，当x在﹣3 和1之间时，代数式取得最小值，最小值是﹣3 和1 之间的距离|1﹣（﹣3）|=4．故当﹣3≤x≤1 时，代数式取得最小值，最小值是4．故答案为：﹣3≤x≤1，4．应用：根据题意，共有5种调配方案，如下图所示：由上可知，调出的最小车辆数为：4+2+6=12 辆．【点评】本题考查数轴、绝对值的相关知识，解题的关键是明确题意，能够画出相应的图形．25．同学们，我们在《有理数》中学过：数轴上表示数a的点与原点的距离记作|a|．一般地，|a﹣b|表示数轴上数a的点与数b的点的距离．（1）|x﹣1|表示数轴表示数x的点与表示数1的点的距离；（2）数轴上是否存在数x，使|x﹣1|+2|x﹣2|+|x﹣4|的值最小？若存在，请求出最小值及 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）若|x ﹣1|+2|x ﹣2|的值为 8，求 x 的值．【（1）由|a ﹣b |表示数轴上数 a 的点与数 b 的点的距离可知|x ﹣1|表示 数轴上表示 x 的点与数 1 的点的距离； （2）当 x =2 时，|x ﹣1|+2|x ﹣2|+|x ﹣4|可转化为数轴上表示 2 的点到 1 和 4的距离之和；（3）可分为 x ≤1，1＜x ≤2，x ＞2 三种情况进行化简计算．【解答（1）|x ﹣1|表示数轴表示数 x 的点与表示数 1 的点的距离； 故答案为：数轴表示数 x 的点与表示数 1 的点的距离． （2）当 x =2 时，|x ﹣1|+2|x ﹣2|+|x ﹣4|可转化为数轴上表示 2 的点到 1 和 4的距离之和，∴当 x =2 时，|x ﹣1|+2|x ﹣2|+|x ﹣4|的最小值为 3；（3）当 x ≤1 时，1﹣x +2（2﹣x ）=8．解得：x=﹣1．当 1＜x ≤2 时，x ﹣1+2（2﹣x ）=8，解得：x=﹣5（不合．当 x ＞2 时，x ﹣1+2（x ﹣2）=8，解得：x= ． 综上所述，x 的值为﹣1 或【点评】本题主要考查的是绝对值、数轴、解含绝对值的方程，分类讨论是解题 的关键．26．阅读下列材料： 我们知道|x |的几何例 1：解方程|x |=2，容易看出，在数轴上与原点距离为 2 点的对应数为 2 或﹣2， 即该方程的解为 x=2 或 x =﹣2例2：解不等式|x ﹣1|＞2，如图 1，在数轴上找出|x ﹣1|=2 的解，即到 1 的距初中-数学-打印版初中-数学-打印版离为 2 的点对应的数为﹣1 和 3，则|x ﹣1|＞2 的解集为 x ＜﹣1 或 x ＞3．例 3：解方程|x ﹣1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上 与 1 和﹣2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值在数轴上，1 和﹣2 的距离为 3， 满足方程的 x 对应点在 1的右边或﹣2 的左边，若 x 对应点在 1 的右边，由图 2 可以看出 x =2．同理，若 x 对应点在﹣2 的左边，可得 x =﹣3，故原方程的解是 x=2 或 x =﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +3|=4 的解为 x=1 或 x =﹣7 ．（2）不等式|x ﹣3|+|x +4|≥9 的解集为x ≥4 或 x ≤﹣5 ． 【（1）根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点 的距离的问题，即可求解； （2）不等式|x ﹣3|+|x +4|≥9 表示到 3 与﹣4 两点距离的和，大于或等于 9 个 单位长度的点所表示的数．【解答（1）方程|x +3|=4 的解就是在数轴上到﹣3 这一点，距离是 4 个单 位长度的点所表示的数，是 1 和﹣7． 故解是 x =1 或 x =﹣7；（2）由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与 3 和﹣4 的距离之和为 大于或等于 9 的点对应的 x 的值．在数轴上，即可求得：x ≥4 或 x ≤﹣5．故答（1）x =1或x=（2）x ≥4 或 x ≤﹣5．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，就是表示距离，正确理解题中叙述的题 目的意义是解决本题的关键． 27．已知点 A 在数轴上对应的数是 a ，点 B 在数轴上对应的数是 b ，且|a +4|+（b ﹣1）2=0．现将 A 、B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |=|a ﹣b |．（1）|AB |= 5 ；初中-数学-打印版（2）设点 P 在数轴上对应的数是 x ，当|PA |﹣|PB |=2 时，直接写出 x 的值；（3）设点 P 在数轴上对应的数是 x ，当|PA |+|PB |=7 时，直接写出 x 的值．【（1）由|a +4|+（b ﹣1）2=0 得出 a =﹣4，b=1，结合定义|AB |=|a ﹣ b |，即可得出结论； （2）若 x ﹣1 与 x +4 同号，则|PA |﹣|PB |=±|AB |=±5，故能得出 x +4＞0，x﹣1＜0，去绝对值符号，解出方程即可；（3）若 x ﹣1 与 x +4 异号，则|PA |+|PB |=|AB |=5，再分别按照当 x ﹣1＞0 时 和当 x +4＜0 时讨论，即可得出结论．【解答（1）∵|a +4|+（b ﹣1）2=0， ∴a +4=0，b ﹣1=0，即 a =﹣4，b=1．|AB |=|a ﹣b |=|﹣4﹣1|=5．故答案为：5．（2）|PA |﹣|PB |=|x ﹣（﹣4）|﹣|x ﹣1|=|x +4|﹣|x ﹣1|=2，∵若 x ﹣1 与 x +4 同号，则|PA |﹣|PB |=±|AB |=±5，∴x +4＞0，x ﹣1＜0，|PA |﹣|PB |=x +4﹣（1﹣x ）=3﹣2x=2， 解得 x =．（3）|PA |+|PB |=|x ﹣（﹣4）|+|x ﹣1|=|x +4|+|x ﹣1|=7，∵若 x ﹣1 与 x +4 异号，则|PA |+|PB |=|AB |=5，∴x ﹣1 与 x +4 同号．①当 x ﹣1＞0 时，|PA |+|PB |=x +4+（x ﹣1）=2x +3=7， 解得 x =2；②当 x +4＜0 时，|PA |+|PB |=﹣（x +4）﹣（x ﹣1）=﹣2x ﹣3=7，解得 x =﹣5．综①②得，当|PA |+|PB |=7 时，x 的值为 2 或﹣5．【点评】本题考查了绝对值以及数轴，解题的关（1）由|a +4|+（b ﹣1） 2=0 得出a =﹣4，b （2）由“若 x ﹣1 与 x +4 同号，则|PA |﹣|PB |=±|AB |=±5”得出 x+4x﹣1由“初中-数学-打印版28．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3 和 2 两点之间的距 离是 5 ；一般地，数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于|m ﹣n |．如 果表示数 a 和﹣2 的两点之间的距离是 3，那么 a = ﹣5 或 1（2）若数 a 表示数轴上的整数点，当 a 取何值时，|a +1|+|a ﹣2|的值最小， 最小为多少？【（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据|a +1|+|a ﹣2|表示数 a 的点到﹣1 与 2 两点的距离的和即可求解．【解答（1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是 4﹣1=3； 表示﹣3 和 2 两点之间的距离是 2﹣（﹣3）=5； 如果表示数 a 和﹣2 的两点之间的距离是 3，那么 a =1 或﹣5；（2）若数轴上表示数 a 的点位于﹣1 与 2 之间，|a +1|+|a ﹣2|=（a +1）+（2﹣a ）=3．故答案为 3，5，﹣5 或 1．【点评】本题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相 应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用．29．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示 4 与﹣2 的差的绝对值，实际上也可理解 为 4 与﹣2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x ﹣3|也可理解为 x 与 3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|= 6 ．（2）若|x ﹣2|=5，则 x = ﹣3 或 7（3）同理|x ﹣4|+|x +2|=6 表示数轴上有理数 x 所对应的点到 4 和﹣2 所对应的 两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数 x ，使得|x ﹣4|+|x +2|=6，这样的 整数是 ﹣2、﹣1、0、1、2、3、4 ．【（1）根据 4 与﹣2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是 6，可得|4 ﹣（﹣2）|=6．初中-数学-打印版 （2）根据|x ﹣2|=5 表示 x 与 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是 5，可 得 x =﹣3 或 7．（3）因为 4 与﹣2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是 6，所以使得|x ﹣ 4|+|x +2|=6 成立的整数是﹣2 和4 之间的所有整数（包括﹣2 和，据此求出 这样的整数有哪些即可． 【解答（1）∵4 与﹣2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是 6， ∴|4﹣（﹣2）|=6．（2）|x ﹣2|=5 表示x 与 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是 5， ∵﹣3 或7 与 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是 5， ∴若|x ﹣2|=5，则x =﹣3 或 7．（3）∵4 与﹣2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是 6， ∴使得|x ﹣4|+|x +2|=6 成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4． 故答案为：6；﹣3 或 7；﹣2、﹣1、0、1、2、3、4． 【（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关 键是要明确：①当 a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身 a ；②当 a 是负有理 数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a ；③当 a 是零时，a 的绝对值是零． （2）解答此题的关键是要明确：|x ﹣a |既可以理解为 x 与 a 的差的绝对值，也 可理解为 x 与 a 两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 30．点 A 、B 在数轴上分别表示有理数 a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为 A B ， 在数轴上 A 、B 两点之间的距离 A B=|a ﹣b |．请用上面的知识解答下面的问题： （1）数轴上表示 1 和 5 的两点之间的距离是 4 ，数轴上表示﹣2 和﹣4 的两 点之间的距离是 2 ，数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是 4 ； （2）数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离是 |x +1| ，如果|AB |=2，初中-数学-打印版那么 x 为 1 或﹣3 ；（3）|x +1|+|x ﹣2|取最小值是 3 ．【（1）依据数轴上 A 、B 两点之间的距离 A B=|a ﹣b |进行计算即可； （2）数轴上 A 、B 两点之间的距离 A B=|a ﹣b |列出方程求解即可；（3）|x +1|+|x ﹣2|取最小值表示数轴上某点到﹣1 和 2 的距离之和，从而可求 得最小值．【解答（1）数轴上表示 1 和 5 的两点之间的距离是=|5﹣1|=4； 数轴上表示﹣2 和﹣4 的两点之间的距离=|﹣2﹣（﹣4）|=2； 数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是=|﹣3﹣1|=4； 故答案为：4；2；4；（2）数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离=|x ﹣（﹣1）|=|x +1|；∵|AB |=2，∴x +1=±2．解得：x=1 或 x =﹣3．故答案为：|x +1|；1 或﹣3；（3）|x +1|+|x ﹣2|表示数轴上某点到﹣1 和 2 的距离之和．∴当﹣1≤x ≤2 时，|x +1|+|x ﹣2|有最小值，最小值为 3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是绝对值、数轴的认识，理解绝对值的几何意义是解题 的关键．31．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m |= ．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m +1|+|m ﹣2|时，可令 m +1=0 和 m ﹣2=0，分别求得 m=﹣1，m=2（称﹣1，2（1）m＜（（1）当 m ＜﹣1 时，原式=﹣（m +1）﹣（m ﹣2）=﹣2m +1；（2）当﹣1≤m ＜2 时，原式=m +1﹣（m ﹣2）=3；。
绝对值与相反数 第1课时教学目标1.理解有理数的绝对值的意义，会求已知数的绝对值；2. 理解有理数的相反数的概念，会求已知数的相反数；3.渗透数形结合等思想方法，培养学生的概括能力．教学重难点【教学重点】绝对值和相反数概念的理解应用、观察分析问题和语言表达能力的培养. 【教学难点】应用绝对值的知识解决问题能力的形成.课前准备课件.教学过程情境创设导入小明的家在学校西边3km 处，小丽的家在学校东边2km 处，我们可以用数轴来表示小明、小丽两家和学校的位置分别在A.B 两处. 学生思考：1.A.B 两点离原点的距离各是多少？2.A.B 两点离原点的距离与它们表示的数是正数还是负数有没有关系？3.在数轴上分别描出下列数所对应的点，并指出它们到-2 -1 21 0A-3 B自学指导：阅读书本第23页.完成下面的尝试练习尝试练习：如图，你能说出数轴上A.B.C.D.E各点所表示的数的绝对值问题串：（1）点A表示的数是多少？（2）它到原点的距离是多少？（3）点A表示的数的绝对值是多少？以此类推…特别注意：0的绝对值│0│=？总结：从上面的问题中你能找到求一个数的绝对值的方法吗？（1）先画出数轴，在数轴上找出需要的点；（2）观察这个点与原点的距离，这个距离就是我们要求的绝对值.例1、求4、-3.5的绝对值.解：在数轴上分别画出表示4、-3.5的点A.点BA 点与原点的距离是4， 所以4的绝对值是4， | 4|= 4B 与原点的距离是 3.５， -3.5的绝对值是 3.5， | -3.5|=3.5活动一：请一位同学随便报一个数，并说出它的绝对值，然后点名叫另一位同学说出它的意义.例2、比较-3与-6的绝对值的大小解：在数轴上分别画出表示-3、-6的点A.点B因为∣-3 ∣=3， ∣ -6∣=6，并且3<6，所以∣-3∣ <∣ -6∣，即-3的绝对值小于-6的绝对值. 例3 求3，-4.5，0的相反数.表示一个数的相反数，在这个数前面添一个“-”号，就可以表示这个数的相反数了，比如-5的相反数可以表示为-(-5).（投影教材第23页的“议一议”）大家独立思考第161243-3 65-1-2 -4 -5 -6 3AB。
2.4 绝对值与相反数班级____________姓名___________成绩_________一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 2019的相反数是()A.−2019B.12019C.2019D.−120192. 下列说法中：①有理数的绝对值一定是正数；②互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；③若|a|=|b|，则a与b互为相反数；④绝对值等于本身的数是0；⑤任何一个数都有它的相反数．其中正确的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个3. 13的相反数的绝对值是（）A.1 3B.3C.−3D.−134. 下面的说法中，正确的个数是（）①若a+b=0，则|a|=|b|②若|a|=a，则a>0③若|a|=|b|，则a=b④若a为有理数，则|a|=|−a|A.1个B.2个C.3个D.4个5. 已知|a+3|+|b−1|=0，则a+b的值是（）A.−4B.4C.2D.−26. 若a与2互为相反数，则|a−2|等于（）A.0B.−2C.−4D.47. 下列四组数中，相等一组是（）A.+(+3)和+(−3)B.+(−5)和−5C.−(+4)和−(−4)D.+(−1)和|−1|8. 已知a，b，c都不为0，则|a|a +|b|b+|c|c所有可能的值的个数是( )A.2B.3C.4D.59. 代数式|x−1|+|x+2|+|x−3|的最小值为（）A.2B.3C.5D.610. 下列判断错误的是（）A.一个正数的绝对值一定是正数B.一个负数的绝对值一定是正数C.任何数的绝对值一定是正数D.任何数的绝对值都不是负数二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 3|x−12|+5有最________值．12. 已知|a+4|和|b−3|互为相反数，那么a+b=________．13. −123的相反数是________．14. 若|x+7|+|y+8|=0，则x+y=________．15. 绝对值小于5而不小于2的所有整数有________．16. 若a<0，则化简a+|a|的结果为________.17. −(−2)=________，________与−[−(−8)]互为相反数．18. 已知a，b都是有理数，且|a−1|+|b−2|=0，则a−b的值为________．19. 含x的式子|x−2|+3的最小值是________.20. 若a、b互为相反数，且a>b，两数相距4个单位，则a=________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 化简：(1)−(−5)；(2)−(+7)；(3)−[−(+23)]．22. 化简：（1）−{+[−(+3)]}；（2）−{−[−(−|−3|)}．23. 试讨论：x为有理数，|x−1|+|x−3|有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由．24. 若|x+12y−3|与|2x−4y−144|互为相反数，计算10x+5yx−2y的值．25. 如果|a|=5，|b|=5，且|a+b|=−(a+b)，求a−b的值．26. (1)已知|a+1|+|b−2|=0，求a+b的值；(2)已知|a|=13,|b|=3且a<b，求a−b值.。
2.4绝对值与相反数【学习目标】1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．【要点梳理】要点一、相反数1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．要点三、绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点四、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0要点诠释：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1） 分别计算两数的绝对值； （2）比较绝对值的大小： （3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立． 4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反． 5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【典型例题】类型一、相反数的概念 例1．的相反数是（ ）A ．2016B ．﹣2016C ．D ．类型二、多重符号的化简 例2．化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}；（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}．类型三、绝对值的概念 例3．求下列各数的绝对值．112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭类型四、比较大小例4．比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12-；（4）1--______0.1--类型五、绝对值非负性的应用例5.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【基础巩固】1．－6的绝对值是( )A．6 B．－6 C．＋16D．－162．在数轴上表示－2的点离原点的距离等于( )A．2 B．－2 C．±2 D．43．已知在数轴上，0为原点，A、B两点的坐标分别为a、b，利用下列A、B、0三点在数轴上的位置关系，判断哪一个选项中的a<b? ( )4．－3 ＝( )A．－3 B．－13C．13D．35．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是( )6．下列各数中，相反数等于5的数是( )A．－5 B．5 C．－15D．157．－(－2)的相反数是( )A．2 B．12C．－12D．－28．下列叙述不正确的是( )A．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数B．－个正数和一个负数互为相反数C．互为相反数的两个数有可能相等D．数轴上与原点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数9．如果a＋b＝0，那么有理数a、b的取值一定是( )A．都是0 B．至少有一个是0 C．a为正数，b为负数D．互为相反数10．下列各对数中，互为相反数的有( )①(－1)与＋1；②＋(＋1)与－1；③－(－2)与＋(－2)；④－(－12)与＋(＋12)；⑤＋[－(＋1)]与－[＋(－1)]；⑥－(＋2)与－(－2)；A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对 11．如果a 与1互为相反数，则a 等于 ( )A ．2B ．2C ．1D ．－1 12．3.14π-的值为 ( )A ．0B ．3.14－πC ．π－3.14D ．0.14 13．下列说法错误的是 ( )A ．一个正数的绝对值一定是正数B ．任何数的绝对值都是正数C ．一个负数的绝对值一定是正数D ．任何数的绝对值都不是负数 14．比较－12，－13，14的大小，结果正确的 ( )A ．－12<－13<14B ．－12<14<－13C ．14<－13<－12D ．－13<－12<14【拓展提优】15．下列哪些数是正数？－2，13+，3-，0，－2+，()2--，－2-16．比较下列各对数的大小：(1)56-和67-； (2)227-和－3.13；(3)5--与0；(4)15⎛⎫-- ⎪⎝⎭与16--．17．如果a＝4，b＝3，则比较a与b的大小会有哪些结果，请你都写出来．18．先比较下列各式的大小，再回答问题．(1)35_______35-++-+；(2)1111_______2424-+---；(3)03_______03+--．(4)通过上面的比较，请你归纳出当a，b为有理数时，a＋b与a b+的大小关系．19．已知A、B两点在数轴上分别表示互为相反数的两个数a，b(a<b)，并且A、B两点之间的距离是6，求出a、b两数．20．在数轴上点A表示5，点B、C表示互为相反数的两个数，且C与A间的距离为2，求点B、C对应的数是什么？21．一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向右平移了5个单位后是点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，那么数a是几？22.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：a b c-+--．课后练习1．在数轴上离原点距离是3的数是________．2．绝对值等于本身的数是________，绝对值小于2的整数是________．3．数轴上与表示1个点的距离是2的点所表示的数有________．4．＋6的符号是________，绝对值是________，56-的符号是_______，绝对值是_______．5．计算：2 3.6 1.6-+--=_______．6．绝对值等于10的数是________．7．下列说法中，错误的是( )A．＋5的绝对值等于5B．绝对值等于5的数是5C．－5的绝对值是5D．＋5、－5的绝对值相等8．绝对值最小的有理数是( )A．1 B．0C．－1 D．不存在9．绝对值等于本身的数有( )A．1个B．2个C．4个D．无数个10．绝对值小于3的负数有( )A．2个B．3个C．4个D．无数个11．化简3--等于( )A．－3 B．－13C．13D．312．求下列数的绝对值，并用“<”号把这些绝对值连接起来．－1.5，－3.5，2，1.5，－2. 75．13．如果a＝－a，那么( )A．a>0 B．a<0C．a≥0D．a≤0 14．在数轴上表示－2的点离原点的距离等于( ) A．2 B．－2C．±2 D．415．下列各式中，正确的是( )A．若a＝b，则a＝b B．若a>b，则a>bC．若a<b，则a<b D．若a＝b，则a＝b或a=-b 16．如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是( )A．a＋b>0 B．ab>0 C．a－b>0 D．－>017．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b的大小关系是_______．18．下列各数中，一定互为相反数的是( )A．－(－5)和－5-B．5-和5+C．－(－5)和5-D．a和a-19．若一个数大于它的相反数，则这个数是( )A．正数B．负数C．非负数D．非正数20．已知a＝5，b＝8，且a<b，则a＋b＝_______．21．比较下列各组数的大小：(1)78-与67-；(2)58-与711-．22．计算：(1)5 2.49-+-；(2)113168--；(3)3 6.2-⨯-；(4)21433-÷．23．若一个数的绝对值等于1，则这个数是__________．24．(1)若3x=，则x=_________；(2)若13x-=，则x=__________．25.请在数轴上画出表示3、－2、－3.5及它们相反数的点，并分别用A、B、C、D、E、F来表示．(1)把这6个数按从小到大的顺序用“<”号连接起来．(2)点C与原点之间的距离是多少？点A与点C之间的距离是多少？预习：2.5有理数的加法与减法1．(＋5)＋(＋7)＝_______；(－3)＋(－8)＝_______；(＋3)＋(－8)＝_______；(－3)＋(－15)＝_______；0＋(－5)＝________；(－7)＋(＋7)＝_______．2．一个数为－5，另一个数比它的相反数大4，这两个数的和为________．3．如果a ＝－2，b ＝－5，则a ＋b ＝_______，a ＋b ＝________．4．如图，数轴上A 、B 两点所表示的有理数的和是_______．5．下列各组数中，相等的一组是 ( )A ．＋2.5和－2.5B ．－(＋2.5)和－(－2.5)C ．－(－2.5)和＋(－2.5)D ．－(＋2.5)和＋(－2.5)6．下列各组运算：3455⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、6576⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、1303⎛⎫-+ ⎪⎝⎭、()31.254⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，其中结果符号为负的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．计算：(1) 214336⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)()28 4.53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(3)257336⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)77915-+-；。
苏科版七年级数学上册《2.4.1绝对值与相反数》说课稿一. 教材分析《2.4.1绝对值与相反数》这一节的内容，主要围绕着绝对值和相反数的概念，性质以及它们之间的关系展开。
教材通过例题和练习，使学生掌握绝对值和相反数的定义，并能运用它们解决一些实际问题。
这一节内容是初中的基础知识点，对于学生来说，理解并掌握这些概念和性质，对于后续的学习有着至关重要的作用。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们对数学已有一定的认识和基础，但是对一些抽象的概念的理解还需要通过具体的实例来引导。
在这个阶段，学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，因此，在教学过程中，需要通过丰富的教学手段，引导学生从具体实例中发现规律，理解概念。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，学生能理解绝对值和相反数的概念，掌握它们的性质，并能运用它们解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察，分析，归纳等方法，学生能自主探索绝对值和相反数的性质，培养他们的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：通过对绝对值和相反数的学习，学生能体会数学与生活的密切联系，增强他们对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：绝对值和相反数的概念，性质。
2.教学难点：绝对值和相反数性质的运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用引导发现法，实例分析法，小组合作法等教学方法。
通过这些方法，引导学生主动探索，合作交流，从而达到理解并掌握绝对值和相反数的目的。
同时，我还将利用多媒体教学手段，如PPT，数学软件等，以直观，生动的方式展示数学概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考绝对值和相反数的概念。
2.新课讲解：通过具体的实例，引导学生观察，分析，归纳出绝对值和相反数的性质。
3.例题讲解：通过一些典型的例题，让学生运用绝对值和相反数的性质解决问题。
4.练习巩固：让学生做一些相关的练习题，巩固他们对绝对值和相反数的理解和掌握。
相反数1．相反数(1)相反数的概念：只有正负号不同的两个数称互为相反数．如果两个数只有正负号不同，那么其中的一个数叫做另一个数的相反数．例如：2的相反数是－2,0.5是－0.5的相反数，＋100和－100互为相反数，0的相反数是0.这也是相反数的代数意义．(2)相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数．例如不能说4是相反数，也不能说－4是相反数，只能说4的相反数是－4，或者4与－4互为相反数．(3)相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点，在数轴上位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．这是表示互为相反数的两个点在数轴上的位置关系．(4)相反数的性质：由相反数的概念可知：正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数．稍加推理即得：相反数大于其本身的数是负数；相反数小于其本身的数是正数；相反数等于其本身的数是0.谈重点理解相反数的概念的方法从数与形的角度分别理解相反数的概念，可以相互补充、相互印证，加深理解．【例1】下面说法中正确的是( )．A．0没有相反数B．正数的相反数是负数C．－a的相反数是正数D．两个表示相反意义的数是相反数解析：A.任何数都有相反数，0的相反数是0；C.－a的相反数是a，但a不一定是正数；D.两个表示相反意义的数不一定是相反数，例如上升3米和上升－2米是表示相反意义的量，但3和－2不是相反数．答案：B2．求一个数的相反数和已知一个数的相反数求这个数(1)求一个数的相反数就是在这个数的前面添上或者去掉一个负号．我们把数a的相反数记作－a，于是3的相反数是－3，－3的相反数是3.(2)已知一个数的相反数求这个数就是在这个数的相反数的前面添上或者去掉一个负号．也就是说，在一个数前面加上一个“－”号或去掉一个“－”号，就变成原数的相反数；在一个数前面加上一个“＋”号或去掉一个“＋”号，还是原数．同理，一个式子的相反数表示：只需把式子括起来(看成一个整体)，在前面加“－”号即可．一般地，数a 的相反数是－a ，这就是说要表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号就可以了．这里的a 可以是正数、负数，也可以是0，还可以是一个式子．根据一个数的相反数也可以求出这个数本身．特别注意，求一个数的相反数时只能改变数的符号，不能改变数的大小．谈重点 求一个数的相反数的方法 求一个数的相反数和已知一个数的相反数求这个数方法是一样的，都是根据相反数的意义，改变符号即可．【例2】 (1)如果x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋18，那么－x ＝__________； (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－127的相反数是__________； (3)x －y 的相反数是__________．解析：(1)因为x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋18＝－18，所以－x ＝18；(2)因为－⎝ ⎛⎭⎪⎫－127＝127，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫－127的相反数是－127；(3)因为求一个数的相反数，只要在这个数的前面添一个“－”号即可，所以x －y 的相反数是－(x －y )．答案：18 －127－(x －y ) 解技巧 求含有多重符号数的相反数的方法 解题时应先化简数的符号，再根据相反数的定义加上或减去一个“－”号即可．3．多重符号的化简相反数的意义是简化多重符号的依据．多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的．如果一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号一起去掉，即结果为正；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只剩一个“－”号，即结果为负．可简写为“奇负偶正”．例如：－[－(－3.5)]＝－3.5.由此得到：(1)＋(＋a )表示＋a 本身，＋(＋a )＝＋a ；(2)＋(－a )表示－a 本身，＋(－a )＝－a ；(3)－(＋a )表示＋a 的相反数，－(＋a )＝－a ；(4)－(－a )表示－a 的相反数，－(－a )＝a .由此可见，化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“＋”号，一般省略不写．析规律 多重符号化简的规律 多重符号化简时，只数负号的个数，不用理会正号．如果负号的个数是奇数个，则化简结果是负数；如果负号的个数是偶数个，则化简结果是正数．【例3－1】 下列各对数中，是互为相反数的一组是( )．A ．＋(－2)与－(＋2)B ．－[－(＋9)]与－[＋(－9)]C ．＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23与－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D ．－(－0.2)与－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋15 解析：对于复杂形式的数，要先化简才能进行观察，从而做出判断．因为＋(－2)＝－2，－(＋2)＝－2；－[－(＋9)]＝9，－[＋(－9)]＝9，知A ，B 都不是；又＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23，－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32，数值不同也不是；而－(－0.2)＝0.2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋15＝－15＝－0.2，所以0.2与－15是互为相反数．答案：D【例3－2】 化简下列各数的符号．(1)－[－(－5)]；(2)－{＋[－(＋2)]}．分析：多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的．如果一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号一起去掉，即结果为正；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只剩一个“－”号，即结果为负．－[－(－5)]中有奇数个负号，故结果为负；－{＋[－(＋2)]}中有偶数个负号，故结果为正．解：(1)－[－(－5)]＝－5；(2)－{＋[－(＋2)]}＝－[＋(－2)]＝2.4．判断－a 的符号要判断－a 的符号，需知道a 的符号．正数和负数能够表示两个具有相反意义的量．但需注意的是带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数，尤其是字母表示的数．例如：－a 一定是负数吗？答案是不一定．因为字母a 可以表示任意的数，当a 表示正数时，－a 是负数；当a 表示0时，－a 就是在0的前面加一个负号，仍是0；当a 表示负数时，－a 就不是负数了，它是一个正数．相反数的几何意义和代数意义相辅相成，互相印证，要灵活掌握，方可在解题中得心应手．借助数轴解决相反数问题在数轴上表示一个数的相反数，可以很直观地确定这个数以及它的相反数的符号，比较数的大小就顺理成章了．【例4－1】如图，a与b是数轴上的两个数，则－a__________－b.解析：首先根据相反数的几何意义——表示相反数的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等，在图中作出－a与－b(如图)，然后利用数轴上右边的数总大于左边的数，从而比较大小．答案：＞【例4－2】若a＜b＜0，比较a，b，－a，－b的大小．(用“＜”连接)分析：可以借助数轴确定a，b以及它们的相反数的位置，从而根据数轴上的位置来确定它们的大小．解：如图所示，把a，b，－a，－b的大致位置在数轴上表示出来，所以，a＜b＜－b＜－a.。
2.4 绝对值与相反数一．选择题（共8小题）1．﹣的相反数是（）A．2019B．﹣C．﹣2019D．2．﹣2的绝对值为（）A．﹣B．C．﹣2D．23．计算|﹣3|的结果是（）A．3B．C．﹣3D．±34．下列各数与﹣（﹣2019）相等的是（）A．﹣2019B．2019C．﹣|﹣2019|D．5．如果实数a满足|a|＝3，且a＜0，那么a的值为（）A．±3B．1C．3D．﹣36．已知数轴上的三点A、B、C，分别表示有理数a、1、﹣1，那么|a+1|表示为（）A．A、B两点间的距离B．A、C两点间的距离C．A、B两点到原点的距离之和D．A、C两点到原点的距离之和7．已知a＜0，ab＜0，化简|a﹣b﹣1|﹣|2+b﹣a|的结果是（）A．1B．3C．﹣1D．﹣38．|a﹣b|＝|a|+|b|成立的条件是（）A．ab＞0B．ab＞1C．ab≤0D．ab≤1二．填空题（共6小题）9．﹣16的相反数是．10．﹣的绝对值是．11．若1＜a＜2，化简|a﹣2|+|1﹣a|的结果是．12．π﹣3的绝对值是．13．一对相反数x，y满足2x﹣y＝6，则|y﹣x|＝．14．化简﹣（﹣）的结果是．三．解答题（共6小题）15．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1＝0和m﹣2＝0，分别求得m＝﹣1，m＝2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m＝﹣1和m＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式＝﹣（m+1）﹣（m﹣2）＝﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式＝m+1﹣（m﹣2）＝3；（3）当m≥2时，原式＝m+1+m﹣2＝2m﹣1．综上讨论，原式＝通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．16．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．17．当a≠0时，请解答下列问题：（1）求的值；（2）若b≠0，且，求的值．18．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．19．阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．20．【归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|，|﹣6|+|3|＞|﹣6+3||﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|，|0|+|﹣8|＝|0﹣8|归纳：|a|+|b||a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，求m的值．【延伸】（3）a、b、c满足什么条件时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|．答案与解析一．选择题（共8小题）1．﹣的相反数是（）A．2019B．﹣C．﹣2019D．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣的相反数是：．故选：D．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．﹣2的绝对值为（）A．﹣B．C．﹣2D．2【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：﹣2的绝对值为：2．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．3．计算|﹣3|的结果是（）A．3B．C．﹣3D．±3【分析】根据绝对值的性质进行计算．【解答】解：|﹣3|＝3．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．4．下列各数与﹣（﹣2019）相等的是（）A．﹣2019B．2019C．﹣|﹣2019|D．【分析】利用绝对值和相反数的定义解答即可．【解答】解：﹣（﹣2019）＝2019，A．﹣2019与2019不相等，故此选项不符合题意；B．2019与2019相等，故此选项符合题意；C．﹣|﹣2019|＝﹣2019，与2019不相等，故此选项不符合题意；D．﹣与2019不相等，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值和相反数的定义，理解定义是解答此题的关键．5．如果实数a满足|a|＝3，且a＜0，那么a的值为（）A．±3B．1C．3D．﹣3【分析】直接利用绝对值的性质得出a的值．【解答】解：∵|a|＝3，且a＜0，∴a＝﹣3．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．6．已知数轴上的三点A、B、C，分别表示有理数a、1、﹣1，那么|a+1|表示为（）A．A、B两点间的距离B．A、C两点间的距离C．A、B两点到原点的距离之和D．A、C两点到原点的距离之和【分析】首先把|a+1|化为|a﹣（﹣1）|，然后根据数轴上的三点A、B、C，分别表示有理数a、1、﹣1，判断出|a+1|表示为A、C两点间的距离即可．【解答】解：∵|a+1|＝|a﹣（﹣1）|，∴|a+1|表示为A、C两点间的距离．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．7．已知a＜0，ab＜0，化简|a﹣b﹣1|﹣|2+b﹣a|的结果是（）A．1B．3C．﹣1D．﹣3【分析】根据绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：由于a＜0，ab＜0，∴b＞0，∴a﹣b﹣1＜0，2+b﹣a＞0，∴原式＝﹣（a﹣b﹣1）﹣（2+b﹣a）＝﹣a+b+1﹣2﹣b+a＝﹣1故选：C．【点评】本题考查绝对值的性质，解题的关键是熟练运用绝对值的性质，本题属于基础题型．8．|a﹣b|＝|a|+|b|成立的条件是（）A．ab＞0B．ab＞1C．ab≤0D．ab≤1【分析】根据条件分析a与b的关系，进而求出正确答案．【解答】解：当a、b异号或a、b均为0时，|a﹣b|＝|a|+|b|成立，∴ab≤0，故选：C．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的关系是解答此题的关键．二．填空题（共6小题）9．﹣16的相反数是16．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：﹣16的相反数是16．故答案为：16【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．10．﹣的绝对值是．【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：﹣的绝对值是，故答案为：．【点评】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．11．若1＜a＜2，化简|a﹣2|+|1﹣a|的结果是1．【分析】判断a﹣2、1﹣a是正数还是负数，然后利用绝对值的概念进行化简即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴a﹣2＜0，1﹣a＜0，∴|a﹣2|+|1﹣a|＝﹣a+2﹣1+a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是根据得出a﹣2、1﹣a是正数还是负数．12．π﹣3的绝对值是π﹣3．【分析】根据正有理数的绝对值是它本身即可求解．【解答】解：π﹣3的绝对值是π﹣3．故答案为：π﹣3．【点评】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．13．一对相反数x，y满足2x﹣y＝6，则|y﹣x|＝4．【分析】根据相反数的性质得出x+y＝0，进而得出x，y的值，进而利用绝对值解答即可．【解答】解：根据题意可得：，解得：，所以|y﹣x|＝|﹣2﹣2|＝4，故答案为：4【点评】本题考查了相反数、绝对值的意义．根据相反数的性质得出x+y＝0是解决本题的关键．14．化简﹣（﹣）的结果是．【分析】根据相反数的定义作答．【解答】解：﹣（﹣）＝．故答案是：．【点评】考查了相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a 的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．三．解答题（共6小题）15．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1＝0和m﹣2＝0，分别求得m＝﹣1，m＝2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m＝﹣1和m＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式＝﹣（m+1）﹣（m﹣2）＝﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式＝m+1﹣（m﹣2）＝3；（3）当m≥2时，原式＝m+1+m﹣2＝2m﹣1．综上讨论，原式＝通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．【分析】（1）令x﹣5＝0，x﹣4＝0，解得x的值即可；（2）分为x＜4、4≤x≤5、x＞5三种情况化简即可；（3）根据（2）中的化简结果判断即可．【解答】（1）令x﹣5＝0，x﹣4＝0，解得：x＝5和x＝4，故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；（2）当x＜4时，原式＝5﹣x+4﹣x＝9﹣2x；当4≤x≤5时，原式＝5﹣x+x﹣4＝1；当x＞5时，原式＝x﹣5+x﹣4＝2x﹣9．综上讨论，原式＝．（3）当x＜4时，原式＝9﹣2x＞1；当4≤x≤5时，原式＝1；当x＞5时，原式＝2x﹣9＞1．故代数式的最小值是1．【点评】本题主要考查的是绝对值的化简，根据例题进行解答是解题的关键．16．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．④解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．【分析】①②直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．③根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．④根据题意分三种情况：当x≤﹣1时，当﹣1＜x≤2时，当x＞2时，分别求出方程的解即可．【解答】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|＝3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|＝4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．17．当a≠0时，请解答下列问题：（1）求的值；（2）若b≠0，且，求的值．【分析】（1）利用绝对值的代数意义化简即可求出值；（2）根据有理数的乘法法则和绝对值的代数意义化简即可求出值；【解答】解：（1）当a＞0时，＝1；当a＜0时，＝﹣1；（2）∵，∴a，b异号，当a＞0，b＜0时，＝﹣1；当a＜0，b＞0时，＝﹣1；【点评】此题考查了绝对值，利用绝对值的代数意义化简是解本题的关键．18．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝﹣5或1．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．【分析】（1）分别根据数轴填空即可；（2）根据绝对值的性质，|a+4|+|a﹣2|表示数a到﹣4和2的距离的和，然后解答即可．【解答】解：（1）3；5；﹣5和1；（2）|a+4|+|a﹣2|表示在﹣4与2之间的数到﹣4和2的距离的和，值为6．故答案为：3；5；﹣5和1．【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．19．阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【分析】（1）先由ab＞0，a+b＜0，判断a、b的正负，再求值；（2）对a、b、c的正负先进行讨论，然后再求值；（3）由a+b+c＝0，变形为﹣﹣+的形式，根据abc＜0分类讨论，计算出结果．【解答】解：（1）∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0∴＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）当a、b、c同正时，＝1+1+1＝3；当a、b、c两正一负时，＝1+1﹣1＝1；当a、b、c一正两负时，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；当a、b、c同负时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；（3）∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c∴＝+﹣＝﹣﹣+又∵abc＜0，∴当c＜0，a＞0，b＞0时，原式＝﹣﹣+＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；当c＞0，a或b为负时，原式＝﹣﹣+＝1﹣1+1＝1．【点评】本题考查了绝对值的意义、分式的商及有理数的运算等知识点．题目需要分类讨论，分类时注意不重不漏．20．【归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|，|﹣6|+|3|＞|﹣6+3||﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|，|0|+|﹣8|＝|0﹣8|归纳：|a|+|b|≥|a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，求m的值．【延伸】（3）a、b、c满足什么条件时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|．【分析】（1）根据提供的关系式得到规律即可；（2）根据（1）中的结论分当m为正数，n为负数时和当m为负数，n为正数时两种情况分类讨论即可确定答案；（3）分第一类：a、b、c三个数都不等于0、第二类：a、b、c三个数中有1个0、第三类：a、b、c三个数中有2个0、第四类：a、b、c三个数都为0，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，四种情况分类讨论即可确定正确的答案．【解答】解：（1）根据题意得：|a|+|b|≥|a+b|，故答案为：≥；（2）由上题结论可知，因为|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，|m|+|n|≠|m+n|，所以m、n异号．当m为正数，n为负数时，m﹣n＝13，则n＝m﹣13，|m+m﹣13|＝1，m＝7或6；当m为负数，n为正数时，﹣m+n＝13，则n＝m+13，|m+m+13|＝1，m＝﹣7或﹣6；综上所述，m为±6或±7（3）分析：若按a、b、c中0的个数进行分类，可以分成四类：第一类：a、b、c三个数都不等于0①1个正数，2个负数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|②1个负数，2个正数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|③3个正数，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除④3个负数，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除第二类：a、b、c三个数中有1个0【结论同第（1）问】①1个0，2个正数，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除②1个0，2个负数，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除③1个0，1个正数，1个负数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|第三类：a、b、c三个数中有2个0①2个0，1个正数：此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除②2个0，1个负数：此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除第四类：a、b、c三个数都为0，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除综上所述：1个负数2个正数；1个正数2个负数；1个0，1个正数和1个负数．【点评】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大．1、Be honest rather clever 20.9.249.24.202014:2714:27:20Sep-2014:272、By reading we enrich the mind; by conversation we polish it.二〇二〇年九月二十四日2020年9月24日星期四3、All things are difficult before they areeasy.14:279.24.202014:279.24.202014:2714:27:209.24.202014:279.24.20204、By other's faults, wise men correct theirown.9.24.20209.24.202014:2714:2714:27:2014:27:205、Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. So let us seize it, not in fear, but in gladness. Thursday, September 24, 2020September 20Thursday, September 24, 20209/24/20206、I have no trouble being taken seriously as a woman and a diplomat [in Ghana].。
2.4 绝对值与相反数第1课时绝对值
一、选择题（共7小题；共35分）
的绝对值是
B. C. D.
2. 如图所示，是原点，，，三点所表示的数分别为，，．根据图中各点
的位置下列各数的绝对值的比较正确的是
3. 生产厂家检测个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不
足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是
A.
B.
C.
D.
4. 若数轴上表示和的两点分别是点和点，则点和点之间的距离
是
C. D.
的绝对值是
B. C.
6. 用表示的数一定是
A. 负数
B. 正数
C. 正数或负数
D. 以上都不对
7. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则等于
A. B. C.
二、填空题（共4小题；共20分）
8. 绝对值最小的数是．
9. ．
10. 如图，数轴的单位长度为．如果点，表示的数的绝对值相等，那么点
表示的数是．
11. ，，．
三、解答题（共5小题；共65分）
12. 已知，化简．
13. 数轴上点，，，表示的有理数分别为，
（1）计算下列各点之间的距离：
① ，两点．② ，两点．③ ，两点．
（2）若点，两点所表示的有理数分别为，，求，两点之间的距离．
14. 正式的排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，检查个排球的质量，超过规
定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下（单位：克）：。
