期中组卷参考答案

2-① 2-②高二数学期中试题（4）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．直线),(03为常数a R a a y x ∈=+-的倾斜角是0(30)6π．2．两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：ax ＋6y ＝5间的距离为 4/15 ▲ ．3．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距离是 2或 6 ▲ ．4．已知a 、b 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是______1,4_▲_________ ．5．过定点（－1,0）可作两条直线与圆x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0相切，则k 的取值范围是 k<-1或k>4 ▲ ．6．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，90=∠ABC ，1===BC AB PA ，则PC 与底面ABC 所成角的正切值．．．为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0 2)A ，，(2 0)B -，，(1 0)C ，，分别以△ABC 的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 x+4y-14=0 ▲ ．8．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a （如图2-②），则图2-①中的水面高度为 ▲(1a . 9．正三棱锥S ABC -中，30,1,=∠===ASB SA CA BC AB ，过点A 作一截面与侧 棱,SB SC 分别交于点,E F ，则截面AEF ∆周长的最小值为√210三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积PABC（第8题）为2V ，则12V V = 1/4 11．若直线y x b =+与曲线3y =b的取值范围是13b -≤ ．若,a b R∈，且0ab ≠，13．直线03=++y tx 与圆422=+y x 相交于A 、B>+，则实数t 的范围2222⎛⎫⎛--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭▲14已知曲线:C x =， 直线:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和 l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为___ [2,3] ___.二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在三棱锥P ABC -中，已知,PA PB ABC =∠为直角，点,D E 分别为,PB BC 的中点 （I ）求证：AD ⊥平面PBC （II ）若F 在线段AC 上，且12AF FC =，求证：//AD 平面PEF16．（16分）如图，在矩形ABCD 中，已知3,,AB AD E F =为AB 的两个三等分点，,AC DF 交于点G （I ）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG DF ⊥（II ）设点E 关于直线AC 的对称点为E '，问点E '是否在直线DF 上，并说明理由17. 如图，平面四边形ABCD 中，AB BC CD a ===，90=∠B ，135BCD ∠=，沿对角线AC 将ABC ∆折起，使平面ABC 与平面ACD 互相垂直. （1）求证：AB CD ⊥；（2）在BD 上是否存在一点P ，使⊥CP 平面ABD ，证明你的结论； （3）求点C 到平面ABD 的距离.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ；（2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？19．（本题满分16分）如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点0,6A （）．（1）求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相切的圆N 的方程； （2）若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程．（第19 题）11 题）DCBA B DCA20．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)．(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足P A＝30PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．15题答案16题答案17（1）证明： AB =BC ，90=∠B 即AB BC ⊥∴ 90=∠ACD 即AC CD ⊥, 又 平面ABC ⊥平面ACD,平面ABC 平面ACD=AC , CD ⊂ 平面ACD∴ABC CD 平面⊥ABC AB 平面⊂,∴AB CD ⊥（2）存在，P 为BD 中点.证明： BC =CD ，∴BD CP ⊥,由（1）知，AB CD ⊥ 又 BC AB ⊥,,BCD CD BCD BC C CD BC 平面，平面⊂⊂=⋂ ∴ AB ⊥平面BCD 又 BCD CP 平面⊂ ∴CP AB ⊥,ABD BD ABD AB B BD AB 平面平面⊂⊂=⋂,, , ∴ ⊥CP 平面ABD（3）由（1）知，ABC CD 平面⊥ 又BC ABC ⊂平面CD BC ∴⊥又BC =CD =a ，P 为BD 中点2C P a ∴=由（2）知，⊥CP 平面ABD∴点C 到平面ABD 的距离即CP的长，为2a （证法二） AB ⊥平面BCD ，BCD BD 平面⊂,BD AB ⊥∴,a AB AD BD 222=-=，22221a BD AB S ABD =⋅=∴∆， ABC CD 平面⊥，36131a S CD V ABC ABC D =⋅=∴∆-.设点C 到平面ABD 的距离为h ，则26231a S h V ABD ABD C =⋅=∆-， 所以a h 22=. 18．解：（1）连接CE 交AD 于O ，连接OF ． 因为CE ，AD 为△ABC 中线，所以O 为△ABC 的重心，123CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ．………………………………………………4分 OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF ．…………………………………………7分 （2）当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ． 在直三棱柱111ABC A B C -中，由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ． 由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1．而CM ⊂平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ．…………………10分因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ∆≌Rt FCD ∆，所以CM ⊥DF ． …12分 DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ．CM ⊂平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ．………………………15分 当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．…………………………………16分 19．（本题满分16分）解（Ⅰ）由2210100x y x y +++=，得22(5)(5)50x y +++=． 所以圆C 的圆心坐标为C(-5，-5)， 又圆N 的圆心在直线y =x 上，①当两圆外切于O 点时，设圆Ｎ的圆心坐标为(,)a a ，则有a =3，所以圆Ｎ的圆心坐标为 (3，3)，半径r =故圆N 的方程为22(3)(3)18x y -+-=．……………………………………４分 ② 当两圆内切时，设切点为M ，则M 点坐标为（-10，-10）． 因为线段AM 的中点为（-5，-2），85AM k =所以AM 的中垂线方程为52(5)8y x +=-+，即54188y x =--解方程组541,88,y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩则所求圆的圆心坐标为4141(,)1313--，222)1389(2)101341(2⋅=+-=r ， 故圆N 的方程为222414189()()2()131313x y +++=⋅． 综上可知，圆N 的方程为22(3)(3)18x y -+-=或222414189()()2()131313x y +++=⋅． ……………………………………………………………………8分 (Ⅱ)因为圆弧PQ 恰为圆Ｃ圆周的14， 所以CP CQ ⊥． 所以点C 到直线m 的距离为5．………………………………………………………10分 当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x =0．………………………………………………………12分 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为6y kx =+，即60kx y -+=．5=，解得4855k =．所以此时直线m 的方程为486055x y -+= 故所求直线m 的方程为x =0或486055x y -+=．……………………………………16分20．（本题满分16分）(1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169. 令x ＝5，解得M (5,12)，N (5，－12)．则线段AM 的中垂线的方程为y －6＝2(x －17)．……………………2分 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)， 又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．……………………5分(2)假设存在这样的点P (x ，y )，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169－13≤x ≤5，解得x ＝－70(舍)．……………………7分由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x －142＋y 2＝2255≤x ≤29，解得x ＝0(舍)．……………………9分综上知这样的点P 不存在．……………………10分(3)因为EF ＞2r 2，EF ＞2r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上． 设点O 到直线l 的距离为d .因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，……………………12分 解法一：所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2，……………………14分 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516.所以点O 到直线l 的距离为1 6154.………………16分。