第二章 matlab数值计算功能
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MATLAB语言简介
Help Window命令：打开MATLAB旳帮助窗口。
Help Tips命令： 打开帮助窗口，并首先显示MATLAB
旳帮助系统旳分类和使用措施。
Help Desk(HTML)命令： 打开系统WWW浏览器，并显示
MATLAB旳帮助桌面。
Examples and Demos命令：能够经过演示MATLAB提供旳
Clf 清理图形窗口
Load 加载指定文件旳变量
Pack 搜集内存碎片
Diary 日志文件命令
Clc 清理工作窗口
Quit 退出
Echo 工作窗信息显示开关 !
调用DOS命令
2.1.6 MATLAB常用旳命令和技巧 2.某些常用操作技巧
利用键盘按键,可实现简易操作:
home 光标置于目前行开头 end 光标置于目前行末尾 esc 清除目前输入行 del 删除光标处旳字符
Edit菜单项：
Undo、Cut、Copy、Paste命令：分别用于撤消上一次操
作、剪切、复制和粘贴。
Clear命令：
删除内容。
Select All命令：
用于选定全部文本内容。
Clear Session命令：
清除命令编辑区旳全部内
容，但并不删除工作空间
中旳变量。
2.1.4 MATLAB旳桌面平台
Help菜单项:
3. 图形功能
MATLAB提供了两个层次旳图形命令：一种是对图形句 柄进行旳低档图形命令，另一种是建立在低档图形命令之上 旳高级图形命令。利用MATLAB旳高级图形命令能够轻而易 举地绘制二维、三维乃至四维图形，并可进行图形和坐标旳 标识、视角和光照设计、色彩精细控制等等。
2.1.1 MATLAB特点
Open命令：
第二讲道客巴巴MATLAB的数值计算
例 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机 矩阵。
命令如下：
x=20+(50-20)*rand(5) 此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)， 它在矩阵总元素保持不变的前提下，将 矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。
也可用linspace函数产生行向量。其调用 格式为： linspace(a, b, n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一 个元素，n是元素总数。 例 》a=linspace(1 , 10 , 10)
当一个指令或矩阵太长时，可用••• 续行
冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认 间隔为1。 用于选出矩阵指定行、列及元 素。 循环语句
2.用matlab函数创建矩阵
空阵 [ ] — matlab允许输入空阵，当一 项操作无结果时，返回空阵。 rand —— 随机矩阵 eye —— 单位矩阵 zeros ——全部元素都为0的矩阵 ones ——全部元素都为1的矩阵 diag ——产生对角矩阵
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 36 42
66 81 96 102 126 150
※当一个方阵有复数特征值或负实 特征值时，非整数幂是复数阵。
a^0.5
ans =
0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i 1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i 1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i
3.conv多项式乘运算(向量卷积)
例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6) a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c=conv(a,b)或c=conv([1 2 3],[4 5 6]) c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 p=poly2str(c,‘x’) 其中x表示自变量 p = 4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18
MATLAB数值计算功能
MATLAB数值计算功能下面将详细介绍MATLAB数值计算功能的一些主要方面：1. 矩阵运算和线性代数：MATLAB具有强大的矩阵操作功能，可以直接对矩阵进行加减乘除、求逆矩阵、求特征值等运算。
MATLAB中的线性方程组求解函数（如`linsolve`和`inv`）可以更轻松地解决各种线性代数问题。
2. 数值积分和微分：MATLAB提供了多种数值积分和微分函数，用于求解一元和多元函数的定积分、不定积分、数值微分和数值求导。
例如，可以使用`integral`函数计算函数的定积分，并使用`diff`函数计算函数的导数或`gradient`函数计算梯度。
3. 方程求解：MATLAB提供了一系列函数，用于解决非线性方程和代数方程组。
这些函数包括`fsolve`（用于求解非线性方程），`roots`（用于求解多项式方程的根）和`solve`（用于求解代数方程组）等。
4. 曲线拟合和数据拟合：MATLAB提供了多个函数用于曲线拟合和数据拟合，包括`polyfit`（多项式拟合），`lsqcurvefit`（非线性最小二乘曲线拟合），`interp1`（一维插值）和`griddata`（多维数据插值）等。
这些函数可以帮助用户找到数据之间的模式和关系。
5. 常微分方程（ODE）求解：MATLAB提供了用于求解常微分方程组（ODE）的函数，既可以用传统的数值方法求解，也可以用符号计算求解。
用户可以使用`ode45`、`ode23`或`ode15s`等函数来求解初值问题或边界值问题。
6. 线性最小二乘拟合：MATLAB中的`lsqnonlin`函数可以用于线性最小二乘问题的求解，包括曲线拟合、数据拟合、参数估计等。
用户可以使用该函数来找到使得拟合曲线和观测数据之间残差最小的参数。
7. 数值优化：MATLAB包含一系列优化函数，可以求解常规优化问题、无约束优化问题、约束优化问题等。
用户可以使用函数`fminsearch`、`fminunc`和`fmincon`等来找到函数的最小值或最大值。
MATLAB数值计算功能
MATLAB数值计算功能
MATLAB是一种非常强大的数值计算软件，被广泛应用于科学计算、
工程计算和数据分析等领域。
它提供了丰富的数值计算功能，包括基本的
数学运算、线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法等。
下面将详
细介绍一些常见的数值计算功能。
1.数学运算：
MATLAB提供了丰富的数学函数，可以进行各种基本的算术运算，如
加减乘除、幂运算、取模运算等。
同时，它还提供了一些高级的数学函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。
通过这些函数，用户可以进行各种
复杂的数学运算。
2.线性代数：
3.数值积分：
4.微分方程求解：
5.优化算法：
MATLAB提供了各种优化算法，如线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划等。
用户可以通过设定目标函数和约束条件，利用MATLAB的优
化函数寻找最佳的解。
这对于优化问题的求解非常有用，如工程设计、生
产调度等。
6.统计分析：
7.数据可视化：
总之，MATLAB的数值计算功能非常丰富，可以满足各种数学计算和数据分析的需求。
它不仅提供了各种基本的数学运算功能，还提供了高级的线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法和统计分析等功能。
同时，其强大的数据可视化功能也是很多用户选择MATLAB作为数值计算工具的重要原因之一。
数值计算与MATLAB第二章
第二章非线性方程求根习题2-11. 试寻找f(x)= x 3+6.6 x2-29.05 x +22.64=0的实根上下界,及正根所在的区间，区间长度取1。
解:由笛卡儿符号规则知，f(x)=0可能有二个正根或无正根f(-x)= -x 3+6.6 x2+29.05 x +22.64=0即x 3 -6.6 x2-29.05 x -22.64=0f(-x)=0有一个正根，因此，f(x)=0有一个负根。
由定理2-3，f(x)=0的正根上界f(x)=0的负根下界x0123456 6.39f(x)++-+++++正根所在区间为(1, 2),(2, 3)。
2．你能不利用多项式的求导公式，而借鉴于余数定理的思想，构造出P n(x)=a0x n+a1x n-1+...+a n-1x+a n在x0这点上的导数值的算法吗？习题2-21.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求准确到小数点后第一位a F(a)b F(b)x F(x)0-1211-11-121 1.5-0.251.5-0.2521 1.750.31251.5-0.25 1.750.3125 1.6250.3015625 1.5-0.25 1.6250.015625 1.5625-0.12109375 1.5625-0.12104375 1.6250.015625 1.59375-0.053710937 1.59375-0.053710937 1.6250.015625 1.609375-0.019287109 1.609375-0.019287109 1.6250.015625 1.6171875-0.001892089 1.6171875-0.001892089 1.6250.015625 1.621093750.006851196 1.6171875-0.001892089 1.621093750.006851196 1.6191406250.002175738 1.6171875-0.001892089 1.619140620.002475738 1.6181640630.000290904X*=1.618K=5X*=1.593752．试证明用试位法（比例求根法），求在区间[0, 1]内的一个根必然收敛。
第2章 matlab数值计算功能共84页文档
2、由函数创建和修改矩阵：
MATLAB提供用于创建某些特殊矩阵的函数
A=[ ] 创建空矩阵 注意空矩阵与零矩阵的差别
常用创建矩阵函数
zeros(m,n) 元素全为零的mn阶矩阵 ones(m,n) 元素全为 1 的mn矩阵 rand(m,n) 元素为在[0，1]上均匀分布的mn随机矩阵 randn(m,n) 元素为标准正态分布的mn随机矩阵
3.续行标志（…） 当一条语句或矩阵太长，一行显示不下时，可用
续行标志…，另起一行继续完成该条语句的书写。
2.1.3 矩阵及其元素的赋值
矩阵是 MATLAB 进行数据处理的基本单元，MATLAB 的大部分运算都是在矩阵的意义上进行的，矩阵运算也 是 MATLAB 最重要的运算。赋值就是把数赋予代表常 量或变量的标识符。 MATLAB中的变量或常量都代表 矩阵，标量应看作是1×1阶的矩阵。
t=初值：增量：终值
其中 “增量”是可以省略的，省略时，默认的增量步 长为1。增量也可以是负值，但此时，初值应该大于终 值。
例如：x=1:5; y=0:pi/4用函数linspace和logspace创建向量：
linspace 函数，创建指定长度的等距向量 t=linspace(初值d1，终值d2，点数n）
>> C(:,:,3)=ones(2,3)*3
C(:,:,1) =
111
111
C(:,:,2) = 222 222
同样的方法还可以创建4维… 等更高维的数组。
C(:,:,3) =
333
333
3. 由ones、zeros等函数直接创建
2.1.4 向量的生成
在MATLAB中数组可以看成是行向量，即只有一行或 一列的矩阵。前面介绍的所有矩阵的建立和保存的方 法，对向量同样适用，这里不再重复。同时，介绍 matlab中创建向量的特殊命令。 1.利用冒号“：”创建等差数列：
第二章matlab02数值运算功能2
a*b ans = 25 55 85 a.*b 37 85 133 46 109 172 ans = 2 4 49 8 15 72 18 3应元素间的商 给出a,b对应元素间的商 对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是 的元素除以 的对应元素 都是a的元素除以 的元素除以b的对应元素 a.\b=b./a — 都是 的元素除以 的对应元素 都是b的元素除以 的元素除以a的对应元素
2.4.3矩阵的关系和逻辑运算 矩阵的关系和逻辑运算
1.矩阵的关系运算符：<, >, <=, >=, = =, ~= 矩阵的关系运算符： 矩阵的关系运算符 • 矩阵之间的每个元素进行比较，运算结果 矩阵之间的每个元素进行比较， 为与原矩阵大小一样的由0 为与原矩阵大小一样的由0和1组成的矩阵 注意：1=<a<=2错误 注意： 错误 例: 1<＝a<=2正确 ＝ 正确
• •
§2.4 矩阵的运算
矩阵的数学运算 矩阵的点(数组 运算 矩阵的点 数组)运算 数组 矩阵的关系和逻辑运算
2.4.1矩阵的数学运算 矩阵的数学运算
矩阵运算符 含义 A’ 矩阵转置 A+B 矩阵相加 A-B 矩阵相减 A*B 矩阵相乘 A/B 矩阵相除（右除） 矩阵相除（右除） B\A 矩阵相除（左除） 矩阵相除（左除） A^n A阵的 n次幂 阵的 次幂
x X = y z
10 B = 5 −1
要解上述的联立方程式， 要解上述的联立方程式，可利用矩阵左除 \ 做运 时要求A、 的行数相等 相等。 算，即：X=A\B， 左除时要求 、B的行数相等。 ， 左除时要求
如果将原方程式改写成 X*A=B，且令 X, A 和 B ， 分别为
2.4.3矩阵的关系和逻辑运算 矩阵的关系和逻辑运算
1.矩阵的关系运算符：<, >, <=, >=, = =, ~= 矩阵的关系运算符： 矩阵的关系运算符 • 矩阵之间的每个元素进行比较，运算结果 矩阵之间的每个元素进行比较， 为与原矩阵大小一样的由0 为与原矩阵大小一样的由0和1组成的矩阵 注意：1=<a<=2错误 注意： 错误 例: 1<＝a<=2正确 ＝ 正确
• •
§2.4 矩阵的运算
矩阵的数学运算 矩阵的点(数组 运算 矩阵的点 数组)运算 数组 矩阵的关系和逻辑运算
2.4.1矩阵的数学运算 矩阵的数学运算
矩阵运算符 含义 A’ 矩阵转置 A+B 矩阵相加 A-B 矩阵相减 A*B 矩阵相乘 A/B 矩阵相除（右除） 矩阵相除（右除） B\A 矩阵相除（左除） 矩阵相除（左除） A^n A阵的 n次幂 阵的 次幂
x X = y z
10 B = 5 −1
要解上述的联立方程式， 要解上述的联立方程式，可利用矩阵左除 \ 做运 时要求A、 的行数相等 相等。 算，即：X=A\B， 左除时要求 、B的行数相等。 ， 左除时要求
如果将原方程式改写成 X*A=B，且令 X, A 和 B ， 分别为
学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析
学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析---第一章：MATLAB的基本介绍MATLAB是一种强大的数值计算和数据分析软件，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。
它的主要特点是简洁直观的用户界面和丰富的数学函数库。
在本章中，我们将介绍MATLAB的基本特性和使用方法。
1.1 MATLAB的历史与发展MATLAB是由MathWorks公司于1984年首次推出的。
起初，它作为一个用于矩阵计算的工具被广泛使用。
随着时间的推移，MATLAB逐渐拓展了功能，加入了许多其他数学和工程计算的功能，如符号计算、数据统计和可视化。
如今，MATLAB已经成为一种非常受欢迎的工具。
1.2 MATLAB的安装和环境设置要开始使用MATLAB，首先需要从MathWorks官网下载并安装MATLAB软件。
安装完成后，打开MATLAB并设置工作目录和默认工作文件夹。
工作目录是指存储MATLAB代码和数据文件的文件夹，而默认工作文件夹是指MATLAB打开时默认选择的文件夹。
1.3 MATLAB的基本语法和命令MATLAB的基本语法和命令非常简单易懂。
它采用类似于其他编程语言的命令行交互方式，用户可以直接在命令行输入MATLAB语句并执行。
例如，可以输入"2+2"并按回车键得到结果4。
此外，MATLAB还具有许多内置的数学函数和运算符，可以进行各种数值计算和数据分析。
1.4 MATLAB脚本和函数在MATLAB中，可以使用脚本和函数来组织和执行一系列MATLAB命令。
脚本是一系列命令的集合，可以一次性运行。
函数是一段可以重复使用的代码，可以接受输入参数并返回输出结果。
通过编写脚本和函数，可以提高MATLAB代码的可重复性和可维护性。
第二章：数值计算MATLAB作为一种数值计算工具，提供了丰富的数学函数和算法，可以用于解决各种数值计算问题。
在本章中，我们将介绍MATLAB在数值计算方面的一些常用功能和技巧。
2.1 数值计算方法MATLAB中包含了许多数值计算方法，如数值积分、数值微分、线性代数求解等。
MATLAB数值计算教程
MATLAB数值计算教程第一章：MATLAB入门1.1 MATLAB简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数值计算软件，广泛用于工程、科学和金融领域。
它的特点是简单易用、高效快速，并且拥有丰富的工具箱和函数库。
1.2 MATLAB环境搭建要使用MATLAB进行数值计算，首先需要安装MATLAB软件，并进行必要的配置。
通过官方网站下载安装程序，根据提示进行安装即可。
安装完成后，打开MATLAB环境，即可开始使用。
1.3 MATLAB基本操作在MATLAB环境中，可以通过命令行窗口输入和执行命令，也可以使用脚本文件进行批量处理。
常用的基本操作包括变量赋值、算术运算、函数调用等。
例如，使用"="符号赋值变量，使用"+"、"-"、"*"、"/"等符号进行算术运算。
第二章：向量和矩阵操作2.1 向量操作在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以通过一组有序的元素构成。
向量可以进行基本的算术运算，如加法、减法、乘法、除法，还可以进行向量的点积、叉积等操作。
可以使用内置函数和运算符来实现。
2.2 矩阵操作矩阵是MATLAB中最常用的数据结构之一，使用矩阵可以进行多个向量的组合和运算。
可以进行矩阵的加法、减法、乘法、除法等操作，也可以进行矩阵的转置、求逆、求特征值等操作。
MATLAB提供了大量的函数和工具箱来支持矩阵的操作。
第三章：数值计算方法3.1 数值积分数值积分是一种用数值方法计算定积分的方法。
在MATLAB 中，可以使用内置函数来进行数值积分，如trapz函数和quad函数。
也可以使用Simpson法则、复合辛普森法等方法实现数值积分。
3.2 数值微分数值微分是一种用数值方法计算导数的方法。
在MATLAB中，可以使用内置函数进行数值微分，如diff函数和gradient函数。
第二章 MATLAB的数值计算(修改版)
2.2.3 矩阵的基本运算
矩阵的乘(*)运算
规则： A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。 例如： a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b c =14 32 23
2.2.3 矩阵的基本运算
矩阵的除运算 矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种 矩阵除运算即左除和右除 左除‚\”: 相当于Ax=B的解，x=A-1B。 右除‚/”：相当于xA=B的解，x=BA-1 此外，矩阵也可和常数进行除运算，此时常数只能作为除数
方法二 冒号生成 基本格式：x＝x1:step:x2 x＝x1:x2 比如： D = 4:0.5:9 E = 5:9
2.1.3 向量的运算
与数的运算 比如： A = 0:9; B = A-1 C = A*2 点积运算 指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积。 dot(a,b) a,b必须同维 比如： A = 0:3; B = 1:4; C = dot(A,B)
注意：MATLAB函数名必须小写
2.2.2 矩阵的修改
方法一：直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即 可修改。 方法二： 指令修改 可以用A(,)= 来修改。 比如： 对于A=[1 2 3;4 9 6;7 8 9]，若将其中的9修改为5，则可以通过上述的两 种方法： 法一不用介绍； 方法二可使用A(2,2)=5来修改
特征多项式的特点：
（1）特征多项式一定是n+1维的 （2）特征多项式第一个元素一定是1
根据多项式对应的全部根可建立其特征多项式： poly —— 产生特征多项式系数向量
已知一个多项式的全部根X求多项式系数的函数是poly(X)，该函数返回以X为 全部根的一个多项式P，当X是一个长度为m的向量时，P是一个长度为m+1的 向量。
第 2 章 matlab数值计算第一次课
河南理工大学测绘学院
§2.1 特殊矩阵的生成
eye函数的调用格式： ●eye(n) %生成n × n阶单位矩阵 ● eye(m,n) 或eye([m,n]) %生成m× n阶单位阵 ● eye(size(A)) %生成与A同阶的单位阵 ones函数的调用格式： ●ones(m)：产生m × m阶的全1矩阵。 ●ones(m,n)或zeros([m,n]) ：产生m × n全1矩阵。当 m = n时，等同于zeros(m)。 ● zeros(m,n,p,…): 生成m × n ×p ×…阶的全1阵或 数组。
MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其
功能是生成一个n阶魔方阵。
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§2.1 特殊矩阵的生成
【例2.3】将101～125等25个数填入一个5行5列的表格中， 使其每行、每列及对角线的和均为565。
一个5阶魔方矩阵的每行、每列及对角线的和均为65， 对其每个元素都加100后这些和变为565。完成其功能的命 令如下： M=100+magic(5)
rand(‘state’,J) %对整数J，重置生成器到第J个状态 rand(‘state’,sum(100*lock))%每次重置到不同状态 注：randn函数的调用格式同rand
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§2.1 特殊矩阵的生成
【例2.2】建立随机矩阵： （1）在区间[10, 30]内均匀分布的4阶随机矩阵。 （2）均值为0.6、方差为0.1的4阶正态分布随机矩阵。 产生(0,1)区间均匀分布随机矩阵使用rand函数，假 设得到了一组满足(0,1)区间均匀分布的随机数xi，则 若想得到在任意[a, b]区间上均匀分布的随机数，只需 用yi = a + (b − a)xi计算即可。产生均值为0、方差 为1的标准正态分布随机矩阵使用randn函数，假设已经 得到了一组标准正态分布随机数xi，如果想更一般地得 到均值为μ 、方差为σ 2的随机数，可yi = μ + σ xi 计算出来。
第2章 MATLAB数值计算
第2章 MATLAB数值计算MATLAB的数学计算＝数值计算＋符号计算其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。
2.1 变量和数据2.1.1数据类型数据类型包括：数值型、字符串型、元胞型、结构型等数值型＝双精度型、单精度型和整数类整数类＝无符号类(uint8、uint16、uint32、uint64)和符号类整数(int8、int16、int32、int64)。
2.1.2数据1. 数据的表达方式▪可以用带小数点的形式直接表示▪用科学计数法▪数值的表示范围是10-309～10309。
以下都是合法的数据表示：-2、5.67、2.56e-56(表示2.56×10-56)、4.68e204(表示4.68×10204)2. 矩阵和数组的概念在MATLAB的运算中，经常要使用标量、向量、矩阵和数组，这几个名称的定义如下：▪标量：是指1×1的矩阵，即为只含一个数的矩阵。
▪向量：是指1×n或n×1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。
▪矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩阵为空矩阵([])。
▪数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。
3. 复数复数由实部和虚部组成，MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。
复数运算不需要特殊处理，可以直接进行。
复数可以有几种表示：z=a+b*i或z=a+b*jz=a+bi 或z=a+bj(当b 为标量时) z=r*exp(i*theta)● 得出一个复数的实部、虚部、幅值和相角。
a=real(z) %计算实部 b=imag(z) %计算虚部 r=abs(z) %计算幅值 theta=angle(z) %计算相角 说明：复数z 的实部a=r*cos(θ)； 复数z 的虚部b=r*sin(θ)； 复数z 的幅值22b a r +=；复数z 的相角theta=arctg(b/a)，以弧度为单位。
第二章 MATLAB基础知识
2.2 数组及其运算
例 ascii_a=double(a) %将字符转换为相应的双精度值 ascii_a = Columns 1 through 13 84 104 105 115 32 105 115 32 97 110 32 101 120 Columns 14 through 19 97 109 112 108 101 46 例 char(ascii_a) %将双精度值转换为字符 ans = This is an example. 例 w=find(a>=‘a’&a<=‘z’); %查找所有小写字母的位置 ascii_a(w)=ascii_a(w)-32; %将小写字母ascii值转换为大写 char(ascii_a) %将双精度值转换为字符 ans = THIS IS AN EXAMPLE.
2.2 数组及其运算
2.2.2 数组的运算
运算 加 运算符 + 表达式 a+b
减 乘 除 幂 点乘 点除 点幂
*
/或\ ^ .* ./或.\ .^
a-b a*b
a/b或a\b a^b a .* b a ./ b或a.\b a.^b
2.2 数组及其运算
例 a=3 14 7 1 4 9 3 6 10 b=2 8 3 2 10 0 11 2 7 a+b ans= 5 22 10 3 14 9 14 8 17
2.2 数组及其运算
高维数组的创建
直接通过“全下标”元素赋值方式创建高维数组； 由若干个同样大小的低维数组组合成高维数组； 由函数ones、zeros、rand、randn直接创建标准
高维数组；
借助cat、repmat、reshape等函数构造高维数组。
Am
数学第二章matlab数值运算功能
05 Matlab数值运算的优化 技巧
减少计算误差的方法
避免除法运算
在Matlab中，除法运算可能导致浮点数精度问题。为了避免这种 情况，可以使用乘法代替除法。
使用高精度数据类型
Matlab提供了多种数据类型，如双精度（double）和单精度 （single）。选择合适的数据类型可以提高计算精度。
Matlab在求解常微分方程时可以 自动调整步长，以提高计算精度 和效率。
04 数值运算在科学计算中的 应用
在物理模拟Leabharlann 的应用数值模拟通过数值方法求解物理方程，如 偏微分方程、常微分方程等，可 以模拟物理现象，如流体动力学、 电磁场等。
粒子模拟
对于粒子系统，如气体分子、液 体分子等，可以通过数值方法模 拟粒子的运动轨迹和相互作用， 从而研究系统的宏观性质。
02
Matlab可以计算矩阵的特征值和特征向量，用于分析矩阵的性
质和特征。
方程求解
03
Matlab提供了求解线性方程组和非线性方程组的函数，如
`x=Ab`和`fzero`等。
数值微积分运算
数值积分
Matlab提供了多种数值积分函数，如`quad`和 `quadl`等，可用于计算定积分和不定积分。
数值微分
特征值和特征向量
Matlab可以计算矩阵的特征值和特征向量，用于分析矩阵的性 质和特征。
数值常微分方程求解
欧拉法
01
02
03
龙格-库塔法
自适应步长控制
Matlab提供了欧拉法求解常微分 方程的函数，如`ode45`等。
Matlab也提供了多种龙格-库塔 法求解常微分方程的函数，如 `ode23`和`ode15s`等。
第2章 matlab数值计算功能
当p取非整数时，该指令的运算结果可以做如下的理解：
若A可以分解为A=WDW-1，D为对角阵，那么可定义 A-p=WD-pW-1
31
例
ans =
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; a^2
30 36 42
※当一个方阵有复数特征值或负实特 征值时，非整数幂是复数阵。
66 81 96
102 126 150
13
2.利用函数linspace和logspace创建向量： linspace 函数，创建指定长度的等距向量
t=linspace(初值d1，终值d2，点数n）
在线性空间上，行矢量的值从d1到d2，数据个数n，缺省时n为100。
例：k=linspace(-pi,pi,4)
logspace 函数，创建对数等距的向量
2.逗号和分号
在赋值语句中，逗号（空格）用在同一行中各元素之间，分
号用在行与行之间。多条语句放在一行，用逗号分开表示要求显
示结果，由分号分开表示不要求显示结果。
4
3.续行标志（…）
当一条语句或矩阵太长，一行不能显示时，可用续行标志 … ， 另起一行继续完成该条语句的书写。
4.中断键
在命令的执行过程中，可以随时按下CTRL＋C键中断MATLAB的 运行。
24
2.3 matlab 的常用数学函数
matlab提供了几乎所有的初等数学函数，包括三角函数、对 数函数、指数函数和复合运算函数等。
函数的一般调用格式为 函数名（变量）
函数的运算分别作用于变量的每一个元素。 所有函数名都是小写字母。
25
26
27
对 方向取整数
对 方向取整数 对零方向取整数
A=[-4,-2,0,2,4;-3,-1,1,3,5]; %创建矩阵A L=abs(A)>3 islogical(L) X=A(L)
若A可以分解为A=WDW-1，D为对角阵，那么可定义 A-p=WD-pW-1
31
例
ans =
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; a^2
30 36 42
※当一个方阵有复数特征值或负实特 征值时，非整数幂是复数阵。
66 81 96
102 126 150
13
2.利用函数linspace和logspace创建向量： linspace 函数，创建指定长度的等距向量
t=linspace(初值d1，终值d2，点数n）
在线性空间上，行矢量的值从d1到d2，数据个数n，缺省时n为100。
例：k=linspace(-pi,pi,4)
logspace 函数，创建对数等距的向量
2.逗号和分号
在赋值语句中，逗号（空格）用在同一行中各元素之间，分
号用在行与行之间。多条语句放在一行，用逗号分开表示要求显
示结果，由分号分开表示不要求显示结果。
4
3.续行标志（…）
当一条语句或矩阵太长，一行不能显示时，可用续行标志 … ， 另起一行继续完成该条语句的书写。
4.中断键
在命令的执行过程中，可以随时按下CTRL＋C键中断MATLAB的 运行。
24
2.3 matlab 的常用数学函数
matlab提供了几乎所有的初等数学函数，包括三角函数、对 数函数、指数函数和复合运算函数等。
函数的一般调用格式为 函数名（变量）
函数的运算分别作用于变量的每一个元素。 所有函数名都是小写字母。
25
26
27
对 方向取整数
对 方向取整数 对零方向取整数
A=[-4,-2,0,2,4;-3,-1,1,3,5]; %创建矩阵A L=abs(A)>3 islogical(L) X=A(L)
MATLAB数值计算实践指南
MATLAB数值计算实践指南第一章：MATLAB数值计算基础MATLAB是一种强大的数值计算软件，广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
本章将介绍MATLAB数值计算的基础知识，包括MATLAB的安装与启动、变量的定义与操作、矩阵与数组的运算等。
第一节：MATLAB的安装与启动要使用MATLAB进行数值计算，首先需要将其安装在计算机上。
MATLAB的安装非常简单，只需要按照安装向导的提示进行操作即可。
安装完成后，双击桌面上的MATLAB图标即可启动MATLAB。
第二节：变量的定义与操作在MATLAB中，可以通过赋值操作为变量赋值，并进行各种操作。
赋值操作使用等号进行，例如：x = 5。
可以使用变量进行数值计算，如：y = x^2。
MATLAB支持基本的数学运算，包括加减乘除、指数和对数运算等。
第三节：矩阵与数组的运算MATLAB中的矩阵与数组是进行数值计算的重要数据结构。
可以使用方括号来定义矩阵，例如：A = [1 2; 3 4]。
可以对矩阵进行各种运算，包括加减乘除、转置、求逆等。
还可以使用特殊的函数来创建矩阵，如：zeros、ones、eye等。
第二章：MATLAB数值计算函数本章将介绍MATLAB中常用的数值计算函数，包括数值积分、数值微分、方程求解、线性代数运算等。
第一节：数值积分MATLAB提供了多种数值积分函数，用于对函数进行数值积分。
常用的数值积分函数包括：trapz、quad等。
这些函数可以对一维函数和二维函数进行数值积分，可以指定积分区间和积分精度。
第二节：数值微分MATLAB提供了多种数值微分函数，用于对函数进行数值微分。
常用的数值微分函数包括：diff、gradient等。
这些函数可以对一维函数和二维函数进行数值微分，可以指定微分点和微分精度。
第三节：方程求解MATLAB提供了多种方程求解函数，用于求解线性方程组、非线性方程和常微分方程等。
常用的方程求解函数包括：solve、fsolve、ode45等。
MATLAB数值计算入门教程
MATLAB数值计算入门教程第一章：MATLAB基础知识1.1 MATLAB简介MATLAB是一种用于解决科学与工程问题的高级技术计算环境。
它结合了数值分析、可视化和编程，提供了强大而灵活的工具来处理各种计算任务。
本章将介绍MATLAB的基本操作和界面。
1.2 MATLAB的安装和配置首先，我们需要下载和安装MATLAB软件。
在安装过程中，可以选择安装附带的工具箱，如统计工具箱和优化工具箱，以扩展MATLAB的功能。
安装完成后，还需进行基本配置，如设置工作目录和界面外观。
1.3 MATLAB的基本语法MATLAB使用面向向量和矩阵的语言，具有简洁而强大的语法。
本节将介绍MATLAB的基本数据类型、运算符、控制结构等。
例如，MATLAB中的向量和矩阵可以通过简单的行列运算实现。
第二章：MATLAB数值计算2.1 常用数值计算函数MATLAB提供了许多常用的数值计算函数，如求解线性方程组、插值、数值积分和微分等。
本章将介绍这些函数的使用方法，并给出实例演示。
2.2 数值计算方法数值计算方法是解决数值计算问题的核心。
本节将介绍常用的数值计算方法，如迭代法、数值求解微分方程和数值优化等。
同时，我们还会介绍MATLAB中对应的函数和工具箱。
第三章：MATLAB数据可视化3.1 绘图函数数据可视化是MATLAB的一个重要功能。
MATLAB提供了丰富的绘图函数，可以绘制二维曲线、三维曲面、散点图等。
本节将介绍这些绘图函数的使用方法，并给出实例演示。
3.2 图形操作与修改除了绘制基本图形外，MATLAB还提供了对图形进行操作与修改的函数。
例如，我们可以修改坐标轴范围、添加图例和标签，以便更好地展示和解读数据。
本节将详细介绍这些图形操作的方法。
第四章：MATLAB编程与应用4.1 MATLAB脚本和函数编写MATLAB不仅是一个交互式环境，还可以编写脚本和函数来实现更复杂的计算任务。
本节将介绍MATLAB脚本和函数的编写方法，并给出实例演示。
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Sin是变量名，而sin是正弦函数名
4．关键字（如 if，while 等）不能作为变量名。
2
永久变量
• eps — 容差变量，定义为1.0到最近浮点数的距离,在 pc机上= 2-52
• pi — 圆周率的近似值3.1415926
• inf或Inf — 表示正无穷大,定义为1/0
• NaN — 非数，它产生于0× ，0/0，/ 等运算
• i，j — 虚数单位
• ans — 对于未赋值运算结果，自动赋给ans 如果用户给永久变量赋值，原始默认值丢失，直至清除变量 或重启Matlab
3
2.1.2 MATLAB 的标点符号
1.百分号（注释符）%
与其它程序语言一样，为了方便其他人及日后自己对程序的阅读，
增加程序的可读性，需要在MATLAB文件中加入注释。注释行必须 以%号开始，执行文件时，%号后面的语句不予执行。
0 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
end
符号积分
syms x; 循环里的内容相当于sum(yt)*u u越小，积分越精确。
ans =
y=int(exp(-x^2),0,1);
c
vpa(y)c =
0.7475
40
40
数值解法2，以梯形之和逼近面积
u=1e-3;
t=0:u:1;
1.5
yt=exp(-t.^2); s=0;
importdata('bio_signal.txt');
其他方法
fopen, fread, textscan, fclose
14
数据存储
save
save filename 把全部内存变量保存为filename.mat文件。 save filename a b c 把a、b、c三个变量保存在文件名为 filename.mat的文件中。 save filename a b c –append 把a、b、c三个变量添加到文件 名为myfile.mat的文件中。
29Βιβλιοθήκη p( x) x 2 x 5 x 6
4 3
30
a( x) x 3 2 x 2 x 3
b( x ) x 2 2 x 4
求 : c ( x ) a ( x ) b( x )
c( x) x 5 4 x 4 9 x 3 13x 2 10 x 12
3 2
余子式 : r ( x) 4 x 10
27
表4-1
多项式运算函数
练习
例4-1
脚本文件，多项式运算
28
2.5.4 多项式的微分与赋值运算
1. 微分运算
多项式的微分由命令polyder完成 Polynomial differential
2. 赋值运算
给出x的范围，命令polyval可计算 多项式的值。 Polynomial evaluation
% 把rand_data.mat中的变量载入工作空间
16
2.1.4 向量的生成
1.利用冒号“：”创建等差数列：
t=[初值：增量：终值] 例如： x=1:5; y=0:pi/4:2*pi; z=6:-1:0;
17
2.利用函数linspace和logspace创建向量：
t=linspace(初值d1，终值d2，点数n）
y a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0
x
3
x2
a3 a x 1 2 y a1 a0
P(k,1)=y(k);
end a=A\P; % coefficients Least square plot(x,sin(x), 'o',x,polyval(a,x), '-')
多项式乘法不要求阶数相同
31
p( x) x 2 x 5 x 6
4 3
dp( x) d ( x) dx
d ( x) 4 x 6 x 5
3 2
32
练习
例4-5
脚本文件，多项式拟合
33
另解 例4-5
clc; clear; x=0:pi/10:2*pi; y=sin(x); for k=1:length(x) A(k,:)=[x(k)^3 x(k)^2 x(k) 1];
1. 一元积分相当于求面积
2. 二元积分相当于求体积
38
求下列函数的积分
y e
0
1
x2
dx
1.5
1
y
0.5 0 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
39
39
数值解法1，以矩形之和逼近面积
1.5
u=1e-3;
t=0:u:1; yt=exp(-t.^2);
1
y
c=0;
0.5
for k=1:length(yt) c=c+u*yt(k);
ones(m,n) 元素全为 1 的mn矩阵 rand(m,n) 元素为在[0，1]上均匀分布的mn随机矩阵 randn(m,n) 元素为正态分布的mn随机矩阵 eye(n) 单位矩阵, nn阶的方阵 magic(n) 魔方矩阵，其特点是元素由1到n2的自然数组成，每行、每列及两 对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2
2.逗号和分号
在赋值语句中，逗号（空格）用在同一行中各元素之间，分
号用在行与行之间。多条语句放在一行，用逗号分开表示要求显
示结果，由分号分开表示不要求显示结果。
4
3.续行标志（…）
当一条语句或矩阵太长，一行不能显示时，可用续行标志 … ， 另起一行继续完成该条语句的书写。
4.中断键
在命令的执行过程中，可以随时按下CTRL＋C键中断MATLAB的 运行。
2.5.1 多项式的表达与创建
多项式的系数按降幂次序排列而形成的行 向量来表征一多项式。 多项式： A( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a 0
多项式的行向量： A [ a n
a n 1 a1 a 0 ]
23
p( x) x 2 x 5 x 6
L= 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
%建立矩阵L %判断L中是否有逻辑1 %指出A中绝对值大于3的元素
X= -4 4
20
5
2.1.6 复数表示
z=[1+2i,3+4i;5+6i,7+8i]
将其实部和虚部矩阵分别赋值 如z=[1,3;5,7]+[2,4;6,8]*i (*号不能省略）
若在前面程序中曾经给i或j赋过值，则i或j就不再是虚数单位， 此时应把赋值的i或j清除再执行虚数赋值语句。
7
矩阵运算
矩阵加法、减法 矩阵乘法 矩阵求逆（除法）
Amn Bmn
Amn * Bnp
方阵（满秩）
非方阵（列满秩、行满秩）
8
练习
A=magic(4), B=rand(4,4), 求A+B, A-B, A*B, inv(A)*B, A*inv(B)
A=rand(3,6), B=rand(3,6), 求A+B, A-B, A*B’, A’*B, pinv(A)*B, A*pinv(B)
15
练习
clear; N=1000; x=rand(1,N); y=5; save rand_data x y; %产生一个随机向量 % % 把x y存入文件rand_data.mat中 %删除工作空间内的所有变量
save rand_data_txt.txt x -ascii clear load(‘rand_data.mat’); %删除工作空间内的所有变量
例：k=linspace(-pi,pi,4)
logspace 函数，创建对数等距的向量
例如： y=logspace(d1,d2) y=logspace(d1,d2,N)
从10的d1次幂到d2次幂之间按等比级数等分为N个点，N缺省时，默认为50。
18
2.1.5 矩阵的下标
A=
0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185
fplot() fminbnd()
fzero
fminsearch
36
二分法求函数的0解
f ( x) (0.5 sin(x)) * (0.4 sin(2 x))
x [ 0 2]
原理
A C
B
根据以上原理，自行练习一下，20分钟
37
一元函数的积分
• • • • quad 用法 quad(fun,a,b) 例 4-17 page78
1
for n=1:length(yt)-1 s=s+(yt(n)+yt(n+1))*u/2;
y
end
0.5
s
s=
0 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0.7468
x
syms x; y=int(exp(-x^2),0,1);
ans =
vpa(y)
12
3、从外部数据文件调入矩阵：
load()
从磁盘读入.mat文件，或读入排列成矩阵的.txt文件
例如：当前目录下有生物医学信号的文本文件bio_signal.txt
load(‘bio_signal.txt’)
13
importdata
从文件中读入数据，能自动分析文件的格式。应用广泛
例如：当前目录下有生物医学信号的文本文件bio_signal.txt
21
练习
求解线性方程组
写成矩阵 Ax=b
4．关键字（如 if，while 等）不能作为变量名。
2
永久变量
• eps — 容差变量，定义为1.0到最近浮点数的距离,在 pc机上= 2-52
• pi — 圆周率的近似值3.1415926
• inf或Inf — 表示正无穷大,定义为1/0
• NaN — 非数，它产生于0× ，0/0，/ 等运算
• i，j — 虚数单位
• ans — 对于未赋值运算结果，自动赋给ans 如果用户给永久变量赋值，原始默认值丢失，直至清除变量 或重启Matlab
3
2.1.2 MATLAB 的标点符号
1.百分号（注释符）%
与其它程序语言一样，为了方便其他人及日后自己对程序的阅读，
增加程序的可读性，需要在MATLAB文件中加入注释。注释行必须 以%号开始，执行文件时，%号后面的语句不予执行。
0 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
end
符号积分
syms x; 循环里的内容相当于sum(yt)*u u越小，积分越精确。
ans =
y=int(exp(-x^2),0,1);
c
vpa(y)c =
0.7475
40
40
数值解法2，以梯形之和逼近面积
u=1e-3;
t=0:u:1;
1.5
yt=exp(-t.^2); s=0;
importdata('bio_signal.txt');
其他方法
fopen, fread, textscan, fclose
14
数据存储
save
save filename 把全部内存变量保存为filename.mat文件。 save filename a b c 把a、b、c三个变量保存在文件名为 filename.mat的文件中。 save filename a b c –append 把a、b、c三个变量添加到文件 名为myfile.mat的文件中。
29Βιβλιοθήκη p( x) x 2 x 5 x 6
4 3
30
a( x) x 3 2 x 2 x 3
b( x ) x 2 2 x 4
求 : c ( x ) a ( x ) b( x )
c( x) x 5 4 x 4 9 x 3 13x 2 10 x 12
3 2
余子式 : r ( x) 4 x 10
27
表4-1
多项式运算函数
练习
例4-1
脚本文件，多项式运算
28
2.5.4 多项式的微分与赋值运算
1. 微分运算
多项式的微分由命令polyder完成 Polynomial differential
2. 赋值运算
给出x的范围，命令polyval可计算 多项式的值。 Polynomial evaluation
% 把rand_data.mat中的变量载入工作空间
16
2.1.4 向量的生成
1.利用冒号“：”创建等差数列：
t=[初值：增量：终值] 例如： x=1:5; y=0:pi/4:2*pi; z=6:-1:0;
17
2.利用函数linspace和logspace创建向量：
t=linspace(初值d1，终值d2，点数n）
y a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0
x
3
x2
a3 a x 1 2 y a1 a0
P(k,1)=y(k);
end a=A\P; % coefficients Least square plot(x,sin(x), 'o',x,polyval(a,x), '-')
多项式乘法不要求阶数相同
31
p( x) x 2 x 5 x 6
4 3
dp( x) d ( x) dx
d ( x) 4 x 6 x 5
3 2
32
练习
例4-5
脚本文件，多项式拟合
33
另解 例4-5
clc; clear; x=0:pi/10:2*pi; y=sin(x); for k=1:length(x) A(k,:)=[x(k)^3 x(k)^2 x(k) 1];
1. 一元积分相当于求面积
2. 二元积分相当于求体积
38
求下列函数的积分
y e
0
1
x2
dx
1.5
1
y
0.5 0 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
39
39
数值解法1，以矩形之和逼近面积
1.5
u=1e-3;
t=0:u:1; yt=exp(-t.^2);
1
y
c=0;
0.5
for k=1:length(yt) c=c+u*yt(k);
ones(m,n) 元素全为 1 的mn矩阵 rand(m,n) 元素为在[0，1]上均匀分布的mn随机矩阵 randn(m,n) 元素为正态分布的mn随机矩阵 eye(n) 单位矩阵, nn阶的方阵 magic(n) 魔方矩阵，其特点是元素由1到n2的自然数组成，每行、每列及两 对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2
2.逗号和分号
在赋值语句中，逗号（空格）用在同一行中各元素之间，分
号用在行与行之间。多条语句放在一行，用逗号分开表示要求显
示结果，由分号分开表示不要求显示结果。
4
3.续行标志（…）
当一条语句或矩阵太长，一行不能显示时，可用续行标志 … ， 另起一行继续完成该条语句的书写。
4.中断键
在命令的执行过程中，可以随时按下CTRL＋C键中断MATLAB的 运行。
2.5.1 多项式的表达与创建
多项式的系数按降幂次序排列而形成的行 向量来表征一多项式。 多项式： A( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a 0
多项式的行向量： A [ a n
a n 1 a1 a 0 ]
23
p( x) x 2 x 5 x 6
L= 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
%建立矩阵L %判断L中是否有逻辑1 %指出A中绝对值大于3的元素
X= -4 4
20
5
2.1.6 复数表示
z=[1+2i,3+4i;5+6i,7+8i]
将其实部和虚部矩阵分别赋值 如z=[1,3;5,7]+[2,4;6,8]*i (*号不能省略）
若在前面程序中曾经给i或j赋过值，则i或j就不再是虚数单位， 此时应把赋值的i或j清除再执行虚数赋值语句。
7
矩阵运算
矩阵加法、减法 矩阵乘法 矩阵求逆（除法）
Amn Bmn
Amn * Bnp
方阵（满秩）
非方阵（列满秩、行满秩）
8
练习
A=magic(4), B=rand(4,4), 求A+B, A-B, A*B, inv(A)*B, A*inv(B)
A=rand(3,6), B=rand(3,6), 求A+B, A-B, A*B’, A’*B, pinv(A)*B, A*pinv(B)
15
练习
clear; N=1000; x=rand(1,N); y=5; save rand_data x y; %产生一个随机向量 % % 把x y存入文件rand_data.mat中 %删除工作空间内的所有变量
save rand_data_txt.txt x -ascii clear load(‘rand_data.mat’); %删除工作空间内的所有变量
例：k=linspace(-pi,pi,4)
logspace 函数，创建对数等距的向量
例如： y=logspace(d1,d2) y=logspace(d1,d2,N)
从10的d1次幂到d2次幂之间按等比级数等分为N个点，N缺省时，默认为50。
18
2.1.5 矩阵的下标
A=
0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185
fplot() fminbnd()
fzero
fminsearch
36
二分法求函数的0解
f ( x) (0.5 sin(x)) * (0.4 sin(2 x))
x [ 0 2]
原理
A C
B
根据以上原理，自行练习一下，20分钟
37
一元函数的积分
• • • • quad 用法 quad(fun,a,b) 例 4-17 page78
1
for n=1:length(yt)-1 s=s+(yt(n)+yt(n+1))*u/2;
y
end
0.5
s
s=
0 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0.7468
x
syms x; y=int(exp(-x^2),0,1);
ans =
vpa(y)
12
3、从外部数据文件调入矩阵：
load()
从磁盘读入.mat文件，或读入排列成矩阵的.txt文件
例如：当前目录下有生物医学信号的文本文件bio_signal.txt
load(‘bio_signal.txt’)
13
importdata
从文件中读入数据，能自动分析文件的格式。应用广泛
例如：当前目录下有生物医学信号的文本文件bio_signal.txt
21
练习
求解线性方程组
写成矩阵 Ax=b