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3.1.1直线倾斜角与斜率的教学设计（第一课时）一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始，直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、目标及其解析1．三维目标1、知识与技能：（1）在直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线倾斜角和斜率的概念和关系。
2、过程与方法：（1）结合实际，用实际问题带动数学学习；（2）思维训练，借助图像帮助理解。
3、情感态度与价值观：认识事物之间相互联系——用联系的观点看问题。
2.教学重点：直线的倾斜角和斜率概念。
3.教学难点：斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。
三、问题诊断与分析1．在初中，学生已经知道，两点确定一条直线，但就已知一点需要再增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的倾斜程度不同，从中形成倾斜角的概念，再经过作图发现经过平面上的一个点和他的倾斜角可以确定直线的位置。
2．对斜率概念的理解是本节的难点，教学中通过日常生活的例子（坡度概念），充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。
3.探究直线倾斜角与斜率变化关系是本节的另一个难点，教学中可以采用从特殊到一般的思想方法，先让学生观察特殊角的正切值表，发现并总结规律，随后利用几何画板展示直线倾斜角与斜率的变化过程，拓展到一般情况，加强学生思维训练，同时让学生感受到数学的自然性。
直线的倾斜角与斜率一、内容分析本节是人教版数学必修2第三章《直线与方程》第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时——3.1.1倾斜角与斜率.它是高中平面解析几何内容的开始，起着承上启下的重要作用.本课时的学习不仅为研究直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离等本章的后续内容打下基础，而且也为以后进一步学习其他数学知识奠定思想和方法的基础.直线的倾斜角是这一章所有概念的基础，而这一章的概念核心是斜率，理解二者之间的关系将是学此章的关键.过两点的直线的斜率公式要讲透两点，其一是斜率的表象是一种比值，要让学生理解这种表达式，为两条直线垂直时斜率有何关系、导数的概念作好铺垫；其二是斜率的本质是与所取的点无关.二、目标分析1．知识与技能：使学生正确理解倾斜角与斜率的概念，理解二者之间的关系，会求过两点的直线的斜率；2．过程与方法：通过对倾斜角与斜率的探讨，培养学生分类讨论的思想，体验“坐标法”，感受数形结合思想；3．情感、态度与价值观：在探索倾斜角与斜率的关系过程中，明确倾斜角的变化对斜率的影响，并在其中体验严谨的治学态度．三、学生情况分析学生已经学习了一次函数（直线），对直线的倾斜角会具有直观的认同感；三角函数为解决斜率的引入和斜率公式的推导提供了知识的支持.“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，学生对几何的认识仅仅停留在初中所学的直观图形的感性阶段，因此教学时要从学生最熟悉的图形和事例入手，去研究刻画直线性质的量——倾斜角与斜率，将会让学生学会用代数方法研究几何图形的性质.四、教学重难点分析重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率公式.难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解.倾斜角概念的形成对学生来说有点困难.为了突破这个难点，在教学过程中引导学生观察过一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念.对斜率概念的理解是本节的难点，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难.教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识——坡度概念，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念.五、教学条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲解和演示相结合，可以更有效地实现教学目标.因此教学地点选择多媒体教室.学生在课前要复习一次函数以及正切函数图象与性质等有关知识，并对本节内容进行预习，教师要准备好多媒体课件.六、教学过程设计（一）课题引入在平面直角坐标系内，画出几条相对于x轴位置关系不同的几条直线，引导学生观察思考，它们有何不同？确定一条直线的位置需要哪些条件呢？【设计意图】学生在教师“问题串”的引导下去思考，引出本节的课题.（二）探究新知1.倾斜角概念探究1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定呢？师生活动：教师可以固定直线上某一点旋转直线，引导学生发现：经过一点可以作无数条直线，即过一点不能确定一条直线的位置.【设计意图】明确探究方向：探索确定直线位置的几何要素.探究2：如图2，在平面直角坐标系中，过点P 1的不同直线的区别在哪里？ 师生活动：学生思考，必要时教师可以提示学生观察直线相对于x 轴的倾斜程度.【设计意图】引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同.从而发现直线上一点和直线的倾斜程度能确定一条直线.探究3：在直角坐标系中，任何一条直线与x 轴都有一个相对倾斜度，怎么描述直线的倾斜程度呢？师生活动：教师板书倾斜角的概念，展示几个倾斜角不同的直线，让学生找出其倾斜角.【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念.2.斜率的概念探究4：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，展示图3和图4.图3 图4【设计意图】结合学生的生活经验寻找表示直线倾斜程度的量.让学生体会数学概念来自于日常生活.探究5：日常生活中，我们经常能够用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”.如果使用“倾斜角”的概念，你认为“坡度”和“倾斜角”有什么关系？由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？师生活动：教师展示图5,学生思考讨论，教师引导总结并板书斜率概念.【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念.探究6：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？师生活动：根据斜率和倾斜角的关系式，结合图6探究用斜率表示直线的倾斜程度时应该注意的地方.比如：倾斜角为90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，斜率也不同.【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度.3.倾斜角和斜率的变化关系探究7：结合图7所示的“几何画板”课件，探究直线的倾斜角和斜率的变化关系.师生活动：教师或学生操作演示“几何画板”课件，观察直线的倾斜角和斜率的变化情况，完成相关问题.前进图5 升高图6方法：点击“点B 运动”的动画按钮，观察直线OB请回答下列问题：（1（2（3）直线的斜率何时为0？此时直线的倾斜角为多少度？（4）直线和x 轴垂直时，倾斜角为多少度？斜率呢？（5）直线的斜率、倾斜角分别在什么范围内变化？直线OB 的倾斜角α=直线OB 的斜率k=70.337°2.799探究1 图7【设计意图】通过动画操作演示，学生会更直观地观察到直线的倾斜角和斜率的变化情况，对这两个概念更加明晰.4.斜率公式探究8：我们知道：两点确定一条直线.直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率与直线上两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2, y 2)（其中x 1≠x 2）的坐标有什么关系呢？师生活动：学生在教师的引导下，通过合作探究推导出过两点的直线的斜率公式.【设计意图】让学生自己通过自主探究，推导出过两点的直线的斜率公式. 探究9：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?师生活动：总结出利用直线上的两点计算斜率的公式：k =（x 1≠x 2）.【设计意图】通过自己的探索，完善两点式斜率公式k =（x 1≠x 2），检验得到公式与P 1、P 2两点的顺序无关.（三）探究应用例1.如图8，已知A (3，2),B (-4，1),C （0，-1）,求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.师生活动：学生自主探究，教师展示学生的解答，师生共同讲评.【设计意图】直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系.例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线.师生活动：学生自主探究，教师投影展示学生的解答，师生共同探究如何快速作出经过一点和斜率确定的直线.（如图9）.【设计意图】要求学生画图，体验数形结合的思想方法.熟练应用两点式斜率公式.（四）变式训练教材中本节小练习.师生活动：学生自主练习（或请个别同学板演），教师巡查指导，展示讲评学生的解答.【设计意图】通过变式训练，巩固本节所学知识.（五）小结（1）在本节课中，你学到了哪些知识点？（2）你学习了哪些数学方法？图8 图9师生活动：请学生口头小结或写出小结概要，教师指导总结.【设计意图】培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括.（六）作业教材习题3.1 A组2，3，4.【设计意图】通过作业练习，复习本课所学知识，提高解决问题、分析问题的能力.。
