2017届江西省赣州市高三数学(理)一模试题及答案解析

2017-2018学年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．56．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．459．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．811．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．12812．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=______．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=______．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为______．16．在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．2017-2018学年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】分别解不等式，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}=[﹣1，2]，∵lg（x+1）＜1=lg10，∴﹣1＜x＜9，∴B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z=1+i代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：∵复数z=1+i，∴===2，故选：A．3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】对照选项，可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==2，一个焦点（c，0）到一条渐近线y=x的距离为1，可得=b=1，又c2=a2+1，解得a=，即有双曲线的方程为﹣y2=1．故选：A．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】数列的求和．【分析】通过在a m+n=a m•a n中令m=1，结合a1=2数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，进而计算可得结论．【解答】解：∵对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，∴对任意nN*，都有a n+1=a1•a n，又∵a1=2，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴S n==2（2n﹣1），∴==5，故选：D．6．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据条件若事件A发生的概率P（A）=1，则等价为面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域即可．【解答】解：若满足事件A发生的概率P（A）=1，则2x﹣y≥1对应的平面区域在平面区域E内，A．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．B．平面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域，满足条件．C平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．D．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．故选：B7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】定积分．【分析】先根据图象求出f（x）的表达式，在分段求出定积分．【解答】解：当0≤x≤1，f（x）=x﹣1，当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x﹣1，则dx=（x+1）（x﹣1）dx+（x+1）（﹣x﹣1）dx=（x2﹣1）dx﹣（x2+2x+1）dx=（）|﹣（）|=﹣1+（﹣+1﹣1）=﹣1，故选：D．8．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．45【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据甲，可以分两类，第一类，甲在10月5日值班，第二类，甲不在10月5日值班，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：第一类，甲在10月5日值班，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有A42=12种，第二类，甲不在10月5日值班，则甲再10月2，3，4天选择一天，丙在除了10月5日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，故有3×3×3=27种，根据分类计数原理可得，共有12+27=39种，故选：B．9．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，设出底面三角形的外心G，找出三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求．【解答】解：如图，取BC中点为E，连接AE，∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，∴△ABC的外心G在AE上，设为G，取AB中点F，连接GF，在Rt△AEB中，由BE=1，∠BAE=60°，得AF==，又在Rt△AFG中，得，过G作PA的平行线与PA的中垂线HO交于O，则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，即R=OA，由4πR2=8π，得R=，∵PA⊥平面ABC，∴OG⊥AG，在Rt△AGO中，求得OG=，∴三棱锥P﹣ABC的高PA=2OG=，则三棱锥的体积为V=．故选：B．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，由|AF|=3|FB|，可得x A+2=3（x B+2），再利用根与系数的关系可得k，即可得出．【解答】解：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），联立，化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x A+x B=，x A x B=4．∵|AF|=3|FB|，∴x A+2=3（x B+2），联立解得：k=．∴P．∴|PF|==8．故选：D．11．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．12．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=1对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3的对称轴为x=1，∴由f（x2﹣2x+3）=g（x）得g（x）关于x=1对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有5个根，则其中一个根x=1，其余四个根两两关于x=1对称，则关于对称的根分别为x1，和x2，x3和x4，则，，则x1+x2=2，x3+x4=2，则这5个根之和为2+2+1=5，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据图形，，而，且，这样即可求出的值，即得出的值．【解答】解：==2•2cos120°=﹣2．故答案为：﹣2．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ+）的值，再利用两角差的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ为第二象限角，若＞0，∴θ+为第三象限角，由=，sin（θ+）＜0，cos（θ+）＜0， +=1，求得sin（θ+）=﹣，则sinθ+cosθ=2sin（θ+）=﹣，故答案为：﹣．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．【考点】线性回归方程．【分析】求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数b的值．【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y=bx2﹣的方程，即y1=b﹣，y2=b﹣，…，y6=b﹣，∴y1+y2+…+y6=b（++…+）﹣×6；又y i=13，x i2=21，∴13=b×21﹣6×，解得b=．故答案为：．16．在等差数列{a n }中，首项a 1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 200 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a n ，a n+1，a n+2，…，a n+m ﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，从而可得10（2n +1）+90﹣2（m +n ）﹣1=185，从而求得． 【解答】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185=9•a 中，故a 中=20（舍去）；故设9项为a n ，a n+1，a n+2，…，a n+m ﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9， 其中（0＜m ＜9，m ∈N *）故10a n +×2﹣a m+n =185，即10（2n +1）+90﹣2（m +n ）﹣1=185， 故m=9n ﹣43， 故n=5，m=2； 故10×a 5+×2=110+90=200；故答案为：200．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC ，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cosB +（cosA ﹣2sinA ）cosC=0． （Ⅰ）求cosC 的值；（Ⅱ）若a=，AB 边上的中线CM=，求sinB 及△ABC 的面积． 【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinAsinC ﹣2sinAcosC=0，由sinA ≠0，可得tanC=2，利用同角三角函数基本关系式即可求cosC 的值． （Ⅱ）由，两边平方得b 2+2b ﹣3=0，解得b ，由余弦定理可解得c 的值，即可求得sinB ，利用三角形面积公式即可求△ABC 的面积． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）因为cosB=﹣cos （A +C ）=﹣cosAcosC +sinAsinC ，… 又已知cosB +（cosA ﹣2sinA ）cosC=0， 所以sinAsinC ﹣2sinAcosC=0，…因为sinA ≠0，所以sinC ﹣2cosC=0，… 于是tanC=2，…所以．…（Ⅱ）因为，…两边平方得b 2+2b ﹣3=0，解得b=1，…在△ABC 中，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=4，所以c=2，…由此可知△ABC 是直角三角形，故，…可得：△ABC 的面积．…18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图，利用茎叶图能求出结果．（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图：由茎叶图得到：（1）乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度．（或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度）．（2）乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散．（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中（稳定）．（3）甲品种树苗的高度的中位数为27mm，乙品种树苗的高度的中位数为35.5mm．（4）甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．乙品种树苗的高度不对称，其分布不均匀．（注：以上四点答对任意两点均给分）…（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，，，，…EX==．…19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出△A1AB和△A1AD均为正三角形，A1O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A1BD⊥平面A1AC．（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D…设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD…又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC…而BD⊂平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC…解：（Ⅱ）由A1B=A1D及，知A1B⊥A1D…又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°…于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD得A1O⊥底面ABCD…如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），，…设平面B1BD的一个法向量为，由得，令x=1，得…平面A1BD的一个法向量为，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，则…解得θ=45°，故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．…20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…∴依题意知，即…∴C 的离心率…（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x ﹣c ，代入椭圆方程得…设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则，…设M （x 0，y 0），则①…由得…代入①得…因为，，所以②…而…从而②式不成立． 故不存在点M ，使成立…21．设函数f （x ）=e x +ln （x +1）﹣ax ．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f （x ）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x ≥0时，f （x ）≥cosx 恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=2时，f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），，记，则，分类讨论，即可证明：函数f （x ）在定义域内单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x ）在（0，+∞）上递增，分类讨论，利用当x ≥0时，f （x ）≥cosx 恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），…记，则当x ＞0时，e x ＞1，，此时g'（x ）＞0…当x ＜0时，e x ＜1，，此时g'（x ＜0…所以f'（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，…故f'（x）≥f'（0）=0，从而f（x）在（﹣1，+∞）上递增…（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）=2﹣a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上递增…故f（x）≥f（0）=1≥cosx恒成立…当a＞2时，记φ（x）=f（x）﹣cosx，则记，则当x＞1时，…显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增…又φ'（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得φ'（x0）=0…所以φ（x）在（0，x0）上递减，所以当x∈（0，x0）时，φ（x）＜φ（x0）=0，即f（x）＜cosx，不符合题意…综上，实数a的取值范围是a≤2…请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：△ABD≌△BCE，…∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P，D，C，E共圆．…（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，由正弦定理知∠CED=90°．…由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，所以AP⊥CP．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C2，运用三角函数的恒等变换可得极坐标方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，可得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，即为ρ2﹣ρ（sinθ+cosθ）=0，可得C2的极坐标方程为，设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则，由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，从而，即有ρ（sinθ+cosθ）=4，故C3的直角坐标方程为x+y=4；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），则M到直线C3的距离，所以=，解得．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据基本不等式得出ab（a=b时等号成立），利用a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）求解即可．（2）根据+=2．∴a，代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3求解即可得出ab=1【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+=2．∴a、b为正实数，且+=2≥2（a=b时等号成立）．即ab（a=b时等号成立）∵a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）．∴a2+b2的最小值为1，（2）∵且+=2．∴a∵（a﹣b）2≥4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3即（2）2﹣4ab≥4（ab）3即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，∵a、b为正实数，∴ab=12017-2018学年9月16日。

赣州市2017年高三摸底考试理科数学参考答案一、选择题1～5.BBCBA ； 6～10.BAACD ； 11～12.DB .12.解：由2BA BD BC =⋅知BA BC BD BA=，又ABD ABC ∠=∠，故ABD ∆∽ABC ∆，从而BAD ACB ∠=∠，又由2AEB BAD ∠=∠可知9AE EC ==，于是15BE =，而12AB =，在ABE ∆中，由余弦定理可算得4cos 5B =，进而得3sin 5B =. 1sin 32.42ADE ABE ABD S S S AB DE B ∆∆∆=-=⋅= 二、填空题13.1-； 14.10 15.13； 16.(2,)+∞. 17.解：（1）由53是2a -与9a 的等比中项，得2945a a =-①…………………………1分 由1020S =-，得1104a a +=-，于是294a a +=-②……………………………………2分 由①②知29,a a 是关于x 的一元二次方程24450x x +-=的两个根，解得129,5x x =-=……………………………………………………………………………3分 因为的公差0>d ，所以299,5a a =-=……………………………………………………4分 从而921()27d a a =-=，12211a a =-=-………………………………………………5分 故213n a n =-…………………………………………………………………………………6分（2）记11111()2213211n n n c a a n n +==---………………………………………………8分 设{}n c 的前n 项和为n B ，则111()211211n B n =---……………………………………10分 因为当5n ≤时，n n b c =-，当6n ≥时，n n b c =，所以，6n ≥时……………………11分 1256()()n n T c c c c c =-++++++1251252112()()222422n n c c c c c c B B n =-+++++++=-+=--- ……………12分 18.证明：（1）因为侧面11ACC A ⊥底面ABC ，BC AC ⊥所以BC ⊥平面11ACC A ……………………………………………………………………2分 又1AC ⊂平面11ACC A ，故1BC AC ⊥……………………………………………………3分因为11A B AC ⊥，所以1AC ⊥平面1A BC又1AC ⊂平面1ABC ，所以平面1A BC ⊥平面1ABC （2）由1AC ⊥平面1A BC 知11AC AC ⊥， 故平行四边形11ACC A 由直线1AA 与底面ABC 所成的角为60 ，可知160A AC ∠= …………………………8分不妨设2AC =，如图，建立空间直角坐标系，则11(2,0,0),(0,2,0),(0,1(0,1B A A C - (2,2,0)AB =- ，1(0,AC =- ………………………………………………………9分设平面1ABC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则由100AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得00x y z -=⎧⎪-=， 令1y =，得(1,1=n …………………………………………………………………10分 1(0,1AA =- ，设直线1AA 与平面1ABC 所成角为θ，则1sin |cos ,|AA θ=<>= n …………………………………………………………12分 19.解：（1）记第i 局A 队胜为事件i A （1,2,3,4i =），比赛结束时A 队得分高于B 队的事件记为C ，则123431241()()()[1()]2P C P A A A A P A P A A A =+-=……………………4分 （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4,5………………………………………………………5分 则12341(0)()16P X P A A A A ===，14313(1)C ()216P X === 241234311(2)()C ()24P X P A A A A ==+=，14313(4)C ()216P X === 1(5)16P X ==，131131(3)11616416164P X ==-----=…………………………10分 X …………………………11分 131131501234516164416162EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………12分 C 120.解：（1）直角三角形12PF F 内切圆的半径12121(||||||)2r PF PF F F a c =+-=-依题意有1a c -=………………………………………………………………………2分又c a =，由此解得1a c =，从而1b =…………………………………………3分 故椭圆E 的方程为2212x y +=………………………………………………………………4分 （2）设直线AB 的方程为y x m =+，代入椭圆E 的方程，整理得2234220x mx m ++-=由0∆>得m <<5分设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212422,33m m x x x x -+=-=………………………………6分21|||AB x x =-=……………………………………………………………7分而||AC =，由m <<||AC =…………………………………8分所以由已知可得||||6AB AC +==整理得24130710m m +-=，解得1m =或7141m =->10分 所以直线AB 的方程为1y x =+或7141y x =-……………………………………………12分 21.解：（1）ax x f x 2e )(+='………………………………………………………………1分记ax x g x 2e )(+=，则a x g x2e )(+='…………………………………………………2分①当0a =时，()e x f x =，显然不含题意…………………………………………………3分 当0a >时，0)(>'x g ，于是)(x f '在R 上单调递增，因为01)0(>='f ，01)21(21<-=-'-a e af ，所以)(x f y '=有唯一的零点1x ，显然当),(1x x -∞∈时， 0)(<'x f ，当),(1+∞∈x x 时，0)(>'x f ，这样，函数)(x f 在R 上不单调，不合题意…………………………………………………3分②当0a <时，由0)(='x g 得)2ln(a x -=，于是)(x f '在))2ln(,(a --∞递减， 在)),2(ln(+∞-a 递增，因此要满足题意，必须且只需0)]2[ln(=-'a f ，即0)2ln(22=-⨯+-a a a ，解得2e -=a …………………………………………………6分 （2）当0a <时，若1x a>-，则10ax +<，根据指数函数与幂函数的增长速度知， 存在0x ，当0x x >时，必有2e x ax >-，即2e 0x ax +>， 因此当01max{,}x x a >-，有()01f x ax <+，显然不合题意…………………………………8分 当0a ≥时，记2()e 1x h x ax ax =+--，则()11f x ax ≥+当且仅当()0h x ≥ ()e 2x h x ax a '=+-，显然()h x '在[0,)+∞上递增①当1a ≤时，()e 20x h x ax a '=+-≥，所以()h x 在[0,)+∞上递增，所以()(0)0h x h ≥=…………………………………………9分 ②当1a >时，由(0)11h a '=-<，(1)e 0h a '=+>知()0h x '=在[0,)+∞上有且仅有一个实根，不妨设该实根为1x ，当10x x <<时，()0h x '<，从而()h x 在1(0,)x 上递减，故当1(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，不合题意…………………………………………10分 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]22.解：（1）曲线C 的普通方程为22410x y x +-+=………2分 曲线C 的参数方程为2(x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)……………4分 （2）由直线l 的参数方程知直线l 过点(4,0)A (2,0)直线l 的普通方程为(4)y k x =-……………………………………………………………6分 =k =7分所以直线的倾斜角分别为60和120 ………………………………………………………8分由224104)x y x y x ⎧+-+=⎪⎨=-⎪⎩，解得切点坐标为7(,22或7(,22-………………………10分 23.解：（1）因为|||1||(1)|1x x x x --≤--=，所以1()1f x -≤≤…………………2分 故|1|1m -≤，即02m ≤≤，所以[0,2]M =……………………………………………4分（2）依题意知222a b +=，所以2()22a b ab +=+，又222a b ab +≥，所以01ab <≤…………………………………………………………6分 222()(2)2[12()]2(1)(12)0a b ab ab ab ab ab +-=+-=-+≥………………………8分 故22()(2)a b ab +≥，从而2a b ab +≥…………………………………………………10分。

2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞13．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．85．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞18．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为．14．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是．15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？21．（12分）设f（x）＝（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min＝，数列{a n}与{b n}满足如下关系：a1＝2，，．（1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有b n≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l过点A（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B 满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：＝＝＝2，故选：A．2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞1【解答】解：∵log a（3a﹣1）＞0，∴log a（3a﹣1）＞log a1，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故选：D．3．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，故①不正确；对于②，若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内，则A、B到α的距离相等，但l与α相交，故②不正确；对于③，若l⊥α，l∥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；对于④，若α∥β且l∥α，可得l∥β或l在β内，而条件中有l⊄β，所以必定l ∥β，故④正确．故选：D．4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．8【解答】解：∵一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，设这正三棱柱棱长为2a，如图，则AB＝a，AO′＝a．OO′＝a，∴7＝a2+a2＝a2．整理，得a2＝3，∴a＝．∴棱长为2a＝2．∴这正三棱柱的体积：V＝＝18．故选：A．5．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）的图象把f（x）的沿y轴对折，再向右平移的单位，当0＜x＜时，sin x＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sin x＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，故选：D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．【解答】解：A∩B≠∅，即是说方程组有解．由①得4﹣cos2β＝λ+sinβ，得出λ＝3+sin2β﹣sinβ＝（sinβ﹣）2+；∵sinβ∈[﹣1，1]，∴当sinβ＝时，λ的最小值为，当sinβ＝﹣1时，λ的最大值为5．故选：D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞1【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）＝|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）＝在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a≤；故选：A．8．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对【解答】解∵f（x o）＝0，∴nf（x o﹣）＝﹣，∵f（x）在x o处可导，﹣）＝﹣＝﹣＝∴nf（x﹣f′（x0）＝﹣a，故选：C．9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定【解答】解：作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：丨PF1丨：丨PT 丨＝e又＝e，故丨PT丨＝丨PF2丨，由抛物线定义知l为抛物线准线故F1到l的距离等于F1到F2的距离，即（﹣c）﹣（﹣）＝c﹣（﹣c），整理得：a＝c，e＝＝，故选：C．10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个【解答】解：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而＝＝2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．故选：B．11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：掷一个骰子的试验，基本事件总数n＝6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生包含的基本事件有：1，2，3，4，共有4个元素，∴一次试验中，事件A+发生的概率为：p＝＝．故选：C．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种【解答】解：设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2＝72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有＝48．根据分类计数计数原理得共有72+48＝120种．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为11．【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中，存在系数之比为5：7的相邻两项，∴＝，∴＝，∴k＝，当k＝5时，n min＝11，故答案为：1114．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是（0，1）∪（1，4]．【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是x＝﹣9或x＝7．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，而圆方程为（x﹣P）2+y2＝16，又（﹣1，0）在圆上，∴（P+1）2＝16，即P＝﹣5或P＝3，∴另一条切线方程为x＝﹣9或x＝7，故答案为：x＝﹣9或x＝7．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．【解答】解：①A+B＝，可得A＝﹣B，∴sin A＝cos B，反之sin A＝cos B，A+B＝+2kπ（k∈Z），∴A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件，正确．②的展开式，通项为，令r﹣3＝0，可得r＝2，常数项是第3项，不正确．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，可得S n＝S n﹣+2，两式相减可得a n+1＝a n，故数列{a n}为等比数列，正确；1④f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1），则f′（x）＝2x﹣1∈[﹣3，1]，K的取值范围是[﹣3，1]，不正确．故答案为①③．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．【解答】解：（I）∵＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，∴＝tan＝，∴tan＝，又0＜B＜π，∴0＜＜，∴＝，即B＝，A+C＝；…（6分）（II）由（1）可得sin A+sin C＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+cos A﹣sin A＝sin A+cos A＝sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴sin（A+）∈（，1]，则sin A+sin C∈（，1]，当且仅当A＝C＝时，sin A+sin C＝1．…（13分）18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）∵球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，∴甲队至少胜一场的概率p＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝4）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（ξ＝5）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝，P（ξ＝6）＝××，∴ξ的分布列为：．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝﹣e﹣x（ax2+a+1）+e﹣x•2ax＝e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）．因为e﹣x＞0，以下讨论函数g（x）＝﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况：当a＝0时，g（x）＝﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＞0时，g（x）＝0的判别式△＝4a2﹣4（a2+a）＝﹣4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＜0时，g（x）＝0有两个根x1＝，并且＜，，2所以在区间（﹣∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当﹣1＜a＜0时，＝1+＜1，＝1+＞2，所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？【解答】解：（1）证明：连DB，设DB∩AC＝O，则在矩形ABCD中，O为BD中点．连EO．因为E为DP中点，所以，OE∥BP．又因为OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以，PB∥平面EAC．（2）正三角形P AD中，E为PD的中点，所以，AE⊥PD，又面PDC∩面P AD＝PD，所以，AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．由于正三角形P AD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以PD＝AD＝AB＝DC 所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．所以，∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△AEM中，．即二面角A﹣PC﹣D的正切值为．（4）设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD．又面P AD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x则，解之得：．所以，当＝时，PB⊥AC．21．（12分）设f （x ）＝（a ＞0）为奇函数，且|f （x ）|min ＝，数列{a n }与{b n }满足如下关系：a 1＝2，，．（1）求f （x ）的解析表达式； （2）证明：当n ∈N +时，有b n ≤．【解答】解：由f （x ）是奇函数，得b ＝c ＝0，由|f （x ）min |＝，由基本不等式可得2＝2得a ＝2，故f （x ）＝（2）＝，＝＝b n 2∴b n ＝b n ﹣12＝b n ﹣24═，而b 1＝∴b n ＝当n ＝1时，b 1＝，命题成立，当n ≥2时∵2n ﹣1＝（1+1）n ﹣1＝1+C n ﹣11+C n ﹣12++C n ﹣1n ﹣1≥1+C n ﹣11＝n ∴＜，即b n ≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l 过点A （）和椭圆的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法一：由点B满足：，||＝||．可得O点和B点关于直线l对称．直线l：y＝x﹣2①过原点垂直l的直线方程为②解①②得，∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．解法二：直线l：y＝x﹣2，设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p＝3．∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．（2）若直线MN平行于y轴，则y1+y2＝0，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y＝kx+b，由得（2+6k2）x2+12kbx+6b2﹣12＝0，△＝144k2b2﹣4（2+6k2）（6b2﹣12）＞0，即（2+6k2）﹣b2＞0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴，由已知，代入①得：4b﹣b2＞0，即0＜b＜4，，∵，∴u在（0，4）上是增函数，∴，故不存在最小的常数m，使u≤m成立．。

2017年江西省九校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．已知复数z满足•z=3+4i，则|z|=（）A．2 B．C．5 D．53．已知R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=x2+x﹣1，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣24．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π5．下列命题正确的个数为（）•①“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02≤0”；‚②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件；ƒ③命题“若m≤，则方程mx2+2x+2=0有实数根”的否命题为真命题．A．0 B．1 C．2 D．36．美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A．2.81 B．2.82 C．2.83 D．2.847．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．附表：由K2=算得，K2=≈9.616参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”8．若x，y满足条件，则目标函数z=x2+y2的最小值是（）A．B．2 C．4 D．9．已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（0，6]C．[﹣2，﹣1]∪[3，6] D．[﹣2，0）∪（0，6]10．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为（）A．B．C．D．11．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，左顶点为A，过F1作x 轴的垂线交双曲线于P、Q两点，过P作PM垂直QA于M，过Q作QN垂直PA于N，设PM与QN的交点为B，若B到直线PQ的距离大于a+，则该双曲线的离心率取值范围是（）A．（1﹣）B．（，+∞） C．（1，2）D．（2，+∞）12．若函数f（x）=[x3+3x2+9（a+6）x+6﹣a]e﹣x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣∞，﹣7）C．（﹣8，﹣7）D．（﹣8，﹣7]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13．（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为．14．（2x+）dx=．15．已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的取值范围是．16．△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记，则当λ取最大值时，tan∠ACD=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，设数列{c n}的前n项和为T n，求T n．18．在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角，，平面ABCD⊥平面ABFE．（1）求证：DB⊥EC；（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．19．一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1，2，3，4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次．（1）设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A发生的概率；（2）设X为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，M为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且△MF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（0，﹣2）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足（O 为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x+ax，（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2（1）求a的取值范围；（2）证明：；（f′（x）为f（x）的导函数）（3）设点C在函数f（x）的图象上，且△ABC为等边三角形，记，求（t﹣1）（a+）的值．[选修4-4：参数方程与坐标系]22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（a＜0）（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集（2）证明：．2017年江西省九校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．2．已知复数z满足•z=3+4i，则|z|=（）A．2 B．C．5 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：===i，复数z满足•z=3+4i，∴iz=3+4i，∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，则|z|==5．故选：D．3．已知R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=x2+x﹣1，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）为奇函数即可得出f（﹣1）=﹣f（1），进而得出f[f（﹣1）]=﹣f[f（1）]，而根据x＞0时f（x）的解析式即可求出f（1）=1，从而可求出f[f （﹣1）]的值．【解答】解：根据条件，f[f（﹣1）]=f[﹣f（1）]=﹣f[f（1）]=﹣f（1）=﹣1．故选A．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V=．故选：D．5．下列命题正确的个数为（）•①“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02≤0”；‚②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件；ƒ③命题“若m≤，则方程mx2+2x+2=0有实数根”的否命题为真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02＜0”；②，当“x≠3”时“|x|=3”成立；③，当m时，△=4﹣8m＜0，方程mx2+2x+2=0无实数根，【解答】解：对于•①，“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02＜0”，故错；对于 ②，当“x≠3”时“|x|=3”成立，故错；对于 ③，命题“若m≤，则方程mx2+2x+2=0有实数根”的否命题为：“若方程mx2+2x+2=0无实数根”，则“m＞“，当m时，△=4﹣8m＜0，方程mx2+2x+2=0无实数根，故正确，故选：B6．美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A．2.81 B．2.82 C．2.83 D．2.84【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算n值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=8，n=2，ξ=0.5m=4，n=3不满足条件|m﹣n|＜0.5，m=2.67，n=2.84满足条件|m﹣n|＜0.5，退出循环，输出n的值为2.84．故选：D．7．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．附表：由K2=算得，K2=≈9.616参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”【考点】独立性检验．【分析】根据K2=≈9.616＞6.635，有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，即可求得答案．【解答】解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K2=≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选：C．8．若x，y满足条件，则目标函数z=x2+y2的最小值是（）A．B．2 C．4 D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，∵原点O到直线x+y﹣2=0的距离d=，∴z=x2+y2的最小值是2．故选：B．9．已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（0，6]C．[﹣2，﹣1]∪[3，6] D．[﹣2，0）∪（0，6]【考点】两条直线的交点坐标；直线的斜率．【分析】由题意知，两点A，B分布在直线的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围【解答】解：由题意得：两点A（1，2），B（2，11）分布在直线y=（m﹣）x+1（m≠0）的两侧，∴（m﹣﹣2+1）[2（m﹣）﹣11+1]≤0，解得：﹣2≤m≤﹣1或3≤m≤6，故选：C．10．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x 0）=3求出sin （x 0+）的值，可得cos （x 0+）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx 0 =sin [（x 0+ ）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且 =，解得ω=1再由五点法作图可得 1•+φ=，解得 φ=．故函数的解析式为 f （x ）=5sin （x + ）．再由f （x 0）=3，x 0∈（，），可得 5sin （1•x 0+）=3，解得 sin （x 0+ ）=，故有cos （x 0+ ）=﹣，sinx 0 =sin [（x 0+ ）﹣]=sin （x 0+ ）cos﹣cos （x 0+）sin =﹣（﹣）=．故选A ．11．设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F 1，左顶点为A ，过F 1作x轴的垂线交双曲线于P 、Q 两点，过P 作PM 垂直QA 于M ，过Q 作QN 垂直PA于N ，设PM 与QN 的交点为B ，若B 到直线PQ 的距离大于a +，则该双曲线的离心率取值范围是（）A．（1﹣）B．（，+∞） C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的对称性，则B（x，0），由k BP•k AQ=﹣1，求得c+x=﹣，由B到直线PQ的距离d=x+c，由丨﹣丨＞a+，即可求得＞1，利用双曲线的离心率公式即可求得e的取值范围．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），由双曲线的对称性可知B在x轴上，设B（x，0），则BP⊥AQ，则k BP•k AQ=﹣1，∴•=﹣1，则c+x=﹣，由B到直线PQ的距离d=x+c，∴丨﹣丨＞a+，则＞c2﹣a2=b2，∴＞1，由椭圆的离心率e==＞，双曲线的离心率取值范围（，+∞），故选B．12．若函数f（x）=[x3+3x2+9（a+6）x+6﹣a]e﹣x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣∞，﹣7）C．（﹣8，﹣7）D．（﹣8，﹣7]【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】f′（x）=[﹣x3﹣（9a+48）x+10a+48]e﹣x，令g（x）=﹣x3﹣（9a+48）x+10a+48，则g（2）＞0，g（4）＜0，即可求出实数a的取值范围【解答】解：f′（x）=[﹣x3﹣（9a+48）x+10a+48]e﹣x令g（x）=﹣x3﹣（9a+48）x+10a+48，则g（2）＞0，g（4）＜0，∴﹣8＜a＜﹣7∴实数a的取值范围为（﹣8，﹣7）．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13．（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）4的展开式通项公式，分析（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项是如何构成的，从而求出结果．【解答】解：（1﹣）（1+x）4的展开式中，=•x r，（r=0，1，2，3，4）．设（1+x）4的通项公式为T r+1则（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为﹣=2．故答案为：2．14．（2x+）dx=1+．【考点】定积分．【分析】利用定积分的运算性质，根据定积分的几何意义，即可求得答案，【解答】解：（2x+）dx=2xdx+dx，由定积分的几何意义可知：dx表示单位圆面积的，即dx=，2xdx=x2=1，∴（2x+）dx=1+，故答案为：1+．15．已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的取值范围是[0，8] ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，讨论P位于切点E和顶点时分别取得最值，即可得到所求取值范围．【解答】解：由题意M，N是直径的两端点，可得+=，•=﹣1，则=（+）•（+）=2+•（+）+•=2+0﹣1=2﹣1，即求正四面体表面上的动点P到O的距离的范围．当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；当P位于A处时，OP即为正四面体外接球半径最大即为3．设正四面体的边长为a，由O为正四面体的中心，可得直角三角形ABE中，AE=a，BE=a，OE=a，AO=a，综上可得2﹣1的最小值为1﹣1=0，最大值为9﹣1=8．则的取值范围是[0，8]．故答案为：[0，8]．16．△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记，则当λ取最大值时，tan∠ACD=2+．【考点】正弦定理．【分析】由sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，得sinB=2cosAsinB，cosA=，可得：A=，由已知得，利用和a2=b2+c2﹣bc可得λ取最值时，a、b、c间的数量关系．【解答】解：∵sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinC﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，由A∈（0，π），可得：A=，在△ADB中，由正弦定理可将，变形为则，∵=∴即a2λ2=4c2+b2+2bc…①在△ACB中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣bc…②由①②得令，，f′（t）=，令f′（t）=0，得t=，即时，λ最大．结合②可得b=，a=c在△ACB中，由正弦定理得⇒，⇒tanC=2+故答案为：2+．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，设数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，则由，得，解得，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．…（2）由（1）可知c n=（2n+1）•2n﹣1．∴T n=3+5×2+7×22+…+（2n+1）•2n﹣1，…①…②①﹣②得：﹣T n=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n=1+2+22+…+2n﹣（2n+1）•2n=2n+1﹣1﹣（2n+1）•2n=（1﹣2n）•2n﹣1，∴T n=（2n﹣1）•2n+1．…18．在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角，，平面ABCD⊥平面ABFE．（1）求证：DB⊥EC；（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出AE⊥AB，BF⊥AB，从而BF⊥BC，设AE=t，以BA，BF，BC 所在的直线分别为x，y，z轴坐标系，利用向量法能证明DB⊥EC．（2）求出平面BEF的一个法向量和平面CEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角C﹣EF﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB=90°，∴AE⊥AB，BF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，∴AE⊥平面ABCD．BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，设AE=t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图坐标系，则B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（1，t，0）∵=0，∴DB⊥EC．…解：（2）由（1）知是平面BEF的一个法向量，设=（x，y，z）是平面CEF的一个法向量，AE=AB=1，E（1，1，0），F（0，2，0），∴=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），则，取z=2，=（1，1，2），∴cos＜＞==，即二面角C﹣EF﹣B的余弦值为．19．一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1，2，3，4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次．（1）设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A发生的概率；（2）设X为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1，3），（2，2），（3，1），可得P（A）．（2）X的可能取值为0，1，2，3，利用相互独立与古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1，3），（2，2），（3，1），P（A）==．…（2）X的可能取值为0，1，2，3且P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．…则X的分布列为E（X）=0×+1×+2×+3×=．…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，M为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且△MF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（0，﹣2）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足（O 为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及焦点三角形的周长公式，求得a和c的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（2）确定四边形OANB为平行四边形，则S OANB=2S△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．【解答】解：（1）由离心率为e==，①则△MF1F2的周长l=2a+2c=4+2，则a+c=2+，②则a=2，c=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程；（2）由，则四边形OANB为平行四边形，当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0…由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，得k2＞∴x1+x2=，x1x2=…=丨OD丨•丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨，∵S△OAB=2丨x1﹣x2丨=2，∴四边形OANB面积S=2S△OAB=2，=2，=8，…令4k2﹣3=t，则4k2=t+3（由上可知t＞0），S=8=8≤8=8=2，当且仅当t=4，即k2=时取等号；∴当k=±，平行四边形OANB面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=±x﹣2．…21．已知函数f（x）=e x+ax，（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2（1）求a的取值范围；（2）证明：；（f′（x）为f（x）的导函数）（3）设点C在函数f（x）的图象上，且△ABC为等边三角形，记，求（t﹣1）（a+）的值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）讨论a的符号，判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，根据零点个数得出f（x）的极小值为负数，列出不等式解出a；（2）计算f′（），根据函数单调性判断f′（）的符号，根据f′（x）的单调性得出结论；（3）用x1，x2表示出P点坐标，根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系，再计算（t﹣1）（a+）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=e x+ax，∴f'（x）=e x+a，若a≥0，则f'（x）＞0，则函数f（x）在R上单调递增，这与题设矛盾．∴a＜0，令f′（x）＞0得x＞ln（﹣a），令f′（x）＜0得x＜ln（﹣a），∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，∴f（x）有两个零点，∴f min（x）=f（ln（﹣a））=﹣a+aln（﹣a），∴﹣a+aln（﹣a）＜0，解得a＜﹣e．（2）证明：∵x1，x2是f（x）的零点，∴，两式相减得：a=﹣．记=s，则f′（）=e﹣= [2s﹣（e s﹣e﹣s）]，设g（s）=2s﹣（e s﹣e﹣s），则g′（s）=2﹣（e s+e﹣s）＜0，∴g（s）是减函数，∴g（s）＜g（0）=0，又＞0，∴f′（）＜0．∵f′（x）=e x+a是增函数，∴f′（）＜f′（）＜0．（3）由得，∴e=﹣a，设P（x0，y0），在等边三角形ABC中，易知，y0=f（x0）＜0，由等边三角形性质知y0=﹣，∴y0+=0，即，∴﹣a+（x1+x2）+=0，∵x1＞0，∴，∴﹣at+（t2+1）+（t2﹣1）=0，即（a+）t2﹣2at+a﹣=0，∴[（a+）t+]（t﹣1）=0，∵t＞1，∴（a+）t+=0，∴，∴．[选修4-4：参数方程与坐标系]22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．（II）把代入x2+（y﹣3）2=9，利用参数的几何意义，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．（Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2=9，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=﹣7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|•|PB|=7．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（a＜0）（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集（2）证明：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，解不等式，即可得出结论；（2）f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|，利用三角不等式，及基本不等式即可证明结论．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x+2|+|x+|，原不等式等价于或或解得：x＜﹣或x∈∅或，所以不等式的解集为{x|x＜﹣或…（2）f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|=…2017年4月4日。

2017年江西省赣州市高考数学一模试卷(理科）一、选择题(本题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin15°+cos165°的值为（）A．B．C．D．2．设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q:函数y=f（x)是单调函数，则p是q的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2,宽为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点）,则p的值为( ）A．1 B．2 C．3 D．45．若（x﹣2y）2n+1的展开式中前n+1项的二项式系数之和为64，则该展开式中x4y3的系数是（）A．﹣B．70 C．D．﹣706．二战中盟军为了知道德国“虎式"重型坦克的数量,采用了两种方法，一种是传统的情报窃取，一种是用统计学的方法进行估计,统计学的方法最后被证实比传统的情报收集更精确，德国人在生产坦克时把坦克从1开始进行了连续编号，在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录，并计算出这些编号的平均值为675.5，假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本,则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有( ）A．1050辆B．1350辆C．1650辆D．1950辆7．复数z1、z2满足｜z1｜=｜z2｜=1，z1﹣z2=，则z1•z2=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i8．函数f(x）=Asin(ωx+φ）(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图,f(）=﹣1,则f（0)的值为（)A．1 B． C．D．9．秦九韶是我国南宋时代的数学家,其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一,秦九韶利用其多项式算法,给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年，如图是该算法求函数f（x）=x3+x+1零点的程序框图，若输入x=﹣1，c=1，d=0.1，则输出的x的值为( )A．﹣0.6 B．﹣0.69 C．﹣0。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。

已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C 【解析】考点:集合的运算.2. 函数()229x y -= ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-【答案】D 【解析】试题分析：由2901011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩得10x -<<或03x <≤,所以函数的定义域为()(]1,00,3-，故选D.考点：函数的定义域. 3。

下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x ="的逆否命题； 其中真命题的个数是（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C 【解析】考点：逻辑联结词与命题. 4。

幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析:因为函数()()226844m m f x m m x-+=-+是幂函数，所以2441m m -+=，即1m =或3m =，当1m =时,函数3()f x x =在()0,+∞为增函数,符合题意；当3m =时，函数1()f x x -=在()0,+∞为减函数，不符合题意,故选B 。

考点：幂函数的定义与性质.5。

已知函数()21xf x =-+,定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】试题分析：()21,02121,0x xx x f x x -⎧-+≥⎪=-+=⎨-+<⎪⎩,所以()()(),021,0,021,0xx f x x x F x f x x x -⎧>⎧-+≥⎪⎪==⎨⎨-<-<⎪⎪⎩⎩，所以当0x <时，()0,21(21)()xx x F x F x --->-=-+=--=-，所以当0x >时，()0,21(21)()x x x F x F x -<-=-=--+=-，所以函数()F x 是奇函数，故选A.考点：1。

赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|650}A x x x =-+≤，{|1}B x x a =<+.若A B ≠∅∩，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．(4,)+∞ D ．[4,)+∞2.已知复数2ia i+-（其中a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则a i +的模为（ ） A ．52B ．55C ．5D ．53.已知变量,x y 成负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =+C ．29.5y x =-+D ． 0.4 4.4y x =-+4.已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+ ，AD t AC =，若,,B O D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．14B ．13 C. 12 D ．235.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则该双曲线C 的离心率为（ ）A ．23B ．2 C.3 D ．2336.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A ． 48里B ．24里 C.12里 D ．6里 7.函数sin (0)ln ||xy x x =≠的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．8.如图，有一建筑物OP ，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40m 的基线AB ，若在点A 处测得P 点的仰角为30°，在B 点处的仰角为45°，且30AOB ∠=°，则建筑物的高度为（ ）A ．20mB ．202m C. 203m D ．40m9.阅读如下程序框图，如果输出5k =，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）A ．25S >-B ．26S <- C.25S <- D ．24S <- 10.将函数()cos 2f x x ω=的图象向右平移34πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]46ππ-上为减函数，则正实数ω的最大值为（ ） A ．12 B ．1 C. 32 D ．311.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若60AFE ∠=°，则AFE ∆的面积为（ ） A ．43 B ．23 C.433 D ．23312.设函数'()f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且1()'()13f x f x =-，则4()'()f x f x >的解集为（ ）A ．ln 4(,)3+∞ B ．ln 2(,)3+∞ C. 3(,)2+∞ D ．(,)3e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在1020171(1)x x-+的展开式中，含2x 项的系数为 ． 14.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．15.已知非零常数α是函数tan y x x =+的一个零点，则2(1)(1cos 2)αα++的值为 ． 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1(1)n n n a a n ++-=，则40S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c ac bc ca ++=++.（1）证明：ABC ∆是正三角形；（2）如图，点D 的边BC 的延长线上，且2BC CD =，7AD =，求sin BAD ∠的值.18. （本小题满分12分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A B C D E 、、、、五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A B C D E 、、、、分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A B 、的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望. 19. （本小题满分12分）如图甲所示，BO 是梯形ABCD 的高，45BAD ∠=°，1OB BC ==，3OD OA =，现将梯形ABCD 沿OB 折起如图乙所示的四棱锥P OBCD -，使得3PC =，点E 是线段PB 上一动点.（1）证明：DE 和PC 不可能垂直；（2）当2PE BE =时，求PD 与平面CDE 所成角的正弦值. 20. （本小题满分12分）已知圆2219:()24E x y +-=，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F E A ，，三点共线，直线l 交椭圆C 于两点M N ，，且(0)MN OA λλ=≠.（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆的面积取到最大值时，求直线l 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈.（1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，求实数a 的取值范围； （2）设21()()2g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：1212ln 1x a x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1l 的方程为3y x =，曲线C 的参数方程为13cos 3sin x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ是参数，0ϕπ≤≤）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出直线1l 与曲线C 的极坐标方程； （2）若直线2:2sin()3303l πρθ++=，直线1l 与曲线C 的交点为A ，直线1l 与2l 的交点为B ，求||AB . 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设实数,a b 满足29a b +=.（1）若|92||1|3b a -++<，求a 的取值范围； （2）若,0a b >，且2z ab =，求z 的最大值.赣州市2016～2017学年度第一学期高三理科数学参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABCBBCADDBAB12.提示：观察3()()3f x f x '=-，由已知可设函数3()2e1xf x =-.二、填空题：13.45； 14.83； 15.2； 16.420. 16.提示：由条件得5191411,,,a a a a a a === ，4012345404141()()()S a a a a a a a a =+++++++- 20(240)4202⋅+==.三、解答题17.解：（1）由222a b c ac bc ca ++=++得222()()()0a b b c c a -+-+-=…………………………………………………………3分 所以0a b b c c a -=-=-=，所以a b c ==………………………………………………4分 即ABC ∆是正三角形…………………………………………………………………………5分 （2）因为ABC ∆是等边三角形，2BC CD =，所以2AC CD =，120ACD ∠=o …………………………………………………………7分 所以在ACD ∆中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠， 可得22744cos120CD CD CD CD =+-⋅o ，解得1CD =………………………………9分 在ABC ∆中，33BD CD ==，由正弦定理可得33sin 3212sin 147BD BBAD AD⋅⋅∠===…………………………………………………12分18.解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B ， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为1238020=……………………………2分 则该校高二年级学生获得成绩为B 的人数约有3100015020⨯=…………………………3分 （2）由于这80名学生成绩的平均分为:1[9100128031602240620]5980⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………4分 且5960<，因此该校高二年级此阶段教学未达标…………………………………………6分 （3）成绩为A 、B 的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A 的有3人，成绩为B 的有4人………………………7分则由题意可得：033437C C 4(0)C 35P X ===，123437C C 18(1)C 35P X ===， 213437C C 12(2)C 35P X ===，303437C C 1(3)C 35P X ===……………………………………10分所以41812190123353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………12分 19.解：如图甲所示，因为BO 是梯形ABCD 的高，45BAD ∠= ，所以AO OB =…………………………………………………………………………………1分 因为1BC =，3OD OA =，可得3OD =，2OC =……………………………………2分如图乙所示，1OP OA ==，2OC =，3PC =，所以有222OP OC PC +=，所以OP OC ⊥………………………………………………3分 而OB OP ⊥，OB OC O = ，所以OP ⊥平面OPD ……………………………………4分 又OB OD ⊥，所以OB 、OD 、OP 两两垂直．故以O 为原点，建立空间直角坐标系（如图）， 则(0,0,1)P ，(1,1,0)C ，(0,3,0)D ………………………5分zyxO EDCBP（1）设(,0,1)E x x -其中01x ≤≤，所以(,3,1)DE x x =-- ，(1,1,1)PC =-，假设DE 和SC 垂直，则0DE PC ⋅=，有3(1)(1)0x x -+-⋅-=，解得2x =，这与01x ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直…………………………6分 （2）因为2PE BE =，所以 21(,0,)33E …………………………………………………7分 设平面CDE 的一个法向量是(,,)n x y z =，因为(1,2,0)CD =- ，11(,3,)33DE =- ，所以0n CD ⋅= ，0n DE ⋅= ，即20213033x y x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩………………………………………………………………………9分 取(2,1,5)n =………………………………………………………………………………10分而(0,3,1)PD =- ，所以3cos ,15PD n PD n PD n⋅<>==⋅所以PD 与平面CDE 所成角的正弦值为315……………………………………………12分 20．（1）OyxF 2F 1AE如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点1F ，2F ， 所以2219(0)24c +-=，解得2c =……………………………………………………1分 因为1F ，E ，A 三点共线，所以1AF 为圆E 的直径， 所以212AF F F ⊥…………………………………………2分 因为2222121AF AF AF =-=，所以1224a AF AF =+=．所以2a =…………………………………………………4分 由222a b c =+，得2b =．所以椭圆C 的方程为22142x y +=…………………………………………………………5分（2）由（1）得，点A 的坐标为(2,1)，因为(0)MN OA λλ=≠所以直线l 的斜率为22，设直线l 的方程为22y x m =+……………………………6分 联立2222142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22220x mx m ++-=………………………………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，由22(2)4(2)0m m ∆=-->，得22m -<<．因为1221222x x m x x m ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩所以22121123MN kx x m =+-=-………………………………………………9分又点A 到直线l 的距离为63d m =， 211612223AMN S MN d m m ∆==-⋅ 2222224(4)2222m m m m -+=-≤⋅=…………………………………………10分 当且仅当224m m -=，即2m =±时，等号成立……………………………………11分 所以直线l 的方程为222y x =+或222y x =-…………………………………12分 21．（1）因为1()2,0f x a x x'=->………………………………………………………1分 因为函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，所以()2f x '=在(0,)+∞上有解……………………………………………………………2分 即122a x -=在(0,)+∞上有解，也即122a x+=在(0,)+∞上有解， 所以220a +>，得1a >-故所求实数a 的取值范围是(1,)-+∞………………………………………………………4分 （2）因为2211()()ln 222g x f x x x x ax =+=+- 因为2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=……………………………………………………5分①当11a -≤≤时，()g x 单调递增无极值点，不符合题意………………………………6分 ②当1a >或1a <-时，令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ， 因为1x 为函数()g x 的极大值点，所以120x x <<， 又12121,20x x x x a =+=>，所以11,01a x ><<，所以211111()20g x x ax x '=-+=，则21112x a x +=………………………………………8分 要证明1211ln 1x a x x +>，只需要证明2111ln 1x x ax +> 因为332111111111111ln 1ln 1ln 1222x x x x x ax x x x x x ++-=-+=--++，101x <<， 令31()ln 122x h x x x x =--++，(0,1)x ∈……………………………………………9分 所以231()ln 22x h x x '=--+，记231()ln 22x p x x =--+，(0,1)x ∈，则2113()3x p x x x x-'=-+=当303x <<时，()0p x '>，当313x <<时，()0p x '<， 所以max 33()()1ln 033p x p ==-+<，所以()0h x '<……………………………11分 所以()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h x h >=，原题得证……………………12分 22．（1）直线1l 的极坐标方程为3ρπ=…………………………………………………2分 曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线C 的极坐标方程为22cos 20,0ρρθθ--=≤≤π…………………………5分（2）设11(,)A ρθ，则有22cos 203ρρθθ⎧--=⎪⎨π=⎪⎩，解得112,3ρθπ==………………7分 设22(,)B ρθ，则有2sin()33033ρθθπ⎧++=⎪⎪⎨π⎪=⎪⎩，解得223,3ρθπ=-=…………………9分 所以12||||5AB ρρ=-=……………………………………………………………………10分 23.(1) 由29a b +=得92a b =-，即|||92|a b =-， 所以|||1|3a a ++<，解得22a -<<，所以a 的取值范围(2,2)-……………………………………………5分 (2) 因为,0a b >, 所23332()()32733a b b a b z ab a b b +++==⋅⋅≤=== 当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27…………………………………10分 （注：也要可用导数求解）。

2017届江西省赣州市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．已知复数z 满足()2112i z i -⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点为（ ） A. 11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】复数z 满足()2112i z i -⋅=+， ()()2212121221122221i i ii i z i i i i +++-+=====-+---, 112z i =--, 在复平面内复数z 对应的点为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选A.2．对于下列说法正确的是（ ） A. 若()f x 是奇函数，则()f x 是单调函数B. 命题“若220x x --=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则220x x --=”C. 命题:,21024xp x R ∀∈>，则0:p x R ⌝∃∈， 021024x<D. 命题“()2,0,2xx x ∃∈-∞<”是真命题【答案】D【解析】对于A.举例， ()f x sinx =，可知函数是奇函数，但不单调，不正确；对于B ，命题“若220x x --=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则220x x --≠”，不正确；对于C. 命题:,21024xp x R ∀∈>，则0:p x R ⌝∃∈， 021024x≤，不正确；对于D, 1x ∃=-，有()2112112-=<=-，正确，故选D. 3．如图， ABCD 是以O 为圆心、半径为2的圆的内接正方形， EFGH 是正方形ABCD 的内接正方形，且E F G H 、、、分别为AB BC CD DA 、、、的中点．将一枚针随机掷到圆O 内，用M 表示事件“针落在正方形ABCD 内”， N 表示事件“针落在正方形EFGH 内”，则(|)P N M =（ ）A.1πB.2C. 12D. 14【答案】C【解析】 由题意得，圆O 的半径为2，所以内接正方形ABCD 的边长为AB =则正方形ABCD 的面积为(218S ==，由,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD DA 的中点，所以1222EF R =⨯=， 所以正方形EFGH 的面积为()2224S ==， 所以21(|)42P N M ==，故选C. 4．函数()2211xxe f x x e +=⋅-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数()2211x x e f x x e +=⋅-,有()()22221111x xx xe ef x x x e e--++-=⋅-=⋅--，所以函数()f x 为偶函数，排除B,D;当1x =时， ()221101e f e+=<-，排除B,故选A.5．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率为24x y =的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）A.B. C. D. 【答案】B【解析】抛物线24x y =的焦点为()0,1，双曲线22221(,0)x y a b a b -=>2b a ===， 双曲线的渐近线为2by x x a=±=±，则抛物线24x y ==，故选B. 6．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点,E F 分别是棱1111,D C B C 的中点，过,E F 作一平面α，使得平面//α平面11AB D ，则平面α截正方体的表面所得平面图形为（ ）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形 【答案】D【解析】由题意，在正方体1111ABCD A BC D -中， ,E F 分别为棱1111,D C B C 的中点， 取111,,,BB AB AD A D 的中点,,,G H M N ，可得正六边形EFGHMN ，此时平面11//AB D 平面EFGHMN ，故选D. 7．执行如图所示的程序框图，若输入的16,4a b ==，则输出的n =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】 执行该程序框图，可知第1次循环： 1161624,248,22a b n =+⨯==⨯==； 第2次循环： 1242436,2816,32a b n =+⨯==⨯==；第3次循环： 1363654,21632,42a b n =+⨯==⨯==；第4次循环： 1545481,23264,52a b n =+⨯==⨯==；第5次循环： 12438181,26412822a b =+⨯==⨯=， 此时a b ≤成立，输出结果5n =，故选B.8．已知公差不为0的等差数列{}n a 与等比数列{}12,2,n n n b a b a ==，则{}n b 的前5项的和为（ ）A. 142B. 124C. 128D. 144 【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等比数列{}n b 的公比为q . 等比数列{}n b 中，()()()2222134*********b b b a a a a d a d a d d a =⇒=⇒+=++⇒==，()112n a a n d n =+-=，4122424,8,2a b a b a q a ====∴== {}n b 的前5项的和为()()5511412124112b q q--==--.故选B.9．如图所示，为了测量,A B 处岛屿的距离，小明在D 处观测， ,A B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向， A 在C 处的北偏西60︒方向，则,A B 两处岛屿间的距离为（ ）A. B. 海里 C. (201海里 D. 40海里 【答案】A【解析】在ACD 中， 1590105,30ADC ACD ∠=+=∠= ，所以45CAD ∠= ， 由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD=∠∠，解得140sin sin CD ACDAD CAD⨯∠===∠在Rt DCB ∆中， 45BDC ∠=，所以BD == 在ABD ∆中，由余弦定理可得：22212cos 8003200224002AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=+-⨯=，解得AB =.10．已知动点(),A A A x y 在直线:6l y x =-上，动点B 在圆22:2220C x y x y +---=上，若30CAB ∠=︒，则A x 的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 【答案】C【解析】 如图所示，设点()00,6A x x -，圆心M 到直线AC 的距离为d ，则01sin302d AM AM ==， 因为直线AC 与圆C 有交点，所以1222d AM ≤⇒≤， 所以()()22001516x x -+-≤，解得015x ≤≤，所以A x 的最大值为5，故选C.11．已知函数()x af x x e-=+， ()()112142a x g x n x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()004f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A. 121n - B. 112n - C. 12n D. 12n - 【答案】D【解析】()()()1ln 2142x a a x f x g x x x e e ---=-+++， 令()()1ln 212h x x x =-+，则()1121h x x =-+'，知()h x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数，在()0,+∞上是增函数，所以()()min 00h x h ==，又44x a a x e e --+≥ 所以()()4f x g x -≥，当且仅当0{4x aa xx e e--==即0,ln2x a ==-.点睛：已知函数有零点（方程有解）求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.12．若()()3211ny x n N x y +⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则常数项为__________． 【答案】-84【解析】21n x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为： ()3211rr r n r rn r r n n C x C xy x y ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ()3211ny x x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的通项为：3r n r rn C x y--和()()333311rrrn r r r n r r n n y C x y C x y -----=-，若存在常数项 则有： 300n r r -=⎧⎨-=⎩或3030n r r -=⎧⎨-=⎩，解得3,9r n ==，常数项为()339184C -=-点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.二、解答题13．已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()R C P Q R ⋃=，则a 的取值范围是（ ）A. ()2,-+∞B. ()4,+∞C. (],2-∞-D. (],4-∞ 【答案】C【解析】集合{}()(){}2|280|420{|24}P x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，{|24}R C P x x x =-或， ()R C P Q R ⋃=， {|}Q x x a =≥，所以2a ≤-，故选C.14．已知函数()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+>图像的两条相邻对称轴为2π． （1）求函数()y f x =的对称轴方程；（2）若函数()13y f x =-在()0,π上的零点为12,x x ，求()12cos x x -的值． 【答案】（1）()5212k x k Z ππ=+∈（2）13【解析】试题分析：（1）化简() sin 23f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由周期得1ω=， ()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()232x k k Z πππ-=+∈ 即可得对称轴；（2）由条件知121sin 2sin 2333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对称性得1256x x π+=，代入()12cos x x -即可求解.试题解析：解：（1）()2sin cos 2f x x x x ωωω=⋅+1sin222x x ωω=- sin 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭由题意可得周期T π=，所以21Tπω== 所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数()y f x =的对称轴方程为()232x k k Z πππ-=+∈即()5212k x k Z ππ=+∈ （2）由条件知121sin 2sin 20333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12520123x x ππ<<<< 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于512x π=对称，则1256x x π+=所以()1211155cos cos cos 266x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111cos 2]sin 23233x x πππ⎡⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭.15．某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：（1）记事件A 为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g 的小龙虾”，求()P A 的估计值；（2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记X 为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望． 【答案】（1）710（2）3509（3）32【解析】试题分析：（1）由于40只小龙虾中重量不超过35g 的小龙虾有28，可以求得； （2）从统计图中可以估计每只小龙虾的重量28.5克，即可估算100千克小龙虾的数量； （3）由题意知抽取一等品、二等品、三等品分别为4只、5只、1只， 0,1,2,3X =分别求概率，利用期望公式计算期望即可.试题解析：（1）由于40只小龙虾中重量不超过35g 的小龙虾有6101228++=（只） 所以()2874010P A == （2）从统计图中可以估计每只小龙虾的重量()16101020123084045040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 114028.540==（克） 所以购进100千克，小龙虾的数量约有10000028.53509÷≈（只）（3）由题意知抽取一等品、二等品、三等品分别为4只、5只、1只， 0,1,2,3X =则可得()0355310101012012C C P X C ====， ()1255310505112012C C P X C ==== ()2155310505212012C C P X C ====， ()3055310101312012C C P X C ====所以()155130123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 16．如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形， ABC ∆是边长为2的正三角形， 60DBA ∠=︒，CD =．（1）证明： DC AB ⊥；（2）若点C 在平面ABDE 内的射影H ，求CH 与平面BCD 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）要证DC AB ⊥，可由AB ⊥平面DOC 证得，只需证明AB OD ⊥和AB OC ⊥即可；（2）分析条件可得点C 在平面ABDE 内的射影H 必在OD 上， H 是OD 的中点，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面BDC 的法向量即可. 试题解析：解：（1）如图，取AB 的中点O ，连,OC OD因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以,AB OC OC ⊥又四边形ABDE 是菱形， 60DBA ∠=，所以DAB ∆是正三角形所以,AB OD OD ⊥=而OD OC O ⋂=，所以AB ⊥平面DOC 所以AB CD ⊥（2）由（1）知OC CD =，平面DOC ⊥平面ABD 因为平面DOC 与平面ABD 的交线为OD ，所以点C 在平面ABDE 内的射影H 必在OD 上， 所以H 是OD 的中点如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，()()1,0,0,B C ，33,24D H ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以30,4CH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()BC =- ，32BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面BDC 的法向量为(),,n x y z =，则{32n BC x n BD x y z ⋅=-=⋅=-++=，取y =3x =， 1z =， 即平面BCD的一个法向量为()所以CH 与平面BCD所成的角的正弦值为CH n CH n⋅⋅13=点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.17．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e =顶点为1212A A B B 、、、，且11123A B A B ⋅= ．（1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P 交x 轴于点Q ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ， EQ 的斜率为m ，试问2m k -是否为定值？并说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为e =所以c a =又1123A B A B ⋅= ，所以223a b -=，即可求解,,a b c 的值，得出椭圆的方程；（2）由题意可知直线2A P 的方程为()2y k x =-与椭圆的方程联立方程组，求得P 点的坐标，进而得到点Q 的坐标，在根据直线12A B 的方程与()2y k x =-联立，得到点E 的坐标，即可表示EQ 的斜率，得出结论.试题解析：（1）因为e =c a =由题意及图可得()()()112,0,0,,0,A a B b B b --，所以()()1112,,,A B a b A B a b =-=又1123A B AB ⋅= ，所以223a b -=，所以c =所以2,1a b ===所以椭圆C 的方程为： 2214x y += （2）证明：由题意可知()12,0A -， ()22,0A ， ()10,1B -， ()20,1B 因为2A P 的斜率为k ，所以直线2A P 的方程为()2y k x =-由()222{14y k x x y =-+=得()222214161640k x k x k +-+-=其中22A x =，所以228214P k x k -=+，所以222824,1414k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭则直线2B P 的方程为()22441211182221k k k y x x k k ---+=+=-+--（12k ≠-） 令0y =，则()22121k x k -=+，即()221,021k Q k ⎛⎫-⎪+⎝⎭直线12A B 的方程为220x y -+=，由()220{2x y y k x -+==-解得4221{421k x k k y k +=-=-，所以424,2121k k E k k +⎛⎫ ⎪--⎝⎭ 所以EQ 的斜率()()4212122122142121kk k m k k k k -+-==-+-+- 所以2112242k m k k +-=⋅-=（定值） 18．已知函数()2f x x x =-， ()1xg x e ax =--（e 为自然对数的底数）．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）当0x >时， ()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）(],1a e ∈-∞-【解析】试题分析：（1）求导后，分类讨论，利用导数的正负可得函数的单调性；（2）当0x >时， ()()f x g x ≤恒成立转化为11x e a x x x≤--+恒成立，构造函数求出右边函数的最大值即可.试题解析：解：（1）()xg x e a '=-①若0a ≤， ()0g x '>， ()g x 在(),-∞+∞上单调递增； ②若0a >，当(],ln x a ∈-∞时， ()0g x '<， ()g x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时， ()0g x '>， ()g x 单调递增（2）当0x >时， 21xx x e ax -≤--，即11x e a x x x≤--+ 令()11(0)x e h x x x x x =--+>，则()()2211x e x x h x x --+=' 令()()211(0)xx ex x x ϕ=--+>，则()()2x x x e ϕ'=-当()0,ln2x ∈时，()0x ϕ'<， ()x ϕ单调递减； 当()ln2,x ∈+∞时， ()0x ϕ'>， ()x ϕ单调递增又()00ϕ=，()10ϕ=，所以，当()0,1x ∈时， ()0x ϕ<，即()0h x '<，所以()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()1(10x x x e x ϕ=--->，即()0h x '>，所以()h x 单调递增，所以()()min 11h x h e ==-，所以(],1a e ∈-∞-利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 19．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线:{x tcos l y tsin αα==（t 为参数， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）与圆22:2410C x y x x +--+=相交于点,A B ，以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 与圆C 的极坐标方程； （2）求11OA OB+的最大值． 【答案】（1）22cos 4sin 10ρρθρθ--+=（2）【解析】试题分析（1）根据参数方程与普通方程的互化以及直角坐标与极坐标的互化公式，即可求解直线的极坐标方程和圆的极坐标方程；（2）把θα=，代入圆的极坐标方程中，得22cos 4sin 10ρραρα--+=，进而得到1212112cos 4sin OA OB ρρααρρ++==+，即可利用三角函数的性质求解其最大值. 试题解析：（1）直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈圆C 的极坐标方程为22410cos sin ρρθρθ--+= （2）θα=，代入22410cos sin ρρθρθ--+=， 得22410cos sin ρραρα--+= 显然120,0ρρ>>121211OA OB ρρρρ++= 24cos sin αα=+()αϕ=-≤所以11BOA O +的最大值为20．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，且()20f x +>的解集为()1,1-． （1）求m 的值；（2）若正实数,,a b c ，满足23a b c m ++=．求11123a b c ++的最小值． 【答案】（1）1m =（2）9【解析】试题分析：（1）由()20f x +>得x m <，解得其解集为(),m m -，即可得到实数m 的值；（2）由(1)知231a b c ++=，又,,a b c 是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值.试题解析：（1）因为()2f x m x +=- 所以由()x 20f +>得x m <由x m <有解，得m 0>，且其解集为()m,m - 又不等式()f x 20+>解集为()1,1-，故m 1= （2）由(1)知a 2b 3c 1++=，又a,b,c 是正实数，由柯西不等式得()111111a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭29≥=当且仅当111a ,b ,c 369===时取等号故111a 2b 3c++的最小值为9三、填空题21．已知向量()1,2a =-， a b ⊥， 25a b -=，则b =__________．【解析】由()1,2a =- ,得a ==由25a b -=，平方得224425a a b b -+= ， 因为a b ⊥ ，所以0a b =，有220025b -+= ，解得b =22．某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的表面积为__________．【答案】414π 【解析】 根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -， 正方体的棱长为2,,A D 为棱的中点，根据几何体可以判断，球心在过点,A D 的平行于底面的中截面上， 设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为2x -，所以()222222,12R x R x =+=+-，解得3,44x R ==，所以多面体外接球的表面积为24144R ππ=.23．如图所示，由直线,1(0)x a x a a ==+>， 2y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即()12221a aa x dx a +<<+⎰．类比之，若对n N +∀∈，不等式14122121k k k k k k n n n n n n n +++<<++++++- 恒成立，则实数k 等于__________．【答案】2 【解析】因为11n k k kdx n n x n +<⎰<+，所以1ln 1n nk kk x n n +<+ 即()ln 1ln 1k kk n n nn ⎡⎤<+-<⎣⎦+ 同理()()()()l n 1kk n n ⎡<+⎣+， 累加得())...ln 2ln ] (122121)k k k k k kk n n n n n n n n ⎡+++<-<+++⎣+++- 所以())ln4ln 2ln ]k n n ⎡=-⎣，所以ln4ln2k =，故2k =.。

2017年江西省百所重点高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，则A∩B等于（）A． B． C．∪{3} D．∪{﹣3}2．设复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，则z的虚部为（）A．B．C．D．3．若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，则sinαcosβ的值为（）A．B．C．D．4．在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（）A．B．C．D．5．如图是函数y=f（x）求值的程序框图，若输出函数y=f（x）的值域为，则输入函数y=f（x）的定义域不可能为（）A． B． D．∪{2}6．函数f（x）=sin（πx+θ）（|θ|＜）的部分图象如图，且f（0）=﹣，则图中m的值为（）A．1 B．C．2 D．或27．在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A ．21B ．﹣21C ．441D ．﹣4418．中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ）A ．3795000立方尺B ．2024000立方尺C ．632500立方尺D ．1897500立方尺9．已知k ≥﹣1，实数x ，y 满足约束条件，且的最小值为k ，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设F 1，F 2分别是双曲线（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得∠F 1PF 2=60°，|OP|=3b （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．体积为的正三棱锥A ﹣BCD 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且R ：BC=2：3，点E 为线段BD 上一点，且DE=2EB ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数f′（x ）满足，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．f （9）﹣1＜f （4）＜f （1）+1B ．f （1）+1＜f （4）＜f （9）﹣1C ．f （5）+2＜f （4）＜f （1）﹣1D ．f （1）﹣1＜f （4）＜f （5）+2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若公比为2的等比数列{a n }满足a 7=127a，则{a n }的前7项和为 ．14．（x ﹣2）3（x+1）4的展开式中x 2的系数为 ．15．已知圆C过抛物线y2=4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C的圆心不在x轴上，且与直线x+y ﹣3=0相切，则圆C的半径为．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanB=2bsinA．（1）求B；（2）若b=，A=，求△ABC的面积．18．某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC为等边三角形，AC⊥A1B．（1）求证：AB=BC；（2）若∠ABC=90°，求A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且函数y=x2﹣的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x﹣1+ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若∀x∈22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O 为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f（）＜6的解集；（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．2017年江西省百所重点高中高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，则A∩B等于（）A． B． C．∪{3} D．∪{﹣3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解不等式|x2﹣x﹣6≥0求出集合A，进而由交集的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，x2﹣x﹣6≥0⇒x≤﹣2或x≥3，即A={x|x2﹣x﹣6≥0}=（﹣∞，﹣2]∪；A∩B=∪{3}；故选：C．2．设复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，则z的虚部为（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，∴a﹣bi=a2﹣b2+2abi．∴a=a2﹣b2，﹣b=2ab．解得a=﹣，b=．则z的虚部为．故选：C．3．若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，则sinαcosβ的值为（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用两角和与差公式打开化简，即可得答案．【解答】解：由sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，可得sinαcosβ+cosαsinβ=…①sinαcosβ﹣cosαsinβ=…②由①②解得：sin αcos β=， 故选：A ．4．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AB 的中点，F 为AD 的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合图形根据平面向量的线性运算与数量积运算性质，计算即可． 【解答】解：如图所示，△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AB 的中点，F 为AD 的中点，，且AB=2AC=2，∴=（+）•=（﹣+）•（+）=﹣﹣•+=﹣×12﹣×（﹣1）+×22=． 故选：B ．5．如图是函数y=f （x ）求值的程序框图，若输出函数y=f （x ）的值域为，则输入函数y=f （x ）的定义域不可能为（ ）A ．B ． D ．∪{2} 【考点】EF ：程序框图．【分析】模拟程序的运行过程知该程序的功能是求分段函数y=在某一区间上的值域问题；对题目中的选项分析即可．【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序的功能是求分段函数y=在某一区间上的值域问题；x∈时，y=2﹣x∈=，满足题意，A正确；x∈=（4，8]，x=2时，y=x2=4，∴x∈，满足题意，B正确；x∈时，若x∈，则y=x2∈，不满足题意，C错误；同理x∈∪{2}时，y∈，满足题意，D正确．故选：C．6．函数f（x）=sin（πx+θ）（|θ|＜）的部分图象如图，且f（0）=﹣，则图中m的值为（）A．1 B．C．2 D．或2【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】f（0）=﹣，则sinθ=﹣，求出θ，利用正弦函数的对称性，即可得出结论．【解答】解：f（0）=﹣，则sinθ=﹣，∵|θ|＜，∴θ=﹣，∴πx﹣=2kπ+，∴x=2k+，∴=，∴m=，故选B．7．在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441【考点】8E：数列的求和．【分析】设公差为d（d＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，进而得到等差数列{a n}的通项，再由并项求和即可得到所求和．【解答】解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）=1，即a1=1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2=a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2=1+5d+5，解得d=2（负值舍去）则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+…+a19﹣a20+a21=1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41=﹣2×10+41=21．故选：A．8．中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺B．2024000立方尺C．632500立方尺D．1897500立方尺【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为=1897500立方尺，故选D．9．已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，得A（4﹣k，k），则AD的斜率k=，整理得k2﹣3k+1=0，得k=或（舍），故选：C10．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义与余弦定理可得到a2与c2的关系，从而可求得该双曲线的离心率．【解答】解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF1|﹣|PF2||=2a，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，不妨设|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|•|PF2|=y，上式为：x﹣2y=4a2，①∵∠F1PF2=60°，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°=4c2，②即x﹣y=4c2，②又|OP|=3b， +=2，∴2+2+2||•||•cos60°=4||2=36b2，即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|=36b2，即x+y=36b2，③由②+③得：2x=4c2+36b2，①+③×2得：3x=4a2+72b2，于是有12c2+108b2=8a2+144b2，∴=，∴e==．故选：D．11．体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】LR：球内接多面体．【分析】先求出BC与R，再求出OE，即可求出所得截面圆面积的取值范围．【解答】解：设BC=3a，则R=2a，∵体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，∴=，∴h=，∵R2=（h﹣R）2+（a）2，∴4a2=（﹣2a）2+3a2，∴a=2，∴BC=6，R=4，∵点E为线段BD上一点，且DE=2EB，∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB=，∴OE==2，截面垂直于OE时，截面圆的半径为=2，截面圆面积为8π，以OE所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，∴所得截面圆面积的取值范围是．故选：B．12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，则根据导数可判断g（x）单调递减，于是g（9）＜g（4）＜g（1），化简即可得出结论．【解答】解：∵，∴f′（x）＜，令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若公比为2的等比数列{a n}满足a7=127a，则{a n}的前7项和为 1 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求出首项，再由等比数列的前n项和公式能求出数列的前7项和．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}满足a7=127a，∴，解得，∴{a n}的前7项和为S7=•=1．故答案为：1．14．（x﹣2）3（x+1）4的展开式中x2的系数为﹣6 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：（x﹣2）3（x+1）4=（x3﹣6x2+12x﹣8）（x4+4x3+6x2+4x+1），展开式中x2的系数为：﹣6﹣48+48=﹣6．故答案为：﹣6．15．已知圆C过抛物线y2=4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C的圆心不在x轴上，且与直线x+y ﹣3=0相切，则圆C的半径为14 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程x=﹣1，设圆心坐标（﹣1，h），根据切线的性质列方程解出h，从而可求得圆的半径．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，设圆C的圆心为C（﹣1，h），则圆C的半径r=，∵直线x+y﹣3=0与圆C相切，∴圆心C到直线的距离d=r，即=，解得h=0（舍）或h=﹣8．∴r==14．故答案为：14．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，则实数a的取值范围为（0，1）．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=e x与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，只需要x≤0，f（x）=e x与h（x）=ax+1有另1个交点，求出函数在（0，1）处切线的斜率，即可得出结论．【解答】解：由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=e x与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），∵函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，∴只需要x≤0，f（x）=e x与h（x）=ax+1有另1个交点x≤0，f′（x）=e x，f′（0）=1，∴a＜1，综上所述，0＜a＜1，故答案为（0，1）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanB=2bsinA．（1）求B；（2）若b=，A=，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）根据题意，将atanB=2bsinA变形可得asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，分析可得cosB=，由B的范围可得答案；（2）由三角形内角和定理可得C的大小，进而由正弦定理可得c=×sinC=，由三角形面积公式S△=bcsinA计算可得答案．ABC【解答】解：（1）根据题意，atanB=2bsinA⇒a=2bsinA⇒asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，变形可得2cosB=1，即cosB=，又由0＜B＜π，故B=，（2）由（1）可得：B=，则C=π﹣﹣=，由正弦定理=，可得c=×sinC=，S△ABC=bcsinA=×××=．18．某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3．求出概率，得到X的分布列求解期望；【解答】解：（1）由题意可知，所求概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，，．则X的分布列为：∴．设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，，则Y的分布列为：∴．（或∵，∴）．（）由E（X）=D（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．19．如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC为等边三角形，AC⊥A1B．（1）求证：AB=BC；（2）若∠ABC=90°，求A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）取AC的中点O，连接OA1，OB，推导出AC⊥OA1，AC⊥A1B，从而AC⊥平面OA1B，进而AC⊥OB，由点O为AC的中点，能证明AB=BC．求出A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，∵点O为等边△A1AC中边AC的中点，∴AC⊥OA1，∵AC⊥A1B，OA1∩A1B=A1，∴AC⊥平面OA1B，又OB⊂平面OA1B，∴AC⊥OB，∵点O为AC的中点，∴AB=BC．（2）由（1）知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∵A1O⊥AC，侧面ACC1A1O⊥底面上ABC，A1⊥底面ABC以线段OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，设AC=2，则A（0，﹣1，0），，B（1，0，0），C（0，1，0），∴，，，设平面BCC1B1的一个法向量，则有，即，令，则，z0=﹣1，∴，设A1B与平面BCC1B1所成角为θ，则．∴A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且函数y=x2﹣的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可得：2b=2，解得b=1．联立+y2=1（a＞1）与y=x2﹣，可得：x4+x2+=0，根据椭圆C与抛物线y=x2﹣的对称性，可得：△=0，a＞1，解得a．（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN=；当直线l的斜率为0时，S△PMN=．②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为：y=kx，与椭圆方程联立解得x2，y2．|MN|=2．由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，与椭圆方程联立可得|OP|=．利用S△PMN=|MN|×|OP|，与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2b=2，解得b=1．联立+y2=1（a＞1）与y=x2﹣，可得：x4+x2+=0，根据椭圆C与抛物线y=x2﹣的对称性，可得：△=﹣4×=0，a＞1，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN==2；当直线l的斜率为0时，S△PMN==2；②当直线l的斜率存在且不为0时．设直线l的方程为：y=kx，由，解得x2=，y2=．∴|MN|=2=4．由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，联立，可得x2=，y2=．∴|OP|==2．S△PMN=|MN|×|OP|=≥=，当且仅当k=±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为．∵，∴△PMN的面积的最小值为，直线l的方程为：y=±x．21．已知函数f（x）=e x﹣1+ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若∀x∈22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O 为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴+==．23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f（）＜6的解集；（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x的不等式f（）＜6；（Ⅱ）作出函数的图象，结合图象求解．【解答】解：（1）x≤0，不等式可化为﹣x﹣x+3＜6，∴x＞﹣3，∴﹣3＜x≤0；0＜x＜6，不等式可化为x﹣x+3＜6，成立；x≥6，不等式可化为x+x﹣3＜6，∴x＜9，∴6≤x＜9；综上所述，不等式的解集为{x|﹣3＜x＜9}；（2）f（x）=|x|+|x﹣3|．由题意作图如下，k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，由直线过（0，3）可得k=，由直线过（3，3）可得k=，∴．2017年5月23日。

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则( )A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( ) A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ) A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。