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《两数和（差）的平方》一、教材分析本课是华东师大版八年级（上）第12章第3节《两数和（差）的平方》，主要研究两数差的平方公式，并对两数和（差）的平方进行总结，通过学习能对两数和（差）的平方运算能进行顺利的计算，对公式的特点能有较为深刻的认识，也是以后学习因式分解和配方法解题的关键.二、设计思想本课对两数差的平方公式进行探索，通过先由学生自己自主探索，教师进行观察，就学生采用的方法进行分析，进一步培养学生的分析能力和自主探索的习惯，让学生主动的从事计算，交流等活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.三、教学目标1、知识与技能①理解并掌握两数的和（差）平方的公式.②能正确区分在实际运算中采用了那个公式或采用了怎样的运算思路，进一步培养学生分析问题的能力.2、过程与方法①能自主探索两数差的平方公式.②通过例子与练习能正确进行计算.3、情感、态度和价值观①经历自主探索、表达交流等活动，体验数学学习需要合情推理，更需要合作交流.②让学生在自主探索的过程中加深对两数和（差）平方公式的理解，激发求知欲望.③培养逆向思维能力.四、教学重点、难点及解决方法重点：两数和（差）的平方公式.难点：两数和（差）的平方公式在解题时的运用.解决方法：对于两数差的平方公式，通过学生先自主探索，然后又师生共同进行总结的方法，形成对问题解决的思路，并在解决的过程中，对公式进行总结.然后进行应用，在应用时，可以既强调正确套用公式，又强调利用推导公式的思路，从而形成对公式本质的认识.五、教学类型研究性学习六、教具准备多媒体课件等七、教学过程：说明：如果时间允许，可进行下列活动，如果时间不允许，下列活动可安排在课后完成：⑴课本37页习题12.3第4题填空：①226__(__)a a a ++=+； ②22420__(2__)x x x -+=-；③222()____a b a b +=-+； ④()22()____x y x y -+=+.⑵阅读课本35页的读一读及课本37页的阅读材料. 八、作业课本37页习题12.3第2题的⑶、⑷及第3题. 九、板书设计 十、教后反思。
第十二章《12.3 乘法公式》教案一. 本周教学内容：初二数学第十二章第三节乘法公式学习要求：1. 理解乘法公式的意义，掌握乘法公式的结构特征，并能正确地运用乘法公式。
2. 弄清公式的变化形式，注意公式的应用条件。
二. 重点、难点学习重点：认识平方差公式和完全平方公式的结构特征，会用几何图形说明其意义。
学习难点：灵活运用公式解题。
【典型例题】一. 两数和乘以它们的差：1. 首先计算：(a＋b)(a－b)＝a2－b2这就是说：两数和与它们差的积，等于这两数的平方差。
上面所列的这个公式，就是平方差公式。
2. 公式的结构特征：在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b)和(－b)互为相反数，右边是符号相同的项的平方减去符号相反项的平方。
3. 弄清公式的变化形式：公式(a+b)(a－b)=a2－b2有八种变化形式：①位置变化(a+b)(a－b)=(b+a)(－b+a)=a2－b2②符号变化(－a－b)(a－b)=b2－a2③系数变化(4a+3b)(4a－3b)=(4a)2－(3b)2=16a2－9b2④指数变化(a2+b2)(a2－b2)=(a2)2－(b2)2=a4－b4⑤增项变化(a－b－c)(a－b+c)=(a－b)2－c2=a2+b2－c2－2ab⑥增因式变化(a+b)(a－b)(－a－b)(－a+b)=(a2－b2)(a2－b2)=(a2－b2)2⑦连用公式变化(a－b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=(a2－b2)(a2+b2)(a4+b4)=(a4－b4)(a4+b4)=a8－b8⑧逆用公式变化(a－b+c－d)2－(a+b－c+d)2=[(a－b+c－d)+(a+b－c+d)][(a－b+c－d)－(a+b－c+d)]=2a·(－2b+2c－2d)=4ac－4ab－4ad。
4. 注意公式的应用条件：字母a、b，它们可以表示具体的数，也可以表示代数式。
2.两数和（差）的平方【基本目标】1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示.2.能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想.【教学重点】掌握公式的特点，牢记公式.【教学难点】具体问题，具体分析，灵活运用完全平方公式.一、创设情景，导入新课王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是（a+b），则它的面积是多少？【学生活动】（a+b）2=a2+2ab+b2（用多项式乘以多项式算得）【教师活动】有没有更简洁的方法?回答是有的，今天将给大家一个满意的回答.二、师生互动，探究新知【教师活动】请同学们自学教材P32~P33内容.回答下列问题：1.计算（a+b）2= .2.这个公式的左边和右边各有什么特点？用文字叙述.3.你会用（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2吗？4.你会结合教材P33图形验证吗？【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果，回答上述问题.【教学说明】在学生发言的基础上归纳：两个乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2文字叙述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方，加上（减去）这两数的积的2倍.口诀“首平方，尾平方，二倍乘积中间放”.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时点评与指导，特别是公式运用中错误及时纠正.四、典例精析，拓展新知例已知x+y=4,xy=2，求（1）x2+y2;（2）3x2-xy+3y2;（3）x-y【分析】（1）x2+y2=（x+y）2-2xy;(2)3x2-xy+3y2=3（x+y）2-7xy；(3)（x-y）2＝（x+y）2-4xy.【答案】（1）12；（2）34；（3）x-y=【教学说明】x+y、xy、x2+y2是一组典型对称式，注意指导学生灵活进行公式变形.（x+y）2=（x-y）2+4xy.五、运用新知，深化理解1.已知：x2+y2=6,xy=5.求x+y;2.已知a、b满足，（a+b）2=1,（a-b）2=25,试求a2+b2+ab的值.【答案】1.x+y=±4；2.a2+b2+ab=7.【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练，对公式变形不熟练学生给予有效指导.六、师生互动、课堂小结这节课你学到了什么？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现（a+b）2=a2+b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征.教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解.本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生以更多指导与关心.。
两数和乘以这两数的差
教学过程设计
分析备注
12.3.1 两数和乘以这两数的差
知识技能目标：
使学生掌握两数和乘以这两数的差的公式结构，并能正确地运用.
过程方法目标：
1、使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以这两数的差
这一乘法公式，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又用于整式的乘法的辩证思想，即体会认识事物的方法：一般---特殊---一般. 2、通过两数和乘以这两数的差这一公式学习进一步加深对字母表示数、整体思想的认识，并增强结构意识.
情感态度目标：
1、通过两数和乘以这两数的差这一公式的几何解释在加深对公式理
解的同时，认识这一公式的现实意义，感受数形结合思想,激发学生的学习热情； 2、通过两数和乘以这两数的差这一公式的学习培养学生按规则（公式的结构）做事和认真仔细做事的良好习惯.
教学分析：
重点：掌握两数和乘以这两数的差的结构特征；
难点：正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义.
关键：抓住本节公式结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式特征. 教学过程：
一、知识回顾，温故而知新：
1、口述多项式与多项式相乘法则；
2、计算：
（1）(2)(2)x x +- （2）(31)(31)x x +-
（3）(3)(3)x y x y +- （4）(25)(25)x y x y -+--
3、仔细观察上面的四个小题题目形式和结果，它们在结构上有什么特点？你能用字母表示数的办法表示出来吗？
结果：22
()()a b a b a b +-=-
二、推导、验证公式：
1、做一做，计算：()()a b a b +-
说一说：你是根据什么算出来的？
2、概括：两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方差.
本节课先用多项式的乘法法则推导出两数和乘以它们的差的公式.
由学生从中得出结论，和同学交流自
己的想法，老师指
名学生说说自己的
思考过程和得出的规律. 运算时，先让学生观察题目，看出这些题目的异同点.
对于例3，首先是依题意列出代数式，
运算条件：两数和与这两数的差的积的形式；
运算方法：这两数的平方差（就是用前一个数的平方减去后一个数的
平方，这里的“数”是指看作一个整体的代数式）
3、趣味验证（寓“数”于“形”）：
试一试
图13.3.1
先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：
＝－．
三、举例应用：
例1计算：
（1）
22
()()
33
a a
+-
（2）(13)(13)
y y
-+--
（3）(23)(23)
a b a b
---
例2计算：19982002
⨯
变式计算：
41
67
55
⨯
例 3 街心花园有一块边长为a米的正方形草地，经统一规划后，南
北向加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草地的面积是多
少
解（a＋2）（a－2）＝（a2－4）（平方米）．
答：改造后的长方形草坪的面积是（a2－4）平方米．
四、随堂练习
P32 1、2、3
请学生板演，及时纠正学生学习当中出现的错误.
五、课堂小结：
1、两数和与它们的差的积的公式是整式乘法的特殊情况，指出了具
有特殊关系的两个二项式相乘的性质；
再根据本课公式计
算出结果.
2、应用本节课公式应满足：找出公式中的第一个数，第二个数，并构成两数和乘以这两数差形式，再运用计算方法：前一个数的平方减去后一个数的平方.
六、作业
P36 习题12.3 1
补充:计算
42
++-+
x x x x
(1)(1)(1)(1)
家庭作业：
1、12.3.1 P26-28
2、预习下一节，思考：
（1）两数和的平方公式与两数和与这两数差的积的公式有何各自的特点；
（2）在什么情况下才能使用两数和的平方公式.
七、教学反馈：
让学生实际参与，自主探索，自己总结，引发他们学习的兴趣，激发他们自己学习的动力，培养自己学习的习惯.
让学生由特殊值的计算规律推广到一般值的计算规律，培养了他们的归纳思想.
教师从学生学习的传授者真正变为学生学习的合作者，在讲新知识时，只是起引导和提示的作用，真正的知识点，则由学生自己得出，这样，既加深学生对知识的印象，也增强了他们学习的兴趣.。
