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广义相对论课堂11动力学方程4维形式.ppt

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专题讲座—广义相对论.ppt

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？
1、小室静止在地面，地球引 力使落体的加速度为g
2、小室在自由空间相对惯 性系向上以g做匀加速运动， 以小室为参考系，物体受到 向下的惯性力mig,惯性力使得 其产生向下的加速度g。
小室里的人无法确定是哪种情况， 无法区分作用在落体上的是引力还 是惯性力，实际上做任何力学实验 都无法区分引力和惯性力。
2、等效原理和广义相对性原理是广义 相对论的两个基本原理，从这两个原理 出发，就可以一并解决引力和加速系问
题，构建起广义相对论理论。
3、不再有严格的、绝对的刚性参考系。
S’
S o
Y o
Y’ X1
a
X2X’ X
S系认为自己是刚性参考系，但认为s’系在运动 方向上每小段长度随时间不断减小，所以不是刚 性参考系。因此在广义相对论中，只有内禀刚性 参考系，不存在各参考系都承认的刚性参考系。
质量 M (2 3) M⊙时，才可能形成黑洞，
此时rs 10 km 。
恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走引力坍缩
强冲击波 外层物质抛射或超新星爆发 致密天体（白矮星、中子星、黑洞） 五.引力波
广义相对论预言了引力波的存在。 加速的物体系，会引起周围时空性质变化， 并以波动（引力波）的形式向外传播。
相对论中的力 包括惯性力。
等效原理：引力场中任意时空点，总能 建立一个局域惯性系，在此参考系内， 狭义相对论所确定的物理规律都成立。
2、广义相对性原理 物理规律在一切参考系中都具有相同的形式。
几点说明： 1、物理规律在局惯系和该点的任意其 他参考系中表述都相同。这些参考系 包括加速度也包括引力场。这样通过 坐标变换就可以把无引力的狭义相对 论的物理规律转换到引力场中去，引 力场的影响体现在坐标变换关系上。

人教版高中物理课件-广义相对论简介

人教版高中物理课件-广义相对论简介
第四節 廣義相對論簡介
(1)超越狹義相對論的思考 介紹愛因斯坦思考狹義相對論無法解決
的兩個問題：
第一個是引力問題，萬有引力定律不滿足洛 倫茲變換，無法納人狹義相對論的理論框架；
第二個是非慣性系問題，狹義相對論只適用 於慣性系。它們是促成廣義相對論的前提。
（2）廣義相對論等效原理
在一個引力可以
光
半 忽略的宇宙空間有一艘
廣義相對論結論（4）——引力紅移
各 類 星 體 對 比
做矮星，引力勢比地球低的多，矮星表面的時間進程 比較慢，哪里的發光的頻率比同種的原子在地球上發 光頻率低，看起來偏紅，這個現象叫做引力紅移．
廣義相對論結論（5）——引力場影響長度
出現了差別．
引力勢由高到低變化
地面上看到：越是靠近邊緣，速度越大．根據狹義相對 論，靠近邊緣部位的杆的長度較短．
源
透 太空船在做勻加速直線
明 運動，船上的觀察者記
屏 錄光的徑跡是一條拋物
a
線．
假設飛船靜止，而在船尾存在一個巨大的物體， 在它的引力場作用下,光的軌跡也是一條拋物線。
等效原理
引力場與勻加速參考系等價
（3）廣義相對論主要結論
廣義相對論結論（1）——光線彎曲
20世紀只能觀測到太陽 引力場引起的光線彎曲．
圓盤上的人認為：引力勢較低的位置，杆的長度越短．
由於物質的存在，實際空間並不是均勻 的，空間發生了“彎曲”：
狹義、廣義相對論比較
狹義相對論
廣義相一
更進一步
任何參考系 （包括非慣性
相 對
性原 切物理規律
系）中物理規 性
理 都是相同的
律都是相同的 原
理
光 真空中的光 速 速在不同慣 恒 性參考系中 定 都是相等的

广义相对论简介ppt课件

广义相对论简介ppt课件

3.(2011·大同高二检测)设想有一艘飞船以v=0.8c的速度在
地球上空飞行，如果这时从飞船上沿其运动方向抛出一物体，
该物体相对于飞船的速度为0.9c，从地面上的人看来，物体 的速度为( )
A.1.7c
B.0.1c
C.0.99c
D.无法确定
1 uv c2
【解析】选C.根据相对论速度变换公式：u u v ， 得 u 0.8c 0.9c 0.99c， 故选项C正确.
Ek m 1.6 1017 0.02% 2 31 8 2 m0 m0c 9.1 10 (3 10 )
17 加速后的速度为 v 2E k 2 1.6 10 m / s 5.9 106 m / s. 31
m0
9.110
上述计算表明，加速后的电子还属于低速的，可以使用经典 的动能公式. 答案：1.6×10-17 J 0.02% 5.9×106 m/s 可以使用经典
【解题指导】依据广义相对论中的引力场中的光线弯曲
考虑.
【标准解答】选C.根据爱因斯坦的广义相对论可知，光线在 太阳引力场作用下发生了弯曲，所以可以在适当的时候 (如日 全食时)通过仪器观察到太阳后面的恒星，故 C正确，A、B、D 均错.
【典例】(2011·临沂高二检测)地球上一观察者，看见一飞
船A以速度2.5×108 m/s从他身边飞过，另一飞船B以速度
3.水星近日点的进动 天文观测显示,行星的轨道并不是严格闭合的,它们的近日点 (或远日点)有进动(行星绕太阳一周后,椭圆轨道的长轴也随
之有一点转动,叫做“进动”),这个效应以离太阳最近的水星
最为显著，这与牛顿力学理论的计算结果有较大的偏差，而 爱因斯坦的广义相对论的计算结果与实验观察结果十分接近. 广义相对论所作出的以上预言全部被实验观测所证实.还有其 他一些事实也支持广义相对论.目前,广义相对论已经在宇宙 结构、宇宙演化等方面发挥了主要作用.

相对论动力学课件PPT

相对论动力学课件PPT
详细描述
在相对论中，力的作用是通过物体之间的相互作用来表现的。当一个物体对另一个物体施加力时，这个力会导致物体之间的加速或减速。在相对论中，力的作用是通过物体之间的动量交换来实现的。
力的作用在相对论中的表现
总结词
在相对论中，物质被视为由粒子或场组成，这些粒子或场在空间中以一定的方式分布和运动。
详细描述
相对论对人类思想的影响还表现在哲学、文化和社会等领域，推动了人类文明的进步和发展。
相对论对人类思想的影响
THANKS
感谢您的观看。
总结词
在相对论中，速度和加速度是四维时空中的矢量，其定义和计算方式与经典力学有所不同。特别是，光速在相对论中是一个不变的常数，任何物体的速度都不可能超过光速。
详细描述
相对论中的速度和加速度
总结词
相对论中的动量和力也具有特殊的形式，与经典力学存在差异。
详细描述
在相对论中，动量和力的定义与经典力学相似，但它们之间的关系式有所不同。特别地，当物体的速度接近光速时，经典力学中的动能和势能都会发生变化，需要使用相对论的能量和动量公式进行修正。
总结词
质能等价原理是爱因斯坦相对论中的一个基本假设，它指出质量和能量是相互联系的，并且可以通过一定的数学公式 E=mc^2 来表示它们之间的关系。这个公式表明，物体的能量与其质量以及光速的平方成正比。
详细描述
质能等价原理
总结词
在相对论中，力的作用表现为物体之间的相互作用，这种相互作用会导致物体之间的加速或减速。
04
CHAPTER
相对论中的万有引力
引力场方程
爱因斯坦提出了著名的引力场方程，描述了物质如何弯曲时空，以及如何产生引力场。
相对论中的等效原理
等效原理指出在局部区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场和加速参照系。

《广义相对论》课件

《广义相对论》课件

1915年，爱因斯坦发表了广义相对论 ，描述了引力是由物质引起的时空弯 曲所产生。
爱因斯坦的灵感来源
爱因斯坦受到马赫原理、麦克斯韦电 磁理论和黎曼几何的启发，开始思考 引力与几何之间的关系。
广义相对论的基本假设
1 2
等效原理
在小区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场 和加速参照系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都保持形式不变，即具 有广义协变性。
研究暗物质与暗能量的性质有助于深入理 解宇宙的演化历史和终极命运。
05
广义相对论的未来发展
超弦理论与量子引力
超弦理论
超弦理论是一种尝试将引力与量子力学统一的理论框架，它认为基本粒子是一 维的弦，而不是传统的点粒子。超弦理论在数学上非常优美，但目前还没有被 实验证实。
量子引力
量子引力理论试图用量子力学的方法描述引力，解决广义相对论与量子力学之 间的不兼容问题。目前，量子引力理论仍在发展阶段，尚未有成熟的理论框架 。
广义相对论为宇宙学提供了重 要的理论基础，用于描述宇宙
的起源、演化和终极命运。
大爆炸理论
广义相对论解释了大爆炸理论 ，即宇宙从一个极度高温和高 密度的状态开始膨胀和冷却的 过程。
黑洞理论
广义相对论预测了黑洞的存在 ，这是一种极度引力集中的天 体，能够吞噬一切周围的物质 和光线。
宇宙常数
广义相对论引入了宇宙常数来 描述空间中均匀分布的真空能
宇宙加速膨胀与暗能量研究
宇宙加速膨胀
通过对宇宙微波背景辐射和星系分布的研究，科学家发现宇 宙正在加速膨胀。这需要进一步研究以理解其中的原因，以 及暗能量的性质和作用。
暗能量
暗能量是一种假设的物质，被认为是宇宙加速膨胀的原因。 需要进一步研究暗能量的性质和作用机制，以更好地理解宇 宙的演化。

广义相对论 课件

广义相对论 课件


通常物体的引力场都太弱，20世纪初只能观 测到太阳引力场引起的光线弯曲。由于太阳引 力作用，我们有可能看到太阳后面的恒星。但 是，平时的明亮天空使我们无法观星，所以最 佳的时机是发生日全食的时候。1919年5月29日 恰有一次日全食，两支英国考察队分赴几内亚 湾和巴西进行观测，其结果完全证实了爱因斯 坦的预言。这是广义相对论的最早的验证。
爱因斯坦在1907年开始认识到“在 狭义相对论的框架里，是不可能有 令人满意的引力理论的！！！
广义相对性原理和等效原理

在前述思考的基础上，爱因斯坦向前迈进了 一大步，把相对性原理推广到包括非惯性系 在内的任意参考系中，认为在任何参考系 中，物理规律都是相同的——广义相对性原 理


一个均匀的引力场与 一个做匀加速运动的 参考系等价——等效 原理 根据等效原理，航天 员也完全可以认为飞 船没有加速运动，而 是在船尾方向存在一 个巨大的物体，他的 引力场影响了飞船内 的物理过程。因此我 们得出结论：物质的 引力使光线弯曲。
Time, Please slow down!!

我们总是天真地希望时 间变得慢一些…

广义相对论让我们的 幻想可能成为现实 ~~ …
现在，广义相对论已经在宇宙结构， 宇宙演化等方面发挥重要作用。随着 视野的不断加大，更多的迷雾正等待 的我们去揭开！！
感谢观看~
广 义 相 对 论
超越狭义相对论的思考 ——狭义相对论的局限



一、狭义相对论不能解释惯性系的特殊、优越 性问题 二、“刚性”空间- 时间度规不能解决非惯性系 中的问题 三、狭义相对论不能解决引力现象问题

爱因期坦曾反复运用数学方法修改牛顿的引力 论，企图把引力现象归纳在狭义相对论的范畴之 但没有获得成功。爱因斯坦通过狭义相对论，把电 与磁场统一起来，把质量和能量统一起来, 把牛顿力 学方程作了相对论修正, 使之与麦克斯韦方程协调起 来了。接着，爱因斯坦想把引力现象也纳入狭义相 论的范畴。

《广义相对论》课件

《广义相对论》课件
详细描述
等效原理表明，在任何小的时空区域内，我们无法通过任何可预见的实验区分均匀引力场和加速参照系。这意味 着在局部范围内，我们无法区分引力和加速参照系引起的效应。这一原理在广义相对论中扮演着重要的角色，为 引力场的描述和性质提供了基础。
广义协变原理
总结词
广义协变原理是广义相对论的另一个基本原理，它要求物理定律在任何参照系中 都保持形式不变。
05
广义相对论的应用
黑洞与宇宙学
黑洞的形成与演化
广义相对论预测了黑洞的存在，并描 述了其形成和演化的过程，如恒星坍 缩、吸积盘等。
宇宙学模型
广义相对论为宇宙学提供了理论基础 ，如大爆炸理论、宇宙膨胀等，解释 了宇宙起源和演化的过程。
Байду номын сангаас 宇宙的起源与演化
宇宙起源
广义相对论提供了宇宙起源的理论框 架，解释了宇宙从大爆炸开始的一系 列演化过程。
牛顿力学与狭义相对 论无法同时成立，需 要一种新的理论来统 一。
狭义相对论解决了牛 顿力学在高速领域的 矛盾，但无法解释引 力问题。
爱因斯坦与广义相对论的创立
爱因斯坦受到物理学家马赫的 启发，开始探索引力问题。
爱因斯坦提出了等效原理和光 速不变原理，作为广义相对论 的基本假设。
广义相对论成功地解释了引力 作用，并将其与空间-时间结构 联系起来。
暗物质与暗能量的研究
深入探索暗物质和暗能量的本质，揭示它们在宇宙中的 作用和相互关系，进一步完善宇宙学模型。
预测了更为精确的进动值。
光线在引力场中的弯曲
要点一
总结词
光线在引力场中的弯曲是广义相对论的另一个重要实验验 证，它证实了爱因斯坦关于引力透镜的预测。
要点二
详细描述

高中物理广义相对论简介优质PPT课件

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三、广义相对论的几个结论
2. 引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别．
对于高速转动的圆 盘，除了转动轴的位置 外，各点都在做加速运 动，越靠近边缘，加速 度越大，方向指向盘心。
地面上看到：越是靠近边缘，速度越大。根据狭义相对论，靠 近边缘部位的时间进程较慢。
圆盘上的人认为：盘上存在引力场，方向由心指向边缘，靠近 边缘的位置引力势较低，得出：引力势较低的位置，时间进程比较慢。
广义相对论简介
学习目标
1.了解广义相对论的基本原理. 2.初步了解广义相对论的几个主要观点以及主 要观测数据.
复习
1．“同时”的相对性
2．长度的相对性 3．时间间隔的相对性 4．相对论的时空观 5．相对论速度变换公式 6．相对论质量
新知预习
一.广义相对论的基本原理
(1)广义相对性原理：在_任__何__参考系中，物理规律都是相同的. (2)等效原理：一个均匀的引力场与一个做_匀__加__速__运动的参考系等价.
二、广义相对性原理和等效原理
1. 广义相对性原理：
在任何参考系中，物理规律都是相同的。
伽利略相对性原理 力学规律在任何惯性系都是相同的
爱因斯坦狭义相对性原理(1905年) 在不同的惯性参考系中，一切物理规律都有是相同的;
二、广义相对性原理和等效原理
2. 等效原理：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价。
典例分析
例3.在日全食的时候，通过仪器可以观察到太阳后面的恒星，
这说明星体发出的光( C )
A．经太阳时发生了衍射
引力场作用下，光 线发生了弯曲
B．可以穿透太阳及其他障碍物
C．在太阳引力场作用下发生了弯曲
D．经过太阳外的大气层时发生了折射

《广义相对论简介》课件

《广义相对论简介》课件
局域性
引力场在局域范围内可近似为牛顿引力，满足线性 叠加原理。
引力场方程的推导与表述
80%
场方程的推导
基于爱因斯坦的场方程，通过数 学推导得到引力场方程。
100%
场方程的表述
引力场方程表述了物质和能量如 何弯曲时空，进而产生引力。
80%
几何意义
引力场方程是时空曲率与物质能 量分布之间的联系。
引力场方程的解与意义
爱因斯坦对物理学基础问题的关注
爱因斯坦对物理学的基础问题产生了浓厚的兴趣，开始探索光速不变和相对性 原理背后的更深层次原理。
爱因斯坦的科研经历与思想转变
从特殊相对论到广义相对论的过渡
爱因斯坦在提出特殊相对论后，意识到其只能解释惯性参考系下的物理现象，因此开始探索引力问题，最终发展 出广义相对论。
对等效原理和最小作用量原理的应用
详细描述
1919年，爱丁顿和戴森带领的探险队在日 全食期间观测到太阳附近的星光发生偏折的 现象，与广义相对论的预测相符，证实了爱
因斯坦的理论。
水星轨道近日点的进动现象
总结词
水星轨道近日点的进动现象观测结果与牛顿经典力学预测不符，而与广义相对论的预测 一致。
详细描述
水星是太阳系中离太阳最近的行星，其轨道近日点会发生进动现象。观测数据显示，水 星轨道的进动速度比牛顿经典力学预测的要快，这一现象只有通过广义相对论才能得到
广义协变原理
总结词
该原理要求所有物理定律在任何参照系中都 保持形式不变，即具有协变性。
详细描述
广义协变原理是广义相对论的另一个重要原 理，它要求所有物理定律在不同的参照系中 保持形式不变，即具有协变性。这意味着物 理定律的形式在任何参照系中都应该是一样 的，不受参照系选择的影响。这一原理进一 步强调了物理定律的普遍性和相对性，是广 义相对论的重要基石之一。

《广义相对论讲》PPT课件

《广义相对论讲》PPT课件
测量一段弧的长度及圆周长精选ppt15根据等效原理转动参考系等效为引力场引力场强是由洛仑兹变换可得结论引力场中空间弯曲愈强弯曲愈烈精选ppt16三史瓦西场中固有时与真实距离schwarcchildfield1场的特征相对静止的球对称分布的物质球外部的场2某处的固有时由静止在该处的标准钟测得的时间间隔某处真实距离由静止在该处的标准尺测得的空间间隔刚性微分尺精选ppt17在无引力的地方有一系列的走时完全一样的钟然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准钟标准时间标准长度无引力影响的时间和长度标准钟标准尺在无引力的地方有一系列的完全一样的刚性微分尺然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准尺精选ppt18远离引力场处无限远处引力为0平直空间场各处引力不同空间时间各处不同精选ppt194引力场中的固有时与真实距离瞬时静止在s系中确定时空点的局惯系s0飞来局惯系由无限远处沿径向自由飞到史瓦西场确定的时空点精选ppt20相遇的两只钟系的确定时空点处的标准钟c测得的是原时同样在确定的时空点的标准尺测的是原长精选ppt21弱引力场牛顿近似飞来惯性系sgmmmv精选ppt22度有关与加速度无关处引力势r处的固有时r邻域的真实距离2双生子中谁年轻
8
一系列的 局惯系
r g(r)
无限远 引力为0 惯性系
以该点的引力场强自由降落 可有多个 相对匀速运动 可用洛仑兹变换
引力场源
图示局惯系
9
二、广义相对性原理 principle of general covariance (广义协变性原理)
物理规律在一切参考系中形式一样 小结
广义相对论根本原理 1)等效原理 2)相对性原理 3)马赫原理 Mach principle 时空性质由物质及其运动所决定
1m2vGMm 0 2 r

相对论动力学基础PPT课件

相对论动力学基础PPT课件

Px, y, z,t
Px, y, z,t
x x ut 1 u2 c2
在k系中观测, t 时刻 O离开O的距离为ut.
解得：x x ut
1 u2 c2
在 k系中观测,同理可得： x x ut 1 u2 c2
令 u
c
1 1 2
x x ut
y y
正变换 z z
t t
u c2
运动尺的缩短,并不能证明汤普 金斯先生将看到一个变扁的世界.
y x
y x
尺缩效应的形象是人们观测物体 高速运动的物体 测量形象
上各点对观察者参照系同一时刻的
y
位置的形象,可称为“测量形象”,而
不是物体产生的“视觉形象”. x
视觉效果 我们看到的（或照相机拍摄
视觉形象
的）形象,是由物体上各点发出 后“同时到达”眼睛（或照相机）
t 0 t2 t1
x 1.0 103 m
x 2.0 103 m
由洛仑兹变换得
x x ut x
1 u c2 1 u c2
2.0103 1.0103 ,
1 u c2
u 3c 2
t
t
u c2
x
1 u c2
3c / c2
2
1.0 103 1/ 2
5.77 106 (s)
§ 4.4 几个经典佯谬
F
m
v
C
v0
o
t
vt v0 at
根据相对论的速度变换公式可知任何物体的运动
速度均不可能超过光的速度, 此矛盾如何解决 ?
§4.5 相对论动力学基础 在经典力学中质量是不变的,和 物体的运动无关,在相对论中质量 是否是不变的呢？ 4.5.1 相对论质量和动量 1.质速关系

动力学基本方程-PPT

动力学基本方程-PPT

15.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
ma
d2 r m dt2
n i 1
Fi
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
m
d2 x dt2
n i 1
Fxi ,
d2 y m dt2
n i 1
Fyi
d2 z m dt2
n i 1
Fzi
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
d v n
代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：
Fx mx ma2 cost, Fy my mb2 sin t
F Fxi Fy j ma2 costi mb2 sin tj
m2 (a costi b sin tj) m2 (xi yj) m2r
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
第 15 章
动力学基本方程
15.1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律)
不受力作用的质点，将保持静止或作 匀速直线运动。
质点保持其原有运动状态不变的属性 称为惯性。
15.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度关系定律
质) 点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的
力的大小，加速度的方向与力的方向相同。

广义相对论简介优秀PPT

广义相对论简介优秀PPT
广义相对论简介
（general relativity）
广义相对论：研究空间、时间和引力的理论 狭义相对论：广义相对论在无引力存在时的特例
狭义相对论的缺陷： 承认惯性系的特殊地位。 不能建立令人满意的引力理论。
爱因斯坦的思考 1、非惯性系与惯性系 2、时空与物质
平权? 有关?
广义相对论 超越了 牛顿的引力论
F真
ma
ma0
ma
a
物体对惯性系
的加速度
因此在非惯性系中定义虚拟力：惯性力 f惯 ma非惯性系对惯性系
则非惯性系中的牛顿定律形式为： F相 互 作 用 力 f惯 性 力 ma物 体 对 非 惯 性 系
注意：上式表面上是非惯性系的，实质上是惯性
系的变形而已
F相互作用力 ma物体对非惯性系 f惯性力
0
引力 红移效应
红移z定义
z
0
0 0
1
2GM c2R
1
GM 1 c 2r
(1
1 2
2GM c2R
)
1
GM c2R
引力红移 gravitational redshift
若太阳发光 GM S 2.12 106
1
c2 RS
结论 引力时缓尺缩效应及引力红移
远离引力中心的地方观察引力场中发生在不 同地点的同一物理过程，引力场越强的地方，观 测时间越慢，空间距离越短，即引力的时缓尺缩 效应越显著。
广义相对性原理 :一切参考系（惯性系与非 惯性系）都是平权的,物理学定律在所有的参 考系中都具有相同的数学形式.
小结 广义相对论基本原理
1)等效原理 2)相对性原理
时空性质由物质及其运动所决定
? 非惯性系里的时空

11-1　史瓦西时空中的运动方程广义相对论教学课件

11-1　史瓦西时空中的运动方程广义相对论教学课件

=
−
1 2
gαβ
xα
xβ
η
=
⎧0, ⎨⎩1,
（光子） （质点）
L=η
2
L
=
1 2
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1 −
2M r
⎞ ⎟⎠
t
2
− ⎛⎜⎝1−
2M r
⎞−1 ⎟⎠
r2
−
r 2θ
2
−
r2
⎤
sin2 θϕ 2 ⎥
⎥⎦
∂L = 0, ∂L = 0
∂t
∂ϕ
E
=
∂L ∂t
=
⎛⎜⎝1 −
2M r
⎞ ⎟⎠
dt
dλ
L = − ∂L = r2 sin2 θ dϕ
d2
dϕ 2
⎜⎛ ⎝
1 r
⎟⎞ ⎠
+
1 r
=
GM L2
u = GM r
d 2u
dϕ 2
+
u
=
⎜⎛ ⎝
GM L
⎟⎞ 2 ⎠
1⎡ d
2 ⎢⎣ dϕ
⎜⎛ ⎝
1 r
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
2
=
E L2
−
1 2r 2
+
GM rL2
r
=
L2 GM
⋅
(1 +
1
e cosϕ )
u = ⎜⎛ GM ⎟⎞2 (1 + e cosϕ)
⎝L⎠
史瓦西时空中的运动方程
水星轨道近日点的进动
狭义相对论的修正
d 2u
dϕ 2
+
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
GM
⎢⎣ ⎝ L
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,
mV)
量纲不同，只是时空各自分量 p是四矢量的空间分量，V 不是！— —测量公式
动力学方程仅仅变迁为
例子：Lorentz力— —习题
动力学方程
引入四力——人造！
动力学方程仅仅变迁能量和动量表达式
标导数f
dp
(？, f)
d
形式完全同于牛顿！引入4力！

例子：Lorentz力 — —习题
— —改造了电场和磁场表达式？
dt • Newton a Newton
V)V
2
2a
Newton
]
正交 u •a 0
u
dx
( ,V)MCIF (1,0)
~a
2a[Ndew4 t(oan]NMewCtonI•FV(0)，, a4
(a Newton ) Newton
•
V)V
u•a 0
矢量优点第3条！
如何理解四维矢量2：类空
• 四维矢量 vs 三维矢量——3+1分解
– 例：x轴基矢量
ex
(0,
ex
)同时线上
7.9节、20.2节类空面、类时面
动力学求解例题
• 匀加速直线运动 • Hartle 例题5.3 • 习题5.6 • 四维求解法MTW
理解物理意义 与上次课推导的固有加速度比较
~a
d~u
, ~u
d~x
, ~u
习题５.４
固有加速度与四加速度 一致？
• 垂直于四速度 • 大小一致 • 方向旋转?
– ——需要四维思维！
~a
[
4
(a
Newton
•
V),
4
(a
Newton
•
V)V
2a
] Newton
~a ~a∥ ~a
~a∥
[
4
a Newton∥
V,
4a Newton∥]
~~aa∥空 间(0,部 2分a New4taonNe)wton∥横向纵固向有固加有速加度速，度无 L3aoNreewntotnz∥，boWosht!y?
t2e0 • e0 txet • ex txet • ex x2ex • ex 对比— —线元以坐标（t，x）表达— —定义之第一部分 a • a a 2 s2 -t2 x（2 或无穷小） 方法一：（t，x）任意
方法二：坐标基矢量{e }也是矢量— —习题
几何体——三位一体 MTW
相对论四维描述x ( ) — —某个参数 类时固有时
自由度 1？
四速度
重点新概念！
定义、特性
标导数u dx — —v dx
d
dt
u
dx
( ,V)MCIF (1,0)
d
速度相加非线性！（Lightman习题1- 3）
u • u
dx
d
dx
d
ds2
d 2
1类时单位矢量！
意义
u
dx
( ,V)MCIF (1,0)
• Lorentz Transformation
如何理解四维矢量1：类时 ——回忆固有量表格
• 四维矢量 vs 三维矢量——3+1分解
– t轴基矢量
四加速度
重点新概念！
定义、特性
标导数a du — —u( )
d
类比 比较牛顿加速度a dV
~~aa~~aa2MaC[NI6e4Fw((ata(o0nNN，固eewwttoa有onnN••e加wVVto)速)n2,)度4(a4
广义相对论课堂11 动力学方程4维形式
2012.10.23
总结
• 相对论性动力学方程=》质能关系 • 矢量定义为一个几何中的位移矢量 • 标量积定义=>算法 • 基矢量定义——与坐标关系
Lorentz系中标量积计算公式
a • b a b (g ) e • e闵氏度规 dx • dx ds2 dx dx
基矢量与坐标关系？
基矢量定义dx dxe 单位长度 坐标增长方向
a
(a
0
,
a
i
)
(a
t
,
a)
（t，x）
位移矢量
ae xe — —{e } {et , ex} {e0 , ei}一组坐标基 点积以坐标基矢量{e }表达 定义之第二部分 a • a a e • a e a a e • e
d
u • u
dx
d
dx
d
ds2
d 2
1类时单位矢量！
非3速度V！仅数学
单位切矢量— —曲线— —对比三欧V
世界线固有时（曲线弧长）增长方向
x u 极限下dx u d
切线是曲线一级线性近似
共动系时间轴基矢量
对比三维欧式空间速度矢量
• 相似：切矢量 • 不同：单位长度
对比时间“矢量”
• Minkowski Flat Spacetime Geometry—— 回忆朗诵Minkowski掷地有声的宣言！
Einstein1905：Planck
分析力学vs牛顿矢量力学— —能动量地位
完全类似3维牛顿方程：定义了4力
标导数f
(f t , f)
dp
(
dE ,
dp )
d dt dt
f ~a
ma
[
4
(a
Newton
•
V),
4
(a
Newton
•
V)V
2a
Newton
抽象概念abstractnotion a 坐标分量coordinatecomponenta 形象图像— Cartan —时空图
运动学
类时世界线 类光世界线
类时世界线——慢子
牛顿t、xi钟尺网格 坐标网格 世界线由三个函数xi (t)给定 如匀加速x(t) （t 2 a-2）1/2，y z 0
t
t'
x' a
x
这提示四维形式可统一 纵向和横向
四维成立，并满足对应原理，则总 成立
4维的好处
• 充分利用相对性原理——Lorentz不变性 ——例：辐射功率 • 形式统一纵向和横向
如何理解四维矢量之二 分量boost变换
~a∥
[
4
a Newton∥
V ,
4
a
Newton∥
]
Lorentz实验室系boost到共动系，顺逆
( ,V)
只~a~a2有d纵[ 64向((aa加NNeeww速dttoonn度••VaVN))e2,wto4n(•a4VNaeNwetownato•nNVe2w)toVn
V
2a Ne
时，
wton
]
固固只~a 2有有有加加横 4速速向(度度加2V大大速2 小小度1a)为为aNeNwe32twoaanto•NNn ee2Vwwttoonn;06时a N，ewton 2 ,
~Ma MCCIFI[F0(,0,3a3NaeNwetown∥ton]∥(0,2aa
) proper
Newton
)
对应原理—— 质量、动量、力
ma∥
3m
dV∥ dt
m
a
2m
d V dt
四加速度点积投影到共动系空间轴
纵向和横向
• 作为习题？
四动量
定义、特性
标量乘以矢量p
mu
(E,
p)
(mc2