2.3.多项式的最大公因式(二)解析

《高等代数（上）》课程标准1.课程说明《高等代数（上）》课程标准课程编码〔 37008 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022.11.20 〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的专业基础课程之一，是本专业的核心课程，也是必修课程。

本课程是初等代数的延续与提高, 它的知识，技能，思想方法，对中小学数学教学有直接的指导作用，特别是数学能力的培养和提升发挥着不可替代的作用，可以增强学生的数学思维品质和提高学生的数学素养，为未来的数学教师生涯和今后的再学习奠定良好的专业理论基础。

（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。

（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有中学数学，后续课程有《高等代数（下）》、《解析几何》、《概率统计基础》、《数论》等。

2.学习目标通过本课程的学习，使学生掌握《高等代数（上）》的基础知识、基本理论、基本方法。

提高学生的逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力，提高学生的再学习的能力。

培养学生实事求是、诚实守信、爱岗敬业、团结协作的职业精神，培养学生善于沟通、勇于合作的良好品质，为发展职业能力奠定良好的基础。

使学生成为具备从事中小学数学教育职业的高素质劳动者和教学高级技术人才。

（1）知识目标掌握一元多项式理论、线性方程组、行列式与矩阵及二次型的基本知识、基本理论。

熟练掌握行列式、矩阵的运算。

熟练掌握运用初等变换求解线性方程组、求可逆矩阵的逆矩阵等基本方法。

（2）素质目标培养良好的思想品德、心理素质。

培养良好的职业道德，包括爱岗敬业、诚实守信、遵守相关的法律法规等。

培养学生踏实、认真、求实的做事态度，使学生形成勇于承担责任、实事求是的工作作风。

培养良好的团队协作、协调人际关系的能力。

成都七中高一数学竞赛多项式专题讲义A4.多项式的因式一、基础知识多项式的公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈如果多项式()[]x P x ϕ∈使得()|()x f x ϕ且()|()x g x ϕ,则称()x ϕ为()f x 与()g x 的公因式.多项式的最大公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈[]P x 中多项式()d x 称为()f x 与()g x 的最大公因式,如果它满足下面两个条件：①()d x 是()f x 与()g x 的公因式；②()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的因式.不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 如果不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积,则称()p x 为数域P 上的不可约多项式.显然一次多项式总是不可约多项式.22x +是实数域上的不可约多项式,但是在复数域上却不是不可约多项式,这就说明了一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.k 重因式：不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式,如果1()|(),()().k k p x f x p x f x +Œ二、典型例题与基本方法1.如果多项式(),(),(),()f x g x q x r x 满足()()()(),f x q x g x r x =+证明：(1)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式；(2)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.2.设多项式(),()[],f x g x P x ∈证明(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道两个不全为零多项式的最大公因式总是一个非零多项式,我们约定用((),())f x g x 来表示首项系数为1的那个最大公因式.3(裴蜀定理)对于[]P x 中任意两个多项式(),()f x g x ,在[]P x 中存在(),()f x g x 的最大公因式(),d x 且()d x 可以表成(),()f x g x 的一个组合,即存在[]P x 中的多项式(),()u x v x 使得()()()()().d x u x f x v x g x =+4.[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的,如果((),()) 1.f x g x =显然两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.5.证明：(1)如果((),())1,f x g x =且()|()(),f x g x h x 则()|().f x h x(2)如果12()|(),()|(),f x g x f x g x 且12((),())1,f x f x =则12()()|().f x f x g x6.[]P x 上的不可约多项式()p x 的因式只有非零常数()c c P ∈与它自身的非零常数倍()()cp x c P ∈这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知不可约多项式()p x 与[]P x 上任一多项式()f x 之间只可能有两种关系,或者()|()p x f x 或者((),()) 1.p x f x =证明：如果()p x 是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),(),f x g x 由()|()()p x f x g x 一定可推出()|()p x f x 或者()|().p x g x7.设多项式1110()n n n n f x a x a xa x a --=++++,规定它的导数是1211()(1).n n n n f x a nx a n x a ---'=+-++我们可得到关于多项式导数的基本公式：(()())()(),(())(),f x g x f x g x cf x cf x '''''+=+=1(()())()()()(),(())()().m m f x g x f x g x f x g x f x mf x f x -'''''=+=证明：(1)如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么()p x 是()f x '的1k -重因式.(2)()p x 是不可约多项式,如果()p x 是()f x 的重因式⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式.(3)多项式()f x 没有重因式⇔()f x 与()f x '互素.B4.练习 姓名：1.求多项式43()235f x x x x =+++除以2()(1)g x x =+的余式.2.证明：如果多项式(),()f x g x 不全为零多项式,且()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=证明：((),()) 1.u x v x =3.举例说明断言“如果不可约多项式()p x 是()f x '的1(1)k k -≥重因式,那么()p x 是()f x 的k 重因式”是不对的.A4.多项式的因式一、基础知识多项式的公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈如果多项式()[]x P x ϕ∈使得()|()x f x ϕ且()|()x g x ϕ,则称()x ϕ为()f x 与()g x 的公因式.多项式的最大公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈[]P x 中多项式()d x 称为()f x 与()g x 的最大公因式,如果它满足下面两个条件：①()d x 是()f x 与()g x 的公因式；②()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的因式.不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 如果不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积,则称()p x 为数域P 上的不可约多项式.显然一次多项式总是不可约多项式.22x +是实数域上的不可约多项式,但是在复数域上却不是不可约多项式,这就说明了一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.k 重因式：不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式,如果1()|(),()().k k p x f x p x f x +Œ二、典型例题与基本方法1.如果多项式(),(),(),()f x g x q x r x 满足()()()(),f x q x g x r x =+证明：(1)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式；(2)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.证明：(1)如果()x ϕ是(),()f x g x 的一个公因式,则()|(),()|(),x f x x g x ϕϕ于是()|()()(),x f x q x g x ϕ-即()|(),x r x ϕ于是()x ϕ也是(),()g x r x 的一个公因式.如果()x ϕ是(),()g x r x 的一个公因式,则()|(),()|(),x g x x r x ϕϕ于是()|()()(),x q x g x r x ϕ+即()|(),x f x ϕ于是()x ϕ也是(),()f x g x 的一个公因式.所以(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式.(2)若()d x 是(),()f x g x 的一个最大公因式,则由(1)知()d x 是(),()g x r x 的一个公因式.设()x ϕ是(),()g x r x 的任一个公因式,则由(1)知()x ϕ也是(),()f x g x 的一个公因式,于是()|(),x d x ϕ这就证明了()g x 与()r x 的公因式()x ϕ全是()d x 的因式.所以()d x 也是(),()g x r x 的一个最大公因式.若()d x 是(),()g x r x 的一个最大公因式,则由(1)知()d x 是(),()f x g x 的一个公因式.设()x ϕ是(),()f x g x 的任一个公因式,则由(1)知()x ϕ也是(),()g x r x 的一个公因式,于是()|(),x d x ϕ这就证明了()f x 与()g x 的公因式()x ϕ全是()d x 的因式.所以()d x 也是(),()f x g x 的一个最大公因式.这就证明了(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.2.设多项式(),()[],f x g x P x ∈证明(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道两个不全为零多项式的最大公因式总是一个非零多项式,我们约定用((),())f x g x 来表示首项系数为1的那个最大公因式.证明：设12(),()d x d x 是(),()f x g x 的两个最大公因式,因为()f x 与()g x 的公因式全是最大公因式的因式.所以1221()|(),()|(),d x d x d x d x 于是12()(),,0.d x cd x c P c =∈≠所以(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.3(裴蜀定理)对于[]P x 中任意两个多项式(),()f x g x ,在[]P x 中存在(),()f x g x 的最大公因式(),d x 且()d x 可以表成(),()f x g x 的一个组合,即存在[]P x 中的多项式(),()u x v x 使得()()()()().d x u x f x v x g x =+证明：如果(),()f x g x 有一个为零多项式,不妨设()0,g x =则()f x 就是(),()f x g x 的一个最大公因式,所以存在()()[],d x f x P x =∈且()()1()1().d x f x f x g x ==⋅+⋅因为1,P ∈所以此时()() 1.u x v x ==如果(),()f x g x 均不为零多项式,按带余除法,用()g x 除(),f x 得到商1(),q x 余式1()r x ；如果1()0,r x ≠就再用1()r x 除(),g x 得到商2(),q x 余式2()r x ；又如果2()0,r x ≠就再用2()r x 除1(),r x 得到商3(),q x 余式3()r x ；如此辗转相除下去,显然,所得余式的次数不断降低,即12(())(())(()),g x r x r x ∂>∂>∂>因此在有限次之后,必然有余式为零多项式.于是我们有一串等式：1121213232131212111()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()0.i i i i s s s s s s s s s s s f x q x g x r x g x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x ---------+=+=+=+=+=+=+=+因为()s r x 与0的最大公因式是()s r x ,由第1题知道()s r x 也就是1()s r x -与()s r x 的最大公因式,同样的理由,逐步推上去,()s r x 就是()f x 与()g x 的一个最大公因式()d x .这就证明了()d x 的存在性.由上面的倒数第二个等式,我们有21()()()(),s s s s r x r x q x r x --=-再由倒数第三式,1312()()()(),s s s s r x r x q x r x ----=-代入上式可消去1(),s r x -得到1123()(1()())()()().s s s s s s r x q x q x r x q x r x ----=+-然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去21(),,(),s r x r x -再并项就得到()()()()(),s r x u x f x v x g x =+于是即()()()()()().s d x r x u x f x v x g x ==+4.[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的,如果((),()) 1.f x g x =显然两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.证明：[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的⇔有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()() 1.u x f x v x g x +=证明：()⇒由裴蜀定理知道显然成立.()⇐若有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1,u x f x v x g x +=设()d x 是(),()f x g x 的一个最大公因式,则()|(),()|(),d x f x d x g x 于是()|()()()(),d x u x f x v x g x +所以()|1.d x所以(())0,d x ∂=所以(),()f x g x 互素的5.证明：(1)如果((),())1,f x g x =且()|()(),f x g x h x 则()|().f x h x(2)如果12()|(),()|(),f x g x f x g x 且12((),())1,f x f x =则12()()|().f x f x g x证明：(1)如果((),())1,f x g x =则()()()() 1.u x f x v x g x +=于是()()()()()()().u x f x h x v x g x h x h x +=因为()|()(),f x g x h x 又()|()(),f x f x h x 所以()|()()()()()()().f x u x f x h x v x g x h x h x +=(2)由1()|()f x g x ,则11()()(),g x f x h x =又2()|(),f x g x 于是211()|()(),f x f x h x 因为12((),())1,f x f x =由(1)知道21()|(),f x h x 即122()()().h x f x h x =所以11122()()()()()(),g x f x h x f x f x h x ==于是12()()|().f x f x g x6.[]P x 上的不可约多项式()p x 的因式只有非零常数()c c P ∈与它自身的非零常数倍()()cp x c P ∈这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知不可约多项式()p x 与[]P x 上任一多项式()f x 之间只可能有两种关系,或者()|()p x f x 或者((),()) 1.p x f x =证明：如果()p x 是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),(),f x g x 由()|()()p x f x g x 一定可推出()|()p x f x 或者()|().p x g x证明：如果()|(),p x f x 则结论已经成立.如果()(),p x f x Œ则((),())1,p x f x =因为()|()()p x f x g x ,所以()|().p x g x7.设多项式1110()nn n n f x a x a xa x a --=++++,规定它的导数是1211()(1).n n n n f x a nx a n x a ---'=+-++我们可得到关于多项式导数的基本公式：(()())()(),(())(),f x g x f x g x cf x cf x '''''+=+=1(()())()()()(),(())()().m m f x g x f x g x f x g x f x mf x f x -'''''=+=证明：(1)如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么()p x 是()f x '的1k -重因式.(2)()p x 是不可约多项式,如果()p x 是()f x 的重因式⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式.(3)多项式()f x 没有重因式⇔()f x 与()f x '互素.证明：(1)由条件()()(),()().k f x p x g x p x g x =Œ因此1()()(()()()()).k f x p x kg x p x p x g x -'''=+这说明1()|().k px f x -'令()()()()(),h x kg x p x p x g x ''=+假设()|(),p x h x 注意到()|()(),p x p x g x '于是()|()()(),p x h x p x g x '-即()|()().p x kg x p x '因为()p x 是不可约多项式,所以()|()p x g x 或者()|().p x p x '而这两种情况都不能成立.于是假设错误.所以()(),p x h x Œ这就证明了()|(),kp x f x '所以()p x 是()f x '的1k -重因式. (2)()⇒如果不可约多项式()p x 是()f x 的重因式,则2()|(),p x f x 于是2()()(),f x p x q x =2()2()()()()()(2()()()),f x p x q x p x q x p x q x p x q x '''=+=+所以()|(),p x f x '显然()|(),p x f x 于是()p x 是()f x 与()f x '的公因式.()⇐若()p x 是()f x 与()f x '的公因式,则()()()(1),()().k f x p x q x k p x q x =≥Œ,若1,k =则()()(),f x p x q x = 于是()()()()(),f x p x q x p x q x '''=+因为()|(),p x f x '显然有()|()(),p x p x q x '所以()|()().p x p x q x '因为()p x 是不可约因式,所以()|(),p x p x '或者()|().p x q x 而这两种情况都不能成立.所以 2.k ≥这就是证明了不可约多项式()p x 是()f x 的重因式.(3)()⇒设多项式()f x 没有重因式,如果()f x 与()f x '不互素,则()f x 与()f x '有公因式(),x ϕ设()p x 是整除()x ϕ的不可约多项式(),p x 由(2)知道()f x 有重因式矛盾.()⇐设()f x 与()f x '互素,若多项式()f x 有重因式(),p x 则由(2)知道()p x 是()f x 与()f x '的公因式矛盾.B4.练习 姓名：1.求多项式43()235f x x x x =+++除以2()(1)g x x =+的余式.解：竖式除法得22()(1)(1)5 6.f x x x x =+-++()5 6.r x x =+ 法2设()()()().f x q x g x r x =+可设().r x ax b =+于是432235()(1).x x x q x x ax b +++=+++令1x =-,则1.a b =-+两边求导得322463()(1)2(1)().x x q x x x q x a '++=++++ 令1,x =-则5.a =所以 6.b =所以()5 6.r x x =+2.证明：如果多项式(),()f x g x 不全为零多项式,且()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=证明：((),()) 1.u x v x =证明： 因为((),())|(),((),())|(),f x g x f x f x g x g x于是存在12(),()q x q x 使得12()((),())(),()((),())().f x f x g x q x g x f x g x q x ==所以()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=即为12()((),())()()((),())()((),()).u x f x g x q x v x f x g x q x f x g x +=因为多项式(),()f x g x 不全为零多项式,所以((),())f x g x 不是零多项式.所以12()()()() 1.u x q x v x q x +=所以((),()) 1.u x v x =3.举例说明断言“如果不可约多项式()p x 是()f x '的1(1)k k -≥重因式,那么()p x 是()f x 的k 重因式”是不对的.解：设()p x x =是不可约多项式,()()11,k k f x p x x =-=-则1()k f x kx -'=显然是()p x x =的1k -重因式,但 ()p x x =却不是()1k f x x =-的k 重因式.。

因式分解提公因式法第2课时课题：3.2提公因式法(二) 课型：新授 备课人：唐思梁教学目标：A层、理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解。

B层、初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方法。

C层、在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣。

教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解。

教学难点: 运用提公因式法把多项式分解因式找到多项式的最大公因式.教学过程:一、自主学习1、阅读教材P60-612、用短除法分解因式。

二、师生共探1、怎样分解因式？ 如何把 分解因式？2、如何把分解因式？3、在草稿上检验例4、例5.4、例6.把因式分解。

三、归纳总结1、当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。

2、提取公因式要彻底；注意易犯的错误：①提取不尽②漏项③疏忽变号④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式。

四、拓展提高1、把因式分解。

2、先变形，再分解因式。

.五、课堂检测A层.选择题（1）多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+（2）下列因式分解不正确的是（ ）A．-2ab²+4a²b=2ab（-b+2a） B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）C．-5ab+15a²bx+25ab³y=-5ab（-3ax-5b²y） D．3ay²-6ay-3a=3a（y²-2y-1）（3）将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）B层．把下列各式分解因式：C层.如何把。

多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。

是常见算数技巧长除法的一个推广版本。

它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

例计算写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。

结果写在横线之上(x3÷x = x2).2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x2· (x−3) = x3− 3x2).3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。

((x3− 12x2) − (x3− 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。

4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项5.重复第四步。

这次没什么可以“拿下来”了。

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。

除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。

考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。

然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），这种变换叫做除法变换，是从算数等式.[1]得到的。

应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。

如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。

简单来说，Q(x)就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s ，以此类推。

两零多项式的最大公因式
1. 什么是多项式的最大公因式
- 多项式最大公因式指两个或多个多项式的最大公因数。

- 最大公因数是能够整除给定数字集合中所有数字的最大整数。

2. 两个一元两零多项式的最大公因式计算方法
- 辗转相除法：将两个多项式相除，若有余数，则将除式除以余数。

一直重复直到余数为零。

此时除数即为两个多项式的最大公因式。

3. 举例说明
- 例1：求多项式 f(x)=4x^3-2x^2+2x-2 和 g(x)=2x^2-6 的最大公因式。

- 首先将两个多项式按降幂排列，即 f(x)=4x^3-2x^2+2x-2，
g(x)=0x^3+2x^2-6x+0。

- 用 g(x) 去除 f(x)，得到商为 2x 和余数为 2x-2。

- 将 g(x) 除以余数 2x-2，得到商为 x+1，余数为 4。

- 由于余数不为零，再将 2x-2 除以 2，得到商为 x-1，余数为 0。

- 于是，最大公因式为 (2x-2)(x+1)=2(x-1)(x+1)。

- 例2：求多项式 f(x)=6x^3+3x^2-9x-9 和 g(x)=3x^2-6x-15 的最大公因式。

- 首先将两个多项式按降幂排列，即 f(x)=6x^3+3x^2-9x-9，
g(x)=0x^3+3x^2-6x-15。

- 用 g(x) 去除 f(x)，得到商为 2x 和余数为 -3x-9。

- 将 g(x) 除以余数 -3x-9，得到商为 -x-3，余数为 0。

- 于是，最大公因式为 3(x+3)。

公因式知识点总结一、定义公因式是指两个或多个多项式中公有的因式，可以被每一个多项式整除的因式。

比如，对于多项式2x^2+4x，我们可以分解因式2x(x+2)，其中2x是公因式。

二、求公因式的方法1. 求出每个多项式的所有因式；2. 找出所有多项式中的公有因式。

例如，对于两个多项式4x^2-9和12x^2-27，首先分解因式得到：4x^2-9 = (2x+3)(2x-3)12x^2-27 = 3(2x+3)(2x-3)然后我们可以发现两个多项式中都有因式2x+3和2x-3，因此这两个因式就是两个多项式的公因式。

三、公因式与最大公因式最大公因式是指两个或多个多项式中所有公因式中次数最高的那个因式，也就是说最大公因式不仅是公因式，而且是所有公因式中次数最高的那个。

比如，对于两个多项式3x^2+6x和9x^3-12x^2，我们可以分解因式得到：3x^2+6x = 3x(x+2)9x^3-12x^2 = 3x^2(3x-4)其中，两个多项式的公因式为3x，而最大公因式为3x^2。

四、公因式的运用1. 整理多项式当我们将多项式进行因式分解时，公因式可以帮助我们把多项式进行合并和简化，从而更容易求解或进行其他运算。

比如，对于多项式6x^2+12x+18和9x^2-36，我们可以发现这两个多项式的公因式为3，因此可以将公因式提出来，得到：6x^2+12x+18 = 3(2x^2+4x+6)9x^2-36 = 3(3x^2-12)2. 求多项式的最大公因式在求解多项式的最大公因式时，公因式的概念非常重要。

因为只有找到了所有公因式，才能确定最大公因式。

比如，对于多项式12x^2+20x+8和16x^2-24x-8，我们可以展开因式分解，得到：12x^2+20x+8 = 4(3x^2+5x+2)16x^2-24x-8 = 4(4x^2-6x-2)这里我们发现两个多项式的公因式为4，而最大公因式为4(3x^2+5x+2)。

多项式最大公因式性质定理及求解方法作者：xxx 指导教师：xxx摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式．§1．最大公因式的定义及性质首先我们给出最大公因式的定义：定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式．例1．如果)x (q )x (g )x (f ⋅=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式，设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有：)x (g |)x (h ，所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．证明：因为)x (h 是)x (f 的因式，所以 可设 )x (m )x (h )x (f ⋅=， )x (n )x (h )x (g ⋅=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ．又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅x h)]()()()()[(x n x b x m x a x h +⋅=．所以 )x (h 是)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式．例2：求12x 3x )x (f 3--=和52x 3x )x (g 3-+=的最大公因式．解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：)1x (4)x (g )x (f -=+-的因式，又因为 0)1(f =，0)1(g =，可知所求的最大公因式就是1x -．定理1:设0)(≠x g ，)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，其中))(())((x g x r ︒︒∂<∂，则有 ))x (r ),x (g ())x (g ),x (f (= ．注：定理1的结论可以形象的叙述为：)()(除式，余式被除式，除式=.证明：设)x (d 是)x (g 和)x (r 的最大公因式，那么根据引理１得：)x (d 也是)x (f 的因式，从而)x (d 是)x (f 和)x (g 的公因式；其次，设]x [F )x (h ∈是)x (f 和)x (g 的任一公因式，那么由引理１得：)x (h 是)x (q )x (g )x (f )x (r ⋅-=的因式，所以)x (h 是)x (r 的因式.因此, )x (h 是)x (g 和)x (r 的公因式,从而可知)x (h 能够整除)x (d ；所以)x (d 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．根据引理１和定理１不难得到：定理２：如果)x (f 和)x (g 不全是零多项式，那么)x (f 和)x (g 一定有最大公因式，并且)x (f 和)x (g 的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的．具体证明过程可参阅[1] 、[2]．两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：定理３：若)x (d 是]x [F 的多项式)x (f 和)x (g 的公因式，则以下命题等价：（i ）)x (d 为)x (f 和)x (g 的一个最大公因式；（ii ）在]x [F 里存在多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅.证明：由(i)推(ii):若0)x (g )x (f ==，那么0)x (d =，这时]x [F 中任何两个多项式都可以取作)x (u 与)x (v ．若)x (f 与)x (g 不都等于零，不妨假定0)x (g ≠，用辗转相除法来求（)x (f ，)x (g ）.用)x (g 去除)x (f 应用带余除法，得商式)x (q 1及余式)x (r 1．如果)x (r 1≠0，那么再以)x (r 1除)x (g ，得商式)x (q 2及余式)x (r 2．如果)x (r 2≠0，再以)x (r 2除)x (r 1，得商式)x (q 3及余式)x (r 3如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式0x )(r k ≠，使得)()()(11x q x r x r k k k +-⋅=，于是我们得到一串等式：)x (r )x (q )x (g )x (f 11+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (g 221+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (r 3321+⋅=， (1))x (r )x (q ).x (r )x (r 1-k 1-k 2-k 3-k +=，)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k +⋅=，)x (q )x (r )x (r 1k k 1-k +⋅=．则 )x (r k 就是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k =⋅-，令 1)x (u 1=，)x (q )x (v k 1-=，那么上面的等式可以写成 :)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 11-k 12-k =⋅+⋅． （3） 由（1）的倒数第三个等式，得)x (q )x (r )x (r )x (r 1-k 2-k 3-k 1-k ⋅-=．把)x (r 1-k 的这个表达式带入(3)中，并令 )x (v )x (u 12=，)x (q )x (v )x (u )x (v 1-k 112⋅-=，所以有)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 22-k 23-k =⋅+⋅．如此继续利用（1）中的等式，最后可得到)x (r )x (v )x (g )x (u )x (f k k k =⋅+⋅．但)x (f 与)x (g 的最大公因式)x (d 等于F 中不为零的数c 与)x (r k 的积：)x (r c )x (d k ⋅=，因此 取)x (u c )x (u k ⋅=，)x (v c )x (v k ⋅=，即得所证．由(ii)推(i):设)x (h 是)x (f 与)x (g 的任一公因式，则)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ，由引理1得h(x)是)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅的因式，即)x (d |)x (h ．又因为)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，所以)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．若1))x (g ),x (f (=，则称多项式)x (f 与)x (g 互素．与定理3类似的还有下面一条重要的定理：定理4 ：在]x [F 中，设)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，且)x (f 与)x (g 不全为零，则)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式⇔))x (g ),x (f (111=．证明：充分性：如果))x (g ),x (f (111=，则由多项式互素的判定定理有，存在)x (u ，)x (v 使1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，则 等式两边同时乘以)x (d ，得d(x ))x (v )x (g )()x (u )x (f d(x )11=⋅⋅+⋅⋅x d ,由命题条件)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=知)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，结合上式同时有)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅，所以，由定理3得)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．必要性：若)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，则由定理3得，存在)x (u ，)x (v 使)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅．因为 )x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，所以代进上式变为)x (d )]x (v )x (g )x (u )x (f [)x (d 11=⋅+⋅⋅，又因为)x (f ，)x (g 不全为零，所以0)(≠x d ，可用)x (d 除等式两边，得1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，所以 1是)x (f 与)x (g 的公因式，由3Th 得,))x (g ),x (f (111=．已知))x (g ),x (f ()x (d =，则)x (d ))x (g ),x (af (=，)x (d ))x (g ),x (g )x (f (=+,一般地有： 定理5 ：令)x (f 与)x (g 是]x [F 的多项式，而a 、b 、c 、d 是F 中的数，并且0bc ad ≠-，则)x (d 是)(x f 与)x (g 的最大公因式⇔)x (d 也是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．证明：设)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式，并令))x (g ),x (f ()x (d =.命 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，现只需证明))x (G ),x (F ()x (d =即可． 由 引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式，所以 )x (d 是F(x)与G(x)的公因式．设 )x (h 是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明)x (d |)x (h 如下：因为 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，且0≠-bc ad ,所以 从F(x)与G(x)的表达式中可得：)x (G bcad b )x (F bc ad d )x (f ---=， )x (G bcad a )x (F bc ad c )x (g -+--=， 又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ,从而)x (d |)x (h ．即证明了)x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．""⇐因为 )x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式 ，由3Th 可知在F[x]里总可以求得多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )]x (dg )x (cf )[x (v )]x (bg )x (af )[x (u =+++ ,即 )x (d )]x (dv )x (bu )[x (g )]x (bv )x (au )[x (f =+++．令 )x (cv )x (au )x (u 1+=,)x (dv )x (bu )x (v 1+=,则)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u 11=+． ①由引理1得)(x d 是)x (f )bc ad ()]x (dg )x (cf [b )]x (bg )x (af [d -=+-+的因式，同时也是)x (g )ad bc ()]x (dg )x (cf [a )]x (bg )x (af [c -=+-+的因式．又)x (g |)x (d ),x (f |)x (d ,0bc ad ∴≠- , ②综合3Th ①、②由得)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．§2．关于定理3中)x (u ，)x (v 的结构前面研究了多项式最大公因式的性质定理，为了更好理解这一定理，现将对定理3中的)x (u ，)x (v 作进一步分析，从而得出有关)x (u ，)x (v 的一些新的结论，以此作为上述定理3的补充．定理3中涉及一个事实，即∀]x [F )x (),x (f ∈g ,0)x (f ≠与0)x (g ≠，∃]x [F )x (v ),x (u ∈，使得))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅, ①设))x (g ),x (f ()x (d =，)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，由§1中定理4得1))x (g ),x (f (=．作了上面的准备工作，现给出)x (u ，)x (v 的结构定理，并加以证明．定理6：（1）设s(x),t(x)∈F(x),∀]x [F )x (h ∈，取)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，则))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅；（2）如果有]x [F )x (t ),x (s ∈使))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅，则∃]x [F )x (h ∈，使)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=．证明：（1）设d(x)=(f(x),g(x)),将)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，代入下式得)x (g ))x (f )x (h )x (v ()x (f ))x (g )x (h )x (u ()x (g )x (t )x (f )x (s 11⋅⋅-+⋅⋅+=⋅+⋅ =)()()()()()()()()()(11x g x f x h x f x g x h x g x v x f x u -++其中)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅．又因为 )x (g )x (f )x (d )x (f (x )g )x (f )x (g 1111⋅=⋅⋅=⋅,所以 0)x (g )x (f )x (h )x (f )x (g )x (h 11=⋅⋅-⋅⋅，从而 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅．（2）因为 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅，上边两式左右两边同时作差得：0)x (g )]x (v )x (t [)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，因为 0)x (d ≠，两边同除以)x (d ，则有：0)x (d /)x (g )]x (v )x (t [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，又因为 1))x (d /)x (g ),x (d /)x (f (=，从 )x (d /)x (g )]x (t )x (v [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [⋅-=⋅- (*)中，得)]x (u )x (s [|)]x (d /)x (g [-，即 ∃]x [F )x (h ∈，使得)x (d /)x (g )x (h )x (u )x (s ⋅=-，又因为)x (g )x (d /)x (g 1=，)x (f )x (d /)x (f 1=，所以有 )x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅=-，代入(*)式得)x (f )x (h )x (t )x (v 1⋅=-即 ⎩⎨⎧⋅-=⋅+=)x (f )x (h )x (v )x (t )x (g )x (h )x (u )x (s 11． 这个定理一方面指出了满足①的)x (u ，)x (v 是不唯一的，同时也给出了所有)x (u ，)x (v 的一般形式，这对研究多项式最大公因式的理论是有很大的作用．§3．最大公因式的求解方法在前面对多项式最大公因式的理论研究指导下，现来研究一下多项式最大公因式的几种求解方法．1．因式分解法利用因式分解法求多项式的最大公因式，一般先求两个（或多个）多项式的标准分解式，如设多项式)x (f 与)x (g 的标准分解式分别为：s 1r r 1k s k 1r k r k 1)x (q )x (q )x (p )x (ap )x (f ++=，t 1r r 1l t _l 1r _l r l 1)x (q )x (q )x (p )x (bp )x (g ++=，其中每一)x (q i ，)s ,,1r i ( +=不等于任何)x (q j _)t ,,1r j ( +=，令i m 是i k 与i l 两个自然数中较小的一个)r ,,2,1i ( =，那么r 21m r m 2m 1)x (p )x (p )x (p )( =x d ，就是)x (f 与)x (g 的最大公因式．例3．求实数域R 上多项式1x x x x x )x (f 2345+++++=与1x x x )x (g 34+++=的最大公因式．解：分别对两个多项式进行标准因式分解得 1x x x x x )x (f 2345+++++=22(x 1)(x 1x)(x 1x)=++++-，1x x x )x (g 34+++=)x 1x ()1x (22-++=，由)x (f 与)x (g 的标准分解式可看出： 1x )1x x )(1x ())x (g ),x (f (32+=+-+=．应该指出的是多项式的标准分解式一般不易求得．因此，求两个多项式的最大公因式一般不用此法．2．辗转相除法利用辗转相除法不但证明任意两个多项式都存在最大公因式，而且也是求最大公因式的一种有效方法．但是在运算过程中经常会出现分数运算，为了简化过程可用]x [F 中一个非零常数去乘被除式或除式，这种做法可在求最大公因式的每个步骤中进行，而对求出多项式的最大公因式d(x)的结果不会受到影响，原因如下:设f(x)，g(x)∈F(x),其中q(x)是g(x)除f(x)的商式，r(x)是余式，即表示为：)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，对F c ∈∀且0≠c 有)x (cr )]x (cq [)x (g )x (cf +⋅= ⑴，)x (r )]x (q c1[)]x (cg [)x (f +⋅= ⑵， 故由§1定理1得：))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (cr ),x (g ())x (g ),x (cf (===，))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (r ),x (cg ())x (cg ),x (f (===．根据此结论，在用辗转相除法求最大公因式的过程中，用F 中的非零常数去乘被除式或除式，会给运算带来很大的方便，以下用例题说明：例4．令F 是有理数域，求]x [F 的多项式：34x 4x 2x x )x (f 234-+--=与34x 5x 2x )x (g 23+--=的最大公因式．解法一，对)x (f 与)x (g 作辗转相除法，但对过程中的系数不作处理，这种解法的过程略．解法二，对)x (f 与)x (g 作辗转相除，对相除中的系数作一些处理：观察)x (f 与)x (g 的系数，先对)x (f 的系数作处理即 2)x (f =68842234-+--x x x x ，用)x (g 去除2)x (f ，商x ，余65423-+-x x x ，观察此步对系数作处理得2（65423-+-x x x ）=12108223-+-x x x ，用)x (g 去除12108223-+-x x x ，商1，余151432-+-x x ，观察此步对系数作处理得 912x 15x 6x )x (3g 23+--=，用151432-+-x x 去除912x 15x 6x 23+--，商-2x ，余942132+-x x ，观察此步对系数作处理得 )94213(32+-x x =27126392+-x x ，用151432-+-x x 去除27126392+-x x ，商-13，余16856-x ，观察此步对系数作处理得 3)16856(561-=-x x ， 用3-x 去除151432-+-x x ，商x 3-，余155-x ，观察此步对系数作处理得 3)155(51-=-x x ，用3-x 去除3-x ，商1，余0.所以 3x ))x (g ),x (f (-=.由上式的求解过程可以看出，有时系数很大，给运算带来不便，根据§1中引理可知，将被除式减去除式的某个倍式，再做辗转相除法而不影响求))x (g )x (f (，的结果，由§1中引理1有： ))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (g ),x (g )x (b )x (f )x (a (==⋅+⋅．解法三，对)x (f 与)x (g 作辗转相除：65x 4x x )x (x g )x (2f 23-+-=-，令 65x 4x x )x (r 231-+-=，则有 1514x 3x )x (2r )x (g 21+-=-，令 1514x 3x )x (r 22+-=，则有)3x ()3x (2182x )x (x r )x (3r 221-⋅+=-=-，令 182x )x (r 23-=，则有)3x (144214x )x (r 23)x (r 32--=+-=-， 故 3x ))x (g ),x (f (-=．很明显，解法三比解法一、二均简便，所以在解题的过程中应尽量利用最大公因式的性质定理使求解过程更简便．3．矩阵的初等变换法给出数域F 上)2n (n ≥个多项式，如何求其最大公因式?现给出n 个多项式的最大公因式的定义：定义2：设)x (f ,),x (f ),x (f n 21 是数域F 上的n 个多项式，并且)x (d 是多项式),x (f 1)x (f 2， ．．．,)x (f n 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f ,),x (f ),x (f n 21 的一个最大公因式．规定用符号()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )表示)x (f ,),x (f ),x (f n 21 在)(x F 中最高次项系数为1的最大公因式．由上述定义及§1的结论得关于数域F 上n 个一元多项式最大公因式的性质：（1）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (f ),x (f (n j i 1 =))x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n i j 1 ,n j i 1≤≤≤．（2）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f ())x (f ,),x (cf ,),x (f (n i 1n i 1 =，且n j i 1≤≤≤，F c ∈≠0为常数．（3）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=, 其中n j i 1≤≤≤．性质（1）、（2）、(3)阐述了在求解多项式的最大公因式时的不变性，由这些不变性又可得到下面推论：推论1：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (cf )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=， 其中n j i 1≤≤≤，F c 0∈≠为任意常数.再给出一个引理：引理2：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，d(x)= ()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )，若)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式)x (d 的常数项必不为0．证明：假设)x (d 的常数项等于0，则)x (d 能被x 整除，所以),,2,1)((n i x f i =的常数项均为0，与条件矛盾，证毕．再由前3个性质及推论1得性质4：（4）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，并设)x (g x )x (f i k =，其中n i 1≤≤，k 为非负整数，)x (f j 为常数项不为0的一元多项式，其中n j 1≤≤，且j i ≠，则 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．证明：设))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f (n j i 1 )x (d =,显然 )x (d 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的一个公因式．其次 设)x (h 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的任一公因式，则)x (f |)x (h i ，)x (g x |)x (h i k ，而 ()x (f 1…,)x (f i ,)x (f 1i +,…,)x (f j ,…,)(x f n )的常数项非零，则)x (h 不含k x 这一因式，从而)x (g |)x (h i ，因而)x (h 是)x (f 1…,)x (g i ,…,)(x f n 的公因式,所以 )x (d |)x (h .所以 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．为了更方便的介绍n 个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括：⑴交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；⑵用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；⑶把某一多项式的k 倍)0k (≠，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变；⑷性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式（只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立）．现再给出n 行多项式矩阵的定义：定义3：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，且这n 个多项式的最高次项的次数是m 次，现将每个多项式各项的系数（按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0）排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个n 行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n 个多项式的n 行多项式矩阵，n 个多项式)x (f ,),x (f ,x )(f n 21 所组成的n 行多项式矩阵记为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，并规定该矩阵表示()x (f ,),x (f ,x )(f n 21 )的最高次项系数为1的最大公因式．下面将给出关于n 行多项式矩阵的一些结论：定理7：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，对这n 个多项式（至少有一个常数项不等于0）组成的多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由前面谈到的n 个多项式最大公因式的四条性质直接得到．在前面的基础上，现给出定理8：定理８：对于n 行多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，一定可以通过四种初等变换，化成⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0)x (d 的形式，其中)x (d 就是它的最大公因式．定理8的证明过程参阅[3]．下面以实例阐述多项式最大公因式的矩阵求法．例5．设84x 2x x )x (f 23+--=，44x x x )x (g 23+--=，求))x (g ),x (f (．解：对矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=44-1-18421A 施行矩阵的初等变换得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→40104-0104-01004-0140108421A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00004010. 故 4x )0,4x ())x (g ),x (f (22-=-=.例6．设23x 5x 2x )x (f 23+++=，2x x 24x )x (g 23++=，343x 6x )x (h +=+x x 272+ 2+，求它们的最大公因式．解：对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=227360224023520A 施行初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000021211000000000000112001120011200112000336077140011120002160335200120001-2162352001120A 故 21x 21x )0,0,21x 21x ())x (h ),x (g ,f(x)(22++=++=. 参考文献：[1]余元庆.方程论初步．上海：教育出版社,1979.[2]张禾瑞,郝炳新．高等代数（第四版）．北京：高等教育出版社，1997.[3]郁金祥．多项式最大公因式求解方法的推广．嘉兴学院学报，2003，（3）：27-29.[4]汪军．关于多项式最大公因式的进一步探讨．工科数学，1999，（3）：137-139.[5]王向东．高等代数常用方法．科学出版社，1989.[6]万哲先．代数导引．科学出版社，2004.The proprties and methods about the greatestcommon divisor of the polynomialsWang Fei Directed by Prof .Dong HuiyingAbstract This paper summaries the important proprties about the greatest common divisor of the polynomials,among which is further researched for its serucfure ,and gives several methods of finding the greatest common divisors of the polynomials :factoring method;Euclidean algorithm;matrix method ．Key words common divisors greatest common divisors Euclidean algorithm elemetary transform。

多项式的基本性质与应用一、多项式的定义与表示1.多项式是由常数、变量及它们的运算符（加、减、乘、除）组成的表达式。

2.多项式中的每个单项式称为多项式的项。

3.多项式中最高次数的项的次数称为多项式的次数。

4.多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n，其中a0, a1, …, an为常数，x为变量。

二、多项式的基本性质1.多项式中，每个单项式的系数都是实数或复数。

2.多项式的系数可以为正、负或零。

3.多项式的次数非负。

4.多项式的每一项都有对应的次数。

5.两个多项式相加或相减时，对应的项才能相加或相减。

6.两个多项式相乘时，每个项都要与其他多项式的每个项相乘。

三、多项式的运算1.加法：将两个多项式的同类项相加。

2.减法：将两个多项式的同类项相减。

3.乘法：将两个多项式的每一项相乘，然后将结果相加。

4.除法：用一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。

四、多项式的应用1.解方程：将方程转化为多项式的形式，然后通过运算求解。

2.求解不等式：将不等式转化为多项式的形式，然后通过运算求解。

3.函数图像：将多项式表示为函数，然后绘制其图像。

4.最大公因式：找出两个或多个多项式的最大公因式，用于简化运算。

5.因式分解：将多项式分解为几个因式的乘积，便于理解和运算。

6.代数恒等式：运用多项式的运算性质，证明恒等式。

五、多项式的特殊形式1.一次多项式：次数为1的多项式，形式为P(x) = ax + b。

2.二次多项式：次数为2的多项式，形式为P(x) = ax^2 + bx + c。

3.三次多项式：次数为3的多项式，形式为P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。

4.常数多项式：次数为0的多项式，形式为P(x) = a0。

六、多项式的项的性质1.同类项：具有相同变量的指数的项。

2.单项式：只有一个项的多项式。

3.多项式：有两个或多个项的代数表达式。

七、多项式的系数1.常数项：没有变量的项，其系数为常数。

4.4 多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义（公因式与最大公因式）定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。

因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。

定义2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。

2.几个直接的结果1）)()(|)(x g x f x g ⇒与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。

2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。

证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有1221()|(),()|()d x d x d x d x 。

所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。

（证毕）由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。

我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。

当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。