连续信号的频域分析
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第3章连续信号与系统的频域分析
8
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
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2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
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2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
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2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
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2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
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2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
信号与系统连续周期信号的频域分析
信号与系统连续周期信号的频域分析频域分析是信号与系统中一种重要的分析方法，用于研究信号的频谱特性。
连续周期信号是一种在时间域上具有周期性的信号，其频域分析包括傅里叶级数展开和频谱图表示。
傅里叶级数展开是一种将连续周期信号分解为若干个频率成分的方法。
对于周期为T的连续周期信号x(t)，其傅里叶级数展开可以表示为：x(t) = ∑[Cn * exp( j *2πn/T * t )]其中，Cn为信号中频率为n/T的分量的振幅，j为虚数单位。
通过计算信号的傅里叶系数Cn，可以得到信号的频率成分和其对应的振幅。
在频域分析中，经常使用的一个重要工具是频谱图。
频谱图是一种将信号在频域上进行可视化展示的方法，通过绘制信号的频谱，可以直观地观察到信号的频率信息。
频谱图中的横轴表示频率，纵轴表示振幅。
对于连续周期信号，其频谱图是离散的，只有在频率为基频及其倍数的位置上有分量值。
基频是连续周期信号的最低频率成分，其他频率成分都是基频的整数倍。
频谱图中的峰值代表了信号在不同频率上的能量分布情况，而峰值的高度代表了对应频率上的振幅大小。
通过分析频谱图，可以获得信号中各个频率成分的相对强度，从而对信号进行进一步的特征提取和处理。
在实际应用中，频域分析经常用于信号处理、系统建模和通信等领域。
例如，在音频处理中，通过频域分析可以实现音频信号的降噪、音乐特征提取和音频编码等任务。
在通信系统中，频域分析可用于频率选择性衰落信道的估计和均衡、多载波调制技术等。
总结起来，频域分析是信号与系统中对连续周期信号进行分析的重要方法。
通过傅里叶级数展开和频谱图表示，可以揭示信号的频率成分及其振幅特性，为信号处理和系统设计提供依据。
连续周期信号的频域分析
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即 2π B
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
n=—4 4
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 / )内的各谐波平均功率为
2 2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /t)内
频谱的特性频谱的特性信号的有效带宽信号的有效带宽这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度有效频带宽度即信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
三、周期信号的频谱及其特点
三、周期信号的频谱及其特点
4. 相位谱的作用
幅频不变，零相位
幅频为常数，相位不变
四、周期信号的功率谱
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
2 1 T P 2T f (t ) dt Cn T 2 n 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
连续时间信号的时域分析和频域分析
时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律，主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域， 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号， 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示，即波形图 ，也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析：通过观察音频信号的时域波形，可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取：从音频信号中提取出各种特征，如 短时能量、短时过零率等，用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换：将音频信号从时域转换 到频域，便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号调制和解调， 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性，能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性， 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数，能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中，两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中，两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中，通过对频域信号进行加权处理，可以设计
2.1连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。 据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
E n Fn Sa T 2
连续信号的频域分析
Sa(x) 1
例如，可取 t0=0 ，t0=-T/2等等。显然， an 为 nw的偶函数， bn为nw的奇函数， 即
an a n bn bn
连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
例 2.2-1 求图示信号的傅里叶级数展开式。
图 2.2-1
连续信号的频域分析
解 据式(2.2-6)，在本题中我们取t0=0，则有
6
4 5°
n
4 5°
3 0°
3 0° 2 0° 1 0°
1 5°
图 2.3-1 例 2.3-1
3(b )o源自245
6
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
连续信号的频域分析 2
1 .5 1 0 .4 1
|Fn | 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2
2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a )
连续信号的频域分析
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
其余
3 45 6 30
0 A n
An 连续信号的频域分析 3 3 2
2
1 0 .4 o
0 .8
2
3
(a )
连续信号的频域分析
第四章 连续信号的频域分析将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。
这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。
本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。
基本要求1．基本要求♦ 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ♦ 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ♦ 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ♦ 掌握傅里叶变换的常用性质；♦ 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。
2．重点和难点♦ 傅里叶变换的性质及其应用知识要点1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式三角形式：∑∑∞=∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ϕ（4-1） 指数形式： ∑∑∞-∞=+Ω∞-∞=Ω==n t n nn t n n n FF t f )j(j e e )(ϕ （4-2）其中⎰+Ω=Tt t n t t n t f Ta 00d cos )(2，n =0，1，2，? （4-3） ⎰+Ω=Tt t n t t n t f Tb 00d sin )(2，n =1，2，? （4-4）且nn n n n n a b b a A a A arctg, ,2200-=+==ϕ （4-5）⎰+Ω-=Tt t t n n t t f T F 00d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系0)( e 21j ≥=n A F n n n ϕ （4-7）并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即||||n n F F -=，||||n n -=ϕϕ （4-8）（3）傅里叶级数的物理含义通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。
信号与系统第4章 连续信号的频域分析
1
信号与系统
出版社 理工分社
4.1 周期信号的傅里叶级数
所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构成 一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以 用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的线 性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这 些正交函数的加权和。
35
信号与系统
出版社 理工分社
4.6.1 帕塞瓦尔定理 对周期功率信号 f（t），假设其傅里叶系数为 Fn，则其平均功率为
对能量信号 f（t），假设其傅里叶变换为 F（ jω），则其能量为
36
信号与系统
出版社 理工分社
这说明，式（4.6.1）右边的每一项代表周期 信号中每个复简谐分量的平均功率，而式中右边的 积分是根据时域表达式计算信号平均功率的定义式 。因此，式（4.6.1）所示周期信号的帕塞瓦尔定 理说明，周期信号的平均功率等于各分量的平均功 率之和。考虑到 |Fn|为偶函数，并且由式（4.1.6 ）可知 |Fn|=An/2，代入式（4.6.1）还可以得到周 期功率信号帕塞瓦尔定理的另一种描述，即
33
信号与系统
出版社 理工分社
③非周期信号只有傅里叶变换和频谱密度。而 周期信号既有频谱，也有频谱密度，它们之间可以 通过式（4.5.4）进行转换。
④周期信号的频谱密度都是由冲激函数构成的 。此外，许多不满足绝对可积条件的信号，如果存 在傅里叶变换，其频谱密度中一般都含有冲激函数 ，如单位阶跃信号。
图 4.5.1 复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
信号与系统课件：连续信号与系统的频域分析
双边谱指的是当 n 为任何值时( -∞< n <∞ )， 和 θn 随频
率 nω 0变化的图形。
连续信号与系统的频域分析
若某周期信号傅里叶级数为
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－1 周期信号频谱
连续信号与系统的频域分析
【例 3.3－1 】 试画出图 3. 2－1 所示的周期方波信号
的单边频谱和双边频谱。
A 2 =8 ， A 3 =0 ， A 4 =2 ，相位 φ 1 =-180° ， φ 2 =0° ，
φ 3 =0° ， φ 4 =90° 。于是 f ( t )的单边频谱如图 3. 3 4 所
示。
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－4 信号 f ( t )的单边谱
连续信号与系统的频域分析
由单边频谱和双边频谱的关系，可得 f (t )的双边频谱如
种简洁形式:
连续信号与系统的频域分析
两种表达式中的系数的关系为
由式( 3. 2－5 )可知， A n 是 n 的偶函数; φ n 是 n 的奇函数。
连续信号与系统的频域分析
也可由式(3. 2－4 )得到式( 3. 2－2 )，系数的关系为
连续信号与系统的频域分析
式( 3. 2－4 )表明，任意周期信号可以分解为直流和许
指函数 ej ωt 为基本信号，将任意连续信号分成一系列不同频
率的正弦信号或虚指函数信号线性组合，并加分析。对周期
信号的分解工具是傅里叶级数，对非周期信号的分解工具是
傅里叶变换。利用信号的正弦分解思想，系统的响应可看做
各不同频率正弦信号产生响应的叠加，这种思想将时域映射
到频域，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频
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1 / 20第四章 连续信号的频域分析将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。
这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。
本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。
4.1 基本要求1．基本要求♦ 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ♦ 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ♦ 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ♦ 掌握傅里叶变换的常用性质；♦ 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。
2．重点和难点♦ 傅里叶变换的性质及其应用4.2 知识要点1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式三角形式：∑∑∞=∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ϕ（4-1）指数形式： ∑∑∞-∞=+Ω∞-∞=Ω==n t n nn tn nn FF t f )j(j e e)(ϕ （4-2）其中⎰+Ω=Tt t n t t n t f Ta 00d cos )(2，n =0，1，2，⋯ （4-3）⎰+Ω=Tt t n t t n t f Tb 00d sin )(2，n =1，2，⋯ （4-4）且nn n n n n a b b a A a A arctg, ,2200-=+==ϕ （4-5）⎰+Ω-=Tt t t n n t t f T F 00d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系0)( e 21j ≥=n A F n n n ϕ （4-7）并且|F n |为偶函数，ϕn 为奇函数，即||||n n F F -=，||||n n -=ϕϕ （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。
每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ≥0），即n Ω，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为ϕn ，将其称作第n 次谐波分量。
特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率Ω（即n =1）的分量称为基波分量。
2．周期信号的频谱通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、ϕn 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n Ω）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，ϕn 称为相位谱。
A n 或|F n |、ϕn 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n Ω）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。
但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和ϕn 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。
对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。
所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。
3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为⎰∞∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9）⎰∞∞-=ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。
通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ω)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率ω 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。
3 / 20教材表4-1中列出了一些基本信号的傅里叶变换，在求解复杂信号的傅里叶变换和频谱密度时经常用到。
4．傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质不仅可以用于简化复杂信号频谱密度的求解，也可以用于求解不满足绝对可积条件的信号（例如周期信号）的傅里叶变换。
此外，大多数性质都具有明确的物理含义。
教材表4-2列出了傅里叶变换的常用性质，通过练习熟悉各性质的应用。
5．周期信号的傅里叶变换所有周期信号的能量都为无穷大，因此都不满足绝对可积条件，必须根据性质求其傅里叶变换。
根据性质得到周期信号傅里叶变换的求解公式为∑∞-∞=Ω-=n n n F F )(π2)j (ωδω （4-11）4.3 补充例题例4-1 已知某周期信号f (t )的周期为T =0.1s ，三角形式的傅里叶级数展开式为()108cos(20ππ/3)2sin 40πf t t t =+-+ 写出指数形式的傅里叶级数表达式。
解 将已知的f (t )整理为标准形式得到()108cos(20ππ/3)2cos(40ππ/2)f t t t =+-+-由于T =0.1s ，则周期信号f (t )的基波角频率为2π/20πT Ω==。
将上式与式（4-1）比较可知01122ππ10,8,,2,232A A A ϕϕ===-==- 再由式（4-7）得到11j j -j π/3-j π/20011221110,e 4e ,e e 222A F F A F A ϕϕ====== 由式（4-8）得到j π/3j π/2124e ,e F F --==再代入式（4-2）得到指数形式的傅里叶级数为j -j -j2j j201212-j π/3-j -j π/2-j2j π/3j j π/2j2()ee e e e 104e e e e 4e e e e n tt t t tnn t t t tf t F F F F F F ∞ΩΩΩΩΩ--=-∞ΩΩΩΩ==++++=++++∑另解 利用欧拉公式直接转换。
j(20ππ/3)-j(20ππ/3)j40π-j40π-j π/3j20πj π/3-j20πj40π-j40π-j π/3j20πj π/3-j20πj40π-j40π11()108[e e ]2[e e ]22j104[e e e e ]j[e e ]104e e 4e e je je t t t t t t t t t t t tf t --=+⨯++⨯+=++-+=++--例4-2 已知某周期信号f (t )的基波频率为10Hz ，其指数形式的傅里叶级数展开式为-j20π-j(60ππ/4)j20πj(60ππ/4)()25je 3e 5je 3e t t t t f t --=++-+写出三角形式的傅里叶级数表达式。
解 将已知f (t )整理为标准形式得到-j20πj π/4-j60πj20π-j π/4j60π()25je 3e e 5je 3e e t t t t f t =++-+已知f (t )的基波角频率为Ω=2π⨯10=20π，则上式中各项分别对应指数形式的傅里叶级数中n =0，-1，-3，1，3，由此得到-j π/4j π/4011332,5j,5j,3e ,3e F F F F F --==-=-== 根据-j π/2-j π/40132,5j=5e ,3e F F F ==-=由式（4-7）得到0011331324,2||2510,2||236-π/2,-π/4A F A F A F ϕϕ====⨯===⨯===代入三角形式的傅里叶级数展开式得到01133()cos()cos()2210cos(20ππ/2)6cos (60ππ/4)Af t A t A t t t ϕϕ=+Ω++Ω+=+-+- 另解 将上式重新整理为-j20πj20π-j(60ππ/4)j(60ππ/4)()25j[e e ]3[e e ]t t t t f t --=+-++再利用欧拉公式得到()25j (2j)sin20π32cos (60ππ/4)210cos(20ππ/2)6cos (60ππ/4)f t t t t t =+⨯-+⨯-=+-+-说明：以上两例练习两种形式的傅里叶级数及其相互转换。
可以根据本章所给各公式进行转换，也可根据欧拉公式直接转换。
欧拉公式是本章反复用到的基本数学公式，这里再总结如下：j -j j -j j -j e cos jsin ,e cos jsin e e e -e cos , sin 22jx x x x x xx x x x x x =+=-+==例4-3 对例4-1和例4-2所示周期信号，假设其周期都为T =0.1s 。
分析其中含有的分量以及每个分量的幅度和相位。
解 （1）已知的是三角形式的傅里叶级数展开式，但不是标准形式（有一项为正弦函数，必须化为余弦函数），重新整理得到()108cos(20ππ/3)2cos(40ππ/2)f t t t =+-+- 由此可知，f (t )中共有三个分量，即直流分量，幅度为10；基波分量：频率为10Hz ，幅度为8，相位为-π/3； 二次谐波分量：频率为20Hz ，幅度为2，相位为-π/2。
（2）已知的是指数形式的傅里叶级数展开式，重新整理为标准形式得到-j20πj π/4-j60πj20π-j π/4j60π()25je 3e e 5je 3e e t t t t f t =++-+5 / 20再将其与式（4-2）比较可得-j π/2-j π/4j π/2j π/4013132,5j 5e ,3e ,5j=5e ,3e F F F F F --==-====由此可知，f (t )中共有三个分量，即直流分量，幅度为2；基波分量：频率为10Hz ，幅度为2|F 1|=10，相位为ϕ1=∠F 1=-π/2； 三次谐波分量：频率为30Hz ，幅度为2|F 3|=3，相位为ϕ3=∠F 3=-π/4。
说明：通过本例熟悉傅里叶级数的物理含义，并据此引出信号频谱的概念。
由已知的傅里叶级数展开式可以直接分析出原周期信号中含有哪些分量以及各分量的频率、幅度和相位。
但是注意，必须首先将其转换为式（4-1）或（4-2）所示的标准形式，然后通过比较确定出A n 、F n 和ϕn ，再进一步分析各分量的幅度和相位。
例4-4 已知周期信号()44cos(π/4)2cos(22π/3)2sin3f t t t t =++--- 分别求出其单边和双边频谱，并画出频谱图。
解 由已知的表达式可知，周期信号f (t )的基波角频率为Ω=1 rad/s ，周期T =2π/Ω=2π。
（1）求单边频谱。
将已知的表达式化为标准的三角形式的傅里叶级数展开式得到()44cos(π/4)2cos(2π/3)2cos(3π/2)f t t t t =++++++ 则单边频谱为01231238,4,2,2,π/4,π/3,π/2A A A A ϕϕϕ=======由此画出单边幅度谱和相位谱如图4-1所示。