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1大学物理第一章质点运动时间空间

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大学物理第一章

大学物理第一章

加速度与速度的夹角 为钝角
an
a
A
at
a
an
at A
加速度的方向：总是指向轨道曲线凹的一侧。
§1-2 圆周运动和一般曲线运动
用位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点圆 周运动的方法，称为线量描述法；在圆周运动中，由 于质点与圆心的距离不变，常用角位置、角位移、角 速度、角加速度来描述，称为角量描述法。
选作参考的物体。
花草相对于地面是静止的。
行星相对于太阳或地球的运动是不同的。
花草相对于小车是运动的。
参考系和坐标系
4.坐标系
直角坐标系、极坐标系、球坐标系、圆柱坐标系等。
为了精确地、定量地描述物体的运动，我们在参考系上建立一个坐标系，用物体所在位 置的坐标表示物体的位置，用坐标的变化来描述物体位置的变化（即表示物体的运动）。
x
dx dt
y
dy dt
z
dz dt
大小
2 x
2 y
2 z
速度
4.速率（标量）
t0时，平均速率的极限。
lim lim S
t 0
t0 t
dS
dt ds dr
dS dr , 或
dt dt
瞬时速率与瞬时速度大小相等。
§1-1 质点运动的描述
八、加速度 描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。
位移和路程
2.路程 (标量)：质点运动所经过的路径z
的长度。S
通常 S AB r r S
o
A
S
B
Δr
rA
rB
y
其中 r rB rA
lim r lim S
t 0
t 0
dr dS

大学物理第1章质点运动学

大学物理第1章质点运动学

则有
ax 2 R cost;
a y 2 R sint
加速度的大小
2 2 2 2 2 2 a ax a2 ( R cos t ) ( R sin t ) R y
根据矢量的点积运算，分别计算
v r [(R sint )i (R cost ) j ] [(R cost )i ( R sint ) j ] 0 2 2 v a [(R sint )i (R cost ) j ] [( R cost )i ( R sint ) j ] 0
大学物理
第一章 质点运动学
1.1 运动学的一些基本概念 1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性） 坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. 说明 在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然 1.1.2、时间和空间的计量 1、时间及其计量 时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的 标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细 能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙 年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时 间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适 用了。
运动学中的两类问题
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问
题常称为运动学第一类问题．
r r (t )
微分
v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称 为运动学的第二类问题．
a , v0 , r0

大学物理——第1章-质点运动学

大学物理——第1章-质点运动学
沿逆时针方向转动角位移取正, 沿顺时针方向转动角位移取负.
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C

大学物理 第一章 第一节 质点运动的描述

大学物理 第一章 第一节 质点运动的描述

素，使问题简化但又不失客观真实性的一抽象思维方法；
质点、刚体、线性弹簧振子、理想气体、点电荷及光滑平
面、细绳、无阻尼振动、绝热过程等。
• 3、思考题: 地球可否看作质点？为什么?
6
※ 确定质点位置的方法
• 1、参考系：描述物体运动时被选作参考的其他物体或 物体系，称为“参考系” 或“参照系” 。
• 2、确定质点相对于参考系位置的方法
x
7
※ 运动(学)方程
用以确定在选定的参考系中质
z
z( t )
·P( t )
点相对坐标系的位置随时间变化 的数学表达式：
x x(t) , y y(t) , z z(t) , r r (t) , s f (t)
r( t )
·^z
x( t )^x 0
^y
x
y( t ) y
例如：
自然法
坐标法
※ 位移
1、位矢： 2、位移：
3、位移的大小：
4、位移的方向： 12
※ 速度
径向速度
速率 speed
v v
（速度的大小）
v
2 x
v
2 y
v
2 z
横向速度
dr 思考题： dt
d r 与 dr
是速率吗？ dt dt
有何区别？
13
※ 加速度
加速度的分量
14
加速度的大小
15
质点运动学的基本问题
两
速度的大小a 。
17
解：
y
h
0
小船只沿x方向运动,
简化为一维问题, 可
l
用标量处理。
x
x
18
例题2 一物体作直线运动，初速度为零，初加速度为a0 , 出发后经过时间间隔2秒，加速度均匀增加了a0 , 求经过 t 秒后物体的速度和离开出发点的距离。

大学物理第一章质点运动学

大学物理第一章质点运动学

∫ d x = ∫ (2t −t )dt
2 0 0
t
质点的运动方程
13 x = t − t （m） ） 3
2
(3) 质点在前三秒内经历的路程
s = ∫ vdt = ∫ 2t − t 2 dt
0 0
3
3
令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2
8 s = ∫ (2t − t )dt + ∫ (t − 2t)dt = m 0 2 3
初始条件为x 初始条件为 0=0, v0=0 质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；(3)质点在前三秒内 运动方程； 质点在前三秒内 运动方程 求 (1) 质点在第一秒末的速度 运动的路程。 运动的路程。 解 (1) 求质点在任意时刻的速度 dv dv a= = 2 − 2t 由 dt dv = (2 − 2t) dt 分离变量 两边积分
y
P点在 系和 '系的空间坐标 、 点在K系和 系的空间坐标、 点在 系和K 时间坐标的对应关系为： 时间坐标的对应关系为：
y'
r v
P
}
r r
o z
r r′
o' x x'
r R
z'
伽利略坐标变换式
2. 速度变换 r r vK、vK′ 分别表示质点在两个坐标系中的速度 r r r d r ′ d(r − vt) r r r vK′ = = = vK − v dr′ r dt t r 即 vK′ = vK − v r r r vK = vK′ + v 伽利略速度变换
dv = g − Bv dt 分离变量并两边积分
t dv ∫0 g - Bv = ∫0 dt v
g v = (1− e−Bt ) B

大学物理质点运动时间空间

大学物理质点运动时间空间

dr
dt
dx2 dt
ddyt2
练习1 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 关系为 x=10+8t-4t2,求：
（1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。
（2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（ 1 ） t时x 刻 1 0 8 t 4 t2
t t 时 ( x x 刻 ) 1 8 ( t 0 t ) 4 ( t t ) 2
t 时间内, 质点的平均速度 z
x
v r t
r(tΔt)r(t)平均速度 v
Δt
与 r同方向.
➢瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限叫做瞬时速度，简
称速度，即在某时刻或某位置处质点位矢对时间的变
化v 率. lim rdr t 0t dt
y
B s
r(tt)
当 t0时, drds
v
ds dt
et
O
•描述物质运动具有相对性 参考系: 为确定物理位置和描述物体运动而选为依 据的一个或一组彼此相对静止的物体.
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运 动描述的相对性.
（1） 参考系的引入是由于运动相对性的需要。 （2）参考系的选择是任意的，对不同的参考系质点运动
形式不同。 （3）通常我们选地面或固定于地面的物体为参考系。
t内位 x 移 8 t 8 t为 t 4 (t)2
x vt1 t2 t8 8 t1 4 (t2 t1)
v018044(ms)方 向 x轴 与正 向 相
v128844(ms)方向 x轴 与正向相
（2）vt
dx88t dt
代入 t = 0 , 1 , 2 得：
v0 8ms v10 v2 8ms

大学物理第1章-质点运动学

大学物理第1章-质点运动学

x2 x1 x2 = l h
(h l)x2 = hx1
h l
解题思路 1. 写出几何长度关系 写出几何长度关系; 2. 确定变量 确定变量; 两边求导： 两边求导： 3. 写出求导关系式 写出求导关系式; 4. 明确求导物理意义 明确求导物理意义;
dx2 dx1 o x1 x2 x (h l) =h dt dt dx2 dx1 hv0 其中： =v , = v0 v = dt dt h l
瞬时速率： 瞬时速率：
s ds v = lim = t dt t →0
v r
B
一般情况： 一般情况： 当t→0时： → 时
v v r ≠ s 因此 v ≠ v
v v v r → dr = ds 则 v = v
1-2-4 加速度
加速度是反映速度变化的物理量 v t1时刻，质点速为 v1 时刻， v t2时刻，质点速度为 v2 时刻， t 时间内，速度增量为： 时间内，速度增量为：
大学物理学教案
第一章
质点运动学
机械运动
一个物体相对于另一个物体的空间位置 随时间发生变化； 随时间发生变化； 或一个物体的某一部分相 对于其另一部分的位置随时间而发生变化的 运动。 运动。
力学
研究物体机械运动及其规律的学科。 研究物体机械运动及其规律的学科。
运动学： 运动学：
研究物体在空间的位置随时间的变化规 律以及运动的轨道问题， 律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发 生机械运动的变化原因。 生机械运动的变化原因。
v tv ∫v dr = ∫ vdt
r0 t0
v0 v r
t0
匀加速运动
dv = adt ,
∫
v
v0
dv = ∫ adt

大学物理上第一章质点运动学ppt

大学物理上第一章质点运动学ppt

加法法则
当有两个或多个质点同时运动时，它们的速 度可以通过矢量加法进行合成。
速率
速度的大小称为速率，用标量符号表示。
04 质点的加速度
瞬时加速度
定义
瞬时加速度是指在某一时刻， 质点运动速度的变化率。
计算公式
$a = frac{dv}{dt}$，其中$a$是 瞬时加速度，$v$是质点的速度， $t$是时间。
定义
平均速度是指在一段时间内质点位移量与时间的比值。
关系
瞬时速度是平均速度在时间趋于零时的极限值，即平 均速度的极限状态就是瞬时速度。
应用
在分析质点运动规律时，通常先求平均速度，再通过 极限思想求得瞬时速度。
速度的矢量性质
矢量表示
速度是一个矢量，具有大小和方向，可以用 矢量符号表示。
方向与正方向
速度的方向与质点运动的方向一致，通常规 定正方向为速度的方向。
重力加速度，大小为 $9.8m/s^{2}$，方向竖 直向下。
圆周运动
圆周运动的定义
质点在平面或空间以一定半径作圆周运动的运动形式。
圆周运动的描述参数
线速度、角速度、周期和频率。
圆周运动的向心加速度
大小为$a = v^{2}/r$，方向指向圆心。
相对运动
相对运动的定义
01
两个物体相对于第三个参照物的运动。
质点运动学的基本概念
质点
没有大小、形状，只有质量的 理想化模型，用于描述实际物 体的运动。
速度
描述质点运动快慢和方向的物 理量。
参考系
用来确定质点位置和描述其运 动的参照物。
位移
质点在空间中的位置变化量。
加速度
描述质点速度变化快慢和方向 的物理量。

第一章质点运动学1大学物理教程北京邮电大版

第一章质点运动学1大学物理教程北京邮电大版

质点运动的方法。
x
1
gt2
2
1.2.1 位置矢量 运动方程
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位
r 置矢量, 简称位矢 。
r
xi
yj
zk
y
y
r
*P
k j
式中 i、j 、k 分别为x、y、z
方向的单位矢量。
z ox
i
x
例如： r 2i 3 j 5k z
r 位矢 的大小为： r r x2 y2 z2
x
dx dt
r dr r2 h2 dt
按题意
0
dr dt
由此得船速
x 0
r r2 h2
0
x2 h2 x
v = vxi = -v0
x2 h2 i x
上式中的负号表示船的速度v沿X轴的负方向。
加速度：
ax
dvx dt
0
h2 x2 h2
dx dt
v02h2 x3
a
v02h 2 x3
i
负号表示加速度a的方向与X轴的正方向相反。 由于a与v同向，所以小船是加速靠岸的。
在直角坐标系中分解：
r xi yj zk
在直角坐标系中分 解：
rA xAi yA j zAk rB xBi yB j zB k
则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为
r (xB xA)i ( yB yA) j (zB zA)k
xi yj zk
y
yB A r
r y A A
z = z(t)
该r运动2方ti程矢(8量式t：2 )
j
方程组消去t就得到质点的轨迹方程。 例运动学方程为x=2t, y=8-t2,轨迹方程为

大学物理之质点运动学

大学物理之质点运动学

矢量性：注意矢量和标量的区别。 相对性：对不同参照系有不同的描述。
3．运动学方程是运动学的核心，包含了运动的全部信息。
运动学的两类问题 运动方程是运动学问题的核心 1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度
r r t
dr v dt
2 dv d r a 2 dt dt
第一章 质点运动学 §1-1 质点、参考系 、坐标系
一、质点
1. 引入 质点的概念是考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想 化的力学模型，使研究的问题得到简化。 2. 概念
质点是一个理想化的力学模型，当物体的大小和形状忽略不 计时，可以把物体当做只有质量没有形状和大小的点。 3.说明 一个物体能否当做质点，并不取决于它的实际大小，而是 取决于研究问题的性质。
大小：
方向：
2）相对性： 例如：坐在运动汽车中的人，选车厢为参考系，人位 移为零，但如选择地面为参考系位移不为零。 3）单位：米(m) 2.位移与路程的区别 位移是矢量：是指位置矢量的变化； 路程是标量：是指运动轨迹的长度。
思考：位移的大小什么时候与路程相等？
3. 区分：
三、速度（描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量 ）
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：
dv d s a e 2 e h dt dt
2
讨论
de dt
O
Δ
e t t
e e (t t ) - e (t )
当： t 0 , 0 有
e e
s
求：1、任意时刻 t 速度
2、切向加速度的大小
1-2-6 圆周运动及其角量描述
平面极坐标系

大学物理教案(第一章质点运动学)

大学物理教案(第一章质点运动学)

改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发
引出加速度的概念。
1、平均加速度
如图所示，设在时刻 t，质点位于点 A，其速度为 v1，在时刻 t t ，
质点位于点 B ，其速度为 v 2 ，则在时间间隔 t 内，质点的速度增
量为 v v2 v1 ，它在单位时间内的速度增量即平均加速度为 a v
同，这就是运动描述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同
的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在
讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系 。
二、坐标系：建立在参照系上的计算系统
确定好参照系后，只能定性地描述物体的运动情况，为了定量地描述运动规律，即为了能给出
另一是由已知运动状态求解s ds
t0 t dt
例： 设质点的运动方程为
r(t) x(t)i y(t) j
其中
x(t)
(1m
s 1 )t
2m
，
y(t)
(1 4
m
s2 )t 2
2m
求 t 3s 时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。
解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。
切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。
只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢 r 和速度 v 是描述质点
运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在
任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状态；

大学工程物理 第一章质点力学

大学工程物理 第一章质点力学

例 题
质点作直线运动，运动方程为（ ）： 质点作直线运动，运动方程为（SI）：
x = 12t − 6t
2
时质点的位置、 求 （1）t=4s时质点的位置、速度和加速度； ） 时质点的位置 速度和加速度； （2）质点通过原点时的速度和加速度； ）质点通过原点时的速度和加速度； （3）质点速度为零时所在的位置。 ）质点速度为零时所在的位置。 解：（1）由运动方程可得速度及加速度表达式为： ）由运动方程可得速度及加速度表达式为： dx υ = = 12 − 12t dt dυ a= = −12 dt 时质点的位置、 在t=4s时质点的位置、速度和加速度分别为： 时质点的位置 速度和加速度分别为： -48m、-36m/s和-12m/s2。 、 和
dr = 2i − 2t j 解： v = dt
t = 0 v0 = 2i
t = 2 v2 = 2i − 4 j
−4 = −63 26′ 2
大小： v2 = 22 + 42 = 4.47m / s 大小： 方向： θ = arctan 方向：
v θ为 2与x轴的夹角
轴作直线运动，其位置坐标 坐标与时间的 例 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 题 关系为 x=10+8t-4t2,求： x=10+8t质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 =0、 秒时的速度。 （2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（） 时刻 1 t
= ∆xi + ∆yj + ∆zk
注 意 a) b)
位移是矢量， 位移是矢量，有大小和方向
Δr r1 o z A r2
∆ r 与∆r 的区别
为标量， ∆r为标量，∆r 为矢量

大学物理学(第二版) 第01章 运动学

大学物理学(第二版) 第01章 运动学

P2 (x2 , y2 , z2 )
注意 r r 位矢长度的变化
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
讨论 （1）位移与位置矢量
位移表示某段时间内质点位置的变 化,是个过程量;位置矢量表示某个时
y
s
p1
'
s r
p2
刻质点的位置,是个状态量. （2）位移与路程
r(t1) r(t2)
(2)选取不同的参考系或在同一参考系上建立不同的坐标系时,
它的方向和数值一般是不同的,故具有相对性.
(3)在质点运动过程中位矢是随时间而改变的,故还具有瞬时性.
2.运动方程
运动方程：质点在运动时,其位置矢量的大小和方向均随时间
发生变化,对于任一时刻t,都有一个完全确定的位置矢量与之
对应,也就是说,位置矢量是时间t的函数,即 r r(t)
2.路程 质点所经过的实际运动轨迹的长度为质点所经历的路
程，记作△S .
位移的物理意义
A)确切反映物体在空间中位置的 变化,与路径无关，只决定于质
y P1 rs P2
点的始末位置.
B）反映了运动的矢量性和叠加性.
r
xi
yj
zk
r x2 y2 z2
z
r(t1)
r
r(t2 )
O
x P1(x1, y1, z1)
P1P2 两点间的路程s是不唯一的,可 O
z 以是 s 或 s ，而位移 r 是唯一的.
x
一般情况下,位移与路程并不相等:只有当质点作单方向的
直线运动时,路程与位移的大小才是相等的;此外,在 t 0的
第1章 质点运动学
本章内容
1.1 质点 参考系 坐标系 时空 1.2 描述质点运动的物理量 1.3 加速度为恒矢量时的质点运动 1.4 曲线运动 1.5 运动描述的相对性 伽利略坐标变换

大学物理学(上册)第1章 质点运动学

大学物理学(上册)第1章 质点运动学

须在参考系上固连某种坐标系,这样,物体在某时刻的位置
即可用一组坐标表示.可见坐标系不仅在性质上具有参考系
的作用,而且还具有数学抽象作用.最常用的坐标系有:直角
坐标、球坐标、极坐标、柱坐标、自然坐标等.对物体运动
的描述决定于参考系而不是坐标系.
y
A
K
y
O
x
z
z
x 直角坐标系
K
r θ
A
O
x
极坐标系
O
y
o法向 sz
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
讨论 （1）位移与位置矢量
位移表示某段时间内质点位置的变 化,是个过程量;位置矢量表示某个时
y
s' s p1 r
p2
刻质点的位置,是个状态量. （2）位移与路程

r(t1) r (t2 )
P1P2 两点间的路程 s是不唯一的,可 O
2）轨道方程表示为 x2 y2 r 2
1.2.2 位移与路程
y

A r B
rA
rB
y

yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
1.位移 经过时间间隔 t 后,质点位置矢量发生变化,由始
点A指向终点B 的有向线段AB称为点A到B 的位移矢量 r.位
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
而 a a 0 所以
v(t)
O
dv
v(t dt)
a dv dt
例 设质点的运动方程为
r t xti y t j

大学物理基础学第一章

大学物理基础学第一章
速度： v dr dt lim
t 0
r t
ˆ ˆ r xi yˆ zk j
x ˆ y ˆ z ˆ dx ˆ dy ˆ dz ˆ lim( i j k) i j k t 0 t t t dt dt dt
ˆ ˆ vxi v y ˆ vzk j
即：rB
x
rA
7. 速度 1 平均速度和平均速率 平均速度： 质点在 t时间内完成的 位移和所经历的时间之比 y （t） （t+t） A ΔS B
v
r t
r
x
z 反映质点位臵变化的平均快慢。 平均速率： 质点在 t时间内所完成 的路程和所经历的时间之比
v
S t
注意： 加速度的方向就是时间t 趋近于零时速度增量 的极限方向，一般与速度的方向不同。 （1）质点做直线运动时，加速度与速度可同向 也可反向。 （2）质点做曲线运动时，加速度方向总是指向 轨迹曲线凹的一边。 如果速率增加，加速度与速度的夹角成锐角；
如果速率减少，加速度与速度的夹角成钝角；
如果速率不变，加速度与速度的夹角成直角。
6.位移
ˆ ˆ ( xB i yB ˆ zB k) j ˆ ˆ ( x Ai y A ˆ z Ak) j ˆ ˆ xi yˆ zk j
注意：
C
rA
rB
y
o
1.位移 rAB
x rB rA 是矢量。
方向:指向被减矢量的末端B。 大小:为AB线段的长度。
速率： v v
2 2 vx v 2 vz y
8.加速度
(1)平均加速度
在t 时间内质点运动速度的增量 v 与间 t 之 比，称为质点在一段时间内运动的平均加速度。 v a t

大学物理 第一章 质点运动学

大学物理 第一章 质点运动学

是否等于瞬时速率？ t 时刻位矢
瞬时速度的大小是否
r
等于瞬时速率？
A
r
r1
B t 时间内位移
x
t +t 时刻位矢
平面直角坐标系中的瞬时速度（简称速度）
v lim r dr
t0 t
dt
r(t) x(t)i y(t) j
v d r
dx
i
d
y
j
y
vy
v
dt dt dt
vx
vxi vy j
力 学
§1-1 参照系 &坐标系 质点 §1-2 位移、速度和加速度 §1-3 圆周运动 §1-5 牛顿运动定律 §1-6 牛顿运动定律的应用举例
1. 运动的绝对性 绝对静止的物体是没有的
地球自转 太阳表面的运动
太阳随银河系运动
为了确定一个物体的位置和描述一个物体的机
械运动，必须另选一个物体或内部无相对运动的物
3. 坐标系 为了定量地描述物体相对于参考系的 运动情况，要在参考系上选择一个固定的坐标系
坐标系选定后，运动物体A 中任一点 P 的位置
就可以用它在此坐标系中的坐标来描述
运动物体
运动参考系
y
A P(x,y,z)
运动物体
O
z 参考系
x
地面参考系
常用坐标系： 平面直角坐标系和自然坐标系
一、质点 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
y
y z koj
r
i
x
*P
x
方向的单位矢量.
z
位矢r 的值为
r
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
位矢 r 的方向余弦
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,
dx1 dt

v0
v hv0 hl
（2） 令 b x2 x1 为影长
b

l h
x2
v db l dx2 dt h dt
以 dx2 hv0 代入 dt h l
得
v lv0
hl
例1-3：
设质点沿x轴作匀速直线运动，速度 vx ，初位置为x0，
试用积分法求出质点的运动方程。
讨论
（1）位移的物理意义
确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只决定于质
点的始末位置，是描述状态变化的物理量。
（2）位移与路程 M1M2两点间的路程是不唯一的,可
以是 s或 s,' 而位移r是唯一的.

z s' s
M1 r
M2
一般情况位移大小不等于路程， r (t1)
即
r
例8： 一飞轮半径为2m，其角量运动方程为＝2+3t-4t3
(SI)，求距轴心1 m处的点在2s末的速率和切向加速度。
解： 因为 d 3 12t 2
dt
d 24t
dt
将t＝2代入，得2 s末的角速度为
2 3 12 22 45 rad / s
2s末的角加速度为

v

v(t

t)

v(t)
t
t
z


v2
v1
M1 M2
y
O
瞬时加速度(加速度)
x
a

lim
t 0
v t

dv dt

d
2
r
dt 2
在直角坐标系中
a axi ay j azk

dvx
i

dvy
j

dvz
k
dt dt dt

d2x dt 2
2 24 2 48 rad / s2
在距轴心1 m处的速率为
v2 R2 45 m / s
切向加速度为
at2 R2 48 m / s2
例题： P28 习题1－7 ，1－8 课后作业： P29 习题1－9 ，1－10
小结
一. 一个理想模型 —— 质点 二. 二个方程——运动方程和轨道方程 三. 二类运动学问题——求导和积分 四. 四个描述质点运动的物理量
实际上所谓质点是一个从实际中抽象出来的理想模型。
可以把运动物体当质点处理的情况： （1）物体作平动。 （2）运动物体的尺度比它运动的空间范围小得很多。
二. 运动描述的相对性
1.参考系:
——描述一物体的运动时，必须选择另一物体或一组 彼此相对静止的物体作参考，选作参考的物体，称为 参考系。
物体运动是绝对的,但运动的描述是相对的。
——描述质点空间位置变化的物理量，
同时表示了质点空间位置变化的距离和
方向。（自质点初始位置引向一段时间
间隔后末位置的矢量。）
r r2 r1 M1M 2
x
z

M1 r M2
r1
r2
y
o




r

( x2
x1
)i

( y2
y1 )
j

(z2

z1 )k
xi yj zk
例6: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长s按s＝t＋2t2 的规律变化。问它在2 s末的速率、切向加速度和法向加速度各是 多少？
解： 由速率定义，有 v ds 1 4t dt
将t＝2代入上式，得2 s末的速率为
v9 m/s
法向加速度 切向加速度
an

v2 R
81
m/ s2
r (t)
求导 v (t)
求导
a(t)
积分
积分
课本例1-2：已知质点的运动方程是
r

R
cos

ti

R
sin
t
j
式中R 、2)质点的速度和加速度。
例1：已知一质点的运动方程为
r (t
)

ati

(bt

ct
2
)
j
a,b,c常数，求该质点的轨道方程。
Rd

v dr R d R
dt dt
at

dv dt

R
d
dt

R
an
v2 R

R 2
B s
R
A

o
x
例1-4: 一质点沿半径R=1 m的圆周运动，其运动方程
为θ＝a+bt3，式中t以s计， θ以rad计，a=2rad，
b=4rad·s-3.问（1）在t=2 s时，质点法向和切向加速度 各是多少？（2） θ角等于多大时，质点的总加速度 方向和半径成45˚角？
设质点沿x轴作匀变速直线运动，加速度ax不随时间变 化，初位置为x0，初速度为 v0x 。 试用积分法求出质
点的速度公式和运动方程。
课后作业： P21 习题1－3 ，1－4
1-2 质点运动的描述之二
一. 自然坐标系
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
P
s
et en
s
O
en
Q
规定：
et
dt dt dt
大小：
vx

dx dt , vy

dy dt , vz

dz dt
v
v
2 x

v
2 y

v
2 z
方向：
cos vx , cos vy , cos vz
v
v
v
4. 加速度
——描述质点速度变化的快慢和速度变化的方向的物理量。
（单位：m·s-2）
平均加速度
a
i

d2y dt 2
j

d2z dt 2
k
ax

dvx dt

d2x dt2 , ay

dvy dt

d2y dt2 , az

dvz dt

d2z dt 2
大小： 方向：
a
ax2

a
2 y

az2
cos ax , cos ay , cos az
a
a
a
三. 运动的叠加性
方向：沿圆轨道的半径指向圆心
大小：
an

v2 R
2. 一般曲线运动
at

dv dt
an

v2

与圆周运动的区别：一般曲线运动中轨道的曲率中心 和曲率半径逐点不同。
不同运动方式的加速度情况： 一般曲线运动：同时具有切向加速度和法向加速度； 直线运动：只有切向加速度，没有法向加速度； 匀速率曲线运动：只有法向加速度，没有切向加速度； 圆周运动：法向加速度始终指向一个固定中心。
第一章 质点运动 时间 空间
1-1 质点运动的描述之一 1-2 质点运动的描述之二
1-1 质点运动的描述之一
一. 质点的概念
——在运动中可以忽略其线度大小而看作一个点的物体， 或者说，它是一个具有质量的点（与几何点区别，又称它 为物理点）。它保留了物体的两个主要特征：物体的质量 和物体的空间位置。
2.坐标系
——为了定量地确定质点的位置，描述其运动，还要在所选 择的参考系上规定一个坐标系。
常用坐标系： 直角坐标系;自然坐标系;球坐标系;柱坐标系
注意：本书描述物体运动时，凡未特别指明者，都是以地面 为参考系，使用笛卡儿直角坐标系。
三.描述质点运动的物理量
z
1.
位置矢量
r
——由参考系上的坐标原点引向质
；只s 有当质点做单方
x
O
向的直线运动时，路程和位移的大
r(t2 )
y
小才相等。
位移是矢量，路程是标量，恒取正值。
3. 速度
——描述质点位置变化的快慢和位置变化的方向的物理量。
（单位：m·s-1）
平均速度
v

r



r(t t) r(t)
t
t
z
M2 s
r (t t)
• 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为et
• 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
P
s
et en
s
O
en
Q
et
质点位置： s st
路程： s sQ sP
速度：
v

vet

ds dt
et
P
s
et en
s
O
en
Q
第一章 质点的运动 时间 空间
机械运动
一个物体相对于另一个物体的空间位置 随时间发生变化； 或一个物体的某一部分相 对于其另一部分的位置随时间而发生变化的 运动。
力学
研究物体机械运动及其规律的学科。
运动学：
研究物体在空间的位置随时间的变化规 律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发 生机械运动的变化原因。
例4：已知质点的运动方程为
r

2ti
(19 2t2 ) j
，式中r以m
计，t以s计，
求：（1）轨道方程； （2）t =2s 时质点的位置、速度以及加速度；
例1-1：湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离水面 高h的滑轮拉船靠岸，设绳的原长为l0，人以匀速v0拉 绳，试描述小船的运动。