离散数学期末复习例题讲解一、考核说明考核对象：本课程考核说明适用于国家开放大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的学生．考核依据：本考核说明是以本课程的教学大纲（2015年3月修改）和指定的参考教材为依据制定的．本课程指定的参考教材是由胡俊、顾静相编写，国家开放大学出版社出版的《离散数学（本科）》第2版．考核方式：本课程的考核实行形成性考核和终结性考核相结合的方式．其中终结性考核采用半开卷、笔试方式，试卷满分100分．半开卷考试允许考生携带指定的一张专用A4纸（统一印制），考生可以将自己对全课程学习内容的总结归纳写在这张A4纸上带入考场，作为答卷时参考．考试时间：90分钟．试题类型及结构：单项选择题的分数占15％，填空题的分数占15％，公式翻译题的分数占12％，判断说明题的分数占14％，计算题的分数占36％；证明题的分数占8％．二、例题讲解（一）集合论1．单项选择题（1）若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A答：B（2）若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B⊄ A，且B∉AC．B ⊂ A，但B∉A D．B∈ A，但B⊄A答：D（3）设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}答：C（4）设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．对称的B．自反的C．对称和传递的D．反自反和传递的答：A（5）设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对 答：C（6）设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如图1所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}， 则元素3为B 的（ ）．A ．最小上界B ．最大下界C ．下界D ．以上答案都不对 图1 答：A2．填空题（1）设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ． 答：2n（2）设集合A ={0,1,2},B ={0,2,4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的集合表示式为 ． 答：{<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>}（3）设集合A =｛a ,b ,c ,d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则R 的自反闭包是 ．答：r (R )= {<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}∪I A（4）设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ． 答：无、2、无、2（5）设集合A ={1, 2},B ={a , b }，那么集合A 到B 的不同函数的个数有 ． 答：4因为：f ：{<1, a >, <2, a >}, {<1, b >, <2, b >}{<1, a >, <2, b >}, {<1, b >, <2, a >}3．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的”是否成立？并说明理由． 答：结论成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2． 由逆关系定义和I A ⊆R 1，得I A ⊆ R 1-1；由I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，得I A ⊆ R 1∪R 2，I A ⊆ R 1⋂R 2．所以，R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的．注： R 1-R 2是自反的吗？4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图2所示，则集合 A 的最大元为a ；最小元不存在．答：错a 是集合A 的极大元，最大元不存在． 图2 5．设集合A ＝{a ,b , { a , b }}，B ={{a }, {b }, b }，求a f5（1）B ⋂A ； （2）A －B ； （3）A ⨯B ． 解：（1）B ⋂A ={a , b , { a , b }}⋂{{a }, {b }, b }={b } （2）A －B = {a , b , { a , b }}－{{a }, {b }, b }={a , { a , b }} （3）A ⨯B ＝{a , b , { a , b }}⨯{{a }, {b }, b }＝{<a , {a }>, <a , {b }>, <a , b >，<b , {a }>, <b , {b }>, <b , b >, <{ a , b }, {a }>, <{ a , b }, {b }>, <{ a , b }, b >}6．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R ︒S ，R -1，S -1，r (R )，s (R )，t (R )，r (S )，s(S )，t (S )．解：R =∅，S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} R ︒S =∅，R -1=∅，S -1= S ；r (R )= I A ，s (R )= ∅，t (R )= ∅；r (S )=S ∪{<2,2>，<3,3>,<4,4>}，s (S )= S ；t (S )= S ∪{<1,3>，<2,2>,<2,3>,<3,1>，<3,2>,<3,3>} 7．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．证：若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． 即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，即x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即x ∈A ⋃ (B ⋂C )，所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C )． 因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )． 8．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．证明：已知R 是对称关系和传递关系，只需证明R 是自反关系． ∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，因为R 是对称的，故<b , a >∈R ； 又R 是传递的，即当<a , b >∈R ，<b , a >∈R ⇒<a , a >∈R ；由元素a 的任意性，知R 是自反的． 所以，R 是等价关系．（二）图论1．单项选择题（1）设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4 答：D（2）设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(答：C（3）设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图3所示，则下列结论成立的是 ( )．图3A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的答：A（4）给定无向图G 如图4所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ ）． A ．{b , d } B ．{d }C ．{a , c }D ．{g , e } 答：A 图4（5）图G 如图5所示，以下说法正确的是( )． A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集答：C 图5 （6）设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 答：A2．填空题（1）已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ．答：15 （1⨯1+2⨯2+3⨯3+4⨯4）/2（2）设无向图G ＝<V ,E >是汉密尔顿图，则V 的任意非空子集V 1，都有 ≤∣V 1∣． 答：W （G - V 1）（3）设无向图G 为欧拉图，则图G 连通且 ． 答：每个结点的度数为偶数（4）设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ． 答：n -1（5）连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答：4οο οο (a )οο οο (b ) οοοο (c )οοοο(d )a gb d fc e οο ο οο οο ο a ο οο ο ο b c f d e（6）给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．答：1 3．给定图G （如图6所示）: （1）试判断它们是否为欧拉图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．答：（1）图G 是欧拉图，因为图G 是连通图且每个结点的度数是偶数．（2）欧拉回路为： v 1 e 1 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e 5v 5 e 7 v 2 e 8v 6 e 6 v 4 e 4v 1 注意：回路是不惟一4．试判断“设G 是一个有5个结点、10条边的连通图，则G 为平面图”是否正确，为什么？答：错误．因为它不满足定理4.3.3，即“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．”5．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={(a 1, a 2)，(a 2, a 4)，(a 3, a 1)，(a 4, a 5)，(a 5, a 2)}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 解：（1）图G 是无向图，图形如图7所示：图7 （2）图G 的邻接矩阵如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101010010000011100100110)(G A（3）结点a 1, a 2, a 3, a 4, a 5的度数分别为：2，3，1，2，2． （4）图G 的补图的如图8所示：图86．图G =<V , E >，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ),ο οο ο οa 1a 2 a 3a 4a 5v 1 v 2 v 3v 4 v 5v 6 e 1 e 2e 3 e 4 e 5 e 6e 7 e 8 οο ο ο ο ο图6 ο ο ο ο οa 1a 2 a 3a 4 a 5οο ο ο οa 1 a 2 a 3a 4a 5(d , f ), (e , f ) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值． 解：（1）G 的图形如图9所示：（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011000101111110010010001011001010110 图9（3）粗线表示最小的生成树（见图10）：最小的生成树的权为：1+1+5+2+3=12． 图107．设有一组权为2,3,6,9,13,15,试 （1）画出相应的最优二叉树； （2）计算它们的权值．解：最优二叉树如图11所示：图11 权值： 2⨯4+3⨯4+6⨯3+9⨯2+13⨯2+15⨯2 =8+12+18+18+26+30 =1128．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于2的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．οο ο ο οc a b e dοf1 5 22 61 9 38 ο ο ο ο οc a b ed οf 15 22 61 938 οοο οο ο ο ο ο32 9 135 6 1115 20 ο ο 48289．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k条边到图G 才能使其成为欧拉图．（三）数理逻辑1．单项选择题（1） 下列命题公式是等价公式的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ．A →(⌝B →A ) ⇔⌝A →(A →B )C ．Q →(P ∨Q ⇔⌝Q ∧(P ∨Q )D ．⌝A ∨(A ∧B ) ⇔B 答：B 因为A →(⌝B →A ) ⇔ A →(B ∨A ) ⇔⌝A ∨(B ∨A ) ⇔ A ∨ (⌝A ∨B ) ⇔ A ∨ (A →B )⇔⌝A →(A →B )（2）下列公式 ( )为重言式．A ．⌝(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔QB ．(B →(A ∨B )) ↔(⌝A ∧(A ∨B ))C ．A ∧⌝B ↔A ∨BD ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q )) 答：D 因为(P →(⌝Q →P ))⇔⌝P ∨(Q ∨P )) ⇔1 (⌝P →(P →Q )) ⇔P ∨(⌝P ∨Q )) ⇔1 （3）命题公式⌝ (P →Q )的主析取范式是( )． A ．Q P ⌝∧ B Q P ∧⌝ C ．Q P ∨⌝ D ．Q P ⌝∨答：A 因为⌝ (P →Q ) ⇔⌝ (⌝P ∨Q ) ⇔P ∧⌝Q（4）设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∀B ．))()((x G xC x ⌝→⌝∀C ．))()((x G x C x ⌝→⌝∃D ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∃答：D（5）表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )． A ．P (x , y ) B ．P (x , y )∨Q (z ) C ．R (x , y ) D ．P (x , y )∧R (x , y ) 答：B2．填空题（1）命题公式()P Q P →∨的真值是 ． 答：1 因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨ P ) ⇔1（2）含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ． 答：(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )因为P ∧Q ⇔ P ∧Q ∧(⌝R ∨R ) ⇔(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )（3）设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 ． 答：(A (1) ∨A (2))∨(B (1) ∧B (2))（5）谓词命题公式(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的约束变元为 ． 答：x3．请将语句翻译成命题公式： （1）今天不是天晴．（2）你去听课，他也去听课．（3）如果天下雪，则我明天就不去市里． （4）尽管他参加了考试，但他没有通过考试．解：（1）设P ：今天是天晴； 命题公式为： ⌝ P ．（2）设P ：你去听课，Q ：他去听课：命题公式为：P ∧Q ．（3）设P ：天下雪，Q ：我明天去市里； 命题公式为：P →⌝Q ．（4）设P ：他参加了考试，Q ：他没有通过考试； 命题公式为：P ∧⌝ Q ．4．请将语句翻译成谓词公式： （1）所有人都不去上课． （2）有人不去工作． 解：（1）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课．谓词公式为： (∀x )(P (x )→ ┐Q (x ))．（2）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去工作，谓词公式为： (∃x )(P (x) ∧┐Q (x ))． 5．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式((Q ∧⌝R )→P )∧(⌝P →Q ∨R )↔P ∨R 为永真式．（2）求命题公式(P ∧Q )∧(⌝P ∨⌝R )的真值表，并判断它的类型. 解：（1）该公式是永真式．因为 R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()( R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)( 1⇔（2）6．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式)．（2）下面的推理是否正确，请给予说明． ① P （a ） P ② （∀x ）P （x ） US ① 解：（1）该公式是永真式．因为 ))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀⇔))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔x xP y x yG x xP（2）错误．② 应为（∀x ）P （x ） UG ① 全称指定规则与全称推广规则不能混淆．7．求公式R Q P →∧)(的析取、合取、主合取\主合取范式． 解：R Q P R Q P ∨∧⌝⇔→∧)()(R Q P ∨⌝∨⌝⇔)(R Q P ∨⌝∨⌝⇔ （析取、合取、主合取范式）⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q )∧(┐R ∨R ))∨((┐P ∨P )∧┐Q ∧(┐R ∨R )) ∨((┐P ∨P )∧(┐Q ∨Q )∧R )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )（主析取范式）8．用列真值表的方法求命题公式R Q P →→)(的主析取范式．解：列真值表取真值为1的项，所求主析取范式为：(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧R )9．试求谓词公式),()),(),()((y x B y x yG y x xH x S x ∨∃→∃∧∀中，∀x ，∃x ，∃y 的辖域，试问G (x , y )和B (x , y )中x ，y 是自由变元，还是约束变元？解：∀x 的辖域：)),(),()((y x yG y x xH x S ∃→∃∧ ∃x 的辖域：H (x ,y )∃y 的辖域：G (x ,y ) G (x , y )中的x ，y 是约束变量，B (x , y )中的x , y 是自由变量. 10．证明命题公式(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价． 证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q ) ⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R ) ⇔⌝P ∧Q （吸收律） ⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）9．构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃． 分析：前提：)()(x xQ x xP ∀→∃．结论：))()((x Q x P x →∀证：(1) )()(x xQ x xP ∀→∃ P(2) )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T (1)E(3) )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T (2) E (量词与否定的关系) (4) ))()((x Q x P x ∨⌝∀(5) ))()((x Q x P x →∀ T (4) E上面这些例题供大家复习参考．。
