初中数学证明垂直问题专题训练含答案

初中数学证明垂直问题专题训练含答案

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一、综合题（共3题）

1、 如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．

（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；

（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

2、 如图，四边形是平行四边形，，，是的中点，是延长线上一点．

（1）若，求证：；

（2）在（1）的条件下，若的延长线与交于点，试判定四边形是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；

（3）若，与垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由． 3、 如图16，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形。

（1）求证：AB∥CQ；

（2）AQ与CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明；若AQ与CQ不能互相垂直，请说明理由。

二、计算题（共1题）

1、 如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为．

（1）求证：；

（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由．

三、解答题（共4题）

1、 完成下面证明：

（1）如图1，已知直线b∥c，a⊥c，求证：a⊥b

证明：∵a⊥c （已知）

∴∠1=

（垂直定义）

∵b∥c （已知） ∴∠1=∠2 （ ）

∴∠2=∠1=90° （ ）

∴a⊥b （ ）

（2）如图2：AB∥CD，∠B+∠D=180°，求证：CB∥DE

证明：∵AB∥CD （已知）

∴∠B= （ ）

∵∠B+∠D=180° （已知）

∴∠C+∠D=180° （ ）

∴CB∥DE （ ）

2、 如图所示，已知AE与CE分别是∠BAC，∠ACD的平分线，且∠1+∠2=∠AEC．

（1）请问：直线AE与CE互相垂直吗？若互相垂直，给予证明；若不互相垂直，说明理由；

（2）试确定直线AB，CD的位置关系并说明理由．

3、 直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线PA，QB相交于点D，E．

（1）如图（1），当直线l与PA垂直时，求证：．

（2）如图（2），当直线l与PA不垂直且点D，E在AB同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

（3）当直线l与PA不垂直且点D，E在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用证明）．

4、 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明。

============参考答案============

一、综合题

1、 【解答】解：（1）AG＝FG，

理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M

∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD

∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD

∴四边形AGFM是矩形

∴AG＝MF，AM＝FG，

∵∠CEF＝90°，

∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°

∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC

∴△EFM≌△CEB（AAS）

∴BE＝MF，ME＝BC

∴ME＝AB＝BC

∴BE＝MA＝MF

∴AG＝FG，

（2）DH⊥HG

理由如下：如图，延长GH交CD于点N，

∵FG⊥AD，CD⊥AD

∴FG∥CD ∴，且CH＝FH，

∴GH＝HN，NC＝FG ∴AG＝FG＝NC

又∵AD＝CD，

∴GD＝DN，且GH＝HN

∴DH⊥GH

2、

3、 ①证明：另证△ABP≌△ACQ，

∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，∴AB∥CQ ②能，点P在BC的中点，当P为BC边中点时，∠BAP=∠BAC=30°，∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°，

又∵AB∥CQ，∴∠AQC=90°，即AQ⊥CQ.

二、计算题

1、 （1）证明：在和中， ，

（2）与垂直

证明如下： 在四边形中， 四边形为矩形

由（1）知 为直角三角形，

又

即

（3）当时，为等腰直角三角形，

理由如下： ，

由（2）知：

又 为等腰直角三角形

三、解答题

1、 解答：

（1）证明：如图1，∵a⊥c（已知），

∴∠1=90°（垂直定义），

∵b∥c（已知），

∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等 ），

∴∠2=∠1=90°（等量代换 ），

∴a⊥b（垂直的定义 ）；

（2）证明：如图2，∵AB∥CD （已知），

∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），

∵∠B+∠D=180°（已知），

∴∠C+∠D=180°（等量代换 ），

∴CB∥DE（同旁内角互补，两直线平行 ）．

故答案是：（1）∠2；两直线平行，同位角相等；等量代换；垂直的定义；

（2）∠C；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．

2、 考点：

平行线的判定；垂线；三角形内角和定理．

分析： （1）根据：∠1+∠2+∠AEC=180°和∠1+∠2=∠AEC推出∠AEC=90°，根据垂直定义推出即可；

（2）根据角平分线得出2∠1=∠BAC，2∠2=∠DCA，求出∠BAC+∠DCA=2×90°=180°，根据平行线的判定推出即可．

解答：

（1）AE⊥CE，

证明：∵∠1+∠2+∠AEC=180°，∠1+∠2=∠AEC，

∴2∠AEC=180°，

∴∠AEC=90°，

∴AE⊥CE．（2）解：AB∥CD，

理由是：∵AE与CE分别是∠BAC，∠ACD的平分线，

∴2∠1=∠BAC，2∠2=∠DCA，

∵∠1+∠2=∠AEC=90°，

∴∠BAC+∠DCA=2×90°=180°，

∴AB∥CD．

点评：

本题考查了平行线的性质，角平分线定义，垂直定义，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．

3、 （1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）不成立，．

【解析】

（1）根据各线段之间的长度，先猜想AD＋BE＝AB；

（2）在AB上截取AG＝AD，连接CG，利用三角形全等的判定定理可判断出AD＝AG．同理可证BG＝BE，即AD＋BE＝AB；

（3）画出直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形，分两种情况讨论：①当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时；②点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时；得到AD，BE，AB之间的关系．

【详解】 （1）如图，过点C作于点F．

平分，BC平分， ，． ，，

，

，

，

．

，

． 在△与中，，

， ． 同理可得．

，

；

（2）成立．证明：如图，在AB上截取，连接CG． 平分，

． 在与中，，

，

．

，

．

，BC平分， ，

， ，即．

， ，． 在与中，，

，

，

，

；

（3）不成立．当点D在射线AP上，点E在射线BQ的反向延长线上时，如图（3），；

延长BC交AM于F，

∵AD∥BN， ∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，

∴AF=AB，

∵∠1=∠2，

∴AC⊥BF，CF=BC，

在△CDF和△CEB，

∴△CDF≌△CEB（AAS），

∴DF=BE，

∴AD-BE=AD-DF=AF=AB， ∴；

当点D在射线AP的反向延长线上，点E在射线BQ上时，如图，，

∵AC和BC分别为∠FAB和∠ABE的角平分线，

∴∠FAC=∠BAC，∠ABC=∠EBC，

∵AF∥BE，

∴∠AFC=∠EBC，

∴∠ABC=∠AFC，

在△AFC和△ABC中， ∴△AFC≌△ABC，

∴AF=AB，FC=BC，

∵AF∥BE，

∴∠AFC=∠EBC，

∴在△DFC和△EBC中，

∴△DFC≌△EBC，

∴DF=BE，

∴DF-AD=BE-AD=AF=AB， 即．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

4、 （1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°

∴∠CAD=∠CBD=45°

∴∠CAE=∠BCG 又BF⊥CE

∴∠CBG+∠BCF=90°又∠ACE+∠BCF=90°

∴∠ACE=∠CBG∴△AEC≌△CGB

∴AE=CG

（2）BE=CM

证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED ∴∠CMA+∠MCH=90° ∠BEC+∠MCH=90°

∴∠CMA=∠BEC

又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°