点的轨迹问题知识点

【高考复习】高考数学知识点：轨迹方程的求解

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．

【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数叙述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈创建适度的坐标系，设立增派点m的座标；

⒉写出点m的集合；

⒊列举方程=0；

⒋化简方程为最简形式；

⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈意译法：轻易将条件翻译成等式，整理化简后即为得动点的轨迹方程，这种谋轨迹方程的方法通常叫作意译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊有关点法：用动点q的座标x，y则表示有关点p的座标x0、y0，然后代入点p的座标（x0，y0）所满足用户的曲线方程，整理化方便快捷获得动点q轨迹方程，这种谋轨迹方程的方法叫作有关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数解出，获得不不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种谋轨迹方程的方法叫作交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系――创建适度的坐标系；

②设点――设轨迹上的任一点p（x，y）；

③列式――列于增派点p所满足用户的关系式；

老大笔记ByMrH

1最值问题2－轨迹法一．轨迹法：（MadebyMrH）1．标志特点：遇“动点”，找轨迹2．考点：①两点之间线段最短；②点到直线垂线段最短3．轨迹类型：①直线轨迹；②圆轨迹；二．轨迹找法：（MadebyMrH）1．直线轨迹：①直接看出；②瓜豆原理；③夹角定位法；（1）主要说明：“夹角定位法”如图1，l为定直线，A为l上一定点，B为动点，且AB与直线l夹角为定值，则B点的轨迹为直线l'．【示例】如图2所示，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC上一动点，以AD为边在右侧作等腰△ADE，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则动点E的轨迹为？解析：①易证△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°，即E点轨迹为直线②根据瓜豆原理，E点可以看做是D点绕A点旋转120°得到的点，则E的轨迹为BC绕点A旋转120°的线段．2．轨迹为圆：①一中同长（定义）；②定角对定边（一般为90°）③瓜豆原理（1）一中同长：如图3，动点A到定点O的距离为定值，则A点的轨迹为以O为圆心的圆．【示例】如图4，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝5，E为AB上一动点，连接DE并将△ADE沿着DE翻折得到△DEF，则F点的轨迹为？解析：∵AD＝DF＝1,∴F是以D为圆心，1为半径的圆，由于E点从A运动到B，分析起始位置和终止位置，F的轨迹不完整，是一段弧线．（2）定角对定边：“一般为90°”如图5，A为动点，满足∠A＝90°，且∠

A

所对的边

BC长度一定，则A点轨迹为以BC为直径的圆，圆心为BC的中点．三．基本模型：（MadebyMrH）1．点线轨迹：“点到直线垂线段最短”→斜≥垂如图6，A为定点，C为直线l上一动点，则AC≥AB（垂线）由此可推论：“斜≥垂”老大笔记ByMrH

22．点圆轨迹：如图1，A为定点，B为动点（轨迹为以定点O为圆心的圆），求AB的最大值与最小值．解析：两边之差＜第三边＜两边之和∴d－r≤AB≤d＋r即AB最大值为d＋r，最小值为d－r3．线线轨迹：如图2，直线l1∥l2，A、B分别为l1、l2上的两个动点，求AB的最小值．解析：“斜≥垂”∴AB≥AC，即AB最小值为AC4．线圆轨迹：如图3，A为圆O上动点，B为直线l上动点，则AB≥CD．MadeByHuangTao2019.2.17MrH老大笔记

1 轨迹问题专题

一.综述

(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:

⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M（x,y）的坐标.

⒉写出点M的集合(几何关系）.

⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f(x,y)=0,化简方程为最简形式.

4.检验特殊点,进行必要的文字说明.

(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:

1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法

(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.

二.例题精讲 破解规律

例1. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明为定值，并写出点E的轨迹方程.

分析: 题目中要求证明为定值,容易知道, E的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.

222150xyxEAEBEAEB

2

点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.

规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简即可.

(2)定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.

(3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论.

现学现用1:如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程.

例2. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹的方程；

规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点N、M,且点N的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而M的运动是由N的运动而引发的，这样的题目可采用相关点法求动点M的轨迹方程.基本方法是设M的坐标,再反解出N的坐标,然后带入N所在曲线的轨迹方程,整理即可.

现学现用2: 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴ABCD2,0,2,0,2,2,2,2ABCD,AMADDNDC0,1,ANBMQQPPxyPABB6,5A221:434CxyABP2C2212xy

到定点和定直线距离相等的点的轨迹

到定点和定直线距离相等的点的轨迹，也称为等距轨迹，是指在平面内，到定点和定直线的距离相等的所有点组成的集合。这个问题可以从不同的角度进行探讨，包括几何、代数、解析几何等方面。

一、基本概念

1. 定义：到定点和定直线距离相等的点的轨迹叫做等距轨迹。

2. 定义：到定点A和直线l上任意一点P的距离相等，即AP=BP，则P在以AB为直径的圆上。

3. 定义：到定点A和直线l上任意一点P的距离相等，即AP=CP，则P在垂足为H、以AH为半径、以CH为半径、以AC为直径的四个圆所组成的交集内。

二、求解方法

1. 利用圆心角平分线性质

对于一个固定点A和一个固定直线l，在平面内找到一个动点P，使得AP=BP或AP=CP。我们可以利用圆心角平分线性质来求解该问题。具体来说，我们可以先画出以A为圆心、AP为半径的圆O1和以B或C为圆心、BP或CP为半径的圆O2，然后连接O1和O2的交点Q与P，这条线段就是所求的等距轨迹。

2. 利用垂线平分线性质

另一种求解等距轨迹的方法是利用垂线平分线性质。具体来说，我们可以先画出以A为圆心、AP为半径的圆O1和以C为圆心、CP为半径的圆O3，然后连接它们的交点Q与P，并作出P到l的垂线PH。由于AP=CP，因此PH也是l上所有点到P的距离中位线。因此，我们可以在PH上找到一个点R，使得AR=PR。这样，我们就可以利用AR和PR分别作为直径画出两个圆O4和O5，并连接它们的交点S与P。这条线段就是所求的等距轨迹。

三、特殊情况

1. 当定点A在直线l上时

当定点A在直线l上时，等距轨迹就是与A不重合且平行于直线l的直线。

2. 当定点A不在直线l上时

当定点A不在直线l上时，等距轨迹就是以A为焦点、以l为准线的双曲线或椭圆。

四、应用

等距轨迹在几何学中有着广泛的应用。例如，在机械设计中，我们需要找到一个点，使得它到两个轴的距离相等，这时就可以利用等距轨迹来解决问题。此外，在建筑设计、车辆运动控制等领域中也有着重要的应用。