2012年1月(A卷解答)

2012年1月(A卷解答)

第 2 页 共 11 页 2 2011~2012学年秋季学期线性代数（B）(A卷)课程考试试题（解答）

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）

1. 设,AB都是n阶矩阵，且它们的行列式分别为3 2 AB，，则AB2= 62 n．

2．若向量组TTT123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)t线性相关，则t 5 ．

3. 设n阶矩阵A与B相似，且3AE不可逆，则B的一个特征值为 3 ．

4．设3阶矩阵A的特征值互不相同, 若行列式||0A, 则A的秩为 2 ．

5. 若二次型222212312332fx,x,xxtxtx是正定的，那么t取值范围为 20 t．

二、 选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1．已知四阶行列式312D201321，则13332AA的值为【 C 】．

（其中ijA为行列式D中元素aij的代数余子式．）

(A) 2； (B) 1； (C) 0； (D) 3．

2． 设12,,,saaa均为n维列向量，下列选项不正确的是

第 3 页 共 11 页 3 【 B 】．

(A) 对于任意一组不全为0的数12,,,skkk都有sskakaka1122,0，则12,,,saaa线性无关；

(B) 若12,,,saaa线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,skkk都有sskakaka1122,0；

(C) 12,,,saaa线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s；

(D) 若12,,,saaa线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．

3. 设3阶矩阵A的特征值为123221，，，对应的特征向量依次为123,,ppp，令

123,,P=ppp，则1PAP=【 D 】．

(A) 200020001； (B) 100020002； (C) 200010002；

(D) 200020001.

4. 已知12,是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，12,是其对应的齐次线性方程组0Ax的一个基础解系，则Axb的通解为【 A 】．

(A) kkkkR112212121()(,)2；

(B)

kkkkR112212121()(,)2;

(C) kkkkR1122112(,)； (D)

第 4 页 共 11 页 4

第 5 页 共 11 页 5

11!nini

10分

四、（本题满分10分）设矩阵300011014A，3611

23B，且满足BXAX2，求矩阵X.

解答：由BXAX2得，(2)AEXB

4分

1100(2)021011AE

8分

1(2)XAEB100021011361123364132

10分

或1003610036(2,)01111 010410122300132AEBr， X364132．

五、（本题满分14分，第1题10分，第2题4分）

第 6 页 共 11 页 6 1. 已知非齐次线性方程组 121312311xxxxxaxxb ；

（1）求参数的值为何值时，方程组无解，有无穷多解，有惟一解；（2）并在有解时，求其解．

2. 设矩阵1234(,,,)A，矩阵A的秩()3RA，且234,1234，求方程Ax的通解．

解答：1. 对增广矩阵进行行初等变换，得

11011101(,)1011 0110110021Abrabab，

3分

（1）21ab，时，方程组无解；

4分

2a时，方程组有惟一解；

5分

21ab，时，方程组有无穷多解解；

6分

（2）惟一解为1231121212bxabxabxa

8分

21ab，时，11011011(,)1011 0110110000Abrab

第 7 页 共 11 页 7 通解为1110()10xkkR．

10分

2．由()3RA知，齐次线性方程组0Ax的基础解系中含一个非零的解向量．

由于234,，则有123401(,,,)011，

于是0111是齐次线性方程组0Ax基础解系． 2分

由1234，则有123411(,,,)11，

3分

于是1111是方程Ax的特解，故Ax的通解为()xkkR． 4分

六、（本题满分14分）已知二次型T21221232313(,,)222(0)fxxxxAx=axxxbxxb，其中f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为12．

第 8 页 共 11 页 8 (1) 求a，b的值；(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

解答：(1) 二次型f的矩阵为002002abAb

2分

设A的特征值为i（1, 2, 3i）． 由题设条件，有

1232(2)1a， 21230020421202ababb，

解得1, 2ab．

4分

(2) 矩阵A的特征多项式

21020202(3)202AE，

所以A的特征值122，33． 7分

对于122，解齐次线性方程组(2)0AEx，得对应的特征向量

T1(2,0,1)a，

T2(0,1,0)a．

9分

对于33，解齐次线性方程组(3)0A+Ex，得对应的特征向量T3(1,0,2)a． 10分

第 9 页 共 11 页 9 由于1a，2a，3a已是正交向量组，只需将1a，2a，3a单位化，由此得

T121,0,55， T2(0,1,0)， T312,0,55．

令矩阵

12321055,,01012055Q，

则Q为正交矩阵．在正交变换XQY下，有

T200020003QAQ，

13分

且二次型f的标准形为222123223fyyy．

14分

七、（本题满分12分，每小题各6分）证明下列各题：

1. 若向量1234,,,是n元非齐次线性方程组Axb的解向量，那么它们的线性组合11223344kkkk也是该方程组解向量的充分必要条件是12341kkkk；

2. 设A是n阶矩阵，1和2是A的两个不同的特征值，12,是A的属于特征值1的两个线性无关的特征向量，3是A的属于特征值2的特征向量，证明：123,,线性无关．

证：1. 向量1234,,,是n元非齐次线性方程组Axb的解向

第 10 页 共 11 页 10 量，则(1,2,3,4)iAbi， 2分

于是，

11223344112233441234() (),AkkkkkAkAkAkAkkkkb

4分

故11223344kkkk也是该方程组解向量的充分必要条件是12341kkkk． 6分

2. 令

1122330kkk． (1)

2分

用A左乘上式得1122330kAkAkA，由111212323,,AAA得，

1112123230kkk． (2)

1(1)(2)得3123()0k，

由12，30，知30k，代入(1)得 11220kk，

4分

再由12,线性无关知，120kk，故123,,线性无关． 6分

八、（本题满分6分）设A为3阶实对称矩阵，且A的秩()2RA，

已知111100001111A，求： A的所有特征值及每一个特征

第 11 页 共 11 页 11 值所对应的特征向量．

解答：由111100001111A得，111100, 001111AA，

则11是A的特征值，pkk110(0)1是与之对应的特征向量， 2分

21是A的特征值，pkk210(0)1是与之对应的特征向量． 4分

由()2RA知，30是A的特征值．设与30对应的特征向量为1323xpxx，

由于A为3阶实对称矩阵，故3p分别与12, pp正交，于是有121200xxxx，

则

pkk301(0)0 ．

6分