初中数学02-用数轴上的点表示实数及分数指数幂-学生版

6、近似值：对一个近似值，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都称为这 个近似值的有效数字。

例如 1415926.3=π的近似值中，1.3有两个有效数字，用科学记数法表示1220000，将其保留两位有效数字6102.1⨯，它精确到万位61022.1⨯ 单元知识网络：热身练习一、填空题：1、化简223）（-＝__32-_____；－2)25.1(-＝_-1.25___2、4)2(-的 平方根是__2±____；2)3(--的平方根是_31±____；若5333n=，则n= 103 3、在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 2 4、28⨯=4 ； 28-= 25、16的算术平方根的平方根是 2±6、地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为 8105.1⨯ 千米。

甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=__1____。

8、因为2211121,11112321==，所以76543211234567898= 111111111二、选择题（1）()()2201131313272π-⎛⎫-+-⨯--+ ⎪⎝⎭（2）423423-++参考答案：（1）3 （2）23精解名题例1、计算：（1）342221(2)(1)(12)[()]20.254[13(2)]-⨯---÷-⨯+-⨯- （2）23320)5.1(9216.01221---++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+参考答案：（1）2 （2）3225例2、比较下列每组数的大小：(1)与； (2)与； (3)与； (4)a 与(a≠0)思路点拨： (1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。

七年级实数知识点总结实数是数学中的一个重要概念，是数轴上的所有有理数和无理数的集合。

在七年级的数学学习中，实数是必不可少的知识点之一。

本文将对七年级实数的相关知识进行总结，让同学们更好地掌握实数的概念和应用。

一、有理数有理数包括整数和分数，可以表示为正数、负数或零。

在数轴上，有理数从正数轴到负数轴连成一条直线，其中0点位于原点。

1. 整数整数包括正整数、负整数和0。

正整数在数轴上向右移动，负整数在数轴上向左移动。

整数的绝对值表示离0点的距离。

2. 分数分数由分子和分母组成，分母表示分成几份，分子表示分数中有几份。

分数可以化简为最简分数，即分子和分母的最大公约数为1。

二、无理数无理数是不能表示为有理数的数字，有无限不循环小数。

无理数包括圆周率π、自然常数e等。

无理数在数轴上无限不循环地排列在有理数之间。

三、应用实例实数在数学中的应用非常广泛，在日常生活和工作中也有很多实际应用。

1. 温度温度是一个实数，包括正数和负数。

在摄氏度下，0℃表示水的冰点，100℃表示水的沸点。

在华氏度下，32℉表示水的冰点，212℉表示水的沸点。

2. 运动运动中的速度、时间和距离都是实数。

速度表示每单位时间内通过的距离，时间表示持续时间，距离表示两个点之间的距离。

数值计算和应用可以帮助我们更好地理解运动。

3. 金融金融中涉及到很多实数的运算，如亏损、收益、价格等。

银行利率、汇率等也用到了实数的概念。

理解实数可以帮助我们更好地理解金融知识，做出明智的决策。

总结：七年级实数是数学学习的基本概念，涉及到整数、分数、无理数等内容。

实数在日常生活和工作中有很多实际应用，如温度、运动、金融等。

通过对实数的学习和应用，同学们可以更好地理解数学知识和实际问题。

基本内容 分数指数幂、实数的运算知识精要一、分数指数幂1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )nn a ＝⎩⎨⎧为偶数为奇数n a n a |,|;,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂)0(1 )0(>=≥=-a aaa a anmnmnm nm（其中m 、n 为整数，1>n ）上面规定中的nma 和nm a -叫做_____________，a 是底数。

3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。

有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么 （ⅰ）q p q p a a a +=⋅，qp qpa a a -=÷（ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的________。

2、绝对值相等符号相反的两个数叫做___________。

3、实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝 对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大。

4、设a>0,b>0,可知_____________________根据平方根的意义，得 _________________ 同理___________________ 2）实数的运算4、实数运算的顺序是___________________________________________________________________。

5、实数的六种运算关系：加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算。

第三章 基本初等函数(Ⅰ) §3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算(一)【学习要求】1.了解根式与方根的概念及关系;2.理解分数指数幂的概念;3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算. 【学法指导】 通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点1.相同因数相乘 记作a n ,a n 叫做 a 的n 次幂 ,a 叫做幂的 底数 ,n 叫做幂的 指数2.正整指数幂的性质:(1)a m ·a n ＝a m ＋n ;(2)(a m )n ＝a m·n;(3)a m an ＝a m －n (m>n,a≠0);(4)(ab)m ＝a m b m .3.如果存在实数x,使得x n ＝a (a ∈R,n>1,n ∈N ＋),则x 叫做 a 的n 次方根 求a 的n 次方根,叫做把a 开n 次方,称作 开方 运算.正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次 算术根 当n a 有意义的时候,na 叫做 根式 ,n 叫做根指数.当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个 正数 ,负数的n 次方根是一个 负数 ,此时a 的n 次实数方根只有一个,记为na;当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为 相反数 ,它们可以合并写成 ±(a>0)形式. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n 次方根呢？答案是肯定的,这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算. 探究点一 整数指数及其运算问题1 整数指数幂a n (n ∈N ＋)的意义是什么？a n 、a 、n 分别叫做什么？ 问题2 正整指数幂有哪些运算法则？ 问题3 零和负整指数幂是如何规定的？例1 计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的a,b≠0).(1)a －3b －2－3a 2b －19a －2b －3; (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋－3－4－－2＋03(a ＋b≠0,a －b≠0).小结: 当我们规定了a 0＝1 (a≠0);00无意义;a －n ＝1an(a≠0,n ∈N ＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 跟踪训练1 化简下列各式:(1)80＝______;(－8)0＝______;(a －b)0＝____(a≠b); (2)10－3＝______;⎝⎛⎭⎫－12－6＝______. 探究点二 根式的概念与性质问题1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？ 问题2 类比a 的平方根及立方根的定义,如何定义a 的n 次方根？问题3 类比平方根、立方根,猜想:当n 为偶数时,一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？小结:一个数到底有没有n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n 为奇数和n 为偶数这两种情况.问题4 根据n 次方根的意义,可得:(n a)n ＝a,即(n a)n ＝a 肯定成立,n a n 表示a n 的n 次方根,等式na n ＝a 一定成立吗？如果不一定成立,那么na n 等于什么？ 例2 求下列各式的值: (1)3－3; (2)－2; (3)4－4; (4)－2 (a>b).小结:当n 为偶数时,na n 化简得到结果先取绝对值,再去绝对值算具体的值,这样就避免出现错误.跟踪训练2 求下列各式的值: (1)7－7; (2)3－3 (a≤1).探究点三 利用根式的性质化简或求值 例3 化简:－2＋－2＋3－3＝________.小结:根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,如对ma n 仅当a≥0时,恒有m a n ＝(ma)n ,若a<0,则不一定成立.跟踪训练3 化简3a 3＋4－4的结果是 ( ) A.1 B.2a －1 C.1或2a －1 D.0 探究点四 有限制条件的根式的化简例4 设－3<x<3,求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值.小结: 此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方部分化为完全平方的形式,结合根式性质求解. 跟踪训练4 本例中,若将“－3<x<3”变为“x≤－3”,则结果又是什么？练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中:①16的4次方根是2; ②416的运算结果是±2; ③当n 为大于1的奇数时,na 对任意a ∈R 都有意义; ④当n 为大于1的偶数时,n a 只有当a≥0时才有意义.其中正确的是( )A.①③④B.②③④C.②③D.③④2.已知x 5＝6,则x 等于 ( )A. 6B.56C.－56D.±56 3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( )A.4m 2B.3mC.6mD.5－m课堂小结：1.根式的概念:如果x n ＝a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,且n ∈N ＋.n 为奇数时,x ＝n a,n 为偶数时,x ＝±na(a>0);负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.2.掌握两个公式: (1)(na)n＝a; (2)n 为奇数,na n＝a,n 为偶数,na n＝|a|＝⎩⎨⎧a－.。

近似数的精确度、分数指数幂及运算知识结构模块一：近似数的精确度知识精讲知识点：有关概念1．准确数概念：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．2．近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3．精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．☆近似数的精确度通常有两种表示方法：（1）精确到哪一个数位；（2）保留几个有效数字．4．有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【例1】 一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______． 【答案】3； 1.732； 四； 1、7、3、2．【解析】3 1.732≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2． 【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.【例2】 写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000；2）4.523亿 ；3）57.3310⨯；4）0.00125．【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；3)有效数字：7、3、3，精确到千位；4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字， 叫做这个近似数的有效数字．【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．【例3】 用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________； （2）12.975(精确到百分位) ≈_________； （3）548203(精确到千位) ≈_________； （4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．【答案】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【解析】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．【例4】 已知 3.1415926π=，按四舍五入法取近似值．例题解析（1）π≈__________（保留五个有效数字）； （2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．【例5】 用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位. 【总结】本题主要考查了精确度的概念．【例6】 下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字? （1）3.201；（2）0.0010；（3）2.35亿；（4）107.6010⨯．【答案】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【解析】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【例7】 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米． 【答案】4310⨯．【解析】45060030000310⨯==⨯．【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．模块二：分数指数幂知识精讲1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m nmna a a =≥，1(0)m nnmaa a-=>，其中、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．【例8】 把下列方根化为幂的形式：（1）32； （2）310-； （3）28(5)-；（4）37--；（5）3a -；（6）a -．【答案】（1）132； （2）1310-； （3）145； （4）137； （5）13a -； （6）12()a -． 【解析】（1）13322=； （2）1331010-=-；（3）21822884(5)555-===； （4）1333777--==；（5）1333a a a -=-=-； （6）12()a a -=-．【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算． 【例9】 把下列分数指数幂化为方根形式： （1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）1132(64)．【答案】（1）3127-； （2）23827⎛⎫⎪⎝⎭； （3）116-； （4）664．例题解析【解析】（1）13127⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）23827⎛⎫=⎪⎝⎭（3）12116⎛⎫-=⎪⎝⎭（4）111362(64)64=【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．【例10】化简：（1）111362a a a÷⋅；（2）8【答案】（1）13a；（2）71338x y．【解析】（1）11111113623632a a a a a-+÷==；（2）1211111171 4423333336633 8888 x yx y x yx y x y x y===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【例11】计算下列各值：（1（2）201713(4aa+．【答案】（1）565；（2）1-．【解析】（1151362555⨯=；（2）因为3030a a-≥-≥，，所以3a=，所以3a=或3-，因为30a-≠，所以3a=-．故当3a=-时，原式()2017133143⎛⎫⨯-⎪==-⎪-⎪⎪⎝⎭．【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．【例12】 计算下列各值：（1）1225232--- （2）11222[(2(2]-++． 【答案】（1）12-； （2）16． 【解析】（1）1225232---4923=---+12=-；（2）()()2112222-⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=16=． 【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．【例13】 计算： （1；（2）1112444111()()()242a a a -⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y ÷-⨯．【答案】（1）a ； （2）144116a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）166x y -．【解析】（111113342341211121212aa aaa a aaa++===；（2）1114442111242a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114442241114416a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）231521166363324x y x y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225111633663666xy x y -+-+=-=-．【例14】 4249a b==，，求1222b a -的值．． 【解析】()112222242b a b a -=÷==． 【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质.【例15】 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.【答案】（1； （2）【解析】（1）13x x -+=， 21112225x x x x --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，又11220x x-+>， 1122x x-∴+=（2）()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++-= ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．【例16】 若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值． 【答案】198． 【解析】()111133334214212a =⨯⨯=⨯⨯=， 1231111933332488a a a ---∴++=⨯+⨯+=．【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．【例17】 化简：a b c 【答案】0或1．【解析】当0x =时，原式0=； 当0x ≠时，a b c c a a bb cc a c a bxx----++()()()()()()b ca c ab a bc a a b b c b c c a xxx+++------=⋅⋅2222220()()()1b c c a a b a b b c c a xx -+-+----===．【总结】本题主要考查了含根式的化简，注意要分类讨论．【例18】 已知122a =，132b =，123c =，133d =，试用a b c d 、、、的代数式表示下列各数值．（1； （2 （3； （4【答案】（1）20a ； （2）10d； （3）23b ； （4）【解析】（11220220a =⨯=； （213131010d=⨯=；（312112333334323223b =⨯=⨯=⨯⨯=；（411114222232(3)22c c ⨯=⨯==． 【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．【例19】 已知：210(0)x xxxxa a a a a a --+=>-，求的值． 【答案】119．【解析】222112121021010x x x x a a a a --+=++=++=（）， 又0x x a a -+>，x x a a -∴+=， 222181 21021010x x x x a a a a ---=+-=+-=（），又0xxa a -->， xxa a -∴-， 119x x x x a a a a --+∴=-．【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．【例20】 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）．【答案】（1）2，4，6； （2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ． 【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=； （3）log log log ()a a a M N MN +=．【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：2a a =；(0,0)ab ab a b =≥≥；(0,0)a aa b b b=≥>；2()(0)a a a =≥．【例21】5的整数部分为a ，小数部分为b ，则a b =_________．【答案】945-．【解析】253<<，2a ∴=，52b =-，2(52)945a b ∴=-=-． 【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．【例22】 计算：（1）321232416(80.1)3(2)(2)81-⎡⎤-÷-⨯---+-⎣⎦；（2）20152014(76)(67)+-；知识精讲模块三：实数的运算例题解析（3）3．【答案】（1）19； （2； （3）【解析】（1）1233(2)-⎡⨯---⎣）221410982(6)1339=-÷-⨯++=-÷-⨯=（）（-）；（2）2015201420152014=()201476=-=（3）3=⎤⎤⎦⎦22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()235-+=．【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．【例23】 计．【答案】2===【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．【例24】 计算：（1）11032238[1(0.2)]4271000π--+--⨯-÷（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）7208-； （2）32．【解析】（1）原式2111111()3125125167⎡⎤=+--⨯-÷⎢⎥⎣⎦11723721201688=⨯-⨯=-=-；（2）原式()9382296922=----=+-=． 【总结】本题主要考查了实数的混合运算．【例25】 设：73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-，42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯--试比较113M 与1N -的大小． 【答案】1113M N >-． 【解析】∵73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-15151051541031843381535=-÷⨯÷=-⨯⨯⨯=-， 42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯-- 42211(2)(2)5()0.2532664111116()9264=-÷+⨯--=÷+⨯--91114124=-- 1312=， ∴11=1313M -，131111212N -=-=-， ∴1113M N >-．【总结】本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较．【例26】 已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值． 【答案】5．【解析】14(3)0x y -+≥，12(5)0x y +-≥， 3050x y x y -+=⎧∴⎨+-=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩， 51238325x y -∴+=+=．【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．【例27】 已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值． 【答案】17．【解析】21y x a +-=-，21y a ∴=-，231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=---=--，223+0x a b ∴-=，0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，40222+217x y a b ++∴+==．【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．【例28】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +====()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3．【答案】（1； （2）3-； （3）．【解析】（113m =，42n =，6713+=，6742⨯=，即2213+===（211m =，24n =，3811+=，3824⨯=，即2211+==3；（3=59m =，864n =，322759+=，3227864⨯=，即2259+===． 【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．【例29】 已知111333421a =++，求12333a a a ---++的值． 【难度】★★★【答案】1．【解析】设132b =，则3211111b a b b b b -=++==--， 11a b -∴=-， 11b a -∴=+，3131231=33+1b a a a a ----∴=+++（），12333211a a a ---∴++=-=．【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．一、填空题：【习题1】 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．12()(0)x x x -=-> B ．1263(0)y y y =< C ．33441()(0)xx x-=>D ．133(0)xx x -=-≠【答案】C【解析】12(0)x x x -=->，故选项A 错误； 1263(0)y y y =-<，故选项B 错误；1331xx-=，故选项D 错误．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化．【习题2】 下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字； （4）精确到千位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0； （3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0； （4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【习题3】 把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：()432，13-，()754，536， 322-，343，324-，237．【答案】432；123--；754；356；312；433；314；327．随堂检测【解析】4432=；1212133-=-=-；7754=；356=；3232122-=；343=3232144-=；237【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题4】 比较大小： （1）与；（22【答案】（1 （22>【解析】（1）22- 8=-0=，（2）22(2+- 1110=+-10=>， 2 【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．【习题5】 把下列方根化为幂的形式． （1（2（3）a【答案】（1）582； （2）5766a b ； （3）111144a b ． 【解析】（1582==；（25766a b ==； （3）311111124444aaaa ab a b =⋅=．【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题6】 计算：（1）2334(9)； （2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y ÷．62+53+【答案】（1）3；（2）3；（3）925；（4）98；（5）400；（6）116634x y．【解析】（1）231342(9)93==；（2）1112333339333⨯=⨯=；（3）1442229 (35)3525÷=÷=；（4）11623329 (32)328--⨯=⨯=；（5）83342324(25)251625400⨯=⨯=⨯=；（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．【习题7】利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯；（2；（3）【答案】（1）15；（2）4；（3）18．【解析】（1）1111122222111222 1331331 ()()()552555525---⨯⨯=⨯⨯=；（2213236222224 =⨯÷==；（3）1211333362332239218⨯⨯⨯⨯=⨯=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题8】计算：（1（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅；（4）)11-+【答案】（1）763； （2）2； （3 （4）1-【解析】（1763=；（2）11111113332222113113(113)2⎛⎫⎛⎫-⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）201420152014(32)⋅=-=（4）)11-+-11=【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题9】 =，其中0ab ≠ 【答案】57．【解析】(a a +=， 12a b ∴，120a b ∴=， 0∴=，=-， 16a b ∴=，165451647b b b b b b -+==++．【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用．【习题10】化简求值：（1）已知：15a a -+=，求22a a -+；1122a a -+；1122a a --；（2）已知：223a a -+=，求88a a -+．【答案】（1）23； （2）18．【解析】（1）1222()225a a a a --+=++=，2223a a -∴+=；15a a -+= 0a ∴>， 11220a a-∴+>，112122()27a a a a --+=++=， 1122a a -∴+ 112122()23a a a a ---=+-=， 1122a a-∴-=（2）222(22)2229a a a a --+=++=， 22227a a -∴+=，332288(2)(2)(22)(212)a a a a a a a a ----+=+=+-+， 883618a a -∴+=⨯=．【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用，综合性较强，注意对解题方法的归纳总结．【作业1】 若2a =a 的小数部分是b ，则a b ⋅的值是（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．2【答案】B ．【解析】425<+，42b a ∴=-，2)1a b ∴⋅==． 【总结】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的综合运用．【作业2】 下列语句中正确的是() A ．500万有7个有效数字B ．0.031用科学记数法表示为33.110-⨯C ．台风造成了7000间房屋倒塌，7000是近似数D ．3.14159精确到0.001的近似数为3.141 【答案】C ．【解析】500万有三个有效数字，故选项A 错误；0.031用科学记数法表示为23.110-⨯，故选项B 错误； 3.14159精确到0.001的近似数为3.142，故选项D 错误．【总结】本题考查了科学记数法和有效数字的应用．【作业3】按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：（1）0.76589（精确到千分位）；（2）289.91（精确到个位）；（3）320541（保留三个有效数字）；（4）41.42310⨯（精确到千位）．【答案】（1）0.766；（2）290；（3）53.2110⨯；（4）41.410⨯．【解析】（1）0.765890.766≈；（2）289.91290≈；（3）5320541 3.2110≈⨯；（4）441.42310 1.410⨯≈⨯．【总结】本题主要考查的是近似数和有效数字以及科学记数法的综合运用．【作业4】计算：（1；（2（3．【答案】（1）565；（2）542；（3）【解析】（1151362555⨯=；（2315424222=⨯=；（311136223323⨯÷=⨯=【总结】本题主要考查了无理数的乘除运算．【作业5】计算：（1（2【答案】（1）7125；（2）132．【解析】（1111111732342412 55555+-=⋅÷==；（25151112262632222222+-+=⋅÷⋅==．【总结】本题主要考查了根式的乘除运算．【作业6】计算：（1）129()25-；（2）111344(882-⨯；（3）11123227()([(]64----+；（4）11222[(23)(2]-++-．【答案】（1）365；（2）11-；（3）43-（4）16．【解析】（1）129()253351655=++=；（2）111344(882--⨯31442(28)225=--⨯÷65=--11=-；（3）11123227()([(]64----+4433=-+=-（4）11222[(2(2]-+211221(2(2=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦16=．【总结】本题主要考查了根式及有理数指数幂的混合运算．【作业7】计算：（1；（2．【答案】（1）35x-；（2）1724a．【解析】（135x-===；（21724a=．【总结】本题主要考查了根式的运算及有理数指数幂的化简．【作业8】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．【答案】2-．0)a>2a b2816bab--【解析】122<<，1a ∴=，1b ，22168161)81)8ab b ∴--=-⨯-⨯=-， 2168ab b ∴--的立方根是2-．【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的综合应用．【作业9】 如果223311320x a x b x x ⎛⎫⎛⎫-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求232(43)a b b +-的值．【答案】0．【解析】223311320x a x b x x ⎛⎫⎛⎫-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 33130x a x ∴-+=，120x b x ++=，3313x a x ∴+=， 2211()(1)3x x a x x ∴+-+=， 即211()()33x x a x x ⎡⎤∴++-=⎢⎥⎣⎦， 120x b x ++=， 12x b x∴+=-， 22(43)3b b a ∴--=， 232(43)0a b b ∴+-=． 【总结】本题主要考查了非负数的性质及立方和公式的综合应用．【作业10】 已知21xa ，求33x xx xa a a a --++的值．【答案】1．【解析】33x x x xa a a a--++22()(1)x x x x x x a a a a a a ---+-+=+ 221x x a a -=-+，221x a =， 21x a -∴，2211111x x a a -∴-+-=．【总结】本题主要考查指数幂的化简与求值，利用立方和公式是解决本题的关键．【作业11】 若[]x 表示不超过x 的最大整数（如2[]3[2]33π=-=-，等），求++的值． 【答案】2016．++⋅⋅⋅+【解析】=++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++⋅⋅⋅+1112016=．【总结】本题主要考查了取整计算，正确利用已知条件中的概念及相关性质进行化简．。

典型例题：例1：5 - 2的相反数是（ ），绝对值是（ ）；注：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a 的绝对值记作| a |，若a ≥0，则|a|=a ，不要把第二问答案写成|5 - 2|，而应是5 - 2；例2：在数轴上与数2距离为3的点所对应的数是（ ）；例3：若a ＞b ＞0，试比较b a b a 和a bba 的大小（求商法）考点2：实数的运算：实数的运算规则：在实数的范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。

实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减。

同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号的。

实数的运算结果：涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算是进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。

（无理数计算结果用无理数表示）1、若a ≥0，b ≥0，则ab = a ×b =ab2、若a ≥0，b ＞0，则ba= b a = bab（b ≠0）特别地：a 1 = aa （a ＞0）3、两道小题（注意根号中字母的正负）①（a -）² - 2| -a | - 33a +2a ② aa1-考点3：准确数 + 近似数 + 精确度 + 有效数字1、试一试，计算2、计算考点4:分数指数幂1、a nm=n m a （a ≥0） a 叫底数，nm叫指数 a nm -=（a1）n m= n m a 1）（ =nma1（a ＞0，m 、n 为正整数，n ＞1）2、a p ·a q = a q p + a p ÷ a q = a q - p（a p ）q = a pq（ab ）p= a pb ppba ）（ = p pb a注意：计算的基本原则①把底数化成一致，然后利用公式a p ·a q = a q p + ， a p ÷ a q = a q - p②把指数化成一致，然后利用公式 a pb p=（ab ）p，p p b a = pba ）（化简典型例题：乘方与开方互为逆运算，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算，给运算带来方便3、课堂作业设计。

七 年级 数学 学科 课题 实数的运算与分数指数幂知识梳理一、数轴 1、相反数：1°几何意义：在数轴上表示互为相反数的点，分别位于原点两边，且与原点的距离相等。

2°代数意义：只有符号不同的两个数，互为相反数。

规定：零的相反数是零。

2、绝对值：1°几何意义：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

2°代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

用式子表示为：()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a例1：已知31<<x ，化简下列各式： （1）1133--+--x x x x ； （2）x x -+-31。

3、两点间的距离公式：数轴上，点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点 间的距离AB =∣a －b ∣ 二、实数的大小比较1、在实数范围内有：负数小于零，零小于正数。

2、两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小。

3、从数轴上看，右边的数总比左边的数大。

4、特殊的比较两个实数（同正或同负）大小（1）求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法。

即由b a -大于、等于或小于0可判定a 大于、等于或小于b 。

例2：比较a 与()101<<a a的大小。

（2）求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数的大小的方法。

即由ba大于、等于或小于1，可判定正数a 大于、等于或小于b例3：若0>>b a ，试比较b a b a 与a bba 的大小。

(3)平方法：将两个数平方，再来判定两个数的方法。

例4：比较62+与223+的大小。

（4）求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法。

即对于符号相同的b a ,两数，若b a 11<，则b a >；若ba 11>，则b a <。

中考数学实数知识点总结一、实数的分类1.1 整数整数包括正整数、负整数和零，是实数的一个重要子集。

在数轴上，整数可以表示为一串无限的点，它们相互之间间隔为1，负整数在零的左边，正整数在零的右边。

1.2 分数分数是实数的另一个重要子集，它是整数之间的比值。

分数可以表示为a/b，其中a和b 都是整数且b不等于0。

在数轴上，分数可以表示为两个整数之间的一个点，例如1/2的位置在整数1和整数2之间。

1.3 无理数无理数是不能被表示为有理数的数字，例如根号2、π等。

无理数有无限个小数位，它们的十进制展开是无限不循环的，因此不能被写成分数的形式。

在数轴上，无理数是分布在有理数之间的一些点。

1.4 正实数和负实数正实数是大于零的实数，负实数是小于零的实数。

在数轴上，正实数在零的右边，负实数在零的左边。

1.5 有理数和无理数有理数是可以表示为整数或整数之间的比值的数，包括整数和分数。

无理数是不能被表示为有理数的数，它们的十进制展开是无限不循环的。

1.6 实数的包含关系实数的包含关系可以用以下图示表示：```无理数| || |负实数正实数| || |分数整数| || ||-----|零```二、实数的运算2.1 实数的加法和减法实数的加法和减法遵循着一般的数学规律，即满足交换律、结合律和分配律。

例如，对于任意实数a、b和c，有以下运算规律：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)a * (b + c) = a * b + a * c减法运算可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。

2.2 实数的乘法和除法实数的乘法和除法也遵循着一般的数学规律，包括交换律、结合律和分配律。

不过需要注意的是，实数的除法要求除数不为零。

例如，对于任意实数a、b和c，有以下运算规律：a * b = b * a(a * b) * c = a * (b * c)a /b = a * (1/b)，其中b不等于零2.3 实数的乘方和开方乘方和开方是实数运算中常见的操作，它们分别对应着幂运算和根号运算。

初一年级数学上期中考试复习解析：实数与
数轴
1、实数与数轴上的点是一一对应关系。

任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。

数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。

2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。

3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。

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初一年级数学角的定义期中考试复习要点：华东师大版数学期中考必备直线知识点：初一数学上册。

.1. 实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a 的绝对值记作a ．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．实数a 的相反数是a -． 2、两个实数的大小比较 两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样． 负数小于零；零小于正数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．3、数轴上两点之间的距离在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离为AB a b =-．知识结构知识精讲模块一：用数轴上的点表示实数用数轴上的点表示实数及分数指数幂【例1】 填空：（1________；π-的相反数________；0的的相反数是________．（2_______；=______；π-的绝对值是______；即∣π-∣=_____；0的绝对值是________．【例2】 不用计算器，比较下列每组数的大小：（1与 （2； （3）（4）π-与【例3】 比较大小：（1） 1.21-_____ 1.21-； （2）； （311；（4）_____【例4】）【例5】 如图，已知数轴上的四点A 、B 、C 、D、23-、122、，O 为原点，求线段OA 、OB 、OC 、OD 的长度． 思考：如何求线段BC ，AB ，AD ，BD ，AC 的长度呢?【例6】 下列各组数中，互为相反数的一组是( )A ．2-B ．2-C ．2-与12-D ．2-与2例题解析32-32-【例7】2的相反数是________；绝对值是________=________；3π-+________；若(22x =，则x =________．【例8】 如果实数a 、b 在数轴上表示如图所示，那么下列结论中，哪些结论是错误的?①0ab <；②0a b -<；③0a b +<；④a b -<．【例9】 在数轴上点A 所表示的数是3，点B 到点A 请写出点B 所表示的数．【例10】 如图，实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++．【例11】 用计算器，比较下列各组数的大小：（1）--（2）（3）与（4）--【例12】 已知24x =3，且x y x y +=--，求x y -的值．【例13】 数轴上表示1A 、点B ，点B 关于点A 的对称点为点C ．-2 P -1 0 1（1）求A ，B 两点之间的距离； （2）求点C 所表示的数是多少? （3）在数轴上描出点A ，B ，C ．1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m na a =≥(0)m naa -=>，其中m 、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．【例14】 把下列方根化为幂的形式：（1（2；（3（4【例15】 把下列分数指数幂化为方根形式： （1）2310；（2）233-；（3）431()5；（4）344-．知识精讲模块二：分数指数幂例题解析【例16】计算（口答）：（1）129；（2）12121；（3）12144-；（4）1364；（5）13125；（6）14256-．【例17】计算下列各值：（1）138()27；（2）131000-；（3）3416-；（4）0.832．【例18】计算下列各值：（1）14(1681)⨯；（2）21331010⨯；（3）1132(64)；（4）112228⨯．【例19】计算（结果表示为含幂的形式）：（1）213255⨯；（2）111362a a a÷⋅；（3）2134(8)-；（4）1336(35)⨯．【例20】把下列各式化成幂的形式：（1）2a（2）3a（3【例21】计算下列各值：（1）11632(23)÷；（2）43232(35)-⨯；（3）113481(0.064)-÷；（4）1427(48)-÷．【例22】利用幂的性质计算（结果表示为含幂的形式）：（1；（2）4；（3（4）4．【例23】已知34y，求2y x的值．【例24】计算：（1）121333342222⋅⋅⋅；（2）113291(1)()1664-÷-．【例25】利用幂的性质计算：（1；（2；（3）138a-【例26】已知：10a，10b=，求22310a b+的值．一、填空题：【习题1】把下列方根化为幂的形式.随堂检测（1=_____；（2=_____；（3=_____；（4=_____．【习题2】把下列方根化为幂的形式．（1（2（3【习题3】已知数轴上A、B、C三点表示的数分别是2-，，133，求A与B、A与C两点距离．【习题4】（11=________2=________2π=________；（2）当a<b时，a b-=________．【习题5】如果在数轴上表示a、b两个实数的点的位置如图所示，化简：a b a b-++．【习题6】计算：（1）3225；（2）2327；（3）3236()49；（4）3225()4-．【习题7】计算（将结果表示为方根的形式）：（1）1132222-⋅⋅；（2）13232555⋅÷；（3．【习题8】若a、b互为相反数，c、d的值.【习题9】不用计算器，比较下列各组数的大小：a 0 b（1（2）3-； （3）-- （4与32．【习题10】 数轴上的点A ，B ，C ，D依次表示为2．（1）在数轴上指出A ，B ，C ，D ；（2）求下列两点之间的距离：A 与D ，B 与C ．【习题11】 在数轴上点A 所表示的数是3，点B 到点A请写出点B 所表示的数．【习题12】 计算：（1）2334(9)； （2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y ÷．【习题13】 已知102α=，109β=，求124100αβ-的值．-2-102【习题14】 利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯；（2；（3）【习题15】 已知：4.251000x =，0.004251000y =，求11x y-的值．【作业1】 下列说法错误的是( )A ．数轴上的点和全体实数是一一对应的B ．a ，b 为实数，则0a b +>C ．实数中没有最小的数D ．实数中有绝对值最小的数 【作业2】 在实数范围内，下列判断正确的是()A ．若a b >，则22a b >B ．若a b =，则a b =C ．若2a =，则a b =D a b =【作业3】 求下列各数的绝对值和相反数：（1） （23； （3； （4）3.15π-．【作业4】 填空：（1）负数a 与它的相反数之差的绝对值是______；（2______；（3）点A A 表示的实数为________；（4）如果4a =2=，且0ab <，则a b +=_______；（5）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，21x -=，2y =，则式子20062()a b x cd y ++-- 的值是_______．【作业5】 比较大小（用“<”或“>”或“=”填空）．（1）；（2）4-_______；（3）；（411．【作业6】 如果实数b，那么b 的值是什么?【作业7】 已知数轴上A 、B 、C 、D 四点所对应的实数分别为 2.5-，123． （1）在数轴上描出四个点的大致位置； （2）求A 与D ，B 与C 两点的距离．【作业8】 a 、b 、c 三个数在数轴上的点如图所示，求a b c a c b -+---．【作业9】 用幂的运算性质计算：（1（2；（3．【作业10】 计算：（1）113481(0.064)-÷；（2）11232(4125)-；11 （3）243332(52)⨯； （4）11113322882(0.001)--⨯÷．【作业11】 若290x -=，2410y -=，求2x y +的值．【作业12】 已知13x x -+=,求1122x x -+的值．。

用数轴上的点表示实数教学目标1、 学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系.2、 会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较.3、 经历探索同一数轴上两点的距离的过程，感受数形结合思想，获得成功体验，激发学习兴趣. 教学重点及难点重点：理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义.难点：探索同一数轴上两点的距离. 教学过程设计一、 情景引入1．观察2．思考：（1）请将花篮中的有理数用数轴上的点表示出来.（2）你能将花篮中的无理数用数轴上的点表示出来吗？ [说明] 体现数轴的优势：直观、有序.2-25 -2 -30.1 23．讨论如何将无理数用数轴上的点表示出来？二、学习新课1．概念辨析（一）通过事例说明数轴为实数轴通过两个例子说明数轴上存在无理数对应的点. 问题1：无理数可以在数轴上表示出来吗？ （1） 在数轴上表示2 （2） 在数轴上表示π小结：说明数轴上存在无理数对应的点，数轴为实数轴. 问题2：怎样将任一个无理数在数轴上表示出来呢？例如：在数轴上表示34：34≈ 1.步骤：1、用计算器计算；2、取近似值，即设一个无理数t 在数轴上所对应的点为T ，可以利用与t 接近的一个有理数所对应的点对T 大致定位.[说明]关于问题1中的操作1、2的活动，是为回答一个无理数能否用数轴上的点来表示的问题.操作1选用2，是本章开始已研究过的无理数，根据已学过的知识将它转化为线段长，再在数轴上画出；操作2选用π，（E ）3-我们也可以通过圆的周长将它转化为线段长，在数轴上画出.通过这两个实例，可以说明数轴上确实存在与无理数对应的点，说明我们所认识的数轴是实数的数轴.注意，操作1中须回避勾股定理. （二）用实数轴解释实数的性质：类比有理数：有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念和大小比较方法，在实数范围内有相同的意义.一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数.实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大. 2．例题分析 （一）比较实数的大小例题1、比较下列每组数的大小：（1）65-与； （2）65与； （3）65--与； （4）10-与π；[说明] 1、在第二小题中，是用计算器求近似值，用比较近似值的方法完成大小比较.也可介绍面积法：面积越大的正方形的边长越长，将5、6分别看成面积为5、6的正方形的边长，然后比较大小.2、在第四小题中，取15.3<π，|10|15.3-<，得到|10|-<π，这里利用“中间量”来比较大小，介绍了一种用估值的方法比较大小.（二）借用数轴求两点的距离问题：本节课进一步感受到数与点能借助数轴达到完美结合，我们能否不用测量而用数字计算出线段的长？例题2、如图11-4，已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、32-、212、5-，O 为原点，求（1）线段OA 、OB 、OC 、OD 的长度.（2）求线段BC 的长度.[说明] 一是用绝对值的概念解释数轴上对应的实数与距离的关系，学生容易接受.二是探索两点的距离与数轴上对应的实数的关系.设计请学生先判断，再引导分析特征，总结规律，形成公式，感受形与数两相依. 3．问题拓展已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、243-、22、2-，求：（1）在数轴上描出点A 、B 、C 、D ； （2）线段AB 、BC 、CD 、AC 的长度.三、巩固练习课本P21页 练习12.5四、课堂小结总结本课知识的过程中，需点明三点：1． 数轴为实数轴；2． 实数与有理数类比同样有相反数、绝对值，并能进行大小比较.32-32-3．通过将实数在数轴上标示出来，通过研究同一数轴上两点的距离，感受数形结合的思想.五、作业布置练习册P6-8 习题12.5。

1.实数的分类实数实数的运算数的开方 运算性质分数指数幂 有理数指数幂 有理数 用数轴上的点表示实数无理数实数的分类运算法则及运算性质近似数及近似计算实数的复习 知识结构模块一 实数的分类与表示知识精讲⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎩⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零负整数有理数实数正分数分数可化为有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法．★数轴三要素：______________________________； 3．相反数：a ，b 互为相反数 a+b=0；4.绝对值：|a |=___________； 5．倒数：a ，b 互为倒数 即：ab =0；6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数.有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字； 7．科学计数法：N =________×__________.【例1】 填空：这些数中：5431610240.3313 1.53253325333295---。

、、、、、、有限小数有_________________________________________________； 无限小数有_________________________________________________； 有理数有________________________________________________； 无理数有_______________________________________________；例题解析实数有_______________________________________________；小数有______________________________________________．【例2】请你辨别：如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形图1边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个．【例3】下列语句正确的是（）A．3.78788788878888是无理数B．无理数分正无理数、零、负无理数C．无限小数不能化成分数D．无限不循环小数是无理数【例4】填空：（1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________；（2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________；（3）设实数a≠0，则a与它的倒数、相反数三个数的和等于____________，三个数的积等于______．【例5】填空：实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a___________0，a+b _______0，-+=________．--________0，化简2a a bb aa0b【例6】比较下列各式的大小：（1322；（22 1.4．【例7】指出下列近似数分别精确到哪一位，并回答有几个有效数字?（1）98.765；（2）98.765万；（3）12.30亿；（4）21.230010⨯．【例8】当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，它能环绕地球运行，已知第一宇宙速度的公式是v1gR(米/秒），第二宇宙速度的公式是v22gR (米/秒)，其中g=9.8米/秒，R=6.4×106米.试求第一、第二宇宙速度（结果保留两个有效数字）．【例9】a b c、、三个数在数轴上的点如图所示，化简：a b a c c b----+．【例10】点A 、B 在数轴上所对应的实数分别为23C 也在数轴上，且CA 为AB 的三分之一．求：B 、C 之间的距离?【例11】 比较下列各式的大小：（1）（2；（3【例12】 已知a ，5-b ，求：（1）a +b 的值； （2）a b -的值．【例13】当a=时，求：．【例14】化简下列各式：（12+；（2）343a-+-．x x1．平方根，2x a x a x ==若，则数叫做数的平方根记作_________；2．立方根:若33x a x a x a ==，则数叫做数的立方根记作； 3．N 次方根: 实数a 的奇数方根有且只有一个，用n a 表示；★实数a 的偶数方根有两个，为n a 、-n a ，其中a ＞0； 负数的偶次方根不存在； 零的n 次方根等于零，00n =；4．nmn ma a =(a ≥0)，1mnnmaa-=(a ＞0)，其中m 、n 为正整数，n ＞1．模块二：数的平方根、立方根及分数指数幂知识精讲例题解析【例15】 判断题：（1）－0.01是0.1的平方根．（ ）（2）－52的平方根为－5．（） （3）0和负数没有平方根．（ ）（4）因为116的平方根是±14,=±14．（）（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数．（ ）【例16】 判断题：（1）如果b 是a 的三次幂，那么b 的立方根是a ；（ ） （2）任何正数都有两个立方根，它们互为相反数；（ ）（3）负数没有立方根；（）（4）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0．（）【例17】 若22(5)a =-，33(5)b =-，则a +b 的值为（）A ．0B ．±10C ．0或10D ．0或－10【例18】 下列说法中，正确的是（ ）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 【例19】 将下列式子化成分数指数幂的形式：（1； （2； （3（4） （5【例20】（1x范围是________；（2）如果a＜0=________，2=________．【例21】用“<”、“>”或“=”号填空：（1（2）（3（4【例22】解答：（1250--=，求x和y的值；x y（22100b-=，求a+b的值．【例23】（1x分别是某整数的平方根，求这个整数；（2b3－27|=0，求(a－b)b的立方根．【例24】解答：（1）已知：10404=102，x=0.102，求x的值；（2）已知：318 2.621=，31.8 1.216=，30.180.565=，求318000000的值．实数的运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；若有括号，先算括号内的值；同一级运算应从左至右，按顺序进行；若需改变运算顺序，必须依据运算律进行.【例25】计算：（1）81832++；（2）271275-+；（3）1 23273+-．模块三：混合运算知识精讲例题解析【例26】 计算：（1； （2（30+； （41．【例27】 计算：（1）1|1；（2）2313()|12-----【例28】 计算：（1）113391.5()4-⋅--；（2）31124492[()]()43--⋅．【例29】 计算：（1 （2（1x ≥）．【例30】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如2m n ±的化简，只要我们找到两个数a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22()()a b m +=，a b n ⋅=，那么便有：22()m n a b a b ±=±=±()a b >例如：化简743+解：首先把743+化为7212+，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即22(4)(3)7+=，4312⨯=∴743+=7212+=2(43)23+=+（1）由上述例题的方法化简：13242-；（2）化简：①1146-； ②59246+．一、填空题：随堂检测【习题1】 判断正误：（1）有理数包括整数、分数和零；（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数；（ ）（3）不带根号的数都是有理数；（ ） （4）带根号的数都是无理数；（ ）（5）无理数都是无限小数；（ ） （6） 无限小数都是无理数．（）【习题2】 m 是一个整数的平方数，那么和m 相邻且比它大的那个平方数是（）A ．mB ．m +1C ．m 2+1D ．以上都不对【习题3】 下列各式中，无意义的是（）ABCD【习题4】 |x － ）A ．±8B ．8C ．与x 的值无关D ．无法确定【习题5】 15三个数的大小关系是（ ）A ． BC ． D【习题6】 （1）若xy =1x y -=，则(1)(1)x y +-=______；（2与2b +是互为相反数，则2()a b -=______．【习题7】 计算：（1）；（2【习题8】 一个正方体的体积是28360厘米3，试估算正方体的棱长(保留3个有效数字)；【习题9】 计算：（1； （2）210(2)(1---．【习题10】 （1）若x 、y 都是实数，且y +8，求x +3y 的立方根；（2【习题11】 解答：（1）已知3x ，求329627x x x +++的平方根；（2）已知221110a b-+-+=，求ab的算术平方根．【作业1】写出下列数字精确到哪一位，有效数字有几个?分别是什么?71.72310⨯48.3110-⨯20000210.000【作业2】填空：（1___________；（2_________ ；（3___________；（4）64的4次方根是_____________；（5）81的六次方根是____________；（6）50-的5次方根是_____________．【作业3】数轴中有3个点，其中点a的算术平方根是3，点b表示的是面积为10的正方形的边长，点c表示的是9.8的正平方根，将a、b、c从小到大排列．【作业4】按要求写出下列数字：（1）987654321 精确到百位；（2）0.0012345 保留四个有效数字．【作业5】将下列分数指数幂化成方根的形式：（1）1522；（2）231()2-；（3）22331()22-；（2）43521(())2．【作业6】 计算：（1）)1318+-（2）22+．【作业7】 a b ，【作业8】 物体自由下落的高度h (米)和下落时间t (秒)的关系是：在地球上大约是h =4.9t 2,在月球上大约是h =0.8t 2,当h =20米时，（1）物体在地球上和在月球上自由下落的时间各是多少？ （2）物体在哪里下落得快？【作业9】 已知4-a ，求(6)a a -的值．【作业10】 （1）已知2(20a a b c +-+=，求abc 的平方；（2x 求2500x -的立方根．【作业11】 已知22a b c +=，且a b ==2c 的平方根．【作业12】 已知x y 、的绝对值相等，a b 、互为倒数，c 的绝对值等于2，4是z 的一个立方根根，求22x y ab --。

北京市房山区周口店中学七年级数学《用数轴上的点表示数》教案 人教新
课标版
㈡探索新知：在温度计上显示的两个温度，上边的温度总比下边的温度高，例如，5℃在-2℃上边， 5℃高于-2℃；-1℃在-4℃上边，-1℃高于-4℃．
把温度计与数轴类比，在数轴上表示的两个数，位置与大小有怎样的关系？
－3＜23 ＜－1＜0＜4
7＜3＜5 ⒉观察数轴，找出符合下列要求的数：
(1)最大的正整数和最小的正整数；
(2)最大的负整数和最小的负整数；
(3)最大的整数和最小的整数；
(4)最小的正分数和最大的负分数．
㈣课堂练习
⒈P24－25练习
⒉比较下列每对数的大小
⑴－2 3 ⑵0 0.01
⑶－3 －9 ⑷32 4
3 第 页
⒊把下列各组数从小到大用“＜”号连接起来：
(1)3，-5，-4； (2)-9，16，-11；
㈤小结：教师指出这节课主要内容是利用数轴比较两个有理数的大小，进而要求学生叙述比较的法则． ㈥检测：⒈填空：最小的正整数是 ；最大的负整数是 ；最小的自然数是 ⒉把下列各组数从小到大用“＜”号连接起来
⑴4 －3 7 ⑵－10 5 －15
⑶21 0 －2
1 ⑷－1.3 5 0.05 课后小结：
第 页。