实变函数论与泛函分析课后答案

.

. 第一章习题参考解答

3．等式)()(CBACBA成立的的充要条件是什么？

解： 若)()(CBACBA，则 ACBACBAC)()(.

即，AC.

反过来, 假设AC, 因为BCB. 所以, )(CBABA. 故,

CBA)()(CBA.

最后证，CBACBA)()(

事实上，)(CBAx, 则Ax且CBx。若Cx，则CBAx)(；若Cx，则Bx，故CBABAx)(. 从而, CBACBA)()(.

AACBACBAC)()(. 即 AC.

反过来，若AC，则 因为BCB所以)(CBABA 又因为AC，所以)(CBAC故 )()(CBACBA

另一方面，AxCBAx)(且CBx，如果Cx则 CBAx)(；如果,Cx因为CBx，所以Bx故BAx. 则 CBAx)(. 从而CBACBA)()(

于是，)()(CBACBA

4．对于集合A，定义A的特征函数为AxAxxA,0,1)(， 假设nAAA,,,21是一集列 ，证明：

（i）)(inflim)(inflimxxnnAnnA

（ii）)(suplim)(suplimxxnnAnnA

证明：（i）)(inflimnnmNnnnAAx，N0n，0nm时，mAx.

所以1)(xmA，所以1)(inf0xmAnm故1)(infsup)(inflimxxmnAnmNbAn .

. NnAxnninflim，有nkAxnnnm

有0)(inf0xAxmnkmAnmAk，故0)(infsupxmAnmNb ，即)(inflimxnAn=0 ，从而)(inflim)(inflimxxnnAnnA

5．设}{nA为集列，11AB，)1(11iAABjijii 证明

（i）}{nB互相正交

（ii）iniiniBANn11,

证明：（i）mnNmn,,；不妨设n>m，因为mnininnAAAAB11，又因为mmAB，所以mnmnnBAAAB，故 mnBB，从而 1}nnB相互正交.

（ii）因为)1(nii，有iiAB，所以iniiniAB11，现在来证：iniiniBA11

当n=1时，11BA；

当1n时，有：iniiniBA11

则)()()()()(11111111111inininiinininininiiniBBBAAAAAA

事实上，iniAx1，则)1(nii使得iAx，令niAxiii1|min0且

则 iniiiiiiBBAAx111000，其中，当10i时，iiiA110，从而， iniiniBA11

6．设)(xf是定义于E上的实函数，a为常数，证明：

（i）})(|{axfxE=}1)({1naxfn

(ii)})(|{axfxE=}1)({1naxfn

证明：（i）})(|{axfxExEx且axf)(

}1)(|{1)(,naxfxExExanaxfNn且使得

x})(|{}1)(|{1axfxEnaxfxEn}1)(|{1naxfxEn

反过来，NnnaxfxxExn},1)(|{1，使}1)(|{naxfxEx .

. 即Exanaxf且1)( 故})(|{axfxEx

所以 })(|{}1)(|{1axfxEnaxfxEn 故

}1)(|{})(|{1naxfxEaxfxEn

7．设)}({xfn是E上的实函数列，具有极限)(xf，证明对任意常数a都有：

}1)(|{inflim}1)(|{inflim})(|{11kaxfxEkaxfxEaxfxEnnknnk

证明：NkaxfxEx},)(|{，即kaaxf1)(，且Ex

因为Nnxfxfnn，)()(lim，使nm，有kaxfn1)(，故

，)}(1)(|{nmkaxfxExm 所以x}1)(|{kaxfxEmnm

}1)(|{kaxfxExmnmNn= }1)(|{inflimkaxfxEmn，由k的任意性：

}1)(|{inflim1kaxfxExnnk，反过来，对于}1)(|{inflim1kaxfxExnnk，Nk，有 }1)(|{inflimkaxfxExmn= }1)(|{kaxfxEmnmNn，即nmNn，时，有：kaxfm1)(且Ex，所以，kaxfxfmm1)()(lim且Ex.k又令，故 Exaxf且)( 从而})(|{axfxEx

故 })(|{axfxE=}1)(|{inflim1kaxfxEnnk

8． 设)}({xfn是区间（a，b）上的单调递增的序列，即

)()()(21xfxfxfn

若)(xfn有极限函数)(xf，证明：Ra，})({})({1axfEaxfEnn

证明： })({axfEx，即：Ex且axf)(，因为)()(limxfxfnn

所以00,nnNn，恒有：E)(xaxfn且，从而，})({0axfExn

})({1axfEnn .

. 反过来，NnaxfExnn01},)({，使})({0axfExn，故0nn，因此，

axfxfxfnnn)()()(lim0且Ex,即，})({axfEx，

从而，})({})({1axfEaxfEnn

10．证明：3R中坐标为有理数的点是不可数的。

证明： 设Q为有理数集，由定理6：Q是不可数的。

现在证：zyxzyxQQQ,,|),,{(}都是有理数可数Qx，因为QQ

)}({QxQx是可数个有理数集的并，故可数，

又因为)}({QQQQxQQx并且QQQQxQx~}{，，所以QQx}{可数

故QQQ可数

14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数

证明： 设Q为可数集，不妨记为：},,,,,{321nrrrrQ

Nn,令}},,,,{|{321nnrrrraaA则 n为有限集（n2n），则

nNnA为正交可数集，即0nC

又因为AQxxQ|}{~，所以AQC0 ，故0CA

A是Q上一切有限子集的全体。

15．设是两两不相交的集所组成的集列，证明：

nnnnEElimlim

证明： 因为{,,21EE}两两不相交，所以，mnmENn,，故

11)(limnmnmnnnEE

另一方面，若)(lim1mnmnnnEE，我们取nnExlim0

则knNkk,，使得knEx.特别的，当 Nk1时，nExn有,11，当11nk时：211221,ExnnknNn，有（)21nn 从而，21nnEEx .

. 这与21nnEE矛盾，故nnElim

从而nnnnEElimlim

16．若集A中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即A=}{21xxa，而每个指标ix

在一个势为C的集中变化，则集A的势为C。

证明：设ix在势为C的集合中变化，即A=121}),,(|{21iixxBxxa

因RBRBiiii:,~ 是既单又满的映射，

定义 1211),,(;:iiiiBxxxRB,)),(),((),,()(2121xxxxx

故RBii到是1得既单又满的映射,从而，RBAii~~1

从而 CRA

17．设nnA1的势是C，证明至少有一个nA的势也是C。

证明：因为nnnAANn1,，所以CAAnnn1

如果CANnn,，则CANnn,，即，nA正交可数，从而，nnA1正交可数.

这与CAnn1矛盾.

故，n,使CAn.

18．证明：[0,1]上的实函数全体具有势C2

证明：设]}1,0[|{AA，则C2

记[0，1]上全体是函数所构成的集合为

对于x，定义函数

AxAxxA.0,1)( ,即A是集合A的特征函数。

]1,0[|AA C2 .

. 另一方面，f，定义 ]}1,0[|))(,{(xxfxBf

则 2RRRBf，}|{2RRBBR，则CR22

}|{~fBf2R，所以 CR22，从而，C2

20．证明：nR中孤立点集市有限或可数集

证明：Ex中，E是nR的一些孤立点所构成的集合

由定义，0x，使得}{),(xExOx.现在令 }|)2,({ExxOx，

则中任意二领域是不相交的

事实上，若yxEyx,,，有)2,()2,(yxyxO

取)2,()2,(yxyxOz，并且不失一般性设：yx，则

yyxyzzxyx22),(),(),(.故 }{)2,()2,(yyxOxyx，这推出yx，这与yx矛盾.

Ex，取一个有限点)2,(xxxOr，则，当，yxrryx,所以}|{~ExrEx，故}|{ExrEx .E正交可数.

19．设|{0xEREn，}的内点是Ex称为E的内点集，证明：0E是开集。

证明：0Ex，因为x为E的内点，0使得：Exx),(，现在证：

0),(Exx

事实上，),(xxy，取0|y-x|

则Exxyy),(),(，故0Ey，从而，0),(Exx，即0E中每个点都是0E得内点

因此，0E为开集