实变函数论课后答案第二章2

实变函数论课后答案第二章2

第二章第二节习题

1.证明点集F为闭集的充要条件是FF.

证明：因为'FFF，若F为闭集，则'FF

所以'FFFFFFF

故FF

反过来，若'FFFF，则必有'FF

从而F为闭集.

2.设fx是,上的实值连续函数，证明对于任意常数a，;xfxa都是开集，

;xfxa都是闭集.

证明：任取常数a，若 0;xxfxa，则0fxa，由于fx连续，0,0ax，

使00,,;axxNxxfxa.

这表明;xfxa是开集.

任取常数a，若;nxxfxa，且0nxx，则从nfxa和fx连续知

0limnnfxfxa

故0;xxfxa

这表明';;xfxaxfxa.

故;xfxa是闭集.

3.证明任何邻域,Np都是开集，而且'',;,Npppp（N通常称为一闭邻域）

证明：0,pNp，则00,pp

0,QNp，00,,,QpQppp

故0,,NpNp.

故,Np是开集得证. '''';,,;,npppppppp且npp

则,0,,nnpppp

,,,,nnnpppppppp.

令n得,0pp.

故''''';,;,pppppp.

表明'';,ppp是闭集.

又'';,pppp

令11kpxpkk，

则111,1,1,1kpxpppppkkkk.

1,,0kxpppk

故,,kkxNpxp

这表明''';,,,pppNpNp

而'',;,Npppp

故'''',;,;,,NpppppppNp

这表明'',;,Npppp.

4.设是一有限闭区间，1,2,3,nFn都是的闭子集，证明如果1nnF，则必有正整数N，使1NnnF.

证明：令1nniiSF，则显知11nnnnFS，且12nSSS

,1inFin为闭集，故nS也为闭集.

下证 N，使1NnNnFS.

反证，设,nnS，则nnxS， 由于是有限闭区间，nx是有界点列，

若,1,2,3,nxn为无限集合，则由聚点原理nx的子列00,,kknnxxxx

由于12nSSS

故任取,mNk充分大时kknnmxSS，又mS为闭集，且0knmxxS

由m的任意性知，011mnmmxSF得矛盾.

若,1,2,3,nxn为有限集合，则

0n，当00max,nnm时，0nnmxxSS，

故 011mnmmxSF得矛盾.

所以 N，使得1NNnnSF.

证毕.

设,nER是一族完全覆盖E的开邻域，则有中的(或有限)多个邻域12,,,mNNN，它们也完全覆盖了E（ Lindelof定理）

证明：设;,I为某指标集，则EI.

,xE x，使得xxI.

由于I是开集，0x使,xNxI.

由有理点在nR的稠密性易知，存在有理点nxaQ和有理数0xr，使

,,xxxxNarNxI，而nR中全体以有理点为心，有理数为半径的球作成集合与nQQ的一个子集对等，故这些,;xxNarxE至多是一个可数集，从而相应的

;xIxE也是至多可数集.

而这些;xIxE显然为E的一个开覆盖，因为,xxxxExEENarI

因为每一个上述,xxNar包含在某个I中，故存在至多可数个iIM，使

;iIi成为E的一个开覆盖. 1. 证明nR中任何开集G可表成1niiGI的形式，其中

12;,,,,,1,2,3,,niiinjjjIppxxxcxdjn

证明：（注意这里并为要求niI互不相交）

设G为nR中的任意开集，则0xG，由开集的定义，一个球形邻域

000,0xxNxG，令00001200,,,;xxxnjxjIxxxxxxnn

则显然0000,xxxINxG，且xxGGIG.

故xxGGI，xI显然是开区间，也是开集，

,xIxG为G的一个开覆盖.

由本节习题5，中的至多可数个123,,,,,nIIII完全覆盖了G

所以1iiGIG.

所以1iiGI，iI都是开区间.

故本题结论得证.

2. 试根据Borel有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass 定理.

证明：反证，设E为有限无穷点集而无聚点，则'E，从而'EE，

故E为有界闭集，且任意pE，都是E的孤立点.故0p使

,pNpEp ，所以,ppEENp.

,pNp形成E的一个开覆盖，由于E为有界闭集，由Borel有界覆盖定理，

有限个11,,,,,mpmpNpNp，使1,imipiENp

111,,iimmmipipiiiiEENpENpp.

前已知,iipiNpEp.

故1miiEp为一有限集合，这与E为有界无穷集矛盾.

8. 证明nR中任意非空开集的基数都是c. 证明：开集nUR，显从nUR知nURc.

又存在一个点00,0,,pUNxU，0,Nxc，

故0,UNxc.

所以Berrstein定理知Uc.

证毕

9. 证明对任意nER，E都是nR中包含E的最小闭集.

证明：任取nER，设F是包含E的人一闭集，则EF，''EF

所以''EEEFFF，因为F为闭集

所以''EFF，所以E是nR中包含E的最小闭集.

10. 对于1R定义的实函数fx，令''''00,limsupliminfxxxxWfxfxfx.

证明：对任意的0,;,xWfx都是闭集.进而证明fx的全体不连续点作成一F集.

证明：首先 ，当单调下降趋于0时，''supxxfx也单调下降趋于某极限（有限或无限）

而''infxxfx单调上升地趋于某极限.

故''''00,limsupliminfxxxxWfxfxfx是有确切定义的（可为无限值）

先证明：fx在0xx连续0,0Wfx.

证：先设0,0Wfx，则00,0使00时

''''supinfxxxxfxfx

所以y满足0yx时

''''0supinfxxxxfyfxfxfx

故f在0x处连续.

反过来，若fx在0xx处连续，则0000,,0x，

当00yx时，0fyfx 又000,x，''''''00,,,yyyxyx

且'''''''sup,infxxxxfxfyfyfx

所以'''00supxxfxfxfyfx

''''00infxxfxfxfxfy

不等式相加得

''''''''00supinf220limsupliminf4xxxxxxxxfxfxfxfx

即00,4,0Wfx任意.

所以0,0Wfx

为证0;,xWfx为闭集，只用证0;,xWfx为开集.

00;,xxWfx

必有0,Wfx

所以存在00,0x使00,时，

000supinf,2NxNxffWNx

02yNx，由三角不等式，则02NyNx.

故02,,WfNyWfNx

所以02,lim,WfyWfNy

这说明02;,NxxWfx

故;,xWfx是开集，从而;,xWfx是闭集.

由于fx在x不连续的充要条件是,0Wfx. 所以使x不连续的点集为表为11;,kFxWfxk.

由于1,;,kxWfxk是闭集，故F为一F集.

同时我们看出，全体使f连续的点集是11;,ckFxWfxk

这是一个G集合.

推广：（1）对1:nfRR有一样的结论，只不过在定义,Wfx时，'xx理解为nR中的距离';xx，其它完全一样，因为三角不等式对.,.成立，

（2）若f是nR中的开集，G到1R的函数，则同样可定义,WfxxG，因为当0,;,,xxGWfx为开集，;,xGWfx为闭集.

f的不连续点集为11;,kxGWfxk

而f的不连续点集为11;,kxWfxk.

11. 于nER及实数，定义1212,,;,,,nnExxxxxxE.证明当E为开集，00,pE，则 0E，使00p

E开集，0E，故0，使0,NE.

则0,yN，则yy

而0001yyy.

故0,yNE从而yyE

这表明0,NE，故E为开集.

若E为闭集，0，则0,0,0E为单点集.当然是闭集，若0，则