基于Serret-Frenet坐标系的翼伞系统轨迹跟踪控制

frenet坐标系与cartesian坐标系的转换公式简单推导1. 引言1.1 概述在多个领域中，如计算机图形学、机器人技术和车辆控制等，经常需要描述和处理曲线或路径。

而对于曲线的描述方法有很多种，其中Frenet坐标系与Cartesian坐标系是两种常用的描述方法。

本文将介绍Frenet坐标系与Cartesian坐标系之间的关系及转换公式的推导过程。

1.2 文章结构本文将分为五个部分进行讨论。

首先，在引言部分，我们将对文章进行概述并介绍文章的结构安排。

接下来，在第二部分中，我们将简要介绍Frenet坐标系和Cartesian坐标系，并概述它们之间的转换关系。

然后，在第三部分中，我们将详细推导Frenet坐标系到Cartesian坐标系的转换公式。

紧接着，在第四部分中，我们将推导Cartesian坐标系到Frenet坐标系的转换公式。

最后，在结论部分，我们将总结本文所得出的结果以及对于Frenet坐标系与Cartesian坐标系转换的一些应用和展望。

1.3 目的本文旨在通过推导Frenet坐标系与Cartesian坐标系之间的转换公式，帮助读者更好地理解它们之间的关系和应用。

同时，本文也将为那些需要在实际问题中使用Frenet坐标系和Cartesian坐标系进行描述与处理的研究者提供一个参考和指导。

2. Frenet坐标系与Cartesian坐标系的关系2.1 Frenet坐标系简介Frenet坐标系是一种常用于描述曲线路径的数学工具，它基于曲线上某一点处的曲率和切向量进行定义。

在Frenet坐标系中，曲线上的点可以由两个参数表示：弧长参数（s）和偏航角（θ）。

弧长参数是从曲线起点到所考虑点的路径长度，而偏航角则指示切向量相对于固定方向（通常为x轴正方向）的旋转角度。

2.2 Cartesian坐标系简介Cartesian坐标系是我们最熟悉的平面直角坐标系，其中每个点都可以由其在水平轴（x轴）和垂直轴（y轴）上的位置表示。

基于Nussbaum增益方法的UUV路径跟踪控制齐雪;才治军【摘要】研究有界控制输入下欠驱动水下机器人（ UUV）路径跟踪问题。

UUV 的水下运动通常靠推进器来实现，推进器所产生的推力大小受推进器形状、电力、水流情况以及UUV外形所决定，并且推力大小有一定的变化范围，这就要求对UUV进行控制器设计时要考虑控制的有界性这一限制。

本实验以UUV路径跟踪为控制目标，引入一个辅助系统和Nussbaum增益函数来解决控制输入有界约束问题，其中辅助系统用来实现有界输入控制设计问题，Nussbaum增益用来估计控制器未知参数。

通过Lyapunov稳定理论和仿真分析表明，所设计的控制器在保证闭环系统稳定的同时能使系统的控制输入增益始终保持在实际约束的范围内。

%Path following control problem of underactuated underwater vehicle( UUV)with bounded control input is studied in this paper. The underwater movement of UUV is usually achieved by the propeller. The thrust gen-erated by the propeller is determined by the shape,power,water flow and UUV shape,and there is a certain ex-tent of the thrust force,which is required to be considered in the UUV controller designing process. In this pa-per,based on the UUV path following control target,an auxiliary system and Nussbaum gain functions are pro-posed to overcome the problem of input constraint. Based on Lyapunov stability theorem and simulation analysis, the designed controller can keep the closed-loop system stable and make the system control input gain always stay within the scope of the actual constraints as well.【期刊名称】《安徽科技学院学报》【年(卷),期】2016(050)002【总页数】8页(P51-58)【关键词】欠驱动水下机器人;路径跟踪;有界控制;Nussbaum增益【作者】齐雪;才治军【作者单位】安徽科技学院信息与网络工程学院，安徽凤阳 233100;安徽科技学院财经学院，安徽凤阳 233100【正文语种】中文【中图分类】TP242.6欠驱动水下机器人(UUV)动力学系统中各自由度相互耦合，水动力系数受UUV自身运动和外界环境的影响而发生变化，所以UUV动态系统是一个复杂的非线性控制系统，对于此系统控制问题的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。

欠驱动自主水下航行器空间曲线路径跟踪控制研究苗建明;王少萍;范磊;李元【摘要】针对具有模型不确定性和输入饱和的欠驱动自主水下航行器(AUV),提出一种基于改进反步法的简单实用三维空间曲线路径跟踪鲁棒控制器.在Serret-Frenet坐标系下建立了空间曲线路径跟踪误差模型,结合视线角制导和虚拟向导法,设计了基于李雅普诺夫理论和改进反步法的运动学和动力学控制器.不同于传统的积分器反步法,该方法在控制器设计中采用跟踪误差的积分来增加控制器的鲁棒性,不会增加系统的状态变量和计算量;针对设计的运动学控制器存在非因果现象的问题,借助动力学模型求解出运动学控制器表达式;针对传统反步法存在的“微分爆炸”现象及动力学控制器过于复杂的问题,采用非线性跟踪微分器对控制器进行简化.仿真结果表明:采用所设计的基于改进反步法的控制器能够实现欠驱动AUV在模型参数不确定性和输入饱和作用下的三维空间曲线路径跟踪控制,控制精度和鲁棒性明显优于常规反步法.%Based on the modified back-stepping technique,a simple and robust spatial curvilinear path following controller for the underactuated autonomous underwater vehicles (AUVs) with model uncertainties and input saturation is presented.A path following error dynamics model is constructed in a moving Serret-Frenet frame,and the kinematic controller and dynamic controller are developed based on line-ofsight (LOS) guidance algorithm and virtual moving targetmethod.Differing from the traditional integrator backstepping technique,the proposed method is to introduce the integral tracking errors into the controller design to improve the robustness against the uncertainties.The dynamic model is used to solve the non-causal formcaused by the coupled underactuated degrees.The nonlinear tracking differentiators (NTDs) are employed to construct the numerical solution of differential virtual control commands to tackle the problem of "explosion of terms" in the traditional back-stepping process,and the dynamic controller expressions are simplified.Simulations demonstrate that the designed controller realizes the spatial curvilinear path following control of underactuated AUV with model parameter uncertainties and input saturation,and its accuracy and robustness are more excellent than those of the traditional back-stepping control.【期刊名称】《兵工学报》【年(卷),期】2017(038)009【总页数】11页(P1786-1796)【关键词】控制科学与技术;欠驱动AUV;空间曲线路径跟踪;反步;李雅普诺夫理论【作者】苗建明;王少萍;范磊;李元【作者单位】北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100083;中国船舶重工集团公司第710研究所,湖北宜昌443003;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100083;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100083;61267部队第41分队,北京101114;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TP242.3Abstract: Based on the modified back-stepping technique, a simple and robust spatial curvilinear path following controller for the underactuated autonomous underwater vehicles (AUVs) with model uncertainties and input saturation is presented. A path following error dynamics model is constructed in a moving Serret-Frenet frame, and the kinematic controller and dynamic controller are developed based on line-of-sight (LOS) guidance algorithm and virtual moving target method. Differing from the traditional integrator backstepping technique, the proposed method is to introduce the integral tracking errors into the controller design to improve the robustness against the uncertainties. The dynamic model is used to solve the non-causal form caused by the coupled underactuated degrees. The nonlinear tracking differentiators (NTDs) are employed to construct the numerical solution of differential virtual control commands to tackle the problem of “explosion of terms” in the traditional back-stepping process, and the dynamic controller expressions are simplified. Simulations demonstrate that the designed controller realizes the spatial curvilinear path following control of underactuated AUV with model parameter uncertainties and input saturation, and its accuracy and robustness are more excellent than those of the traditional back-stepping control.Key words: control science and technology; underactuated AUV; spatial curvilinear path following; back-stepping; Lyapunov’s theory随着自主式水下航行器(AUV)在海洋研究和开发领域的应用越来越广泛，路径跟踪控制已经成为AUV运动控制的重要技术之一[1-3]。

一种基于Frenet坐标系的优化轨迹动作规划方法动作规划动作在无人车规划模块的最底层，它负责根据当前配置和目标配置生成一序列的动作。

本文介绍一种基于Frenet坐标系的优化轨迹动作规划方法，该方法在高速情况下的高级车道保持和无人驾驶都具有很强的实用性，是目前普遍采用的一种动作规划算法。

基于Frenet 坐标系的动作规划方法由于是由BMW 的Moritz Werling 提出的，为了简便，我们在后文中也会使用Werling 方法简称。

在讨论基于Frenet 坐标系的动作规划方法之前，我们首先得定义什么是最优的动作序列：对于横向控制而言，假定由于车辆因为之前躲避障碍物或者变道或者其他制动原因而偏离了期望的车道线，那么此时最优的动作序列（或者说轨迹）是在车辆制动能力的限制下，相对最安全，舒适，简单和高效的轨迹。

同样的，纵向的最优轨迹也可以这么定义：如果车辆此时过快，或者太接近前方车辆，那么就必须做减速，具体什么是“舒适而又简单的”减速呢？我们可以使用 Jerk 这个物理量来描述，Jerk 即加速度的变化率，也即加速度，通常来说，过高的加速度会引起乘坐者的不适，所以，从乘坐舒适性而言，应当优化Jerk 这个量，同时，引入轨迹的制动周期 T, 即一个制动的操作时间：▌为什么使用Frenet 坐标系在Frenet 坐标系中，我们使用道路的中心线作为参考线，使用参考线的切线向量 t 和法线向量 n 建立一个坐标系，如下图的右图所示，这个坐标系即为Frenet 坐标系，它以车辆自身为原点，坐标轴相互垂直，分为 s 方向（即沿着参考线的方向，通常被称为纵向，Longitudinal）和 d 方向（即参考线当前的法向，被称为横向，Lateral），相比于笛卡尔坐标系（下图的作图），Frenet 坐标系明显地简化了问题，因为在公路行驶中，我们总是能够简单的找到道路的参考线（即道路的中心线），那么基于参考线的位置的表示就可以简单的使用纵向距离（即沿着道路方向的距离）和横向距离（即偏离参考线的距离）来描述，同样的，两个方向的速度（和）的计算也相对简单。

2009年第四届国际会议计算机科学与教育的报告基于光电传感器的智能汽车系统的跟踪控制算法作者：郝先伟厦门大学自动化系厦门，中国孙鸿飞厦门大学自动化系厦门，中国摘要—本文对目标识别和轨迹技术进行了分析。

在光电传感器的基础上，人们提出了跟踪控制算法。

该算法利用了地点的误差和路线的信号作为输入的参数，来规范舵机输出角。

这种智能车系统包括直线的轨迹控制算法，弯曲的轨迹控制算法和S型根据不同特征的轨迹式的轨迹控制算法。

实验表明，利用该算法，智能车可以沿着直线轨迹顺利地移动，弯曲的轨迹和S 型轨迹的准确性令人感到满意。

索引术语—光电传感器，黑色轨迹，智能车1.导言一个智能车系统是由电源模块，传感器模块，直流（DC）驱动电机模块，路径识别模块，通讯和调试模块和单片机模块组成[4].。

为了使智能车以合理的速度沿着轨道移动，路径的信息检测，直流伺服电机控制和驱动电机控制必须连接在一个单片机上。

如果传感器的数据是不正确地采集和识别，并且转向伺服电机控制有一个错误的操作，智能车将严重地摇动或者甚至偏离跑道。

如果直流驱动电机控制是无效的，它也可能导致智能车在直线运行时速度较慢或者在弯道处速度较快。

从图1，我们可以看到的智能车的运行系统图1. 智能车的总控制程序对于一个智能车来说，跟踪控制就是意味着设计一个算法来识别黑色条状的标示线以至于智能车可以沿着规定的轨迹顺利移动。

对于智能车的跟踪控制算法已经得到了很多的关注。

有些方法已经在一些参考文献中得到采用，例如，电荷耦合器件（CCD）图像处理，模糊控制和视觉模糊控制方法[1，2，3]。

CCD图像处理方法的优点是像素密集和高精度。

它的缺点是信号的采集和数据处理周期长。

CCD图像处理方法容易受到周围环境的光线干扰。

视觉模糊控制方法的优点是控制规则的自由，对象明确的模型有完全的独立性，适应性强和较强的鲁棒性[3]。

其缺点是精度低，适应能力不足和高频振荡。

在本文中，我们采用光电传感器来检测智能车参考轨迹信息的跟踪。

基于反步法的无人翼伞航迹跟踪控制张昊;陈自力;蔚建斌;程欣【摘要】In order to implement the planar trajectory tracking control for Unmanned Parafoil Vehicle (UPV),a backtepping tracking method is proposed. A variable-gain backstepping tracking controller is designed against trajectory tracking error model based on simulation object, which improved system tracking accuracy while ensuring stability. In addition,the controller is applied to UPV planar trajectory tracking control. The simulation experiment illustrates the good robustness of the proposed controller,and accurate tracking ability in trajectory tracking.%为实现无人翼伞飞行器的直线航迹跟踪控制,提出了一种基于模拟对象的可变增益反步跟踪控制方法.基于模拟对象方法得到翼伞飞行器的航迹跟踪误差模型,并针对该模型设计了可变增益反步跟踪控制律,在保证稳定性的同时提高了系统的跟踪精度.将控制器应用于无人翼伞飞行器平面航迹跟踪控制中,仿真实验表明,所设计的控制器可以实现航迹的精确跟踪,且具有很好的鲁棒性.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2017(042)009【总页数】5页(P88-92)【关键词】无人翼伞飞行器;航迹跟踪;模拟对象;反步法【作者】张昊;陈自力;蔚建斌;程欣【作者单位】解放军69250部队,乌鲁木齐 830000;军械工程学院,石家庄 050003;军械工程学院,石家庄 050003;北方自动控制技术研究所,太原 030006【正文语种】中文【中图分类】TP273;TJ760.6Abstract：In order to implement the planar trajectory tracking control for Unmanned Parafoil Vehicle （UPV），a backtepping tracking method is proposed.A variable-gain backstepping tracking controller is designed against trajectory tracking error model based on simulation object，which improved system tracking accuracy while ensuring stability.In addition，the controller is applied to UPV planar trajectory tracking control.The simulation experiment illustrates the good robustness of the proposed controller，and accurate tracking ability in trajectory tracking.Key words：unmanned parafoil vehicle，trajectory tracking，simulative object，backstepping无人翼伞飞行器（Unmanned Parafoil Vehicle，UPV），是一种柔性翼悬挂滑翔飞行系统。

考虑扰动及模型不确定的无人船路径跟踪控制作者：栾天宇张玉峰张成伟许萌萌田甜来源：《电脑知识与技术》2021年第09期摘要：针对外界扰动与模型不确定因素影响下的无人船路径跟踪控制问题，引入Serret-Frenet坐标系对无人船的路径跟踪问题进行数学描述，根据给定的期望跟踪路线与当前无人船的位置信息，利用李雅普诺夫直接法设计无人船航行速度与航向角度的期望值作为路径跟踪的虚拟控制律，通过设计滑模控制器实现对虚拟控制量的误差跟踪控制，通过设计切换函数避免无人船的控制量出现饱和或抖振现象，进而降低模型不确定及干扰对路径跟踪控制的影响。

仿真实验表明，设计的控制器可在外界时变扰动与模型不确定的前提下完成对给定路线的理想跟踪。

关键词：无人船;路径跟踪;滑模控制;虚拟控制律;李雅普诺夫直接法中图分类号：TP273 文献标识码：A文章编号：1009-3044（2021）09-0223-04开放科学（资源服务）标识码（OSID）：Path Following Control of USV Considering Disturbance and Model UncertaintyLUAN Tian-yu， ZHANG Yu-feng， ZHANG Cheng-wei， XU Meng-meng， TIAN Tian（Systems Engineering Research Institute， China State Shipbuilding Corporation Limited，Beijing 100036， China）Abstract： Aiming at the problem of path following control of USV under the influence of external disturbance and model uncertainty， Serret-Frenet coordinate system is introduced to describe the path tracking problem of USV. According to the given expected tracking route and current position information of USV， the expected value of speed and heading angle of unmanned ship is designed by Lyapunov direct method as the virtual path tracking The pseudo control law realizes the error tracking control of the virtual control variables by designing the sliding mode controller. The switching function is designed to avoid the saturation or chattering of the control variables of the unmanned ship， so as to reduce the influence of model uncertainty and disturbance on the path tracking control. The simulation results show that the designed controller can complete the ideal tracking of a given route under the premise of external time-varying disturbance and model uncertainty.Key words： USV; path following; sliding mode control; The pseudo control law; Lyapunov direct method无人船（USV）运动控制技术是实现无人船智能、可靠运行的关键技术，要想使无人船可以按照既定的航线稳定、可靠地运行，就必须在运动控制技术上有所突破[1]。

一、介绍serret－frenet坐标系的概念1.1 serret－frenet坐标系的定义及特点1.2 serret－frenet坐标系的应用领域二、 serret－frenet坐标系在制导算法中的作用2.1 serret－frenet坐标系与制导算法的关系2.2 制导算法在航空航天领域的应用2.3 serret－frenet坐标系在制导算法中的优势三、 serret－frenet坐标系在导航系统中的应用3.1 serret－frenet坐标系在导航系统中的原理及基本方法 3.2 serret－frenet坐标系在导航系统中的性能优势3.3 serret－frenet坐标系在导航系统中的发展趋势四、 serret－frenet坐标系在自动驾驶领域的应用4.1 serret－frenet坐标系与自动驾驶技术的结合4.2 serret－frenet坐标系在自动驾驶车辆路径规划中的作用 4.3 serret－frenet坐标系在自动驾驶领域中的挑战与机遇五、 serret－frenet坐标系的发展前景及展望5.1 serret－frenet坐标系在制导算法中的未来发展方向5.2 serret－frenet坐标系在导航系统中的应用前景5.3 serret－frenet坐标系在自动驾驶领域中的发展趋势六、结语在科技发展的今天，serret－frenet坐标系作为一种先进的制导算法，在航空航天、导航系统和自动驾驶领域都有着广泛的应用和巨大的发展潜力。

随着技术的不断进步和创新，相信serret－frenet坐标系必将在未来发展中发挥更加重要的作用，为人类社会带来更多的便利和进步。

希望本文能够为读者对serret－frenet坐标系的理解和应用提供一定的帮助，并对相关领域的研究和发展起到一定的促进作用。

七、serret－frenet坐标系的原理及特点serret－frenet坐标系是一种基于曲线的局部坐标系，它的基本原理是以曲线的切线方向、法线方向和曲率来描述曲线的特性。

在高速路上换道时，我们都希望能够以稳定而安全的方式完成这个操作，同时尽可能减少对其他车辆的干扰和影响。

为了达到这个目的，我们需要对换道过程中的轨迹进行合理规划和选择。

在这篇文章中，我将以深度和广度的视角，探讨frenet坐标系下的换道轨迹，帮助你更好地理解这一复杂的驾驶过程。

1. 什么是frenet坐标系？在探讨frenet坐标系下的换道轨迹之前，首先我们需要了解什么是frenet坐标系。

Frenet坐标系是一种常用于描述曲线轨迹的数学工具，它由曲率（k）和横向偏移（l）两个参数组成。

曲率描述了车辆行驶路径的弯曲程度，而横向偏移则描述了车辆相对于参考路径的位置。

通过frenet坐标系，我们可以更准确地描述车辆行驶的轨迹，从而实现更精准的规划和控制。

2. 换道轨迹规划的重要性在实际驾驶中，换道是一项常见但也很复杂的操作。

一旦换道轨迹规划不合理或执行不当，就会给道路交通安全带来隐患。

换道轨迹规划的重要性不言而喻。

在进行换道操作时，我们需要选择合适的轨迹，使得车辆能够平稳地从一条车道移动到另一条车道，同时最大限度地减少对其他车辆的干扰。

3. fernet坐标系下的换道轨迹规划在frenet坐标系下，换道轨迹规划可以通过以下步骤来实现：步骤一：识别当前交通状态和条件。

在进行换道轨迹规划时，我们需要充分考虑当前所处的交通环境，包括车流密度、车速、道路情况等因素。

这些因素将直接影响我们选择的换道轨迹。

步骤二：选择合适的换道点。

在确定了需要进行换道操作后，我们需要选择合适的换道点。

换道点的选择应该考虑到车流情况和交通信号灯的设置，以确保车辆能够安全、合理地完成换道操作。

步骤三：规划合理的换道轨迹。

在frenet坐标系下，我们可以根据当前车辆位置和目标车道的状态，通过合适的路径规划算法来确定最佳的换道轨迹。

这个过程需要考虑到曲率和横向偏移等因素，以确保车辆能够平稳、安全地到达目标车道。

步骤四：执行换道轨迹。

一旦确定了合理的换道轨迹，就需要通过车辆控制系统来执行这个轨迹。

基于IAFSA的四自由度翼伞分段归航设计赵志豪;赵敏;陈奇;蔡力炯【摘要】为实现翼伞系统的精确空投,需要对其归航轨迹作合理规划.根据翼伞系统自身的运动特性及操纵特性,采用分段归航策略.在四自由度翼伞模型下,利用各轨迹段的几何关系,建立表征轨迹优劣程度的目标函数.基于改进的人工鱼群算法,对目标函数进行参数寻优,进而得到轨迹的设计参数.仿真结果表明,所提出的改进方法能加快算法的收敛速度,所规划的轨迹满足了精确落点和逆风着陆的要求.%In order to implement the precise airdrop of parafoil system,the homing trajectory shoule be planned rationally. Multiphase homing trajectory is adopted according to the motion characteristics and handling characteristics of parafoil system. Based on the four degree of freedom model,objective function which can be used to evaluate trajectories is established by using the geometrical relationship of each trajectory segment. Getting the global optimal solution of the objective function by means of improved Artificial fish swarm algorithm,then the design parameters of the trajectory are obtained. The simulation results show that this improved method can accelerate the convergence speed of the algorithm,and the planning trajectory meet the demands of precise airdrop and upwind landing.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2017(042)002【总页数】5页(P64-68)【关键词】翼伞系统;四自由度模型;航迹规划;分段归航;人工鱼群算法【作者】赵志豪;赵敏;陈奇;蔡力炯【作者单位】南京航空航天大学,南京 211106;南京航空航天大学,南京 211106;南京航空航天大学,南京 211106;南京航空航天大学,南京 211106【正文语种】中文【中图分类】V2-924翼伞轨迹规划问题是指在特定环境及约束条件下，于初始点与目标点之间，为翼伞系统寻找满足一定指标的飞行轨迹。

Serret-Frenet框架下的神经滑模船舶路径跟踪控制李湘平;吴汉松;阮苗锋【摘要】针对欠驱动船舶在恒定速度航行下的路径跟踪问题,提出了一种在Serret-Frenet框架下,基于输入输出线性化的神经滑模控制算法.该算法利用Serret-Frenet框架下船舶运动方程的推导形式,将其转换为类似于直线航迹控制的问题,采用神经网络对基于趋近律的滑模控制进行优化,解决了趋近律滑模控制对系统模型的依赖性,提高了控制器的鲁棒性,并设计了状态观测器对控制对象状态进行重构,以解决系统状态量测量误差对控制效果的影响.在无干扰和存在干扰及参数摄动的条件下分别进行了仿真,结果表明该控制律具有良好的跟踪性能.【期刊名称】《武汉理工大学学报（交通科学与工程版）》【年(卷),期】2015(039)001【总页数】5页(P180-184)【关键词】欠驱动船舶;路径跟踪;输入输出线性化;神经滑模控制【作者】李湘平;吴汉松;阮苗锋【作者单位】海军工程大学电气工程学院武汉430033;海军工程大学电气工程学院武汉430033;海军工程大学电气工程学院武汉430033【正文语种】中文【中图分类】TP183李湘平(1990- )：男，硕士生，主要研究领域为船舶非线性控制研究欠驱动船舶的路径跟踪控制，可以简化控制系统的结构、降低成本.目前就欠驱动船舶的路径跟踪问题，已经有了大量的研究[1-6].文献[1-3]给出了自适应的航迹控制算法，但不适合曲线航迹控制的情况；文献[4]采用反步法的滑模控制实现了曲线航迹控制，但是对于滑模切换项系数采用预估上界的方法给定，因而控制量存在较大的抖振；文献[5]给出了在Serret-Frenet标架下的船舶运动方程，通过坐标变换可以将曲线路径跟踪问题转换为直线路径跟踪问题，再直接利用神经网络进行控制，设计方法较为繁琐；文献[6]同样给出了Serret-Frenet标架下船舶航迹控制，但是由于采用精确反馈控制，鲁棒性较差；文献[7]给出了基于输入输出线性化的重定义输出变量的航迹控制方法，并在理论上推导了系统全局渐近稳定时的充分条件.本文在文献[1-6]研究成果的基础上，结合重定义输出变量和神经滑模控制算法，设计了一个自适应神经滑模路径跟踪控制器.利用滑模控制的设计简便性，结合神经网络对非线性系统的强大映射能力，有效地消除趋近律滑模控制对被控对象模型的依赖性.并设计了状态观测器，减少船舶状态量测量所带来的扰动和噪声.最后理论上证明了系统的全局渐近稳定性，仿真结果表明该控制器具有较好的性能.欠驱动船舶运动的数学模型描述如下[8]式中：x,y,φ为船舶的位姿状态量，分别表示纵向位置、横向位置和航向角;u为船舶前进速度;v为船舶的横荡速度;ω为航向角速度;mii(1≤i≤3)，dii(2≤i≤3)为船舶模型参数;控制输入Tr为首向力矩.本文的控制目标是给定期望航迹，设计控制量Tr，使船舶能从任意初始偏差位置处跟踪上设定轨迹，其跟踪原理图见图1.图1中：Ω为参考航行路径;P为船舶质心;M为P在Ω上的投影点；u,v分别为船舶的前进速度和横荡速度为船舶的合速度;φ为航向角;ze为P到Ω的距离;φd为参考航向角.令φe=φ-φd，s为Ω上某一点与M点的弧长;c(s)为Ω在M点处的曲率.以变量ze,φe为状态，经过计算，可得到欠驱动船舶在Serret-Frenet框架下的运动学方程[9].对于式(2)，控制目标是使ze→0，且ut的方向与Ω在M点的切线方向xt一致，平衡状态为，令，得到以和ω为状态的方程如下.至此，式(1)描述的曲线航迹控制转换为了类似于直线航迹控制的问题，参考文献[7]，重定义输出变量+arctan(kze)可得到新的状态方程如下.式中：令，则式(6)的控制目标是设计控制输入量Tr，使得z=0.2.1 状态观测器设计式(4)重定义的输出变量需要得到，而是关于v和φe的变量，在船舶航行过程中，速度量不能直接测量到.因此，本节给出了状态观测器设计，利用船舶的姿态信息(此处利用航向角)重构横荡速度和航向角速度.在恒定速度下，若令x=[φ,v,w]T，定义输出y=φ=Cx，则有=Ax+BTr,y=Cx式中：.设计状态观测器为为观测器状态即重构状态，L为增益反馈矩阵，则观测偏差的状态方程为因此只要设计L使得式(8)全局渐近稳定，即可实现对式(7)状态的重构，利用极点配置算法设计L，此处略.若用观测量取代x，相应的取代z，则式(6)可写成且有.2.2 滑模控制器设计对式(10)设计基于指数趋近律的滑模控制器，滑模切换函数为趋近律为联立式(10)～(12)，并令，可得相应的滑模控制律为定理1 在滑模控制律式(14)的作用下，式(10)可以趋于稳定，即).证明在滑模控制律(14)的作用下，系统满足滑模的存在和到达性条，故存在t0>0，当t>t0时，s(t)≈0，由式(11)得从而可得因为c>0，故，故在滑模控制律式(14)的作用下系统可以趋于稳定.2.3 神经滑模控制器设计由于受外界干扰及对象参数本身的不稳定性，f和g不易求得，利用RBF神经网络能够从期望的精度逼近任何连续映射[11]，设计RBF网络用于逼近滑模控制律式(14).神经网络径向基向量h=[h1h2…hn]T，式中：n为隐含层节点数目；hj为高斯基函数.式中；为第j个节点的中心向量，网络的基宽向量为T.设网络输出为T为神经网络的权值，定义神经滑模控制律设神经网络的整定指标为式中：r(t)为期望输出；y(t)为实际输出.对于神经网络的权值及参数，可采用最小梯度下降学习算法进行调整，如下式式中；η(t)为时变学习速率(0<η<1)，并令式中：γ(t)>0为常数，引理1 假定式(20)和(21)满足条件：(1)0<γ(t)<2;(2)W(t)接近.并且，如果h(t)有界，则.定义神经网络模型的输出为定义神经网络整定指标为由式(20)可得神经网络的权值及参数学习规则对于式(24)，采用神经滑模控制律(18)作为控制量，即令s(t).由引理1，RBF网络经过有限次迭代后，，即有所以由定理1可知，在神经滑模控制律式(18)的控制下，式(10)可以趋于稳定，同时式(6)趋于稳定.由于控制律式(18)不需要对象的精确参数，因此在存在干扰的情况下，式(6)是趋于稳定的.针对标称情况及存在外界干扰和参数摄动两种情况下分别进行仿真，以文献[2]中的船为例进行仿真设计，仿真参数如下.m11=1.2×105kg，m22=1.779×105 kg，m33=6.36×107 kg，d22=1.47×105 kg·s-1，d33=8.02×106kg·s-1，u=10 m·s-1.3.1 控制器参数设定本文涉及的主要参数是神经滑模控制器参数的选择以及重定义输出变量式(4)中k的选择.其中滑模控制器参数设定为：c=0.2，q=20 000，ε=50，k=0.012.RBF神经网络隐层节点数为10，初始权值w=ones(1,10)，v=ones(1,10)，网络结构为b=10×ones(1,10)，c=zeros(4,10).考虑到实际船舶在海上航行时主要受海浪干扰的影响，因此对海浪进行数值仿真.本文采用基于P-M谱的海浪模型[12]，并采用能量等分法进行海浪建模，经计算得到5级海况下，遭遇角为30°时，海浪对首摇力矩的干扰量，如图2所示.3.2 仿真结果本文所设计的控制器既适合对曲线航迹的跟踪，也适用于对直线航迹的控制.将期望航迹设定为圆，设定的半径r=80 m，期望船舶航迹的表达式为xr(t)=rsin φd，yr(t)=-rcos φd，并设定船舶的初始状态为x=100 m，y=0 m，φ=0.52 rad，w=0 rad·s-1，v=0.12 m·s-1，仿真结果见图3～4.3.3 仿真分析图3表明，在标称情况下，船舶航行轨迹能较快地以较小的误差跟踪上预定路径，且稳定性较好；在存在干扰及参数摄动时，仍能较快地跟踪上参考路径.图4表明，在标称情况下，控制器的输出艏摇力矩曲线平滑、大小合理，并最终稳定在一个特定的值上.在存在外界干扰和参数摄动的情况下，输出首摇力矩能够抑制海浪的干扰，使船舶以一定精度运行在设定路径上.本文在基于Serret-Frenet框架下船舶的运动方程，采用RBF神经网络逼近控制对象中的非线性以及不确定部分，实现了设计与对象模型和参数分离，具有较强的鲁棒性；考虑到船舶航行时速度量测量的可操作性较低，设计了状态观测器，利用船舶的航向角重构了船舶横荡速度及航向角速度，最后在simulink平台下用实船参数进行了仿真，仿真结果表明，控制器具有较好的鲁棒性能.【相关文献】[1]BACKSTEPPING N.Ship course controller[J].International Journal of Automation and Computating,2009,6(3):277-284.[2]LIU Wenjiang,SUI Qingmei,XIAO Hairong,et al.Sliding backstepping control for ship course with nonlinear disturbance observer[J].Journal of Information & Computational Science,2011(8):3809- 3817.[3]刘杨，郭晨，沈智鹏,等.欠驱动船舶路径跟踪的神经网络稳定自适应控制[J].控制理论与应用，2010，27(2):169-174.[4]朱齐丹，于瑞亭，夏桂华,等.风浪流干扰及参数不确定欠驱动船舶航迹跟踪的滑模鲁棒控制[J].控制理论与应用，2012，29(7):956-964．[5]段海庆，朱齐丹.基于反步自适应神经网络的船舶航迹控制[J].智能系统学报，2012，7(3):1-8.[6]王志文，彭秀艳，王大巍.Serret-Frenet框架下欠驱动船的输出反馈路径跟踪鲁棒控制[J].船舶工程.2010，32(6):24-28.[7]周岗，姚琼芸，陈永冰,等.基于输入输出线性化的全局直线航迹控制[J].控制理论与应用,2007，24(1):117-121.[8]ZHANG Lijun, JIA Heming, QI Xue, NNFFC-adaptive output feedback trajectory tracking control for a surface ship at high speed[J].Ocean Engineering. 2011,38(13): 1430-1438. [9]SKJETNE R,THOR I.Fosen.Nonlinear maneuvering and control of Ships[C].//Proceedings of OCEANS 2001 MTS/IEEE Conference and Exhibition, 2001:1808-1815.[10]刘金琨．滑模变结构控制MATAB仿真[M]．北京：清华大学出版社，2005.[11]胡德文，王正志，王耀南,等.神经网络自适应控制[M].长沙：国防科技大学出版社，2004.[12]党祎.基于神经网络的船舶航向PID控制研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2011.。

基于Serret-Frenet坐标系的多AUV编队路径跟踪控制赵宁宁;徐德民;高剑;张秦南【期刊名称】《鱼雷技术》【年(卷),期】2015(023)001【摘要】针对多自主水下航行器(AUV)的编队路径跟踪控制问题,提出了基于Serret-Frenet坐标系的虚拟结构编队控制方法,分为单个AUV队形路径跟踪控制,以及多个AUV间路径跟踪参考点的一致性协调控制两部分.首先为每个AUV定义一个沿期望路径运动的路径跟踪参考点,并以其为原点建立Serret-Frenet坐标系描述编队跟踪误差及动态模型.通过对AUV的航向角和速度的控制,使其跟踪并收敛于该Serret-Frenet坐标系下的期望队形位置.然后采用基于比例-积分控制的一致性算法,调节各个参考点的路径参数变化率使其达到一致,并以给定的期望速度沿路径运动.通过数学仿真实现了3个AUV以一定队形跟踪期望路径,验证了该算法的有效性.【总页数】5页(P35-39)【作者】赵宁宁;徐德民;高剑;张秦南【作者单位】中国船舶重工集团公司第705研究所,陕西西安,710075;西北工业大学航海学院,陕西西安,710072;西北工业大学航海学院,陕西西安,710072;中国船舶重工集团公司第705研究所,陕西西安,710075【正文语种】中文【中图分类】TJ630.33;TP13【相关文献】1.编队约束下的AUV路径跟踪 [J], 崔荣鑫;徐德民;严卫生2.基于自适应神经网络的AUVs路径跟踪控制 [J], 王影3.基于Serret-Frenet坐标系的翼伞系统轨迹跟踪控制 [J], 熊菁;程文科;秦子增4.控制约束下的多AUV编队路径跟踪 [J], 肖宁;徐德民;严卫生;高剑5.基于扰动观测器的AUVs固定时间编队控制 [J], 高振宇;郭戈因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

frenetserret公式Frenet-Serret公式是描述曲线运动的重要工具，它能够帮助我们理解曲线在空间中的变化规律。

本文将介绍Frenet-Serret公式的基本概念和应用，并通过具体示例来解释其意义。

Frenet-Serret公式是由意大利数学家Frenet和法国数学家Serret 在19世纪中叶共同提出的。

它描述了曲线上每一点处的切线、法线和副法线之间的关系。

对于一条平滑的曲线，我们可以通过Frenet-Serret公式计算出曲线上任意一点处的切线、法线和副法线的方向和大小。

在Frenet-Serret公式中，切线是曲线上一点处的切线方向，表示曲线的运动方向；法线是垂直于切线的方向，表示曲线的弯曲程度；副法线是切线和法线确定的平面内的一个向量，与切线和法线都垂直。

Frenet-Serret公式可以用向量形式表示，它包含了三个方程：T'(s) = κ(s)N(s)N'(s) = -κ(s)T(s) + τ(s)B(s)B'(s) = -τ(s)N(s)其中，T(s)、N(s)和B(s)分别表示曲线上一点处的切线、法线和副法线的单位向量；κ(s)和τ(s)分别表示曲线上一点处的曲率和挠率，s表示曲线上的弧长参数。

通过Frenet-Serret公式，我们可以计算出曲线上任意一点处的切线、法线和副法线的方向和大小。

这些信息对于研究曲线的运动特性和几何形状非常重要。

举个例子来说明Frenet-Serret公式的应用。

假设有一条平面上的曲线，我们想要计算曲线上某一点处的切线、法线和副法线的方向和大小。

首先，我们需要确定曲线上该点的位置和切线方向。

然后，我们可以使用Frenet-Serret公式计算出该点处的法线和副法线的方向和大小。

最后，我们可以利用这些信息来分析曲线的弯曲程度和运动方向。

Frenet-Serret公式在数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

在数学领域，它可以用于研究曲线的几何性质和曲线的参数化表示。