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索罗模型

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高级宏观经济学之索罗增长模型

高级宏观经济学之索罗增长模型

c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的
资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
2020/1/15
高级宏观经济学
11
3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
2020/1/15
高级宏观经济学
12
三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳动 的实际投资
MPAL

F(K, AL) AL

f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL

F(K, AL) L

A[
f
(k)

kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
2020/1/15
高级宏观经济学
10
图形表示
f(k) f(k)
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
2020/1/15
高级宏观经济学
6
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
高级宏观经济学之索罗增长模型

高级宏观经济学之索罗增长模型


9
边际产出
资本的边际产出
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f (k)
有效劳动的边际产出
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F ( K , L
AL)
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
k
2020/10/28
k*
k
16
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效
y* Y / AL Y y * AL
结论：索罗模
工人产出的定
义可以计算出 ln Y ln y * ln A ln L
总产出的增长 速度：
资本增长率 k*
Y Y
K / AL
L
L
K
A A
k*
n
2020/10/28
2
一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
k(t) 0 k下降 k(t) 0 k不变
2020/10/28
13
2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
索罗模型

索罗模型

根据丹尼森的研究，1909-1957年间美国的实际产出的年增长率为2.9%， 工时数的增长率为1.3%，资本存量的增长率为2.4%。这些数据的显著特 征是长期稳定性。即使我们以大萧条的谷底（1933年）为起点，那么到 1957年，这段时间的平均增长率也仅有5%。如果以任何一种合理方式 （即使用峰期到峰期的增长率）剔除商业周期的影响，在任何一个我们 有数据的足够长的随后时期中，美国的产出增长都围绕3%波动，且波动 幅度不超过0.5个百分点。
那么，储蓄率是否越高越好呢？
N(t) c(t) K(t)
+
K ( K(
t t
) )
=
A(t)
K(t)β−1
N(
)t 1−β
=
ρ
+σκ β
.
（7）
根据平衡增长路径定义，K (t) / K (t)是常数，所以方程（7）意味着
N (t)c(t) / K (t)也是常数，令 D = 1 Nc， 求全微分，得：
K
0
=
K K
(t) (t)
设人均消费的增长率 c(t) / c(t) = κ
1）资本价格增长率 （ −σκ ）
由方程（3）得到：
c−σ = θ ⇒ − σ ln c = lnθ θ(t) /θ = −σκ
⇒ θ = −σ c
θ
c
可见，沿着平衡增长路径资本价格增长率为常数。
19
2）资本的边际产出（ ρ + σκ ）
从方程（4）我们得到：
θ = ρ − βA(t)N (t)1−β K (t)β −1 θ
将 θ(t) /θ = −σκ 代入上式，资本的边际产出为：
β A(t)N (t)1−β K (t)β −1 = ρ + σκ
索罗模型ppt课件

索罗模型ppt课件

Y K AL1 Y K L1 y k
6
索罗模型图解
索罗模型的核心方程
K sY dK k sk (n d)k
7
索罗模型中的经济增长
索罗模型稳 定状态的解
k sk (n d )k 0
1
k* s 1 nd
YY
Y
A
Y MRPN N N MRPK K K A N K A
Y
YN
Y
KA
N
KA
α＝劳动收益在产出中的份额 β＝资本收益在产出中的份额
A 技术进步 A
3
经济增长所要解决的核心问题
经济增长的引擎是什么？ 为什么经济体间存在收入差距？ 贫穷经济体能否以及如何赶超富裕的经
Y=AF（N,K）
边际收益产 品MRP：厂 商增ห้องสมุดไป่ตู้一单 位要素所增 加的收益。
若劳动变动△N，资本变动△K，技术变动△A。
产出变动：△Y＝MRPN× △N＋MRPK ×△K＋F(N,K) ×△ A
两边同除以Y=AF(N,K) ： Y MRPN N MRPK K A
济体？
4
二、索罗模型：基本假定2_需求
两部门经济：没有政府和外贸部门
Y CS
假定消费所占比重是一个常数（1-s）
C (1 s)Y; S sY
两部门经济的均衡条件
I dK K
I S
K sY dK
S sY
5
索罗模型：基本假定2_生产
只生产一种产品，两种生产要素，生产函数为
经济增长与索罗模型
1
一、经济增长概述
1.经济增长的衡量 经济增长率
经济增长——索洛模型

经济增长——索洛模型


消费的最大化表现为一阶导数为0。
dc / dk = df / dk–（n+δ）= 0 于是有：MPk= n+δ
因此，资本的边际产出等于人口增长率加上折 旧率就是消费最大化的基本条件。
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 15
资本积累的黄金律水平
y （n+δ）k
f(k)
Cg*
0
2014-12-13
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 22
全部课程结束，预祝大家考试顺利， 2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 暑假愉快！
23
sf(k’)
0
2014-12-13
k’*
中国矿业大学管理学院 徐建博
k
21
（三） 技术进步对经济增长的影响

引入技术进步后，虽然在稳定状态有效
劳动的平均资本和平均产出都不变，但人
均产出 Y/L=y’×A 和总产出 Y=y’×A×L
却分别以g和n+g的速度增长。

索罗模型表明技术进步是一个经济长
期持续增长的源泉。
由于规模报酬不变，即λY= F（λK,λL）
令λ=1/L，得Y/L= F（K/L,1）
用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存 量，得：y=F（k，1）= f（k）
即人均产出只与人均资本有关。
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 3
y
f(k)0Βιβλιοθήκη k人均生产函数示意图
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 4
kg*
中国矿业大学管理学院 徐建博
k
16
通过储蓄率选择黄金律稳态
索罗增长模型

索罗增长模型


1994 1988 1982 1976 1970 1964 1958 1952 1946 1940 1934 1928 1922 1916 1910 1904 1898 1892 1886 1880 1874 1820
1000
100000
2.4 内生增长理论—实证分析
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
样本是118个经济体 ，1960-1985
全球范围内
5000
10000
15000 不存在趋同
2.4、条件趋同
全球范围内存在条件趋同
（偏）增长速度
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -3 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
-2
-1
0
1
（偏）1960的劳均GDP
法国 18.4 20.8 24.0 26.9 29.5 26.4 24.2 23.7
德国 26.1 29.2 30.3 29.5 28.7 24.7 23.9 23.6
日本 16.1 19.0 26.8 30.7 36.5 32.5 29.4 29.6
英国 12.1 14.3 16.7 18.9 19.6 18.7 16.2 18.8
数据来源于 Jones(1998) 表B2；
数据104个经 济体；
2 样本区间 1960-1990
控制了s
2.4 内生增长理论—实证分析
全球增长速度在加速
近100年来发达国家的
增长是平稳的，但储蓄 率是上升的
年份 1950-1954 1955-1959 1960-1964 1965-1969 1970-1974 1975-1979 1980-1984 1985-1988
高宏：索罗增长模型

高宏：索罗增长模型


k增加 k下降 k不变
(t ) 0 k
2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化： f(k)
(t ) sf (k (t )) (n g )k (t ) k
(n＋g+δ)k f(k) 在A点，实际投资与 持平相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的 k*,y*,c*固定不变。 消费： c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)-(n+g+δ）k*
MPAL
F ( K , AL ) f (k ) kf (k ) AL
劳动的边际产出
F ( K , AL ) MPL A[ f (k ) kf (k )] L
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出。
• 第三，稻田条件：
lim f '(k )
二、索罗模型的假设
• 1、投入与产出
• 索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳 动L，以及知识或劳动的有效性A。 • 生产函数： • Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。 • AL被称为有效劳动。 • 以劳动力增加的形式引入的技术进步被称为 劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中 性。
t时技术存量：
A(t ) A(0)e
gt
产出在消费和投资之间分割， 那么储蓄等于投资。储蓄率s为 外生且不变，资本折旧率为δ。 资本变化＝投资－折旧。
(t ) sY (t ) K (t ) K
假设方面的总结
• • • • • • 只有一种产品 没有政府 不考虑就业方面的问题 储蓄率固定 三种生产要素的生产函数 折旧率、人口增长率为常数
• 3、生产投入的演化
• 资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。 d ln x • 瞬时增长率的定义： g dx / dt x x x x dt
第三讲 索罗增长模型

第三讲 索罗增长模型


K
(k*)

Y K

K Y
k * f (k*) kk* f (k*)
产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额。
2019/8/6
27
四、储蓄率变化的影响
在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的 储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加10%时，人均产出长 期内仅变化5%。 因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度 的影响。
2019/8/6
28
四、储蓄率变化的影响
4．储蓄率变化的影响时间
注意“收敛系数” (1K )(n g ) 与s无关。
举例：假设 n g ，6%α=1/3，则λ=4%（表示k和y向k*和y*每
年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初 始收入差距）的一半约需18年时间。
条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远， 增长越快。
巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
2019/8/6
30
五、绝对收敛与条件收敛
非稳态图示
(n g )k(t)
2019/8/6
增长率>0
f (k(t))
增长率<0
sf (k (t))
k*
k
31
五、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛图示
k*
k
2019/8/6
k*
k
16
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效 y* Y / AL Y y * AL 结论：索罗模
工人产出的定 义可以计算出
ln Y ln y*ln A ln L
第三讲索罗增长模型

第三讲索罗增长模型


2024/8/2
6
Байду номын сангаас
模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
2024/8/2
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
2024/8/2
4
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
0
量 Y/L
人均产出
g
c(Y/AL) 有效劳动的费人均消
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
2024/8/2
备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=Lc)F(K,A C=(1-s)Y
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
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四、储蓄率变化的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响: 对稳态均衡的影响； 两个稳态均衡之间的动态路径； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。
2024/8/2
9
图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
索罗模型

索罗模型

索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长2.经济增长的一般趋势是什么3.为什么国家或地区之间存在着收入差异4.穷国能否赶上富国二、生产函数1.投入与产出的函数形式AttKtFYL()))(),(()(t其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设（1）规模报酬不变： F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F =令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本的边际产品 【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数：资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL Kk ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALKAL K F k f ===)()1,()( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。

索罗模型公式

索罗模型公式

索罗模型公式索罗模型是一种用于描述磁体的实验规律的数学模型，在这种规律中，磁体的磁性受其磁子粒子的布局和构型影响。

索罗模型是半导体理论中重要的一部分，被称为索罗模型公式。

索罗模型公式是由前苏联物理学家索罗于1949年发明的，他在《物理学家》期刊上发表了《关于磁性粒子的统计力学》，提出了索罗模型公式。

简而言之，索罗模型公式可以根据物体的内部结构，描述物体的磁性特性，因而可以用来研究的材料的磁性。

索罗模型公式的基本原理是采用“磁子统计学”的思想，即描述物体中的磁子的数量，磁子的分布，磁子的运动和磁子的相互作用，从而描述磁性特性。

索罗模型公式的形式如下：H=J - (j+1)/2*um*sigma其中，H是磁场，J是总能量，j是磁子交换能，um是磁子微扰常数，sigma是磁子磁化矩阵。

索罗模型公式具有使用简单、理论深入和实时调参等优点，可以快速地计算出磁性特性，并可以为磁性材料的研究和开发提供极大的帮助。

然而，由于索罗模型公式缺少对中磁子的描述，其计算结果仍然存在一定的误差。

因此，随着磁性材料研究的不断深入，科学家们即使在采用索罗模型公式的基础上，也会继续开发更好的模型公式，以提高计算结果的准确性。

例如，氢原子磁子模型可以通过比较准确地描述磁性材料的磁子结构，使计算结果更加准确。

另外，索罗模型公式的发展和研究还可以用于研究和设计其他类型的材料，如导热性能的研究，电阻弹性性能的研究和生物材料特性的研究。

此外，索罗模型公式可以用来描述许多类型的物理系统，如热力学系统、声学系统等，从而在研究这些系统中发挥重要作用。

综上所述，索罗模型公式是一种用于描述磁性材料的重要模型公式，它可以满足磁性材料的研究和设计需求，并且可以帮助研究者更好地理解和控制在磁性材料中的磁子的构型和运动。

高级宏观经济学之索罗增长模型

规模报酬不变
当资本和劳动力投入同时增加相同倍数时，产出也会增加相同的倍数。
资本积累方程与劳动力动态变化
资本积累方程
索罗增长模型中的资本积累方程为ΔK=sY-δK，其中ΔK代表资 本存量的变化量，s代表储蓄率，Y代表产出水平，δ代表资本折 旧率。该方程表明，资本存量的变化量等于储蓄与投资之差。
劳动力动态变化
分析教育水平提高对人力资本积累和经济增长的贡献，以及教育公 平对缩小收入差距的作用。
其他可能改进方向探讨
环境因素与可持续发展
将环境因素纳入索罗增长模型，分析经济增长与环境保护之间的平衡问题，探讨可持续发展的路 径和政策选择。
制度因素与经济增长
考虑制度因素对经济增长的影响，如产权保护、市场竞争、政府治理等，以及如何通过制度改革 促进经济发展。
宏观经济学与微观经济学关系
两者相互补充，共同构成经济学完整体系。
3
宏观经济学重要性
为政府制定经济政策提供理论依据和指导。
索罗增长模型简介
01
02
03
索罗增长模型定义
由美国经济学家罗伯特·索 罗提出，用于分析经济增 长的理论模型。
模型基本假设
储蓄率、人口增长率、技 术进步率等外生变量保持 不变。
模型核心方程
实证结果解读及启示意义
经济增长收敛性
索罗增长模型预测，在资本边际收益递减的作用下，穷国将比富国增长更快，最终实现经济收敛。然而，现 实世界中存在许多导致经济差异持续存在的因素，如技术进步、人力资本积累等。
政策含义
索罗增长模型强调了储蓄率、人口增长率和技术进步对经济增长的重要性。因此，政府可以通过调整税收政 策、教育政策和创新政策等手段来影响这些变量，从而促进经济增长。

索罗模型的主要内容

索罗模型的主要内容
索罗模型是一种经济增长模型，它假设规模报酬不变、劳动力不变、投资和消费占比不变、外在环境不变，通过统计公式计算经济增长率。

本文将介绍索罗模型的主要内容、假设、公式以及缺陷。

一、引言
索罗模型是一种经济增长模型，由美国经济学家罗伯特·索罗于1956 年提出。

该模型主要通过对资本、劳动力、投资和消费等因素的分析，来解释经济增长的原因和规律。

二、主要内容
索罗模型的主要内容在于几个假设和公式。

其中，几个假设包括规模报酬不变、劳动力不变、投资和消费占比不变、外在环境不变等。

在这些假设的基础上，索罗模型得出了一个统计公式，即 Kt1sF（Kt，L）（1-delta）Kt。

在公式中，Kt 代表每一期的资本，L 代表固定的劳动力供给，F 代表了生产函数，sF（Kt，L）表示产出，delta 表示消费占比，1-delta 表示投资占比。

索罗模型认为，经济增长主要来源于资本的投资，而投资占比是固定的，因此可以将 xt 表示为 sF（Kt，L）。

三、模型缺陷
虽然索罗模型在解释经济增长方面具有一定的说服力，但它也存在一些缺陷。

首先，该模型忽略了技术进步、人口变化、资源配置等
因素对经济增长的影响。

其次，该模型假设外在环境不变，这与实际情况不符。

此外，该模型没有考虑到收入不平等、经济周期等因素对经济增长的影响。

四、结论
综上所述，索罗模型是一种经济增长模型，它主要通过几个假设和公式来解释经济增长的原因和规律。

索罗模型

索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？二、生产函数1.投入与产出的函数形式AttKtFY)(t(L)())((),其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品 【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL Kk ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALKAL K F k f ===)()1,()( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。

第1章 索罗增长模型

了两个技巧解这个微分方程。 首先，引入一个新变量，定义人均资本为，
k≡ K
(1.6)
L
然后将微分方程(1.5)转化为有关 k 的方程。由于 K = kL ，将 K 全微分，则有
K = kL + kL
(1.7)
其次，假设生产函数为“一次齐次”（homogenous of degree one），即“规模报酬不变”
（3）资本收益率（ r ）几乎不变； （4）资本产出比例（ K Y ）几乎不变； （5）资本收入与劳动力收入占国民收入的比重（ (r + δ)K Y ， wL Y ）几乎不变；
（6）不同国家的人均产出增长率有很大差别。
5
下面来验证索罗模型是否与“Kaldor Facts”相符。
（1）,（2）：显然与索罗模型一致。
索罗对19091949年美国经济的应用经济增长核算对战后发达国家的经济增长贡献进行分解表明七十年代以来技术进步估算表明技术进步是对人均收入增长的最大贡献因素高达875而资本积累仅贡献了其余的125
第 1 章 索罗增长模型
1.1 什么是宏观经济学？ 简单来说，宏观经济学就是将一个国家的经济运行状态作为一个整体来研究的学问，它 关心的是宏观经济变量（比如：GDP、消费、投资、通胀率、失业率）之间的关系。 宏观经济学的方法（最优控制、动态规划等）已经渗透到经济学的各个领域，比如：金 融。 思考： （1）“好的经济学家”与“坏的经济学家”区别何在？ （2）宏观经济学的分析工具与框架主要发展与西方发达国家，适用于中国吗？
存线上挣扎的经济而言（subsistence economy），可能为了生存而无法储蓄，不得不“杀鸡取 卵”。另外，贫困陷阱也可能是由于制度而引起的。另一方面，从实证的角度，贫困陷阱是否 存在还没有定论。

索洛模型详解

稳态时: i = sf(k) =（δ+n）k* c=y-i=f（k*）- （δ+n）k*
消费水平的最大化表现为一阶导数为0。MPk= δ+n
2020/3/21即在黄金律稳态：资中本国矿的业边大学际管理产学院量徐=建博折旧率+人口增长率 29
人口增长率对稳态的影响
y
(δ+n2)k
(δ+n1)k sf(k)
（3） 稳定状态是一个经济的长期均衡，具 有一种真正的稳定性。不管经济的初始水平是 什么，最后总是会达到稳定状态的资本水平。
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中国矿业大学管理学院 徐建博
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三、储蓄率变化对稳定状态影响
y
δk
s2f(k)
i*=δk*1
s1f(k)
0
k1*
k2*
k
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第三节 人口增长与技术进步
❖ 前面的分析表明，高储蓄能提高一个经济的稳 态资本存量和产出。在原来资本水平较低时，有 更多的发展空间，促进经济增长。但资本积累本 身不能带来持续的经济增长。
❖ 要解释一个经济的持续增长就必须扩展基本的 索洛模型，即把原来没有考虑的两个因素：人口 增长和技术进步引入模型。因为现实当中，一个 国家的人口或技术总是在不断变化的。
和产出水平一定的条件下，投资水平越高，但是同时 消费越少。
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产出、消费和投资的关系
y
c
y
i1
i
0
f(k) s1f(k) sf(k)
k
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索罗模型

索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？二、生产函数1.投入与产出的函数形式AttKtFYL()))(),(()(t其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设（1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL K k ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALK AL K F k f ===)()1,()( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。

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无论A代表什么，都必须说明如下问题：它如何影响产量， 它随时间怎样变动，在不同国家为什么有差别？
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三、 稳态下的增长
1．均衡工资率 根据 规模 报酬 不变 的 假设 ， 可以 对 方程 （ 1 ） 两 端同 时 除 以 AL，得到产出和资本的密集表达形式：
Y (t ) / A(t ) L(t ) = F{K (t ), A(t ) L(t )} / A(t ) L(t ) y (t ) = f {k (t ),1}
}
3
}
索罗新古典经济增长模型有三个基本特征： 1）在长期均衡状态中，产出增长决定于技术进步率或 者效率劳动增长率，独立于储蓄和投资在GDP中的比率。因 为新古典增长模型假设资本边际收益递减，这决定一个更高 的储蓄率和投资率，将被一个更高的资本－产出比率或者更 低的资本生产率所抵消。
4
4
2）人均收入水平决定于储蓄和投资在GDP中的比率。人均收入与 储蓄率和投资率正相关，与人口增长率负相关。（储蓄只有水平效应， 没有增长效应） 3）给定各个国家相同的偏好（即给定消费与储蓄的比率）和技术 （生产函数），资本－劳动比率与资本生产率之间是反比关系，因此， 人均资本量少的贫困国家的增长速度，将比人均资本量多的国家的速 度高，从而导致人均收入和生活水平在世界范围内趋同。
+
上式可以写为：
∂F ( K (t ), A(t ) L(t )) dL(t ) A(t ) ∂ ( A(t ) L(t )) dt
(2)
∂Y (t ) • ∂Y (t ) • ∂Y (t ) • Y= K (t ) + A(t ) + L(t ) ∂K (t ) ∂A(t ) ∂L(t )
•
11
A / A 和 L / L ，有： 两端同时除以Y，右端各项分别乘以 K / K 、
ke
：
& k
0
ke
图3：索罗模型中的相图
k
23
3、平衡（稳定）增长路径
当 k = k 时，经济处在稳定增长路径上，模型中每个变量 的增长率都是常数：
e
dL = ρ L (t ) 第一、 L= dt
dA 第二、 A = = gA(t ) dt dt
•
•
⇒
⇒
L == ρ L
•
•
A =r A
⇒ 第四、 Y = g + ρ Y
y = f (k )
（5）
16
根据资本和劳动的边际收益递减假设，有：
df (k ) / dk = f ' (k ) > 0
d 2 f (k ) / dk 2 = f '' (k ) < 0
根据完全竞争市场假设， 有：
（6）
r = f (k )
'
（7） （8）
w = f (k ) − f ' (k ) ⋅ k
2．生产函数满足“稻田条件”，即资本或劳动趋于0时，资本或劳 动的边际产出趋于无穷，资本或劳动趋于无穷时，资本或劳动边际生产 力趋于0，即：
lim
K → 0
FK =
lim F L = ∞ ,
L→ 0
lim7K→∞来自FK =lim
L→ ∞
FL = 0
3、资本折旧率为 δ ，且 δ
>0。
4、资本、劳动和技术的初始水平被看作是不变的；劳动和技术以不 变的速度增长，即：
5
5
关于作者
}
索洛（Solow, Robert M.， 1924—）生于美国的纽约， 1951年获得哈佛大学的经济 学博士学位。从1949年开始 在麻省理工学院任教，1996 年退休。 因对经济增长理论作 出的杰出贡献而获得1987年 诺贝尔经济学奖。
6
一、 假定
1．生产技术假设：生产中使用资本和劳动两种要素，这两种要素之 间可以相互替代，生产函数有连续的一阶和二阶导数。各种要素的边际 产出大于0，且各自的边际收益递减。生产的规模收益不变。
第七章 索罗新古典经济增长模型： 技术进步 对增长的贡献
}
50年代，以Robert Solow, Paul Samuelson, Franco Modigliani 等人 为代表的另一个剑桥的经济学家（在美国的麻省），发展了一个 与哈罗德和英国剑桥学派不同的经济增长模型。 他们批评哈罗德和英国剑桥的后凯恩斯学派，认为哈罗德关于难 以实现充分就业下的稳定增长的悲观主义观点，是建立在生产要 素比率固定不变假设之上，将短期分析方法用在长期问题上。短 期内，这个比率可能无法调整，但从长期看，资本－劳动比率是 可以变动的，经济可以在自然增长率上实现均衡增长。
这就是均衡工资率。如果工资超过这个均衡水平，经济将处于 非均衡状态，失业率上升。
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2、每单位有效劳动资本存量变化
储蓄率决定一个经济资本存量变化或增长。索罗模型假设储 蓄率是外生决定的。假定所有的储蓄都用于投资，就有：
I = S = sY ⋅ Y (t )
（9）
（1）存在资本折旧条件下的资本增长 每年新增资本扣除折旧 后为净资本增长：
2
2
}
总之，在索罗等人看来，资本-产出比（v）是内生的：资 本和劳动一起形成产出，如果劳动相对于资本更丰富，少 量资本将会起很大作用。相反，如果劳动稀缺，边际上会 密集地使用资本，则资本-产出比率会上升。 将宏观动态经济分析建立在理性经济人假设基础之上，强 调市场在资源配置中的作用，这是新古典分析方法的基本 特征。因此，索罗称自己的模型为“新古典经济增长模型 ”。
L=
•
dL = ρL(t ) dt
A =
•
dA = g A(t ) dt
L(t ) = L(0)e ρt
劳动和技术以指数增长：
A(t ) = A(0) e gt
这一假设意味着，在所有的投入要素中，只有资本投入的增长是内生的。 因此，资本增长方程就成为模型的最关键方程。 5、市场是完全竞争的。
8
二、增长模型基本形式
• • • •
Y K (t ) ∂Y (t ) K (t ) A(t ) ∂Y (t ) A(t ) L(t ) ∂Y (t ) L(t ) = + + Y Y (t ) ∂K (t ) K (t ) Y (t ) ∂A(t ) A(t ) Y (t ) ∂L(t ) L(t )
K (t ) L(t ) ≡ a K (t ) + aL + R (t ) K (t ) L(t )
k
图1：索罗模型中的技术进步
其中：
10
Y y= L
K , k= L
对方程（1）求时间的全微分：
dY (t ) ∂F ( K (t ), A(t ) L(t )) dK (t ) ∂F ( K (t ), A(t ) L(t )) dA(t ) = + L(t ) dt ∂K (t ) dt ∂ ( A(t ) L(t )) dt
•
•
•
sY ⋅ Y (t ) − δ K (t ) = − k ρ − kg A(t )L(t )
= sY f(k ) − (δ + ρ + g )k
20
（12）
& = s f(k ) − (δ + ρ + g )k k Y
（12）
& 是 k 的函数。该方程表 方程（12）是索罗模型的关键方程， k 明，每单位有效劳动的平均资本存量的变动是两项之差。
•
K (t ) =
dK (t ) = S − δK (t ) = sY ⋅ Y (t ) − δK (t ) dt
（10）
18
净资本增长率为：
K (t ) sY ⋅ Y (t ) − δK (t ) = gK = K (t ) K (t )
•
= sY ⋅
Y (t ) / A(t ) L(t ) K (t ) −δ K (t ) / A(t ) L(t ) K (t )
}
25
四、参数影响稳定状态
}
由（13）式 s Y f ( k e(t )) = (δ + ρ + g )k e(t )得到：
f ( k e(t )) = (δ + ρ + g ) e k (t ) sy
}
}
sy k e(t ) = e δ + ρ + g f ( k (t ))
（14）
}
上述表明各个参数对稳态的影响。首先，储蓄率提高，意味着 新稳态的资本——产出水平将提高，我们看到储蓄率的上升提 高长期平均每单位效率劳动的收入水平（储蓄率具有水平效应 而没有增长效应）。
口和技术增长的总体效应。
sf ( k )
( δ + ρ + g )k
sf ( k )
→
0
22
←
k
ke 图2：索罗模型中的实际投资和持平投资
图2中，当实际投资等于持平投资的时候，有：
s Y f ( k e(t )) = (δ + ρ + g )k e(t ) （13）
图3是索罗模型中的相位图， k 收敛于
}
1
1
}
如果资本增长快于人口增长（ Gw > Gn），经济将通过价格机制实 现平滑转变，推动更多的资本密集技术发生，从长期看经济按照 外生给定的自然率增长。如果资本增长低于劳动增长（ Gw < Gn）， 出现了工资水平相对资本价格而下降，经济将通过价格机制诱导 更多的劳动密集技术发生，经济增长也将按照外生给定的自然率 增长。
}
“索罗余值”就是“劳动的效率性”，定义为除劳动和资本以外、影响 产量的其他因素的总称。 劳动的有效性具体指什么？是什么导致了它的变动？索罗模型并没有 对此作出具体说明，因此“索罗余值”又被称为“索罗黑匣子”。