索罗模型

无论A代表什么，都必须说明如下问题：它如何影响产量， 它随时间怎样变动，在不同国家为什么有差别？
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三、 稳态下的增长
1．均衡工资率 根据 规模 报酬 不变 的 假设 ， 可以 对 方程 （ 1 ） 两 端同 时 除 以 AL，得到产出和资本的密集表达形式：
Y (t ) / A(t ) L(t ) = F{K (t ), A(t ) L(t )} / A(t ) L(t ) y (t ) = f {k (t ),1}
}
3
}
索罗新古典经济增长模型有三个基本特征： 1）在长期均衡状态中，产出增长决定于技术进步率或 者效率劳动增长率，独立于储蓄和投资在GDP中的比率。因 为新古典增长模型假设资本边际收益递减，这决定一个更高 的储蓄率和投资率，将被一个更高的资本－产出比率或者更 低的资本生产率所抵消。
4
4
2）人均收入水平决定于储蓄和投资在GDP中的比率。人均收入与 储蓄率和投资率正相关，与人口增长率负相关。（储蓄只有水平效应， 没有增长效应） 3）给定各个国家相同的偏好（即给定消费与储蓄的比率）和技术 （生产函数），资本－劳动比率与资本生产率之间是反比关系，因此， 人均资本量少的贫困国家的增长速度，将比人均资本量多的国家的速 度高，从而导致人均收入和生活水平在世界范围内趋同。
+
上式可以写为：
∂F ( K (t ), A(t ) L(t )) dL(t ) A(t ) ∂ ( A(t ) L(t )) dt
(2)
∂Y (t ) • ∂Y (t ) • ∂Y (t ) • Y= K (t ) + A(t ) + L(t ) ∂K (t ) ∂A(t ) ∂L(t )
•
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A / A 和 L / L ，有： 两端同时除以Y，右端各项分别乘以 K / K 、
ke
：
& k
0
ke
图3：索罗模型中的相图
k
23
3、平衡（稳定）增长路径
当 k = k 时，经济处在稳定增长路径上，模型中每个变量 的增长率都是常数：
e
dL = ρ L (t ) 第一、 L= dt
dA 第二、 A = = gA(t ) dt dt
•
•
⇒
⇒
L == ρ L
•
•
A =r A
⇒ 第四、 Y = g + ρ Y
y = f (k )
（5）
16
根据资本和劳动的边际收益递减假设，有：
df (k ) / dk = f ' (k ) > 0
d 2 f (k ) / dk 2 = f '' (k ) < 0
根据完全竞争市场假设， 有：
（6）
r = f (k )
'
（7） （8）
w = f (k ) − f ' (k ) ⋅ k
2．生产函数满足“稻田条件”，即资本或劳动趋于0时，资本或劳 动的边际产出趋于无穷，资本或劳动趋于无穷时，资本或劳动边际生产 力趋于0，即：
lim
K → 0
FK =
lim F L = ∞ ,
L→ 0
lim7K→∞来自FK =lim
L→ ∞
FL = 0
3、资本折旧率为 δ ，且 δ
>0。
4、资本、劳动和技术的初始水平被看作是不变的；劳动和技术以不 变的速度增长，即：
5
5
关于作者
}
索洛（Solow, Robert M.， 1924—）生于美国的纽约， 1951年获得哈佛大学的经济 学博士学位。从1949年开始 在麻省理工学院任教，1996 年退休。 因对经济增长理论作 出的杰出贡献而获得1987年 诺贝尔经济学奖。
6
一、 假定
1．生产技术假设：生产中使用资本和劳动两种要素，这两种要素之 间可以相互替代，生产函数有连续的一阶和二阶导数。各种要素的边际 产出大于0，且各自的边际收益递减。生产的规模收益不变。
第七章 索罗新古典经济增长模型： 技术进步 对增长的贡献
}
50年代，以Robert Solow, Paul Samuelson, Franco Modigliani 等人 为代表的另一个剑桥的经济学家（在美国的麻省），发展了一个 与哈罗德和英国剑桥学派不同的经济增长模型。 他们批评哈罗德和英国剑桥的后凯恩斯学派，认为哈罗德关于难 以实现充分就业下的稳定增长的悲观主义观点，是建立在生产要 素比率固定不变假设之上，将短期分析方法用在长期问题上。短 期内，这个比率可能无法调整，但从长期看，资本－劳动比率是 可以变动的，经济可以在自然增长率上实现均衡增长。
这就是均衡工资率。如果工资超过这个均衡水平，经济将处于 非均衡状态，失业率上升。
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2、每单位有效劳动资本存量变化
储蓄率决定一个经济资本存量变化或增长。索罗模型假设储 蓄率是外生决定的。假定所有的储蓄都用于投资，就有：
I = S = sY ⋅ Y (t )
（9）
（1）存在资本折旧条件下的资本增长 每年新增资本扣除折旧 后为净资本增长：
2
2
}
总之，在索罗等人看来，资本-产出比（v）是内生的：资 本和劳动一起形成产出，如果劳动相对于资本更丰富，少 量资本将会起很大作用。相反，如果劳动稀缺，边际上会 密集地使用资本，则资本-产出比率会上升。 将宏观动态经济分析建立在理性经济人假设基础之上，强 调市场在资源配置中的作用，这是新古典分析方法的基本 特征。因此，索罗称自己的模型为“新古典经济增长模型 ”。
L=
•
dL = ρL(t ) dt
A =
•
dA = g A(t ) dt
L(t ) = L(0)e ρt
劳动和技术以指数增长：
A(t ) = A(0) e gt
这一假设意味着，在所有的投入要素中，只有资本投入的增长是内生的。 因此，资本增长方程就成为模型的最关键方程。 5、市场是完全竞争的。
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二、增长模型基本形式
• • • •
Y K (t ) ∂Y (t ) K (t ) A(t ) ∂Y (t ) A(t ) L(t ) ∂Y (t ) L(t ) = + + Y Y (t ) ∂K (t ) K (t ) Y (t ) ∂A(t ) A(t ) Y (t ) ∂L(t ) L(t )
K (t ) L(t ) ≡ a K (t ) + aL + R (t ) K (t ) L(t )
k
图1：索罗模型中的技术进步
其中：
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Y y= L
K , k= L
对方程（1）求时间的全微分：
dY (t ) ∂F ( K (t ), A(t ) L(t )) dK (t ) ∂F ( K (t ), A(t ) L(t )) dA(t ) = + L(t ) dt ∂K (t ) dt ∂ ( A(t ) L(t )) dt
•
•
•
sY ⋅ Y (t ) − δ K (t ) = − k ρ − kg A(t )L(t )
= sY f(k ) − (δ + ρ + g )k
20
（12）
& = s f(k ) − (δ + ρ + g )k k Y
（12）
& 是 k 的函数。该方程表 方程（12）是索罗模型的关键方程， k 明，每单位有效劳动的平均资本存量的变动是两项之差。
•
K (t ) =
dK (t ) = S − δK (t ) = sY ⋅ Y (t ) − δK (t ) dt
（10）
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净资本增长率为：
K (t ) sY ⋅ Y (t ) − δK (t ) = gK = K (t ) K (t )
•
= sY ⋅
Y (t ) / A(t ) L(t ) K (t ) −δ K (t ) / A(t ) L(t ) K (t )
}
25
四、参数影响稳定状态
}
由（13）式 s Y f ( k e(t )) = (δ + ρ + g )k e(t )得到：
f ( k e(t )) = (δ + ρ + g ) e k (t ) sy
}
}
sy k e(t ) = e δ + ρ + g f ( k (t ))
（14）
}
上述表明各个参数对稳态的影响。首先，储蓄率提高，意味着 新稳态的资本——产出水平将提高，我们看到储蓄率的上升提 高长期平均每单位效率劳动的收入水平（储蓄率具有水平效应 而没有增长效应）。
口和技术增长的总体效应。
sf ( k )
( δ + ρ + g )k
sf ( k )
→
0
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←
k
ke 图2：索罗模型中的实际投资和持平投资
图2中，当实际投资等于持平投资的时候，有：
s Y f ( k e(t )) = (δ + ρ + g )k e(t ) （13）
图3是索罗模型中的相位图， k 收敛于
}
1
1
}
如果资本增长快于人口增长（ Gw > Gn），经济将通过价格机制实 现平滑转变，推动更多的资本密集技术发生，从长期看经济按照 外生给定的自然率增长。如果资本增长低于劳动增长（ Gw < Gn）， 出现了工资水平相对资本价格而下降，经济将通过价格机制诱导 更多的劳动密集技术发生，经济增长也将按照外生给定的自然率 增长。
}
“索罗余值”就是“劳动的效率性”，定义为除劳动和资本以外、影响 产量的其他因素的总称。 劳动的有效性具体指什么？是什么导致了它的变动？索罗模型并没有 对此作出具体说明，因此“索罗余值”又被称为“索罗黑匣子”。