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龙文教育学科教师辅导讲义说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，〔1〕求k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。
例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：假设0122=--a a ，0122=--b b ，那么ab b a +的值为 。
例7、βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .测试题目：一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得〔 〕.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程〔2-3x 〕+〔3x-2〕2=0的解是〔 〕.(A),x 2=-1 (B) ,(C)x 1=x 2= (D) ,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12．〔x+2〕〔x-2〕=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．〔b-c〕x2-〔c-a〕x+〔a-b〕=0〔a≠c〕22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法〔B〕配方法〔C〕公式法23．解方程：〔1〕〔2〕24．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=025．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x2。
一元二次方程怎么解因式分解标题：一元二次方程的因式分解方法与实际应用导语：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法之一就是将其进行因式分解。
本文将介绍一元二次方程的因式分解方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的因式分解方法要将一元二次方程进行因式分解，我们可以采用以下步骤：1. 将方程的左边移到等号右边，得到ax^2 + bx = -c。
2. 将方程两边同时乘以一个常数k，使得方程变为完全平方的形式，即a(kx)^2 + b(kx) = -ck^2。
3. 将方程左边进行因式分解，得到a(kx + m)(kx + n) = -ck^2，其中m和n为待定常数。
4. 比较方程两边的系数，得到关于m和n的方程组，解方程组，求得m和n的值。
5. 将m和n的值代入方程，得到一元二次方程的因式分解形式。
三、一元二次方程因式分解的实际应用一元二次方程的因式分解在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 在物理学中，一元二次方程的因式分解可以用于描述抛体运动的轨迹。
通过将方程进行因式分解，可以得到轨迹的方程，从而更好地理解和分析抛体的运动规律。
2. 在经济学中，一元二次方程的因式分解可以用于描述市场需求和供给的关系。
通过将方程进行因式分解，可以得到需求曲线和供给曲线的交点，从而确定市场的均衡价格和数量。
3. 在工程学中，一元二次方程的因式分解可以用于设计和优化结构。
通过将方程进行因式分解，可以找到结构的特征方程，从而确定结构的固有频率和振动模态。
结语：一元二次方程的因式分解是数学中重要的解题方法之一，它不仅有着理论上的意义，还在实际应用中发挥着重要作用。
通过掌握一元二次方程的因式分解方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题，并推动科学技术的发展与进步。
一元二次方程的解法——公式法教学目标：知识与技能目标1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力． 过程与方法目标1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点． 情感态度与价值观目标1. 通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；2. 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．重点和难点重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程； 难点：对字母系数二次三项式进行配方．教具准备 多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问题 思考如何用配方法解下列方程？二、探究归纳，讲解新课让学生独立解决问题，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？用配方法解一元二次方程的步骤： （1）化二次项系数为1； （2）移项；（3）配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．让学生仿问题（1），讨论尝试求解问题（2）；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？指出 当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程． 探索我们来讨论一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解． 用配方法来解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．22(1)1510(2)980x x x x +=-+= 2因为a ≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a ，得02=++ac x a b x，移项，得ac x ab x-=+2，配方，得22222⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++a b a ca b x a bx ，即222442aac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+．因为a ≠0，所以4a 2＞0，当b 2-4ac ≥0时，得22442aac b ab x -±=+，即aac bab x 2422-±=+．所以aac b ab x 2422-±-=，即aac b b x 242-±-=．上面的式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．从上面的结论可以发现：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的．(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入aacbb x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)中，可求得方程的两个根．思考当 b 2-4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根怎样？三、实践应用，讲解例题 例1 解方程：242=+x x解:将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0 (1)这里a=1 b=4 c=-2 ∴622244±-=±-=x原方程的解是x 1＝-2＋6,x 2＝-2-6.在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 ：(1)确定a 、b 、c 的值；(2)算出b 2-4ac 的值；(3)代入求根公式求出方程的根．例2 运用公式法解下列方程： （1）32322=--x x （2）x x 3232=+解：（1）方程两边同乘以 3得 2 2x -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b 2-4ac =(-3) 2-4×2×(-2)=25.aac b b x 242-±-=()45322253±=⨯±--=∴x 1＝2,x 2＝21-.()242144422=-⨯⨯-=-ac b()3143243,32,10332x )2(222=⨯⨯--=-=-===+-ac b c b a x 移向，得3232120)32(==⨯±--=x321==x x四、交流反思1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式aacbb x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)．利用公式法求一元二次方程的解的步骤：(1)化方程为一般式；(2)确定a 、b 、c的值；(3)算出b 2-4ac 的值；(4)代入求根公式求根．2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b 2-4ac的值．当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数解；当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数解；当 b 2-4ac ＜0时，方程没有实数解．3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法和公式法，对于各种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．五、布置作业1、第二十九页 第四题2、预习下节课内容 六、教学后记1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
在使用因式分解法解一元二次方程时：
①因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0。
②方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法求解。
③因式分解法有提公因式法，公式法，分组分解法等（十字相乘法最常用）。
④利用因式分解法解一元二次方程时，注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。
一元二次方程（因式分解，根与系数的关系 ）当一元二次方程的一边为__________,另一边易于分解成两个____________因式的乘积时，可使这两个一次因式分别等于__________，从而得到原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解。
例：已知关于X 的一元二次方程022=++m x x（1）当m=3时，判断方程的根的情况（2）当m=-3时，求方程的根例2：现定义运算◊，对于任意实数a,b 都有a ◊b=3,32如b a a +-◊533-352+⨯=，若x ◊2=6，则实数x 的值是_______________A.基础巩固训练知识点：因式分解法解一元二次方程1.方程（x-1)(x+2)=0的两根分别为（ ）A.2,121=-=x xB.2,121==x xC.2-,121=-=x xD.2-,121==x x2.方程的解为032=-x x _______________3.解方程)2(2)2(3x x x -=-B.能力提升训练7.先化简，再求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-1121x x ，其中x 为方程0232=++x x 的根9.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程（x-2)(x-4)=0的根，求这个三角形的周长C 思维拓展训练10：观察下面解方程0361324=+-x x 的方法 你能否求出方程0232==-x x 的解？ 0361324=+-x x解：原方程可以化为()()09422=--x x0)3)(3)(2)(2=-+-+∴x x x x （03030202=-=+=-=+∴x x x x 或或或3,3,2,24321=-==-=∴x x x x一元二次方程的根与系数的关系()04,0022≥-≠=++ac b a c bx ax 方程的两根21,x x 和系数a,b 有如下关系：21x x +=________,21x x =_______ 例1：已知实数a,b 分别满足,046,04622=+-=+-a b a a 且ba ab b a +≠则,的值是_________例2：已知关于x 方程0)1(2)13(2=-+--k x k kx ，（1）求证无论k 为何实数，方程总有实数根（2)若方程有两个实数根2121,,x x x x -且=2，求k 的值A.基础巩固训练知识点：一元二次方程的根与系数的关系1.若21x x ，是一元二次方程01610x 2=++x 的两个根，则21x x +的值是（ ）A.-10B.10C.-16D.162.已知21x x ，是一元二次方程014x 2=+-x 的两个实数根，则21x x 等于（ ）A.-4B.-1C.1D.43.已知x=-2是方程062=-+mx x 的一个根，则方程的另一个根是_____________B.能力提升训练4.若a,b 是方程0322=--x x 的两个实数根，则22b a +的值为（ ）A.10B.9C.7D.55.方程0)6(22=++-m x m x 有两个相等的实数根，且满足21x x +=21x x ，则m 的值是（ ）A.-2或3B.3C.-2D.-3或26.如图所示，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO,BO （AO>BO ）的长是关于x 的方程03)12(22=++-+m x m x 的两个根，则m 的值为（ ）A.-3B.5C.5或-3D.-5或37.若两个不等实数m,n 满足条件：012,01222=--=--n n m m ，则22n m +的值是____________8.已知m,n 是方程0522=-+x x 的两个实数根，则n m mn m ++-32=_________________9.关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 的实数解是21x x 和，如果21x x +-21x x <-1，且K 为整数，则K 的值为_________________10.一元二次方程0222=-+-m mx mx（1）若方程有两实数根，求m 的取值范围（2）设方程两实数根为21x x ，且21x x -=1，求mC.思维拓展训练11.若21x x ，是关于x 的方程c bx x ++2=0的两个实数根，且是整数），k k x x (221=+称方程c bx x ++2=0为偶系二次方程，如方程x x x x x x x ,04273,082,0276222=-+=--=--02762=-=x ，0442=++x x 都是偶系二次方程 （1）判断方程0122=-+x x 是否是偶系二次方程，并说明理由（2）对于任意一个整数b,是否存在实数c ，使得关于x 的方程2x +bx+c=0是偶系二次方程，并说明理由。
期末复习重点知识点：一、一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 次的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n+=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 .公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式ax 2+bx +c =0; 2.确定系数:用a ,b ,c 写出各项系数; 3.计算: b 2-4ac 的值;4.判断：若b 2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b 2-4ac <0，则方程没有实数根. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）ac b 42-≥0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有 实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .同时：若α、β为一元二次方程0132=++x x 的两个实数根，则有01α3α2=++ 和01β3β2=++5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。
