数学部分ABC、

精编小学数学奥林匹克ABC试卷03数列初步四、数列初步训练A卷班级______ 姓名_______ 得分______1.按规律填空(1)2，5，8，( )，( );(2)2，7，12，17，22，( )，( );(3)5，10，15，20，( )，( );(4)( )，( )，13，19，25，31，37;(5)1，3，4，7，11，( )，( );(6)2，6，18，54，( )，( );(7)( )，4，9，16，25，( );(8)1，3，2，4，3，5，( )，( );(9)4，21，6，18，8，15，10，( );(10)5，20，13，52，3，12，( )，60;2.(1)有一数列：1，4，7，10，13，16，……。

这个数列中第100个数是几?(2)有一数列：1，5，9，13，17，……，这数列的第300项是几?305是这个数列中的第几项?(3)数列5，8，11，14，……，179，182，一共有几项?3.计算下列各式的和(1)1+2+3+4+……+98+99+100(2)1+3+5+7+……+197+199(3)21+23+25+……+143(4)21+23+25+……+10004.计算下列各式的和5.一个剧院，第一排有20个座位，以后每排总比前一排多2个座位，一共是’25排。

这个剧院共有多少个座位?6.(1)求自然数中所有三位数的和。

(2)求自然数中所有两位数中的奇数之和。

(3)计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0. 11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+……+0.997.有一数列：1，2，4，8，16，……(1)这数列中的第11个数是几?(2)这数列的前10个数的和是几?8.若干人围成8圈(一圈套一圈)，从外向内各圈人数依次少4人。

(1)如果最内圈有32人，共有多少人?(2)如果共有672人，最外圈是几个人?9.在8与56之间插入3个数，使这样5个数成等差数列。

杂题（二）训练 A卷1．计算：275×35+88×360+53×275+365×88=（）2．计算：44444×55555÷11111＝（）3．计算：999999×999999+1999999=（）4．全班42人排成一列横队。

从左面数起，小华是第24个，从右面数起，小明是第24个，小华和小明之间有（）人。

5．如果被乘数增加15，乘数不变、积就增加180。

如果被乘数不变，乘数增加4，那么积就增加120，原来两个数相乘的积是（）。

6．有一个数自身相加、相减，相乘、相除，所得的结果的总和是81，这个数是（）。

7．把432个同样大小的正方形拼成一个长方形，一共有（）种不同的拼法。

8．把一个竹竿垂直插到一个蓄水池的池底，浸湿的部分是1.2米，掉过头把另一端垂直插到池底，这样没有浸湿的部分比全长的一半还少0.4米。

这根竹竿没有浸湿的部分长（）米。

9．小明在做减法时，把被减数十位上的8错看成3，把被减数个位上的5错看成6，这样算出来的差是108，正确的得数是（）。

10．有4个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数。

这四个数的积是多少？11．如果把一根长36厘米的铁丝围成长和宽都是整厘米数的长方形，一共有多少种围法？12．从1～9这九个数字中，每次取两个不同的数字组成一个两位数，而十位与个位上数字的和都必须比10大，这样的两位数一共有几个？13．有一块正方形木板，在它的第一边截去2分米，在相邻的第二边截去1分米，这样剩下部分的面积就比原来的少25平方分米，剩下的面积是多少平方分米？14．数一数下图中一共有（）个长方形（包括正方形）。

15．小明的妈妈买来一袋苹果和梨，已知苹果的只数是梨的2倍。

他们每天吃去5只苹果、4只梨。

几天以后，梨已吃完，还剩下15只苹果。

妈妈买来苹果多少只？16．三头牛和八只羊，一天共吃青草48千克；五头牛和十五只羊一天共吃青草85千克。

数学教学语言之ABC教师对课改精神体悟深浅与否，课程内容传达是否生动有趣，直接关系到课程改革实施的效果。

而语言是教学思想的直接体现，是教师使用最广泛的信息载体。

在整个课堂教学过程中，数学知识的传递、学生接受知识情况的反馈、师生间的情感交流等都必须依靠数学语言。

标签：数学语言科学性幽默性激励性一、课堂语言要具有知识性、科学性初中的学生大部分学习自觉性较差，要想普遍的培养他们课外坚持自学的习惯是不容易的，课堂自然成为他们用来学习掌握知识的主要场所。

而渗透着对教学内容的理解和对教学目标明确的教师的课堂语言，则是他们定向思维的主要导向。

因此教师的课堂语言必须具有高度的知识性，即在每一节课都能让学生吸收到不同程度的新养分。

同时随着现代学生的知识面的加宽，以及学科内容的相互渗透，课堂上的内容往往会引起他们对跨学科或课外知识的联想，并在课堂上向教师质疑。

比如数学教学中会涉及物理、化学、地理、生物等问题，因此教师不仅需要对专业知识进行不断深入的钻研和理解，还需要不断学习掌握课外新知识，以提高自身的素质修养，让学生感受到你那圈“智慧光环”，认真而力求准确地应付类似的每一个问题，这样不仅树立起了形象，而且让学生觉得上这节课同时可以学到课外的东西，以加强对45分钟课堂的兴趣，以便提高教师的教学效果。

课堂教学是知识内容和其语言形式的统一表现，知识的科学性决定了语言的科学性，所以科学性是各科教学课堂语言所具有的根本属性，而数学教学语言的科学性又有自己独特的内涵。

斯托利亚尔指出：“数学教学是数学思维的教学”，因此数学教师的语言要在有效的培养学生的思维能力上下功夫。

长期以来，由于受数学的所谓“逻辑严谨性”的影响，教师在教学中偏重逻辑演绎，误以为”精确、严谨、符合逻辑要求”的语言就是唯一科学性的数学教学语言。

二、数学语言要形象生动，风趣幽默数学尽管具有高度的抽象性和严密的逻辑性，但其构成内容—空间形式及其数量关系却以一定的“形”存在着，在数学教学中，教师应把教学内容及其形象融为一体，用形象化的评语言去解释抽象的数学概念，以驱动学生的数学想象。

二年级数学下册同步练习题及答案ABC卷1-4单元第一部分同步训练第一单元解决问题A 卷----------------------------------------------- 3B 卷----------------------------------------------- 4C 卷----------------------------------------------- 7第二单元表内除法（一）A 卷----------------------------------------------- 8B 卷----------------------------------------------- 11C 卷----------------------------------------------- 14第三单元图形与变换A 卷----------------------------------------------- 17B 卷----------------------------------------------- 21C 卷----------------------------------------------- 23第四单元表内除法（二）A 卷----------------------------------------------- 25B 卷----------------------------------------------- 28C 卷----------------------------------------------- 33第五单元万以内数的认识A 卷----------------------------------------------- 37B 卷----------------------------------------------- 40C 卷----------------------------------------------- 43第一部分参考答案第一单元解决问题 ---------------------------------- 46第二单元表内除法（一）----------------------------- 50第三单元图形与变换--------------------------------- 54第四单元表内除法（二）----------------------------- 57第五单元万以内数的认识----------------------------- 60第二部分检测试卷A 卷 ---------------------------------------------- 65B 卷 ---------------------------------------------- 66C 卷 ---------------------------------------------- 67D 卷 ---------------------------------------------- 68E 卷 ---------------------------------------------- 69 参考答案A 卷 ---------------------------------------------- 71B 卷 ---------------------------------------------- 71C 卷 ---------------------------------------------- 71D 卷 ---------------------------------------------- 72E 卷 ---------------------------------------------- 72第一部分同步训练第一单元 解决问题A 卷编写人：平山中心校 胡晓杰 鲁春凡 审订人：赵雪洋1.会解两步应用题。

训练A卷1.一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个长方形的面积已知（如图所示），求阴影部分长方形的面积：（单位：平方厘米）。

2.如果甲正方形的边长比乙正方形边长多3厘米，乙正方形的面积比甲正方形面积少63平方厘米，那么甲正方形的面积是（）平方厘米，乙正方形的面积是（）平方厘米。

3.有一个长方形打谷场，如果长增加3米，宽增加8米，打谷场就变成了正方形，面积也就增加251平方米。

那么原来打谷场的面积是（）平方米。

4.一个长方形的周长是24米，如果长和宽各增加5米，那么面积将增加（）平方米。

5.有一个长方形，如果把它的宽改为50米，而长不变，那么面积就减少680平方米。

如果把宽改为60米，而长不变，那么面积比原来增加2720平方米。

原来这个长方形的面积是（）平方米。

6.如图，已知梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，底边BC长10米，三角形AED的面积是5平方米。

求阴影部分的面积。

7.如图，已知等腰直角三角形的斜边AB长10厘米，求这个三角形的面积。

8.如图，已知∠1=∠2 ∠3=∠4，∠A=80°。

求∠BDC的度数。

9.下面图形中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5，这5个角的和是多少度？10.如图，已知正方形ABCD的边长是15分米，求图中阴影部分的面积。

11.将三角形ABC的AB边延长到D，BC边延长到E，CA边延长到F，使DB=2AB，EC=2BC，FA=2AC，如果三角形ABC的面积是5平方厘米，那么三角形DEF的面积是多少平方厘米？12.ABCD是边长为10厘米的正方形，BG比AG的一半多1厘米。

求梯形AEFG的面积。

13.在大小相等的两个等腰直角三角形中，各内接一个正方形（如图a，图b所示）。

如果图a中的内接正方形的面积是441平方厘米，那么图b中的内接正方形的面积是多少平方厘米？训练B卷班级________ 姓名________ 得分________1.一个长方形的周长是70厘米，长比宽多5厘米，现在要同时减少长和宽，减少以后的长方形面积是原来长方形面积的一半。

（小升初）北京版2023年六年级下学期数学期末模拟测试卷（卷一）一、选一选1．参加数学测试的男生与女生人数的比是2:1，平均分是86，其中男生的平均分是84，则女生的平均分是（）。

A ．87B ．88C ．89D ．902．下面说法中，错误的是（）。

A ．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴B ．一个三角形中，如果其中一个角是钝角，那么其它两个角一定都是锐角C ．在比例尺为1∶200的平面图上，图上1厘米，表示实际距离200米3．一个成年人的身高与脚长之比大约为7∶1。

某人脚长26厘米，他的身高大约是（）。

A ．172厘米B ．178厘米C ．182厘米4．下列各式（a 、b 均没有为0），a 和b 成反比例的是（）。

A ．85ba ⨯=B ．113a b⨯=C ．25a b-=5．妈妈用24元买了6千克苹果，总价与数量的比的比值是（）．A ．24:6B ．14C ．4:1D ．4二、填空题6．甲乙两地相距50千米，在一幅地图上量得图上距离是2.5厘米，这幅图的比例尺是()。

7．用圆规画一个直径6厘米的圆，圆规两脚间张开的距离应是()厘米；把一个圆柱削成一个的圆锥，削去部分与圆锥的体积比是()。

8．一根长100cm 的圆柱形木料，沿着木料横截成长短没有同的3个圆柱形，表面积增加250cm ，这根圆柱形木料原来一共的体积是()3cm 。

9．下图是一个直角三角形，如果以BC 边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是()立方厘米。

10．一个长方形长是10厘米，宽是8厘米，以宽为轴旋转，得到的圆柱的体积是()立方分米。

11．甲数和乙数的比是2∶3，乙数是丙数的65，甲、丙两数的比是()。

三、判断对错12．正方体、长方体、圆锥的体积都等于底面积乘高。

()13．学校生物兴趣小组饲养白兔、黑兔和灰兔，它们的只数比是2∶2∶3，已知白兔和灰兔共70只，黑兔有20只。

()14．把时：40分化为最简整数比为9：10．()15．在315ab-=中，因为有减法，所以a与b没有成比例。

高三数学压轴题训练——解三角形问题的两类题型解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略： (1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解； (2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的．[典例] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝2π3，a ＝3c ，则cb ＝______.[思路点拨]本题条件涉及三角形边、角的数量关系，结论是求边比问题，必然通过解三角形来处理．注意正弦定理和余弦定理的灵活应用．[方法演示]法一：角化边(余弦定理)由余弦定理及a ＝3c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－2c 22bc ＝－12，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法二：边化角(正弦定理)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ，∠A ＝2π3得sin A ＝3sin C ＝32，即sin C ＝12. 又角C 是三角形的内角，则∠C ＝π6.又∠A ＝2π3，所以∠B ＝π6，从而有c b ＝sin C sin B ＝1.法三：几何法过点C 作BA 的垂线CD ，交BA 的延长线于点D ，如图，由∠BAC ＝2π3，得∠DAC ＝π3，即在Rt △DAC 中，AD ＝12b ，CD ＝32b .由△BDC 是直角三角形，得CD 2＋BD 2＝BC 2， 即⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋12b 2＝a 2. 由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法四：坐标法根据题意，以点A 为原点，AB 为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，∠CAB ＝2π3，则A (0,0)，B (c,0)，C －b 2，32b .根据两点间距离公式，BC ＝⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋12b 2＝a .由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法五：向量法由BC ―→＝AC ―→－AB ―→，得|BC ―→|2＝|AC ―→－AB ―→ |2＝|AC ―→|2－2AC ―→·AB ―→＋|AB ―→|2.又由|BC ―→|＝a ＝3c ，得3c 2＝b 2－2bc cos 2π3＋c 2，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)．法六：特殊值法因为a ＝3c ，不妨令c ＝1，所以a ＝3，结合条件∠A ＝2π3，由余弦定理得b ＝1，于是cb ＝1.答案：1 [解题师说]本题法一、法二分别运用了余弦定理和正弦定理，这两种方法(边化角、角化边)是最基本的方法，其本质就是将题中的边、角统一，方便求解；法三运用了三角形的几何性质，回归三角形的本质；法四和法五都是将题中的边和角坐标化、向量化，将几何问题代数化，从而求出结果．易知法五和法一的本质是相同的，因为我们知道余弦定理是可以用向量法证明的．法六是抓住了条件a ＝3c 的本质，这是两个边的比例关系，通过令c ＝1将比例变为了具体数值，便于计算，也体现了基本量的思想．[应用体验]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2， 所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b )sin C2＝12，(a －b )cos C2＝5，则c ＝________.解析：因为(a ＋b )sin C 2＝12，(a －b )cos C2＝5，所以(a ＋b )2(1－cos C )2＝144，①(a －b )2(1＋cos C )2＝25，②由①②得2a 2＋2b 2－4ab cos C2＝169，即a 2＋b 2－2ab cos C ＝169， 由余弦定理得c 2＝169，所以c ＝13. 答案：13三角形中的最值、范围的求法(1)目标函数法：根据已知和所求最值、范围，选取恰当的变量，利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数，然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围．(2)数形结合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围．[典例] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[思路点拨]本题条件为三角形的边角关系式，而问题是求三角形面积的最值，势必要利用三角形的正、余弦定理、三角形的面积公式，以及三角恒等变换，再利用三角形的几何性质和均值不等式来解决最值问题．[方法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3. 法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，△ABC 的角A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ，则S △ABC＝12bc sin A ＝34bc ＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )]＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3，当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3.法四：函数思想 由法三得S ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ，令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3.答案： 3 [解题师说]上述四种解法，可归为两类：法一、三、四是借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；法二是结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速．不难发现，法三与法四的区别仅是对式子sin B ·sin C 的变形方法不同，两者本质相同． [应用体验]1．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ， 则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2)2．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 解析：由sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理， 得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－14(a ＋2b )22ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝3a 8b ＋b 4a －24≥6－24，当且仅当3a 2＝2b 2时取等号． 故cos C 的最小值为6－24.答案：6－24一、选择题1．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5,6]B ．(3,5)C ．(3,6]D ．[5,6]解析：选A 由正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3.又b sin B ＝c sin C ＝a sin π3＝2，所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝41－cos 2B 2＋1－cos[2(A ＋B )]2＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin2B －π6＋4.又△ABC 是锐角三角形，所以B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B －π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6.所以b 2＋c 2的取值范围是(5,6]．2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ∵23cos 2A ＋cos 2A ＝0，∴23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos 2A ＝125，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝15.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋36－125b ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 3．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( ) A ．2 3 B. 3 C.33D.233解析：选D 由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255或cos ∠DCB ＝－255.又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以舍去cos ∠DCB ＝－255.在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，又sin ∠DCB ＝55，由正弦定理得sin ∠DBC ＝CD sin ∠DCB 2＝1010，在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233.4.如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝( )A.223B.24C.64D.63解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin A ，所以BD ＝AD ＝22sin A .因为AD ＝DB ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A .在△BCD 中，由正弦定理BD sin C ＝BC sin BDC ，得22sin A 32＝4sin 2A，整理得cos A ＝64. 5.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( )A.3＋64 km 2B.3－64 km 2C.6＋34km 2D.6－34km 2解析：选D 如图，连接AC ，根据余弦定理可得AC ＝22＋12－2×2×1×12＝＝3，故△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，故△ADC 为等腰三角形，设AD ＝DC ＝x ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3(2－3)．所以所求小区的面积为12×1×3＋12×3(2－3)×12＝23＋6－334＝6－34(km 2)．6．若钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.22B ．1 C. 2D. 5解析：选D 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.7．在非等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.因为0<A <π，所以0<A <π2，又a 为最大边，所以A >π3，即角A 的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2.8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( )A.334B.34C.332D.32解析：选A 根据正弦定理由sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b ，可得a －b ＝c (a －c )a ＋b，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.10.为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1 m ，且AC 比AB 长0.5 m ，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋32m B ．2 m C ．(1＋3)mD ．(2＋3)m解析：选D 设BC 的长度为x m ，AC 的长度为y m ，则AB 的长度为(y －0.5)m ，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，得(y －0.5)2＝y 2＋x 2－2xy ×12，化简得y (x －1)＝x 2－14.因为x >1，所以x －1>0，因此y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34(x －1)＋2≥3＋2，当且仅当x －1＝34(x －1)时取等号，即x ＝1＋32时，y 取得最小值2＋3，因此AC最短为(2＋3)m.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736 C.334或213D.334或736解析：选D 由sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，可得2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，得A ＝π2，因为C ＝π3，则B ＝π6，又c ＝7，由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝213，由三角形的面积公式知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A ，得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝12，可得a ＝1，b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝334.综上可知，△ABC 的面积为736或334. 12.如图所示，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B cos A.若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，则四边形OACB 面积的最大值是( )A.4＋534B.8＋534 C ．3 D.4＋52 解析：选B 由b a ＝1－cos B cos A及正弦定理得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＝sin A ，所以sin C ＝sin A ．又b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，△ABC 为等边三角形．设△ABC的边长为k ，则k 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34k 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin θ－π3＋534≤2＋534＝8＋534，所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为8＋534. 二、填空题13．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝74，则sin B ＝34， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32. 答案：3214．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝__________.解析：如图，AD 为△ABC ，BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a .又B ＝π4，所以BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a . 在Rt △ABD 中，由勾股定理得，AB ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12BC ·AD ， ∴12×23a ×53a ·sin ∠BAC ＝12a ·13a ， ∴sin ∠BAC ＝310＝31010. 答案：31010 15．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为__________．解析：由题意得，4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得，2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1.∵0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc .又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.答案：816．在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4.又ADsin ∠ACD ＝CD sin A ，所以sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，所以BC ＝AC ·sin A sin B＝4. 答案：4。

一、 相遇甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=tS V 和和二、 追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=tS V 差差三、 在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。

⨯⎧⎪÷⎨⎪÷⎩÷⎧⎪⨯⎨⎪÷⎩路程=速度和相遇相遇速度和=路程相遇相遇=路程速度和追及=追及路程速度差追及追及路程=速度差追及速度差=追及路程追及知识框架相遇和追及问题重难点能够解决行程中复杂的相遇与追及问题能够画出多人相遇和追及的示意图并将问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题能够利用柳卡图、比例解决多次相遇和追及问题例题精讲一、相遇和追及【例 1】在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？【巩固】乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米？【例 2】甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。

初二数学ABC分层走班制教学实践措施分析【摘要】本文主要探讨了的相关内容。

在文章对背景介绍进行了阐述，强调了研究的意义。

在分别对ABC分层走班制进行了概述，并深入探讨了其在初二数学教学中的应用。

对教学实践措施进行了分析，并着重介绍了课堂教学设计以及学生辅导与答疑方面的重要性。

在文章对初二数学ABC分层走班制教学实践效果进行评估，并提出了展望与建议。

本文旨在为初二数学教学提供有效的教学实践措施，以提升教学效果和学生学习成绩。

【关键词】初二数学、ABC分层走班制、教学实践、课堂教学设计、学生辅导、答疑、效果评估、展望、建议。

1. 引言1.1 背景介绍初二数学ABC分层走班制教学实践措施分析引言本文将从ABC分层走班制的概述、在初二数学教学中的应用、教学实践措施分析、课堂教学设计和学生辅导与答疑等方面进行探讨，旨在深入研究初二数学ABC分层走班制的教学实践效果，并提出展望与建议，为教育教学改革提供参考和借鉴。

1.2 研究意义初二数学ABC分层走班制教学实践措施分析的研究意义在于深入探讨这种教学模式对学生学习效果的影响，为初中数学教学提供新的思路和方法。

ABC分层走班制可以更好地满足学生个性化学习的需求，促进学生自主学习和发展。

通过分层走班制，可以更好地培养学生的问题解决能力和合作精神，提高他们的学习动力和积极性。

研究初二数学ABC分层走班制的教学实践措施，可以有效提高教师的教学水平和教学效果，推动教育教学改革和创新。

通过评估初二数学ABC分层走班制的教学实践效果，可以为今后的教学改进提供依据和指导，促进学校教育教学质量的持续提升。

深入研究初二数学ABC分层走班制的教学实践措施具有重要的理论和实践意义，对推动教育事业的发展具有积极的促进作用。

2. 正文2.1 ABC分层走班制概述ABC分层走班制是一种根据学生的学习水平和兴趣特点进行分层教学的教学模式。

通过将学生分成不同层次的班级，可以更好地满足每个学生的学习需求，提高教学效果。

平⽅数、奇偶性、位值原理（ABC级）.学⽣版⼀、完全平⽅数常⽤性质1. 特征1.完全平⽅数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平⽅数之间不存在完全平⽅数。

3.完全平⽅数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的⾃然数是完全平⽅数。

4.若质数p 整除完全平⽅数2a ，则p 能被a 整除。

2. 性质性质1：完全平⽅数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平⽅数被3，4，5，8，16除的余数⼀定是完全平⽅数．性质3：⾃然数N 为完全平⽅数?⾃然数N 约数的个数为奇数．因为完全平⽅数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是⾃然数，N 是完全平⽅数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平⽅数的个位是6?它的⼗位是奇数．性质5：如果⼀个完全平⽅数的个位是0，则它后⾯连续的0的个数⼀定是偶数．如果⼀个完全平⽅数的个位是5，则其⼗位⼀定是2，且其百位⼀定是0，2，6中的⼀个．性质6：如果⼀个⾃然数介于两个连续的完全平⽅数之间，则它不是完全平⽅数．3. ⼀些重要的推论1.任何偶数的平⽅⼀定能被4整除；任何奇数的平⽅被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数⼀定不是完全平⽅数。

2.⼀个完全平⽅数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数⼀定不是完全平⽅数。

3.⾃然数的平⽅末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平⽅数个位数字是奇数（1，5，9）时，其⼗位上的数字必为偶数。

5.完全平⽅数个位数字是偶数（0，4）时，其⼗位上的数字必为偶数。

知识框架平⽅数、奇偶性、位值原理7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的⾃然数不是完全平⽅数；末尾只有奇数个“0”的⾃然数不是完全平⽅数；个位数字为1，4，9⽽⼗位数字为奇数的⾃然数不是完全平⽅数。