第7讲 初二海淀复习巩固好题精讲

初二海淀体系提高班复习巩固好题精讲第4讲质量和密度解析：此题是密度公式应用问题中的等质量变化问题。

论是水结冰，还是冰熔化成水是质量不变的，这是此题的隐含条件，也是做对此题的“题眼”所在。

因为冰的密度小于水，二者质量是相等的，所以冰的体积一定大一些。

总结：冰水问题八字口诀：“质量相等，水九冰十”：水结冰，体积增大量是原来水体积的九分之一；冰熔化成水，体积减小量是原来冰体积的十分之一。

解析：此题属于高端题目，做错的同学较多，很多同学选了A。

根本原因是没有区分开“装有”和“装满”的区别；此题要是把“装有”改成“装满”，A项才是正确答案！做题的时候需要假设为装满，使此题成为密度公式应用中的“等体积变化问题”，溢出的酒精的体积等于金属的体积等于溢出的水的体积，从而做出正确答案。

总结：密度公式应用中三大常考题型：（1）等体积变化问题，如：瓶子装满液体，工件铸造问题等，（2）等质量变化问题，主要是冰化水，水结冰。

（3）空心问题。

解析：假设酒精中没有一点水，则此时是纯酒精，其密度应该是0.8g/cm 3 .题目中要求水含量不超10%，所以可以假设此时混合酒精一共100g ，其中水有10g ，纯酒精应该是90g ，此时液体的总体积为：V 总=V 水+V 酒；总质量为m 总=100g ， 代入总总平V m =ρ计算，此时的密度为0.816g/cm 3。

所以最后液体的密度在0.8g/cm 3 ~0.816g/cm 3之间是合格的。

（1）此题是个范围问题，这类题目需在找到临界点，常采用假设的方法进行求解。

（2）此题为平均密度问题，对于求平均密度一定要先从总质量，总体积下手，再利用公式：总总平V m =ρ 计算，大家记住一定是总质量除以总体积，而不是密度的平均。

总结：密度公式有两个：（1）对于单种物质，其密度为：V m=ρ；（2）对于混合物质，其密度为：总总平V m =ρ。

解析：此题的难点在于读懂题意，平均含沙量是什么意思，其实题目中的括号里已经给出说明，但括号正是同学们容易忽略的地方。

《平行线的证明之平行线间的拐点问题》教学设计——北师大新版八年级上册第七章一．教材内容分析：本节课的教学内容是北师大新版八年级上册第七章《平行线的证明》复习课中的拐点问题专题。

拐点问题在书上第七章复习题中出现，是可进行各种发散的好题，考查了学生对于平行线的性质判定，三角形内角和外角的性质等知识的综合应用，及学生的读图，分析的能力。

二．学情分析1.学生的知识基础：学生在七年级下学期就简单学习了平行线相交线的定义和性质,积累了一定的经验,在八年级上学期结合证明对第七章又对平行线的性质判定，三角形的内角外角性质有了更深刻的学习，可应用平行线性质判定及三角形内角外角性质解决一些简单的几何证明问题。

2.学生的学习基础：八年级学生特别是本校学生在学校及老师的培养下已经具备了一定的自学能力，在之前的几何问题学习中也已经具备一定的观察、探索，分析，归纳、证明等能力。

相信这些能力能够有助于课堂更有效的开展。

三．教学目标1.灵活应用平行线的性质判定定理及三角形的内角外角性质解决有关平行线间的拐点问题。

2.进一步熟悉和掌握证明的步骤，格式和方法。

四．教学重难点重点：利用添加辅助线解决平行线间的拐点问题并会应用。

难点：掌握此类题型的证明方法。

五．教学过程（一）复习回顾1.平行线的性质定理：∵a ∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∠1=∠2(两条直线平行，内错角相等)∠2+∠4=180°(两条直线平行，同旁内角互补)2.平行线的判定定理：∵∠2＝∠3 ∴a ∥b(同位角相等，两条直线平行) ∵∠1=∠2 ∴a ∥b(内错角相等，两条直线平行)∵∠2+∠4=180° ∴a ∥b(同旁内角互补，两条直线平行)3.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°4.三角形外角和内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

如图：在△ABC 中，∠2+∠3+∠4=180°∠1=∠2+∠3∠1>∠2,∠1>∠3B C D1 2 b c 3 a 4【设计意图】复习平行线及三角形相关性质和判定后，有利于学生更快进入几何学习状态，有利于后续平行线间拐点问题的研究。

初三西城复习巩固好题精讲第七讲期中复习解析：本题主要考察的是电流的定义，这样的题目必须注意三个变量之间的关系，而考察的关键就是控制变量法。

当我们在判定一个物理量与另外一个物理量之间的关系时，必须要限定第三个量才行。

显然A没有限定电量Q，C没有限定时间t，D选项的横街面积跟电流没有关系。

解析：主要考察电阻与绝缘体的关系。

绝缘体不是没有电阻，而是没有能够自由移动的电荷。

电阻的大小与电阻率，横截面积以及材料长度有关，D就是没有运用控制变量的方法，而显得决断！解析：首先分析A1是干路中电流，测的是L1与L2的电流之和；而A2测的是L2的电流。

此题看起来很简单，但是考察的知识点很多：串并联电流的特点；电流表不同接线柱以及读法；最容易错误的地方是两个电流表的接线柱不同，读法不同，大家很容易忽视，所以一定要仔细！（b）的读数1.8A；（a）的读数0.52A；最后的结果1.28A。

解析：这其实一道实验题，现在改成了选择题。

分析发现两灯泡都短路了，电流：从电源正极-D-B-开关S-电源负极。

若D选项中M改接到B上，虽然变成并联电路，能发光。

但是两灯泡的两端电压为4.5V，而两灯泡允许的最大电压都是3V，灯泡会被烧坏。

解析：情况分析题。

并联电路中，A1是干路电流，当S闭合时，A2测得是R2和R3的总电流；当S断开，A2测得是R2的电流。

解析结果如上。

解析：这个题目是一道开发性很高的题目，对于初中学生来说，基本没有见过的题型。

而且穿插了数学里面的一次函数，解题其实很简单，最关键的是同学们要打开视野，对新颖题目要抓住期中的考察知识点，这样问题就变得相当简单。

这就是万变不离其中，这也告诉同学们一个解题技巧，掌握题目包含的知识点，以后做题可以适当的标注题目考察的知识点，这样做起题来就显得简单而精确！（喻力老师提供）。

第七章平行线的证明（基础）命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠3＝∠2∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠1＝∠2∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠4＋∠2＝180°∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1．请说出下列名词的定义：（1）无理数 （2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果,>>a b b c ，那么>a c ；（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：,>>a b b c ；结论：>a c .它是真命题.（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）.A m =，则a m =B ．若a ＞b ，则am ＞bmC ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D 类型二、公理、定理及证明3．证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（ ）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4. （2019•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB ∥AC ，根据同旁内角互补，两直线平行【答案与解析】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．举一反三：【变式】（2018•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；故选：C．5.（2018•日照期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【答案与解析】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．命题、证明及平行线的判定定理（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列命题中，属于定义的是（）.A、两点确定一条直线B、同角的余角相等C、两直线平行，内错角相等D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度2．下列真命题的个数是().①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．A．0个B．1个C．2个D．3个3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是().A．平行的性质B．等量代换C．平行于同一直线的两条直线平行.D．以上都不对4．（2019•来宾）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是().A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠3=∠5D．∠3+∠4=180°5．如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是().A．同位角相等，两直线平行. B．内错角相等，两直线平行.C．同旁内角互补，两直线平行. D．以上都不对.6．（2018•金华）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD二、填空题7.（2019春•南和县期末）如图所示，请你填一个适当的条件：使AD∥BC .8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．9．如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝________时，有直线a∥b成立．10．（2018春•台州）长方形ABCD中，∠ADB=20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB′∥BD，则折痕AF与AB的夹角∠BAF应为．11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．12.已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．三、解答题13.求证：邻补角的角平分线互相垂直.14．（2018春•邵阳）如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC=90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；2.【答案】A；【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．3．【答案】C；【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．4. 【答案】C；【解析】根据平行线的判定即可得出C选项不符合.5. 【答案】A；【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行．6. 【答案】C；【解析】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确；C、测得∠1=∠2，∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，∴不一定能判定两直线平行，故错误；D、在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD，∴∠CAO=∠DBO，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确．故选：C．二、填空题7. 【答案】∠ADC=∠DBC(答案不唯一)【解析】内错角相等，两直线平行.8．【答案】平行；【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.9．【答案】70°；10.【答案】55°；【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∠ADB=20°，∴∠ABD=70°．∵AB′∥BD，∴∠BAB′=110°．∵△AB′F由△ABF翻折而成，∴∠BAF=∠BAB′=55°．故答案为：55°．11.【答案】平行；【解析】平行公理的推论12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；【解析】这是平行公理的具体内容.三、解答题13.【解析】已知：如下图，∠AOD与∠DOB互为邻补角，且射线OC是∠AOD的角平分线，射线OE是∠DOB的角平分线.求证：OC⊥OE证明：∵∠AOD与∠DOB互为邻补角，∴∠AOD＋∠DOB＝180°.又∵射线OC是∠AOD的角平分线，射线OE是∠DOB的角平分线，∴∠COD＝12∠AOD，∠DOE＝12∠DOB，（角平分线的定义）∴∠COE＝∠COD＋∠DOE＝12∠AOD＋12∠DOB＝12（∠AOD＋∠DOB）＝1180902︒︒⨯=.（等量代换）所以OC⊥OE.14．【解析】解：∵∠EDC+∠ECD+∠DEC=180°，∠DEC=90°，∴∠EDC+∠ECD=90°．∵由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠ADC+∠BCD=2（∠EDC+∠ECD）=180°，∴AD∥BC．15. 【解析】解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°，∠2＝60°，∴∠1＝∠2．∴AB∥CD．又∵∠3＝∠4＝100°，∴CD∥EF．∴AB∥EF．平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角 相等）.因为a ∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补).因为a ∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°. 321cba要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、∠3、∠4的度数．【答案与解析】解：∵ DE∥BC，∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴∠3＝115°(等量代换)．【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．举一反三：【变式】（2018•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°．故答案为：120°2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．【答案与解析】解：过点B作直线BE∥CD．∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．又∵BF∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．求证：∠B+∠D=180°【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．【答案与解析】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵BE∥FD（已知），∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠D=180°（等量代换）．【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．举一反三【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．【答案】解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠ECD=∠1=25°，∵AB∥CD，∴∠ECD+∠2=180°，∴∠2=180°-∠ECD=155°．4.（2019春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．【答案与解析】如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．5. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．（1）求证：∠A=∠B；（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．【答案与解析】解：（1）∵BC∥AD，∴∠B=∠DOE，又∵BE∥AF，∴∠DOE=∠A，∴∠A=∠B．（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°，∴∠A=45°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．举一反三【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．6、如图所示，AB ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝( )A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C【解析】过点C 作CD ∥AB ，∵ CD ∥AB ，∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF ∥AB∴ EF ∥CD ．∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE ＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF ＝360°【巩固练习】一、选择题1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( ) A．① B．②和③ C．④ D．①和④2．（2018•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122° B．151°C．116°D．97°3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )4．（2019•陕西一模）直线a、b、c、d的位置如图，如果∠1=100°，∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于（）A．80°B．65°C．60°D．55°5．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( )A．60° B．70° C．80° D．120°6．如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于( )A．55° B．30° C．65° D．70°二、填空题7．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= _______．8. 如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= ________度．9.如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．10．（2018•云南）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=．11．（2019春•冷水江市期末）如图，下列推理是否正确，请写出你认为是正确推理的编号．①因为AB∥DC，所以∠ABC+∠C=180°②因为∠1=∠2，所以AD∥BC③因为AD∥BC，所以∠3=∠4④因为∠A+∠ADC=180°，所以AB∥DC．12．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．三.解答题13．如图，已知AB ∥CD ，MG 、NH 分别平分∠BMN 与∠CNM ，试说明NH ∥MG?14. 如图，a ∥b ∥c ，∠1＝60°，∠2＝36°，AP 平分∠BAC ，求∠PAQ 的度数．15．（2018春•晋安）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF（1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB ，那么∠OBC：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】两直线平行角的关系. 2. 【答案】B ；【解析】∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG 平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，−−−→←−−−性质判定∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B．3. 【答案】B；【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.4. 【答案】D；【解析】∵∠1=100°，∠2=100°，∴∠1=∠2，∴直线a∥直线b，∴∠4=∠5，∵∠3=125°，∴∠4=∠5=180°﹣∠3=55°，故选D．5. 【答案】B【解析】注意到CD∥OE∥AB，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝30°，∠EOC＝∠B＝40°．故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°．6. 【答案】C；【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°.二、填空题7.【答案】115°；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案为：115°．8.【答案】36°；【解析】∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°．故答案为：36．9.【答案】60；【解析】由已知得：∠2＝2∠1＝60°.10．【答案】64°；【解析】由已知可得：AD∥BC，由平行的性质可得：∠D+∠C＝180°.如图，∵∠1+56°=120°，∴∠1=120°﹣56°=64°，又∵直线l1∥l2，∴∠α=∠1=64°．故答案为：64°．11. 【答案】①②④【解析】①∵AB∥DC，∴∠ABC+∠C=180°，此结论正确；②∵∠1=∠2，∴AD∥BC，此结论正确；③∵AD∥BC，∴∠1=∠2，而∠3≠∠4，此结论错误，④∵∠A +∠ADC=180°，∴AB ∥DC ，此结论正确．故答案为①②④．12.【答案】15°；【解析】由图可知：∠APC ＝∠BAP+∠PCD ，即有45°+a ＝60°-a+30°-a ， 解得：a ＝15°.三、解答题13.【解析】证明：∵AB ∥CD(已知)，∴ ∠BMN ＝∠MNC(两直线平行，内错角相等)． ∵MG 、NH 分别平分∠BMN 、∠CNM(已知)．∴∠MNH ＝∠MNC ，∠NMG ＝∠BMN(角平分线定义)． ∴∠MNH ＝∠NMG ，∴ NH ∥MG(内错角相等，两直线平行)．14.【解析】解：∵a ∥b ∥c ，∴∠BAQ ＝∠1＝60°，∠CAQ ＝∠2＝36°，∠BAC ＝60°+36°＝96°， 又AP 平分∠BAC ，∠BAP ＝×96°＝48°， ∴∠PAQ ＝∠BAQ-∠BAP ＝60°-48°＝12°．15.【解析】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE 平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；（3）在△COE 和△AOB 中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OE 、OF 是∠AOC 的四等分线，∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．三角形的内角和（基础）知识讲解 121212【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE ∥AB （已作）．所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线，过B 点作∥，过C 点作∥，因为∥（已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∥（已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．1l 2l 1l 3l 1l 1l 3l 1l 2l又∠2+∠3=∠ACB，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.（2019春•宜兴市校级月考）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【思路点拨】首先根据三角形的内角和定理，求出∠1+∠2=40°，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出∠3+∠4=30°，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出∠5+∠6=30°；最后根据三角形的内角和定理，用180°减去∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数，求出∠A为多少度即可．【答案与解析】解：如图，∵∠BDC=140°，∴∠1+∠2=180°﹣140°=40°，∵∠BGC=110°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣110°=70°，∴∠3+∠4=70°﹣40°=30°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6，又∵∠3+∠4=30°，∴∠5+∠6=30°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（∠1+∠2+∠3+∠4）+（∠5+∠6）=70°+30°=100°∴∠A=180°﹣100°=80°．故选：C．【总结升华】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角3.（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】（2018春•龙口市）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为度．【答案】如图连接CE，根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．类型三、三角形的内角外角综合4.（2018春•绿园）如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．【思路点拨】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论．【答案与解析】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．又∵AD平分∠BAC（己知），∴∠BAD=21°，∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．又∵AE 是BC 边上的高，即∠E=90°，∴∠DAE=90°﹣59°=31°．【总结升华】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，过点P 作PG ⊥BC 于G ，试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD ＝∠CPG ．理由如下：∵ AD 、BE 、CF 分别是∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∴ ∠1＝∠ABC ，∠2＝∠BAC ，∠3＝∠ACB ． ∴ ∠1+∠2+∠3＝(∠ABC+∠BAC+∠ACB )＝90°． 又∵ ∠4＝∠1+∠2，∴ ∠4+∠3＝90°．又∵ PG ⊥BC ，∴ ∠3+∠5＝90°．∴ ∠4＝∠5，即∠BPD ＝∠CPG ．【巩固练习】一、选择题1．已知在△ABC 中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．（2018•滨州）在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3．(云南昆明)如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，∠A ＝80°，∠ACB ＝60°，12121212。

【平行线的证明】基础巩固提升一．选择题1．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．32．下列说法中正确的个数有（）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④两条直线相交，对顶角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少40°，则∠α的度数为（）A．20°B．125°C．20°或125°D．35°或110 4．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形5．如图，能判断直线AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠3＝180°6．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90°B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°C．∠γ+∠β﹣∠α＝180°D．∠α+∠β+∠γ＝180°7．如图在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F，②2∠BEF＝∠BAF+∠C，③∠F＝∠BAC﹣∠C，④∠BED＝∠ABE+∠C，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④8．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（）A．40°B．60°C．80°D．140°9．有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（）A．4个B．3个C．1个D．0个10．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO＝72°，则∠C的度数为（）A．36°B．54°C．64°D．72°二．填空题11．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m 上，则∠1+∠2的度数为．12．如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由．13．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF．则下列结论正确的有：．（只填序号）①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F；④若CD＝DF，则DE＝AF．14．如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件有（填写所有正确的序号）．三．解答题15．如图，已知AD∥EF，∠2＝50°．（1）求∠3的度数；（2）若∠1＝∠2，问：DG∥BA吗？请说明理由；（3）若∠1＝∠2，且∠DAG＝20°，求∠AGD的度数．16．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．17．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．交换命题的条件和结论，得到下面的命题：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．18．已知直线BC∥ED．（1）如图1，若点A在直线DE上，且∠B＝44°，∠EAC＝57°，求∠BAC的度数；（2）如图2，若点A是直线DE的上方一点，点G在BC的延长线上，求证：∠ACG＝∠BAC+∠ABC；（3）如图3，FH平分∠AFE，CH平分∠ACG，且∠FHC比∠A的2倍少60°，直接写出∠A的度数．。

初二海淀体系复习巩固好题精讲第3讲测量解析：这道题虽然是全国物理竞赛题，但是考察的只是学生对长度概念的理解和对长度值的整体把握。

这样的题目作为竞赛题其实给我们一个信息，就是必须要与生活实际衔接起来的物理才能体现他的真正价值。

同学对这样的题目如果刚开始不能做对也没有关系，记住这些长度的大概值，也是一种积累。

解析：这个题目作为了全国物理竞赛题就是为了传达一种信息，生活实际必须与物理紧密联系起来考虑。

这些常识性的问题还有很多，比如：汽车的速度，马路的宽度，飞机的速度，这些都需要同学们平时去关注生活，才能获得更多有用的信息。

解析：这个题目很多同学一看到就认为没有错误的，甚至怀疑题目有问题。

而C是很多同学最不容易想到的，平时要求学生们测量前一定看看零刻度线是否完整，导致许多同学认为必须要用零刻度线完整的刻度尺，实际上不是这样的，我们可以把刻度尺的任何一个有连续刻度的地方作为一个刻度尺，那么这样零刻度我们就可以选取任何其中刻度完好的地方，只要把前后测得的值作差就是答案了。

正确答案选C.解析：此题其实考察的就是错误与误差的区别，记住：错误可以避免而误差不能避免，误差只能减小。

多次测量可以减小误差。

解析：此题考察的是有效值与估计值之间的关系。

我们读数时必须是估读到最小刻度值的下一位。

也就是说给出一个测量值，它的倒数第二位必然是所用刻度尺的最小刻度值。

对于此题中12.0mm，所用刻度尺的最小刻度值为1mm，换成米作记录的话应该是0.0120m，这样最小刻度还是1mm。

并且记住：测量值=准确值+估计值。

估读值一定不能漏掉。

解析：这个题目实际是一道陷阱题，很多同学一看到就认为是多次测量取平均值，这就掉入了陷阱。

为了减小误差可以多次测量取平均值，但是大家一定要注意多次测量取平均值前一定要先排除误差大的数，也就是说先排除测量中的错误。

此题中显然27.2mm是个错误，先舍去。

再对余下的四个数取平均值，得到结果为25.2mm.解析：以上两题，大家要学会用多种方法完成测量，并掌握这种方法。

第一讲物态变化(上)【例5】（挑战高端）小明有一支温度计，它的玻璃管的内径和刻度都是均匀的，但它的标度却不准确，它在冰水混合物中的读数是-0.7℃，在沸水中的读数是102.3℃，则（1）当它指示的温度是-6℃时，实际的温度是多少？（2）它在什么温度附近误差很小，可以当作刻度准确的温度计使用？答案: -5.15℃；23.3℃准确值不准确值解析: 这类问题有很多多种方法可用,但对于初中最简单又直接的方法就是比值法,就是将不准确的分度值与准确的分度值进行换算，在互相对应。

如图所示：假设温度计左边的示数为准确值，右边为不准确值。

（1）根据摄氏度的定义，本题中右边-0.7℃对应是左边0℃；而右边102.3℃对应左边100℃，所以左边是1℃对应右边1.03℃，就是说右边有几个1.03℃左边就有几个1℃。

经计算右边-0.7℃到-0.6℃之间有5.15个1.03℃，所以左边就对应是-5.15℃。

（2）设右边温度为T时，左边温度也搞好为T。

那么就有{T-（-0.7）}÷1.03=T。

解得T≈23.3℃。

【例6】（基础过关）在0℃时，将两根长度和质量相等的均匀铜棒和铁棒连接在一起，将支点放在接头处刚好平衡，如图所示，当温度升高数百摄氏度时，观察到的现象是.【答案】当温度升高时，铜和铁都会受热而膨胀，而在升高同样温度的情况下，铜膨胀得比铁多．在图所示的情况下，则铜和铁的重心都会因棒的膨胀而远离支点，但铜远离得多些，铁远离得少些．所以将发生逆时针方向转动，即其左端下降，右端上升．值得注意的是体积并不是哪端下降的直接因素，导致左端下降的直接因素是重心离支点的远近。

【例10】（挑战高端）（全国初中物理应用竞赛初赛试题）一个圆环，如图所示，当它均匀受热后，它的内、外径将如何变化?【解析】一般认为，物体在受热膨胀时，总是由边界向周围空间扩张．图示圆环向外、向内都要膨胀．向内膨胀使内径变小，向外膨胀使外径变大．让我们做一个实验：找一个直径与圆环未加热时内径相等的金属球，此时该金属球恰好通过圆环，再给圆环均匀加热，金属球还能通过加热后的圆环吗?结果是金属球更容易通过圆环．此实验事实证明，加热后金属圆环的内径是增大的．因此内径变小这一分析结果是错误的．法一(反证法)：物体均匀受热温度升高时，若物体不是反常膨胀，则处处都要膨胀，这是大前提．假设圆环的一部分(靠内径处)向内膨胀，另一部分向外膨胀，则必然存在中间的某一部分(向外膨胀与向内膨胀的交界处)既不向外，也不向内膨胀(如图中虚线处)，即这部分不发生热膨胀，这与大前提矛盾．所以圆环的内、外径都要变大．另一个角度，假如上述假设成立，则图示虚线内侧向内膨胀，虚线外侧向外膨胀，在虚线处就形成一裂缝，这与实验事实也是矛盾的，假设不成立．法二(填补法)：将圆环填补成圆盘，如图所示，当物体均匀受热时，圆盘中的每一个同心圆周长都将增加，显然金属外径在增大，图中填补上部分的外径r 也要变大，即圆环均匀受热温度升高时，内径也是增大的．法三(微元法)：设想在金属环的内径处取一环状金属丝，如图所示，当金属环受热时，该金属丝必受热膨胀，即金属丝的周长将变长，其对应的圆周半径必然变大，也即圆环的内径变大．同理，外径也必然变大【例16】（挑战高端）（2010年全国应用物理知识竞赛）露天放置的大型石油液化气罐，为了防止因温度过高而造成爆炸等事故，罐体外表面通常漆成银白色，如图所示．而露天安装的电力变压器，同样为了防止因温度过高而造成火灾等事故，在采用加注冷却油、安装散热管等一系列散热措施的同时，却把其外表面漆成颜色很深的灰黑色，如图所示．同样是为了防止温度过高，一个外表面漆成颜色很浅灼银白色，另一个外表面却漆成颜色很深的灰黑色，这是为什么呢?【答案】有三个要点：（1）物体表面颜色越浅，反射热辐射的能力越强，进行热辐射的能力越差；物体表面颜色越深，反射热辐射的能力越差，进行热辐射的能力越强．（2）石油液化气在罐中储存，本身不产生热．其温度升高主要是因为吸收来自环境中通过热辐射传递的能量，因此，为了避免温度过高，其表面漆成银白色，增强其反射热辐射的能力，减少吸收的热量．（3）正常运行中的电力变压器，会有极少部分的电能转化为内能，导致其温度升高，当变压器的温度比环境温度高时，将其漆成颜色很深的灰黑色，有利于将热量通过热辐射的方式传递到环境中，从而避免自身温度升得过高．【练5】（全国初中物理应用竞赛初赛试题）如图所示，有一块厚铁板M ，冲下圆柱体N（N 能很紧密地塞回圆孔）．现把铁板和铁柱同时放到炉内加热较长时间，在取出的瞬间（）A．N 变粗塞不进圆孔B．圆孔变大，N 很容易塞进C．圆孔变小，N 不能塞进D．N 仍能紧密地塞进圆孔【解析】一般的物体在温度升高时膨胀，在温度降低时收缩．铁圆柱体和铁板在同样受热时，热膨胀的程度是一样的．铁柱受热膨胀，直径变大，有孔的铁板在受热时，孔的内径也同样要增大,且它们增大的程度是一样的．【答案】D。

第七章 平行线的证明一、填空题（18分）1.命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________， 它是________（真或假）命题.2.已知，如图，直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠BOD 且∠AOE=150°，∠AOC 度为 .3.如下图，直线AB 、CD 互相垂直，垂足为O ，直线EF 过点O ，∠DOF ＝32°，∠AOE 的度数是_______.10、如图1，如果∠B ＝∠1=∠2＝50°，那么∠D ＝ .4.如图2，直线l 1、l 2分别与直线l 3、l 4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4＝125°，则∠3＝ .5.如图3，已知AB ∥CD ，∠C=75°，∠A=25°，则∠E 的度数为 .6.如图AB ∥CD ∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD ∥BE解：∵AB ∥CD （已知）∴∠4=∠_____（ ） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠_____（ ）∵∠1=∠2（已知） ∴∠ 1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ） 即 ∠_____ =∠_____（ ） ∴∠３＝∠_____∴ＡＤ∥ＢＥ（ ）二、选择题（12分）7.平行直线AB 和CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对8.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠E CBAOE，∠1=15°30，则下列结论中不正确的是（）.A.∠2=45°B.∠1=∠3C.∠AOD与∠1互为补角D.∠1的余角等于75°30′9.下列是命题的是( )A.画两条相等的线段B.等于同一个角的两个角相等吗？C.延长线段AO到C，使OC=OAD.两直线平行，内错角相等.10.下列命题是假命题的是（）.A. 对顶角相等B. -4是有理数C. 内错角相等D. 两个等腰直角三角形相似三、解答题（70分）11.（4分）已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。

北师大版数学八年级上册第七章《平行线的证明》复习巩固专讲专练章末知识复习类型一平行线的判定和性质的综合运用经典例题1已知，如图所示，∠BAE＋∠AED＝180°，AM平分∠BAE，EN平分∠AEC，求证：∠M＝∠N.解析：所给图形比较复杂，看能否通过证明AM∥EN，得出内错角相等.而要证明AM∥EN，则要证明∠1＝∠2.证明：∵∠BAE＋∠AED＝180°(已知)，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，∴∠BAE＝∠AEC(两直线平行，内错角相等).又∵AM平分∠BAE，EN平分∠AEC(已知)，∴∠1＝12∠BAE，∠2＝12∠AEC(角平分线的定义)，∴∠1＝∠2(等量代换).∴AM∥EN(内错角相等，两直线平行).∴∠M＝∠N(两直线平行，内错角相等).类型二平行与折叠的综合经典例题2如图所示，把一张长方形的纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF 为多少度时，才能使AB′∥BD?解析：因为题中要求的是∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD，所以可先假设AB′∥BD为已知，再求当AB′∥BD时，∠BAF的度数即可，即由结论反推条件.解：假设AB′∥BD，∴∠1＝∠ADB(两直线平行，内错角相等).∵∠ADB＝20°(已知)，∴∠1＝20°(等量代换).∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD＝90°，∴∠B ′AB ＝∠BAD ＋∠1＝110°.∵折叠时∠BAF 与∠B ′AF 重合，∴∠BAF ＝∠B ′AF . ∴∠BAF ＝12∠B ′AB ＝55°.∴当∠BAF ＝55°时，AB ′∥BD .类型三 巧添平行线解题经典例题3 如图1所示，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD 的度数.图1 图2解析：虽然AB ∥DE ，但它们没有沟通∠BCD 与已知角，可过点C 作AB 或DE 的平行线来解决. 解：如图2所示，过点C 作GH ∥DE ，∴∠CDE ＋∠DCH ＝180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠CDE ＝140°，∴∠DCH ＝180°－∠CDE ＝40°.又∵AB ∥DE ，∴GH ∥AB (平行于同一条直线的两条直线平行). ∴∠BCH ＝∠ABC ＝80°(两直线平行，内错角相等). ∴∠BCD ＝∠BCH －∠DCH ＝80°－40°＝40°.点拨：在有关图形的计算和证明中，常见一类“折线”“拐角”型问题的方法是，解决这类问题：经过拐点作平行线来沟通已知角和未知角.类型四 利用三角形内角和定理、外角性质解决探究题经典例题4 如图1所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠C ＞∠B ，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC 于点F .图1 图2(1)试探索∠DEF 与∠B ，∠C 的大小关系.(2)如图2所示，当点E 在AD 的延长线上时，其他条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？并说明理由.解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC .又∵∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠C )，∴∠1＝12[180°－(∠B ＋∠C )]＝90°－12(∠B ＋∠C ).∴∠EDF ＝∠B ＋∠1＝∠B ＋90°－12(∠B ＋∠C )＝90°＋12(∠B －∠C ).又∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°.∴∠DEF ＝90°－∠EDF ＝90°－⎣⎡⎦⎤90°＋12（∠B －∠C ）＝12(∠C －∠B ).即∠DEF ＝12(∠C －∠B ).(2)当点E 在AD 的延长线上时，其他条件都不变，(1)中探索而得的结论仍成立，理由同(1).综 合 检 测一、选择题1. 甲、乙、丙、丁四人商量周末出游.甲说：“乙去，我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去.”以下结论可能正确的是( )A. 甲一个人去了B. 乙、丙两个人去了C. 甲、丙、丁三个人去了D. 四个人都去了 2. 下列命题中，是假命题的是( )A. 在△ABC 中，若∠B ＝∠C －∠A ，则△ABC 是直角三角形B. 在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c )(b －c )，则△ABC 是直角三角形C. 在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形D. 在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形 3. 具备下列条件的三角形，不是直角三角形的是( )A. ∠A ＋∠B ＝∠CB. ∠B ＝∠C ＝12∠AC. ∠A ＝90°－∠BD. ∠A －∠B ＝90°4. 如图，点E 在AC 的延长线上，下列条件中不能判断AB ∥CD 的是( ) A. ∠1＝∠2 B. ∠A ＝∠DCE C. ∠3＝∠4 D. ∠A ＋∠ACD ＝180°第4题第5题5. 如图，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件()A. ∠1＝∠2B. ∠1＝∠DFEC. ∠1＝∠AFDD. ∠2＝∠AFD6. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则∠ABD的度数是()A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°第6题第7题7. 如图所示，能使DE∥AC成立的条件是()A. ∠C＝∠3B. ∠2＝∠AC. ∠2＋∠3＋∠C＝180°D. ∠2＝∠BED8. 如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数为()A. 26°B. 36°C. 46°D. 56°第8题第9题9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝56°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BPC的度数是()A. 102°B. 112°C. 115°D. 118°二、填空题10. 有下列五个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤一个非负实数的绝对值是它本身，其中是真命题的是.(只填序号)11. 如图，已知∠1＝∠2，∠B＝30°，则∠3＝.12. 如图，请你添加一个条件，使AB∥CD，这个条件是，你的依据是.13. 如图，一条公路两次拐弯后，与原来的方向相同，第一次拐的角是130°，那么第二次拐的角是 .14. 如图，已知∠A＋∠C＝180°，∠APQ＝62°，则∠CQP＝.第10题第11题15. 如图为一五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为.16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，CD⊥AB于点D，则∠ACD＝.第12题第13题17. 如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ .三、解答题18. 如图，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.19. 如图，已知AB∥CD，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G，求证：EG⊥FG.20. 如图，AB∥CD，AF，CF分别为∠BAE，∠DCE的平分线，求∠E，∠F之间的数量关系.21. 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°.(1)求∠DAE的度数；(2)如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE 的度数.图1 图2。