高考数学复习算法初步复数推理与证明双基过关检测理

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章算法初步、推理与证明、复数单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011安徽高考，文1)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )．A ．2B ．－2C ．－12D ．122．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )．A ．12B ．23C ．34D ．453．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )．4．下面程序运行的结果是( )．A ．5 050B ．5 049C ．3D ．2 5．下列推理是归纳推理的是( )．A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a ＞|AB |，得动点P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 的共轭复数所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，程序框图的输出结果为170，那么在判断框中①表示的“条件”应该是( )．A ．i ＞5B ．i ≥7C ．i ≥9D ．i ＞98．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( )．A ．2n －2－12B ．2n－2C ．2n －1＋1D ．2n ＋1－49．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S ＝12r (a ＋b ＋c )．根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则这个四面体的体积为( )．A ．V ＝16R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)B ．V ＝14R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)C ．V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)D ．V ＝12R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)10．(2011山东高考，理12)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A u u u u r＝λ12A A u u u u r (λ∈R )，14A A u u u u r ＝μ12A A u u u u r (μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝__________.12．定义某种运算⊗，S ＝a ⊗b 的运算原理如图所示．则0⊗(－1)＝__________；设f (x )＝(0⊗x )x －(2⊗x )，则f (1)＝__________.13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中正确的序号为__________(填入所有正确的序号)． 14．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB uuu r |OA u u u r ＋|OA u u u r |OB uuu r＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC OA u u u r ＋S △OCA OB uuu r ＋S △OBA OC u u u r＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________．15．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，将上述各式相加，得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1.类比上述方法，请计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)”，其结果为__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知集合A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}(其中i 是虚数单位)，集合B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}．求实数a 的值．17．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <0，2－5x ，x ≥0，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．18．(12分)已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，①sin θcos θ＝sin 2β，②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β).19．(12分)已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，AB u u u r＝2i ＋2j (i ，j 分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)，函数g (x )＝x 2－x －6. (1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数g (x )＋1f (x )的最小值．20．(13分)已知a ，b ，c 是互不相等的实数，且都不为零．求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．21．(14分)如图，梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中AB ∥DC ，AD ＝CD ＝12AB ，且O 为AB 中点．(1)求证：BC ∥平面POD ； (2)求证：AC ⊥PD .参考答案一、选择题1．A 解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数，∴2－a 5＝0，∴a ＝2.2．C 解析：n ＝11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝34.3．A 解析：表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．4．A 解析：读程序知，该程序的功能是求S ＝1＋2＋3＋…＋100的值，由等差数列的求和公式S ＝100×(1＋100)2＝5 050.5．B 解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．6．A 解析：由已知得z (1＋i)－(1＋2i)·(1－i)＝0，∴z ＝(1＋2i)(1－i)1＋i＝(1＋2i)(－i)＝2－i.∴z ＝2＋i ，即z 对应的点(2,1)在第一象限．7．C 解析：依次运行程序可得当S ＝2时，i ＝3；S ＝10时，i ＝5，…；S ＝170时，i ＝9，故判断框内可填入i ≥9.8．B 解析：∵a 1＝0＝21－2，∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n－2.9．C 解析：平面几何中结论的推导是面积分割，类比到空间几何中，应用体积分割的方法即可得到答案．10．D 解析：∵C ，D 调和分割点A ，B ， ∴AC u u u r ＝λAB u u u r ，AD u u u r ＝μAB u u u r ，且1λ＋1μ＝2(*)，不妨设A (0,0)，B (1,0)， 则C (λ，0)，D (μ，0)，对A ，若C 为AB 的中点，则AC u u u r ＝12AB u u u r ，即λ＝12，将其代入(*)式，得1μ＝0，这是无意义的，故A 错误；对B ，若D 为AB 的中点，则μ＝12，同理得1λ＝0，故B 错误；对C ，要使C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴1λ＞1，1μ＞1，∴1λ＋1μ＞2，这与1λ＋1μ＝2矛盾；故C 错误；显然D 正确．二、填空题11．1 解析：41i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝42(1i)(1i)(1i)⎡⎤+⎢⎥+-⎣⎦＝i 4＝1.12．1 －1 解析：根据框图可知0(－1)＝|－1|＝1；f (x )＝(0x )x －(2x )⇒f (1)＝(01)－(21)＝0－1＝－1.13．①③ 解析：因为7＝1×7，所以f (7)＝17，①正确；24＝3×8＝4×6＝2×12，最佳分解应该是4×6，所以f (24)＝46＝23，所以②错误；同理③正确；对于④，144＝12×12，所以f (144)＝1212＝1.14．V O －BCD OA u u u r ＋V O －ACD OB uuu r ＋V O －ABD OC u u u r ＋V O －ABC OD u u u r＝0 解析：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为O 是四面体ABCD内一点，则有V O －BCD OA u u u r ＋V O －ACD OB uuu r ＋V O －ABD OC u u u r ＋V O －ABC OD u u u r＝0.15．n 2＋3n4(n ＋1)(n ＋2)解析：∵1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)， ∴11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2) ＝12⎣⎢⎡11×2－12×3＋12×3－13×4＋…＋⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2－1(n ＋1)(n ＋2) ＝n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2). 三、解答题16．解：∵A ∩B ＝{3}，∴3∈A .∴(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.17．解：算法如下： 第一步，输入x .第二步，如果x ＜0，那么f (x )＝3x －1； 否则f (x )＝2－5x .第三步，输出函数值f (x )． 程序框图如下：18．证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1.③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)， 即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．19．解：(1)由已知得k ≠0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bk，0，B (0，b )，则AB u u u r ＝(bk，b )，于是⎩⎪⎨⎪⎧b k＝2，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2.(2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4. g (x )＋1f (x )＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－5， 由于x ＋2＞0，则g (x )＋1f (x )≥－3，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立． ∴g (x )＋1f (x )的最小值是－3.20．证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.上述三个同向不等式相加得，4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0.∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证． 21．证明：(1)因为O 为AB 中点，所以BO ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以有CD ＝BO ，CD ∥BO ， 所以ODCB 为平行四边形， 所以BC ∥OD .又DO ⊂平面POD ，BC 平面POD ， 所以BC ∥平面POD . (2)连接OC .因为CD ＝BO ＝AO ，CD ∥AO ， 所以ADCO 为平行四边形，又AD ＝CD ，所以ADCO 为菱形，所以AC ⊥DO ，因为在正△PAB 中，O 为AB 中点， 所以PO ⊥AB .又因为平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ∩平面PAB ＝AB ，所以PO ⊥平面ABCD ， 而AC ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AC . 又PO ∩DO ＝O ， 所以AC ⊥平面POD .又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD .。

“算法初步、复数、推理与证明”双基过关检测一、选择题1．若z ＝i(3－2i)(其中i 为复数单位)，则z ＝( )A ．3－2iB ．3＋2iC ．2＋3iD ．2－3i解析：选D 由z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，得z ＝2－3i.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i 1－i在复平面上对应的点在y 轴上，则a 为( ) A ．－3B ．－13 C.13D ．3解析：选A ∵z ＝a －3i 1－i ＝a －3i 1＋i 1－i 1＋i ＝a ＋3－3－a i 2， 又复数z ＝a －3i 1－i在复平面上对应的点在y 轴上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，解得a ＝－3. 3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac<3a ”索的因应是( )A ．a －b>0B ．a －c>0C ．(a －b)(a －c)>0D ．(a －b)(a －c)<0 解析：选C b 2－ac<3a ⇔b 2－ac<3a 2 ⇔(a ＋c)2－ac<3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0.4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：选B 当n ＝k(k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k)；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k)(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2B.32C.53D.85解析：选C 运行该程序，k ＝0，s ＝1，k<3；k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k<3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k<3；k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，此时不满足循环条件，输出s ， 故输出的s 值为53. 6．若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析：选D 因为数列{a n }是等差数列，所以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋(n －1)·d 2(d 为等差数列{a n }的公差)，{b n }也为等差数列，因为正项数列{c n }是等比数列，设公比为q ，则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝n c 1·c 1q ·…·c 1q n －1＝c 1q 12n-，所以{d n }也是等比数列．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是99199，则判断框内应填的内容是( )A ．n<98?B ．n<99?C ．n<100?D ．n<101? 解析：选B 由14n 2－1＝12n －12n ＋1＝1212n －1－12n ＋1， 可知程序框图的功能是计算并输出S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1的值． 由题意令n 2n ＋1＝99199，解得n ＝99, 即当n<99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S 的值．8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1) 解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n n ＋12个“整数对”， 注意到1010＋12＜60＜1111＋12，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．二、填空题9．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为__________．解析：因为M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1 ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋210－1所以M<1.答案：M<110．若复数z ＝a ＋i i(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a ＝________. 解析：因为复数z ＝a ＋i i ＝ai ＋i 2i 2＝1－ai ， 所以－a ＝1，即a ＝－1.答案：－111．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝________.解析：a ＝14，b ＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b ＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a ＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a ＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a ＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b ＝4－2＝2；第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2.答案：212．设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f(21)＝32，f(22)＞2＝42，f(23)＞52，f(24)＞62，∴归纳得f(2n )≥n ＋22(n ∈N *)． 答案：f(2n )≥n ＋22(n ∈N *) 三、解答题 13．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋ c. 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ， 只需证(d ＋a)2＜(b ＋c)2，即证a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ，因为a ＋d ＝b ＋c ，所以只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc ， 设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d)d －(t －c)c ＝(c －d)(c ＋d －t)＜0，故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32， 所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n(n ＋2)．(2)证明：由(1)，得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr)＋2(2q －p －r)＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r)2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。

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第十九单元算法初步、复数、推理与证明教材复习课“算法初步、复数、推理与证明"相关基础知识一课过算法的三种结构［过双基］三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图1．（2018·成都质检）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，则输出的结果是( ）A．－ 3 B．0C。

错误!D．336错误!解析:选C 由框图知输出的结果s＝sin错误!＋sin错误!＋…＋sin错误!，因为函数y＝sin错误!x的周期是6，所以s＝336错误!＋sin错误!＋sin错误!＝336×0＋错误!＋错误!＝错误!.2．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－错误!，则输入的角θ＝（）A。

错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!解析：选D 由输出y＝－错误!〈0，排除A、C，又当θ＝－错误!时，输出y＝－错误!,故选D。

3．执行如图所示的程序框图，已知输出的s∈［0,4],若输入的t∈［m,n］，则实数n－m 的最大值为（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 由程序框图得s＝错误!作出s的图象如图所示．若输入的t∈［m，n］,输出的s∈[0，4］，则由图象得n－m的最大值为4.4．某程序框图如图所示，若输出的p值为31，则判断框内应填入的条件是( ）A．n〉2？B．n>3？C．n〉4? D．n>5?解析：选B 运行程序:p＝1，n＝0；n＝1，p＝2;n＝2,p＝6；n＝3，p＝15；n＝4，p＝31，根据题意，此时满足条件,输出p＝31，即n＝3时不满足条件，n＝4时满足条件，故选B。

推理与证明、算法初步、复数一、选择题1．以下平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较适宜的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，那么相对的两条边互相平行，应选C.2．(2021年质检)i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，那么“a >12〞是“点M 在第四象限〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，假设其对应的点在第四象限，那么a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12〞是“点M 在第四象限〞的充要条件．3.如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( ) A ．S ＝S ·(n ＋1) B ．S ＝S ·x n ＋1 C ．S ＝S ·n D ．S ＝S ·x n 解析：选D.分析循环变量，易知赋值框内应填入S ＝S ·x n . 4．设a ，b 是两个数字，给出以下条件：(1)a ＋b >1；(2)a ＋b ＝2；(3)a ＋b >2；(4)a 2＋b 2>2；(5)ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．(2)(3)B ．(1)(2)(3)C ．(3)D ．(3)(4)(5)a ＝12，b ＝23，那么a ＋b >1，但a <1，b <1，故(1)推不出；假设a ＝b ＝1，那么a ＋b ＝2，故(2)推不出；假设a ＝－2，b ＝－3，那么a 2＋b 2>2，ab >1，故(4)(5)推不出； 对于(3)，假设a ＋b >2，那么a ，b 中至少有一个大于1， 用反证法证明，假设a ≤1且b ≤1，那么a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾． 5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k时等式成立，那么当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1－1＋2k ＋1C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝2k－1＋2k解析：选n ＝k ＋1代入1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，得1＋2＋22＋…＋2k ＝2k －1＋2k .二、填空题6．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，那么复数(2z＋z 2)·z ＝__________.解析：对于2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ，故(2z＋z 2)·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.故填2.答案：27．i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，那么(m ＋n i m －n i)2021等于__________． 解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1， ∴(m ＋n i m －n i )2021＝(1＋i 1－i)2021＝i 2021＝－i. 答案：－i 8.(2021年调研)如框图所示，集合A＝{x|框图中输出的x值}，集合B＝{y|框图中输出的y值}，全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时，(∁U A)∩B＝__________.解析：当x＝－1时，输出y＝2×(－1)－1＝－3，x＝－1＋1＝0，且0>5不成立；当x＝0时，输出y＝2×0－1＝－1，x＝0＋1＝1，且1>5不成立；当x＝1时，输出y＝2×1－1＝1，x＝1＋1＝2，且2>5不成立；依次类推，可知A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，故(∁U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．答案：{－3，－1,7,9}三、解答题9．(2021年高考卷)复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R.z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.10．为了让学生更多地理解“数学史〞知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音〞的数学史知识竞赛活动，一共有800名学生参加了这次竞赛．为理解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了局部学生的成绩(得分均为整数，满分是为100分)进展统计．请你根据频率分布表，解答以下问题：序号(i) 分组(分数) 组中值(G i )频数(人数)频率(F i )1 [60,70) 65 ①2 [70,80) 75 20 ②3 [80,90) 85 ③4 [90,100] 95 ④ ⑤ 合计501(2)为鼓励更多的学生理解“数学史〞知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见如下图的程序框图，求输出S 的值． 解：(1)①为6，②为0.4，③为12，④为12，⑤为0.24.(2)(12×0.24＋0.24)×800＝288，即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖．(3)由程序框图，知S ＝G 1F 1＋G 2F 2＋G 3F 3＋G 4F 4 ＝65×0.12＋75×0.4＋85×0.24＋95×0.24＝81.11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律一样)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想〞，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f 1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn －1的值．解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1fn －1＝12n n －1＝12(1n －1－1n)， ∴1f 1＋1f2－1＋1f 3－1＋…＋1fn －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n)＝1＋12(1－1n )＝32－12n.。

教材复习课 “算法初步、复数推理与证明”相关基础知识一课过三种基本逻辑结构1．(2018·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A ．－ 3B ．0 C. 3D ．336 3解析：选C 由框图知输出的结果s ＝sin π3＋sin2π3＋…＋sin 2 018π3， 因为函数y ＝sin π3x 的周期是6，所以s ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 6π3＋sin π3＋sin 2π3＝336×0＋32＋32＝ 3.2．执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入的角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选D 由输出y ＝－3<0，排除A 、C ，又当θ＝－π3时，输出y ＝－3，故选D.3．执行如图所示的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]，若输入的t ∈[m ，n ]，则实数n －m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 由程序框图得s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，作出s 的图象如图所示．若输入的t∈[m ，n ]，输出的s ∈[0,4]，则由图象得n －m 的最大值为4.4．某程序框图如图所示，若输出的p 值为31，则判断框内应填入的条件是( )A ．n >2?B ．n >3?C ．n >4?D ．n >5?解析：选B 运行程序：p ＝1，n ＝0；n ＝1，p ＝2；n ＝2，p ＝6；n ＝3，p ＝15；n ＝4，p ＝31，根据题意，此时满足条件，输出p ＝31，即n ＝3时不满足条件，n ＝4时满足条件，故选B.[清易错]某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是4，则a ＝________.解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1aa ＋＝1＋1－12＋12－13＋…＋1a －1a ＋1＝2－1a ＋1. 若该程序运行后输出的值是74，则2－1a ＋1＝74， 解得a ＝3. 答案：31．复数的有关概念复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ ―→. 3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋d c －d＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2(c ＋d i≠0)．[小题速通]1．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( )A ．1B ．－1C.45＋35iD.45－35i 解析：选D ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. 2．若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A 由题意，得z ＝32＋121＋i＝－＋－＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．3．复数2i1＋i (i 为虚数单位)实部与虚部的和为( )A ．2B ．1C ．0D ．－2 解析：选A 因为2i1＋i ＝－＋－＝1＋i ，所以复数2i1＋i(i 为虚数单位)实部与虚部的和为2.4．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：∵z ＝4＋3i1＋2i ＝＋－＋－＝10－5i5＝2－i ， ∴z ＝2＋i. 答案：2＋i[清易错]1．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 2．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．1．已知4＋m i1＋2i ∈R ，且m ∈R ，则|m ＋6i|＝( )A ．6B ．8C ．8 3D ．10解析：选D4＋m i1＋2i＝＋m －＋－＝4＋2m ＋m －5，因为复数4＋m i1＋2i ∈R ，故m ＝8，所以|m ＋6i|＝|8＋6i|＝10.2．已知5i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝______.解析：5i 2－i＝＋－＋＝－1＋2i ，由5i2－i＝a ＋b i ，得－1＋2i ＝a ＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2， ∴a ＋b ＝1. 答案：11．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． [小题速通]1．已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数，某同学运用演绎推理证明如下：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能解析：选A 大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误； 小前提：2和3都是无理数，正确； 结论：2＋3也是无理数，正确， 故只有大前提错误．2.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 轴，直线y ＝h (h ＞0)及渐近线y ＝bax 所围成的阴影部分(如图)绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为________．解析：由题意可知，该几何体的横截面是一个圆环，设圆环的外半径与内半径分别为R ，r ，其面积S ＝π(R 2－r 2)．∵x 2a 2－y 2b 2＝1⇒R 2＝a 2＋a 2b 2y 2， 同理：r 2＝a 2by 2，∴R 2－r 2＝a 2，由祖暅原理知，此旋转体的体积等价于一个半径为a ，高为h 的柱体的体积，为πa 2h .答案：πa 2h 3．有如下等式： 2＋4＝6；8＋10＋12＝14＋16；18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；……以此类推，则2 018出现在第________个等式中． 解析：①2＋4＝6； ②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30， ……其规律为：各等式首项分别为2×1,2×(1＋3)，2×(1＋3＋5)，…，所以第n 个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n －1)]＝2×n＋2n －2＝2n 2,当n ＝31时，等式的首项为2×312＝1 922, 当n ＝32时，等式的首项为2×322＝2 048, 所以2 018在第31个等式中． 答案：311．直接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤： ①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； ③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． [小题速通]1．(2018·成都一模)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．3．下列命题适合用反证法证明的是________．(填序号) ①已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2， 求证：1＋x y 和1＋y x中至少有一个小于2；③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．解析：①是“否定”型命题，②是“至少”型命题，③是“唯一”型命题，且命题中条件较少，④中条件较少，不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．答案：①②③④一、选择题1．若z ＝i(3－2i)(其中i 为复数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3iD ．2－3i解析：选D 由z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，得z ＝2－3i. 2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i1－i在复平面上对应的点在y 轴上，则a为( )A ．－3B ．－13C.13D ．3解析：选A ∵z ＝a －3i1－i＝a －＋－＋＝a ＋3－－a2，又复数z ＝a －3i1－i在复平面上对应的点在y 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，解得a ＝－3.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：选Cb 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.4．[n ]表示不超过 n 的最大整数． 若S 1＝[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，S 2＝[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，S 3＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21，…… 则S n ＝( ) A ．n (n ＋2)B ．n (n ＋3)C ．(n ＋1)2－1D ．n (2n ＋1)解析：选D 观察得到：S n 是从n 2开始到n ＋2(不含)之前共2n ＋1个n 的和，所以S n 为n (2n ＋1)．即[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n ＋2－1]＝n (2n ＋1)．5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53D.85解析：选C 运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3；k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3；k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.6．若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 因为数列{a n }是等差数列，所以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋(n －1)·d2(d 为等差数列{a n }的公差)，{b n }也为等差数列，因为正项数列{c n }是等比数列，设公比为q ，则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝nc 1·c 1q ·…·c 1qn －1＝c 1qn －12，所以{d n }也是等比数列．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是99199，则判断框内应填的内容是( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101? 解析：选 B 由14n 2－1＝1n －n ＋＝1212n －1－12n ＋1， 可知程序框图的功能是计算并输出S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1的值． 由题意令n 2n ＋1＝99199，解得n ＝99,即当n <99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S 的值．8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n n ＋2个“整数对”，注意到＋2＜60＜＋2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．二、填空题 9．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为__________． 解析：因为M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋10－<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1， 所以M <1. 答案：M <1 10．若复数z ＝a ＋ii(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a ＝________.解析：因为复数z ＝a ＋i i ＝a i ＋i 2i2＝1－a i ，所以－a ＝1，即a ＝－1. 答案：－111．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝________.解析：a ＝14，b ＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b ＝18－14＝4； 第二次循环：14≠4且14>4，a ＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4且10>4，a ＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4且6>4，a ＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4且2<4，b ＝4－2＝2； 第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2. 答案：212．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f (21)＝32，f (22)＞2＝42，f (23)＞52，f (24)＞62，∴归纳得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．答案：f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)三、解答题13．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ， 只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即证a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ，因为a ＋d ＝b ＋c ，所以只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc ， 设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)，得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 高考研究课(一)算法与程序框图考查2类型——推结果、填条件 [全国卷5年命题分析][典例] a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,0[解析] (1)运行程序框图，a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立； S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立； S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立； S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立； S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.(2)当输入x ＝7时，b ＝2，因为b 2>x 不成立且x 不能被b 整除，故b ＝3，这时b 2>x 成立，故a ＝1，输出a 的值为1.当输入x ＝9时，b ＝2，因为b 2>x 不成立且x 不能被b 整除，故b ＝3，这时b 2>x 不成立且x 能被b 整除，故a ＝0，输出a 的值为0.[答案] (1)B (2)D[方法技巧]解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i . [即时演练]1．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：选C 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1， 运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 是________．解析：第一次循环：i ＝1，s ＝1；第二次循环：i ＝2，s ＝－1；第三次循环：i ＝3，s ＝2；第四次循环：i ＝4，s ＝－2，此时i ＝5，执行s ＝3×(－2)＝－6，故输出s ＝－6.答案：－6程序框图的补全及逆向求解问题[典例] 其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为( )A ．4B ．5C ．7D ．11(2)一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为3655，则空白处应填入的条件为( )A ．i ≤9?B ．i ≤6?C ．i ≥9?D ．i ≤8?[解析] (1)起始阶段有m ＝2a －3，i ＝1, 第一次循环：m ＝2×(2a －3)－3＝4a －9，i ＝2, 第二次循环：m ＝2×(4a －9)－3＝8a －21，i ＝3, 第三次循环：m ＝2×(8a －21)－3＝16a －45，i ＝4, 第四次循环：m ＝2×(16a －45)－3＝32a －93, 跳出循环，输出m ＝32a －93＝35，解得a ＝4. (2)由1i i ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋2及题意知，该程序框图的功能是计算S ＝121－13＋12－14＋…＋1i －1－1i ＋1＋1i －1i ＋2＝34－121i ＋1＋1i ＋2的值，由S ＝3655，得i ＝9. 故空白处应填入的条件为：i ≤9. [答案] (1)A (2)A [方法技巧]程序框图的补全及逆向求解问题(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图． [即时演练]1．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为16，则判断框内可填入的条件是( )A ．S <1510？B ．S >85？C ．S >1510？D ．S <85？解析：选D 运行程序：k ＝10，S ＝1；S ＝1110，k ＝11；S ＝1210，k ＝12；S ＝1310，k ＝13；S ＝1410，k ＝14；S ＝1510，k ＝15；S ＝1610＝85，k ＝16，此时不满足条件，循环结束，输出k ＝16，所以判断框内可填入条件是S <85？.2．运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是________．解析：该程序的功能是计算分段函数的值，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ＜－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x ＞1.当x ＜－1时，由0≤3－x ≤10，可得－7≤x ＜－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10成立；当x ＞1时，由0≤x ＋1≤10，可得1＜x ≤9， 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]． 答案：[－7,9]1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2解析：选D 程序框图中A ＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n ，所以判断框中应填入A ≤1 000，由于初始值n ＝0，要求满足A ＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n ＝n ＋2.2．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D 执行程序框图，S ＝0＋100＝100，M ＝－10，t ＝2；S ＝100－10＝90，M ＝1，t ＝3，S <91，输出S ，此时，t ＝3不满足t ≤N ，所以输入的正整数N 的最小值为2.3．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．7B ．12C ．17D ．34解析：选C 第一次运算：s ＝0×2＋2＝2，k ＝1； 第二次运算：s ＝2×2＋2＝6，k ＝2； 第三次运算：s ＝6×2＋5＝17，k ＝3>2，结束循环，s ＝17.4.(2016·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 程序运行如下： 开始a ＝4，b ＝6，n ＝0，s ＝0.第1次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1；第2次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2；第3次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3；第4次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4.此时，满足条件s >16， 退出循环，输出n ＝4.故选B.5.(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.6．(2014·全国卷Ⅰ)执行如图所示程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158解析：选D 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4.则输出M ＝158.7．(2014·全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 执行循环体， 第一次循环，M ＝2，S ＝5，k ＝2； 第二次循环，M ＝2，S ＝7，k ＝3. 故输出的S ＝7.一、选择题1．(2017·山东高考)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A ．x ＞3B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ≤5 解析：选B 当x ＝4时，若执行“是”，则y ＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y ＝log 24＝2，满足题意，故应执行“否”．故判断框中的条件可能为x ＞4.2．执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为2，则输出的b 的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．4解析：选A 第一次循环，a ＝12，b ＝1，i ＝2；第二次循环，a ＝－1，b ＝－2，i ＝3；第三次循环，a ＝2，b ＝4，i ＝4；第四次循环，a ＝12，b ＝1，i ＝5；……；由此可知b 的值以3为周期出现，且当i ＝2 019时退出循环，此时共循环2 018次，又2 018＝3×672＋2，所以输出的b 的值为－2.3．某班有50名学生，在一次数学考试中，a n 表示学号为n 的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是( )A ．P 表示成绩不高于60分的人数B ．Q 表示成绩低于80分的人数C ．R 表示成绩高于80分的人数D ．Q 表示成绩不低于60分，且低于80分的人数解析：选D P 表示成绩低于60分的人数，Q 表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R 表示成绩不低于80分的人数．4．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N ＝243＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N ＝8－1＝7>3； 第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3； 第四次循环，6能被3整除，N ＝63＝2<3，结束循环，故输出N 的值为2.5．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．－15解析：选D 第一次执行程序，得到S ＝0－12＝－1，i ＝2； 第二次执行程序，得到S ＝－1＋22＝3，i ＝3； 第三次执行程序，得到S ＝3－32＝－6，i ＝4； 第四次执行程序，得到S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 第五次执行程序，得到S ＝10－52＝－15，i ＝6， 结束循环，输出的S ＝－15.6．某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表：现根据如下程序框图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框①中应填入的条件是( )A ．i ＞4?B ．i ＞5?C ．i ＞6?D ．i ＞7?解析：选B 根据题目中程序框图，用计算机统计平均睡眠时间，总共执行6次循环，则判断框①中应填入的条件是i >5(或i ≥6？)．7．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y 的值为3，那么应输入x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选B 该程序的作用是计算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x >66，2<x ≤6，5－x ，x ≤2的函数值，由题意，若x ＞6，则当y ＝3时，x －3＝3，解得x ＝6，舍去； 若x ≤2，则当y ＝3时，5－x ＝3，解得x ＝2， 故输入的x 值为2.8．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A ．i ≤30？；p ＝p ＋i －1B ．i ≤29？；p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？；p ＝p ＋iD ．i ≤30？；p ＝p ＋i解析：选D 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故①中应填写“i ≤30？”．又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，故②中应填p ＝p ＋i .二、填空题9．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，2＋log 2x ，0<x <1，所以当输入的x的值为116时，y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.答案：－210．按下列程序框图来计算：如果输入的x ＝5，则应该运算________次才停止． 解析：由题意，该程序按如下步骤运行：经过第一次循环得到x ＝3×5－2＝13，不满足x ＞200，进入下一步循环； 经过第二次循环得到x ＝3×13－2＝37，不满足x ＞200，进入下一步循环； 经过第三次循环得到x ＝3×37－2＝109，不满足x ＞200，进入下一步循环； 经过第四次循环得到x ＝3×109－2＝325，因为325＞200，结束循环并输出x 的值 因此，运算进行了4次后，输出x 值而程序停止．故答案为4. 答案：411．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示. 执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝3，输入的a 依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始)，直到结束为止，则输出的s ＝________.解析：运行程序：x ＝3，n ＝3，k ＝0，s ＝0；a ＝2，s ＝2，k ＝1；a ＝3，s ＝9，k ＝2；a ＝5，s ＝32，k ＝3；a ＝7，s ＝103，k ＝4，此时满足条件，循环结束，输出s ＝103.答案：10312．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a ＝________.解析：运行程序，可得a ＝10，i ＝1，不满足i ≥5，不满足a 是奇数，a ＝5，i ＝2，不满足i ≥5，满足a 是奇数，a ＝16，i ＝3，不满足i ≥5，不满足a 是奇数，a ＝8，i ＝4，不满足i ≥5，不满足a 是奇数，a ＝4，i ＝5，满足i ≥5，退出循环，输出a 的值为4.答案：413．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．解析：第一次循环结束时，n ＝2，x ＝3，y ＝1； 第二次循环结束时，n ＝4，x ＝9，y ＝3； 第三次循环结束时，n ＝6，x ＝27，y ＝3. 此时满足n >4，结束循环，输出log y x ＝log 327＝3. 答案：314．(2018·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝________.解析：第一次循环，得S ＝2；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝92；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝354；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝1358>10，结束循环，输出的n ＝4.答案：41．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A 1，A 2，…，A 16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )图1 图2A ．6B ．7C ．10D ．16解析：选C 由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数， 所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10， 因此输出结果为10.2．如果执行程序框图，如果输出的S＝2 550，则判断框内应填入的条件是( )A．k≤50? B．k≥51?C．k＜50? D．k＞51?解析：选A 根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环得到S＝2，k＝2；经过第二次循环得到S＝2＋4，k＝3；经过第三次循环得到S＝2＋4＋6，k＝4；……设经过第n次循环得到2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＝2 550，解得n＝50，由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S＝2 550，∴判断框应填入的条件是k≤50？.高考研究课(二)数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、运算、意义[全国卷5年命题分析][典例] (1)设i是虚数单位．若复数a－3－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为( ) A．－3 B．－1C．1 D．3(2)已知复数z满足z1＋i＝|2－i|，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(3)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1 B．2C. 2D. 3[解析] (1)∵复数a－103－i＝a－＋10＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.(2)∵z1＋i＝|2－i|＝5，∴z ＝5＋5i ，则z 的共轭复数5－5i 对应的点(5，－5)位于复平面内的第四象限.(3)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则由z (1＋i)＝2i ，得(a ＋b i)·(1＋i)＝2i ，所以(a－b )＋(a ＋b )i ＝2i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝2，解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i ，故|z |＝12＋12＝ 2.法二：由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝－2＝i －i 2＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.[答案] (1)D (2)D (3)C [方法技巧]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，再根据题意求解．[即时演练]1．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3解析：选A 法一：由题意可知z ＝a －3i ，∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.2．若复数2＋a i 1－i (a ∈R)是纯虚数(i 是虚数单位)，则复数z ＝a ＋(a －3)i 在复平面内对应的点位于第________象限．解析：∵2＋a i1－i＝＋a ＋－＋＝2－a ＋＋a 2＝2－a 2＋2＋a2i 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a2＝0，2＋a 2≠0，解得a ＝2.∴z ＝2－i ，在复平面内对应的点(2，－1)位于第四象限．答案：四3．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2复数的代数运算[典例] (1)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 018＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1(2)(2017·全国卷Ⅱ)3＋i 1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．3＋3i[解析] (1)∵1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i ＝1－2i －12＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＝(－i)2 018＝(－i)2 016·(－i)2＝－1. (2)3＋i 1＋i ＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i.(3)(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i. [答案] (1)B (2)D (3)B [方法技巧]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． [提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.[即时演练]1．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A 2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.2．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i 1－3i 2＝3＋i－2－23i＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ， 故z ＝－34－14i ， ∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：143．已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________.解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1 009＋i 6＝i4×252＋1＋i 4＋2＝i ＋i 2＝－1＋i.答案：－1＋i[典例] (1)( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] (1)因为复数z ＝a ＋i(a ∈R)．若|z |<2，则a 2＋1<2，解得－1＜a ＜1，所以z ＋i 2＝a －1＋i 在复平面内对应的点(a －1,1)位于第二象限.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.[答案] (1)B (2)B [方法技巧](1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[即时演练]1.如图，若向量OZ ―→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i解析：选 D 由图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i＝1－i ＋＋－＋＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.2．若z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 在复平面内对应的点在第二象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1＜a ＜2.即实数a 的取值范围是(－1,2). 答案：(－1,2)1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.4．(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，即－3<m <1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．5．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选C 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i. 6．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1.7．(2015·全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.一、选择题1．(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析：选A ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.2．(2018·沈阳质量监测)已知i 为虚数单位，则复数21－i在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 因为21－i＝1＋i ，其在复平面内对应的点(1,1)在第一象限．3．已知复数z 满足z ＝a ＋i2－i＋a 为纯虚数，则|z |＝( )A.12 B ．2 C.37D.13解析：选C ∵z ＝a ＋＋－＋＋a ＝a －＋a ＋5为纯虚数，∴7a －15＝0，a ＋25≠0，解得a ＝17， ∴z ＝37i ，∴|z |＝37.4．设复数z 满足(1＋i)z ＝－2i ，i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋iD ．1－i 解析：选B z ＝－2i1＋i ＝－－＋－＝－i －1.5．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2解析：选B ∵z ＝i 1－i ＝＋－＋＝－12＋12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.6．(2018·遵义模拟)复数z ＝4i 2 018－5i 1＋2i(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝4i2 018－5i 1＋2i＝4×i 2 016·i 2－－＋－＝－4－＋5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限．7．已知复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析：选C z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z是纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝0，cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝3π4＋k π，k ∈Z.故选C. 8．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：选D 因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ， 所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34，故选D.二、填空题9．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________． 解析：由a －i2＋i＝a －－＋－＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a 5＝0，所以a ＝－2.答案：－2 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i 1 i ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ＝________.解析：∵复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi 1i ＝z i －i ＝1＋i ，∴z ＝1＋2i i ＝－i＝2－i ，∴z ＝2＋i.答案：2＋i11．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， 则|z |＝－2＋32＝10.法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：1012．(2018·山东实验中学诊断)在复平面内，复数21－i 对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．解析：因为21－i ＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i 对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x ＋1的距离为|1－1＋1|12＋－2＝22. 答案：22三、解答题 13．计算：(1)－1＋＋i 3；(2)＋2＋－2＋i； (3)1－i ＋2＋1＋i －2；(4)1－3i 3＋2.解：(1)－1＋＋i 3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)＋2＋－2＋i＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i＝－5＝15＋25i. (3)1－i＋2＋1＋i －2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i3＋2＝3＋－3＋2＝－i3＋i＝－3－4＝－14－34i.14．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i )·z ＝3，求复数z 在复平面内对应的点的轨迹．解：∵z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)且z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ＝3. ∴x 2＋y 2＋(1－2i)(x ＋y i)＋(1＋2i)(x －y i)＝3， 即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋y i －2x i ＋x ＋2y －y i ＋2x i ＝3， ∴x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0， 即(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(－1，－2)为圆心，以22为半径的圆．1．已知t ∈R ，若复数z ＝1－t i1＋i (i 为虚数单位)为纯虚数，则|3＋t i|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：选A ∵z ＝1－t i1＋i ＝－t－＋－＝1－t 2＋－t －12i 为纯虚数， ∴1－t 2＝0，－t －12≠0， 解得t ＝1.则|3＋t i|＝|3＋i|＝32＋12＝2.2．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率为________．解析：∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子，所得点数分别为x ，y ，得到复数x ＋y i 共有36个，满足条件的事件是复数x ＋y i 的实部大于虚部， 当实部是2时，虚部是1； 当实部是3时，虚部是1,2； 当实部是4时，虚部是1,2,3； 当实部是5时，虚部是1,2,3,4； 当实部是6时，虚部是1,2,3,4,5， 共有15个，故实部大于虚部的概率是1536＝512.答案：512高考研究课(三)推理3方法——类比、归纳、演绎 [全国卷5年命题分析][典例] (1)若{a n }(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有________________．(2)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．[解析] (1)等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，等差数列中(m －n )a p 类比等比数列中的b m －np ，因此有b m －np ·b n －pm ·b p －mn ＝1.(2)类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.[答案] (1)b m －np ·b n －pm ·b p －mn ＝1 (2)x 0x a 2－y 0yb 2＝1 [方法技巧]类比推理的分类及处理方法。

质量检测(八)测试内容：算法初步、复数、推理与证明、系列4选讲(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012年南昌模拟)复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝i1＋i＝1＋i2，所以对应点⎝⎛⎭⎪⎫12，12，故在第一象限，选A.答案：A2．(2012年南昌市模拟)已知a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是真命题，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据题意，可构成四个命题：①面α∥面β，且面α⊥面γ，则面β⊥面γ；②直线a∥面β，且a⊥面γ，则面β⊥面γ；③面α∥面β，且面α⊥直线c，则面β⊥直线c；④面α∥直线b且面α⊥面γ，则直线b⊥面γ，可知①②③为真命题，④中直线b∥面γ也可行，选C.答案：C3．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF 和GH不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：E，F，G，H四点不共面时，EF，GH必定不相交．因为若EF，GH相交，则E，F，G，H四点共面，所以由甲可推出乙；反过来，EF，GH不相交，推不出E，F，G，H不共面，因为当E，F，G，H平行时，E，F，G，H共面，故由乙推不出甲．从而可知选A.答案：A4．(2013年冀州中学期中)已知函数y＝log a(x－1)＋3，(a>0且a≠1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则sin2α－sin2α的值等于( )A.313B.513C．－313D．－513解析：根据已知条件可知，函数y＝log a(x－1)＋3，(a>0且a≠1)的图象恒过点P，则令x－1＝1，x＝2，得到y＝3，故过点P(2,3)，那么结合三角函数定义可知，sinα＝322＋32＝31313，cosα＝313，∴sin2α－sin2α＝313－2³313³31313＝－313，选C.答案：C5．如下图所示的程序框图中的输出结果为( )A．2 B．4C．8 D．16解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝4，k＝3，S＝8，输出8.答案：C6．(2012年福建质检)运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log23和log32，则输出M的值是( )A．0 B．1C．2 D．－1解析：因为a＝log23>1，b＝log32<1，所以从程序框图可知输出值M＝log23³log32＋1＝2.故选C.答案：C7．(2012年广州调考)已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 011(x)＝( )A ．sin x ＋cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x解析：因为f 2(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，故f 2 011(x )＝f 502³4＋3(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选D.答案：D8．(2012年石家庄质检)函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图，则f (x )在[－2,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．3解析：f ′(x )＝2x ＋2，故f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (0)＝0，∴c ＝0.从而f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，在[－2,1]上的最小值为f (－1)＝－1.答案：A9．(2012年湖北十五校联考)今年“十一”迎来祖国64周年华诞，北京十家重点公园将进行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A ．211－47B ．212－57 C ．213－68D ．214－80解析：设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝22－1，a 3＝23－2，a 4＝24－3，…，a 11＝211－10，所以该数列前11项的和为S 11＝(21－0)＋(22－1)＋(23－2)＋(24－3)＋…＋(211－10)＝2 1－2111－2－11 0＋10 2＝212－57.答案：B10．(2012年青岛质检)运行如图所示的程序框图，则输出s ＝( )A ．3B ．－2C ．4D ．8解析：s n －s n －1＝(－1)nn (1≤n ≤5)，s 0＝1，依题意，求s 5，即－2.故选B. 答案：B11．如图，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0,0)，O 2(2,0)，O 3(0,2)，O 4(2,2)．记集合M ＝{⊙O i |i ＝1,2,3,4}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B )为一个“有序集合对”(当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B )的个数是A ．2B ．4C ．6D ．8解析：注意到⊙O 1与⊙O 4无公共点，⊙O 2与⊙O 3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B )的个数是4，选B.答案：B12．(2013年温州八校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≥－23x －2y ≤3，，若x 2＋4y 2≥a恒成立，则实数a 的最大值为( )A.532B.45 C ．4D ．1解析：由x 2＋4y 2≥a 恒成立知a ≤(x 2＋4y 2)min ，令t ＝x 2＋4y 2，则表达式表示中心在原点，长轴长为2t ，短轴长为t 的椭圆，画出(x ，y )的可行域(如图所示)．由图可知，当直线x ＋y ＝1与椭圆x 2＋4y 2＝t 相切时，t 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2＋4y 2＝t 得5y 2－2y ＋1－t ＝0，∴Δ＝4－20(1－t )＝0，即t min ＝45，∴a ≤45.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ＋)，若|z |＝2，则复数z 的虚部是________． 解析：|z |＝2，故1＋a 2＝4，a ＝±3，又a ∈R ＋，∴a ＝ 3. 答案： 314．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0112<________. 解析：由32，53，74，…，可猜想第n 个式子应当为2n ＋1n ＋1，由此可得第2 010个表达式的右边应当为2³2 010＋12 010＋1＝4 0212 011.答案：4 0212 01115．(2012年长沙联考)阅读下面的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，那么输入实数x 的取值范围是________．解析：因为输出的函数值在区间[14，12]内，所以x ∈[－2,2]，且f (x )＝2x∈[14，12]，解得x ∈[－2，－1]．综上，x ∈[－2，－1]．答案：[－2，－1]16．(2012年辽宁重点中学期末)计算C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C 2n ，可以采用以下方法：构造恒等式C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n ，两边对x 求导，得C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋n C n n x n －1＝n (1＋x )n －1，在上式中令x ＝1，得C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ²2n －1，类比上述计算方法，计算C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝________.解析：类比构造恒等式C 1n x ＋2C 2n x 2＋3C 3n x 3＋…＋n C n n x n ＝nx (1＋x )n －1，两边对x 求导，得C 1n ＋22C 2n x ＋32C 3n x 2＋…＋n 2C n n xn －1＝n (1＋x )n －1＋n (n －1)x (1＋x )n －2，在上式中令x ＝1，得C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n (n ＋1)2n －2.答案：n (n ＋1)2n －2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．如图中的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：(1)取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴四边形GFAB 为平行四边形，∴AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD ， ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． (1)证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3；(2)设b n ＝5n－(－1)na n (n ∈N *)．若b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立，求a 1的取值范围． 解：(1)证明：因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列， 所以S n ＋1＝S 1＋1²2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)²4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3 a 1＋1 ²4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3 a 1＋1a 1＝4，解得a 1＝3.(2)当n ＝1时，b 1＝5＋a 1；当n ≥2时，b n ＝5n－(－1)n³3(a 1＋1)³4n －2(a 1>－1)．①当n 为偶数时，5n－3(a 1＋1)³4n －2<5n ＋1＋3(a 1＋1)³4n －1恒成立，即15(a 1＋1)³4n －2>－4³5n恒成立，故a 1∈(－1，＋∞)．②当n 为奇数时，b 1<b 2且b n <b n ＋1(n ≥3)恒成立． 由b 1<b 2知，5＋a 1<25－3(a 1＋1)，得a 1<174.由b n <b n ＋1对n ≥3的奇数恒成立知，5n＋3(a 1＋1)³4n －2<5n ＋1－3(a 1＋1)³4n －1恒成立，即15(a 1＋1)³4n －2<4³5n恒成立，所以a 1＋1<203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2恒成立．因为当对n ≥3的奇数时，203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2的最小值为253，所以a 1<223.又因为174<223，故－1<a 1<174.综上所述，b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立时，a 1∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，174.19．(2012年黄冈市3月质量检测)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝6，AC 1＝3，AB ＝2，BC ＝1.(1)证明：BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)D 为CC 1中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？证明你的结论； (3)求二面角B －AB 1－C 1的余弦值的大小．解：(1)证明：在矩形ACC 1A 1中，AC 1＝3，AA 1＝6，AC ＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，BC ⊥AC .又已知A 1A ⊥平面ABC ，BC ⊥AA 1，而AC ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. (2)当点E 为棱AB 的中点时，满足题意．分别取BB 1中点M 和AB 中点E ，由DM ∥B 1C 1，EM ∥AB 1，得平面EMD ∥平面AB 1C 1，所以E 为AB 中点时，DE ∥平面AB 1C 1.(3)以C 为坐标原点，CB ，CC 1，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则点C (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0,0，3)，C 1(0，6，0)，B 1(1，6，0)，A 1(0，6，3)，D (0，62，0)，AB →＝(1,0，－3)，BB 1→＝(0，6，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1的一个法向量．由⎩⎨⎧n ²AB →＝0，n ²BB 1→＝0得⎩⎨⎧x －3z ＝0，6y ＝0，取z ＝1，则n ＝(3，0,1)．又A 1D →＝(0，－62，－3)是平面AB 1C 1的一个法向量，且〈A 1D →，n 〉与二面角B －AB 1－C 1的大小相等，cos 〈A 1D →，n 〉＝A 1D →²n|A 1D →|²|n |＝－66，所以所求二面角的余弦值大小为－66. 20．(2012年天津六校联考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，a n －1＝a n (a n ＋1－1)，b n ＝a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)求证：数列{1b n}为等差数列；(2)设T n ＝S 2n －S n ，求证：T n ＋1>T n ；(3)求证：对任意的n ∈N *，都有1＋n 2≤S 2n ≤12＋n 成立．证明：(1)由b n ＝a n －1得a n ＝b n ＋1，代入a n －1＝a n (a n ＋1－1)得b n ＝(b n ＋1)b n ＋1，整理得b n －b n ＋1＝b n b n ＋1.因为b n ≠0，否则a n ＝1，与a 1＝2矛盾， 从而得1b n ＋1－1b n＝1.因为b 1＝a 1－1＝1，所以数列{1b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)因为1b n ＝n ，则b n ＝1n ，S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，所以T n ＝S 2n －S n＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋ (1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 证法一：因为T n ＋1－T n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＝12n ＋1 2n ＋2>0，所以T n ＋1>T n .证法二：因为2n ＋1<2n ＋2，所以12n ＋1>12n ＋2，所以T n ＋1－T n >12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，所以T n ＋1>T n .(3)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，1＋n 2＝1＋12，S 2n ＝1＋12，12＋n ＝12＋1，不等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋k 2≤S 2k ≤12＋k ，那么当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋…＋12k ＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，＝1＋12＋…＋12k ＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②知对任意的n ∈N *，不等式成立．21．(2012年东北四校质检)已知函数f (x )＝kx ＋ln x (k 是常数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当k ＝0时，是否存在不相等的正数a ，b 满足f a －f b a －b ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可知f ′(x )＝kx ＋1x(x >0)， ①k ≥0时，f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增； ②当k <0时，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1k 上单调递增，在x ∈(－1k，＋∞)上单调递减．(2)不妨假设存在a >b >0符合题意，即ln a －ln b a －b ＝2a ＋b，整理得ln a b ＝2 a －b a ＋b ，①构造函数F (x )＝ln x －2 x －1x ＋1(x >0)，∴F (1)＝0且F ′(x )＝ x －12x x ＋1 2≥0，∴F (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增． ∵a b>1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b >F (1)＝0，即ln a b >2 a －ba ＋b，与①矛盾，∴符合题意的不相等的正数a ，b 不存在．请考生在22题A 、B 、C 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22A.选修4－1：几何证明选讲(2012年郑州质检)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .(1)求证：∠DEA ＝∠DFA ；(2)若∠EBA ＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．解：(1)证明：连接AD ，BC .因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝∠EFA ＝90°，故A ，D ，E ，F 四点共圆，∠DEA ＝∠DFA .(2)在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB ，所以△EFA ∽△BCA ，EA AB ＝AF AC. 设AF ＝a ，则AB ＝3－a ，所以a (3－a )＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.22B.选修4－4：坐标系与参数方程(2012年昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1－2sin φ，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0.(1)求曲线C 和直线l 的普通方程；(2)设曲线C 上的点到l 的距离为d ，求d 的最大值．解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，得⎩⎨⎧x －1 2＝ 2cos φ 2， y －1 2＝ 2sin φ 2.所以曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2.由直线l 的极坐标方程：2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0，得直线l 的普通方程是2x ＋2y －1＝0.(2)由题知，曲线C 为以G (1,1)为圆心，半径为r ＝2的圆．设圆心G 到直线l 的距离为d 1，则d 1＝|2＋2－1|22＋22＝324<2＝r ，故直线l 与⊙G 相交．则曲线C 上的点到直线l 的最大距离d max ＝d 1＋r ＝724.22C.选修4－5：不等式选讲(2012年唐山模拟)设函数f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )≥4恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1； 当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤4的解集为[－23，2]．(2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .所以f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时，f (x )取最小值a .所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．。

第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法两年高考真题演练1.(2014·某某)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·某某)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·某某)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·某某)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6 812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．7．(2014·某某)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·某某师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·某某黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·某某威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·某某七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·某某模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·某某日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·某某某某模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.考点36 算法与程序框图两年高考真题演练1.(2015·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．(2015·)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8) 3．(2015·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·某某)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点36 算法与程序框图一年模拟试题精练1．(2015·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为22，则输出的S 的值为( )A．232 B．211 C．210 D．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·某某模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·某某一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定X 围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·某某一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·某某枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?考点37 复 数 两年高考真题演练1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·某某)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·某某)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·某某)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·某某)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·某某)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·某某)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2014·某某)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 14．(2015·某某)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 15．(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．1．(2015·某某江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·某某某某模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·某某模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·某某一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·某某一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·某某一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·某某枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·某某某某模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·某某某某模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·某某模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·某某河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·某某马某某模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。

单元检测(十二) 算法、复数、推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z满足z(2＋i)＝3－6i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )A．3B．－3iC．3iD．－32．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”的正确假设为( )A．自然数a，b，c中至少有两个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a10的值为( ) A．45B．55C．65D．664.已知i为虚数单位，如图，网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数为z，则复数z1－2i的共轭复数是( )A．－iB．1－iC．iD．1＋i5．执行如图所示的程序框图，如果输入的N＝100，则输出的x＝( )A.0.95B ．0.98 C ．0.99D ．1.006．已知i 是虚数单位，复数z ＝1a －i(a ∈R )在复平面内对应的点位于直线x －2y ＝0上，则复数z 的虚部为( )A ．2B ．3C ．15iD ．157．《周易》表现了古代中华民族对万事万物深刻又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为，把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“——”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如表所示：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是( )A ．18B ．17C ．16D ．158．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A.f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B.f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋149．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1>1，a 2016a 2017>1，a 2016－1a 2017－1<0，下列结论中正确的是( )A ．q <0B ．a 2016a 2018>1C ．T 2016是数列{T n }中的最大项D ．S 2016>S 201710．有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现进行如下分组：第1组为{1}，第2组为{3，5}；第3组为{7，9，11}；…试观察每组内各数之和S n 与该组的编号数n 的关系为( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)11．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(即176两)，问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤(即176两)，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为( )A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，7412．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不写信．已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是( ) A ．玩游戏B ．写信 C ．听音乐D ．看书二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.14．观察下列等式 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为________________________________________．15．如图是求样本x 1，x 2，…x 10的平均数x －的程序框图，则空白框中应填入的内容为________．16．沈老师告知高三数学周考的附加题只有6名同学A ，B ，C ，D ，E ，F 尝试做了，并且这6人中只有1人答对了；同学甲猜测：D 或E 答对了；同学乙猜测：C 不可能答对；同学丙猜测：A ，B ，F 当中必有1人答对了；同学丁猜测：D ，E ，F 都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝m 2－2m －3＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 取何值时． (1)z 是实数； (2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos2x )i ，i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，求cos (4α＋π3)的值．19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝0，其前n 项和为S n ，且a 2＋2，S 3，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝（2n ＋1）2S n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n －2n <12.20．(本小题满分12分)已知函数f 1(x )＝sin x2，x ∈R ，记f n ＋1(x )为f n (x )的导数，n ∈N *.(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )，n ∈N *的表达式，并证明你的猜想．21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.22．(本小题满分12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域内存在x 0使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．(1)函数f (x )＝2x＋1是否属于集合M ？请说明理由；(2)函数f (x )＝lnax 2＋1∈M ，求实数a 的取值范围；(3)设函数f (x )＝3x＋x 2，证明：函数f (x )∈M .单元检测（十二） 算法、复数、推理与证明1．答案：D解析：由题意可得，z ＝3－6i 2＋i ＝（3－6i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－15i5＝－3i ，据此可知，复数z的虚部为－3.2．答案：B解析：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a ，b ，c 均为奇数或自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数”．3．答案：B解析：第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55. 4．答案：A解析：易知z ＝2＋i ，则z1－2i ＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝i ，其共轭复数为－i. 5．答案：C解析：由程序框图可知x ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫199－1100＝99100.6．答案：D 解析：z ＝1a －i ＝a ＋i a 2＋1＝a a 2＋1＋1a 2＋1i ，其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋1，1a 2＋1，又该点位于直线x －2y ＝0上，所以a ＝2，z ＝25＋15i ，其虚部为15.7．答案：B解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的二进制数是010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.8．答案：D解析：分母n ，n ＋1，n ＋2，…，n 2构成以n 为首项，以1为公差的等差数列项数为n 2－n ＋1.当n ＝2时代入得，f （2）＝12＋13＋14.9．答案：C解析：由a 1>1，a 2016a 2017>1得q >0，由a 2016－1a 2017－1<0，a 1>1得a 2016>1，a 2017<1，0<q <1，故数列{a n }的前2016项都大于1，从第2017项起都小于1，因此T 2016是数列{T n }中的最大项．10．答案：B解析：由题意可得，第一组数字之和为1＝13；第二组数字之和为3＋5＝8＝23； 第三组数字之和为7＋9＋11＝27＝33，依次类推， 按照规律，归纳可得，第n 组数字之和为S n ＝n 3. 11．答案：C解析：执行程序：x ＝86，y ＝90，S ＝867＋906≠27；x ＝90，y ＝86，S ＝907＋866≠27；x＝94，y ＝82，S ＝947＋826≠27；x ＝98，y ＝78，S ＝987＋786＝27，故输出的x ，y 分别为98，78.12．答案：D解析：由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书．13．答案：－7 解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i2＝b －a i ，（2－i ）2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.14．答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析：规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1，2，…，2n ，分子为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边共有n 项且分母分别为n ＋1，n ＋2，…，2n ，分子为1，即为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .所以第n 个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 15．答案：S ＝S ＋x n解析：由题意知，该程序的功能是求样本x 1，x 2，…，x 10的平均数x －，因为“输出x －”的前一步是“x －＝Sn”，所以循环体的功能是累加各样本的值，故应为S ＝S ＋x n .16．答案：丁解析：若甲猜对，则乙猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错．∵甲、乙、丙、丁4人中只有1人猜对，∴丁猜对．17．解析：（1）由m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或－2. ∴m ＝－1或－2时，z 是实数．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3，∴m ＝3时，z 是纯虚数．（3）由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0，解得－1<m <3，∴当－1<m <3时，z 对应的点位于复平面的第二象限．18．解析：（1）因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin2x ＝m ，t ＝m －3cos2x ，所以t ＝sin2x －3cos2x .又t ＝0，所以sin2x －3cos2x ＝0，得tan2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.（2）由（1）知，t ＝f （x ）＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为当x ＝α时，t ＝12， 所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝14， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－14， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－1＝－78. 19．解析：（1）由a 1＝0得a n ＝（n －1）d ，S n ＝n （n －1）d 2， 因为a 2＋2，S 3，S 4成等比数列，所以S 23 ＝（a 2＋2）S 4，即（3d ）2＝（d ＋2）·6d ，整理得3d 2－12d ＝0，即d 2－4d ＝0，因为d ≠0，所以d ＝4.所以a n ＝（n －1）d ＝4（n －1）＝4n －4.（2）证明：由（1）可得S n ＋1＝2n （n ＋1），所以b n ＝（2n ＋1）2S n ＋1＝（2n ＋1）22n （n ＋1）＝2＋12n （n ＋1）＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<2n ＋12， 所以T n －2n <12. 20．解析：（1）由f 1（x ）＝sin x 2，得f 2（x ）＝12cos x 2， f 3（x ）＝－14sin x 2. （2）猜想：f n （x ）＝12n －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12π＋x 2（n ∈N *）. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f 1（x ）＝sin x 2，结论成立； ②假设n ＝k （k ≥1且k ∈N *）时，结论成立，即f k （x ）＝12k －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋x 2. 当n ＝k ＋1时，f k ＋1（x ）＝[f k （x ）]′＝12×12k －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋x 2＝12k sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋π2＋x 2＝12（k ＋1）－1sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k ＋1）－12π＋x 2. 所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 所以由①②可知，对任意的n ∈N *结论成立．21．证明：（1）∵PA ＝PD ，且E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD .∵底面ABCD 为矩形，∴BC ∥AD ，∴PE ⊥BC .（2）∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，且AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD . ∴AB ⊥PD .又PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ，∴PD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD .（3）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD .∵F ，G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG ∥BC ，且FG ＝12BC . ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴ED ∥BC ，DE ＝12BC ， ∴ED ∥FG ，且ED ＝FG ，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF ∥GD .又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD .22．解析：（1）f （x ）＝2x＋1∉M .理由如下： 假设f （x ）＝2x＋1∈M ， 则在定义域内存在x 0，使得f （x 0＋1）＝f （x 0）＋f （1）成立，即2x 0＋1＋1＝2x 0＋1＋3， 整理得3x 20 ＋3x 0＋2＝0，∵方程3x 20 ＋3x 0＋2＝0无实数解，∴假设不成立，∴函数f （x ）＝2x＋1∉M . （2）由题意得，f （x ）＝ln ax 2＋1∈M ， ∴ln a （x ＋1）2＋1＝ln ax 2＋1＋ln a 2在定义域内有解， 即（2－a ）x 2－2ax －2a ＋2＝0在实数集R 内有解，当a ＝2时，x ＝－12，满足题意； 当a ≠2时，由Δ≥0，得a 2－6a ＋4≤0，解得3－5≤a ≤3＋5且a ≠2，综上3－5≤a ≤3＋5，∴实数a 的取值范围为[3－5，3＋5].（3）证明：∵f （x ）＝3x ＋x 2，∴f （x 0＋1）－f （x 0）－f （1）＝3x 0＋1＋（x 0＋1）2－3x 0－x 20 －4＝2⎝⎛⎭⎪⎫3x 0＋x 0－32 又函数y ＝3x 的图象与函数y ＝－x ＋32的图象有交点， 设交点横坐标为a ，则3a ＋a －32＝0，所以3x 0＋x 0－32＝0，其中x 0＝a ， ∴f （x 0＋1）＝f （x 0）＋f （1），即f （x ）∈M .。

卜人入州八九几市潮王学校算法初步、推理与证明、复数专题测试一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

)1．(2021年四校联考)i为虚数单位，复数z＝，那么复数z的虚部是()A.iB.C．－i D．－解析：z＝＝＝＝－＋i∴z的虚部为.答案：B2．(2021年名校高三联考)i是虚数单位，假设＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位，满足i2＝－1)，那么ab的值是()A．－15 B．－7C．3 D．15解析：由a＋b i＝＝(－i)(1＋7i)＝7－i，∴a＝7，b＝－1，ab＝－7，答案为B.答案：B3．(2021年皖南八校高三第二次联考)复数z＝1－i，那么的值是()A．2 B．－2C．2i D．－2i解析：∵z＝1－i，∴＝＝＝2.答案：A4．(2021年课标全国高考)假设执行下面的框图，输入N＝5，那么输出的数等于()A. B.C. D.解析：k＝1，S＝0，S＝，k＝2，S＝＋＝，k＝3，S＝＋＝，k＝4，S＝＋＝，k＝5，S＝＋＝.答案：D5．(2021年质检)某程序框图如下列图，那么该程序运行后输出的S的值是()A．1 B.C. D.解析：k＝1，S＝k＝2，S＝k＝3，S＝k＝4，S＝1∴2021÷4＝502 (3)∴S＝.答案：B6．(2021年高三质量评估测试)如图程序框图的功能是求出的值，那么框图中①、②两处应分别填写上的是()A．i≥1，a B．i≥1，a－6C．i>1，a D．i>1，a－6解析：从框图及其功能看出，从6开场经历了5次计算，终止条件应是i>1，最后一步输出的值应是a －6.答案：D7．(2021年高三联考)假设下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为()A．i<10 B．i<＝10C．i<＝9 D．i<9解析：由于12×11×10×9＝11880，所以执行循环的条件应是i≥9，循环直到i<9时停顿，因此选D.答案：D8．(2021年质量评估)在数列{a n}中，假设存在非零整数T，使得a m＋T＝a m对于任意的正整数m均成立，那么称数列{a n}为周期数列，其中T叫做数列{a n}的周期．假设数列{x n}满足x n＋1＝|x n－x n－1|(n≥2，n∈N)，且x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，当数列{x n}的正周期最小时，该数列的前2021项的和是() A．669 B．670C．1339 D．1340解析：x1＝1，x2＝a，x3＝|a－1|＝1－a，x4＝|1－a－a|＝|1－2a|，依题意知周期为3，∴|1－2a|＝1，得a＝1，a＝0(舍去)．∴x1＝1，x2＝1，x3＝0，从而S2021＝1340.答案：D9．(2021年)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成假设干个图案：那么第n个图案中有白色地面砖的块数是()A．4n B．4n＋1C．4n＋2 D．4n－1解析：第1～3个图案中白色地面砖的块数依次是6,10,14，由此猜想白色地面砖的块数构成以6为首项，4为公差的等差数列，故第n个图案中有白色地面砖6＋4(n－1)＝4n＋2(块)答案：C10．(2021年)设集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，假设a∈M，b∈N，那么a－b，ab与集合M，N的关系是()A．a－b∈M，ab∉M B．a－b∈N，ab∉NC．a－b∈M，ab∈M D．a－b∈N，ab∈N解析：假设a∈M，b∈N，那么存在m1∈Z，n1∈Z，使a＝1＋3m1，b＝2＋3n1，故a－b＝3(m1－n1)－1＝3(m1－n1－1)＋2，由于m1－n1－1∈Z，故a－b∈N.又ab＝(1＋3m1)(2＋3n1)＝9m1n1＋6m1＋3n1＋2＝3(3m1n1＋2m1＋n1)＋2.由于3m1n1＋2m1＋n1∈Z，故ab∈N.答案：D11．(2021年一模)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋2)，当x>1时，f(x)单调递增，假设x1＋x2>2且(x1－1)(x2－1)<0，那么f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负解析：由f(－x)＝－f(x＋2)知函数y＝f(x)关于点(1,0)对称，因此由x>1时f(x)单调递增可知当x<1时函数f(x)单调递减．由(x1－1)(x2－1)<0知x1－1，x2－1异号，不妨设x1>1，那么x2<1.∵x1＋x2>2，∴x1>2－x2.由x2<1知2－x2>1，故x1>2－x2>1.∴f(x1)>f(2－x2)．∵f(2－x2)＝－f(x2)．∴f(x1)>－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)>0.答案：B12．(2021年高级一模)定义一种运算“*〞：对于自然数n满足以下运算性质：()A．n B．n＋1C．n－1 D．n2解析：由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝答案：A二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上．)13．(2021年江南十校联考)执行下边的程序框图，那么输出的结果是________．解析：i＝1，s＝1，p＝3i＝2，s＝4，p＝6i＝3，s＝10，p＝10.答案：1014．(2021年广雅、一中、金中2月联考)cos＝，coscos＝，coscoscos＝，…，根据这些结果，猜想出一般结论是________．答案：coscos…cos＝15．(2021年八三月调考)复数z满足＝1－2i，那么z＝________.解析：＝(1－2i)(1＋i)＝1＋i－2i＋2＝3－iz＝3＋i.答案：3＋i16．(2021年卷高考)设n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，将|a k|(0≤k≤n)的最小值记为T n，那么T2＝0，T3＝－，T4＝0，T5＝－，…，T n，…其中T n＝________.解析：由归纳推理得T n＝.答案：T n＝三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，17题10分，18～22题，每一小题12分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．)17．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4)()2021＋()2021.解：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)()2021＋()2021＝[(1＋i)2021·(1＋i)＋(1－i)2021·(1－i)]＝[(2i)1005·(1＋i)＋(－2i)1005·(1－i)]＝[i·(1＋i)＋(－i)·(1－i)]＝－.18．(2021年)先阅读框图，再解答有关问题：(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？(2)当输入量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；②输出S的结果是什么？写出求S的过程．解：(1)当n＝1时，a＝；当n＝2时，a＝；当n＝3时，a＝.(2)①解法一：记输入n时，①中输出结果为a n，②中输出结果为S n，那么a1＝，a n＝a n－1(n≥2)，所以＝(n≥2)．所以a n＝·…·a1＝··…·＝·＝.解法二：猜想a n＝.证明：(ⅰ)当n＝1时，结论成立．(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N*),即a k＝，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝a k＝·＝＝，所以当n＝k＋1时，结论成立．故对n∈N*，都有a n＝成立．即输出a的结果为.②因为a n＝＝＝(－)，所以S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－)＝.即输出S的结果为.19．(2021年)将n2个数排成n行n列的一个数阵：a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……………a n1a n2a n3…a nna11＝2，a13＝a61＋1，该数列第1列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．(1)求第i行第j列的数a ij；(2)求这n2个数的和．解：(1)由a11＝2，a13＝a61＋1，得2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或者m＝－(舍去)，a ij＝a i1·3j－1＝[2＋(i－1)×3]3j－1＝(3i－1)·3j－1.(2)S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(a n1＋a n2＋…＋a nn)＝＋＋…＋＝(3n－1)·＝n(3n＋1)(3n－1)．20．x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.证明：∵x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz.∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.∴3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥.21．(2021年模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有a n>0，S n＝.(1)求a1，a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式a n；(3)证明：a2n＋1n≥a2n n＋a2n－1n.解：(1)当n＝1时，有a1＝S1＝，由于a n>0，所以a1＝1.当n＝2时，有S2＝，即a1＋a2＝，将a1＝1代入上式，由于a n>0，所以a2＝2.(2)由S n＝，得a13＋a23＋…＋a n3＝(a1＋a2＋…＋a n)2，①那么有a13＋a23＋…＋a n3＋a n＋13＝(a1＋a2＋…＋a n＋a n＋1)2.②②－①，得a n＋13＝(a1＋a2＋…＋a n＋a n＋1)2－(a1＋a2＋…＋a n)2，由于a n>0，所以a n＋12＝2(a1＋a2＋…＋a n)＋a n＋1.③同样有a n2＝2(a1＋a2＋…＋a n－1)＋a n(n≥2)，④③－④，得a n＋12－a n2＝a n＋1＋a n.所以a n＋1－a n＝1.由于a2－a1＝1，即当n≥1时都有a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n＝n.(3)证明：要证a2n＋1n≥a2n n＋a2n－1n，只需证(2n＋1)n≥(2n)n＋(2n－1)n，只需证(1＋)n≥1＋(1－)n，只需证(1＋)n－(1－)n≥1.由于(1＋)n－(1－)n＝[C n0＋C n1()＋C n2()2＋C n3()3＋…]－[C n0－C n1()＋C n2()2－C n3()3＋…]＝2[C n1()＋C n3()3＋C n5()5＋…]＝1＋2[C n3()3＋C n5()5＋…]≥1.∴原不等式成立．22．(2021年第一次质检)数列{a n}中，a1＝1，a n＋1a n－1＝a n a n－1＋a n2(n∈N＋，n≥2)，且＝kn＋1.(1)求k的值；(2)设g(x)＝，f(x)是数列{g(x)}的前n项和，求f(x)的解析式；(3)求证：不等式f(2)<g(3)，其中n为正整数．解：(1)由题意得＝a2＝k＋1，又因为a1＝1，a n＋1a n－1＝a n a n－1＋a n2(n∈N＋，n≥2)，那么a3a1＝a2a1＋a22，即＝a2＋1，又＝2k＋1，∴a2＝2k.所以k＋1＝a2＝2k，∴k＝1.(2)解：由(1)知＝n＋1，∴a n＝··…··a1＝n·(n－1)·…·2·1＝n！，因为g(x)＝＝nx n－1，所以，当x＝1时，f(x)＝f(1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，当x≠1时，f(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋nx n－1①①·x得xf(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)x n－1＋nx n②①－②得：(1－x)f(x)＝1＋x＋x2＋…＋x n－1－nx n＝－nx n，∴f(x)＝－.综上所述：f(x)＝.(3)证明：由(2)知，f(2)＝－＝(n－1)2n＋1，又g(3)＝3n，易验证当n＝1,2,3时不等式成立；假设n＝k(k≥3)，不等式成立，即3k>(k－1)2k＋1，两边乘以3得：3k＋1>3(k－1)2k＋3＝k·2k＋1＋1＋3(k－1)2k－k2k＋1＋2，又因为3(k－1)2k－k·2k＋1＋2＝2k(3k－3－2k)＋2＝(k－3)2k＋2>0，所以3k＋1>k·2k＋1＋1＋3(k－1)2k－k2k＋1＋2>k·2k＋1＋1，即n＝k＋1时不等式成立，故不等式恒成立．。

第5讲 复 数基础巩固题组 (建议用时：20分钟)一、填空题1．(2014·江西卷改编)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝________.解析 ∵z (1＋i)＝2i ，z ＝2i1＋i＝1＋i ，|z |＝ 2. 答案22．(2014·福建卷改编)复数(3＋2i)i 等于________．解析 (3＋2i)i ＝3i ＋2i 2＝－2＋3i. 答案 －2＋3i3．(2014·广东卷改编)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝________.解析 z ＝253－4i ＝25×3＋4i 3－4i 3＋4i ＝25×3＋4i 25＝3＋4i.答案 3＋4i4．(2014·陕西卷改编)已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为________．解析 ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ， ∴z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22＋1＝5. 答案 55．(2015·东北三省四市联考)复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第________象限．解析 由(1＋i)z ＝2i 得z ＝2i1＋i＝2i 1－i 1＋i 1－i ＝2i ＋22＝1＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，该点在第一象限． 答案 一6．(2015·徐州检测)已知复数z ＝－2i ，则1z ＋1的虚部为________． 解析 复数1z ＋1＝11－2i ＝1＋2i 1－2i 1＋2i ＝1＋2i 5的虚部是25.答案 257．(2014·湖南卷)复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于______．解析 ∵3＋i i 2＝3＋i －1＝－3－i ，∴3＋ii 2的实部为－3.答案 －38．(2014·浙江卷)已知i 是虚数单位，计算1－i1＋i2＝________.解析1－i 1＋i2＝1－i 2i ＝1＋i －2＝－12－12i. 答案 －12－12i9．(2014·南京、盐城模拟)已知复数 z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为________．解析 由z 1z 2＝(－2＋i)(a ＋2i)＝－2a －2＋(a －4)i 是实数得虚部a －4＝0，解得a ＝4. 答案 410．(2014·成都诊断)设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在第________象限．解析 因为复数z 对应点的坐标为(3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限． 答案 二11．(2015·武汉调研)若复数(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i(m 为实数，i 为虚数单位)是纯虚数，则m ＝________.解析 复数(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m ≠0，解得m ＝2.答案 212．(2015·苏北四市调研)复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)，在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23能力提升题组 (建议用时：10分钟)1．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2; p 2：z 2＝2i ； p 3：z 的共轭复数为1＋i;p 4：z 的虚部为－1.其中所有的真命题为________．解析 利用复数的有关概念以及复数的运算求解． ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝－12＋－12＝2，∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题；∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题．其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 答案 p 2，p 4 2．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．解析 f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素． 答案 33．(2015·岳阳一中检测)已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________． 解析 ∵i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋i 1－i 1＋i1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)． 答案 (0,1)4．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i，y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x ix ＋i ，则y ＝________.解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝1－i22＝－i.所以y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 10＝－2.答案 －2。