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三角形内角和定理的证明

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三角形内角和定理的证明

三角形内角和定理的证明

随堂练习
☞
2、已知：如图在△ABC中， 已知：如图在△ABC中 DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： 求证： ∠ADE=500
证明： DE∥BC（已知） 证明：∵ DE∥BC（已知） ∴∠AED=∠C ∴∠AED=∠C D E 两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同位角相等） C B ∵∠C=70 已知） ∵∠C=700（已知） （第2题） 题 ∴∠AED=70 等量代换） ∴∠AED=700（等量代换） ∵∠A+∠AED+∠ADE=180 ∵∠A+∠AED+∠ADE=1800 三角形的内角和定理） （三角形的内角和定理） 已知） ∠A=600（已知） ∴∠ADE=180 等量代换） ∴∠ADE=1800-600-700=500（等量代换） 即∠ADE=500
1 2
1 2 B D
图5
3
C
C
图6
D
…………
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个 结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 1 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 3 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B 2 C D 其它方法可以 达到同 样的效果? (2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
三角形内角和定理---三角形内角和定理---三角形三个内角的和等于180 三角形三个内角的和等于1800
在证明三角形内角和定理时, 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是 把三个角“ 他过点A 把三个角“凑”到A处,他过点A作直线 PQ∥BC(如图),他的想法可以吗 如图),他的想法可以吗? PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? P A Q 1 3 2 证明：过点A作 ∥ ， 证明：过点 作PQ∥BC，则 两直线平行,内错角 ∠1=∠B(两直线平行 内错角 B ∠ 两直线平行 C ∠ 两直线平行,内错角相等 两直线平行 内错角相等 相等) 相等 ∠2=∠C(两直线平行 内错角相等) ∵∠1+∠ ∠3 ∠3=1800 (平角的定义 平角的定义) 又∵∠ ∠2+∠3 平角的定义 ∠C=1800 (等量代换 等量代换). ∴ ∠BAC+∠B+∠C ∠ ∠C 等量代换

三角形的内角和定理与证明

三角形的内角和定理与证明

证明三角形的内角和定理1、过三角形的一个顶点做对边的平行线，该顶点处有三个角，相加为180，然后把这三个角中的两个角通过平行关系代换成内角，从而得证。

2、任意绘制一个平行四边形，将其分割成两个三角形，这两个三角形全等，然后平行四边形相邻两角相加为180，可以找到三个角的和为180，而其中两个角是一个三角形的内角，还有一个角同样可以通过平行线关系代换成此三角形内角，从而得证。

3、任意做三角形的一条高线，然后过高线所在边的一个顶点，做高线的平行线，然后可以证明出被高线分割出来的三角形的两个不是直角的内角互余，然后同理另外一个三角形的两角也互余，这四个角相加等于大三角形的内角和，等于一百八十度，从而得证。

扩展资料：一、内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。

其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。

从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。

二、多边形内角和定理证明证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。

因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n为边数）即n边形的内角和等于（n-2）×180°.（n为边数）证法二：连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形。

因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°（n为边数）所以n边形的内角和是（n-2）×180°。

证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°（n为边数）以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.（n为边数）。

三角形的内角和定理

三角形的内角和定理

三角形的内角和定理三角形的内角和定理是数学中一个重要的定理，它描述了任意三角形内角的和。

三角形是由三条线段连接起来的图形，它有三个顶点和三条边。

我们可以把三角形的内角分为三个部分，分别称为三角形的内角A、内角B和内角C。

根据三角形的内角和定理，三角形的内角A、内角B和内角C的和等于180度。

证明这个定理可以使用几何方法或者代数方法。

接下来，我将用几何方法来证明这个定理。

我们先假设有一个任意三角形ABC。

我们可以通过辅助线BD将这个三角形分成两个小三角形，即三角形ABD和三角形CBD。

通过划分这些线段，我们可以得到以下几个角度：角BAD、角ADC、角BDC和角BCA。

根据三角形的性质，直角的两条边相互垂直。

因此，角BAD和角ADC是直角。

由于直角的度数为90度，我们可以得出角BAD和角ADC分别为90度。

接下来，我们继续观察三角形ABD和三角形CBD。

由于它们共用边BD，并且角BAD和角ADC都是直角，我们可以推断出这两个三角形是相似的。

根据相似三角形的性质，它们对应角的度数相等。

因此，我们可以得到角ABC和角BCD的度数相等。

最后，我们将所有角度的度数相加：90度（角BAD）+ 90度（角ADC）+ 角ABC + 角BCD + 角BCA = 180度。

因此，我们证明了三角形的内角和定理，即三角形的内角A、内角B和内角C的和等于180度。

三角形的内角和定理在解决与三角形相关的问题时非常有用。

无论是计算未知角度，还是研究三角形的性质，这个定理都能够帮助我们更好地理解和解决问题。

总结一下，三角形的内角和定理指出了三角形内角的和为180度。

这个定理通过几何方法证明，并在数学中起着重要的作用。

理解和掌握这个定理对于解决三角形相关的问题非常重要。

7.5三角形内角和定理的证明

7.5三角形内角和定理的证明
B 证明： ∵ DE ∥ BC ，∠ C=700 （已知）
D
E C
（第3题）
∴ ∠ AED= ∠ C = 700 （两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=1800（三角形的内角和定理） ∠ A=600（已知） ∴ ∠ ADE=1800—600—700=500（等量代换） 即∠ ADE= 500
证明： 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠B=180°-∠ACB（等式性质） 又因为 ∠ACF+∠ACB=180°（三角形外角定义） 所以 ∠ACF=180°-∠ACB（等式性质）
所以 ∠ACF=∠A+∠B（等量代换）
• 在任意一个三角形中，无论这个三角形的形状如 何，三角形的内角和总等于180度。
1、△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ 2、 △ABC中∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=？
练一练
3、三角形的三个内角中，只能有__个直角或__个钝角 4、任意一个三角形，至少有__个锐角,至多有__个锐角 5、任意一个三角形，最大的角一定不小于 度； 6、三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？
证明： 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠B=180°-∠ACB（等式性质） 又因为 ∠ACF+∠ACB=180°（三角形外角定义） 所以 ∠ACF=180°-∠ACB（等式性质）
所以 ∠ACF=∠A+∠B（等量代换）
实际问题
如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶， C处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离 灯塔最近？当轮船从A点行驶到B点时， ∠ACB的度数是多少？当轮船行驶到距离 灯塔最近点时呢？ C

数学课件-3三角形内角和定理的证明

数学课件-3三角形内角和定理的证明
6.5 三角形内角和定理的证明
认识推理
❖ 所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这 类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（ 简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理 ，归纳推理善于发现结论。
❖ 例如:在一个平面内，直角三角形内角和是180度；锐角三角 形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形 ，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，平面内 的一切三角形内角和都是180度。
证法二
已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
A
E
1
B
32
C
D
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅助 线通常画成
虚线.
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB= 180 °1 2 3 4 （等量代换）
D
B
C
试一试
根据下面的图形,写出相应的证明.
A
Q
R
B
P
C(1)SQPNA
S
Q
PN
R
BM T C
(2)
A
R
MT
B
C
(3)
你还能想出其它证法吗?
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.

三角形内角和证明方法

三角形内角和证明方法

三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。

在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。

1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。

根据该定理，三角形的内角和等于180度。

证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。

连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。

根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。

又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。

由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。

根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。

同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。

因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。

同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。

将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。

化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。

证明完毕。

2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。

根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。

三角形的内角和证明方法

三角形的内角和证明方法1三角形的定义三角形是一个平面图形，由三条线段连接的三个点组成的图形。

三条线段称为三角形的边，连接边的点称为三角形的顶点。

2三角形的内角和三角形的内角和是指三角形内部三个角的角度之和。

在任何三角形中，内角之和总是等于180度（π弧度）。

3三角形内角和的证明方法一种简单的证明三角形内角和等于180度的方法是使用平行线切割定理。

1.从三角形的一个顶点开始，将一条线段作为其中一条边，该线段与另外两边相交于两个点。

2.以顶点为圆心，构造一个小圆，使得该圆与线段相切于顶点，并与另外两边相交于两个点。

3.连接这两个点，构造一条直线，平行于线段。

4.做垂线，将三角形分成两个三角形，一个内角为α，一个内角为β。

5.根据平行线切割定理，α和β相等。

6.重复上述过程，将三角形分成三个三角形。

7.根据平行线切割定理，内角之和等于180度。

4三角形内角和的另一种证明方法另一种证明三角形内角和等于180度的方法是使用三角形的面积。

1.以三角形的一个顶点为圆心，作一个圆。

2.连接圆心与另外两个顶点，形成两个角。

这两个角的度数x和y之和等于360度。

3.构造三角形的高，使之垂直于底边。

4.三角形的面积等于底边乘以高的一半。

5.将三角形旋转180度，使高所在的线段与底边重合。

6.三角形的面积等于底边乘以高的一半。

7.根据三角形的面积公式，两次求得的面积相等，所以底边乘以高的一半也相等。

8.三角形的高可以表示为底边的三角函数（正弦或余弦）。

9.将高表示为底边的三角函数并代入底边乘以高的一半的公式，得到影子公式。

10.影子公式中的角度之和等于180度。

5结论通过平行线切割定理和三角形的面积公式，我们可以证明三角形的内角和等于180度。

这个结论对于解决三角形几何问题非常有用，因为它可以用作许多三角形定理的基础。

三角形内角和定理的证明及应用

1.判断三角形的类型：
根据三角形内角和定理，当三角形的内角和等于180度时，可以判断该三角形是一个平面三角形。如果内角和小于180度，则意味着这不是一个三角形，而是一个非平面图形。如果内角和大于180度，则意味着这个图形是一个凹多边形，而不是三角形。
2.求解缺失的内角：
在已知三个内角中，若已知其中两个内角的度数，可以利用三角形内角和定理计算第三个内角的度数。例如，若已知∠A = 60°和∠B = 80°，可以计算出∠C = 40°。
由于∠A和∠B被直线DE分割成两个角，可以得到：
∠A + ∠B + ∠EDC = 180° (3)
同样地，由于∠B和∠C被直线FG分割成两个角，可以得到：
∠B + ∠C + ∠FGA = 180° (4)
将等式（1）和（2）代入等式（3）和（4）中，我们得到：
∠A + ∠B + ∠C + ∠EDC + ∠FGA = 360°
首先，我们可以利用平行线之间的性质对三角形进行分析。假设通过点A和点C分别作与边BC平行的直线DE和FG。如图1所示：
```
A
/ \
/ \
/ \
D-F-----G-----B
```
由于AB和DE是平行线，根据平行线与交叉线的性质，得知∠A和∠EDC是同位角，它们对应于相交线段BC。
3.推导其他几何定理：
三角形内角和定理是许多其他几何定理的基础。例如，通过三角形内角和定理，可以推导出三角形的外角和定理，即三角形的外角和等于360度。这个定理在解决许多涉及三角形外角的问题时非常有用。
总结：
三角形内角和定理是几何学中一项重要的定理，它表明了三角形内角的度数之和等于180度。这个定理在解决三角形相关问题时起着重要的作用，例如判断三角形的类型和计算缺失的内角。同时，通过这个定理还可以推导出其他几何定理。理解并应用三角形内角和定理对于几何学的学习和问题解决具有关键意义。

三角形内角和定理

三角形内角和定理三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个内角组成。

在数学中，有许多定理和公式适用于三角形的性质和特征。

本文将介绍三角形内角和定理。

一、三角形的内角和三角形的内角和定理是指三角形内的三个角的度数之和等于180度。

即对于任意三角形ABC，有∠A +∠B +∠C = 180°。

二、三角形内角和定理的证明要证明三角形内角和定理，可以采用如下的方法之一：1. 通过平行线证明：设直线L与边AC平行，交边AB于点D。

则∠ACD与∠A之和为180°（同位角和对内错外角和为180°）。

同理，设直线M与边AB平行，交边AC于点E，则∠ABE与∠C之和为180°。

根据两段式证明原理，可以得出∠ACD + ∠C + ∠ABE = 180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2. 通过角平分线证明：设三角形ABC的内角A的角平分线交边BC于点D。

则∠BAD =∠CAD，由此可得∠B + ∠BAD = ∠C + ∠CAD。

又由三角形内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180°，因此可以推出∠A + ∠B + ∠C =∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

三、三角形内角和定理的应用三角形内角和定理在解决各种与三角形相关的问题时起到了重要的作用。

下面以一些典型的应用为例进行说明：1. 求解缺失的角度：在已知三角形两个角的度数时，可以利用内角和定理求解第三个角的度数。

例如，若已知∠A = 30°，∠B = 60°，则根据内角和定理可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 90°。

2. 判断三角形类型：根据内角和定理，若三角形的内角和等于180°，则可以判断出该三角形是一个普通三角形。

而当内角和小于180°时，表示该图形是一个退化三角形（如直线），当内角和大于180°时，表示该图形不是一个三角形。

三角形内角和定理多种证明方法

三角形内角和定理多种证明方法三角形内角和定理是数学中的一个基本定理，也是初中数学中常见的一个知识点。

它表明任意一个三角形的三个内角之和等于180度。

下面我将介绍一些证明三角形内角和定理的方法。

方法一：通过三角形内切圆的角度性质证明我们可以通过利用三角形内切圆的一些性质来证明三角形内角和定理。

首先，我们知道，对于任意一个三角形ABC，它的内切圆可以与三角形的三边分别相切于点D、E、F。

如下图所示：A/ \/ \/ \/ \/ \C_____________BE/ \/ \/ \/ \D_________________F根据内切圆的性质，我们可以得知：AE=AF、BD=BF、CD=CE分别连接AD、BE、CF，得到以下关系式：AD=AE+ED、BE=BF+EF、CF=CE+FD将上述三个等式左右两边相加：AD+BE+CF=AE+ED+BF+EF+CE+FD等式左边AD+BE+CF代表了三角形ABC的周长，记为P。

等式右边AE+ED+BF+EF+CE+FD代表了三角形内切圆的周长，由于内切圆的半径相等，所以它的周长等于2πr，其中r为内切圆的半径。

因此，我们可以得到以下关系式：P=2πr而三角形的内角和等于周角，可以表示为360度。

所以我们可以推导出以下关系式：360°=P将上述两个等式组合在一起，得到：360°=2πr进一步化简可以得到：180°=πr而π是一个固定的常数，所以我们可以得到以下结论：180°=r结合之前的推导，我们可以得出：三角形的内角和等于180度。

方法二：通过三角形的内切圆面积证明我们可以利用三角形的面积公式来证明三角形内角和定理。

首先，我们知道对于任意一个三角形ABC，它的内切圆的半径为r。

根据三角形面积公式S=1/2 *底边*高，我们可以将三角形ABC分成三个小三角形，分别为BDF、AED和CEC。

三角形BDF的高为r，底边DF的长度等于三角形的周长P，所以三角形BDF的面积为S1=1/2 * P * r。

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（6）在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，则∠A= 3＿0＿° ， ∠B= ＿6＿0°＿ ，∠C= ＿9＿0＿° ； （7）在△ABC中， ∠A=105°， ∠B - ∠C=15°，则∠B= ＿＿ ＿45，°∠C= ＿＿＿30°。
6
• 2、已知：如图，在△ABC中，
DE∥BC，∠A=60°∠C=70°。
通过本节课的学习，你学到了什么？有什么收获？ 还有哪些问题需要我们共同解决，请提出来。
11
12
B
CB
CB
C
5
知识应用：
• 1、填空：
推论 （1）直角1三、角直形角的三两角锐形角的之两和锐是角＿互＿余＿；度；
（2）等边三2、角等形边的三每角一形个的内每角一是个＿内＿角＿都度是；60°。
（3）已知等腰三角形的一个底角是50°，则它的顶角是＿80° ＿＿ 度； （4）已知等腰三角形的顶角是70°，则它的底角是＿＿65＿° 度； （5）已知等腰三角形的一个角是50°，则其余的两个角分 别是 ＿6＿5°＿，＿6＿5°＿或；50°，80 °
北师大版八年级数学（下）
§6.5 三角形内角和定理的证明
1
如何计算阴影部分的面积和？
→
S=¼×∏×1 2=0.25∏
2
结论：
有些数学问题如果孤立地看或单独地计算 不易解决，相反若用“整体”的思想方法， 就很容易解决。
3
A B
问题探究：
如何来证明“三角形的内
角和等于180°”呢？
已知：如图，ΔABC.
D
求：∠ADE的度数。
B
解：∵ ∠A=60°，∠C=70°， ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=50°。 ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B。 ∴ ∠ADE=50°。
A E C
7
• 3、已知：如图，AB∥CD。
A
求证：∠A=∠CED+∠D。
E
C
证明： ∵ AB∥CD，
∴ ∠A+∠C=180°。 ∴ ∠A=180°- ∠C。பைடு நூலகம்
E
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：作BC的延长线CD，过点C作
射线CE∥BA，则
∠1=∠A， ∠2=∠B。
又∵ ∠1+∠2+∠ACB=180°
C
D
∴ ∠ A+∠B+∠ACB=180°
这里的CD，CE称为辅 助线，通常画成虚线。
4
还有其它办法来证明“三角 形的内角和等于180°” 吗？
A
A
A
∵ ∠C+∠D+∠CED=180°， ∴ （∠D+∠CED）=180°- ∠C。 ∴ ∠A=∠CED+∠D。
B D
8
问题探究：
三角形的内角和是180°， 那么凸n边形的内角和又 是多少呢？
A
D
A
A1
An
B C
四边形的内角和 =2×180°=360°
B
E
C
D
五边形的内角和
=3×180°=540°
A2
A6
A5
A3
A4
n边形的内角和
=（n-2) ×180°
9
A
D
A
An A1
●
O
B
B
●
O
E A2
A6
●
O
A5
C
C
D
A3
A4
四边形的内角和 =4×180°- 360° =360°
五边形的内角和 =5×180°- 360° =540°
n边形的内角和 =n ×180°- 360° =(n-2) ×180°
10