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平面上不共线的三点可以确定一个圆 思考：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上? 分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定 的圆的方程为同一方程 求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐 标满足圆的方程.
D E ,- ） 2 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2，表示一个点（ - 2 ,- 2 ）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以
不表示任何图形。
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2—4F>0）可表示圆的方程
a +b
2
2
练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:
( x - 1) + ( y - 2) = 3 2 2 x + y - 2x - 4 y + 2 = 0
2 2
( x + 2) + ( y + 1) = 7
2 2
2 2
x + y + 4x + 2 y - 2 = 0
2
练习3.将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出圆心 坐标及半径
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
求下列各圆的方程 (1)圆心在C(8, -3),且过点A(5,1) (标准方程)
( x - 8)2 + ( y + 3)2 = r 2 代入A点坐标
r = 25
2
( x - 8) + ( y + 3) = 25
2 2
(2)过A(-1, 5), B(5, 5), C(6,-2)三点. (一般方程)
求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.
求轨迹方程的方法:
若生成轨迹的动点 P ( x , y )随另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 x0 , y0 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点 满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2 2
D = -2, E = 4, F = 1 D + E - 4F = 16 圆心: (1, -2) 半径: r = 2
2 2
（2） + y - 6 x = 0 3) x
Hale Waihona Puke D = -6, E = F = 0 D + E - 4F = 36
2 2
圆心: (3,0)
半径:
r=3
（3） 2 4) x
E = 2b, D = F = 0 D + E - 4F = 4b 圆心: (0, -b) 半径: | b |
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
2 2
+ y + 2by = 0
2
(b 0)
2
6) （4）x
2
+ y + 2ax - b = 0
2 2
2
D = 2a , E = 0, F = - b
2 2
D + E - 4F = 4(a + b )
2 2 2 2
当 a + b 0时, 圆心: (-a,0) 半径: 当 a 2 + b2 = 0 时, 表示点: (0,0)
圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 = 2 x - 4 y0 + 3 x0 + 4 所以 y= 即: x= 2 2 y0 = 2 y - 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 + 1) + y0 = 4 (2 x - 4 + 1)2 + (2 y - 3)2 = 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x - ) + ( y - ) = 1 2 2
x + y - 8x + 6 y = 0
2 2
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通 常设为标准方程; 若已知圆经过两点或三点,通常设 为一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组. 3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或 一般方程.
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
2
4) x + y + 2ax - 4by - a + b = 0
2 2 2 2
( x - 1) + ( y + 2) = 3
2 2
( x + a ) + ( y - 2b) = 2a + 3b
2 2 2
2
例1:求过点 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4,2) 的圆的 方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
