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高中数学常见结论三角形中的结论 1、三角形中，任意两角的余弦之和大于零，即coscos 0,cos cos 0,cos cos 0A B A C B C +>+>+>2、三角形中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⨯⨯3、三角形中，sin sin A B A B >⇔>,其他同理4、锐角三角形中，任意一个角的正弦值大于另一个角的余弦值，即sincos ,sin cos A B A C >>,其他同理5、钝角三角形中（角C 为钝角），一个锐角的正弦值小于另一个锐角的余弦值。
即sin cos ,sin cos A B B A <>6、直角三角形中的结论都有逆定理7、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，直角三角形中：2a b cr +-=8、三角形中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…函数中的结论1、函数()y f x =在定义域D 上单调递增⇔对任意的12,,x x D ∈若12x x >，都有12()()f x f x >⇔对任意的12,,x x D ∈1212()(()())0x x f x f x -->⇔对任意的12,,x x D ∈1212()()0f x f x x x ->- ⇔对任意的,x D ∈/()0f x ≥恒成立⇔对任意的,x D ∈总存在t>0，使()()f x t f x +>2、函数()y f x =在定义域D 上单调递减，对应以上结论是什么？3、函数单调递增、递减的运算性质：（加、减、乘、除、开方） （1）增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，（2）()k f x ⨯与()f x 的单调性的关系是 （3）1()f x 与()f x 的单调性的关系是 （4()f x 的单调性的关系是4、对称轴、对称中心、周期之间的结论是：（1）若函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(a-x)↔x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x)=f(2a-x) ↔ x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(b-x) ↔ x=2a b+是y=f(x)的一条对称轴.（2）函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心. 函数y=f(x)满足:f(x)=-f(2a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心.函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(b-x) ↔A(2a b+,0)是y=f(x)的一个对称中心 （3）函数y=f(x)满足:f(x+T)=f(x) ↔T 是y=f(x)的一个周期函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(x+b) ↔T=a-b 是y=f(x)的一个周期(a ＞b ) 函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(x) ,则T=2a 是y=f(x)的一个周期（4）若x=a,x=b 是函数y=f(x)的两条对称轴，则T=2(a-b) (a ＞b ) ，反之也成立若A(a,0),B(b,0)是函数y=f(x)的两个对称中心，则T=2(a-b) (a ＞b )， 反之也成立 若x=a,B(b,0)分别是函数y=f(x)的对称轴和对称中心，则T=4(a-b) (a ＞b )5、若两个函数()y f x a =+，()y f b x =-有对称轴，则对称轴是2b a x -=6、函数奇偶性：函数y=f(x)是定义域D 上的偶函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x --=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=恒成立7、函数y=f(x)是定义域D 上的奇函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x -+=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=-恒成立8、函数奇偶性的运算性质：加减乘除：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇⨯奇=奇，奇÷奇=奇 偶⨯偶=偶，偶⨯奇=奇，奇⨯奇=偶 除法运算结论依然 9、奇偶性与单调性的关系：奇函数在关于原点对称的两区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的两区间上的单调性相反 10、奇函数定义域中若有0，则(0)0f =11、奇函数定义域中若有最大值M 和最小值N ，则M+N=0 12、奇偶性与导数的关系：奇函数的导函数是偶函数 偶函数的导函数是奇函数 13、若函数y=f(x)是偶函数，则()()f x f x =14、若函数y=f(x)是D 上的上凸函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x x f ++<15、若函数y=f(x)是D 上的上凹函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x xf ++>16、二次函数2y ax bx c =++是偶函数⇔b=0三次函数32y ax bx cx d=+++是奇函数⇔b=d=017、二次函数在限定区间上的最值问题：讨论对称轴与区间的位置关系----大大小小（1）当a>0时，求最小值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最大值讨论对称轴与区间中点的位置关系（2）当a<0时，求最大值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最小值讨论对称轴与区间中点的位置关系18、二次函数2y ax bx c =++的对称轴是2b x a=-，三次函数32y ax bx cx d =+++的对称中心是,()33b b f aa ⎛⎫--⎪⎝⎭19、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，且在定义域的任何子区间上导函数不恒为0，则/()0f x ≥⇔y=f(x)在D 上单调递增/()0f x ≤⇔y=f(x)在D 上单调递减20、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，/0()0f x =不能保证0()f x 为极值，反之成立。
双曲线十大经典结论双曲线是高中数学中的一种常见函数，它具有许多重要的性质和结论。
下面介绍双曲线的十大经典结论，帮助读者更好地理解和应用双曲线函数。
1. 双曲线的定义双曲线是由平面上离两点距离之差与常数2a的比构成的点的集合。
通常表示为y²/a² - x²/b² = 1或x²/a² - y²/b² = 1。
其中，a,b分别为双曲线的焦距。
2. 双曲线的中心对称性双曲线是关于两个焦点的联线的中垂线对称的。
也就是说，双曲线上的任意一点都关于两个焦点的联线的中垂线对称。
3. 双曲线的渐近线双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴成45°的夹角，并且它们趋近于相交于双曲线的中心点。
4. 双曲线的拐点在双曲线上，x轴和y轴的交点处是曲线的拐点。
这些点被称为双曲线的顶点。
5. 双曲线的对称轴双曲线有两条对称轴：一条垂直于x轴，穿过双曲线的中心点；另一条垂直于y轴，在x轴上方和下方各穿过一点。
6. 双曲线的面积公式双曲线y²/a² - x²/b² = 1在x轴上的两个交点为x=-a和x=a，因此曲线所围成的面积为S = 2ab。
7. 双曲线的弦长公式双曲线上的两点之间的弦长为2a*ln((y1+y2)/2)。
其中，y1和y2为两点在y轴上的投影。
8. 双曲线的渐近线方程双曲线的两条渐近线的方程分别为y = x/a和y = -x/a。
9. 双曲线的反函数双曲线函数y = a*cosh(x/a)有反函数x = a*ln(y + sqrt(y² -a²))，其中cosh为双曲余弦函数。
10. 双曲线的应用双曲线广泛应用于物理、天文、工程、经济、金融等领域。
例如，电磁波在介质中的传播规律可以用双曲线函数表示；货币增长模型中的通货膨胀可以用双曲线函数描述。
反比例函数五大结论1. 哇哦，同学们！今天咱们来聊聊反比例函数的五大结论。
别急着打哈欠啊，这可是数学界的超级明星呢！想象一下，它就像是数学世界里的变形金刚，变来变去，让人目不暇接。
2. 第一个结论，反比例函数的图像是一条双曲线。
听起来高大上是不是？其实就是两条弯弯的线，像极了你妈妈做的面条，又细又长，怎么也吃不完。
这条线永远不会碰到x 轴和y轴，就像你永远追不上校花一样，只能无限接近啊！3. 第二个结论来啦！反比例函数的图像关于原点对称。
这就像是照镜子，你往左动，镜子里的你就往右动，简直是孪生兄弟啊！小明听到这儿，眼睛一亮："哇，这不就是我和我双胞胎兄弟吗？一个往东，一个往西，永远相反！"4. 接下来是第三个结论：反比例函数在第一、三象限单调递减，在第二、四象限单调递增。
这听起来有点绕口，但其实很简单。
就像你爬山，有时候往上爬，有时候往下滑。
小红插嘴说："哦，我明白了！就像过山车，一会儿上一会儿下，刺激得很！"5. 第四个结论可有意思了：当x越来越大时，y无限接近于0；当x越来越接近0时，y 的绝对值无限增大。
这就像是你和暗恋对象的距离，你越靠近他，他就跑得越远；你要是不理他，他反而凑过来了。
小明听完直呼："这不就是我追女神的真实写照吗？"6. 最后一个结论：反比例函数的图像与坐标轴围成的面积是固定的。
这个有点抽象，我们来打个比方。
想象一下，你有一块橡皮泥，不管你怎么捏，它的体积都不变。
反比例函数的图像就是这样，你可以拉长它，压扁它，但它和坐标轴围成的面积永远不变。
7. 小红听完后若有所思："哇，这不就是守恒定律吗？就像我们班的总成绩，不管怎么分配到每个人头上，加起来还是那么多。
"我竖起大拇指："没错！你这个类比太妙了！"8. 说到这儿，小明突然问："老师，这些结论在实际生活中有什么用啊？"我笑着说："好问题！比如说，你知道为什么自行车变速器有不同档位吗？这就是利用了反比例函数的原理。
知识导航除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：(1)计算；(2)转化．本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．策略一：运用比例计算类综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；【分析】(1)可重设解析式为交点式：()()24y a x x =+-，展开得：228y ax ax a =--，常数项对应相等，-8a =6，解得：34a =-，故抛物线解析式为：233642y x x =-++．(2)考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD 的面积．1=26=62AOCS⨯⨯， 3396442BCD AOCSS =⨯=⨯=， 此问题变为面积定值问题，就不难了．【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题． 策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．CBA转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则::ABDACDSSBD CD =．HABCD更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABDACDSSBM CN BE CE ==．M N EDCBA策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD BA AM ==．MDCBA“8”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD AB CM ==．MDCBA以2019连云港中考填空压轴为例： 【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是 ． TA BCDP【分析】AP 、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段． 构造“A ”字型线段比：过点P 作PQ ∥DB 与AB 的延长线交于点Q ，QTA BCDP由平行得：AP AQ AT AB=，若要APAT 取到最大值，只要AQ 最大即可． M PDCBATQBC =3，39344BM =⨯=，515344CM =⨯=，15121234520PM =+=， 1235412034MQ =⨯=，41941244AQ =+-=， 故最大值为1234AP AQ AT AB ===．思路2：构造“8”字型线段比是否可行？ 虽然问题是AP AT 的比值，为便于构造“8”字，可转化为“TP AT +1”，即求TPAT的最大值， 过点P 作PQ ∥AB 交BD 延长线于Q 点，可得：TP PQAT AB=，考虑到AB 是定线段，故只要PQ 最大即可． 但是本题P 点在圆上运动，故很难分析出点P 在何位置，PQ 取到最大值，若P 点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．PD CBA TQ例一、已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；(2)如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)223y x x =--+；顶点坐标为(-1,4)． (2)根据:1:2CPD BPD S S ∆∆=可得CD ：BD =1：2，故D 点是线段BC 靠近点C 的三等分点，又B (-3,0)、C (0,3)， ∴D 点坐标为(-1,2)． 例二、如图，抛物线22(0)y ax x c a =++<与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ∆∆=时，求点D 的坐标．【分析】(1)解析式：223y x x =-++(2)显然△COF 和△CDF 共高，可将面积之比化为底边之比．::3:2COFCDFOF DF SS==，思路1：转化底边之比为“A ”字型线段比在y 轴上取点E (0，5)，(为何是这个点？因此此时OC ：CE =3：2) 过点E 作BC 的平行线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平行线分线段成比例，OF ：FD =OC ：CE =3：2． 直线EG 解析式为：y =-x +5，与抛物线联立方程，得：2235x x x -++=-+， 解得：11x =，22x =．故D 点坐标为(1，4)或(2，3)．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG=，又OC =3，故点G 满足DG =2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG=，又OB =3，∴DG =2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为()2,23m m m -++，根据OF ：DF =3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点F 在直线BC 上，将点坐标代入直线BC 解析式：y =-x +3，23693+35555m m m -+=-+， 解得11m =，22m =，故D 点坐标为(1，4)或(2，3)．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．1．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ．顶点为点D ． (1)求抛物线的解析式；(2)若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB S S ∆∆=，求直线CE 的解析式；(3)若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； (4)已知点45(0,)8H ，(2,0)G ，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小？若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)因为抛物线经过(1,0)A -，(3,0)B ，可以假设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，利用待定系数法解决问题即可．(2)求出点E 的坐标即可解决问题．(3)分点P 在x 轴的上方或下方，点P 的纵坐标为1或1-，利用待定系数法求解即可．(4)如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF FH +的值最小．求出直线HB 的解析式，可得点F 的坐标，设(,)K x y ，作直线174y =，过点K 作KM ⊥直线174y =于M ．证明KF KM =，利用垂线段最短解决问题即可．【解答】解：(1)因为抛物线经过(1,0)A -，(3,0)B ，∴可以假设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，把(0,3)C 代入，可得1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++．(2)如图1中，连接AC ，BC ．:3:5ACE CEB S S ∆∆=，:3:5AE EB ∴=，4AB =，33482AE ∴=⨯=，0.5OE ∴=，设直线CE 的解析式为y kx b =+，则有30.50b k b =⎧⎨+=⎩，解得63k b =-⎧⎨=⎩，∴直线EC 的解析式为63y x =-+．(3)由题意(0,3)C ，(1,4)D ．观察图像可知CD 只能说平行四边形的边，不可能是对角线，当四边形11PQ CD ，四边形22P Q CD 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1， 当1y =时，2231x x -++=， 解得13x =±，1(13P ∴1)，2(13P ，1)，当四边形33PQ DC ，四边形44P Q DC 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1-，当1y =-时，2231x x -++=-， 解得15x =±，1(15P ∴+，1)-，2(15P -，1)-，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(13+，1)或(13-，1)或(15-，1)-或(15+，1)-．(4)如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF FH +的值最小．45(0,)8H ，(3,0)B ， ∴直线BH 的解析式为154588y x =-+， 1x =时，154y =， 15(1,)4F ∴， 设(,)K x y ，作直线174y =，过点K 作KM ⊥直线174y =于M ． 2215(1)()4KF x y =-+-2223(1)4y x x x =-++=--+， 2(1)4x y ∴-=-， 222151717174()()||4244KF y y y y y ∴=-+--+=-， 17||4KM y =-， KF KM ∴=，KG KF KG KM ∴+=+，根据垂线段最短可知，当G ，K ，M 共线，且垂直直线174y =时，GK KM +的值最小，最小值为174， 此时(2,3)K ．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，第四个问题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，属于中考压轴题．2．如图1，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．在x 轴上有一动点(E m ，0)(03)m <<，过点E 作直线l x ⊥轴，交抛物线于点M ．(1)求抛物线的解析式及C 点坐标；(2)当1m =时，D 是直线l 上的点且在第一象限内，若ACD ∆是以DCA ∠为底角的等腰三角形，求点D 的坐标；(3)如图2，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接AM ，OM ，设AEM ∆的面积为1S ，MON ∆的面积为2S ，若122S S =，求m 的值．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)若ACD ∆是以DCA ∠为底角的等腰三角形，则可以分CD AD =或AC AD =两种情况，分别求解即可； (3)112M S AE y =⨯⨯，22M S ON x =⋅，即可求解． 【解答】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为223y x x =-++， 当0x =时，3y =，故点(0,3)C ；(2)当1m =时，点(1,0)E ，设点D 的坐标为(1,)a ，由点A 、C 、D 的坐标得，22(01)(30)10AC =++-=，同理可得：24AD a =+，21(3)CD a =+-， ①当CD AD =时，即2241(3)a a +=+-，解得1a =； ②当AC AD =时，同理可得6a =±(舍去负值)； 故点D 的坐标为(1,1)或(1,6)；(3)(,0)E m ，则设点2(,23)M m m m -++，设直线BM 的表达式为y sx t =+，则22303m m sm t s t ⎧-++=+⎨=+⎩，解得133s m t m =--⎧⎨=+⎩，故直线BM 的表达式为(1)33y m x m =--++，当0x =时，33y m =+，故点(0,33)N m +，则33ON m =+； 2111(1)(23)22M S AE y m m m =⨯⨯=⨯+⨯-++，22112(33)(1)(23)2M S ON x m m S m m m =⋅=+⨯==⨯+⨯-++，解得27m =-1-(舍去负值)， 故72m =．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴正半轴于点C ，M 为BC 中点，点P 为抛物线上一动点，已知点A 坐标(1,0)-，且24OB OC OA ==． (1)求抛物线的解析式；(2)当PCM POM ∆≅∆时，求PM 的长； (3)当45ABC BCP S S ∆∆=时，求点P 的坐标．【分析】(1)先求出点B ，点C 坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)由全等三角形的性质可得PO PC =，可得点M 在CO 的垂直平分线上，即可求解； (3)分两种情况讨论，利用面积关系可求解． 【解答】解：(1)(1,0)A -，1OA ∴=，又24OB OC OA ==， 2OC ∴=，4OB =，(4,0)B ∴，(0,2)C ，点B ，点C ，点A 在抛物线上， ∴216400c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得：12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，、∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； (2)连接OM ，M 为BC 中点，(2,1)M ∴，PCM POM ∆≅∆， CM OM ∴=，PC PO =，MP ∴是OC 的垂直平分线，//PM x ∴轴，∴点P 的纵坐标为1，当1y =时，代入213222y x x =-++，解得：3172x ±=， ∴317(,1)2P +或317(,1)2-， 1712PM -∴=或1712+； (3)152ABC S AB OC ∆=⨯⨯=，45ABC BCP S S ∆∆=，4BCP S ∆∴=，(4,0)B ，(0,2)C ，∴直线BC 解析式为122y x =-+，当点P 在BC 上方时，如图2，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，设点213(,2)22P p p p -++，则点1(,2)2E p p -+，2122PE p p ∴=-+，21144(2)22p p ∴=⨯⨯-+，2p ∴=，∴点(2,3)P ；当点P 在BC 下方时，如图3，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，2122PE p p ∴=-， 21144(2)22p p ∴=⨯⨯-，222p ∴=±，∴点(222,12)P +--或(222,12)--+；综上，点P 的坐标为：(2,3)或(222,12)+--或(222,12)--+．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．4．如图1，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和点(0,3)C ，抛物线与x 轴的正半轴交于点B ，点D 是抛物线上的一点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，连接OD ，BD ，若点D 是抛物线的顶点，求此时OBD ∆的面积；(3)如图3，连接OD ，BD ，CD ，CB ，设OCD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，是否存在点D ，使12S S =，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法即可求解解析式． (2)求出定点坐标，即可求出三角形的面积．(3)假设存在，先求出直线BC 的解析式，设点出点P 的坐标，利用坐标表示出1S 面积，利用铅垂高表示2S 的面积，最后利用面积相等即可求解．【解答】解：(1)将点(1,0)-、(0,3)代入2y x bx c =-++． ∴013b c c =--+⎧⎨=⎩．解得：23b c =⎧⎨=⎩．∴抛物线的表达式：223y x x =-++．(2)2223(1)4y x x x =-++=--+． (1,4)D ∴令0y =，2230x x -++=． 11x =-，23x =．(1,0)A ∴-、(3,0)B ．OBD ∴∆的面积为：13462⨯⨯=．(3)设点2(,23)D m m m -++OCD ∴∆的面积为1S 为：133||||22m m ⨯⨯=．设直线BC 的解析式为：y kx b =+． 将(3,0)B 、(0,3)C 代入． ∴303k b b +=⎧⎨=⎩．∴13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的解析式为：3y x =-+．作//DE y 轴，交BC 于点E ．(,3)E m m ∴-+．2|3|DE m m ∴=-+．∴根据铅垂高定义，BCD ∆的面积为2S 为：22133|3||3|22m m m m ⨯⨯-+=-+． 12S S =．∴233|||3|22m m m =-+． 解得：2m =或4． (2,3)D ∴或(4,5)D -．【点评】本题考查待定系数法求解析式，以及三角形面积与函数之间的关联，比较综合，属于压轴题． 5．已知二次函数2y x bx c =-++的图象与直线3y x =+相交于点A 和点B ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．抛物线的顶点为P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)现将抛物线向右平移m 个单位，当抛物线与ABP ∆有且只有一个公共点时，求m 的值；(3)在直线AB 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得2ABQ ABP S S ∆∆=，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)直线3y x =+中，分别令0x =和0y =可得点A 和B 的坐标，将点A 和B 的坐标分别代入抛物线的解析式中列方程组，解出即可；(2)由图象可知，当抛物线经过点B 或点A 时，抛物线与PBA ∆有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入A 、B 的坐标，即可求得m 的值；(3)先计算ABP ∆的面积，根据2ABQ ABP S S ∆∆=，可得ABQ ∆的面积，分两种情况：点Q 在对称轴的左侧和右侧，根据面积公式列方程可得结论． 【解答】解：(1)当0x =时，3y =， (0,3)B ∴，当0y =时，30x +=， 3x ∴=-，(3,0)A ∴-，把(3,0)A -和(0,3)B 代入二次函数2y x bx c =-++中得： 9303b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴这个二次函数的解析式为：223y x x =--+；(2)2223(1)4y x x x =--+=-++， (1,4)P ∴-，将抛物线向右平移m 个单位，P 对应点为(1,4)m -+，∴平移后的抛物线解析式为2(1)4y x m =-+-+，把(0,3)B 代入得，23(1)4m ==--+， 解得12m =，20m =(舍去)， 把(3,0)A -代入得20(2)4m =---+， 解得34m =-，40m =(舍去)， 故m 的值为2或4-；(3)()()111431341333222ABP APD AOB PDOB S S S S ∆∆∆=+-=⨯⨯-+⨯+⨯-⨯⨯=梯形，26ABQ ABP S S ∆∆∴==，设点Q 的坐标为2(,23)a a a --+， 分两种情况：①如图1，当Q 在对称轴的左侧，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，过点Q 作//QE y 轴交直线AB 于E ，21(323)(3)62ABQ S a a a a a ∆∴=+++--++=，解得：14a =-，21a =(舍)， (4,5)Q ∴--；②如图2，当Q 在对称的右侧，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，过点Q 作//QE y 轴交直线AB 于E ，同理可得1a =， (1,0)Q ∴，综上，点Q 的坐标为(4,5)--或(1,0)．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与几何变换，第二问明确当抛物线只经过点B 或点A 时，抛物线与PBA ∆有且只有一个公共点是解题的关键．6．如图，抛物线24(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ． (1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，若35PBC ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与OBC ∆相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】(1)设抛物线的表达式为212()()(1)(4)(34)y a x x x x a x x a x x =--=+-=--，即44a -=，解得1a =-，可得结论．(2)过点P 、A 分别作直线m 、n ，使两条直线均与BC 平行，则5CN =，由35PBC ABC S S ∆∆=知335CM CN ==，故点(0,7)M ，进而求解．(3)由题意得出三角形BOC 为等腰直角三角形，然后分MN EM =，MN NE =，NE EM =三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【解答】解：(1)设抛物线的表达式为212()()(1)(4)(34)y a x x x x a x x a x x =--=+-=--， 即44a -=，解得1a =-，故抛物线的表达式为234y x x =-++①；(2)由抛物线的表达式知，点(0,4)C ，如图，过点P 、A 分别作直线m 、n ，使两条直线均与BC 平行，设直线m 、n 分别交y 轴于点M 、(0,1)N -，则5CN =， 由35PBC ABC S S ∆∆=，ABC BCM S S ∆∆=，PBC CMB S S ∆∆=， 35BCM BCN S S ∆∆∴=， 335CM CN ∴==， 故点(0,7)M -，由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为4y x =-+， 而//m BC ，则直线m 的表达式为7y x =-+②， 联立①②并解得1x =或3， 故点P 的坐标为(1,6)或(3,4)．(3)(0,4)C ，(4,0)B ，90COB ∠=︒， OBC ∴∆为等腰直角三角形， 抛物线234y x x =-++的对称轴为32x =， ∴点E 的横坐标为32， 又点E 在直线BC 上， ∴点E 的纵坐标为52，3(2E ∴，5)2， 设3(2M ，)(m N n ，234)n n -++， ①如图2中，当MN EM =，90EMN ∠=︒，由~NME COB ∆∆，则2532234m n m n n ⎧-=-⎪⎨⎪=-++⎩，解得34n m =⎧⎨=⎩或10n m =-⎧⎨=⎩(舍去)， ∴此时点M 的坐标为3(2，4)，②当ME EN =，当90MEN ∠=︒时，则253225342m n n n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 解得：515315m n ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或515315m n ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(舍去)， ∴此时点M 的坐标为3(2515)+．③当MN EN =，90MNE ∠=︒时， 此时MNE ∆与COB ∆相似，此时的点M 与点E 关于①的结果3(2，4)对称， 设3(2M ，)m ， 则5442m -=-， 解得112m =， 3(2M ∴，11)2， 此时点M 的坐标为3(2，11)2．故在射线ED 上存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与OBC ∆相似，点M 的坐标为：3(2，4)，3(2515+或3(2，11)2． 【点评】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．。
常见被积函数比大小摘要：1.引言2.常见被积函数的类型3.比较被积函数大小的方法4.实际应用举例5.结论正文：一、引言在微积分中，求解定积分时，我们通常需要比较不同函数的积分大小。
而被积函数的大小比较，对于求解定积分以及理解函数性质具有重要意义。
本文将对常见的被积函数进行比较，并介绍比较被积函数大小的方法。
二、常见被积函数的类型1.幂函数：如$f(x) = x^n$，其中$n$为实数；2.三角函数：如$f(x) = sin x$、$f(x) = cos x$、$f(x) = tan x$等；3.指数函数：如$f(x) = a^x$，其中$a$为正实数；4.对数函数：如$f(x) = log_a x$，其中$a$为正实数且$aeq 1$；5.反三角函数：如$f(x) = arcsin x$、$f(x) = arccos x$、$f(x) = arctan x$等；6.其他函数：如$f(x) = ln x$、$f(x) = x^2+1$等。
三、比较被积函数大小的方法1.求导法：通过求导数，比较导数的大小，从而判断原函数的大小；2.代入法：将自变量取特殊值，代入被积函数，比较函数值的大小；3.作图法：对于连续函数，可以画出函数图像，观察函数图像的高低，从而判断函数的大小；4.利用定积分的性质：对于已知定积分的函数，可以利用定积分的性质进行比较。
四、实际应用举例假设有两个被积函数$f(x) = x^2+1$和$g(x) = x^2$，我们需要比较它们的大小。
1.求导法：$f"(x) = 2x$，$g"(x) = 2x$。
由于导数相同，无法判断大小。
2.代入法：取$x=1$，$f(1) = 2$，$g(1) = 1$。
因此，$f(x)$在$x=1$处的函数值大于$g(x)$。
3.作图法：画出$f(x)$和$g(x)$的函数图像，可以看出$f(x)$的图像始终在$g(x)$的图像上方。
综上，我们可以得出结论：在$x=1$处，$f(x)$的函数值大于$g(x)$。
浅谈定积分与不定积分的联系与区别摘要本文主要从概念和性质两方面分别讨论了不定积分、定积分之间的联系与区别.它们“形式”相像，相互之间又存在内在的联系，但如果忽视他们本质上的不同之处，将会导致很多错误.为此，本文就他们之间在定义上和性质上的联系与区别展开讨论，这将会有助于正确理解和掌握这类积分. 关键字 不定积分 定积分 性质 区别本文所涉及的包括不定积分、定积分的内容.主要讨论这两类积分在概念和性质两方面的联系与区别.能够比较系统地分析和总结这两类积分关系，便于解决实际问题.1概念1.1不定积分正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法.我们知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数.定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若()()I x x f x F ∈=',, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.定义2 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作dx x f ⎰)(，其中⎰称为积分号，)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为被积变量.由定义2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F 是f 的一个原函数，则f 的不定积分是一个原函数族{}C F +，其中C 是任意常数.为方便起见，通常写作⎰+=C x F dx x f )()(.这时又称C 为积分常数，它可以任取一实数值. 1.2定积分定义1 设闭区间[]b a ,上有1-n 个点，依次为0121-=<<<<<=n n a x x x x x b ，它们把[]b a ,分成个n 小区间[]i i i x x ,1-=∆,n i ,,2,1⋅⋅⋅=.这些分点或这些闭子区间构成对[]b a ,的一个分割，记为 01{,,}=n T x x x 或12{,,}∆∆∆n .小区间∆i 的长度为1i i i x x x -∆=-，并记 {}i ni x T ∆=≤≤1max , 称为分割T 的模.注 由于n i T x i ,,2,1,⋅⋅⋅=≤∆，因此T 可用来反映[]b a ,被分割的细密程度.另外,分割一旦给出，T 就随之而确定；但是，具有同一细度T 的分割T 却又无限多个.定义2 设f 是定义在[]b a ,上的一个函数，J 是一个确定的实数.若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[]b a ,的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要δ<T ，就有εξ<-∆∑=ni iiJx f 1)(,则称函数f 在区间[]b a ,上可积；数J 称为f 在区间[]b a ,上的定积分，记作⎰=b adxx f J )(.其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[]b a ,称为积分区间，a 、b 分别称为这个定积分的上限和下限. 2不定积分与定积分的联系与区别 2.1定义上求定积分⎰badx x f )(，即是在闭区间[]b a ,上对某个量进行分割、累积的过程.英文短语definite integral 恰好反映了这个计算过程的本质.而不定积分⎰dx x f )(表示的是)(x f 的全体原函数，既没有分割，也没有积累，为什么也称为“积分”呢？下面将通过重新定义不定积分，证明把“不定积分”称为“积分”也是合理的.设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数,不妨设[]),(0)(b a x x f ∈≥.一方面，变上限定积分[]),()()(b a x dt t f x xa∈=Φ⎰是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数.另一方面，把)(x f 连续延拓到()+∞∞-,，得到)(x F ，使)(x F 满足条件：0)(≥x F ，+∞=⎰∞-dt t F a)(，-∞=⎰∞+adt t F )(.让下限变动到s ，得到变动上限与变动下限的定积分⎰xsdt t F )(，()+∞∞-∈,s .则⎰⎰⎰⎰+Φ=+=asxaasxsdt t F x dt t F dt t F dt t F )()()()()(.因为⎰asdt t F )(是s 的连续函数，且+∞=⎰∞-dt t F a )(，-∞=⎰∞+adt t F )(,所以，对于任意常数c ，根据连续函数的介值性定理，存在s '，使得c dt t F a s =⎰')(.以上的分析结果可以总结为：令变动上限x 为自变量，变动下限s 为参数，则形式定积分⎰xsdt t F )(就是)(x f 在[]b a ,上的不定积分.也就是说，不定积分是一种特殊形式的定积分，是上限与下限都不定的定积分.因此可以说明，把不定积分称为积分是合理的.当[]b a x x f ,,0)(∈≤时，或当)(x f 在[]b a ,上不定号时，也可以类似讨论，并得到同样的结果.注：这里说形式定积分⎰xsdt t F )(就是)(x f 在[]b a ,上的不定积分，此时被积函数是)(t F ，而不是原来的函数)(x f .在很多教科书中，对不定积分的定义是强加的，并没有说明为什么能够将⎰+=c x F dx x f )()(称为“积分”，就更谈不上不定了.这里揭示了这两种积分的内在联系：定积分就是积分上、下限都确定的积分，不定积分就是积分上、下限都不定的积分.因此，两种积分在本质上是相似的.虽然，不定积分与定积分本质相似，不定积分是一种特殊形式的定积分，但是，在概念上，两种积分是根本不同的.)(x f 的不定积分就是它的全体原函数，而在区间[]b a ,上的定积分是一个极限值，即为是一个常数，这个常数仅仅依赖于被积函数)(x f 和积分区间[]b a ,，与积分变量的字母表示无关.不定积分与定积分所分别表示的几何意义也是不同的.)(x f 的不定积分的几何意义是以c x F y +=)(为其方程的一簇积分曲线.而)(x f 在区间[]b a ,上的定积分的几何意义是由曲线)(x f y =在直线b x a x ==,以及x 轴所围成的曲边梯形的面积. 2.2性质上定理2.1 若函数f 在[]b a ,上连续，且存在原函数F ，即)()(x f x F ='，[]b a x ,∈，则f 在[]b a ,上可积，且)()()(a F b F dx x f ba-=⎰.则称为牛顿—莱布尼茨公式.定积分⎰badx x f )(，原为求函数的极限，计算复杂.牛顿—莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系起来了，为求定积分提供了一个很有效的方法，实质上是将定积分的求解归结为求不定积分的原函数.只要求出)(x f 的一个原函数，那么定积分⎰badx x f )(就等于)(x f 的原函数)(x F 在区间[]b a ,上的增量)()(a F b F -.牛顿—莱布尼茨公式体现了原函数与定积分的关系，但是原函数存在与函数可积并非充分条件，因此，运用牛顿—莱布尼茨公式时必须注意条件.例 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 21sin 2)(2x x xx x x x f 存在原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x x x x F ，但)(x f 在[]1,1-上不可积，因为21cos 2xx 在[]1,1-上无界. 此外，对于定积分的计算，不定积分的换元积分法和分部积分法也适用. 换元积分法定理2.2 设)(u g 在[]βα,上有定义，)(x u ϕ=在[]b a ,上可导，且)()(x x βϕα≤≤，[]b a x ,∈，并记 )())(()(x x g x f ϕϕ'=，[]b a x ,∈.(i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数)(x F ,c x G x F +=))(()(ϕ，即C x G C u G du u g dx x x g dx x f +=+=='=⎰⎰⎰))(()()()())(()(ϕϕϕ.(ii)又若0)(≠'x ϕ，[]b a x ,∈，则上述命题（i ）可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数)(x F 时，)(u g 在[]βα,上也存在原函数)(u G ，且C u F u G +=-))(()(1ϕ，即⎰⎰⎰+=+=='=-C u F C x F dx x f dx x x g du u g ))(()()()())(()(1ϕϕϕ. 定理2.2' 若函数f 在[]b a ,上连续，ϕ在[]βα,上连续可微，且满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，b t a ≤≤)(ϕ，[]βα,∈t ， 则有定积分换元公式：⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)())(()(. （1）所以在用还原法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后，不必作变量还原而只要用新的积分限带入并求其差就可以了，这就是定积分换元积分法与不定积分换元法的区别，这一原因在于不定积分所求的是被积函数式的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了. 分部积分法定理2.3 若)(x u 与)(x v 可导，不定积分dx x v x u )()(⎰'存在，则dx x v x u )()('⎰也存在，并有dx x v x u x v x u x v x u )()()()()()(⎰⎰'-='. （2）定理2.3' 若)(x u ，)(x v 为上[]b a ,的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：dx x v x u a b x v x u dx x v x u baba ⎰⎰'-=')()()()()()(.不定积分的性质性质1 不为0的常数因子可以移到积分号前.性质2 不定积分的线性性质 []dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±)()()()(.推广：[]⎰⎰⎰±=±dx x g n dx x f m dx x ng x mf )()()()(，其中m 、n 为常数，且022≠+n m.定积分的性质性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前,即⎰⎰=babadx x f A dx x Af )()(（A 为常数）.性质2 函数的代数和的定积分等于他们的定积分的代数和，即[]⎰⎰⎰±=±babab a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(.这个性质对有限个函数代数和也成立.性质3 积分的上下限对换则定积分变号，即⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质4 如果将区间[]b a ,分成两个子区间[]c a ,及[]b c ,，那这子区间分成有限个的情形也成立. 性质5 如果在区间[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(，()b a <.通过对比可以看出，不定积分与定积分有相同性质1与性质2.即，不定积分的两个性质对定积分都适用. 4总结本文从积分的定义入手，用定积分的形式来重新定义不定积分，揭示不定积分与定积分的内在联系，同时证明了不定积分也称为积分的合理性.又根据概念和性质上的不同，将不定积分与定积分区分开来. 参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) 上册 [M]，北京：高等教育出版社，2006. [2]陈小平 无穷积分与定积分、瑕积分的区别[J] 北京：中国科技信息2010年第23期. [3]崔信 试论数学积分的几种性质[J] 北京：中国商界2010年第10期.[4]孙宝法用定积分形式定义的不定积分[J] 南京：大学数学第24卷第5期.[5]熊国敏定积分与瑕积分[J] 贵州：安顺师专学报（自然科学版）1994年第2期.[6]范君好Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别[J] 广西：桂林师范高等专科学校学报第24卷第3期.。
数学高中二级结论-回复以下是数学高中二级常见的结论：1. 直线与平面垂直，则直线在平面上的投影为直线在平面上的垂线。
2. 平行线在同一个平面上，与其中一条直线相交的两个对顶角相等。
3. 三角形内角和公式：任意一个三角形的三个内角之和为180度。
4. 同角等比定理：若两条平行线分别与第三条直线交于两个等角的对应点，那么这两个点所确定的两个线段在两条平行线上分别成等比例关系。
5. 三角剖分定理：对于任意一个凸多边形，都可以通过连续地剖分成三角形。
6. 同位角定理：若两条直线被一条直线所截，那么同侧的两个对应角互相等于或互补，且互不补足。
7. 圆心角定理：圆心角等于其所对应的弧的一半。
8. 钝角三角函数定义：在普通三角函数中，\sin、\cos、\tan等函数均定义在锐角三角形中，而对于钝角三角形，普通三角函数不再适用，需要引入新的函数，如余弦函数、正弦函数等。
9. 勾股定理：对于直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
10. 全等三角形定义：如果两个三角形的对应边和对应角分别相等，则这两个三角形全等。
11. 直线分割线段定理：若一条直线分割另一条线段，将该线段分为两段长度比例为m:n，则该直线所构成的两个三角形面积的比例也为m:n。
12. 线段中点公式：一条线段的中点坐标为两个端点坐标的算术平均值。
13. 一次函数定义：函数y=kx+b 称为一次函数，其中k 为斜率，b 为y 轴截距。
14. 点到直线距离公式：点P(x_0,y_0) 到直线Ax+By+C=0 的距离为d=\dfrac{ Ax_0+By_0+C }{\sqrt{A^2+B^2}}。
15. 二次函数定义：函数y=ax^2+bx+c 称为二次函数，其中a 为x^2 的系数，b 为x 的系数，c 为常数。
以上结论只是数学高中二级中的一部分，还有很多其他的结论，需要根据实际情况进行学习和应用。
