大学数学概率论2第2讲(第一章)

第2讲 Ch.1 随机事件与概率§1.2 概率的定义及其确定方法Remarks 本节绪言中的几个问题1.概率的直观定义事件发生的可能性大小称为概率.2.关于概率直观理解的一些经验事实.P.12.3.概率定义的发展过程概率的古典定义概率的频率定义 概率的概率的几何定义 公理化定义概率的主观定义1.2.1 概率的公理化定义(概率理论系统化数学定义) 定义 1.2.1 设),(F Ω是可测空间，若对任意F A ∈，定义在F 上的实值函数)(A P 满足：(1)非负性公理：若F A ∈，则0)(≥A P ；(2)正则性公理：1)(=ΩP ；(3)可列可加性公理：若1A ，2A ，…为同一样本空间下的互斥事件列，则.)()(11∑+∞=+∞==i ii i A P A P我们就称)(A P 为事件A 的概率，而称),,(P F Ω为概率空间.Remark 概率公理化定义并没有具体给出确定事件A 的概率)(A P 的方法，但具有理论价值！具体确定事件A 的概率)(A P 可依据不同场合选用频率定义法，古典定义法，几何定义法和主观定义法.1.2.2 排列与组合公式（确定)(A P 的古典定义法的基础）P.13-15(自行复习！)1.2.3 确定)(A P 的频率定义法1. 频率定义法确定事件A 的概率)(A P 的基本思想(步骤)：(1)大量重复与A 有关的试验；(2)记下试验次数n ，以及A 发生的次数)(A n (称之为事件A 的频数)，则称n A n A f n )()(=为事件A 出现的频率；(3)增加试验次数n ，反复获得更多的)(A f n ，可发现)(A f n 稳定在某个常数a 附近，则可得a A P =)(.Remarks)i 如何理解)(lim )(A f A P n n +∞→≠？(讨论题3)； )ii 频率定义法确定事件A 的概率)(A P 有现实局限性，但也有存在价值；)iii 容易验证频率方法确定的概率满足公理化化定义.2. （“事件A 的频率的稳定值”即为事件A 的概率）利用频率定义法确定事件A 的概率)(A P 举例例1.2.1 .1716.-P(1)试验：掷一枚均匀的硬币.记=A “出现正面”，用频率定义法确定)(A P 的步骤如下：1)取=n 2048, 4040, 10000, 12000, 24000做五批次试验；2)对应记下)(A n 的值，分别为1061，2048，4979，6019，12012，进而利用 n A n A f n )()(=计算出)(A f n 的值分别得0.5181，0.5069，0.4979，0.5016，0.5005；3)容易看出)(A f n 的值稳定在0.5附近，于是，可得5.0)(=A P .(2)(看书理解！)(3) (看书理解！)1.2.4 确定)(A P 的古典定义法(这是确定概率的经典方法)1.古典定义法的特点与基本思想特点：直观且不必大量试验，只基于事实分析.方法步骤：(1)确认与事件A 有关的随机问题为古典概率模型，并确定其Ω包含的样本点总数(记为) n ，同时确定事件A 包含的样本点数(记为) k ；(2)利用nk A P =)( 计算得到事件A 的概率)(A P .Remarks)i 古典概率模型简称古典概型，是指满足以下两个条件的概率模型：1)其Ω包含的样本点总数有限；(即满足有限性)2)其Ω包含的每一个样本点出现具有等可能性；(即满足等可能性))ii 容易验证古典定义法确定的概率满足公理化化定义；)iii 利用古典定义法计算概率的前提是要确认所涉及的模型必须是古典概型.而其关键则是运用枚举法或排列组合方法确定算出n 和k ，值得提醒的是一般而言n 易算k 难求.2. 古典定义法求)(A P 举例一般步骤：(1)给定事件记号A 的含义.(若题目已交待清楚则此步省！) (这一步称为符号准备)(2)确认古典概型，并算出n 和k .(称为数据准备)(3)利用 nk A P =)( (称为依据与计算) 计算得到)(A P .例 1.2.2 同掷两枚均匀的硬币，求掷出一个正面一个反面的概率？解 记=A “掷出一个正面一个反面”. 易见其样本空间为=Ω｛(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)｝. 该Ω包含的样本点总数4=n (有限)，又由于硬币是均匀的可判定该Ω中的每一个样本点具有等可能性.而事件A 包含Ω中的(正,反)和(反,正)这两个样本点，所以有2=k .于是5.042)(===n k A P . Remark本例若认为其样本空间为：=Ω｛(二正),(二反),( 一正一反)｝.则因其中的样本点不具有等可能性，从而不能用古典定义法求)(A P .此外要请大家注意的是，解答过程在熟练后可写得简洁些！但要有条理，希望通过例子体会！例1.2.3 (抽样模型) 一批产品共N 件，其中M 件是次品，其余为合格品，从中随机取出n 件，求事件=m A “取出的n 件产品中有m 件次品”的概率？解 判断可知，该模型为古典概型，其Ω包含的样本点总数(记为)n N C n =*，而事件m A 包含的样本点数为m n M N m M C C k --=，于是n Nm n M N m M m C C C n k A P --==*)(， 其中))(,0max(n N M m --=，1))(,0max(+--n N M ，…，),min(M n .☆举一个具体例子：取7,3,9===n M N ，则有此表中m 的实际上是一个..V R ，概率论(在本教材第二章)中称该表为m V R ..的(概率)分布.例1.2.4 (有放回抽样模型) 一批产品共N 件，其中M 件是次品，其余为合格品，从中有放回随机抽检n 件，求事件=m B “抽检的n 件产品中有m 件次品”的概率？解 判断可知，该有放回抽样模型也为古典概型，其Ω包含的样本点总数(记为)n N n =*，而事件m B 包含的样本点数为m n m n mn m m n M N C M C k ----=)(，于是 m n m m n n m n m m n m NM N M C N M N M C n k B P ---=-==)1()()()(*， n m ,,2,1,0 =.又若记N M p =(次品率)，则m n m m n m p p C B P --=)1()(，n m ,,2,1,0 =.◆举一个具体例子：取4,3,9===n M N ，则有此表理解为m V R ..的(概率)分布，且易见271681328116)1()0()"1""0(")1(=+==+===⋃==≤m P m P m m P m P .例1.2.5 (彩票问题)彩票游戏“35选7”的七个中奖等级“设置”见教材.20.P 表6.2.1，试求：投入2元购买1注(从1～35号码选择7个号码来买)中得各等级奖的概率？解 记=i A “投入2元购买1注中得i 等级奖”，7,6,5,4,3,2,1=i .而判断可知，彩票问题为古典概率模型问题，其Ω包含的样本点总数为735C n =，而事件1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A ,7A 包含的样本点数分别为,0270177C C C ,0271167C C C ,1270167C C C ,1271157C C C ,2270157C C C ,2271147C C C .32711373270147C C C C C C + 于是，由古典定义方法可算出投入2元购买1注中得各等级奖的概率可列表如下：Remarks)i 上表是彩票游戏“35选7”的中奖情况及其对应概率表，一般彩民不具体知道，投注站也不会挂出此类表.)ii 若记=A “中奖”，则=A “不中奖”，根据上表提前用§1.3的结论可得033485.0)(=A P , 966515.0033485.01)(1)(=-=-=A P A P . 可见“中奖”是小概率事件，“中大奖”更是小概率事件.概率论关于小概率事件发生情况的实际推断原理指出：小概率事件实际上在一次或少数几次试验中是不可能发生的(因之小概率事件常被称为实际不可能事件)；然而小概率事件在大量的试验中至少发生一次的概率几乎为1.)iii .23.P 中的有关说明欠妥！应该说“随机购买100注这种彩票平均有约3注中奖；…”例1.2.6 (盒子模型，也称分房模型) 设有n 个球，每个球都等可能地放到N 个盒子中的任一个，每一个盒子的放球数不限，试求(1)指定的n (N n ≤)个盒子中各有一个球的概率1p ；(2)恰好有n (N n ≤)个盒子中各有一个球的概率2p .解 判断可知，盒子模型为古典概率模型，其Ω包含的样本点总数为n N n =*.于是(1)由于事件“指定的n 个盒子中各有一个球”包含的样本点数为!1n k =，可得n N n n k p !*11==.(2)由于事件“恰有n 个盒子中各有一个球” 包含的样本点数为!2n C k n N =，可得)!(!!*22n N N N N n C n k p n n n N -===.Remark盒子模型的研究对统计物理的研究有很好的启发作用.例1.2.7 (生日问题) 观察n 个人的生日情况，求n 个人生日全不相同的概率n p .解 易见该问题实际可看成“n 个球=N 365个盒子的盒子模型”，于是，利用上例的结论得)!365(365!365n p n n -=.Remarkn p 的近似计算与结果说明：.2524.-P1.2.5 确定)(A P 的几何定义法1. 方法简介几何方法用于解决几何概型(指满足这样两个条件的概率模型：)1其Ω包含的样本点充满某个区域；)2其Ω包含的每一个样本点出现具有等可能性.)的概率计算问题.2. 基本思想(方法步骤)：(1)确认与事件A 有关的随机问题为几何概型，并运用初等几何知识确定其Ω及事件A 对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)，分别记为ΩS 和A S ；(2)利用Ω=S S A P A )(计算得到事件A 出现的概率)(A P .3. 几何定义法求)(A P 举例一般步骤：(1)给定事件记号A 的含义.(若题目已交待清楚则此步省！) (符号准备)(2)确认几何概型.通过引入必要的坐标变量以此表示集合形式的Ω及事件A ，借助Ω及事件A 对应的几何图形分别表示算出Ω和A 几何度量ΩS 和A S .(数据准备)(3)利用 Ω=S S A P A )(. (计算)计算得到)(A P .例1.2.8(会面问题，也称约会问题) 甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候后到者20min,过时不候.求能会面的概率.解 记=A “甲乙能会面”.又设甲乙到达约会地点的时间分别是x 和y (单位：min )，且以下午6时为计时零点，则有}600,600),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ，}),(,20),{(Ω∈≤-=y x y x y x A .以此判断可知，会面问题为“几何概型”问题，其Ω和A 对应的几何区域如下图：由此可算出Ω和A 对应的几何区域的面积分别为260=ΩS ，222240604021260-=⨯⨯-=A S . 于是95604060)(222=-==ΩS S A P A . 例1.2.9.2726.-P (自学)Remark了解随机模拟法---- Montecarlo 法(仿真随机试验). .27.P例1.2.10.2827.-P (自己动手仿照例1.2.8的课堂讲解过程写写.)例1.2.11.2928.-P (自学)1.2.6 确定)(A P 的主观定义法1. 了解认同主观概率的贝叶斯学派的观点：.29.P2. 用主观定义法确定概率的例子例1.2.12 .3029.-P☆本节课外作业 习题1.2(.3230.-P )6. 14. 20. 24.。

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。