内江六中2020届高三第八次月考数学(文)试卷(含答案)

英语学科试题第Ⅰ卷选择题（满分 100分）第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节 (共 5 小题；每小题 1.5 分，满分 7.5 分)听下面5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.15.C. ￡9.18.答案是B。

1. On which day will the woman return to work?A. Wednesday.B. Friday.C. Next Wednesday.2. What time is it now?A. About 6:00 p.m.B. About 5:40 p.m.C. About 5:20 p.m.3. What does Mr. Black look like?A. He has black hair.B. He is short.C. H e w ears g lasses.4. What does the woman dislike about her photo?A. Her eyes.B. Her hair.C. Her dress.5. Where does the conversation take place?A. At a restaurant.B. At the woman’s house.C. At a garden.第二节(共 15 小题；每小题 1.5 分，满分 22.5 分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

内江六中2023--2024学年（下）高2026届半期考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设平面向量，则A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【详解】∵ ∴故选A ；【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；2. 已知复数，则的虚部为（ ）A 2B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的概念判断即可.【详解】复数的虚部为.故选：C3. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C.()()3,5,2,1a b ==- 2a b -=()7,3()7,7()1,7()1,3()()3,5,2,1a b ==- ()()()()23,522,1345273a b -=--=+-=，，12z i =-z 2i 2-2i-12z i =-2-ABC D BC 4BD CD =E AB AB a =AC b= ED =1455a b + 3144a b +5463a b-+ 5564a b-+【解析】【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，所以.故选：C4. 若，，则（ ）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】由两角和与差的正切公式即可求解.【详解】．故选：D .5. 已知，则向量的夹角为（ ）A. B. C.D. 【答案】C 【解析】【分析】利用向量模的计算公式，化简求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，解得，又由，可得.故选：C.6. 在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）AB AC EDABC D BC 4BD CD =43BD BC =EAB 2)14141454()2332363(ED EB BD AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=-+ tan 2α=tan 8(2)αβ+=tan()αβ+=101735-25617tan(2)tan 826tan()tan(2)1tan(2)tan 18217αβααβαβααβα+--+=+-===+++⨯3,1,2a b a b ==-= ,a b30 6012015032a b ⋅=- 3,1,2a b a b ==-=222224434419a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+= 32a b ⋅=- 1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅,120a b = ABC 32AD DC = P BD 25AP t AB AC =+tA. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.【详解】因，所以，又是直线上的一点，所以，又，所以，所以.故选：B7. 在△ABC 中，若，则△ABC 是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论．【详解】在△ABC 中，由，得 ，则为13-1323-2353AC AD =32AD DC = 53AC AD =P BD ()1AP xAB x AD =+-2532AP t AB AC t AB AD =+=+ 213x tx =⎧⎪⎨-=⎪⎩13x t ==2sin sin cos 2CA B =()cos 1A B -=A B =πA B C ++=()πC A B =-+，所以，即，则，又，，则，所以，即，所以△ABC 为等腰三角形，但无法判断C 是不是直角．故选：A ．8. 已知函数在区间上单调递增，则下列选项中错误的是（ ）A. 函数两个零点的最小距离为，则B. 若，则C. 若，则D. 若，且函数在区间有唯一零点，则【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用正弦型函数的周期性，单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各项是否正确.【详解】对于A 中，函数在区间上单调递增，所以该函数的最小正周期满足，所以，当时，成立，所以的最大值为2，所以A 正确；对于B 中，因为在区间上单调递增，()()21cos 1111111cos cos πcos cos cos sin sin 222222222C C A B A B A B A B +⎡⎤==+-+=-+=-+⎣⎦111sin sin cos cos sin sin 222A B A B A B =-+cos cos sin sin 1A B A B +=()cos 1A B -=0πA <<0πB <<ππA B -<-<0A B -=A B =()()0()sin f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭()12y f x =-π32ω=π3ϕ=-504ω<≤5π012f ⎛⎫>⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=()f x [0,π]1,16ω⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦()()()sin 0f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭T π2πππ2362T ω=≥-=2ω≤5π6ϕ=-2ω=ω()()()sin 0f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭故有，当时，，所以，所以，所以，又因为，故，可得，所以B 正确；对于C 中，由于，故当时，，故C 错误；对于D 中，当，，所以，又因为函数在区间有唯一零点，所以，解得，所以D正确.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.）A.B.C.D. 【答案】ACπ2πππ22362T ωω=≥-=⇒≤π3ϕ=-π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ2ππ6333x ωωωϕ-<+<-πππ2π632,Z 2πππ2π332k k k ωω⎧-≥-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩121534k k ωω≥-⎧⎪⎨≤+⎪⎩2ω≤0k =504ω<≤π2π5ππ2π63,21263+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭5π012f ⎛⎫> ⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=[]0,πx ∈ππππ666x ωω≤+≤+()f x []0,ππππ6ππ2π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩1,16ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒1tan151tan15+︒-︒2cos 15sin15cos 75︒︒-︒【解析】【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于AA 正确；对于B ，因为，可得，所以，故B 错误；对于C ，C 正确；对于D ，D 错误.故选：AC .10. 已知向量，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则向量与向量D. 若，则向量在向量上的投影向量为【答案】AC 【解析】【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A ；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B ；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D【详解】若，则，解得，故A 正确．2⎫︒+︒=︒+︒⎪⎪⎭()()2cos 45sin15sin 45cos152sin 15452=︒︒+︒︒=︒+︒==()tan 21tan 24tan 45tan 21241tan 21tan 24︒+︒︒=︒+︒=-︒︒()tan 21tan 24tan 451tan 21tan 24︒+︒=︒-︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒()tan 451tan 21tan 24tan 21tan 241=︒-︒︒+︒︒=()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=-︒-︒⋅︒222cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos30︒-︒︒=︒-︒=︒=()(),1,4,2a x b ==a b ∥2x =a b ⊥12x =3x =ab=1x -b aa b∥240x -=2x =若，则，解得，故B 错误．若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C 正确．若，则，又，所以向量在向量上投影向量为，故D 错误．故选：AC ．11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 的表达式可以写成B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C. 的对称中心，D. 若方程在上有且只有6个根，则【答案】ABC 【解析】【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A ，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B ，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求的a b ⊥ 420x +=12x =-3x =()3,1a =()4,2b = a b a b a b⋅== =1x -()1,1a =-()4,2b = b a ()1,1a b a a a ⋅⋅==-()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭()f x ()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π8()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =()0,m 5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x解判断C ，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D.【详解】对A ，由，即又，所以，又的图象过点，则，即，所以，即得，，又，所以，所以，故A 正确；对B ，向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；对于C ，，令得，所以对称中心，，故C 正确；对于D ，由， 得，因为，所以，令，解得.又在上有6个根，则根从小到大为，再令，解得，则第7个根为，，故D 错误．πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()01f =-1ϕ=-sin ϕ=ππ22ϕ-<<π4ϕ=-()f x π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ84k ω-=82k ω=+Z k ∈02ω<≤2ω=π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π83π3ππ2π)884y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ()2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()π2π4x k k +=∈Z ()ππ82k x k =-+∈Z ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)x m ∈πππ2,2444x m ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭4444444ππ3π9π11π17π19π2,,,,,m -=ππ5π3π9π5π,,,,,424242m =()0,m ππ5π3π9π5π,,,,,424242π25π244m -=13π4m =13π45π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：ABC .12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，且只有一解，则b 的取值范围为C. 若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为D. 若为锐角三角形，，则AC 边上的高的取值范围为【答案】AC 【解析】【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A ；根据正弦定理即可求解B ，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C ，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D.【详解】由正弦定理可得，即因为，所以，所以，对于A ，若，由余弦定理得，由，，可得，即，当且仅当时等号成立，则面积，所以，故A 正确；对于B ，若，且，由正弦定理得，所以，2cos cos c B b C a +=π3A =ABC π4A =ABC (]0,1π3A =ABC ABC (1⎤⎦ABC 2AC =1a =235c <<sin cos sin cos sin C B B C a A +=()sin sin sin B C A a A +==0πA <<sin 0A ≠1a =π3A =22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===0b >0c >2212b c bc bc +=+³1bc ≤b c =ABC 11sin 22bc A ≤⨯=ABC π4A =1a =1πsin sin 4b B=πsin sin4B b ==当，时有一解，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理得，由于为锐角三角形，故且，故，因此，故，故C 正确；对于D ，由于为锐角三角形，，，所，故AC 边上的高为，故D 错误．故选：AC第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在中，已知，则角为_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理的变形形式即可求解.【详解】在中，，所以，，sin 1B =1=b =π3A =sin a A =)2π1sin sin 1sin sin 3a b c B C B B ⎫⎛⎫++=++=++- ⎪⎪⎝⎭⎭3π1sin 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ABC π02B <<2ππ032B <-<ππ62B <<ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(π12sin 16a b c B ⎛⎫⎤++=++∈+ ⎪⎦⎝⎭ABC 2AC b ==1a =2222222222222533541a b c c a c b c c c b a c ⎧⎧+>>⎪⎪+>⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩⎩sin a C ⎫===⎪⎪⎭ABC 222c a b ab =+-C 3πABC 222c a b ab =+-222ab a b c =+-2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.14. 函数，最大值是______．【答案】2【解析】【分析】利用辅助角公式，结合定义域求解出函数的最大值.【详解】，又，，．的最大值为2．故答案为：215.如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.【答案】【解析】的0C π<<3C π=3πsin y x x =[]0,πx ∈1sin 2sin 2y x x x x ⎛⎫=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭=πππ2cos sin sin cos 2sin 333x x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[0,π]x ∈ ππ4π,333x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦πsin 3x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭sin y x x ∴=+,A B ,A B 30 45 ,A B 20m m 1)+【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.【详解】在中，，由正弦定理得，则，在中，，因此，所以这颗银杏树的高度为.故答案为：16. 已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设证明四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，利用正弦、余弦定理求出即得解.【详解】设所以, 所以,ABC BC ABC 20,30,15AB A ACB ==∠= 1sin15sin(4530)2=-==sin 30sin15BC AB =BC ==Rt BCD 90BDC ∠= sin 451)CD BC ==+=+ 1)m +1)+a →b →1a →=b = 32a b ⋅=- - a c b c -||c →,,,OA a OB b OC c →→→→→→===,,,O A B C R ||c →OC 2R ,,,OA a OB b OC c →→→→→→===,a c CA b c CB →→→→→→-=-=30ACB ∠=所以，因为，所以所以四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，此时，在中，由余弦定理得.由正弦定理得.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 设复数，其中.（1）若是纯虚数，求的值；（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.【小问1详解】是纯虚数，只需，解得.【小问2详解】cos ,||||a ba b a b →→→→→→<>=== ,[0180]a b →→<>∈ ，,150,150.a b AOB →→<>=∴∠= ,,,O A B C R ||c →OC OAB2137,AB AB =+-=∴=2sin ABOC R AOB===∠()22276i z a a a a =+-+-+R a ∈z a z a 2-()1,62220760a a a a ⎧+-=⎨-+≠⎩2220760a a a a ⎧+->⎨-+<⎩z 2220760a a a a ⎧+-=⎨-+≠⎩2a =-由题意知，解得，故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.18. 已知函数．（1）把化为的形式，并求的最小正周期；（2）求的单调递增区间以及对称中心．【答案】（1）； （2），；，【解析】【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦型函数性质求解；（2）由正弦型函数的单调区间可得，根据正弦型函数的对称中心可求解对称中心.【小问1详解】，所以最小正周期为．【小问2详解】由，，解得，，所以的增区间为，．由，，2220760a a a a ⎧+->⎨-+<⎩16a <<16a <<z ()22cos cos sin f x x x x x =+-()f x sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ππ,0212k⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z ()2cos 2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==πππ2π22π262k x k -≤+≤+k ∈Z ππππ36k x k -≤≤+k ∈Z ()f x πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z π2π6x k +=k ∈Z解得，，所以对称中心为，.19. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点．（1）设，求实数，的值；（2）若，求边的长．【答案】（1），； （2）8.【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）用、表示出，再根据数量积的运算律及定义计算可得.【小问1详解】因为，，所以，，所以，又，且、不共线，ππ212k x =-k ∈Z ππ,0212k⎛⎫-⎪⎝⎭k ∈Z ABC 6BC =60ACB ∠=︒AB BC M N 13BM MA =2BN NC =P AC NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u rλμ8BP NM ⋅=-AC 512λ=14μ=CB CA BP13BM MA = 2BN NC = 14BM BA = 23BN BC = 1243NM BM BN BA BC=-=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r()125143124BC CA BC CB CA =+-=+u uu r u u r u u u r u u r u u r NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u r CB CA所以，；【小问2详解】因为，所以，解得或（舍去），即边的长为．20. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：（1）已知向量，满足，，，求的值；（2）已知向量，，，求的最小值．【答案】（1）2 （2）9【解析】【分析】（1）借助新定义计算即可得；（2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得.【小问1详解】由己知，得，512λ=14μ=12BP BC CD CB CA =+=-+u u r u u u r u u u r u u r u u r1512124BP NM CB CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u r u u u r u u r u u r u u r u u r 2251112248CB CB CA CA =--⋅+u u r u u r u ur u u r 225111668122428CA CA =-⨯-⨯⨯⨯+⨯=- 8CA = 7CA =-AC 8aba b ⨯ a b ⨯a bsin a b a b θ⨯= ⊗θ||||sin m n m n θ≡⊗=r r r ra b (2,1)a = 2b = 4a b ⋅= a b ⊗ 12,cos sin a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭r 21,sin cos b αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭r π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a b ⊗ 1221sin a b a b x y x y θ⊗==-()2,1a = a =所以，即，又，所以，所以；【小问2详解】法一：设，，则，，所以，所以，故，，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值的最小是9．法二：，故．故．故cos 44a b a b θθ⋅=⋅=⇒=cos θ=0πθ<<sin θ=||||sin 2a b a b θ⊗===r r r r 11(,)a x y = 22(,)= b x y ||a =r ||b =r cos ||||a ba b θ⋅==⋅r r r rsin θ===1221||||sin ||a b a b x y x y θ⊗==-r rr r 22221414cos sin cos sin a b αααα⊗=--=+ 22222222221414sin 4cos (cos sin )5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=2222sin 4cos cos sin αααα=tan α=a b ⊗ 12210cos sin sin cos a b αααα⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭a b ⊥ sin ,1a b = 2214sin ,cos sin a b a b a b αα⊗==+22222222221414sin 4cos (cos sin )5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值的最小是9．21. 为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC 区域）进行分区改造．△BNC 区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC 区域规划为学生自主栽培区．△MNC 的周围将筑起护栏．已知m ，m ，，，设．（1）若m ，求护栏的长度（△MNC 的周长）；（2）试用表示△MNC 的面积，并研究△MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】（1）（m） （2），最小值为．【解析】【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解；（2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【小问1详解】依题意，在中，m ，m ，，所以，则，，即，所以，又，故，所以是正三角形，则m ，m ，59≥+=2222sin 4cos cos sin αααα=tan α=a b ⊗20AC =40AB =60BAC ∠=︒30MCN ∠=︒ACM θ∠=10AM =θ30+S =(23002m -AM CM ⊥ANC ANC ACM CN CM θCMN S θAMC 20AC =10AM =60BAC ∠=︒2222cos 300CM AM AC AM AC A =+-⋅=1CM =222AC CM AM =+AM CM ⊥30ACM ∠=︒30MCN ∠=︒60ACN∠=︒ANC 20CN AN AC ===10MN AN AM =-=所以护栏的长度为（m ）．【小问2详解】学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下：设，在△ANC 中，，则，由正弦定理得，得在中，，由正弦定理得，得所以，所以当且仅当，即时，．22. 在锐角中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足．（1）求证：；（2）若，求a 边的范围；（3）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）30CMCN MN ++=+MNC (23002m -060()ACM θθ∠=︒<<︒30MCN ∠=︒()180603090ANC θθ∠=︒-︒-+︒=︒-20sin 60sin(90)cos CN AC θθ==︒︒-CN =ACM 18060120CMA θθ∠=︒-︒-=︒-sin 60sin(120)CM AC θ=︒︒-CM =1300sin 3024sin(120)cos CMN S CM CN θθ︒-︒=⋅⋅=△3004(sin120cos cos120sin )cos θθθ=︒-︒===26090θ+︒=︒15θ=︒CMN (23002m =ABC 22a b bc -=2A B =1b =112sin tan tan A B A-+（3）．【解析】【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由，利用正弦定理转化为，进而得到，再利用和差化积求解.（2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解；（3）由（2）知，转化为，再令，得到求解.【小问1详解】解：因为，所以，由正弦定理可得，又因为，代入可得，即，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），所以．法二：由正弦定理可得：，则，则，⎫⎪⎪⎭22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b b A -=22a b bc -=22sin sin sin sin A B B C -=()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=2A B =π3C B =-ABC 64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1b =ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1112sin 2sin tan tan sin A A B A A -+=+sin A t =12y t t=+22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b b A -=sin sin 2sin cos C B B A -=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin cos Cos sin sin A B A B B -=()sin sin A B B -=0A <πB <sin 0B >0πA B <-<A B B -=πA B B -+=2A B =πA =2A B =22sin sin sin sin A B B C -=()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=2sincos 2sin cos sin()sin(-)sin sin 2222A B A B A B A BA B A B B C +--+⨯=+⨯=又，故，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），【小问2详解】因为为锐角三角形，，所以，由，解得，又故．小问3详解】由（2）知．由，，令，则在上单调递增，所以，所以的取值范围为．【()sin sin 0A B C +=≠()sin sin A B B -=0A <πB <sin 0B >0πA B <-<A B B -=πA B B -+=2A B =πA =ABC 2A B =π3C B =-π02π022π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1b =sin 2cos sin b A a B B ==∈ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭11cos cos 2sin 2sin tan tan sin sin B A A A B A B A-+=-+sin()12sin 2sin sin sin sin A B A A A B A-=+=+sin A t =12y t t =+t ⎫∈⎪⎪⎭y ⎫∈⎪⎪⎭112sin tan tan A B A -+⎫⎪⎪⎭。

2020年四川省内江六中高考数学热身试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=log2(2−x)}，B={x|x2−3x+2<0}，则C A B=()A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (2,+∞)D. [2,+∞)2.据记载，欧拉公式e ix=cosx+isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0，将数学中五个重要的数(自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，若复数eπ4i的共轭复数为z−，则z−=()A. −√22−√22i B. −√22+√22i C. √22+√22i D. √22−√22i3.已知cosα=14，则sin(π2−2α)=()A. 18B. −18C. 78D. −784.已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条件是()A. m⊥n，n⊂αB. m//β，α⊥βC. n⊥α，n⊥β，m⊥βD. α∩β=n，α⊥β，m⊥n5.已知等比数列{a n}中，公比为q，a2=3，且−1，q，7成等差数列，又b n=log3a n，数列{b n}的前n项和为T n，则T9()A. 36B. 28C. 45D. 326.小王、小张、小赵三个人是好朋友，他们中间其中一个人下海经商，一个人考上了重点大学，一个人参军了．此外还知道以下条件：小赵的年龄比士兵的大；大学生的年龄比小张小；小王的年龄和大学生的年龄不一样．请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是()A. 士兵、商人、大学生B. 士兵、大学生、商人C. 商人、士兵、大学生D. 商人、大学生、士兵7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.11π6B. 7π3C.13π6D. 8π38. 如图，为了测量某湿地A,B 两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C,D,E.从D 点测得∠ADC =67.5∘，从C 点测得∠ACD =45∘，∠BCE =75∘，从E 点测得∠BEC =60∘.若测得DC =2√3，CE =√2(单位：百米)，则A,B 两点之间的距离为( )A. √6B. 2√2C. 3D. 2√39. 函数y =sin3x1+cosx ，x ∈(−π,π)图象大致为( )A.B.C.D.10. 已知函数f(x)对于任意x ∈R ，均满足f(x)=f(2−x)，当x ≤1时，f(x)={lnx +2,0<x ≤1e x ,x ≤0，(其中e 为自然对数的底数)，若存在实数a ，b ，c ，d(a <b <c <d)满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则(a +b +c +d)b −e a 的取值范围为( )A. (4e −1,4)B. [4e −1,4e 2)C. (4e 2,4)D. [2ln2−1,4e 2)11. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，设双曲线的离心率为e.若在双曲线的右支上存在点M ，满足|MF 2|=|F 1F 2|，且esin∠MF 1F 2=1，则该双曲线的离心率e 等于( )A. 54B. 53C. √5D. 5212. 如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=2，P 是A 1B 上的一动点，则下列选项正确的是( ) ①DP 的最小值为3√55；②DP 的最小值为√5；③AP +PC 1的最小值为√6；④AP +PC 1的最小值为√1705． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足{x ≥0,x +y ≥4,x −2y ≤1.若x +2y 的最小值为______．14. 已知两个单位向量e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，向量m ⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，则|m ⃗⃗⃗ |= ． 15. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，过点Q(−2a,0)且斜率为k 1(k 1≠0)的直线l 与椭圆C 交于两点P ，M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为______．16. 设函数f(x)=x2x ，点A n (n,f(n))(n ∈N ∗)，A 0为坐标原点，若向量a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯A n−1A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设i =(1,0)，且θn 是a n ⃗⃗⃗⃗ 与i 的夹角，记S n 为数列{tanθn }的前n 项和，则tanθ3=______，S n =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是递增的等差数列，a 2、a 4是方程x 2−5x +6=0的根．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n +a n }的前n 项和．18. 某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x(单位：元)和销售量y(单位：千件)之间的6组数据如表所示： 月份 1 23456销售单价x(元) 11.1 9.1 9.410.2 8.8 11.4 销售量y(千件)2.53.13 2.83.22.4(1)根据1至6月份的数据，求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.01)；(2)结合(1)中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元，那么工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？(计算结果精确到0.1)参考公式：回归直线方程y ^=b ^x +a ^，b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2 参考数据：∑x i 26i=1=605.82,∑x i 6i=1y i =168.24．19. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，∠ABC =90°，且侧面ABB 1A 1为菱形． (1)证明：A 1B ⊥平面AB 1C 1；(2)若∠A 1AB =60°，AB =2，直线AC 1与底面ABC 所成角的正弦值为√55，求三棱锥C −ABA 1的体积．20. 已知函数f(x)=lnx −ax +1．(1)若f(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：ln(n +1)>12+13+⋯+1n+1(n ∈N ∗)．21.已知离心率为√22的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，及点P(−4,0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列． (1)求椭圆C 的方程．(2)斜率不为0的动直线l 过点P 且与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，线段MN 上的点Q 满足MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试求△OPQ(O 为坐标原点)面积的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =3+2cosαy =1−2sinα(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程并说明其表示什么轨迹；(2)若直线l的极坐标方程为sinθ−2cosθ=1，求曲线C上的点到直线l的最大距离．ρ23.已知函数f(x)=|x+1|−|1−x|，g(x)=|x+a2|+|x−b2|，其中a，b均为正实数，且a+b=2．(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)当x∈R时，求证：f(x)≤g(x)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|y=log2(2−x)}={x|x<2}，B={x|x2−3x+2<0}={x|1<x<2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．分别求出关于A，B的范围，求出C A B即可．本题考查了集合的运算，考查对数函数以及二次不等式，是一道基础题．2.【答案】D【解析】解：复数eπ4i=cosπ4+isinπ4=√22+√22i，则共轭复数为z−=√22−√22i，故选：D．复数e π4i=cosπ4+isinπ4，进而得出共轭复数为z−．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵cosα=14，∴sin(π2−2α)=cos2α=2cos2α−1=2×(14)2−1=−78．故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件，结合空间直线和平面垂直的位置关系是解决本题的关键．根据空间直线和平面垂直的判定定理以及性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：对于A，若m⊥n，n⊂α，则m可能在α内或与α相交，故A错误；对于B、若m//β，α⊥β，则m可能在α内或m//α或或m⊥α，故B错误；对于C、当n⊥β，m⊥β时，m//n，当n⊥α时，m⊥α，即充分性成立，即m⊥α的一个充分条件是C，故C正确，对于D、若α∩β=n，α⊥β，m⊥n，则m可能在α内或与α相交，故D错误，故选C．5.【答案】A【解析】解：等比数列{a n}中，公比为q，a2=3，且−1，q，7成等差数列，可得2q=−1+7=6，即q=3，a1q=3，则a1=1，a n=3n−1，n(n−1)，b n=log3a n=log33n−1=n−1，T n=12×9×8=36．则T9=12故选：A．由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质可得首项、公比，求得a n=3n−1，由对数的运算性质可得b n，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为大学生的年龄比小张小且小王的年龄和大学生的年龄不一样，故小赵为大学生；则小张只能是商人，小王是士兵，故小王、小张、小赵三人的身份分别是士兵、商人、大学生．故选：A．由大学生的年龄比小张小，小王的年龄和大学生的年龄不一样，推出大学生为小赵，进而可知小王与小张的身份．本题考查学生合情推理的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是圆柱、上部是半个圆锥的组合体；画出图形如图所示；∴该几何体的体积为V=V圆柱+V半圆锥=π×12×2+13×12×π×12×1=13π6．故选：C．根据几何体的三视图知该几何体是下部是圆柱、上部是半个圆锥的组合体；结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】【分析】根据题意，在△ADC中，分析角边关系可得AC=DC=2√3，在△BCE中，由正弦定理可得BC的值，据此在△ABC中，利用余弦定理分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于一般题．【解答】解：根据题意，在△ADC中，∠ACD=45°，∠ADC=67.5°，DC=2√3，则∠DAC=180°−45°−67.5°=67.5°，则AC=DC=2√3，在△BCE中，∠BCE=75°，∠BEC=60°，CE=√2，则∠EBC=180°−75°−60°=45°，则有ECsin∠EBC =BCsin∠BEC，变形可得BC=EC×sin∠BECsin∠EBC=√2×√32√22=√3，在△ABC中，AC=2√3，BC=√3，∠ACB=180°−∠ACD−∠BCE=60°，则AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cos∠ACB =9， 则AB =3； 故选：C ．9.【答案】D【解析】解：函数y =sin3x 1+cosx 满足f(−x)=−sin3x1+cosx =−f(x)，函数为奇函数，排除A ， 由于f(π2)=sin3π21+cosπ2=−1，f(π3)=sinπ1+cos π3=0，f(2π3)=sin2π1+cos 2π3=0故排除B ，C 故选：D ．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．10.【答案】D【解析】解：由函数f(x)对于任意x ∈R ，均满足f(x)=f(2−x)，可知f(x)的对称轴方程为x =1． 又当x ≤1时，f(x)={lnx +2,0<x ≤1e x ,x ≤0，∴作出函数f(x)的图象如图：由图可知，a 与d ，b 与c 关于直线x =1对称，则a +b +c +d =4． 又∵f(a)=f(b)，∴e a =lnb +2， 因此(a +b +c +d)b −e a =4b −lnb −2． 由题意知，1e 2<b ≤1e ，令g(b)=4b −lnb −2，(1e 2<b ≤1e )， 则g′(b)=4−1b =4b−1b，令g′(b)=0，得b =14，故g(b)在(1e 2,14)上单调递减，在(14,1e )上单调递增． 故g(b)min =g(14)=2ln2−1，由g(1e 2)=4e 2，g(1e )=4e −1，而g(1e )−g(1e )=4e −4e+1=4+e 2−4ee >0．∴g(b)∈[2ln2−1,4e 2). 故选：D ．由已知画出分段函数的图象，可得a +b +c +d =4.由f(a)=f(b)，得e a =lnb +2，因此(a +b +c +d)b −e a =4b −lnb −2.由题意知，1e 2<b ≤1e ，令g(b)=4b −lnb −2，(1e 2<b ≤1e )，利用导数求最值，即可求得(a +b +c +d)b −e a 的取值范围．本题考查分段函数的应用，考查利用导数求函数的最值，是中档题．11.【答案】B【解析】 【分析】由题意可得sin∠MF 1F 2=1e =2a 2c，运用双曲线的定义可得4b −2c =2a ，结合a ，b ，c 的关系，以及离心率公式，可得e 的方程，解方程可得e ．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查定义法和转化思想，以及运算能力，属于中档题． 【解得】解：依题设，|MF 2|=|F 1F 2|=2c ， ∵esin∠MF 1F 2=1，∴sin∠MF 1F 2=1e =2a 2c，∴等腰三角形MF 1F 2底边上的高为2a ， ∴底边MF 1的长为2−(2a)2=4b ，由双曲线的定义可得4b −2c =2a ，∴2b =a +c ， ∴4b 2=(a +c)2，即4b 2=a 2+2ac +c 2， ∴3e 2−2e −5=0，解得e =53(−1舍去)． 故选：B ．12.【答案】B【解析】解：如下图所示，求DP 的最小值，即求△DA 1B 底边A 1B 上的高，由条件易知A 1B =A 1D =√5，BD =√2，则BD 边上的高为√(√5)2−(√22)2=3√22；根据三角形面积相等，设A 1B 边上的高为h ，则12×√2×3√22=12×√5⋅ℎ，解得ℎ=3√55；故①正确； 连接A 1C 1，BC 1，得△A 1BC 1，以A 1B 所在直线为轴，将△A 1BC 1所在的平面旋转到平面ABB 1A 1，设点C 1的新位置为C′，连接AC′，则AC′即为所求的最小值；设∠C′A 1B =α，∠BA 1A =β，在△C′A 1B 中，A 1C′=A 1C 1=√2，BC′=BC 1=√5，A 1B =√5，由余弦定理推论知，cosα=(√2)2+(√5)2−(√5)22×√2×√5=1√10，所以sinα=3√10；在直角△A 1AB 中，cosβ=2√5，sinβ=1√5；故cos∠C′A 1A =cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=1√10×2√5−3√10×1√5=−√210；因为AA 1=2，A 1C′=√2， 所以由余弦定理得，AC′=√4+2−2×2×√2×(−√210)=√1705；故④正确．故选：B ．DP 的最小值，即求△DA 1B 底边A 1B 上的高即可；旋转△A 1BC 1所在平面到平面ABB 1A 1，AP +PC 1的最小值转化为求AC′即可．主要考查利用旋转求解线段最小值问题，求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否，本题考查了运算能力和转化思想，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(3,1)，B(0,4)， z =x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点A(3,1)时z 取到最小值， 所以z =x +2y 的最小值是3+2×1=5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，设z =x +2y ，利用数形结合即可的得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.【答案】√7【解析】 【分析】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．根据题意，由数量积的计算公式可得e 1⃗⃗⃗ ·e 2⃗⃗⃗ =12，又由m ⃗⃗⃗ 2=(3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9e 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ·e 2⃗⃗⃗ ，计算可得m ⃗⃗⃗ 2的值，变形可得答案．【解答】解：根据题意，两个单位向量e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则e 1⃗⃗⃗ ·e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12， 若m ⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，则m ⃗⃗⃗ 2=(3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9e 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ·e 2⃗⃗⃗ =7，则|m ⃗⃗⃗ |=√7； 故答案为：√7．15.【答案】−12【解析】解：设P(x 1,y 1 )，M(x 2,y 2 )，则N(−x 2,−y 2)， ∴k 1=y 1−y2x 1−x 2，k 2=y 1+y 2x 1+x 2，∵椭圆的离心率e =ca =√22，∴a =√2c ， 又∵a 2=b 2+c 2， ∴a =√2b =√2c ，∴椭圆的方程可化为：x 2+2y 2=2b 2， ∵直线l 与椭圆C 交于两点P ，M ，∴x 12+2y 12=2b 2，x 22+2y 22=2b 2，作差得：(x 12−x 22)+2(y 12−y 22)=0，即(x 12−x 22)=−2(y 12−y 22)，∴k 1⋅k 2=y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=y 12−y 22x 12−x 22=−12，故答案为：−12．设P(x 1,y 1 )，M(x 2,y 2 )，则N(−x 2,−y 2)，所以k 1⋅k 2=y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=y 12−y 22x 12−x 22，由椭圆的离心率可得椭圆的方程，可化为：x 2+2y 2=2b 2，把点P ，M 的坐标代入利用点差法即可求解．本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了点差法求斜率，考查了学生的计算求解能力，是中档题．16.【答案】18 1−12n【解析】解：由函数f(x)=x2，点A n (n,f(n))(n ∈N ∗)， 向量a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯A n−1A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 0A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以tanθ3=f(3)3=3233=18；S n =tanθ1+tanθ2+tanθ3+⋯+tanθn =121+2222+3233+⋯+n2n n =12+122+123+⋯+12n =12[1−(12)n ]1−12 =1−12n ．故答案为：18，1−12n ．利用向量的加法，结合函数解析式，即可得出结论本题考查了平面向量的综合应用问题，也考查了等比数列的求和运算问题，是中档题．17.【答案】解：(1)方程x 2−5x +6=0的两根为2，3，由题意得a 2=2，a 4=3，设{a n }是递增的等差数列，数列的公差为 d ，则d >0，则a 4−a 2=2d ，故d =12，从而a 1=32， 所以{a n }的通项公式为：a n =n2+1．(2)由(1)知a n2+a n =n+22+n2+1， 设数列{n+22n+1}的前n 项和为S n ，则：S n =32+42+52+⋯+n+12+n+22，12S n=32+42+52+⋯+n+12+n+22，两式相减得12S n =34+(123+124+⋯+12n+1)−n+22n+2=34+14(1−12n−1)−n+22n+2，所以S n =2−n+42n+1，设数列{an2n +a n }的前n 项和为T n ，则T n =S n +n(32+12n+1)2=2−n+42n+1+n 2+5n 4．【解析】(1)方程x 2−5x +6=0的两根为2，3，由题意得a 2=2，a 4=3，求出首项与公差，即可求解通项公式．(2)化简a n2n+a n =n+22n+1+n 2+1，设数列{n+22n+1}的前n 项和为S n ，利用错位相减法求解即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列与函数相结合，数列求和的方法的应用，是中档题．18.【答案】解：(1)由条件知，x −=16(11.1+9.1+9.4+10.2+8.8+11.4)=10，y −=16(2.5+3.1+3+2.8+3.2+2.4)=176，b ̂=168.24−6×10×17660.88−6×102=−88299≈−0.30，从而a ̂=176−(−88291)×10≈5.86，故y 关于x 的线性回归方程为y ̂=−0.30x +5.86． (2)假设7月份的销售单价为x 元，则由(1)可知，7月份零配件销量为y ̂=−0.30x +5.86，故7月份的利润ω=(−0.30x +5.86)(x −3)=−0.30x 2+6.76x −17.5， 其对称轴x =33.83≈11.3，故7月份销售单价为11.3元时，该月利润才能达到最大．【解析】(1)求出样本中心的坐标，求出回归直线方程的系数，然后得到回归直线方程． (2)求出7月份的利润表达式，利用而城市的最值求解即可． 本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．19.【答案】(1)证明：∵面ABB 1A 1⊥面ABC ，面ABB 1A 1∩面ABC =AB ，且AB ⊥BC ，∴BC ⊥面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B ， ∵BC//B 1C 1，∴B 1C 1⊥A 1B . ∵侧面ABB 1A 1为菱形，∴AB 1⊥A 1B .∵AB 1∩B 1C 1=B 1，AB 1、B 1C 1⊂面AB 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1．(2)解：取A 1B 1的中点M ，连接BM ，∵侧面ABB 1A 1为菱形，且∠A 1AB =60°，∴△A 1B 1B 为等边三角形，∴BM ⊥A 1B 1，BM ⊥AB ， ∵面ABB 1A 1⊥面ABC ，面ABB 1A 1∩面ABC =AB ，∴BM ⊥面ABC ， 又∵∠ABC =90°，∴AB 、BC 、BM 两两垂直，故以B 为原点，BA 、BC 、BM 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC =x ， 则A(2,0，0)，C(0,t ，0)，A 1(1,0，√3)，B(0,0，0)，M(0,0，√3)， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,x ，√3)， ∵BM ⊥面ABC ，∴面ABC 的法向量为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√3)， ∵直线AC 1与底面ABC 所成角的正弦值为√55，∴cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9+x 2+3×√3=√55，解得x =√3．由等体积法可知，三棱锥C −ABA 1的体积V C−ABA 1=V A 1−ABC =13⋅BM ⋅12AB ⋅BC =13×√3×12×2×√3=1．【解析】(1)由面面垂直的性质定理可知，BC ⊥面ABB 1A 1，故BC ⊥A 1B ，B 1C 1⊥A 1B ；由菱形的性质可知，AB 1⊥A 1B ；再根据线面垂直的判定定理即可得证；(2)取A 1B 1的中点M ，连接BM ，易证得BM ⊥AB ，故以B 为原点，BA 、BC 、BM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设BC =x ，逐一写出A 、C 、A 1、B 、M 的坐标，由直线AC 1与底面ABC 所成角可列得关于x 的方程，解之得x 的值；再根据等体积法V C−ABA 1=V A 1−ABC 即可得解．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和棱锥体积的求法，熟练运用空间中线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及掌握利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx −ax +1，∴f′(x)=1x −a ，定义域为(0,+∞)，若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，有f(1e )=−ae ≥0，不能满足f(x)≤0恒成立，舍去； 若a >0，令f′(x)=0，则x =1a ，当0<x <1a 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x >1a 时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 要使f(x)≤0恒成立，则f(x)max =f(1a )=ln 1a ≤0，解得a ≥1． 故实数a 的取值范围是[1,+∞)．(2)证明：由(1)知，当a =1时，f(x)=lnx −x +1<f(1)=0在(0,1)上恒成立，即lnx <x −1(0<x <1)． 令x =nn+1，则ln nn+1<nn+1−1=−1n+1，∴当n ∈N ∗时，有ln 12<−12，ln 23<−13，……，ln nn+1<−1n+1，将上述式子累加得，ln 12+ln 23+⋯…+ln nn+1<(−12)+(−13)+⋯…+(−1n+1)=−(12+13+⋯…+1n+1)， 而ln 12+ln 23+⋯…+ln nn+1=ln(12⋅23⋅……⋅nn+1)=ln 1n+1，∴ln 1n+1<−(12+13+⋯…+1n+1)，即ln(n +1)>12+13+⋯+1n+1(n ∈N ∗)． 故命题得证．【解析】(1)求导得f′(x)=1x −a(x >0)，然后分a ≤0和a >0两类讨论f(x)的单调性，并求其最大值，使f(x)max ≤0，解出a 的范围即可得解．(2)由(1)可得，lnx <x −1(0<x <1)；令x =nn+1，则ln nn+1<−1n+1，于是有ln 12<−12，ln 23<−13，……，ln nn+1<−1n+1，将不等式两边累加后，再结合对数的运算法则即可得证．本题考查利用导数研究函数的恒成立问题、不等式的证明，还涉及对数的运算法则与放缩法，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)根据题意得{ca =√22a 2=4c，解得{c =2a =2√2⇒b =2， 所以椭圆C 的方程x 28+y 24=1．(2)解法一：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x 3,y 3)，则{x 128+y 124=1x 228+y 224=1⇒{x 128+y 124=1λ2x 228+λ2y 224=λ2相减得：(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)8(1+λ)(1−λ)+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)4(1+λ)(1−λ)=1，(∗)由PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知x 1−λx 21−λ=−4，y 1−λy 21−λ=0，由MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知x 1+λx 21+λ=x 3，y 1+λy 21+λ=y 3， 代入(∗)式得，18x 3⋅(−4)+0=1，即x 3=−2，又因为Q 在椭圆内，所以(−2)28+y 324<1⇒0<|y 3|<√2，所以 △OPQ 面积S =12×4|y 3|=2|y 3|∈(0,2√2)，解法二：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x 3,y 3)，则{x 1+4=λ(x 2+4)y 1=λy 2，y 3=y 1+λy21+λ，设直线l 的方程为x =ty −4，(t ≠0)，代入椭圆C 的方程得： (t 2+2)y 2−8ty +8=0，由△>0得t 2>2，|t|>√2， 所以{(1+λ)y 2=8tt 2+2λy 22=8t 2+2，消去y 2得到(1+λ)2λ=8t 2t 2+2， 所以y 3=2λy 21+λ=2λ1+λ⋅8t (t 2+2)(1+λ)=2λ(1+λ)2⋅8t t 2+2=2t，因此△OPQ 的面积S =12×4|y 3|=4|t|∈(0,2√2).解法三：设直线l 的方程为x =ty −4，(t ≠0)，代入椭圆C 的方程得： {y 1+y 2=8tt 2+2y 1y 2=8t 2+2，|MN|═√t 2+1|y 1−y 2|， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1−λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λ1−λ2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 原点O 到直线l 的距离d =√t 2+1，所以△OPQ 的面积S =12×2λ|1−λ2|√t 2+1|y 1−y 2√t 2+1=4λ|1−λ2||y 1−y 2|， 因为y 1=λy 2⇒λ=y 1y 2，所以S =4y 1y 2|1−y 12y 22||y 1−y 2|=4y 1y 2|y1+y 2|=4|t|∈(0,2√2).【解析】(1)由题可列方程组{ca =√22a 2=4c ，解得a ，c ，又a 2=b 2+c 2，解得b ，进而可得椭圆的方程． (2)解法一：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x 3,y 3)，M ，N 点坐标代入椭圆方程两式相减得：(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)8(1+λ)(1−λ)+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)4(1+λ)(1−λ)=1，(∗)，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用坐标表示，代入(∗)式得x 3=−2，又因为Q 在椭圆内，得0<|y 3|<√2，所以△OPQ 面积S =12×4|y 3|=2|y 3|∈(0,2√2)，解法二：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x 3,y 3)，因为PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{x 1+4=λ(x 2+4)y 1=λy 2，y 3=y 1+λy21+λ，设直线l 的方程为x =ty −4，(t ≠0)，联立椭圆C 的方程得：由△>0得t 2>2，|t|>√2，{(1+λ)y 2=8tt 2+2λy 22=8t 2+2，消去y 2得到(1+λ)2λ=8t2t 2+2，所以y 3=2λy 21+λ=2λ1+λ⋅8t (t 2+2)(1+λ)=2λ(1+λ)2⋅8t t 2+2=2t ，因此△OPQ 的面积S =12×4|y 3|=4|t|进而得出结论． 解法三：设直线l 的方程为x =ty −4，(t ≠0)，联立椭圆C 的方程得：{y 1+y 2=8tt +2y 1y 2=8t 2+2，|MN|═√t 2+1|y 1−y 2|，PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1−λMN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λMN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λ1−λ2MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再分析原点O 到直线l 的距离d ，表示△OPQ 的面积S ，化简再求出答案．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+2cosαy =1−2sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为：(x −3)2+(y −1)2=4． 所以：该曲线是以(3,1)为圆心，2为半径的圆． 转换为极坐标方程为：ρ2−6ρcosθ−2ρsinθ+6=0． (2)直线l 的极坐标方程为sinθ−2cosθ=1ρ， 转换为直角坐标方程为：2x −y +1=0． 则圆心(3,1)到直线的距离d =√22+1=6√55， 所以曲线C 上的点到直线的最大距离为d +r =6√55+2．【解析】本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系式，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (2)求出圆心到直线的距离d ，则曲线C 上的点到直线的最大距离为d +r ． 23.【答案】解：(1)由题意可得f(x)={−2,x ≤−12x,−1<x <12,x ≥1，①当x ≤−1时，f(x)=−2<1，不等式f(x)≥1无解， ②当−1<x <1时，f(x)=2x ≥1，解得12≤x <1， ③当x ≥1时，f(x)=2>1恒成立， 综上所述，不等式f(x)≥1的解集为[12,+∞)．(2)当x ∈R 时，f(x)=|x +1|−|1−x|≤|x +1+1−x|=2； g(x)=|x +a 2|+|x −b 2|≥|x +a 2−(x −b 2)|=|a 2+b 2|=a 2+b 2． 而a 2+b 2=(a +b)2−2ab ≥(a +b)2−2×(a+b 2)2=(a+b)22=2当且仅当a=b时，等号成立，即a2+b2≥2，因此f(x)≤2≤a2+b2≤g(x)即f(x)≤g(x)．【解析】(1)把f(x)用分段函数来表示，分类讨论，求得f(x)≥1的解集．(2)当x∈R时，先求得f(x)的最大值为2，再求得g(x)的最小值，根据g(x)的最小值减去f(x)的最大值大于或等于零，可得f(x)≤g(x)成立．本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较大小的方法，属于中档题．。

2020年四川省内江市界市中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数z=的共轭复数表示的点在复平面上位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的代数形式的混合运算，化简复数然后求出共轭复数的坐标即可．【解答】解：复数z====．=，对应点的坐标（）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．2. 设A={x|y=}，B={x|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A． {x|x＞﹣1} B．{x|x≤1} C． {x|﹣1＜x≤1} D． ?参考答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A={x|x≤1}，由B中y=ln（x+1），得到1+x＞0，即x＞﹣1，∴B={x|x＞﹣1}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3. 函数的图象A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．关于轴对称参考答案：【知识点】函数的奇偶性B4【答案解析】B ∵，∴其定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞），∴f（-x）=x2lg=-x2lg=-f（x），∴函数为奇函数，∴函数的图象关于原点对称，故选：B【思路点拨】先判断出函数为奇函数，再根据奇函数的图象的性质得到答案．4. 如图,若程序框图输出的S是126，则判断框①中应为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略5. 复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：C复数复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选C．6. 函数的单调递增区是（）A. B. C. D.参考答案：D7. （文）已知点C在线段AB的延长线上，且等于（）A．3 B． C．D．参考答案：D8. 若点不在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B【考点】线性规划【试题解析】由题知：点（2，-3）在直线下方。

内江市第六中学2020届高三第八次月考理科综合二、选择题（本大题共8小题，每小题6分，其中14~18小题只有一项符合题目要求；19~21小题有 多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

）14．氢原子能级图如图，a ，b ，c 分别表示原子在不同能级之间的三种跃迁途径，设 a 、b 、c 在跃迁过程中，放出光子的能量和波长分别是E a 、E b 、E c 和λa 、λb 、λc， 若a 光恰 能使某金属产生光电效应，则A ．λa ＝λb ＋λcB ．E b ＝E a ＋E cC ．c 光也能使该金属产生光电效应D ．b 光不能使该金属发生光电效应15．如图所示，空间有一正三棱锥O-ABC ，点A ＇、B ＇、C ＇分别是三条棱的中点。

现在顶点O 处固定一正点电荷，下列说法中正确的是A ．A ＇、B ＇、C ＇三点的电场强度相同B ．△ABC 所在平面为等势面C ．将一正试探电荷从A ＇点沿直线A' B'移到 B ＇，静电力对该试探电荷先做正功后做负功D ．若A ＇点的电势为ϕA ＇，A 点的电势为ϕA ，则AA ＇连线中点D 处的电势ϕD 一定小于'2A A ϕϕ+16.如图所示，质量为2kg 的木板M 放置在足够大光滑水平面上，其右端固定一轻质刚性竖直挡板，能 承受的最大压力为4N ，质量为1kg 的可视为质点物块m 恰好与竖直挡板接触，已知M 、m 间动摩擦因 数μ=0.5，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.初始两物体均静止，某时刻开始M 受水平向左力F 作用， F 与M 位移关系为F=3+ 0.5x ，重力加速度g= 10m/s 2，关于M 、m 的运动，下列表述正确的是A. m 的最大加速度为5m/s 2B. m 获得的最大速度无法求解C. 当F 刚作用时，竖直挡板对m 就有弹力作用D. 当M 运动位移为24m 过程中，F 所做的功为216J17．如图所示，质量为M 、倾角为θ的斜面体置于粗糙的水平面上，斜面体处于静止状态，一质量为m 的木块置于斜面上。

四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若221i i z =++，则z 的虚部是（ ） A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i - 2．(5分)已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|02}A B x x =<<D ．{|12}A B x x =-<<3．已知,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且cos22sin 21αα=-，则tan α=（ ） A ．12- B ．12 C ．2- D ．24．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76 B ．32C ．2132D ．145．在ABC 中，已知1()2AD AB AC =+，13AE AD =，若以,AD BE 为基底，则DC 可表示为（ ）A ．2133AD BE +B ．23AD BE +C ．13AD BE + D ．1233AD BE + 6．某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ．9B ．7C ．8D ．67．若曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，则实数a的值为（ ）A ．12eB ．12CD ．1e8．函数()52sin 33x x x x f x -+=-([,0)(0,])x ππ∈-的图象可能为（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若以AM 为直径的圆与E 的渐近线相切，则双曲线E 的离心率等于（ ）A ．4 BC D10．如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ⊥AC ；②//EP BD ；③//EP 平面SBD ；④EP ⊥平面SAC ，其中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④11．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.对于下列四种说法，正确的是 ①函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ[,]24--2- ④函数()g x 在区间ππ(,)44-上单调递增A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④12．已知定义在R 上的函数()y f x = 满足；函数1y f x =-（） 的图象关于直线1x =对称，且当(,0)x ∈-∞ 时，()()0f x xf x '+< （其中()'f x 是函数()f x 的导函数）恒成立，若11221111sin sin ,(ln 2)(ln 2),log log 2244a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>二、填空题 13．设2,0()0x x f x x ⎧≤⎪=>，则((2))f f -=__________． 14．已知实数x ，y 满足约束条件2102101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值为______.15．函数2π()4cos cos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 16．已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==，AC AD BC BD ====，则a =__________．三、解答题17．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c a B b --= （1） 求sin sin C A的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且10n n S a +-=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21log n n b n a =-+⋅，数列()*N 1n n b ⎧⎫⎬⎭∈⎨⎩的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<. 19．已知函数()322339f x x ax a x a =--+.（1）设1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若13a >，且当[]1,4x a ∈时，()312f x a a ≥-恒成立，试确定a 的取值范围. 20．高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占25、朋友聚集的地方占310、个人空间占310.美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占35、家占1、个人空间占1.如下表：（1）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（2）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．已知函数()ln x x f x e a=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；（2）若01a <<，求证：()2ln a f x a+≥. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值； （2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．23．已知函数()|1||2|f x x x =-+（1）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥；（2）若不等式()|1|5f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥.参考答案1．B【分析】结合复数的四则运算，对复数z 化简，进而可求出答案.【详解】 因为221i 2i 13i 1i iz =+=--=-+，所以z 的虚部是3-. 故选：B .【点睛】本题考查复数的四则运算，考查学生对复数概念的理解，属于基础题.2．D【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<,{|12}A B x x =-<<,故选D ．3．B【分析】由已知利用二倍角公式可得2cos 2sin cos ααα=，又cos 0α≠，利用同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且cos22sin 21αα=-，可得：22cos 14sin cos 1ααα-=- 2cos 2sin cos ααα=，cos 0α≠cos 2sin αα∴=，sin 1tan cos 2ααα==． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4．B【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=，所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得212q = 所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---， 故选：B【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题,5．B【分析】 由1()2AD AB AC =+，得D 为BC 的中点，这样DC BD =，由加法法则即可用基底,AD BE 表示．【详解】 由1()2AD AB AC =+，得D 为BC 的中点，由13AE AD =，得23ED AD =，所以DC BD ==23ED BE AD BE +=+， 故选：B .【点睛】本题考查平面向量基本定理，平面上任意两个不共线的向量都可作为基底，平面上所有向量都可用基底表示．6．C【分析】根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论．【详解】 解：班学生成绩的平均分是85，79788080859296857x ∴+++++++=⨯，即5x =．乙班学生成绩的中位数是83，∴若1y ，则中位数为81，不成立．若1y >，则中位数为8083y +=，解得3y =．538x y ∴+=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，属于基础题． 7．A【解析】分析：设公共点(),P s t ，求导数，利用曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，建立方程组，即可求出a 的值.详解：设公共点(),P s t ，2,2y ax y ax =∴='，1ln ,y x y x '=∴=， 曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线， ∴212ln as st as t s ===，解得12a e=. 故选：A.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键.8．A【分析】根据定义判断奇偶函数，以及利用特殊值排除，即可得出答案.【详解】解：由题意可知定义域([,0)(0,])x ππ∈-关于原点对称，()()i 352s n 3x x f x x x --+---=()5n 332si x x x x ----=-352n 3si x x x x -+-=()f x =， 所以()f x 为偶函数，排除B ，D ，又()0335332sin 5f ππππππππ--=-=-+>，排除C , 所以A 正确.故选：A.【点睛】本题考查图像的识别，一般利用奇偶性，单调性，特殊性进行排除. 9．A【分析】 由题意可知，点3,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到双曲线渐近线b y x a =±的距离等于2a ，再利用点到直线的距离公式列出方程化简可求双曲线的离心率【详解】解：由题意知，双曲线E 的右顶点为A (a ，0)，渐近线方程为b y x a =±，即bx ±ay ＝0. 由A 为OM 的中点，可知M (2a ，0)．故以AM 为直径的圆的圆心的坐标为3,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 半径122a r AM ==. 又双曲线的渐近线与圆相切，2a =，3b =，即c =从而得298e =，所以e 故选：A. 【点睛】此题考查了求双曲线的离心率，考查了圆的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 10．A 【分析】在①中：由题意得 AC ⊥平面SBD ，从而平面//EMN 平面SBD ，由此得到AC EP ⊥；在②中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线；在③中：由平面//EMN 平面SBD ，从而得到//EP 平面SBD ；在④中：由已知得EM ⊥平面SAC ，从而得到EP 与平面SAC 不垂直. 【详解】如图所示，连接AC 、BD 相交于点O ，连接EM ，EN .在①中：由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD ，AC BD ⊥，∴SO AC ⊥. ∵SO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面SBD ，∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， ∴//EM BD ，//MN SD ，而EM MN M ⋂=， ∴平面//EMN 平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC EP ⊥.故正确.在②中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线， 不可能//EP BD ，因此不正确；在③中：由①可知平面//EMN 平面SBD ，∴//EP 平面SBD ，因此正确． 在④中：由①同理可得：EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ， 则//EP EM ，与EPEM E =相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直.即不正确. ∴恒成立的结论是：①③．故选：A.11．B【详解】21cos2π()cos2)26xf x x x x x x+==++，将函数()f x图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π())6g x x+的图象.对于①，π4ππ())336g+=故函数()g x的图象不关于点12{2xy=-=-成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x∈-得π23π25π4(,)666x+∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x-≤≤-，得11ππ5π4666x-≤+≤-，则()2g x-≤≤()g x，最小值为2-，所以③正确；对于④，当ππ44x-<<时，5ππ7π4666x-<+<，故函数()g x在区间ππ(,)44-上不单调，所以④错误.故选B．12．A【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0），x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．由此能求出结果．【详解】∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，∴y＝f（x）关于y轴对称，∴函数y＝xf（x）为奇函数．∵[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x），∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数y＝xf（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．∵11022sin ＜＜，1122ln =＞＞， 12124log =， ∴1211224sin ln log ＜＜， ∴a ＞b ＞c ， 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合理运用，属于中档题． 13．12【分析】 先求21(2)24f --==，再代入求解即可. 【详解】根据分段函数先求21(2)24f --==，所以11((2))()42f f f -===， 故答案为：12. 14．-3 【分析】画出不等式组表示的可行域，然后结合图形求解即可. 【详解】不等式组表示的可行域如图：令2x y z +=，则2y x z =-+由图可得当直线2y x z =-+过点()1,1A --时，z 最小，最小值为：()2113⨯--=- 故答案为：3- 15．2 【解析】 因为2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点．考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．16．【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上， 设长方体的长宽高为,,x y z ，由题意可得：222222255x y a y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，据此可得：()222221022a x y z R +++==， 则球的表面积：2210492a S R πππ+==⨯=，结合0a >解得：a =点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.17．（1）sin 2sin C A = （2【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a =，sin B =，从而计算出面积． 【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===，所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin CA= （2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =, 所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin 4B =， 故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题． 18．（1）12n n a =；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据10n n S a +-=得()11102n n S a n --+-=≥两式作差，得出112n n a a -=，再由等比数列的通项公式，即可求出结果；（2）先由（1）得到()1n b n n =+，由裂项相消的方法求出n S ，进而可得结论成立. 【详解】（1）∵10n n S a +-=① ∴()11102n n S a n --+-=≥②，①-②得：112n n a a -=，2n ≥； ∴数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，于是1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，*n N ∈.（2）由（1）得()()21log 1n n b n a n n =-+⋅=+，∴()111111n b n n n n ==-++， ∴12111111*********11n n S b b b n n n =+++=-+-++-=-++. 又易知函数()111f x x =-+在[)1,+∞上是增函数，且()1f x <，而112S =， 所以112n S ≤<. 【点睛】 结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a ad a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2=（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 19．（1）()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，()3,∞，单调递减区间为()1,3-；（2）12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）求导函数，判断导函数的符号，可得单调区间. （2）利用导函数研究()f x 在[]1,4x a ∈时的最小值，()312f x a a ≥-恒成立可以等价转化为()3min 12f x a a ≥-，解不等式可得解.【详解】 （1）当1a ＝时，()32391f x x x x --+＝，则()2369x x f x '--＝，由()0f x '＝，得1x =-或3x =.当1x <-时，()0f x >′；当13x时，()0f x <′；当3x >时，()0f x >′.所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，()3,∞，单调递减区间为()1,3-.（2）因为()22369f x x ax a -'-＝()()33x a x a =+-，13a >，所以当13x a ≤<时，()0f x <′；当34a x a <≤时，()0f x >′. 所以当[]1,4x a ∈时，()f x 的最小值为()3326f a a =-.由()312f x a a ≥-在[]1,4a 上恒成立得332612a a a -≥-，解得2a 3≤-或203a ≤≤.又13a >，所以1233a <≤.即a 的取值范围为12,33⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】思路点睛:本题考查用导函数研究原函数性质的方法，是常见题.不等式恒（能）成立求参数范围的一般方法:①当x D ∀∈时，()()f x h a ≥成立，则()()min f x h a ≥； ②当x D ∃∈时，()()f x h a ≥成立，则()()max f x h a ≥. 20．（1）列联表见解析，有把握；（2）12. 【分析】（1）根据条件完善表格，然后算出2K 即可；（2）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为1a ，2a ，3a ，b ，然后列出所有的情况和满足所求事件的情况即可. 【详解】 （1）由已知得∴()2210022369331001134.628 3.841316955453123K ⨯⨯-⨯⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关.（2）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人， 分别设为1a ，2a ，3a ，b . ∵()()()()()(){}121312323,,,,,,,,,,,a a a a a b a a a b a b Ω=，∴6n =.设含有在“个人空间”感到幸福的学生为事件A ，()()(){}123,,,,,A a b a b a b =，∴3m =，则()3162m P A n === 21．（1）()11y e x =-+；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求导得到()()10x f x e x x'=->，从而得到1k e =-，再利用点斜式求切线方程即可.（2）首先求导得到()111xx f x e xe ax x a ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，根据x y xe =在()0,∞+上单调递增，且()0,y ∈+∞，且11a>，得到存在唯一()00x ∈+∞,，使得0010x x e a -=，再根据函数()f x 的单调性得到()min f x ，利用基本不等式即可证明()2ln af x a+≥.【详解】（1）当1a =时，()()()1ln 0xxf x e x f x e x x'=-⇒=->. ∴()11k f e '==-，又()1f e =，∴()f x 在点A 处的切线方程为()()11y e e x -=--，即()11y e x =-+. （2）()()()ln 1110xx x x f x e f x e xe x a ax x a ⎛⎫'=-⇒=-=-> ⎪⎝⎭， 易知xy xe =在()0,∞+上单调递增，且()0,y ∈+∞，又1011a a<<⇒>， ∴存在唯一()00x ∈+∞,，使得0010xx e a -=，即00001ln ln xe x x a ax =⇔=--. 当00x x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当0x x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. ∴()()00000min 00ln 1ln 11ln xx x a f x f x e x a a ax a a a x ⎛⎫==-=++=++ ⎪⎝⎭2l ln n 1a a a a ⎛⎫≥ = +⎪⎪⎝⎭. 当且仅当001x x =，即01x =时，等号成立. ∴当01a <<时，()2ln af x a+≥. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键为找到导函数的隐藏零点，属于中档题. 22．（1）3（2）2224()39x y ++= 【分析】（1）化曲线C 的参数方程为普通方程，求出12cos 13α=时直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系求PA PB ⋅的值；（2）设(cos ,sin )Q θθ，(,)M x y ，由向量等式得322cos 32sin x y θθ+=⎧⎨=⎩，消去θ，得点M 的轨迹方程． 【详解】（1）由cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 的普通方程为221x y +=．当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为12213513t x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入为221x y +=，得21348390t t -+=． ∴PA PB ⋅123t t ==.（2）设(cos ,sin )Q θθ，(,)M x y则由2PM MQ =，得(2,)2(cos ,sin )x y x y θθ+=--， 即323cos 32sin x y θθ+=⎧⎨=⎩，消去θ，得2224()39x y ++=， ∴点M 的轨迹方程为2224()39x y ++=． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t 的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题． 23．（1）图象见解析，13xx ⎧≤-⎨⎩∣或1}x ≥；（2）证明见解析. 【分析】 （1）去掉绝对值号，根据一次函数的图象与性质，即可得到函数()f x 的图象，结合图象，即可求解不等式的解集；（2）不等式()|1|5f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，只需min 5[()|1|]k f x x -≤+-，求得3k ≥，然后利用作差法，即可证得65k k+≥. 【详解】 （1）由题意，函数31,1()|1||2|1,0131,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=-+=+<<⎨⎪-+≤⎩在直角坐标系中作出函数()f x 的图象，如图所示： 当13x =-时，可得()2f x =，当1x =时，可得()2f x =所以根据图象可得解不等式()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤-⎨⎩∣或1}x ≥.（2）由()|1||22||2||222|2f x x x x x x +-=-+≥--=当且仅当(22)(2)0x x -≤，即01x ≤≤时取等号，所以()|1|f x x +-的最小值为2 由不等式()|1|5f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，所以只需min 5[()|1|]2k f x x -≤+-=，可得3k ≥ 又由2656(2)(3)50k k k k k k k k-+--+-==≥，所以65k k +≥. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，着重考查转化思想和数形结合思想的应用，属于中档试题.。