数学问题的对称性构造与对称化方法

第十一讲 函数对称性[知识背景] 1.概念(定义,表示,分类与特征) 2.意义(解题)<一>对称与数学:对称是客观事物存在的一种形式.数学作为客观物体在量及形上的一种表达形式,必然会反映这种关系,如对称点、对称式、对称图、对称运算与对称命题.<二>数学对称:1.定义:对于构成原问题的元素顺序或运算形式或语言表达,通过取原元素中逆顺序或逆运算或具有相反意义的表述,实现对原问题的再改造,称为原问题的对称性问题,简述为数学问题的对称性构造.2.特征:外观结构对称(元素和运算功能,语言表达等),数量成对.3.分类:代数对称有正负对称,和差对称,互余对称,倒数对称,共轭对称; 图形对称有中心对称和轴对称.4.意义:整体转化.间接方法.(摘要自甘肃礼县一中刘国栋老师发表在《中学数学教学参考》1997年第7期39页的文章“数学问题的对称性构造与对称化方法”一文)[知识点] ⑴反函数 ，奇、偶函数 ⑵式对称[例题选讲]1.⑴已知f(x)=244+x x,求和式f(10011)+f(10012)+f(10013)+…+f(10011000)的值. ⑵已知f(x)=221x x +, 求和式f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)+f(4)+f(41)的值. 2.⑴函数f(x)=111122+++-++x x x x 图象关于A.x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D. 直线x=1对称 ⑵函数f(a-x)与f(x-b)图象关于直线l 对称,则直线方程 A.x=2b a - B.x=2b a + C.x=a-b D.x=a+b 3.⑴已知函数f(x)=mx x +-25图象关于直线y=x 对称,求实数m. ⑵若直线y=ax+1与直线y=-2x+b 关于直线y=x 对称,求a,b 值.4.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0) ,如果f(x 1)= f(x 2)(其中x 1≠x 2),则f(x 1+x 2)等于 A.-a b 2 B.-a b C.c D.a b ac 442-[巩固题组]1.⑴已知函数f(x)为奇函数,则F(x)= f(x-a)+b 图象关于点____对称⑵已知函数f(x)为偶函数,则F(x)= f(x-a)图象关于直线_____对称2.⑴设函数f(x)=132-+x x ,y=g(x)图象与y=f 1-(x+1)图象关于直线y=x 对称,求g(3)值. ⑵求证:函数y=2x 图象与函数y=log2x 图象对称.3.⑴设f(x)=2211x x -+,求证: ⑴ f(-x)= f(x) ⑵ f(x 1)= -f(x) ⑵设f(x)=xx +-11, 求值: ⑴ f(a+1) ⑵ f(a)+14.光线从点(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,求反射光线所在直线方程.5.⑴已知点P(2,3),求其关于下列情形下的对称点⑴原点(0,0) ⑵x轴⑶y轴⑷直线y=x ⑸直线y=-x ⑹点(a,b)⑵已知直线3x-4y+5=0,求其在下列情形下的对称直线⑴原点(0,0) ⑵x轴⑶y轴⑷直线y=x ⑸直线y=-x ⑹点(a,b)。

初中数学全等三角形的对称性有什么特点在初中数学中，全等三角形的对称性是研究三角形全等性质的一个重要概念。

全等三角形的对称性指的是当两个三角形全等时，它们之间存在一种对称关系。

下面我们将详细解释全等三角形的对称性的特点和应用。

首先，我们来定义三角形的对称性。

对称性是指在某个中心点周围进行旋转、翻折或旋转加翻折等操作时，保持形状和大小不变的性质。

对于三角形来说，对称性就是指当两个三角形全等时，它们之间存在一种对称关系，可以通过旋转、翻折或旋转加翻折等操作相互重合。

下面是全等三角形的对称性的特点：1. 对称轴：当两个三角形全等时，它们之间存在对称轴。

对称轴是指一个直线，它可以将两个全等三角形分成两个对称的部分。

对称轴可以是三角形的中线、中垂线、角平分线等。

通过对称轴，可以将一个三角形映射到另一个全等的三角形。

2. 对称点：当两个三角形全等时，它们之间存在对称点。

对称点是指一个点，它可以使两个全等三角形相互重合。

对称点可以是三角形的顶点、重心、垂心等。

通过对称点，可以将一个三角形映射到另一个全等的三角形。

3. 对称角：当两个三角形全等时，它们之间存在对称角。

对称角是指两个全等三角形中对应的角相等。

通过对称角，可以确定两个全等三角形的对应边，并进一步确定它们的对称性。

通过全等三角形的对称性，我们可以进行以下应用：1. 利用对称性证明全等：当我们需要证明两个三角形全等时，可以利用对称性进行证明。

通过找到它们的对称轴、对称点和对称角，可以建立它们之间的对应关系，从而证明全等。

2. 利用对称性解决问题：当我们需要解决一些与三角形全等性质相关的问题时，可以利用对称性简化问题。

通过观察对称轴、对称点和对称角，可以找到一些等价的情况，从而简化问题的求解过程。

3. 利用对称性构造全等形状：当我们需要构造与已知全等三角形相同形状的三角形时，可以利用对称性进行构造。

通过找到对称轴、对称点和对称角，可以反向构造出一些全等的三角形。

数学中的对称性与变换数学作为一门精密的学科，涵盖了许多概念和原理。

其中，对称性和变换是数学中重要且基础的概念之一。

本文将探讨数学中对称性和变换的关系，并介绍它们在几何学和代数学中的应用。

一、对称性的概念对称性是指一个物体或形状在某种变换下保持不变的性质。

其中最常见的对称性包括平移、旋转和镜像对称。

平移是指将一个物体移动到空间中的另一个位置，而不改变其形状和大小。

旋转是指将一个物体绕某个中心点旋转一定角度，使得其与原来的位置相比发生变化。

镜像对称是指将一个物体以某个轴为中心对称翻转，使得其两侧完全一致。

二、变换的概念变换是指通过某种操作将一个物体或形状转换成另一个物体或形状的过程。

数学中常见的变换包括平移、旋转、缩放和反演。

平移变换已在上一部分中进行了介绍，旋转和缩放变换与平移类似，但是在操作上有所不同。

旋转变换是通过将一个物体绕一个中心点旋转一定角度来改变其位置。

缩放变换是通过改变一个物体的大小来改变其形状。

三、对称性与变换的关系对称性和变换在数学中密切相关，它们相互影响且相辅相成。

对称性是通过变换来定义和描述的，而变换可以通过对称性来解释和探索。

例如，在数学中，通过平移变换可以得到无穷多个具有相同对称性的图形。

同样地，对称性可以帮助我们理解和应用不同的变换方式。

四、对称性与变换在几何学中的应用在几何学中，对称性和变换发挥着重要的作用。

以平面图形为例，通过对称性和变换的概念，我们可以研究和证明各种几何定理。

例如，利用镜像对称性，我们可以证明两个边相等的三角形是全等的。

通过旋转变换，我们可以探究正多边形的性质和内角和。

对称性和变换还可以帮助我们解决各种几何问题，如对称轴的求解和图形的构造等。

五、对称性与变换在代数学中的应用在代数学中，对称性和变换也起着重要的作用。

对称群是研究对称性和变换的重要工具。

它是一种包含了所有对称变换的集合，并且可以通过对称群的性质来研究和推导一些代数结构的性质。

对称性和变换还在代数方程的求解中发挥着重要作用，例如，通过变换可以将一个复杂的代数方程转化为简单的形式，进而得到解析解或近似解。

函数的对称与平移变换在数学中，函数的对称和平移变换是一种常见的数学概念。

通过对函数进行对称和平移操作，我们可以改变其形状、位置和性质，从而更好地理解和分析函数的特点。

本文将介绍函数的对称和平移变换的基本概念、性质及其在数学中的应用。

一、对称变换对称变换是指将函数绕某个轴线进行镜像翻转，使得函数在轴线两侧呈现完全对称的形状。

常见的对称轴包括x轴、y轴和原点。

1. 沿x轴对称：当函数关于x轴对称时，称之为沿x轴对称函数。

这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(x, -y)也在曲线上。

沿x轴对称的函数形状上下对称。

2. 沿y轴对称：当函数关于y轴对称时，称之为沿y轴对称函数。

这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, y)也在曲线上。

沿y轴对称的函数形状左右对称。

3. 原点对称：当函数关于原点对称时，称之为原点对称函数。

这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, -y)也在曲线上。

原点对称的函数形状在四个象限上对称。

对称变换不仅能够反映函数的对称性，还能够帮助我们简化函数的分析。

通过观察函数的对称轴和对称点，我们可以得到关于函数的重要信息，如函数的奇偶性、极值点和图像的对称性。

二、平移变换平移变换是指将函数沿着坐标轴的方向上平移一定的距离，从而改变函数的位置和形状。

平移变换可以是水平方向的平移（横向平移）或垂直方向的平移（纵向平移）。

1. 横向平移：当我们将函数沿着x轴的方向上移动a个单位，函数的数学表达式变为f(x-a)。

这个平移过程会改变函数图像在水平方向上的位置。

如果a为正数，函数图像会向右移动；如果a为负数，函数图像会向左移动。

2. 纵向平移：当我们将函数沿着y轴的方向上移动b个单位，函数的数学表达式变为f(x)+b。

这个平移过程会改变函数图像在垂直方向上的位置。

如果b为正数，函数图像会向上移动；如果b为负数，函数图像会向下移动。

平移变换不改变函数的形状，只是改变了函数图像在平面坐标系上的位置。

数学中的对称性数学是一门具有严谨性和美学的学科，它描述了世界的结构和规律。

在数学中，对称性是一个非常重要的概念，它不仅仅在几何学中有所体现，还贯穿于各个数学领域的研究中。

在本文中，我们将探讨数学中对称性的定义、性质和应用。

一、对称性的定义对称性是指一个对象在某种操作下保持不变的性质。

这种操作可以是旋转、平移、反射等。

具有对称性的对象在进行这些操作后，仍然与原来的对象相同。

对称性可以从多个角度来理解，例如形状的对称性、运动的对称性和代数结构的对称性等。

1. 形状的对称性在几何学中，对称性通常指的是物体的形状对称性。

一个物体具有形状对称性，意味着该物体可以通过某种操作变换而不改变其外观。

最常见的对称操作包括旋转和反射。

例如，正方形具有四个对称轴，它可以通过按顺时针方向旋转90度或180度来保持不变。

此外，正方形也具有四个对称中心，使得它可以通过对角线或水平垂直线的反射而保持不变。

2. 运动的对称性运动的对称性是指在空间中物体的位置改变后保持不变的性质。

运动的对称操作包括平移、旋转和反射。

例如，一个等边三角形具有三个对称轴，它可以通过按顺时针或逆时针方向旋转120度或240度来保持不变。

此外，一个球具有无数个对称中心，使得它可以通过平移来保持不变。

3. 代数结构的对称性除了几何学中的对称性，数学中的代数结构也具有对称性的概念。

在代数学中，对称性通常指的是运算、方程或函数的不变性。

例如，一个函数f(x)在x=a处具有对称性，意味着f(a) = f(-a)。

同样地，一个方程在进行变量替换后仍然等价，即具有对称性。

二、对称性的性质对称性具有许多有趣的性质，这些性质使得对称性成为数学中研究的重要主题之一。

1. 传递性对称性具有传递性，即如果一个对象具有对称性，那么它的任意变换也具有对称性。

例如，如果一个图形在旋转、平移或反射后仍然具有对称性，那么它的任意旋转、平移或反射变换后也具有对称性。

2. 组合性对称性的组合性是指多个具有对称性的对象进行某种操作后的结果仍然具有对称性。

数的形三维形的对称性对称是数学中一个非常重要的概念，它在我们的生活中随处可见。

不仅在平面几何中，对称性也存在于三维空间中的各种形状中。

本文将探讨数的形三维形的对称性，以及它在几何中的应用。

一、平面对称平面对称是最基本的对称形式，它指的是一个形状相对于一个平面可以对称的性质。

比如，一个正方形可以在一条垂直于其中一条边的直线上进行平面对称，得到与原来形状完全相同的镜像形状。

这是因为正方形的各个边相互平行且相等，从而使得平面对称成为可能。

二、空间对称除了平面对称外，空间对称也是三维空间中常见的对称形式。

它指的是一个形状相对于一个平面或轴线可以对称的性质。

例如，一个立方体具有空间对称性，因为它可以相对于一些平面或轴线进行对称，得到与原来形状完全相同的镜像形状。

三、数学中的对称性在数学中，对称性不仅仅局限于平面和空间中的形状，还可以应用于各种数学对象中。

比如，函数图像的对称性是数学中一个重要的概念。

函数图像的对称性指的是函数的图像相对于某个轴线或点对称。

例如，奇函数在原点对称，而偶函数在y轴对称。

四、对称性在几何中的应用对称性在几何中有着广泛的应用。

首先，在图形的构造中，对称性可以帮助我们快速确定图形的各个点的位置。

其次，在证明几何定理时，对称性可以简化证明的过程。

通过利用对称性，我们可以将证明的焦点放在更小的一部分上，减少繁琐的计算。

此外，在计算图形的面积、周长等属性时，对称性也可以帮助我们快速得到结果。

五、总结对称性是数学中一个重要的概念，在平面几何、空间几何以及数学中都有着广泛的应用。

无论是平面对称还是空间对称，对称性对于我们理解和分析各种形状都起着重要的作用。

在几何中，对称性不仅可以帮助我们构造和证明定理，还可以减少计算的复杂性。

因此，我们应该更加注重对称性的学习和理解，以便更好地应用于实际问题中。

这篇文章简要介绍了数的形三维形的对称性。

从平面对称到空间对称，再到数学中的对称性，我们可以看到对称性在数学中的重要性。

高一对称性知识点对称性是数学中一种重要的性质和概念。

它广泛应用于几何学、代数学以及物理学等领域。

在高一数学学习中，对称性是一个重要的知识点。

本文将介绍高一对称性的基本概念、性质以及具体应用。

一、对称性的基本概念对称性是指某个对象在某种变换下能够保持不变。

常见的对称变换包括平移、旋转和翻转等。

在高一数学中，主要涉及到平面图形的对称性，包括轴对称和中心对称两种。

1. 轴对称轴对称又称为镜像对称，是指对象在一条直线上的每一点与该直线关于某个轴对称点的连线垂直，并且与该轴对称点的距离相等。

轴对称的轴线称为对称轴。

例如正方形、矩形等都具有轴对称性。

2. 中心对称中心对称是指对象存在一个中心点，该中心点与对象上的任意点的连线都通过另一个对称的点，并且该对称点与中心点的距离相等。

中心对称具有旋转对称性。

例如圆形、五角星等都具有中心对称性。

二、对称性的性质对称性具有以下几个性质：1. 对称性是传递的。

如果图形A与图形B关于某个对称轴对称，图形B与图形C关于同一条对称轴对称，那么图形A与图形C也关于该对称轴对称。

2. 对称性是可逆的。

如果图形A与图形B关于某个对称轴对称，那么图形B与图形A也关于该对称轴对称。

3. 对称性保持图形的大小和形状不变。

如果图形A与图形B关于某个对称轴对称，那么图形A与图形B具有相同的大小和形状。

三、对称性的应用对称性在数学中有着广泛的应用。

以下是对称性的一些具体应用：1. 图形的判定通过观察图形的对称性，可以判定图形的种类。

例如，如果一个图形具有轴对称性，则可以判断该图形是正方形、矩形或者其它具有轴对称性的图形。

如果一个图形具有中心对称性，则可以判断该图形是圆形、五角星或者其它具有中心对称性的图形。

2. 图形的构造利用对称性概念和性质，可以进行图形的构造。

例如，在给定一个正方形的对角线的情况下，可以利用对称性构造出一个完整的正方形图形。

3. 问题的求解在解决一些实际问题时，对称性也可以发挥作用。

浅析直线中的对称问题直线是解析几何中最基本的一种曲线，直线中的对称问题是学生研究其它曲线对称性的基础，是解析几何中重要的基础内容。

对称点、对称直线的求法、对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的，它为两点间距离的最值问题的转化提供了桥梁。

而现在的中学数学教材这部分内容并没有系统的编排，教师需对对称问题进行适当的总结、归纳，使学生对这部分内容有一个较完整、系统的认识。

一、中心对称1．点点对称：（利用中点公式）例1 求点P （-2，2）关于点M （1，1）对称的点P '的坐标.分析：易知M 是线段P P '的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，M 是线段P P '的中点，设点P '（x ，y ）， 由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=221221y x ，解得⎩⎨⎧==04y x ，故P '（4，0） 2．线点对称：（转化为点点对称，再利用中点公式）例2 求直线06y x 2=+-关于点M )1,1(对称的直线方程．分析 ：本题可以以先在已知直线上取两点，再求该两点关于点M 的对称点，利用两点求出直线方程；也可利用两直线平行，以及点M 到两直线的距离相等求解解：（法一）（转化为点点对称，再利用中点公式）在直线06y x 2=+-上取两点A （-2，2），B （-3，0），则点A （-2，2），B （-3，0）关于M )1,1(的对称点的A ')0,4(，B ')2,5(，由A '、B '在所求直线上得对称直线方程为08y x 2=--．（法二）由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为02=+-c y x ，由点M )1,1(到直线距离公式，得222212|612|12|c 12|++-=++-，即71c =+，得6c =（即为已知直线，舍去）或8c -=，故所求对称直线方程为08y x 2=--．点评：解法一是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程；解法二利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而本题两种解法都体现了直线系方程的优越性．二、轴对称（轴（直线）是对称点连线段的中垂线）1．点线对称例3 求点P )2,2(-关于直线l ：012=+-y x 对称的点的坐标。

如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧【如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧】引言：在初中数学的学习中，轴对称证明题是一个相对复杂且需要掌握一定技巧的知识点。

轴对称性是几何图形中重要的一种对称性质，理解和掌握轴对称证明题的解题方法和技巧对于提高数学水平至关重要。

本文将探讨如何学习初二轴对称证明题的解题方法和技巧，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、了解轴对称性质的基本概念1.1 轴对称性的定义轴对称性是指一个图形可以通过某条直线将图形分成两个完全相同的部分。

这条直线称为轴线或对称轴。

在轴对称性中，对于图形上的任意一点P，如果存在一点P'，使得将P绕轴线旋转180度后能够得到P'，则称图形具有轴对称性。

1.2 轴对称性的性质轴对称性具有以下基本性质：（1）轴对称图形的对称轴是唯一的；（2）轴对称图形上的任意两点关于对称轴对称；（3）轴对称图形上的任意点与对称轴的距离与与对称点的距离相等。

二、掌握轴对称证明题的基本方法2.1 观察和分析题目在解决任何数学问题时，首先需要仔细观察和分析题目。

对于轴对称证明题，要注意题目中是否提供了图形或几何图形的描述，还需明确题目中要求证明的内容。

2.2 使用已知条件在解轴对称证明题时，常常需要利用已知条件进行分析和推理。

已知某条边平行于对称轴，或已知某个点对称于另一个点等等。

2.3 利用轴对称性质进行推理轴对称图形具有特殊的性质，对称轴是图形的一个重要特征。

在解轴对称证明题时，可以利用轴对称性质进行推理。

可以通过证明两个点对称于第三个点，从而推出所要证明的结论。

2.4 使用辅助图形和方法在解决复杂的轴对称证明题时，有时可以借助辅助图形和方法来简化问题或引出结论。

可以通过构造辅助线或辅助图形，或利用相似性质等方法来解决问题。

三、练习和巩固知识点为了更好地掌握轴对称证明题的解题方法和技巧，同学们需要进行大量的练习和巩固。

可以选择一些相关的练习题，通过反复的实践来提高解题能力。