高中数学中对称性问题

抽象函数的对称性关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。

证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b=+2的对称点为()A a b m n '+-，。

[]∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--==∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。

二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2的对称点为()A b a m n '--，。

∵f b b a m f a m n [()]()---=+=∴点A'在y f b x =-()的图象上反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知，函数y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2与y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+22()的图象，由y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

对称性在高中数学中的应用举例在高中数学课程中，对称性是一个非常重要的概念，它不仅在数学理论中有着重要的地位，同时也在现实生活中有着广泛的应用。

对称性可以帮助我们更好地理解和解决问题，也可以为我们带来美感和愉悦。

在这篇文章中，我们将介绍对称性在高中数学中的应用，并举例说明其在数学中的实际应用。

对称性是指一个图形或物体具有关于某一中心或某一轴对称的性质。

在数学中，我们经常会遇到对称性的问题，比如点对称、轴对称、中心对称等。

对称性在几何学、代数学、图论等各个分支中都有着广泛的应用。

我们来介绍对称性在几何学中的应用。

在高中数学中，有关于圆的相关知识，这些知识往往涉及到对称性的概念。

一个圆形图案就是具有中心对称性的，不管怎样旋转这个图案，它始终保持不变。

对称性帮助我们更好地理解圆的性质和性质。

在高中数学中还会涉及到三角形的对称性，比如等边三角形具有三条边相等的对称性，等腰三角形具有两条边相等的轴对称性等等。

对称性的概念可以帮助我们更好地理解和分析各种形状的性质。

对称性在代数学中也有着广泛的应用。

在高中数学中，我们经常会遇到各种各样的方程和函数，而对称性可以帮助我们更好地理解和求解这些问题。

关于奇函数和偶函数的性质，就是利用对称性来进行分析的。

奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，它具有关于原点对称的性质；偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，它具有关于y轴对称的性质。

利用对称性的概念，我们可以更好地理解和分析奇函数和偶函数的性质，进而对各种函数进行求解和运用。

对称性在图论中也有着重要的应用。

图论是数学中的一个独立分支，它研究的是由顶点和边组成的图。

对称性在图论中有着广泛的应用，比如在在研究图的着色问题时，我们常常会利用图的对称性来降低问题的复杂性。

在研究网络流问题时，对称性也可以帮助我们更好地理解和分析图的性质。

在生活中，对称性也有着广泛的应用。

比如在建筑设计中，对称性可以带来美感和和谐感；在艺术创作中，对称性也经常被艺术家们所运用。

函数的对称性真题答案解析在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念。

了解和掌握函数的对称性对于解题和理解函数性质都有很大的帮助。

下面，我们将通过对几道函数对称性的真题进行解析，来深入了解函数对称性的应用和解题技巧。

1. 已知函数f(x)在R上满足f(1-x) = f(x) + 1，求f(0)的值。

首先，我们来分析题目中给出的函数对称性条件，即f(1-x) = f(x) + 1。

这个条件意味着函数关于直线x=1/2对称。

我们可以利用这个对称性进行解题。

假设f(x)的图像在平面直角坐标系上对称于直线x=1/2，那么对于任意x，x和1-x关于直线x=1/2的距离是相等的。

也就是说，对于任意实数x，有|x-1/2|=|1-x-1/2|。

当x=0时，左边的绝对值式子等于1/2，右边的绝对值式子也等于1/2。

所以，f(0)的值与f(1/2)的值是相等的。

进一步推导，我们可以得到f(0) = f(1/2) + 1。

再来看题目中给出的等式f(1-x) = f(x) + 1。

将x替换为1/2，得到f(1/2) = f(1/2) + 1。

这个等式显然是不成立的。

所以，我们可以得出结论，函数f(x)在R上不存在。

通过这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性在解题中的应用。

通过观察题目中给出的条件，我们可以得到函数图像的对称轴，进而得到所求的函数值。

这种方法可以解决关于函数对称性的问题，尤其是对称于直线x=a的情况。

2. 已知函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，且满足f(x) = f(3x)，求f(0)的值。

对于这道题目，我们需要利用函数的对称性以及函数在给定区间上等式的性质来进行解答。

首先，我们来分析题目中给出的条件。

题目中指出函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，说明函数关于原点(0,0)对称。

另外，已知f(x) = f(3x)，表明函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。

结合这两个条件，我们可以得到f(x)在[-1,1]上的对称轴是直线x=0，同时函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。

高中数学函数对称性的应用探究函数对称性是高中数学中一个重要且实用的概念，具有广泛的应用。

在日常学习和实际生活中，我们经常使用对称性来解决问题，比如在平面几何中，对称性用于求解图形对称中心和对称轴等；在画画中，对称性被用来制作对称图案；在物理学和工程等科学领域，对称性则被用来研究各种自然现象和物理规律。

因此，学习和掌握函数对称性的应用是非常有必要的。

一：奇偶性奇偶性是最为常见的函数对称性。

奇函数具有轴对称性，即其图像关于原点对称；而偶函数则具有中心对称性，即其图像关于纵坐标轴对称。

在计算奇偶函数值时，我们只需要验证函数值在 $-x$ 和 $x$ 处是否相等。

有些函数同时具有奇偶性，例如正弦函数，因为 $\sin (-x)=-\sin x$，又有 $\sin (\pi-x)=\sin x$，所以整个正弦函数的图像关于原点对称。

奇偶性的应用很广泛，通过奇偶性我们可以简化计算，化简式子。

例如，设$y=f(x)$ 为偶函数，那么有：$$f(x)-f(-x)=0, f(x)+f(-x)=2f(x)$$利用此关系，我们可以快速求解不等式或者将更复杂的式子化简为简单的形式。

此外，通过奇偶性，我们还可以得到一些有用的结论，例如奇函数之积为偶函数，偶函数之积为偶函数。

在实际问题中，奇偶性也经常发挥作用，例如在分析随机变量概率分布时，对于对称分布的情况，我们可以根据奇偶性简单地计算一些统计指标，进而做出更为准确的判断。

二：周期性周期性是指存在一个正数 $T$，使得对于所有 $x$，都有 $f(x+T)=f(x)$。

具有周期性的函数在图像上呈重复性，其图像会在一定的距离内一遍一遍地重复，因此有时也称为周期函数。

著名的周期函数有三角函数、指数函数等。

周期性在信号处理、电路设计、波动现象等方面有广泛的应用。

例如在声音处理中，频率$f$与周期$T$的关系为 $f=1/T$，通过周期性可以进行声音的合成和分解。

在电路设计中，通过选择不同的周期函数可实现不同类型的振荡器；在物理学中，周期性被用来描述波动现象，如光波和声波。

对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中有着广泛的应用，它不仅能帮助我们解决数学问题，还能帮助我们理解数学知识。

在数学中，对称性是一个重要的概念，它经常出现在几何、代数和数学分析等不同领域中。

本文将通过几个具体的例子，来介绍对称性在高中数学中的应用。

在几何中，对称性是一个十分重要的概念。

我们知道，对称形状具有特定的对称轴或中心，这些对称轴或中心可以帮助我们简化几何问题的解决过程。

我们常常用到的正方形、矩形和圆形等几何形状都具有对称性。

对称性能够帮助我们寻找到图形的对称轴或对称中心，从而简化问题并找到解决方法。

一个简单的例子就是讨论正方形的对称性。

正方形具有4条对称轴，分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。

利用正方形的对称性，我们可以很容易地发现正方形的性质和关系。

我们知道正方形的对角线相等，利用对称性我们可以很容易地证明这个定理。

又如，我们知道正方形的每条边都相等，也可以利用对称性来证明这一性质。

这些都是利用对称性来简化问题、思考和解决问题的典型例子。

在代数中，对称性也有着重要的应用。

在解代数方程的时候，我们经常会利用方程的对称性来简化问题的解决过程。

一个常见的例子就是求解一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。

我们常常会利用一元二次方程的对称性来推导出解的公式或者判断解的性质。

根据一元二次方程的对称性，我们可以得出表达式b^2-4ac的含义，从而判断方程的解的性质。

又如，在利用配方法解一元二次方程时，我们也可以利用对称性来简化解题的过程。

另一个典型的例子是讨论函数的奇偶性。

在代数分析中，我们经常会用到奇函数和偶函数的概念。

奇函数的图像具有中心对称性，而偶函数的图像具有轴对称性。

这些对称性不仅可以帮助我们画出函数的图像，还可以帮助我们判断函数的性质。

我们知道奇函数的积分区间对称性，在求解奇函数的定积分时可以利用对称性简化计算过程。

又如，在讨论函数的奇偶性时，我们可以利用函数图像的对称性来判断函数的奇偶性，从而简化问题的解决过程。

对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中有着广泛的应用，它不仅是数学中的一个重要概念，还在日常生活和实际问题中有着丰富的应用。

本文将通过举例的方式来说明对称性在高中数学中的应用。

1. 几何中的对称性应用在几何中，对称性是一个基本的概念，它在图形的性质和计算中发挥着重要作用。

我们来看看在几何中对称性是如何应用的。

在平面几何中，对称轴是一个重要的概念。

对称轴是指如果一个图形绕着这条轴旋转180度后，和原来的图形完全重合。

对称轴不仅在几何图形的判断中有着重要作用，还在实际问题中应用广泛。

比如我们常常在建筑设计和制作面向对称的装饰品时，就能利用到对称轴的概念，使得建筑或装饰品更加美观。

对称性还能帮助我们判断图形的性质。

在研究图形的性质时，我们常常要判断图形是否存在对称轴，以及图形的对称性质。

通过对称性的判断，可以简化问题的分析和计算，使得几何问题更加清晰和直观。

2. 代数中的对称性应用在高中代数学中，对称性也有着广泛的应用。

代数中的对称性可以帮助我们简化计算和解决问题，提高解题的效率和准确性。

接下来，我们来看看代数中对称性是如何应用的。

对称性在代数中有着多种应用，其中一个典型例子是多项式的因式分解。

在代数中，我们经常需要对多项式进行因式分解，以便于进一步的计算和分析。

而对称性在多项式的因式分解中发挥着重要作用。

通过对多项式的对称性质进行分析，我们可以找到多项式的对称因子，从而进行因式分解。

这种方法可以帮助我们简化因式分解的过程，提高求解的效率和准确性。

在代数中，对称性还可以帮助我们简化方程的求解过程。

通过对称性的分析，我们可以将原问题转化为对称的形式，从而简化方程的求解。

这种方法在解决代数方程和不等式问题时有着重要的应用，可以帮助我们更加直观和简便地求解问题。

在统计学中，对称性可以帮助我们分析数据的分布和趋势。

通过对数据的对称性质进行分析，我们可以得到数据的中心位置和分布情况。

这种方法在统计数据分析和趋势预测中有着重要的应用，可以帮助我们更加准确地理解数据的特征和规律。

数学的对称之谜高中数学中的对称性与变换数学的对称之谜：高中数学中的对称性与变换数学作为一门严谨而抽象的学科，在人们的日常生活中扮演着重要的角色。

而对称性与变换作为数学的重要概念之一，不仅在高中数学教学中占据重要地位，而且在人们的生活中也扮演着重要的角色。

本文将从高中数学中的对称性和变换入手，深入探讨数学世界中的对称之谜。

一、对称性在图形中的应用对称性是数学中一个非常重要的概念，它不仅存在于图形中，也存在于代数和几何中。

图形的对称性，是指图像的某些部分按某种规律或某个中心进行镜像、旋转或平移后，与原图形完全一样。

在高中数学中，对称性常常在几何学中得到应用。

1.1 线对称与中心对称高中数学教学中，线对称与中心对称是最常见的两种对称性。

线对称，即通过某条直线将图形分成两个对称的部分，两个部分完全重合。

而中心对称，则是以某点为中心，将图形旋转180度后与原图重合。

这两种对称性在图形的判断和性质分析中非常有用。

1.2 图形的对称性和对称轴图形的对称性不仅可以通过观察外部形状来判断，还可以通过对称轴的位置和性质来确定。

例如，一个图形在纵向有对称轴，则可以判断该图形具有纵向的对称性。

对称轴的判定，对于解决图形性质和问题解决非常有帮助。

二、对称变换与刚体变换高中数学中，对称变换与刚体变换是对称性与变换的一种应用。

对称变换是指通过对称轴对图像进行镜像或旋转，在变换后保持图形的不变性。

刚体变换则是指保持图形的形状和大小的变换。

2.1 对称变换的应用对称变换在高中数学中有着广泛的应用，特别是在解决图形问题和证明性质时。

通过对称变换，我们可以将一个几何形状的性质转化为另一个较简单的形状，从而更容易解决问题。

例如，通过镜像对称变换，我们可以证明两个图形的相等性。

2.2 刚体变换的性质和应用刚体变换是指平移、旋转和镜像变换。

刚体变换可以保持图形的形状和大小不变，但是位置和方向可以改变。

在高中数学中，刚体变换被广泛应用于解决图形的平移、旋转和对称性问题。

谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。

下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。

2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。

2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。

综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。

高中数学对称性求解题技巧对称性在高中数学中是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们更好地理解数学问题，还可以提供解题的技巧和方法。

下面将介绍一些常见的高中数学对称性求解题技巧。

1. 图形对称性求解题技巧图形对称性是指图形中存在某种对称的特征。

在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题。

例如，对于一道求解平面镜反射的问题，我们可以利用镜面对称性。

通过将问题中的图形沿着镜面进行对称，我们可以获得一个与原图形相同但在镜面另一侧的图形。

这样，我们可以利用对称的图形性质，简化问题，将问题转化为求对称图形中某个点的位置或某条线段的长度，从而快速求解问题。

又如，在解决关于几何形状的证明问题时，可以利用图形的对称性来简化证明过程。

通过找到图形中的对称点、对称线或对称中心，我们可以直接得出结论或简化推理过程。

2. 函数对称性求解题技巧函数对称性是指函数中存在某种对称的特征。

在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题或得到一些特殊的性质。

例如，对于奇函数和偶函数，我们可以利用它们的对称性质进行猜测和求解。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，即对称轴为原点。

当我们需要求解奇函数在某点的函数值时，可以利用函数的对称性，将其转化为对称点的函数值。

这样，可以节约计算时间和精力。

偶函数满足f(-x)=f(x)，即对称轴为y轴。

当我们需要求解偶函数在某点的函数值时，可以直接由已知求得，省去了计算步骤。

另外，对于一些具有周期性的函数，我们也可以利用其对称性来简化问题。

例如，正弦函数和余弦函数有周期为2π，我们可以利用周期性和对称性的特点来求解具体的数值问题。

3. 代数方程对称性求解题技巧代数方程中的对称性指的是方程中的变量或项之间存在某种对称的关系。

在解题时，我们可以利用这种对称性来简化方程，从而求得解或简化计算过程。

例如，对称方程是指方程中某些项之间满足对称关系。

在解这类方程时，我们可以只考虑其中一部分项或利用对称关系得到方程解的特殊性质。

函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+Û()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+Û关于2a bx +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x Þ=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+éùëû：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+éùëû②本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+Û()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+Û关于,02a b +æöç÷èø轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。

高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中具有十分重要的应用，下面我们来举几个具体的例子。

1.图形的对称性在几何学中，对称性是指在某些变换下，图形保持不变。

如在平面上，如果一个点绕固定点旋转180°后落在自己所在的位置上，那么这个点就具有对称性；如果一图形绕自己的对称中心旋转一定角度后与原图形完全重合，那么这个图形就具有对称性。

在学习几何的时候，我们经常需要利用图形的对称性来求解问题。

例如，已知一个等边三角形的一条边上有一点P，求P到另外两边的距离，我们可以在三角形的对称中心O处画出一条垂线，将三角形对垂线做一个轴对称，得到一个与原图形相似的三角形，然后利用相似关系求出P到另外两边的距离。

2.代数式的对称性在代数学中，对称性是指一个代数式在某些变换下保持不变。

例如，一个多项式f(x)具有奇偶对称性，当且仅当f(x)=f(-x)，称f(x)为偶函数；当且仅当f(x)=-f(-x)，称f(x)为奇函数。

利用函数的对称性，可以简化许多计算，如当我们需要求一奇函数在[-a,a]区间内的积分时，由于奇函数的积分在[-a,a]区间内相当于在[-a,0]和[0,a]上的积分之和，而由于f(x)=-f(-x)，因此在[-a,0]上的积分等于在[0,a]上的积分，因此该积分可以简化为对[0,a]上的积分进行计算。

在学习函数图像时，我们经常需要运用函数的对称性来快速绘制图像。

例如，已知f(x)具有奇偶对称性，那么在绘制f(x)的图像时，只需要绘制[-1,1]区间内的半个图像，然后将其对y轴或者原点进行对称就可以得到整个图像。

在三角形、四边形等平面图形中，如果其中一个顶点到图形的另一条边的垂线中点，与垂线的交点处于中点，那么这个图形就具有中心对称性。

利用这一性质，可以求出很多三角形的面积、周长等。

例如，已知一个三角形的三条边长分别为a，b，c，利用海伦公式可以求出三角形的面积S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，如果此三角形具有中心对称性，那么可以利用垂线中点定理求出三角形的高，然后再求出三角形的面积。

第二章 函数2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）知识梳理一 函数的周期性函数()y f x =满足定义域内的任一实数x (其中,a b 为常数) (1)()()f x f x a =+，则()x f 是以T a =为周期的周期函数； (2)()()f x a f x b +=-, 则()x f 是以b a T +=为周期的周期函数； (3)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 二 函数的对称性轴对称：若()()f a x f b x +=- 则f(x)关于2ba x +=对称. 中心对称：若()()2f a x f b x m ++-= 则f(x)关于(2ba +，m) 对称.三 由对称性推周期性(1) 函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），①若()x f 为奇函数，则函数()f x 4T a =，②若()x f 为偶函数，则函数()f x 周期为2T a =.(2) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(3) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y ,()0,B b y ()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(4) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以4a b -为最小正周期的周期函数；题型战法题型战法一 周期性与对称性的判断典例1．下列函数是周期函数的有（ ） ①sin y x = ①cos y x = ①2y xA ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A ．0.5log y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =变式1-2．函数x y e =与x y e -=的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称变式1-3．函数91()3x x f x +=的图像（ ）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称变式1-4．函数1()f x x x=+的图象关于（ ）对称. A ．直线y x = B ．原点C ．y 轴D ．x 轴题型战法二 由函数周期性求函数值典例2．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，若对于0x ≥时，都有()()4f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2021f -等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．2log 6 D ．23log 2变式2-1．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（ ） A ．1716B ．54C ．2D ．1变式2-2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20132014f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2变式2-3．已知定义在R 上的偶函数()f x ，对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当03x ≤≤时，()26f x x =-，则()2021f =（ ） A ．0 B ．2- C ．4- D ．2变式2-4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．5题型战法三 由函数对称性求函数值典例3．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()1()f x f x +=-，且当12x ≥时，()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．－1变式3-1．已知3()4f x ax bx =+-，若(2)6f =，则(2)f -=（ ） A ．－14B ．14C ．6D ．10变式3-2．已知函数124xy a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的图象与指数函数x y a =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是 A ．1 B ．2 C ．4D ．8变式3-3．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为 A ．1- B ．1 C ．2 D ．3变式3-4．已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB C ．D题型战法四 由周期性与对称性求函数解析式典例4．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[23]x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ） A ．4x + B ．2x -C ．31x -+D ．21x -+变式4-1．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =，则当x ①（-3，-2）时，()f x 等于（ ） A ．2x B ．2x -C ．22x +D ．(2)2x -+-变式4-2．已知()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当[]1,1x ∈-时，()||f x x =，那么当[]7,5x ∈--时()f x =（ ） A ．|3|x +B ．|3|x -C ．|6|x +D ．|6|x -变式4-3．若函数()f x 与()3xg x =的图象关于直线3x =对称，则()f x =（ ）A ．33x -B ．33x -C ．63x -D ．63x -变式4-4．下列函数中，其图象与函数2x y =的图象关于直线1x =对称的是（ ） A ．12x y -= B ．22x y -=C ．12x y +=D ．22x y +=题型战法五 由周期性与对称性比较大小典例5．定义在R 上的函数()f x 满足：()()4f x f x +=成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>变式5-1．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=-，若()f x 在区间[]0,1是减函数，则53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1f ，112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式5-2．已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ；①(8)()f x f x +=；①(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a <<变式5-3．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；①函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；①对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（ A ．()()()202120232022f f f >> B ．()()()202120222023f f f >> C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>变式5-4．已知定义在R 上的函数()f x 满足，①()()2f x f x +=，① ()2f x -为奇函数，①当[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-()12x x ≠恒成立.则152f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()4f 、112f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系正确的是（ ） A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭题型战法六 由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()10f =，()5.52f =，()()()1g x x f x =-.若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（ ） A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3变式6-1．已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（ ）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-变式6-2．若定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=，对任意的x ∈R 恒成立，则()2021f =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1变式6-3．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()0f x f x ，(5)(5)f x f x -=+，且(1)2022f =，则(2020)(2021)f f -=（ ）A ．2026B ．4044C ．2022-D ．4044-变式6-4．函数()f x 定义域为R ，且,(4)()2(2)x R f x f x f ∀∈+=+，若函数(1)f x +的图象关于1x =-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（ ） A ．3 B ．-3C ．6D ．-6第二章 函数2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）知识梳理一 函数的周期性函数()y f x =满足定义域内的任一实数x (其中,a b 为常数) (1)()()f x f x a =+，则()x f 是以T a =为周期的周期函数； (2)()()f x a f x b +=-, 则()x f 是以b a T +=为周期的周期函数；(3)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 二 函数的对称性轴对称：若()()f a x f b x +=- 则f(x)关于2ba x +=对称. 中心对称：若()()2f a x f b x m ++-= 则f(x)关于(2ba +，m) 对称.三 由对称性推周期性(1) 函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），①若()x f 为奇函数，则函数()f x 周期为4T a =，②若()x f 为偶函数，则函数()f x 周期为2T a =.(2) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(3) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y ,()0,B b y ()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(4) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以4a b -为最小正周期的周期函数；题型战法题型战法一 周期性与对称性的判断典例1．下列函数是周期函数的有（ ） ①sin y x = ①cos y x = ①2y xA ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数和二次函数的性质可得. 【详解】易得sin y x =和cos y x =是周期函数，2y x 不是周期函数.故选：C.变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A ．0.5log y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =【答案】C 【解析】直接利用函数性质判断即可. 【详解】选项A 中0.5log y x =不是周期函数,故排除A; 选项B,D 中的函数均为奇函数,故排除B,D; 故选:C. 【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题. 变式1-2．函数x y e =与x y e -=的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】 【分析】设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上，证明00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上.【详解】解：设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上，则00xy e =，则00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -满足0()0x x y ee --==， 所以点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上. 故选：B变式1-3．函数91()3x x f x +=的图像（ ）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称【答案】B 【解析】 【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性. 【详解】 解：因为()()231911333333x xx x x xxxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+= 易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称. 故选：B.变式1-4．函数1()f x x x=+的图象关于（ ）对称. A ．直线y x = B ．原点C ．y 轴D ．x 轴【答案】B 【解析】根据函数的奇偶性判断. 【详解】因为函数1()f x x x=+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称， 又11()()f x x x f x x x⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称， 故选：B题型战法二 由函数周期性求函数值典例2．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，若对于0x ≥时，都有()()4f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2021f -等于（ ） A ．1 B ．-1C ．2log 6D ．23log 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解. 【详解】①()y f x =为R 上的偶函数，①(2021)(2021)f f -=， 又当0x ≥时，()(4)f x f x =+， ①(2021)(2017)(1)f f f ==⋅⋅⋅=， 当[)0,2x ∈时，2()log (1)=+f x x ， ①2(2021)(1)log (11)1f f -==+=. 故选：A.变式2-1．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（ ） A ．1716B ．54C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，利用周期性把所给的自变量转化到区间[]1,1-上，代入求值即可. 【详解】由()()2f x f x +=可知，函数()f 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+， ①1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B变式2-2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20132014f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由()()2f x f x +=可得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可得()()()()2013201410f f f f -+=+，然后由已知的解析式可求得答案【详解】①函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数， ①()()f x f x -=，又①对于0x ≥都有()()2f x f x +=，①2T =，①当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，①()()()()()()201320142013201421006121007f f f f f f -+=+=⨯++⨯()()2210log 2log 11f f =+=+=，故选：C.变式2-3．已知定义在R 上的偶函数()f x ，对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当03x ≤≤时，()26f x x =-，则()2021f =（ ） A ．0 B ．2- C ．4- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的周期，结合奇偶性求得()2021f 的值. 【详解】依题意对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立， 令3x =-，则()()()()33323f f f f =-+， 所以()30f =，故()()6f x f x +=， 所以()f x 是周期为6的周期函数，故()()()()202163371112164f f f f =⨯-=-==⨯-=-. 故选：C变式2-4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，则有(2020)(0)f f =，(2021)f f =（1），由奇函数的性质求出(0)f 与f （1）的值，相加即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，(2020)(48252)f f f =+⨯=(4)(0)0f ==， (2021)(58252)f f f =+⨯=(5)f =-（1）5=-，则(2020)(2021)(0)f f f f +=+（1）5=-， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.题型战法三 由函数对称性求函数值典例3．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()1()f x f x +=-，且当12x ≥时，()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．－1【答案】C 【解析】根据()1()f x f x +=-，可知：()f x 关于12x =对称，根据对称性，要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和，即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和，代入即可得解. 【详解】根据()1()f x f x +=-，可知：()f x 关于12x =对称， 那么要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和， 即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和，因为()()2log 31f x x =-递增，所以最小值与最大值分别为：(1)1f =，(3)3f =， (1)(3)4f f +=，故答案为：C. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了转化思想，计算量较小，思路要求较高，属于中档题.变式3-1．已知3()4f x ax bx =+-，若(2)6f =，则(2)f -=（ ） A ．－14 B ．14 C ．6 D ．10【答案】A 【解析】 【分析】先计算(2)+(2)f f -，再代入数值得结果. 【详解】(2)+(2)8248248f f a b a b -=+----=-,又(2)6f =，所以(2)14,f -=-故选A 【点睛】本题考查函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.变式3-2．已知函数124xy a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的图象与指数函数x y a =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】指数函数xy a =关于y 轴对称的函数为1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得到124a -与a 的关系，即可求解出a 的值. 【详解】因为两函数的图象关于y 轴对称，所以124a -与a 互为倒数，所以124aa =-，解得4a =． 故选C. 【点睛】本题考查指数函数图象对称与底数之间关系，难度较易.关于y 轴对称的指数函数的底数互为倒数.变式3-3．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为 A ．1- B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，所以点()()1,1f --与点()(),a f a ，关于直线1x =对称，11,32aa -+==，故选D.考点： 函数的图象与性质.变式3-4．已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB C ．D 【答案】B 【解析】 【分析】先由对称性求得a ，再将4π代入函数解析式即可求得答案.【详解】因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以()203f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即112=-，解得a =422f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．题型战法四 由周期性与对称性求函数解析式典例4．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[23]x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ） A ．4x + B ．2x - C ．31x -+ D ．21x -+【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案． 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，∴[]21x ∈--，时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，此时()()44f x f x x =+=+，[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，此时()()()22f x f x f x x =-=-=-， 综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ． 【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档． 变式4-1．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =，则当x ①（-3，-2）时，()f x 等于（ ） A ．2x B ．2x - C ．22x + D ．(2)2x -+-【答案】C 【解析】令(32)x ∈--，，则2(1,)x +∈-0，根据(1,0)x ∈-时，f （x ）＝2x ，可求得f （x +2）的解析式，再根据f （x +2）＝f （x ），即可求得f （x ）解析式．令(32)x ∈--，，则2(1,)x +∈-0， ①当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =， ①f （x +2）＝2x +2， ①f （x +2）＝f （x ），①f （x +2）＝f （x ）＝2x +2，(32)x ∈--，． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．变式4-2．已知()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当[]1,1x ∈-时，()||f x x =，那么当[]7,5x ∈--时()f x =（ ） A ．|3|x + B ．|3|x - C ．|6|x + D ．|6|x -【答案】C 【解析】利用周期函数的定义求解即可. 【详解】设[]7,5x ∈--,则[]61,1x +∈-, 由题意知,()66f x x +=+,因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数, 所以()()6f x f x +=,即()6f x x =+. 故选: C 【点睛】本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.变式4-3．若函数()f x 与()3xg x =的图象关于直线3x =对称，则()f x =（ ）A ．33x -B ．33x -C ．63x -D ．63x -【答案】D 【解析】 【分析】先设出函数()f x 图像上任意点的坐标，再求出关于直线3x =对称的点，代入函数()g x的解析式即可求解． 【详解】解：设函数()y f x =图像上的点为(,)M x y ，关于直线3x =对称的点为(6,)N x y -， 将点N 代入函数()y g x =的解析式可得：63x y -=， 故6()3x f x -=， 故选：D ．变式4-4．下列函数中，其图象与函数2x y =的图象关于直线1x =对称的是（ ） A ．12x y -= B ．22x y -= C ．12x y += D ．22x y +=【答案】B 【解析】 【分析】设所求函数图象上任意一点为(),x y ，由其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上可解得结果.【详解】设所求函数图象上任意一点为(),x y ，则其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上，所以22x y -=.故选：B.题型战法五 由周期性与对称性比较大小典例5．定义在R 上的函数()f x 满足：()()4f x f x +=成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=，得到()f x 是周期为4的周期函数，得到(6)(2),(4)(0)f f f f =-=，4)f f =，结合()f x 在[]2,0-上单调递增，得到(2)4)(0)f f f -<<，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，则(6)(68)(2),4),(4)(0)f f f f f f f =-=-==，又由函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，可得(2)4)(0)f f f -<<，即(6)(4)f f f <<，所以c b a >>. 故选：D.变式5-1．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=-，若()f x 在区间[]0,1是减函数，则53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1f ，112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可. 【详解】()()()()()()22224f x f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+⇒=+，由此可知函数()f x 的周期为4，函数()f x 是奇函数，()()2f x f x +=-，所以有：55771142333333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 113311142222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-+=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 在区间[]0,1是减函数，11132<<， 所以()11132f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B变式5-2．已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ；①(8)()f x f x +=；①(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】D 【解析】由已知条件可知()f x 在[]4,8上单调递增，周期为8，对称轴为4x =.则()7a f =，()5b f =，()4c f =，再结合函数的单调性即可判断大小.【详解】解：由①知，()f x 在[]4,8上单调递增；由①知，()f x 的周期为8； 由①知，()f x 的对称轴为4x =；则()()()717a f f f =-==，()()()()1183835b f f f f =-==-=，()()202025284c f f =-⨯=，因为457<<，由函数的单调性可知，c b a <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的周期，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.变式5-3．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；①函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；①对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（ ）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>【答案】B 【解析】 【分析】由①①可得函数()f x 是周期为4的函数，且()f x 是奇函数，由①可得函数()f x 在[]0,1上单调递增，进而可得函数()f x 在[]1,1-上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解. 【详解】解：由题意，因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，又()()220f x f x ++-=，所以()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-， 因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数， 所以()()20211f f =，()()()202220f f f ==，()()20231f f =-， 因为()()2f x f x +=-，且()()2f x f x +=-，所以()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数，又因为对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 在[]0,1上单调递增， 所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增，因为101>>-，所以()()()202120222023f f f >>， 故选：B.变式5-4．已知定义在R 上的函数()f x 满足，①()()2f x f x +=，① ()2f x -为奇函数，①当[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-()12x x ≠恒成立.则152f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()4f 、112f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系正确的是（ ） A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性的定义可得()f x 在0,1上单调递增，根据已知条件可得()f x 是周期为2的奇函数，根据周期性和单调性即可求解. 【详解】由()()2f x f x +=可得()f x 的周期为2， 因为()2f x -为奇函数，所以()f x 为奇函数， 因为[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在0,1上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在1,0上单调递增，所以()f x 在()1,1-上单调递增， 因为1515124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()44220f f f =-⨯=，1111123222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()11022f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.题型战法六 由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()10f =，()5.52f =，()()()1g x x f x =-.若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（ ）A ．－3B ．－2C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据()1g x +得到()g x 关于1x =对称，得到()()2g x g x =-，结合()()()1g x x f x =-和()f x 为偶函数即可得()f x 周期为4，进而即得. 【详解】因为()1g x +为偶函数，则()g x 关于1x =对称，即()()2g x g x =-.即()()()()112x f x x f x -=--，即()()20f x f x +-=，()10f =也满足.又()f x 是定义域为R 偶函数，关于y 轴对称，①()()2f x f x =--，()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=，①()f x 周期为4，①()()()()5.5 1.5 2.5 2.52f f f f ==-==，①()()()0.5 2.5 1.5 2.53g g f -===.故选：D.变式6-1．已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（ ）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-【答案】D【解析】【分析】 首先利用赋值法求出()20f =，代入等式赋值得到(4)()f x f x +=-，即对称轴为2x =，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到(45)(3)(3)(1)f f f f =-=-=-，则可求出结果.【详解】因为对任意x ∈R ，都有(3)(1)9(2),f x f x f +=-+令1,x =- 得(2)(2)9(2),f f f =+ 解得(2)0,f =则(3)(1),f x f x +=- 即(4)(),f x f x +=-所以函数()f x 的图象关于直线2x =对称.又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，则函数()f x 的图象关于点(0,0)对称， 即函数()f x 为奇函数，所以(4)()(),f x f x f x +=-=-所以(8)(4)(),f x f x f x +=-+= 所以8是函数()f x 的一个周期，所以(45)(683)(3)(3)(1)2022,f f f f f =⨯-=-=-=-=-故选：D.变式6-2．若定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=，对任意的x ∈R 恒成立，则()2021f =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】【分析】根据题干条件得到()f x 为周期函数，最小正周期为4，进而得到()()20211f f =，利用()f x 是偶函数得到()()11f f -=，进而得到()211f =，结合()0f x >，得到()11f =. 【详解】1(2)()f x f x +=，则1()(2)f x f x =-，所以1(2)(2)()f x f x f x +==-，即()()4f x f x +=，()f x 为周期函数，最小正周期为4，则()()()2021505411f f f =⨯+=，令1x =-得：1(12)(1)f f -+=-，即()()111f f =-，又因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，故()()111f f =，即()211f =，因为()0f x >，所以()11f =.故选：D变式6-3．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()0f x f x ，(5)(5)f x f x -=+，且(1)2022f =，则(2020)(2021)f f -=（ ） A ．2026B ．4044C ．2022-D ．4044-【答案】C【解析】【分析】 根据题意可知函数是奇函数，进而推导()f x 的周期，然后求出函数值即可.【详解】()()0f x f x -+=,()()f x f x ∴-=-,()f x ∴是奇函数，x R ∈,(0)=0f ∴.(5)(5)f x f x -=+,()(10)f x f x ∴-=+, 由()()()(10)f x f x f x f x ,()(20)f x f x ∴=+，()f x ∴的周期为20T =.0(1)202()20=f f =，.(0)(1)020222022(2020)(2021)f f f f ∴-=-=--=. 故选：C变式6-4．函数()f x 定义域为R ，且,(4)()2(2)x R f x f x f ∀∈+=+，若函数(1)f x +的图象关于1x =-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（ ） A ．3B ．-3C ．6D ．-6【答案】A【解析】【分析】由题设可知()f x 为偶函数且(2)(2)2(2)f f f =-+，即可得(2)0f =，易知()f x 是周期为4的函数，利用周期性求(2021)f 即可.【详解】①(1)f x +的图象关于1x =-对称，①()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又(2)(2)2(2)f f f =-+，即(2)(2)0f f +-=，而(2)(2)f f =-，①(2)(2)0f f =-=，故,(4)()x R f x f x ∀∈+=， ①()f x 是周期为4的函数， 综上，(2021)(45051)(1)3f f f =⨯+==. 故选：A。

对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中是一个非常重要的概念，它可以让我们轻松地解决一些看似复杂的问题，并且在实际生活中也有很多应用。

以下是一些对称性在高中数学中的应用举例：1. 函数的奇偶性：函数在地球上的任何一个点都具有对称性。

如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数；如果一个函数满足 f(-x) = f(x)，那么它是偶函数。

奇偶性使我们能够确定曲线在原点处的对称性，从而可以轻松地求出其它点的函数值。

2. 点、线、面的对称性：在几何学中，对称性是非常重要的，因为它能够使我们通过已知的几何图形来推断其它几何图形的性质。

例如：如果一条直线是平面的对称轴，那么它将把平面分成两个等面积的部分；如果一个点是一个圆的中心，那么这个圆将对称于这个点。

通过这些对称性，我们可以轻松地计算出椭圆、双曲线等几何图形的性质。

3. 正多边形的对称性：正多边形具有很强的对称性，因为它们可以以不同的方式被划分成多个等面积的部分。

对称性使我们能够将正多边形划分成等角的三角形，进而计算出其各个角度的大小。

例如：一个正五边形可以被划分成五个等角三角形，其中每个角的大小为 108 度。

4. 二次函数的轴对称性：二次函数在定义域内具有轴对称性，这意味着函数曲线相对于其轴是对称的。

这个对称性使我们能够轻松地计算出二次函数的顶点坐标、对称轴方程等性质。

例如：一个二次函数 f(x) = ax^2 +bx+c 的顶点坐标为 (-b/2a,f(-b/2a))，并且对称轴的方程为 x=-b/2a。

5. 中心对称图形的性质：中心对称图形将保持图形的形状和大小不变，只是将其反转。

这个对称性使我们能够轻松地计算出相似形的面积比和周长比。

例如：当一个图形沿着中心对称轴被翻转时，它的面积和周长会保持不变。

高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.fa+x = fa-x ==> fx 关于x=a对称2.fa+x = fb-x ==> fx 关于x=a+b/2 对称3.fa+x = -fa-x ==> fx 关于点a,0对称4.fa+x = -fa-x + 2b ==> fx 关于点a,b对称5.fa+x = -fb-x + c ==> fx 关于点a+b/2 ,c/2 对称6.y = fx 与y = f-x 关于x=0 对称7.y = fx 与y = -fx 关于y=0 对称8.y =fx 与y= -f-x 关于点0,0 对称例1：证明函数y = fa+x 与y = fb-x 关于x=b-a/2 对称;解析求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解;证明：假设任意一点Pm,n在函数y = fa+x 上,令关于x=t 的对称点Q2t – m,n, 那么n =fa+m = f b – 2t – m∴b – 2t =a , ==> t = b-a/2 ,即证得对称轴为x=b-a/2 .例2：证明函数y = fa - x 与y = fx – b 关于x=a + b/2 对称;证明：假设任意一点Pm,n在函数y = fa - x 上,令关于x=t 的对称点Q2t – m,n, 那么n =fa-m = f 2t – m – b∴2t - b =a , ==> t = a + b/2 ,即证得对称轴为x=a + b/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零,若：1.函数y = fx 存在fx=fx + a ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = fx 存在fa + x = fb + x ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = fx 存在fx = -fx + a ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = fx 存在fx + a =1/fx ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = fx 存在fx + a = fx + 1/1 – fx ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析;第2点解析：令X=x+a ,fa +x –a = fb +x – a∴fx = fx + b – a ==> T=b – a第3点解析：同理,fx + a = -fx + 2a ……①fx = -fx + a ……②∴由①和②解得fx = fx+2a∴函数最小正周期T=|2a|第4点解析:fx + 2a =1/fx + a ==> fx + a =1/fx + 2a又∵fx + a =1/fx∴fx = fx + 2a∴函数最小正周期T=|2a|第5点解析:∵fx + a = {2 – 1 – fx}/1 – fx = 2/1 – fx – 1∴1 – fx = 2/fx + 1移项得fx = 1 – 2/fx + a + 1那么fx - a = 1 – 2/fx +1,等式右边通分得fx - a = fx – 1/1 + fx ∴1/fx - a = 1 + fx/fx – 1 ,即- 1/fx - a = 1 + fx/1 - fx∴- 1/fx - a = fx + a ,- 1/fx – 2a = fx ==> - 1/fx = fx - 2a ①, 又∵- 1/fx = fx + 2a ②,由①②得fx + 2a = fx - 2a ==> fx = fx + 4a∴函数最小正周期T=|4a|。

高中数学中曲线对称的解法及应用高中数学中，曲线对称是一个重要的概念，它在解决各种数学问题和应用中起着重要作用。

曲线对称不仅仅是一种几何概念，它还涉及到数学中的代数和分析等方面的知识。

在本文中，将详细介绍高中数学中曲线对称的概念、求解方法及其在数学和实际问题中的应用。

一、曲线对称的概念在高中数学中，曲线对称通常是指图形关于某条直线、某个点或者某个轴对称。

关于直线对称是常见的对称形式之一，它是指如果一个图形关于一条直线对称，那么这条直线就是这个图形的对称轴。

还有关于点对称和轴对称等不同的对称形式。

具体来说，对于平面内的二维图形，如果存在一条直线，可以将图形沿着这条直线对折，使得对折前后的图形完全重合，那么就称这个图形关于这条直线对称。

对称轴是指图形的对称中心线，通过对称轴对图形的每个点进行对称变换，使得对称前后的图形完全一致。

对于高中数学中的曲线对称问题，主要涉及到如何求解曲线的对称轴以及如何利用对称性质解决各种数学问题。

一般来说，求解曲线的对称轴可以通过以下几种方法：1. 根据图形的特点确定对称轴：对于一些特殊形状的图形，可以直接通过观察和分析确定其对称轴。

对于圆、椭圆等图形，其对称轴一般是通过图形的几何性质来确定的。

2. 利用对称性质进行分析：对于复杂的图形，可以利用图形的对称性质来简化求解过程。

通过观察图形中的对称性质，可以找到图形的对称轴或者利用对称性质进行简化计算。

3. 使用数学方法求解：对于一些抽象的曲线，可以通过数学方法进行求解。

可以利用代数方程和坐标变换等方法求解曲线的对称轴。

在实际的解题过程中，常常需要结合这些方法进行综合考虑和分析，以便快速准确地求解曲线的对称轴和利用对称性质解决问题。

在高中数学中，曲线对称的应用非常广泛，不仅仅是在几何学中，还在代数学、函数论、微积分等各个领域都有重要的应用。

具体来说，曲线对称可以在以下几个方面得到应用：1. 几何问题中的应用：在几何学中，曲线对称可以用来求解图形的对称轴、判断图形的性质，证明定理等。

高中数学一直是高中生最难掌握的一门学科。

除了平时的大量练习，掌握学习方法之外，学生还应该多多总结，掌握一些解题方法。

对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。

希望对高考生有所帮助。

一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。

(- )=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1,5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。

解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5,0)，B关于y轴对称点B′为(-1,5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0｀C(0, )｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。

1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象；保留x轴上方图象，将x 轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。

高中数学中曲线对称的解法及应用高中数学中，曲线对称是一个重要的概念，它在数学中具有广泛的应用，并且在几何、代数等领域都有涉及。

本文将从曲线对称的定义、性质、解法和应用等方面进行详细介绍。

一、曲线对称的基本概念1.1 曲线对称的定义曲线对称是指曲线关于某条直线、某个点或者某个平面对称的性质。

如果我们能够找到某条直线、某个点或者某个平面，使得曲线关于这条直线、这个点或者这个平面对称，那么我们就可以说这条曲线是对称的。

1.2 曲线对称的种类在数学中，曲线对称主要分为以下几种类型：(1) 关于x轴对称；(2) 关于y轴对称；(3) 关于原点对称；(4) 关于直线y=x对称；(5) 关于直线y=-x对称；(6) 关于具体点对称；(7) 关于具体平面对称。

不同类型的曲线对称需要采用不同的方法来进行解答和应用。

二、曲线对称的性质2.1 曲线对称性质(1) 如果一个曲线关于x轴对称，那么曲线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于x轴对称的对称点坐标为(x,-y)；(2) 如果一个曲线关于y轴对称，那么曲线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于y轴对称的对称点坐标为(-x,y)；(3) 如果一个曲线关于原点对称，那么曲线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于原点对称的对称点坐标为(-x,-y)；(4) 如果一个曲线关于直线y=x对称，那么曲线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于直线y=x对称的对称点坐标为(y,x)；(5) 如果一个曲线关于直线y=-x对称，那么曲线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于直线y=-x对称的对称点坐标为(-y,-x)；(6) 如果一个曲线关于具体点对称，那么曲线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于具体点对称的对称点坐标为(2a-x,2b-y)，其中(a,b)为对称点的坐标；(7) 如果一个曲线关于具体平面对称，那么曲线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于具体平面对称的对称点坐标为(f(x),g(y))，其中f(x)和g(y)为平面对称的函数关系。