浙江省余姚中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题

余姚市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知函数f （x ）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）A ．y=2B ．y=log 3（x+1）C ．y=4﹣D ．y=2． 设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有2')()(2x x xf x f >+，则不等式0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为A 、)2012,(--∞ B 、)0,2012(- C 、)2016,(--∞ D 、)0,2016(- 3． 抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）A ．y=B ．y=2C ．x=D ．y=﹣24． 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75． 已知集合{| lg 0}A x x =≤，1={|3}2B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 6． 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为 A 、1- B 、 C 、32D 、2 7． 已知函数f （x ）=log 2（x 2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ）A ．8B ．5C ．9D ．278． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ） A ．∅ B ．{1，4}C ．MD ．{2，7}9． 已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（a ＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式是（ ）A ．f （x ）=sin （3x+）B ．f （x ）=sin （2x+）C ．f （x ）=sin （x+）D ．f （x ）=sin （2x+）10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（ ）A ．2B ．C ．﹣1D ．以上都不正确11．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）12．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．18C ．D ．二、填空题13．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是 °．15．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 16．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）17．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）18．在△ABC 中，已知=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．三、解答题19．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ） （1）求f （1）的值，（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．20．在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为：A （0，4）；B （﹣3，0），C （1，1） （1）求点C 到直线AB 的距离； （2）求AB 边的高所在直线的方程．21．在正方体1111D ABC A B C D 中,,E G H 分别为111,,BC C D AA 的中点. （1）求证：EG 平面11BDD B ；（2）求异面直线1B H 与EG 所成的角]22．已知向量=（，1），=（cos ，），记f （x ）=．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，讨论函数y=g （x ）﹣k 在的零点个数．23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点P ⎛ ⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆C 上的顶点，过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条直线的斜率 分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．24．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1：为参数），曲线C 2：=1．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB|．余姚市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，函数y=2，y=log3（x+1），y=的值域均含4，即y=4不是它们的渐近线，函数y=4﹣的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），故y=4为函数图象的渐近线，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．2．【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选3．【答案】A【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=，故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．4．【答案】A解析：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=0满足条，0≤k ，S=3，n=1 满足条件1≤k ，S=7，n=2 满足条件2≤k ，S=13，n=3 满足条件3≤k ，S=23，n=4 满足条件4≤k ，S=41，n=5满足条件5≤k ，S=75，n=6 …若使输出的结果S 不大于50，则输入的整数k 不满足条件5≤k ，即k ＜5， 则输入的整数k 的最大值为4． 故选： 5． 【答案】D【解析】由已知得{}=01A x x <?，故AB =1[,1]2，故选D ．6． 【答案】B【解析】如图，当直线m x =经过函数x y 2=的图象 与直线03=-+y x 的交点时，函数x y 2=的图像仅有一个点P 在可行域内， 由230y xx y =⎧⎨+-=⎩，得)2,1(P ，∴1≤m ．7． 【答案】C【解析】解：令log 2（x 2+1）=0，得x=0， 令log 2（x 2+1）=1，得x 2+1=2，x=±1， 令log 2（x 2+1）=2，得x 2+1=4，x=．则满足值域为{0，1，2}的定义域有： {0，﹣1，﹣ }，{0，﹣1， }，{0，1，﹣}，{0，1， }，{0，﹣1，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，﹣，}，{0，1，﹣，}，{0，﹣1，1，﹣，}．则满足这样条件的函数的个数为9．故选：C ．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．8． 【答案】D42541415432【解析】解：∵M ∪N=M ，∴N ⊆M ， ∴集合N 不可能是{2，7}， 故选：D【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．9． 【答案】D【解析】解：由图象知函数的最大值为1，即A=1，函数的周期T=4（﹣）=4×=，解得ω=2，即f （x ）=2sin （2x+φ），由五点对应法知2×+φ=，解得φ=，故f （x ）=sin （2x+）， 故选：D10．【答案】 B【解析】解：模拟执行程序，可得 a=2，n=1执行循环体，a=，n=3满足条件n ≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5 满足条件n ≤2016，执行循环体，a=2，n=7满足条件n ≤2016，执行循环体，a=，n=9 …由于2015=3×671+2，可得：n=2015，满足条件n ≤2016，执行循环体，a=，n=2017不满足条件n ≤2016，退出循环，输出a 的值为． 故选：B ．11．【答案】A解析：抛物线C ：y x 82的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，设P（a，﹣2），B（m，），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），∵，∴2m=﹣a，4=﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A．12．【答案】D【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：故该几何体的表面积为：3×22+3×（）+=，故选：D．二、填空题13．【答案】4．【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），联立直线与抛物线方程消元得：3x2﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．14．【答案】60°°．【解析】解：连结BC1、A1C1，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C，∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角，设正方体的棱长为a，则△AB1C中A1B=BC1=C1A1=a，1∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°，即异面直线A1B与AC所成的角等于60°．故答案为：60°．【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．15．【答案】2【解析】16．【答案】①②④【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．17．【答案】充分不必要【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．18．【答案】．【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．b=2a，∴==．∴cosB=．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），∴f（1）=0；（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），即f（）＜f（6），∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴，解得﹣3＜x＜9，即不等式的解集为（﹣3，9）．20．【答案】【解析】解（1）∵，∴根据直线的斜截式方程，直线AB：，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为；（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为，由直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．21．【答案】（1）证明见解析；（2）90．【解析】（2）延长DB 于M ，使12BM BD =,连结11,,B M HM HB M ∠为所求角.设正方体边长为,则111651011cos 02B M B H AM HM HB M ====∴∠=, 1B H ∴与EG 所成的角为90.考点：直线与平行的判定；异面直线所成的角的计算.【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明、空间中异面直线所成的角的计算，其中解答中涉及到平行四边形的性质、正方体的结构特征、解三角形的相关知识的应用，着重考查了学生的空间想象能力以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中根据异面直线所成的角找到角1HB M ∠为异面直线所成的角是解答的一个难点，属于中档试题. 22．【答案】【解析】解：（1）∵向量=（，1），=（cos ，），记f （x ）=．∴f（x）=cos+=sin+cos+=sin（+）+，∴最小正周期T==4π，2kπ﹣≤+≤2kπ+，则4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z．故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z；（2））∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为：y=g（x）=sin[（x﹣+）]+=sin（﹣）+，∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣）+﹣k，∵x∈[0，]，可得：﹣≤x﹣≤π，∴﹣≤sin（x﹣）≤1，∴0≤sin（x﹣）+≤，∴若函数y=g（x）﹣k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，∴实数k的取值范围是[0，]．∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是0；当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是2；当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是1．【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．23．【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见解析.【解析】试题解析：（1）22PF QO =，∴212PF F F ⊥，∴1c =， 2222221121,1a b c b a b+==+=+， ∴221,2b a ==，即2212x y +=； （2）设AB 方程为y kx b =+代入椭圆方程22212102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，22221,1122A B A B kb b x x x x k k --+==++，11,A B MA MB A B y y k k x x --==，∴()112A B A B A B A B MA MB A BA By x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+==，∴1k b =+代入y kx b =+得：1y kx k =+-所以， 直线必过()1,1--．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x ﹣1）2+y 2=1，由可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．。

余姚中学高三数学期中考试卷（理科实验班）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）．1.设{}{}{},0)()(,0)(,0)(φφφ≠==≠==≠==x g x f x P x g x N x f x M 则集合P 恒满足的关系为()．A.N M P =B.)(N M P ⋃⊆C.φ≠PD.()N M P ⋃=2. “12=a ” 是 “i a a )1(12-+-（R a ∈）为纯虚数”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设()()4,31,1f c f b f a =⎪⎭⎫⎝⎛=-=则()． A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<4．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点且斜率为33的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是()．A ．332 B ．3 C ．2D ．325.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若22a b -=，sin C B =， 则A =()． A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒6.六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是()．A ．130 B ．110C ．140D ．120 7. 已知1,,4,0.x x y x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩满足且目标函数x y +的最大值为7，最小值为1，则a b c a ++=()．A ．2B ．-2C ．3D ．-38．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为()．A ． 12、2B ． 12、 4Ｃ．22、 2 Ｄ． 14、4 9．已知P 、Q 为△ABC 内的两点，且1142AQ AC AB =+，1124AP AC AB =+， 则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为()．Ａ．116 Ｂ． 112 Ｃ．18 Ｄ．316`10. 已知数列}{n a 是一个递增数列，满足*N a n ∈，21n a a n =+，则4a 的值等于 ()．Ａ．8 Ｂ．7 Ｃ． 6 Ｄ．4二、填空题（本大题共７小题，每小题４分，共28分）．11．已知圆22:220C x y ax by +++=（,a b 为正实数）关于直线:20l x y ++=对称，则ab 取值范围是 ▲ ．12．数列}{n a 满足11a =，111111n na a +=+++，则4a ＝ ▲ ．13.在51)x的展开式中系数最大的项为 ▲ ．14．已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，若⊿12PF F 的周长为12，离心率12e =，则此椭圆的标准方程为 ▲ ．15．某五面体的三视图（单位cm ）如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，左视图是直角梯形，部分长度已标出，则此多面体的体积是 ▲ cm 3． 16.任取集合{1，2，3，4，……，10}中的三个不同数1a ，2a ，3a ，且满足21a a -2≥,32a a -3≥，则选取这样的三个数方法种数共有 ▲ .（用数字作答）17．如图，∆ABC 是正三角形，E 、F 分别为线段AB 、AC 上的动点，现将∆AEF 沿EF 折起，使平面AEF ⊥平面BCF ，设λ=AFAE，当AE ⊥CF 时，则=λ ▲ .三、解答题(本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分14分）第15题第17题已知22()3sin cos2sin()122f x x x x xπωωωω=+-+0ω>）的最小正周期为π。

余姚市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.2． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）A B ．12 C ．12- D ． 3． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54． 10y -+=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．60D ．305． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.6． 若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．27． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（2）与（4）D ．（3）与（4）8． 用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 、b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除9． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．￢p 或qD ．p 且￢q10．已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数y=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）A ． =B ．∥C ．D ．二、填空题13．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．14．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．15．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．16．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．17．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.18．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．三、解答题19．已知函数f （x ）=lnx+ax 2+b （a ，b ∈R ）．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m ，总存在实数a ，使函数f （x ）在区间（m ，+∞）上不单调；（Ⅲ）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2＞x 1＞0）是曲线f （x ）上的两点，试探究：当a ＜0时，是否存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于f'（x 0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．20．将射线y=x （x ≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos θ，sin θ）．（Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）若向量=（sin2x ，2cos θ），=（3sin θ，2cos2x ），求函数f （x ）=•，x ∈[0，]的值域．21．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()221ln f x ax a x x =+--，R a ∈．⑴若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1sin 8g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．22．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D （2，0）．（1）求该椭圆的标准方程； （2）设点，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．23．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .24．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}．（1）若p=，求A ∩B ；（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．余姚市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B2． 【答案】D 【解析】试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒=． 考点：余弦的两角和公式. 3． 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线方程为：x=﹣1，∵P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．4． 【答案】C 【解析】10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 5． 【答案】A6．【答案】B【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，可得：，可得a2=b2，c=a，e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．7．【答案】B【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确；∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；故选B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．8．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．9．【答案】C【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．10．【答案】A【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）且3+log23＞4∴f（2+log23）=f（3+log23）=故选A．11．【答案】D【解析】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．12．【答案】D【解析】解：由图可知，，但不共线，故，故选D．【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．二、填空题13．【答案】必要不充分【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故答案为：必要不充分14．【答案】{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣≤y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}={（x，y）|xy＞0且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}故答案为：{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．15．【答案】5【解析】试题分析：'2'=++∴-=∴=．()323,(3)0,5f x x ax f a考点：导数与极值．16．【答案】．【解析】解：因为y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x ＞0时有解，所以3（a ﹣3）x 3+1=0，即a ﹣3＜0，所以此时a ＜3．函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x ）≤0恒成立，即f'（x ）=3x 2﹣2ax ﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．17．【答案】()2212x y -+=或()2212x y ++=【解析】试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入()0,1-得02x =±，则()()2,1,2,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2212x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()2212x y ++=．1考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质．18．【答案】 （，） ．【解析】解：设C （a ，b ）．则a 2+b 2=1，① ∵点A （2，0），点B （0，3）， ∴直线AB 的解析式为：3x+2y ﹣6=0．如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，欲使△ABC 的面积最小，只需线段CF 最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b 时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知得解得…此时，（x＞0）．f'x=0x=1f x f'x（Ⅱ）（x＞0）．（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得，f（x），f'（x）的变化情况如下表：）所以函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．…要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须＞m，即．所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调．…（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．…证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则，易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1．（*）…由，得．…令，，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递增．且，，结合（*）式可得，，．令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，…所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，即成立，从而命题成立．…（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，）．∴tan θ=tan （α+）==，∴由解得，∴点A 的坐标为（，）．（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+cos2x=sin （2x+）由x ∈[0，]，可得2x+∈[，]，∴sin （2x+）∈[﹣，1]，∴函数f （x ）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．21．【答案】⑴2a =⑵11,,64⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭⑶2【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（）在点11f （，（））处的切线方程，代入点211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（），分析可得必有()()215218f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：⑵()()()211'ax x f x x-+=，∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，410{ 610a a -≥∴-≥，得14a ≥；若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，410{ 610a a -≤∴-≤，得16a ≤，综上，实数a 的取值范围为11,,64⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，()max 128g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()min 158f x ∴≥，即()()21521ln 8f x ax a x x =+--≥，由()()()()()222112111'221ax a x ax x f x ax a x x x+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；当0a >时，由()'0f x =，得12x a=或1x =-（舍去）， 当102x a<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当12x a>时，()'0f x >，()f x 单调递增． ()min 11528f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，即117ln 428a a --≥，整理得，()117ln 2228a a -⋅≥， 设()1ln 2h x x x =-，()21102h x x x∴=+>'，()h x ∴单调递增，a Z ∈，2a ∴为偶数，又()172ln248h =-<，()174ln488h =->，24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

浙江省余姚中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．122． 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．3． 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x gB ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.4． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =6A π∠=，则B ∠=（ ）111]A ．4πB ．4π或34πC ．3π或23πD ．3π5． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 6． 若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3||log xx y a =的图象大致是 （ ）【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 7． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ） A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．8． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）A ．14 B ．12C ．D ． 9． 已知集合{}{}2|10,,|03,A x x x R B x x x R =-≥∈=≤<∈，则A B =（ ）A ．{}|13,x x x R <<∈B ．{}|13,x x x R ≤≤∈C ．{}|13,x x x R ≤<∈D ．{}|03,x x x R <<∈ 10．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 11．如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个 12．下列四个命题中的真命题是（ ）A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设某双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .14．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 15．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 16．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018学年度余姚中学高二数学期中考试试卷第一学期命题老师：龚凤 审题老师：朱丽君一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆22132x y +=与轴交于、两点，为椭圆上一动点（不与、重合），则PA PB k k ⋅=（ ▲ ） A.32 B.32- C.23 D.23- 2. 下列命题一定正确的是（ ▲ ）A. 三点确定一个平面B. 依次首尾相接的四条线段必共面C. 直线与直线外一点确定一个平面D. 两条直线确定一个平面 3. 边长为（ ▲ ）A.4B. 1C.D. 8 4. 已知,a b 都是实数，那么“0a b >>”是“22a b >”的（ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ▲ ） A.()1,2 B.()2,3 C.(),1-∞ D.()3,+∞6. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ▲ ） A. //,,//m m n m n βααβ⊂=⇒ B. ,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥C. ,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D. //,//m n m n αα⊂⇒ 7. 一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ．其中正确的个数为（ ▲ ）个A.1B.2C.3D.48. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD N B ==，G 为线段MC 的中点．则下列结论中不正确的是（ ▲ ）A.MC AN ⊥B.//GB 平面AMNC.平面CMN ⊥平面AMND.平面//DCM 平面ABN9. 已知,,A B C 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ▲ ）A.2 B. C. D. 510. 在正方体1111ABCD A BC D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点,M N 分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ▲ ） A. 若15θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 B. 若30θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 C. 若45θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 D. 若60θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知原命题为“若01x <<，则21x <”,写出它的逆否命题形式：___▲___；它是___▲___.(填写”真命题”或”假命题”) ． 12. 某几何体的三视图如右图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于___▲___；表面积等于___▲___.13. 已知椭圆C ：2212x y +=，则其长轴长为___▲___；若为椭圆C 的右焦点，为上顶点，为椭圆C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值___▲___.14. 已知椭圆C :22149x y +=与动直线3:2l y x m =+相交于,A B 两点,则实数的取值范围为___▲___；设弦AB 的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为___▲___.15. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，，二面角S AC B --的余弦值是___▲___. 16. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点.关于原点的对称点为，为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为___▲___. 17. 已知0a >，b R ∈，若对任意的0x >，关于的不等式2(1)(4)0ax x bx -+-≥恒成立，则2b a+的最小值是___▲___.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知条件：实数满足使对数22log (275)t t -+-有意义；条件：实数满足不等式2(3)20t a t a -+++<.（1）若命题p ⌝为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ,90ABC BCD ∠=∠=︒,12PA PD DC CB AB ====,是线段PB 的中点. （1）求证： //EC 平面APD ；（2）求PB 与平面ABCD 所成的角的正切值； （3）求二面角P AB D --的余弦值.20. 设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，以12,F F. （1）求椭圆方程；（2）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于,A C 两点，2l 与椭圆交于,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21. 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥2AB BC CA AP ====，G 是ABC ∆重心，是线段PC 上一点，且CE CP λ=.（1）当//EG 平面PAB 时，求λ的值； （2）当直线CP 与平面ABE所成角的正弦值为7时，求λ的值.22. 如图，已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的离心)P是椭圆上一点。

浙江省余姚中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n αγ=，则//αβC ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥2． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 3． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝844． 已知实数[]4,0x ∈-，[]0,3y ∈，则点(,)P x y 落在区域00240x y y x y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（ ）A ．56B ．12C ．512D ．712【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力．5． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34 B.38 C. 14D. 18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 7． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.8．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．15B．C．15D．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．9． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-210．执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力． 11．若集合,则= ( )ABC D12．两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.14．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()xf x e -<的解集为(0,)+∞；②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ． 15．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .16．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019学年余姚中学高二上学期期中试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. 双曲线2222x y -=的焦点坐标是A. ()1,0±B. ()0,1±C. (0,D.()2. 已知椭圆221168x y +=上的一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点M 到椭圆的另一个焦点的距离等于A. 2B. 4C. 6D. 83. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角45 ，，上底长为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积为A. B. 6C.D. 4. 设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不重合的平面，下列正确的是 ①m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ ②m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ ③//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5. 一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是 A.B. 50πC. D. 200π 6、已知抛物线2:8=C y x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若14=FP FQ ，则=QFA. 6B.52C. 3D. 2 7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①⊥AB EF ；②AB 与CM 所成的角为60︒；③EF 与MN 是异面直线；④ MN CD .其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48.在长方体1111-ABCD A B C D中，11,===AB BC AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BCD9.已知12、F F 分别是双曲线()222210,0-=>>x y a b a b 的左右焦点，以12F F 为直径的圆交渐近线=by x a于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于点Q ，若Q 是线段 1PF 的中点，则该双曲线的离心率为A.B. 1-C.D .1+10.如图，三棱柱111-ABC A B C 满足棱长都相等且1⊥AA 平面ABC ，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设=AE x ，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是A.先增大后减小B. 减小C. 增大D. 先减小后增大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分 11. 双曲线22:14x C y -=的渐近线方程为 ，设双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>经过点()4,1且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为 .12. 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积是 ；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120︒，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ，体积为 .114. 方程112x y ++-=表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为 ，面积为 . 15. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点.若90AMB ∠=︒，则k =16.如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆上一动点，PA ⊥圆O 所在的平面，且2PA PB ==，过点A 作平面PB ⊥，交,PB PC 分别于,E F ，当三棱锥P AEF -体积最大时，tan BAC ∠= .17.已知椭圆22221(0)x ya b a bΓ+=>>：，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点，若椭圆Γ，则a 的取值范围为 .俯视图侧视图正视图B三、解答题：本大题共5小题，共74分18.如图，已知三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，122AB BC PA PC ====，0120ABC ∠=.（I ）证明：PA BC ⊥；（II ）设点E 为PC 的中点，求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.19.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于,M N 两点，线段MN 的长度为1. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 经过定点(0,2)，且与椭圆C 交于,A B 两点，O 为原点，求三角形OAB 面积的最大值.20.已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)A .(1)求抛物线C 的方程； (2)如图，直线MN 与抛物线C 交于,M N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k 和2k ，且123k k +=，求证：直线MN 过定点，并求出定点.21.如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，22BC CD AB ===，PAD ∆是等边三角形，M ，N 分别是BC ，PD 中点. (1)求证：//MN 平面PAB ； (2)若二面角P AD C --的大小为3，求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值.B22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上的不同两点，点(4,0)D -，且满足DA DB λ= ，若31[,]82λ∈，求直线AB 的斜率k 的取值范围.。

2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知椭圆x23+y22=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A. 32B. −32C. 23D. −232.下列命题一定正确的是（）A. 三点确定一个平面B. 依次首尾相接的四条线段必共面C. 直线与直线外一点确定一个平面D. 两条直线确定一个平面3.边长为22的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A. 24B. 1C. 22D. 84.设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知方程(m−1)x2+(3−m)y2=(m−1)(3−m)表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )A. (1,2)B. (2,3)C. (−∞,1)D. (3,+∞)6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A. m//β，m⊂α，α∩β=n⇒m//nB. α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC. α⊥β，m⊥α，n//β⇒m⊥nD. m//α，n⊂α⇒m//n7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ①③8.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A. MC⊥ANB. GB//平面AMNC. 面CMN⊥面AMND. 面DCM//面ABN9.已知A，B，C是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A. 22B. 53C. 74D. 11510.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q为对角面A1BCD1内一动点，点M、N分别在直线AD和AC上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（）A. 若θ=15∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分B. 若θ=30∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分C. 若θ=45∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分D. 若θ=60∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式______，它是______（填写”真命题”或”假命题”）．12.某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于______；表面积等于______．13.已知椭圆C的方程为x22+y2=1，则其长轴长为______；若F为C的右焦点，B为C 的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为______．14.已知椭圆C：x24+y29=1与动直线l：y=32x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为______；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为______．15.在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是33，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是______．16.已知椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[π12，π4]，则椭圆离心率的范围是______．17.已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax-1）（x2+bx-4）≥0恒成立，则b+2a的最小值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知：条件p ：实数t 满足使对数log 2（-2t 2+7t -5）有意义；条件q ：实数t 满足不等式t 2-（a +3）t +a +2＜0（1）若命题￢p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90°，PA =PD =DC =CB =12AB ，E 是PB 的中点，（Ⅰ）求证：EC ∥平面APD ；（Ⅱ）求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）求二面角P -AB -D 的余弦值．20. 设椭圆方程x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），F 1，F 2是椭圆的左右焦点，以F 1，F 2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为 3的正三角形． （I ）求椭圆方程；（II ）过F 1，F 2分别作直线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，设l 1与椭圆交于A ，C 两点，l 2与椭圆交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．21.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为427时，求λ的值．22.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，P（2，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（2，1）作圆C：（x-2）2+y2=r2（0≤r≤12）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意，本题是选择题，选项是常数，所以，选取P为上顶点（0，），则A（-，0），B（，0），所以k PA•k PB==-．故选：D．选取P为上顶点，然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，选择题的解法的应用，可以直接求解，间接求解快速得到结果．2.【答案】C【解析】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．故选：C．根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了确定平面的条件与应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：边长为的正方形，面积为=8，水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为2：1，所以这个正方形直观图的面积为：=2．故选：C．根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积比是常数，求解即可．本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积比问题，牢记结论能够提高解题速度．4.【答案】C【解析】解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=-2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：方程（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m），即，方程（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）表示焦点在y轴上的椭圆，可得m-1＞3-m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．将椭圆方程化为标准方程，由题意可得m-1＞3-m＞0，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，将椭圆方程化为标准方程是解题的关键，考查解不等式的能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；故选：A利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．7.【答案】D【解析】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，故选：D．将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．8.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD-A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD-A'NC'M中，二面角A-MN-C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD-A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C．由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：设椭圆的左焦点F1（-c，0），连接AF1，BF1，CF1，设|CF|=m，由对称性可知：|AF1|=|BF|=4m，由椭圆的定义可知：|AF|=2a-4m，|CF1|=2a-m由AF1∥BF，则AF1⊥AC，则△AF1C中，由|AF1|2+|AC|2=|CF|2，则16m2+（2a-3m）2=（2a-m）2，整理得：m=，在Rt△AF1F中，16m2+（2a-4m）2=（2c）2，将m=，代入解得椭圆的离心率e==，故选：B．利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率．本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：直线DQ与MN所成角的最小值即为直线DQ与平面ABCD的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D 为顶点，母线与轴DD1夹角为90°-θ的圆锥侧面，对角面A1BCD1与底面ABCD夹角为45°故当θ＞45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分当θ=45°，则点Q的轨迹为抛物线的一部分当0°＜θ＜45°，则点Q的轨迹为双曲线的一部分故选：D．直线DQ与MN所成角的最小值即为直线DQ与平面ABCD的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D为顶点，母线与轴DD1夹角为90°-θ的圆锥侧面，结合圆锥曲线的几何定义，可得答案．本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．11.【答案】若x2≥1，则x≤0或x≥1 假命题【解析】解：原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式“若x2≥1，则x≤0或x≥1”，是假命题，故答案为：若x2≥1，则x≤0或x≥1，假命题，直接写出它的逆否命题即可，再判断其真假．本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题38+3+712.【答案】43【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥E-ABCD，其中底面ABCD为边长为2的正方形，顶点E在底面的射影M为CD的中点，将底面放置到水平位置后，如图所示：由侧视图可知棱锥的高EM=，底面ABCD的面积为4，∴棱锥的体积为V=×4×=．侧面ECD的面积为：，侧面EBC和EAD的面积为2，侧面EAB的面积为：，∴棱锥的表面积S=故答案为：，作出直观图，根据三视图得出棱锥的结构特征，代入数据进行计算本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，难度中档．13.【答案】2232【解析】解：椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2a=2；若F为C的右焦点（1，0），B为C的上顶点（0，1），P为C上位于第一象限内的动点（cosα，sinα），则BF=，BF的方程为x+y=1，P到BF的距离为：=≤，其中tan，OBF的面积为：=，三角形BFP面积的最大值为：=，则四边形OBPF的面积的最大值为．故答案为：2；．利用椭圆方程真假求解椭圆的长轴长；求出BF的方程，设出P的坐标，利用顶点坐标的距离以及BF的距离，求出四边形OBPF的面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．14.【答案】（-3，3）y=3x，x∈[-3，3]【解析】解：由，得：18x2+12mx+4m2-36=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△=144m2-4×18（4m2-36）＞0，可得：-3＜m＜3．设弦AB的中点为M（x，y），可得：，可得：x=y．故答案为：（-3，3）；y=3x，x∈[-3，3]．直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．15.【答案】6π【解析】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2-AD2=22-12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×=2，满足SB2=SD2-BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．审题后，二面角S-AC-B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．16.【答案】[22，63]【解析】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围．本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．17.【答案】4【解析】解：根据题意，对于（ax-1）（x2+bx-4）≥0，设f（x）=ax-1，g（x）=x2+bx-4，对于f（x）=ax-1，a＞0，在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，又由不等式（ax-1）（x2+bx-4）≥0⇒或，对于g（x）=x2+bx-4，必有g（）=+-4=0，即b=4a-，则b+=（4a-）+=4a+，又由a＞0，则b+=4a+≥2=4，当且仅当a=时等号成立，即b+的最小值为4；故答案为：4．根据题意，f（x）=ax-1，g（x）=x2+bx-4，由一次函数的性质分析可得在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，进而分析g（）=+-4=0，变形可得b=4a-，据此可得b+=（4a-）+=4a+，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查不等式恒成立问题，注意分析a、b的关系，属于综合题．18.【答案】解：（1）条件p：实数t满足使对数log2（-2t2+7t-5）有意义，则-2t2+7t-5．＞0，解得1＜t＜52，+∞)．若命题￢p为真，∴p为假，∴t∈（-∞，1]∪[52（2）条件q：实数t满足不等式t2-（a+3）t+a+2＜0，化为（t-1）[x-（a+2）]＜0．（*）∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴必然a+2＞1，（*）化为：1＜x＜a+2．且5＜a+2．2．联立解得：a＞12∴实数a的取值范围是a＞1．2【解析】（1）条件p：实数t满足使对数log2（-2t2+7t-5）有意义，kd-2t2+7t-5＞0，解得t 范围，根据命题￢p为真，可得p为假，即可得出t的范围．（2）条件q：实数t满足不等式t2-（a+3）t+a+2＜0，化为（t-1）[x-（a+2）]＜0．根据命题p是命题q的充分不必要条件，可得必然a+2＞1，进而得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且EF=12AB，又∵DC∥AB，DC=12AB，∴EF−//DC，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴EC∥平面ADE．解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，DC=CB=12AB 设AB=2a，则BD=a，在△ABD中，∠DBA=45°，∴AD=a，PH= PD2−DH2= a2−12a2=22a．又∵BD2+AD2=4a2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，∴HB= DH2+DB2=12a2+2a2=102a，∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=PHHB =22a102=55，∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为55．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，HA=22a，又∠HAB=450∴HG=12a，在Rt△PHG中，tan∠PGH=PHHG =22a12a=2，∴二面角P-AB-D的余弦值大小为33．【解析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由此能求出二面角P-AB-D 的余弦值大小．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解（I ）由题设可得：a =2c bc = 3，∵a 2-b 2=c 2， ∴a 2=4，b 2=3，故椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，S =6当直线斜率存在时，设直线l i ：y =k （x +m ），代入椭圆方程得：（3+4k 2）x 2+8k 2mx +4k 2m 2-12=0， 则x 1+x 2=−−8k 2m 3+4k 2，x 1⋅x 2=4k 2m 2−123+4k 2；所以弦长= 1+k 2|x 1−x 2|= 1+k 2 (−8k 2m 3+4k 2)2−44k 2m 2−123+4k2=4 3 2 4k −k m +3(3+4k 2)2，设直线AC 的斜率为k ，不妨设k ＞0， 则|AC |=12(k 2+1)4k +3，|BD |=12(k 2+1)4+3k ，∴S ABCD =12⋅12(k 2+1)4k +3⋅12(k 2+1)4+3k =72(k 2+1)212+25k +12k =72(k 2+1)2k +12(k +1)=72k 222+12=721(k +1k )2+12∈[28849，6)综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[28849，6]． 【解析】（Ⅰ）根据题意，分析可得，计算可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD 面积，综合即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在．21.【答案】解：（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD ，∵AB =BC =AC ，G 是△ABC 重心， ∴G 是CD 的三等分点，且CG =23CD ，∵EG ∥平面PAB ，EG ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面PAB =PD ， ∴EG ∥PD ，∴CECP =CGCD =23，即λ=23．（2）以A 为坐标原点，以AC ，AP 为y 轴，z 轴作空间直角坐标系 A -xyz ，如图所示：则A （0，0，0），B （ 3，1，0），C （0，2，0）， P （0，0，2），E （0，2-2λ，2λ）， ∴CP =（0，-2，2），AB =（ 3，1，0），AE =（0，2-2λ，2λ），设平面ABE 的法向量为n =（x ，y ，z ），则n ⋅AB =0，n ⋅AE =0， ∴ 3x +y =0(2−2λ)y +2λz =0，令x =1可得，y =- 3，z = 3(1−λ)λ． ∴n=（1，- 3， 3(1−λ)λ），∴cos ＜n ，CP ＞=n ⋅CP |n ||CP |=2 3+2 3(1−λ)λ 4+3(1−λ)22⋅2 2= 32 7λ2−6λ+3， ∴当直线CP 与平面ABE 所成角的正弦值为 427时，32 7λ2−6λ+3= 427， ∴2 7λ2−6λ+3= 7，即28λ2-24λ+5=0．解得λ=12或λ=514． 【解析】（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD ，根据线面平行的性质可得EG ∥PD ，从而得出λ的值；（2）建立空间坐标系，求出平面ABE 的法向量，根据夹角公式得出λ的值． 本题考查了线面平行的性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，P （ 2，1）是椭圆E 上一点．∴ e =ca = 222a +1b =1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b = 2， ∴椭圆E 的方程为x 24+y 22=1．（2）由题意：切线PA ，PB 斜率相反，且不为0，令PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ．PA 的方程：y -1=k （x - 2），即y =kx +（1- 2k ），联立 y =kx +(1− 2k )x 24+y 22=1，∴（1+2k 2）x 2+4k （1- 2k ）x +2（1- 2k ）2-4=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有 2+x 1=-4k (1− 2k )1+2k 2，解得x 1=2 2k 2−4k− 21+2k 2，代入y =kx +（1- 2k ），得y 1=−2k2−22k +11+2k 2，同理x 2=2 2k 2+4k− 21+2k ，y 2=−2k2+22k +11+2k ，∴AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4 2k 8k= 22，故AB 的斜率为定值 22．【解析】（1）由椭圆离心率为，P （，1）是椭圆E 上一点．列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E 的方程．（2）令PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ．PA 的方程：y=kx+（1-），联立，得（1+2k 2）x 2+4k （1-）x+2（1-）2-4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理得x 1=，y 1=，同理，y 2=，由此能求出AB 的斜率为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查椭圆方程、切线、韦达定理、直线斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知椭圆=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A．B．﹣C．D．﹣2．下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面3．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A．B．1C．D．84．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB 与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．MC⊥AN B．GB∥平面AMNC．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN9．已知A，B，C是椭圆+=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q为对角面A1BCD1内一动点，点M、N分别在直线AD和AC上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（）A．若θ=15°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分B．若θ=30°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分C．若θ=45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分D．若θ=60°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式，它是（填写”真命题”或”假命题”）．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．13．（6分）已知椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为；若F为C的右焦点，B为C的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为．14．（6分）已知椭圆C：=1与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为．15．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．17．已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0恒成立，则b+的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知：条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义；条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0（1）若命题￢p为真，求实数t的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．20．（14分）设椭圆方程=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的左右焦点，以F1，F2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形．（I）求椭圆方程；（II）过F1，F2分别作直线l1，l2，且l1⊥l2，设l1与椭圆交于A，C两点，l2与椭圆交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2=r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知椭圆=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】选取P为上顶点，然后求解即可．【解答】解：由题意，本题是选择题，选项是常数，所以，选取P为上顶点（0，），则A（﹣，0），B（，0），所以k PA•k PB==﹣．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，选择题的解法的应用，可以直接求解，间接求解快速得到结果．2．下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面【分析】根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．故选：C．【点评】本题考查了确定平面的条件与应用问题，是基础题．3．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A．B．1C．D．8【分析】根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积比是常数，求解即可．【解答】解：边长为的正方形，面积为=8，水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为2：1，所以这个正方形直观图的面积为：=2．故选：C．【点评】本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积比问题，牢记结论能够提高解题速度．4．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．5．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）【分析】将椭圆方程化为标准方程，由题意可得m﹣1＞3﹣m＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m），即，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，将椭圆方程化为标准方程是解题的关键，考查解不等式的能力，属于基础题．6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；故选：A．【点评】本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB 与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③【分析】将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，故选：D．【点评】考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．MC⊥AN B．GB∥平面AMNC．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN【分析】由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C．【点评】本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．9．已知A，B，C是椭圆+=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率．【解答】解：设椭圆的左焦点F1（﹣c，0），连接AF1，BF1，CF1，设|CF|=m，由对称性可知：|AF1|=|BF|=4m，由椭圆的定义可知：|AF|=2a﹣4m，|CF1|=2a﹣m由AF1∥BF，则AF1⊥AC，则△AF1C中，由|AF1|2+|AC|2=|CF|2，则16m2+（2a﹣3m）2=（2a﹣m）2，整理得：m=，在Rt△AF1F中，16m2+（2a﹣4m）2=（2c）2，将m=，代入解得椭圆的离心率e==，故选：B ．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题．10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 为对角面A 1BCD 1内一动点，点M 、N 分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若θ=15°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分B ．若θ=30°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分C ．若θ=45°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分D ．若θ=60°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分【分析】直线DQ 与MN 所成角的最小值即为直线DQ 与平面ABCD 的夹角，则空间中所有满足直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ的点，构成一个以D 为顶点，母线与轴DD 1夹角为90°﹣θ的圆锥侧面，结合圆锥曲线的几何定义，可得答案． 【解答】解：直线DQ 与MN 所成角的最小值即为直线DQ 与平面ABCD 的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D为顶点，母线与轴DD1夹角为90°﹣θ的圆锥侧面，对角面A1BCD1与底面ABCD夹角为45°故当θ＞45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分当θ=45°，则点Q的轨迹为抛物线的一部分当0°＜θ＜45°，则点Q的轨迹为双曲线的一部分故选：D．【点评】本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式若x2≥1，则x≤0或x≥1，它是假命题（填写”真命题”或”假命题”）．【分析】直接写出它的逆否命题即可，再判断其真假．【解答】解：原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式“若x2≥1，则x ≤0或x≥1”，是假命题，故答案为：若x2≥1，则x≤0或x≥1，假命题，【点评】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题12．（6分）某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．【分析】作出直观图，根据三视图得出棱锥的结构特征，代入数据进行计算【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥E﹣ABCD，其中底面ABCD为边长为2的正方形，顶点E在底面的射影M为CD的中点，将底面放置到水平位置后，如图所示：由侧视图可知棱锥的高EM=，底面ABCD的面积为4，∴棱锥的体积为V=×4×=．侧面ECD的面积为：，侧面EBC和EAD的面积为2，侧面EAB的面积为：，∴棱锥的表面积S=故答案为：，【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，难度中档．13．（6分）已知椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2；若F为C的右焦点，B为C的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为．【分析】利用椭圆方程真假求解椭圆的长轴长；求出BF的方程，设出P的坐标，利用顶点坐标的距离以及BF的距离，求出四边形OBPF的面积的最大值．【解答】解：椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2a=2；若F为C的右焦点（1，0），B为C的上顶点（0，1），P为C上位于第一象限内的动点（cosα，sinα），则BF=，BF的方程为x+y=1，P到BF的距离为：=≤，其中tan，OBF的面积为：=，三角形BFP面积的最大值为：=，则四边形OBPF的面积的最大值为．故答案为：2；．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．14．（6分）已知椭圆C：=1与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为（﹣3，3）；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为y=3x，x∈[﹣3，3] ．【分析】直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．【解答】解：由，得：18x2+12mx+4m2﹣36=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△=144m2﹣4×18（4m2﹣36）＞0，可得：﹣3＜m＜3．设弦AB的中点为M（x，y），可得：，可得：x=y．故答案为：（﹣3，3）；y=3x，x∈[﹣3，3]．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．15．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．【点评】本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|A F′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．17．已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0恒成立，则b+的最小值是4．【分析】根据题意，f（x）=ax﹣1，g（x）=x2+bx﹣4，由一次函数的性质分析可得在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，进而分析g（）=+﹣4=0，变形可得b=4a﹣，据此可得b+=（4a﹣）+=4a+，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，对于（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0，设f（x）=ax﹣1，g（x）=x2+bx﹣4，对于f（x）=ax﹣1，a＞0，在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，又由不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0⇒或，对于g（x）=x2+bx﹣4，必有g（）=+﹣4=0，即b=4a﹣，则b+=（4a﹣）+=4a+，又由a＞0，则b+=4a+≥2=4，当且仅当a=时等号成立，即b+的最小值为4；故答案为：4．【点评】本题考查不等式恒成立问题，注意分析a、b的关系，属于综合题．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知：条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义；条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0（1）若命题￢p为真，求实数t的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义，kd﹣2t2+7t﹣5＞0，解得t范围，根据命题￢p为真，可得p为假，即可得出t的范围．（2）条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0，化为（t﹣1）[x﹣（a+2）]＜0．根据命题p是命题q的充分不必要条件，可得必然a+2＞1，进而得出．【解答】解：（1）条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义，则﹣2t2+7t﹣5＞0，解得1＜t＜．若命题￢p为真，∴p为假，∴t∈（﹣∞，1]∪．（2）条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0，化为（t﹣1）[x﹣（a+2）]＜0．（*）∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴必然a+2＞1，（*）化为：1＜x＜a+2．且＜a+2．联立解得：a．∴实数a的取值范围是a．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且，又∵，∴，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴EC∥平面ADE．解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，设AB=2a，则，在△ABD中，∠DBA=45°，∴，．又∵BD2+AD2=4a2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，∴，∴在Rt△PHB中，，∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由，又，在Rt△PHG中，，∴二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（14分）设椭圆方程=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的左右焦点，以F1，F2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形．（I）求椭圆方程；（II）过F1，F2分别作直线l1，l2，且l1⊥l2，设l1与椭圆交于A，C两点，l2与椭圆交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得，计算可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD面积，综合即可得答案．【解答】解（I）由题设可得：，∵a2﹣b2=c2，∴a2=4，b2=3，故椭圆方程为；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，S=6当直线斜率存在时，设直线l i：y=k（x+m），代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2mx+4k2m2﹣12=0，则；所以弦长==，设直线AC的斜率为k，不妨设k＞0，则，，∴=综上，四边形ABCD面积的取值范围是．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．【分析】（1）取AB的中点D，连结PD，CD，根据线面平行的性质可得EG∥PD，从而得出λ的值；（2）建立空间坐标系，求出平面ABE的法向量，根据夹角公式得出λ的值．【解答】解：（1）取AB的中点D，连结PD，CD，∵AB=BC=AC，G是△ABC重心，∴G是CD的三等分点，且CG=CD，∵EG∥平面PAB，EG⊂平面PCD，平面PCD∩平面PAB=PD，∴EG∥PD，∴，即λ=．（2）以A为坐标原点，以AC，AP为y轴，z轴作空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，2﹣2λ，2λ），∴=（0，﹣2，2），=（，1，0），=（0，2﹣2λ，2λ），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令x=1可得，y=﹣，z=．∴=（1，﹣，），∴cos＜，＞===，∴当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，=，∴2=，即28λ2﹣24λ+5=0．解得λ=或λ=．【点评】本题考查了线面平行的性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2=r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．【分析】（1）由椭圆离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E的方程．（2）令PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．PA的方程：y=kx+（1﹣），联立，得（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1=，y1=，同理，y2=，由此能求出AB的斜率为定值．【解答】解：（1）∵椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为=1．（2）由题意：切线PA，PB斜率相反，且不为0，令PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．PA的方程：y﹣1=k（x﹣），即y=kx+（1﹣），联立，∴（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有=﹣，解得x1=，代入y=kx+（1﹣），得y1=，同理，y2=，∴AB的斜率k AB===，故AB的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查椭圆方程、切线、韦达定理、直线斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。