2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十一)B(浙江省专用)

专题限时集训(二十一)A
[第21讲不等式选讲]
(时间：30分钟)
1．1≤|3－2x|≤3的解集是________．
2．不等式|x＋1|＋|x－2|<k的解集非空，则k的取值范围是________．
3．不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集为________．
4．已知关于x的不等式|x－2|－|x－5|－k>0的解集为R，则实数k的范围是________．
5．若不等式|x－1|＋|x－m|<2m的解集为∅，则m的取值范围为________．
6．若不等式|x＋1|＋|x－2|>5的解集为________．
7．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－a，若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
8．已知关于x的不等式|x＋a|＋|x－1|＋a<2 011(a是常数)的解是非空集合，则a的取值范围是________．
9．若存在实数x满足不等式|x－3|＋|x－5|<m2－m，则实数m的取值范围为________．
10．已知不等式|x ＋1|－|x －2|>a 在x ∈R 有解，则a 的取值范围为________．
11．不等式⎪⎪
⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1≥1的解集是________．
12．若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪
⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．
13．不等式3≤|5－2x|<9的解集为________．
14．函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值为________．。

专题限时集训(六)B[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．在△ABC 中，条件甲：A<B ；条件乙：cos2A>cos2B ，则甲是乙的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若函数y ＝sinx ＋f(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上单调递增，则函数f(x)可以是( )A ．1B ．cosxC ．sinxD ．－cosx3．已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝( )A ．80°B ．70°C ．20°D ．10°4．函数y ＝1－2sin2x －π4是( ) A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数 D ．最小正周期为π2的奇函数5．已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( ) A ．－2425 B ．－1225C ．－45 D.24256．若将函数y ＝Acosx －π6sin ωx ＋π6(A>0，ω>0)的图像向左平移π6个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知f(x)＝sinx ，x ∈R ，g(x)的图像与f(x)的图像关于点π4，0对称，则在区间[0，2π]上满足f(x)≤g(x)的x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 B.⎣⎡⎦⎤3π4，7π4 C.⎣⎡⎦⎤π2，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π4，3π2 8．设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在0，π2 B ．f(x)在π4，3π4上单调递减 C ．f(x)在0，π2上单调递增 D ．f(x)在π4，3π4上单调递增 9．函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图像如图6－3所示，设P 是图像的最高点，A ，B 是图像与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )图6－3A ．8 B.18 C.87 D.7810．已知m sin α＝n cos α，cos2αm2＋sin2αn2＝10cos2α3n2，则sin2α－cos2α的值为________． 11．已知π2<β<α<3π4，cos (α－β)＝1213，sin (α＋β)＝－35sin α＋cos α＝________． 12．若2sin2α＋sin2β＝3sin α，则sin2α＋sin2β的取值范围为________．13．已知函数f(x)＝sin2x ＋π4cos φ＋cos2x ＋π4sin φ(其中x ∈R ，0<φ<π)的图像关于直线x ＝π6对称． (1)求φ的值； (2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值．14．已知向量p ＝(－cos2x ，a)，q ＝(a ，2－3sin2x)，函数f(x)＝p·q －5(a ∈R ，a≠0)．(1)求函数f(x)(x ∈R)的值域；(2)当a ＝2时，若对任意的t ∈R ，函数y ＝f(x)，x ∈(t ，t ＋b]的图像与直线y ＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值(不必证明)，并求函数y ＝f(x)在[0，b]上的单调递增区间．15．已知函数f(x)＝2cosx ＋π3sinx ＋π3－3cosx ＋π3. (1)求f(x)的值域和最小正周期； (2)若对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6，m []f （x ）＋3＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围．。

专题限时集训(一)A【基础演练】1．A [解析] 依题意得P ＝{x ∈Z|x2<2}＝{－1，0，1}，故∁UP ＝{2}． 2．D [解析] 依题意得A ＝{－1，0，1}，因此集合A 的子集个数是23＝8. 3．B [解析] 根据特称命题的否定得命题綈p 应为：任意x ∈0，π2，sinx ≠12.4．B [解析] 因为当a·b>0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；又命题q 是假命题，例如f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x≤0，－x ＋2，x>0.综上可知，“p 或q”是假命题．【提升训练】5．B [解析] 由x －2x ＋3<0得－3<x<2，即M ＝{x|－3<x<2}；由|x －1|≤2得－1≤x≤3，即N ＝{x|－1≤x≤3}．所以M∩N ＝[－1，2)．6．B [解析] 依题意p 且q 为真命题，则p ，q 都为真命题．若p 为真命题，则m<0；若q 为真命题，则m≥－2.所以p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围为[－2，0)．7．B [解析] 当c ＝－1时，由函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x≥1，x －1，x<1的图像可以得出其是增函数；反之，不一定成立，如取c ＝－2.所以“c ＝－1”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件．8．A [解析] 由“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”得2lgy ＝lgx ＋lgz ，则有y2＝xz(x>0，y>0，z>0)，y 是x ，z 的等比中项；反过来，由“y 是x ，z 的等比中项”不能得到“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”，例如y ＝1，x ＝z ＝－1.于是，“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件．9．C [解析] 命题p 等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a<－12；若p 假q 真，则－4<a<4.故实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．10．任意x ∈R ，x>1且x2≤4 [解析] 因为特称命题p ：存在x0∈M ，p(x0)的否定为綈p ：任意x ∈M ，綈p(x)，所以题中命题的否定为“任意x ∈R ，x>1且x2≤4”．11．{5，6} [解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B ∩(∁UA)＝{5，6}．12．①④ [解析] 对于①，“存在x0∈R ，2x0>3”的否定是“任意x ∈R ，2x ≤3”，所以①正确；对于②，注意到sin π6－2x ＝cos2x ＋π3，因此函数y ＝sin2x ＋π3sin π6－2x ＝sin2x ＋π3²cos2x ＋π3＝12sin4x ＋2π3，其最小正周期为2π4＝π2，所以②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x ＝x0处有极值，则f′(x 0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x ＝x0处无极值，则f′(x 0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，f(x)无极值但当x0＝0时，f′(x 0)＝0，故③不正确；对于④，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ，所以④正确．综上所述，其中正确的说法是①④. 专题限时集训(一)B 【基础演练】1．C [解析] 依题意得∁RA ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{y|y≥0}，所以(∁R A)∩B ＝{x|0≤x≤1}． 2．A [解析] 依题意得M ＝{x|x≥－a}，N ＝{x|1<x<3}，则∁UN ＝{x|x≤1，或x≥3}．又M∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x≥3}， 所以－a ＝1，求得a ＝－1.3．C [解析] 由p ∨q 为真，得p ，q 至少一个为真，此时不能得綈p 为假；由綈p 为假，得p 为真，此时p ∨q 为真．因此“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的必要不充分条件．故选C. 4．D [解析] 对于A ，命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此选项A 不正确；对于B ，由x ＝－1得x2－5x －6＝0，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分条件，选项B 不正确；对于C ，命题“存在x0∈R ，使得x20＋x0－1<0”的否定是：“任意x ∈R ，使得x2＋x －1≥0”，因此选项C 不正确；对于D ，命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”是真命题，因此它的逆否命题也为真命题，选项D 正确． 【提升训练】5．A [解析] 依题意得A ＝{x|－5<x<6}．由cos πx 3＝12得πx 3＝2k π±π3，即x ＝6k±1，k∈Z.令－5<6k ＋1<6得－1<k<56.又k ∈Z ，则k ＝0，故x ＝1；令－5<6k －1<6得－23<k<76，又k∈Z ，则k ＝0或k ＝1，故x ＝－1或x ＝5.于是，A∩B ＝{－1，1，5}．6．D [解析] 因为任意x ∈R ，2x2＋2x ＋12＝2x ＋122≥0，所以p 为假命题；当x ＝3π4时，sin 3π4－cos 3π4＝22＋22＝2，所以q 为真命题，则綈q 是假命题．7．C [解析] 依题意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x ＋b2，由函数f(x)是偶函数，得a·b ＝0，又a ，b 为非零向量，所以a ⊥b ；反过来，由a ⊥b 得a·b ＝0，f(x)＝a2x2＋b2，函数f(x)是偶函数．综上所述，“函数f(x)＝(ax ＋b)2为偶函数”是“a ⊥b”的充要条件．8．B [解析] 注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B)的个数是4.9．C [解析] 依题意得f(4＋x)＝f(x)＝f(－x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．因此，当f(0)<0时，不能得到函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点；反过来，当函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点时，结合该函数的性质分析其图像可知，此时f(0)<0.综上所述，f(0)<0是函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点的必要不充分条件．10．ab ＝a2＋b2 [解析] 由A∩B 只有一个元素知，圆x2＋y2＝1与直线x a －yb ＝1相切，则1＝aba2＋b2，即ab ＝a2＋b2. 11．必要不充分 [解析] 设向量a ，b 的夹角为θ，则由题意知，当a·b ＝|a|·|b|cos θ>0时，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2；若a 与b 的夹角为锐角，即θ∈0，π2.因为⎝⎛⎭⎫0，π2 ⎣⎡⎭⎫0，π2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．12．(－∞，－1]∪[0，＋∞) [解析] 若对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16<a<0；若对于任意实数x ，都有x2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a2－4<0，即－1<a<1.于是命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是真命题时有a ∈(－1，0)，则命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是假命题时a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 专题限时集训(二)A 【基础演练】1．D [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log3x ≠0，解得x>0且x≠1，故函数定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图像．3．C [解析] 依题意，因为5≥4，4≥4，所以f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)，而3<4，所以f(3)＝23＝8.4．B [解析] 因为3a ＝5b ＝A ，所以a ＝log3A ，b ＝log5A ，且A>0，于是1a ＋1b ＝logA3＋logA5＝logA15＝2，所以A ＝15. 【提升训练】 5．B [解析] 由loga2<0得0<a<1，f(x)＝loga(x ＋1)的图像是由函数y ＝logax 的图像向左平移1个单位得到的，故为选项B 中的图像．6．A [解析] 由条件知，0<a<1，b<－1，结合选项，函数g(x)＝ax ＋b 只有A 符合要求． 7．D [解析] 依题意得，方程f(x2－2x －1)＝f(x ＋1)等价于方程x2－2x －1＝x ＋1或x2－2x －1＝－x －1，即x2－3x －2＝0或x2－x ＝0，因此所有解之和为3＋1＝4. 8．A [解析] 依题意，f(27)＝11＋2713＝11＋3＝14，则f(f(27))＝f 14＝⎪⎪⎪⎪log414－1－2＝|－1－1|－2＝0.9．B [解析] 由f(x ＋3)＝－1f （x ），得f(x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f(x)，知6为该函数的一个周期，所以f(107.5)＝⎝⎛⎭⎫6³18－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－1f ⎝⎛⎭⎫52＝－1f ⎝⎛⎭⎫－52＝－1－10＝110. 10．C [解析] 当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x －1)＋(1－2－x)＝0；当x<0时，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x －1)＝0；当x ＝0时，f(0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f(－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增． 11．－12 [解析] 依题意，f(m)＝12，即em －1em ＋1＝12.所以f(－m)＝e －m －1e －m ＋1＝1－em 1＋em ＝－em －1em ＋1＝－12.12.⎣⎡⎭⎫32，3 [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a>0，a>1，（3－a ）·1－a≤loga1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a<3，a>1，a≥32，解得32≤a<3.13．②③④ [解析] 根据单函数的定义可知故命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题． 专题限时集训(二)B 【基础演练】1．C [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，1－lg （x ＋2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x ＋2≤10，解得－2<x≤8，故函数定义域为(－2，8]．2．B [解析] y ＝－1x 是奇函数，A 错误；y ＝e|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y ＝－x2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cosx 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误．3．C [解析] 依题意，由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(1＋x)， 即函数f(x)的对称轴为直线x ＝1，结合图形可知f 12<f 13<f(0)＝f(2)．4．C [解析] 由f(x)·g(x)为偶函数排除①④，当x→＋∞时，f(x)·g(x)→－∞，排除②，故为③.【提升训练】5．C [解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0，画出函数f(x)的图像，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．6．D [解析] 依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3. 7．B [解析] 依题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，即30－2×0＋a ＝0，求得a ＝－1.又当x<0，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(3－x ＋2x ＋a)＝－3－x －2x ＋1，于是f(－2)＝－32－2×(－2)＋1＝－4. 8．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx →1，当x→π时，x sinx →＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图像．9．D [解析] 依题意得，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，－x ＋1，0<x<2，x －3，x≥2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x－1)和y ＝t(|t|<1)的图像(如图)，由图像知方程f(x －1)＝t(|t|<1)所有根的和s 的取值范围是(2，4)．10．8 [解析] 依题意，若a>0，则f(a)＝log2a ＝3，求得a ＝8；若a≤0，则f(a)＝－2a ＝3，此时无解．于是a ＝8.11．－14 [解析] 由对任意t ∈R ，都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)，进而得到f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，即函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f －32＝f 12＝－14.所以f(3)＋f －32＝0＋－14＝－14.12．①②④ [解析] 依题意，令x ＝－2得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，所以①正确；根据①可得f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，由于偶函数的图像关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)图像的一条对称轴，所以②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8，10]上单调递减，所以③不正确；由于函数f(x)的图像关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8，所以④正确．13．②④ [解析] 对于①，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x ＋sinx ≥x －1，因此存在函数g(x)＝x －1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④. 专题限时集训(三) 【基础演练】1．B [解析] 依题意，因为f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－12＝1－12＝12>0，所以函数f(x)的零点x0∈(1，2)．2．B [解析] 依题意，由所给出的函数图像可求得函数解析式为h ＝20－5t(0≤t≤4)，对照选项可知图像应为B.故选B.3．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v ＝t2－12满足．故选C.4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝3cos π2x 和y ＝log2x ＋12的图像，可得交点个数为3.【提升训练】5．B [解析] 分析选项中所给图像，只有B 两侧的函数值是同号的，所以不能用二分法求解．故选B.6．B [解析] 记F(x)＝x3－12x －2，则F(0)＝0－12－2＝－4<0，F(1)＝1－12－1＝－1<0，F(2)＝8－120＝7>0，所以x0所在的区间是(1，2)．故选B.7．C [解析] 设CD ＝x ，依题意，得S ＝x(16－x)(4<x<16－a)，所以Smax ＝f(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧64（0<a≤8），a （16－a ）（8<a<12），对照图像知，C 符合函数模型对应的图像．故选C. 8．C [解析] 由已知f(2)＝2a ＋b ＝0，可得b ＝－2a ，则g(x)＝－2ax2－ax ，令g(x)＝0得x ＝0或x ＝－12，所以g(x)的零点是0或－12，故选C.9．D [解析] 由对任意的x ∈R 都有f(x ＋1)＝f(x －1)知f(x)＝f(x ＋2)，即函数y ＝f(x)的周期为2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x)(x ∈[－1，3])和y ＝m(x ＋1)的图像(如图)，要使函数g(x)＝f(x)－mx －m 恰有四个不同零点，则0<m≤14.10．3 [解析] 由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3，4)内，由此可得k ＝3.故填3.11．(0，1) [解析] 画出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x>0，－x2－2x ，x≤0的图像(如图)，由函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，结合图像得0<m<1.故填(0，1)．12．解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.∴－56<m<－12.(2)抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m2－4（2m ＋1）≥0，f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，0<－m<1，得－12<m≤1－ 2.(这里0<－m<1是因为对称轴x ＝－m 对应的－m 应在区间(0，1)内过) 13．解：(1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x2＋1＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎤0，12，即t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. (2)当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋23， 则g(t)＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a<t≤12.∵g(t)在[0，a]上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a ，12上单调递增， 且g(0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g(0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14. 故M(a)＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a≤14，g （0），14<a≤12，即M(a)＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a≤14，3a ＋23，14<a≤12.∴当且仅当a≤49时，M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．14．解：(1)当m ＝2，x ∈[1，2]时， f(x)＝x·(x －1)＋2＝x2－x ＋2＝x －122＋74.∵函数y ＝f(x)在[1，2]上单调递增，∴f(x)max ＝f(2)＝4，即f(x)在[1，2]上的最大值为4.(2)函数p(x)的定义域为(0，＋∞)，函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解，令h(x)＝lnx －x|x －1|. 当x ∈(0，1]时，h(x)＝x2－x ＋lnx.∵h ′(x)＝2x ＋1x －1≥22－1>0当且仅当2x ＝1x 时取“＝”，∴函数h(x)在(0，1]上是增函数，∴h(x)≤h(1)＝0.当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x ＋lnx.∵h′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x2＋x ＋1x ＝－（x －1）（2x ＋1）x <0，∴函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)<h(1)＝0，∴方程m ＝lnx －x|x －1|有解时，m≤0， 即函数p(x)有零点时，m 的取值范围为(－∞，0]． 专题限时集训(四)A 【基础演练】1．B [解析] 对于B ，由a3>b3知a>b ，而ab>0，由不等式的倒数法则知1a <1b .故选B.2．D [解析] 由1x <12，得1x －12<0，即2－x 2x <0，于是不等式转化为x(x －2)>0，解得x<0或x>2.故选D.3．B [解析] a·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ≥29x ²3y ＝232x ＋y ＝232＝6(当2x ＝y ＝1时取等号)．4．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－2，2)时，截距z 取得最小值，即zmin ＝2³(－2)＋2＝－2.【提升训练】5．A [解析] 依题意，由a ＋d ＝b ＋c 得a2＋2ad ＋d2＝b2＋2bc ＋c2；由|a －d|<|b －c|得a2－2ad ＋d2<b2－2bc ＋c2.于是得bc<ad.故选A.6．A [解析] 依题意，a2<1＋x 对任意正数x 恒成立，则a2≤1，求得－1≤a≤1.7．C [解析] 依题意，当x>0时，不等式为lnx ≤1，解得0<x≤e ；当x≤0时，不等式为ex ≤1，解得x≤0.所以不等式的解集为(－∞，e]．故选C.8．A [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，且A(2，0)，B(0，1)，C(2，1)，于是，S ＝12³2³1＝1.故选A.9．B [解析] 由a>0，b>0且直线x －y ＝－1与2x －y ＝2的交点为(3，4)，得当x ＝3，y ＝4时，z 取得大值，3a ＋4b ＝7，所以3a ＋4b ＝3a ＋4b ²3a ＋4b 7＝97＋167＋127b a ＋a b ≥257＋127³2b a ²a b ＝257＋247＝7. 10．(1，＋∞) [解析] 依题意，当a ＝0时，不成立；当a≠0时，要使不等式ax2＋2x ＋a>0的解集为R ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝4－4a2<0，解得a>1.故填(1，＋∞)．11．8 [解析] 依题意，设货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v ＋16×v202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ²16v400＝216＝8.故填8. 12．8 [解析] 依题意，函数y ＝a2x －4＋1(a>0且a≠0)过定点A(2，2)，又A 在直线x m ＋yn ＝1，所以2m ＋2n ＝1.于是m ＋n＝2m ＋2n (m ＋n)＝4＋2n m ＋2mn≥4＋22n m ²2mn＝8. 13.⎣⎡⎦⎤34，43 [解析] 根据指数函数的性质，可知函数f(x)＝mx ＋1＋1(m>0，m≠1)恒过定点(－1，2)．将点(－1，2)代入2ax －by ＋14＝0，可得a ＋b ＝7.由于(－1，2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a2＋b2≤25.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝7，a2＋b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.这说明点(a ，b)在以A(3，4)和B(4，3)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34，43.专题限时集训(四)B【基础演练】1．D [解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D.2．D [解析] ∵am ＋bn ＋c<0，b<0，∴n>－a b m －cb .∴点P 所在的平面区域满足不等式y>－a b x －cb，a>0，b<0.∴－ab>0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方．3．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x2＋y2＋2xyxy ≥2xy ＋2xyxy＝4.故选D.4．D [解析] 依题意，不等式f(x0)>1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x0≤0，12x0>1或⎩⎨⎧x0>0，x0>1，解得x0<0或x0>1.故选D.【提升训练】5．C [解析] 因为0<x<1，所以1＋x>2x ＝4x>2x ，所以只需比较1＋x 与11－x 的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x2－11－x ＝x2x －1<0，所以1＋x<11－x.故选C.6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0的两根，且a<0，则⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x2＋bx ＋a<0即是2x2－2x －12<0，解得－2<x<3.故选B.7．C [解析] 依题意，函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图像过点A(3，7)，则a ＝4.于是，f(x)＝x＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6.故选C.8．A [解析] 作出满足条件的可行域，由图可知，当z ＝x ＋ay ，取得最大值的最优解有无数个时，－1a ＝－2，解得a ＝12.于是目标函数z ＝x ＋12y 经过点(1，2)时，z 得最小值为2.故选A.9．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x2＋y2≤4.由图形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12³π³22＝2π.10．k ≤2 [解析] 依题意，不等式x2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，则x2－1>k(x －1)对x ∈(1，2)恒成立，所以k<x ＋1对x ∈(1，2)恒成立，即k≤1＋1＝2.11．6 [解析] 如图，依题意，S ＝12²2a ²a ＝a2＝4，所以a ＝2.分析可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(2，2)时，zmax ＝2×2＋2＝6.12．2＋22 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t ，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t ，所以22t ＋22t －t 2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 tmin ＝2＋22.专题限时集训(五)【基础演练】1．C [解析] 将点(2，3)分别代入曲线y ＝x3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3，2k ＋b ＝3.又k ＝y′|x ＝2＝(3x2－3)|x ＝2＝9，所以b ＝3－2k ＝3－18＝－15.故选C.2．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2＋2x ＋m ，因为f(x)是R 上的单调函数，二次项系数a ＝3>0，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥13.3．C [解析] 对f(x)求导得f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，则f(x)在区间[－1，0]上递增，在区间[0，1]上递减，因此函数f(x)的最大值为f(0)＝2.故选C. 4．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝x2＋c ＋(x －2)·2x.又因为f′(2)＝0，所以4＋c ＋(2－2)×4＝0，所以c ＝－4.于是f′(1)＝1－4＋(1－2)×2＝－5.故选A. 【提升训练】5．D [解析] ∵s(t)＝t2＋3t ，∴s′(t)＝2t －3t2，则机器人在t ＝2时的瞬时速度为s′(2)＝2×2－322＝134(m/s)．故选D. 6．B [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝2ax ，因为f(x)在区间(－∞，0)内是减函数，则f′(x)<0，求得a>0，且此时b ∈R.故选B.7．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2－3≥－3，∴f(x)上任意一点P 处的切线的斜率k≥－3，即tan α≥－3， ∴0≤α<π2或2π3≤α<π.8．D [解析] 由于AB 的长度为定值，只要考虑点C 到直线AB 的距离的变化趋势即可．当x 在区间[0，a]变化时，点C 到直线AB 的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S′(x)的图像先是在x 轴上方，再到x 轴下方，再回到x 轴上方，再到x 轴下方，并且函数在直线AB 与函数图像的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D 中的图像符合要求．9．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3mx2＋2nx.依题意⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－m ＋n ＝2，①f′（－1）＝3m －2n ＝－3，②解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以f ′(x)＝3x2＋6x ＝3x(x ＋2)．由此可知f(x)在[－2，0]上递减，又已知f(x)在[t ，t ＋1]上递减，所以[－2，0]⊇[t ，t ＋1]，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－2，t ＋1≤0，解得－2≤t≤－1.故选C.10．(1，e) [解析] 设切点坐标为(x0，y0)，对f(x)＝ex 求导，得f ′(x)＝ex ，所以f′(x 0)＝ex0＝e ，即x0＝1.又y0＝f(x0)＝ex0＝e ，所以切点坐标为(1，e)．11．－13 [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝－3x2＋2ax ，由函数在x ＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a ＝3.于是f(x)＝－x3＋3x2－4，f ′(x)＝－3x2＋6x ，由此可得f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f(m)min ＝f(0)＝－4.又∵f ′(x)＝－3x2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时，f′(n)min ＝f(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.12．－2，23 [解析] ∵f ′(x)＝3x2＋1>0恒成立，∴f(x)是R 上的增函数．又f(－x)＝－f(x)，∴y ＝f(x)是奇函数．由f(mx －2)＋f(x)<0得f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，∴mx －2<－x ，即mx－2＋x<0在m ∈[－2，2]上恒成立．记g(m)＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）<0，g （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x<0，2x －2＋x<0，求得－2<x<23.13．解：(1)f′(x)＝1k (x2－k2)e xk>0，当k>0时，f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k ，＋∞)，f(x)的减区间为(－k ，k)，当k<0时，f(x)的增区间为(k ，－k)，f(x)的减区间为(－∞，k)和(－k ，＋∞)． (2)当k>0时，f(k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有任意x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e .当k<0时，由(1)有f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e ，所以任意x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 等价于f(－k)＝4k2e ≤1e⇒－12≤k<0.综上，k 的范围为－12，0.14．解：(1)令f ′(x)＝1x －ax2＝0，得x ＝a.当a≥e 时，函数f(x)在区间(0，e]是减函数，f(x)min ＝ae；当0<a<e 时，函数f(x)在区间(0，a]是减函数，[a ，e]是增函数f(x)min ＝lna. 综上所述，当0<a<e 时，f(x)min ＝lna ；当a≥e 时，f(x)min ＝ae .(2)由(1)可知，a ＝1时，函数f(x)在x1∈(0，e)的最小值为0， 所以g(x)＝(x －b)2＋4－b2.当b≤1时，g(1)＝5－2b<0不成立； 当b≥3时，g(3)＝13－6b<0恒成立；当1<b<3时，g(b)＝4－b2<0，此时2<b<3.综上可知，满足条件的实数b 的取值范围为{b|b>2}． 15．解：(1)由f(x)＝lnx －ax ，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x ＋ax2.当a ＝1时，f ′(x)＝x ＋1x2>0(x>0)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)由已知，得g(x)＝ax －ax －5lnx ，其定义域为(0，＋∞)，g ′(x)＝a ＋a x2－5x ＝ax2－5x ＋ax2.因为g(x)在其定义域内为增函数，所以∀x ∈(0，＋∞)，g ′(x)≥0，即ax2－5x ＋a≥0，即a≥5xx2＋1.而5x x2＋1＝5x ＋1x≤52，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a≥52.(3)当a ＝2时，g(x)＝2x －2x －5lnx ，g′(x)＝2x2－5x ＋2x2，令g′(x)＝0，得x ＝12或x ＝2.当x ∈0，12时，g′(x)>0；当x ∈12，1时，g ′(x)<0.所以在 (0，1)上，g(x)max ＝g 12＝－3＋5ln2.而“∃x1∈(0，1)，∀x2∈[1，2]，总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在(0，1)上的最大值不小于h(x)在[1，2]上的最大值”．又h(x)在[1，2]上的最大值为max{h(1)，h(2)}．所以有⎩⎨⎧g 12≥h （1），g 12≥h （2），即⎩⎪⎨⎪⎧－3＋5ln2≥5－m ，－3＋5ln2≥8－2m ，解得m≥8－5ln2，即实数m 的取值范围是[8－5ln2，＋∞)． 专题限时集训(六)A 【基础演练】1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°²cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22. 方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22. 2．C [解析] 因为1－sin2x ＝（sinx －cosx ）2＝|sinx －cosx|，又1－sin2x ＝sinx －cosx ，所以|sinx －cosx|＝sinx －cosx ，则sinx －cosx ≥0，即sinx ≥cosx.又0≤x<2π，所以π4≤x ≤5π4.3．D [解析] 由cos(x ＋y)sinx －sin(x ＋y)cosx ＝1213得sin[x －(x ＋y)]＝－siny ＝1213，所以siny ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cosy ＝513，于是tan y 2＝1－cosy siny ＝1－513－1213＝－23.故选D.4．－π6 [解析] 由正弦函数的性质知，正弦函数图像的对称中心是其与x 轴的交点，∴y＝2sin2x0＋π3＝0，又x0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴x0＝－π6.故填－π6.【提升训练】5．A [解析] 由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3.故选A.6．C [解析] 周期T ＝2πω＝5π6－－π6＝π，解得ω＝2，令2×－π6＋φ＝0，得φ＝π3.故选C.7．C [解析] 依题意得f －15π4＝f －15π4＋3π2³3＝f 3π4＝sin 3π4＝22.故选C.8．B [解析] 依题意得f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sinx ＋π3，因为f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f π7<f π6，而c ＝f π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f π7，所以c<a<b.9．B [解析] 因为f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴直线是x ＝5π3，所以⎪⎪⎪⎪sin 5π3＋acos 5π3＝1＋a2，所以⎪⎪⎪⎪－32＋12a ＝1＋a2，即34a2＋32a ＋14＝0，求得a ＝－33.于是g(x)max ＝1＋a2＝1＋13＝233.故选B. 10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y)＝1得x ＋y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，所以y ＝2k π＋π2－x(k ∈Z)．于是sin(2y ＋x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cosy ＝cos2k π＋π2－x ＝cos π2－x ＝sinx＝13.故填13. 11.74 [解析] 依题意，将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后，所得图像对应的函数解析式是y ＝sin ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图像与函数y ＝sin ωx ＋π4的图像重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝74－6k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ωmin＝74.故填74. 12．③④ [解析] 对f(x)＝cosxsinx ＝12sin2x ，画出函数的图像，分析知③，④是正确的．故填③，④.13．解：(1)因为f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin2x －π6， 故f(x)的最小正周期为π.(2)当x ∈0，π2时，2x －π6∈－π6，5π6，所以f(x)∈－12，1，于是函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为－12，1.14．解：(1)依题意，得f(x)＝2sinxcos π6＋cosx ＋a ＝3sinx ＋cosx ＋a ＝2sinx ＋π6＋a.所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π.(2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3.所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时，f(x)min ＝f －π2＝－3＋a ；当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)max ＝f π3＝2＋a.由题意，有(－3＋a)＋(2＋a)＝3，解得a ＝3－1.15．解：(1)∵函数f(x)的最小正周期T ＝2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.∵f π4＝cos2³π4＋φ＝cos π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f(x)＝cos2x －π3，(3)∵f(x)>22，即cos2x －π3>22， 得2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ，即2k π＋π12<2x<2k π＋712π，k ∈Z ，即k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z.∴所求x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z .专题限时集训(六)B【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35，α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34tan β＝1，求得tan β＝7.故选B.2．D [解析] 因为y ＝sinx －cosx ＝2sinx －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.3．B [解析] 依题意得点P 到坐标原点的距离为sin240°＋（1＋cos40°）2＝2＋2cos40°＝2＋2（2cos220°－1）＝2cos20°.由三角函数的定义可得cos α＝sin40°2cos20°＝2sin20°cos20°2cos20°＝sin20°＝cos70°，因为点P 在第一象限，且角α为锐角，所以α＝70°.故选B.4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B.5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45³－35＝－2425.6．D [解析] 平移后得到的函数图像的解析式是f(x)＝Acosx ²sin ωx ＋π6ω＋π6，这个函数是奇函数，由于y ＝cosx 是偶函数，故只要使得函数y ＝sin ωx ＋π6ω＋π6是奇函数即可，根据诱导公式和正弦函数性质，则只要π6ω＋π6＝k π(k ∈Z)即可，即ω＝6k －1(k ∈Z)，所以ω的可能值为5.7．B [解析] 设(x ，y)为g(x)的图像上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f(x)的图像上，所以－y ＝sinπ2－x ，即g(x)＝－sin π2－x ＝－cosx.依题意得sinx ≤－cosx ，即sinx ＋cosx ＝2sinx ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B.8．A [解析] 依题意，得f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f(x)＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减．9．A [解析] 作出点P 在x 轴上的投影C ，因为函数周期为T ＝2ππ＝2，则|AC|＝14T ＝12，|PC|＝1.在Rt △APC 中，tan ∠APC ＝|AC||PC|＝12，同理tan ∠BPC ＝|BC||PC|＝32，所以tan ∠APB ＝tan(∠APC ＋∠BPC)＝12＋321－12×32＝8.故选A.10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13. 11.36565 [解析] 由已知sin (α－β)＝513，cos (α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)·sin (α－β)＝－35³1213＋－45³513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565.12．①②③⑤ [解析] 由题意得f(x)＝m2＋n2sin(x ＋φ)其中tan φ＝nm .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π＋π4(k ∈Z)．所以f(x)＝m2＋n2sinx ＋2k π＋π4＝m2＋n2sinx ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即nm ＝1，故f(x)＝2|m|sinx ＋π4.①fx ＋π4＝2|m|sinx ＋π4＋π4＝2|m|cosx 为偶函数，所以①正确；②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m|sin 7π4＋π4＝2|m|sin2π＝0，所以函数f(x)的图像关于点7π4，0对称，②正确；③f －3π4＝2|m|sin π4－3π4＝－2|m|sin π2＝－2|m|，f(x)取得最小值，所以③正确；④根据f(x)＝2|m|sinx ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P2与P4相差一个周期2π，即|P2P4|＝2π，所以④错误； ⑤由n m ＝1知，mn ＝1成立，所以⑤正确．故填①②③⑤.13．解：(1)函数f(x)＝sin2x ＋π4＋φ.又y ＝sinx 的图像的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，令2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，将x ＝π6代入，得φ＝k π－π12(k ∈Z)．∵0<φ<π，∴φ＝11π12.(2)由(1)知f(x)＝sin2x ＋7π6.由－π2≤x≤0，得π6≤2x ＋7π6≤7π6，∴当2x ＋7π6＝7π6，即x ＝0时，f(x)min ＝－12.14．解：(1)f(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋2cos2ωx＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2，∵函数f(x)的图像上两个相邻的最低点之间的距离为2π3， ∴f(x)的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32，∴函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2，∴函数f(x)的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z)．(2)y ＝f(x)的图像向右平移π8个单位长度得h(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8＋2，函数g(x)的单调减区间，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8单调递增区间．由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2，解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z)．故y ＝g(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z)．15．解：(1)f(x)＝2sinx ＋π3cosx ＋π3－23cos2x ＋π3＝sin2x ＋2π3－3⎣⎡⎦⎤cos2x ＋2π3＋1＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3＝2sin2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin2x ＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3，又T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤32，1，此时f(x)＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋3＝－2m ，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎨⎧2m＋3≤0，2m＋2≥0，解得－233≤m≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，－1. 专题限时集训(七)【基础演练】1．A [解析] ∵a2＋c2－b22ac ＝cosB ＝32，又0<B<π，∴B ＝π6.2．A [解析] 根据正弦定理得，2sin45°＝2sinC ，所以sinC ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C＝30°或150°.又因为A ＝45°，且AB<BC ，所以C ＝30°.3．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12absinC ＝122RsinA ²2RsinB ²sinC ＝2R2sinAsinBsinC ，将R ＝1和S ＝1代入得，sinAsinBsinC ＝12.4．D [解析] 设电视塔的高度为x ，则BC ＝x ，BD ＝3x.在△BCD 中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40xcos120°，即x2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)，或者x ＝40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】5．D [解析] 根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理3sinA＝7sin60°，解得sinA ＝3314.6．C [解析] 由正弦定理得AB sinC ＝BCsinA，所以a ＝2sinA.而C ＝60°，所以0°<∠CAB<120°.又因为△ABC 有两个，所以asin60°<3<a ，即3<a<2.7．B [解析] 由题意得b2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a×2a2a×2a ＝34. 8．D [解析] 依题意与正弦定理得AB sinC ＝AC sinB ，即sinC ＝AB ²sinB AC ＝32，∴C ＝60°或C＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，则△ABC 的面积等于12AB ²AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，则△ABC 的面积等于12AB ²AC ²sinA ＝34.所以△ABC 的面积等于32或34.9．－14 [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝csinC 可得，a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，由此设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k(k>0)．由余弦定理可得，cosC ＝a2＋b2－c22ab＝（2k ）2＋（3k ）2－（4k ）22³2k ³3k＝－14.10.6－1 [解析] 由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x ＝5，解得x ＝6－1或x ＝－6－1(舍去)．故填6－1.11.233 [解析] 由△BCD 的面积为1，可得12³CD ³BC ³sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，由余弦定理可知，cos ∠DCB ＝CD2＋BC2－BD22CD ³BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD2＋BC2－CD22BD ³BC ＝31010.由在△BCD 中，∠DBC 对应的边长最短，所以∠DBC 为锐角，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理BC sinA ＝AC sinB可得，AC ＝BC·sinBsinA＝10³101032＝233.12．解：(1)依题意，由正弦定理得sinCsinA ＝sinAcosC ， 在△ABC 中，因为sinA ≠0，所以sinC ＝cosC ，得C ＝π4. (2)3sinA －cosB ＋π4＝3sinA －cos ⎣⎡⎦⎤π－（A ＋C ）＋π4＝3sinA －cos(π－A)＝3sinA ＋cosA ＝2sinA ＋π6.因为A ∈0，3π4，所以A ＋π6∈π6，11π12，于是，当sinA ＋π6＝1，A ＋π6＝π2，A ＝π3时，3s inA －cosB ＋π4取得最大值2，此时B ＝5π12.13．解：(1)∵(2b －3c)cosA ＝3acosC ，∴(2sinB －3sinC)cosA ＝3sinAcosC ， 即2sinBcosA ＝3sinAcosC ＋3sinCcosA ， ∴2sinBcosA ＝3sinB. ∵sinB ≠0，∴cosA ＝32， ∵0<A<π，∴A ＝π6.(2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x.又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得 AC2＋MC2－2AC·MCcosC ＝AM2，即x2＋x 22－2x·x2²cos120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x2sin 2π3＝ 3.14．解：(1)如图所示，作PN ⊥AB ，N 为垂足，∠PQM ＝θ，∠PMQ ＝π－α，sin θ＝513，sin α＝45，cos θ＝1213，cos α＝35.在Rt △PNQ 中，PN ＝PQsin θ＝5.2×513＝2，QN ＝PQ·cos θ＝5.2×1213＝4.8.在Rt △PNM 中，MN ＝PN tan α＝243＝1.5，PM ＝PN sin α＝245＝2.5，∴MQ ＝QN －MN ＝4.8－1.5＝3.3.设游船从P 到Q 所用时间为t1 h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t2 h ，小船速度为v1 km/h ， 则t1＝PQ 13＝5.213＝26513＝25，t2＝PM v1＋MQ 66＝2.5v1＋3.366＝52v1＋120.由已知，得t2＋120＝t1，即52v1＋120＋120＝25，∴v1＝253.于是，当小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q 地．(2)在Rt △PMN 中，PM ＝PN sin α＝2sin α，MN ＝PN tan α＝2cos αsin α，∴QM ＝QN －MN ＝4.8－2cos αsin α.于是t ＝PM 10＋QM 66＝15sin α＋455－cos α33sin α＝1165³33－5cos αsin α＋455.∵t ′＝1165³5sin2α－（33－5cos α）cos αsin2α＝5－33cos α165sin2α，∴令t′＝0，得cos α＝533.当cos α<533时，t′>0；当cos α>533时，t′<0，又y ＝cos α在α∈0，π2上是减函数，∴当方位角α满足cos α＝533时，t 取最小值，即游客甲能按计划以最短时间到达Q 地．专题限时集训(八) 【基础演练】1．C [解析] 依题意，由a ⊥b 得a·b ＝0，即3x ＋3＝0，解得x ＝－1.故选C. 2．B [解析] 依题意，得a·b ＝|a||b|cos30°＝2sin75°²4cos75°³32＝23sin150°＝ 3.故选B.3．A [解析] 由a ∥b 得2x ＝－4，∴x ＝－2，于是a·b ＝(1，2)·(－2，－4)＝－10.故选A. 4．D [解析] 由a·(a ＋b)＝0得a·a ＋a·b ＝0，即|a|2＋|a|·|b|cos 〈a ，b 〉＝0，将已知数据代入解得，cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.故选D.【提升训练】5．C [解析] 依题意a 在b 方向上的投影为|a|cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.故选C.6．C [解析] 依题意，|a|＝1，|b|＝1，所以a·b ＝|a||b|cos60°＝12.于是|a ＋3b|＝（a ＋3b ）2＝|a|2＋6a·b ＋9|b|2＝1＋6×12＋9＝13.故选C.7．A [解析] 由题设知p·q ＝sinAsinB －cosAcosB ＝－cos(A ＋B)＝cosC.又△ABC 是锐角三角形，所以cosC>0，即p·q>0，所以p 与q 的夹角为锐角．故选A. 8．C [解析] 取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →，则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1，可得|AC|＝|BC|sin60°＝2×32＝3，则CA →²CB →＝|CA →|²|CB →|cosC ＝|CA →|2＝3.9．B [解析] 因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23³12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →.当点P 在线段BC 上运动时，λ＋μ＝1；当点P 在线段GB 、GC 上运动时，λ＋μ的最小值为23.又因为点P 是△GBC 内一点，所以23<λ＋μ<1.故选B.10.324 [解析] 因为a ∥b ，所以12³1＝sinx ²cosx ，即sin2x ＝1.又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＝π2，即x ＝π4.于是a·b ＝12sinx ＋cosx ＝12sin π4＋cos π4＝12³22＋22＝324.11．8 [解析] 依题意得OA →2＝OB →2＝OC →2，由于AC →2＝(OC →－OA →)2＝OC →2＋OA →2－2OC →²OA →， 所以OC →²OA →＝12(OC →2＋OA →2－AC →2)，同理OA →²OB →＝12(OA →2＋OB →2－AB →2)，所以AO →²BC →＝－OA →²(OC →－OB →)＝－OA →²OC →＋OA →²OB →＝－12(OA →2＋OC →2－AC →2)＋12(OA →2＋OB →2－AB →2)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8. 12．1 [解析] 依题意，得|a|＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，则(a －b)·(a ＋b)＝|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|.又|OA →|＝|OB →|，故|a －b|＝|a ＋b|，得a·b ＝0，则|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|OA →|＝|OB →|＝ 2.于是S △AOB ＝12³2³2＝1.13．解：(1)由a·b ＝0得(sinB ＋cosB)sinC ＋cosC(sinB －cosB)＝0， 化简得sin(B ＋C)－cos(B ＋C)＝0， 即sinA ＋cosA ＝0，∴tanA ＝－1. 而A ∈(0，π)，∴A ＝34π.(2)∵a·b ＝－15，即sin(B ＋C)－cos(B ＋C)＝－15，sinA ＋cosA ＝－15.①对①平方得2sinAcosA ＝－2425.∵－2425<0，∴A ∈π2，π，∴sinA －cosA ＝1－2sinAcosA ＝75.②联立①②得sinA ＝35，cosA ＝－45，∴tanA ＝－34，于是，tan2A ＝2tanA 1－tan2A＝2³－341－－342＝－247.14．解：(1)∵f(x)＝32sin πx ＋12cos πx ＝sin πx ＋π6. ∵x ∈R ，∴－1≤sin πx ＋π6≤1，∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，－1. (2)解法1：令f(x)＝sin πx ＋π6＝0得πx ＋π6＝k π，k ∈Z ， ∵x ∈[－1，1]，∴x ＝－16或x ＝56，∴M －16，0，N 56，0，由sin πx ＋π6＝1，且x ∈[－1，1]得x ＝13，∴P 13，1，∴PM →＝－12，－1，PN →＝12，－1，∴cos 〈PM →，PN →〉＝PM →²PN →|PM →|²|PN →|＝35.解法2：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA|＝1，。

2013年北京高考数学（文）部分试题及解析北京新东方中小学个性化学习部邹圣莉一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1≤x<1｝,则A∩B= ( )（A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}【答案】B【解析】考察集合的交集运算，注意看清题目，B集合中元素的范围是左闭右开，故答案为A∩B=｛-1，,0｝（2）设a,b,c∈R,且a>b,则( )（A）ac>bc （B）<（C）a2>b2（D）a3>b3【答案】D【解析】考察不等式的基本性质。

利用特值法和排除法结合可快速判断。

A：由于c的正负号不确定，若c为零或负数，不成立，则错误；B：若a=0,无意义，错误；C：a=-1，b=1就不满足，错误；答案只能为D。

另外从函数的单调性的角度亦可快速判断,A容易排除，BCD四个选项分别代表了反比例函数，二次函数，三次幂函数，只有三次幂函数定义域为R且在R上单调递增。

（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（A）y= (B)y=e-x （C）y=-x2+1 (D)y=lg∣x∣【答案】C【解析】考察函数的性质。

根据偶函数，可以排除A，B，由于y=lg∣x∣，当x>0时单调递增，排除D。

（4）在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】A【解析】i（2-i）=2i- i2 = 2i+1，对应点（1,2），在第一象限。

（5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA= ,则sinB（A）（B）（C ） （D ）1【答案】B【解析】考察解三角形中的正弦定理，2sin sin sin a b c R A B C ===，355sin 1sin 93B B =⇒=（6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）1 （B ）23（C ）1321（D ）610987【答案】C【解析】S=1, i=0⇒S=23i=1⇒S=1321i=2，满足i ≥2，则输出此时的S（7）双曲线x ²-2y m=1的离心率大于2的充分必要条件是 （A ）m ＞（B ）m ≥1（C ）m>1（D ）m ＞2【答案】C【解析】222211,,1,2,11ma b m c m e m +===+=>>则(8)如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【答案】B【解析】设正方体边长为3，则BP 2=1+2=3, D 1P 2=4+8=12, DP 2=1+8=9,B 1P 2=2+4=6, AP 2=CP 2=1+5=6, A 1P 2=C 1P 2=5+4=9, 故共有4个不同的取值。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ． （2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i =+C ． （3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则 ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得c =117sin 2sin 2212bc A π=⨯⨯．因为711sin sin())123422πππ=+，所以11sin )1222bc A =+=+，故选B ． （5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以2122tan30,PF c PF ===．又122PF PF a+==，所以c a ==，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ． （8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ） （A ）1y x =-或1y x =-+（B）1)y x =-或1)y x =-（C ）1)y x =-或1)y x =-（D）1)y x =-或1)y x =- 【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =， 所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．若1y =-，则1(3,()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x =-或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ． 解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 （13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____． 【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯，解得高h =．=所以OA =2424ππ=． （16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ． （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A =，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =90ACB ∠=︒，CD =，1A D =DE =，13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥． 所以111132C A DE V -⨯==．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．解：（1）当[)10,30X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,5X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．1（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =的距离为2，求圆P 的方程． 解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=． （2）设00()P x y ，2=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =． 故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜；当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞，，．令()()20h x x x x+=≠， 则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，． 所以当()02()t ∈-∞+∞，，时，()m t 的取值范围是0()223,⎡⎤+-+∞⎦∞⎣，． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是0()223,⎡⎤+-+∞⎦∞⎣，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ=<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤． （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b c a a b c c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b c b c a++≥．。

专题限时集训(一)B[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：30分钟)1．若集合A ＝{x||x|>1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝2x2，x ∈R}，则(∁R A)∩B ＝( )A ．{x|－1≤x≤1}B ．{x|x ≥0}C ．{x|0≤x ≤1}D ．∅2．已知集合A ＝{y|y ＝x2＋2x －3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x ＋1x ，x>0，则有( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅3．已知条件p ：x2＋2x －3>0，条件q ：x<a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a<－3B ．a>－3C ．a ≥－3D ．a ≤－34．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x2＋x －1<0”的否定是：“任意x ∈R ，使得x2＋x －1>0”D ．命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”的逆否命题为真命题5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x2－x －30<0}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫cos πx 3＝12，则A∩B 等于( ) A ．{－1，1，5} B ．{－1，1，5，7}C ．{－5，－1，1，5，7}D ．{－5，－1，1，5}6．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x|x ∈P ，且x ∉Q}，如果P ＝{x|log2x<1}，Q ＝{x||x －2|<1}，那么P －Q 等于( )A ．{x|0<x<1}B ．{x|0<x ≤1}C ．{x|1≤x<2}D ．{x|2≤x<3}7．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④8．设p 和q 是两个简单命题，若p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是綈p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不充要条件9．如图1－1，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(0，2)，O4(2，2)．记集合M ＝{⊙Oi|i ＝1，2，3，4}，若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B)为一个“有序集合对”(当A≠B 时，(A ，B)和(B ，A)为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B)的个数是( )图1－1A ．2B ．4C ．6D ．810．已知向量AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，则A ，B ，C ，D 四点构成四边形是a ＋b ＋c＋d ＝0的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，B ＝⎩⎨⎧（x ，y ）⎪⎪⎭⎬⎫x a －y b ＝1，a>0，b>0，当A∩B 只有一个元素时，a ，b 的关系式是________．12．已知定义在R 上的偶函数f(x)，满足f(4＋x)＝f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，那么f(0)<0是函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点的________条件．(填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ． （2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ． （3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ． （5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ． （8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ） （A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 （13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____． 【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=． （16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程． 解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=． （2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜； 当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠， 则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，． 所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，． 综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。