人教版 九年级上学期期中考试数学试题11

人教版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC ∽△ADE 的是（）A ．∠D ＝∠B B ．∠E ＝∠C C ．AD AE AB AC =D ．AD DE AB BC=3．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BOC ＝100°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝（）A ．20°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝Rt ∠，CD ⊥AB ，D 为垂足，且AD ＝3，AC ＝，则斜边AB 的长为（）A ．6B ．15C ．5D ．56．如图，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A ′B ′C ′，则A 点的对应点A ′的坐标是（）A ．（﹣3，﹣2）B ．（2，2）C ．（3，0）D ．（2，1）7．下列方程中，一元二次方程有（）①3x 2+x ＝20；②2x 2﹣3xy +4＝0；③214x x -=；④x 2＝1；⑤2303x x -+=A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．已知二次函数y ＝kx 2-7x-7的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围为（）A ．k ＞74-B ．k≥74-且k≠0C ．k ＜74-D ．k ＞74-且k≠09．二次函数2y 2x 13=--+（）的图象的顶点坐标是（）A ．（1，3）B ．（，3）C ．（1，）D ．（，）10．将抛物线y=3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A ．y=3（x+2）2﹣1B ．y=3（x ﹣2）2+1C ．y=3（x ﹣2）2﹣1D ．y=3（x+2）2+1二、填空题11．已知方程ax 2+7x ﹣2＝0的一个根是﹣2，则a 的值是_____．12．在平面直角坐标系中，点P （﹣20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则a +b 的值为_____．13．如图，D 是等腰直角三角形ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，则∠DAD ′的度数是_____．14．在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么影长为30m 的旗杆的高度是_____m ．15．如图，在半径为13的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点B ，交⊙O 于点C ，AB=24，则CD 的长是_____．16．如图，DF ∥EG ∥BC ．AD ＝DE ＝EB ，则DF 、EG 把△ABC 分成三部分的面积比S 1：S 2：S 3为_____．三、解答题17．解下列方程：(1)2230x x --=；(2)()()2323x x +=+18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠BDC ．（1）求证：△ABD ∽△DCB ；（2）若AB ＝12，AD ＝8，CD ＝15，求DB 的长．19．如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长为1，已知△ABC（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90画出旋转后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC以坐标原点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2在第二象限，与△ABC的位似比是1 2．20．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕着点A顺时旋转90°得到△ABE，若AF＝4，AB＝7．（1）求DE的长度；（2）指出BE与DF的关系如何？并说明由．21．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？22．已知：m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积．23．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA 边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，且MG⊥BC，运动时间为t秒（0＜t＜103），连接MN．（1）用含t的式子表示MG；（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小面积；（3）若△BMN与△ABC相似，求t的值．25．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）参考答案1．C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选C．【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE ＝∠BAC ，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．【详解】解：A 和B 符合有两组角对应相等的两个三角形相似；C 、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；D 、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．故选D ．【点睛】考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．3．B【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．4．D【解析】试题分析：此题考查平行线性质及三角形内角和定理的运用．根据三角形内角和定理可求得∠AOC 的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD 的度数．解：∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=70°．∵AD∥OC，OD=OA,∴∠D=∠A=70°，∴∠AOD=180°-2∠A=40°．故选D．考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质；3．等腰三角形的性质．5．B【分析】先确定△ADC与△ACB相似，再根据相似三角形对应边成比例求出AB的长．【详解】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A∴△ADC∽△ACB∴AD：AC=AC：AB∵AD=3，∴AB=15故选B．【点睛】此题考查学生对相似三角形的性质的理解及运用，解题关键是由相似三角形的性质得出比例式．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．6．C【详解】试题分析：根据旋转的概念结合坐标系内点的坐标特征解答．解：由图知A点的坐标为（﹣1，2），根据旋转中心C，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（3，0）．故选C．考点：坐标与图形变化-旋转．7．B【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选B ．【点睛】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．8．C【分析】根据二次函数图像与x 轴没有交点说明240b ac -<，建立一个关于k 的不等式，解不等式即可.【详解】∵二次函数277y kx x =--的图象与x 轴无交点，∴2040k b ac ≠⎧⎨-<⎩即049280k k ≠⎧⎨+<⎩解得74k <-故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x 轴交点个数的关系，掌握根的判别式是解题的关键.9．A【解析】直接根据顶点式写出顶点坐标是（1，3）．故选A．10．A【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A.考点：二次函数图象的平移法则.11．4【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入已知方程，通过一元一次方程来求a的值．【详解】解：根据题意知，x＝﹣2满足方程ax2+7x﹣2＝0，则4a﹣14﹣2＝0，即4a﹣16＝0，解得，a＝4．故答案是：4．【点睛】考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12．7【解析】【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，然后在计算a+b的值．【详解】解：∵点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，∴b＝20，a＝﹣13，∴a+b＝20﹣13＝7，故答案是：7．【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．13．90°【解析】∵D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，∴∠BAC=90°，∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，∴∠DAD′=∠BAC=90°.故答案为90°.点睛：本题考查了旋转的性质，先由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=90°，再根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即可作答．14．18【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高即可．【详解】∵同一时刻物高与影长成正比例∴1.5:2.5=旗杆的高：30∴旗杆的高为18米.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质.15．8．【详解】垂径定理，勾股定理．连接OA，∵OC⊥AB，AB=24，∴AD=AB=12，在Rt△AOD中，∵OA=13，AD=12，∴．∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8．16．1：3：5．【解析】【分析】由题可知△ADF∽△AEG∽△ABC，因而得到相似比，从而推出面积比．【详解】解：∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG∽△ABC，∵AD＝DE＝EB，∴得到三角形的相似比是1：2：3，因而面积的比是1：4：9，＝3x，S四边形EBCG 设△ADF的面积是x，则△AEG，△ABC的面积分别是4x，9x，则S四边形DEGF＝5x，∴S1：S2：S3＝1：3：5．故答案是：1：3：5．【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17．（1）x1=-1，x2=3（2）x1=-1，x2=-3【解析】【分析】（1）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）用因式分解的提公因式法求解比较简便．【详解】解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1；（2）移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，∴（x+3）（x+3﹣2）＝0∴（x+3）（x+1）＝0∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．【点睛】考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法解一元二次方程可事半功倍．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18．（1）证明见解析；（2）10.【详解】试题分析：（1）由AD//BC可得∠ADB=∠DBC，又因为∠A=∠BDC，所以可以证明△ABD∽△DCB；（2）由（1）得：AB ADDC DB=，将已知线段长度代入即可求出BD.试题解析：解：（1）∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）由（1）得△ABD∽△DCB，∴AB AD DC DB=，即12815DB=，∴BD=10.点睛：（1）判定两个三角形相似，优先找两组角相等条件.19．（1）详见解析；（2）详见解析；【分析】（1）根据旋转变换的定义作出点A，B，C变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）根据位似变换的定义作出点A，B，C变换后的对应点，再顺次连接即可得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．【点睛】考查作图﹣位似变换与旋转变换，解题的关键是熟练掌握位似变换与旋转变换的定义与性质．20．（1）3；（2）BE＝DF，BE⊥DF．【分析】（1）根据旋转的性质可得AE＝AF，AD＝AB，然后根据DE＝AD﹣AE计算即可得解；（2）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ADF，然后求出∠ABE+∠F＝90°，判断出BE⊥DF．【详解】解：（1）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴AE＝AF＝4，AD＝AB＝7，∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3；（2）BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵∠ADF+∠F＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE+∠F＝90°，∴BE⊥DF，∴BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．【点睛】考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．21．（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．【分析】（1）设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，可列方程求解；（2）利用总利润y＝销量×每千克利润，进而求出最值即可．【详解】（1）设每千克应涨价x 元，则（10+x ）（500﹣20x ）＝6000解得x ＝5或x ＝10，为了使顾客得到实惠，所以x ＝5．（2）设涨价z 元时总利润为y ，则y ＝（10+z ）（500﹣20z ）＝﹣20z 2+300z +5000＝﹣20（z 2﹣15z ）+5000＝22252252015500044z z ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭＝﹣20（z ﹣7.5）2+6125当z ＝7.5时，y 取得最大值，最大值为6125．答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．【点睛】考核知识点：二次函数的的应用.根据题意列出等量关系是解题的关键.22．（1）y ＝﹣x 2﹣4x +5；（2）15.【解析】【分析】（1）首先解方程求得m 和n 的值，得到A 和B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得解析式；（2）首先求得C 和D 的坐标，作DE ⊥y 轴于点E ，根据S △BCD ＝S 梯形OCDE ﹣S △DEB ﹣S △OBC 求解．【详解】解：（1）解方程x 2﹣6x +5＝0，解得：x 1＝1，x 2＝5，则m ＝1，n ＝5．A 的坐标是（1，0），B 的坐标是（0，5）．代入二次函数解析式得：105b C c -++=⎧⎨=⎩，解得：45b c =-⎧⎨=⎩，则函数的解析式是y ＝﹣x 2﹣4x +5；（2）解方程﹣x 2﹣4x +5＝0，解得：x 1＝﹣5，x 2＝1．则C 的坐标是（﹣5，0）．y ＝﹣x 2﹣4x +5＝﹣（x 2+4x +4）+9＝﹣（x +2）2+9则D 的坐标是（﹣2，9）．作DE ⊥y 轴于点E ，则E 坐标是（0，9）．则S 梯形OCDE ＝12（OC +DE ）•OE ＝12×（2+5）×9＝632，S △DEB ＝12BE •DE ＝12×4×2＝4，S △OBC ＝12OC •OB ＝12×5×5＝252，则S △BCD ＝S 梯形OCDE ﹣S △DEB ﹣S △OBC ＝632﹣4﹣252＝15．【点睛】考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，正确作出辅助线转化为易求面积的图形的和、差是关键．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）四边形BEDF 可以是菱形．理由见解析；AC 绕点O 顺时针旋转45°时，四边形BEDF 为菱形．【详解】试题分析：（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB ⊥AC ，可得AB ∥EF ，即可证明四边形ABEF 为平行四边形；（2）根据平行四边形的性质证得△AOF ≌△COE 即可；（3）EF ⊥BD 时，四边形BEDF 为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，则OA=1=AB ，又AB ⊥AC ，即可求得结果．（1）当∠AOF=90°时，AB ∥EF ，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）∵四边形ABCD为平行四边形，在△AOF和△COE中∵∠FAO=∠ECO，AO=CO，∠AOF=∠ECO∴△AOF≌△COE（ASA）∴AF=EC；（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．在Rt△ABC中，∴OA=1=AB，又∵AB⊥AC，∴∠AOB=45°，∴∠AOF=45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．考点：旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理点评：本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，难度不大，学生需熟练掌握平面图形的基本概念.24．（1）MG＝95t；（2）t＝2秒时，S四边形ACNM最小＝845cm2；（3）△BMN与△ABC相似，t的值为2011秒或43秒．【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB ＝10，再判断出△BGM ∽△BCA ，得出比例式即可得出结论；（2）先表示出MN ，最后利用三角形的面积差即可建立函数关系式，即可得出结论；（3）先表示出BM ，BN ，再分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）由运动知，BM ＝3t ，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝10，∵MG ⊥BC ，∴∠MGB ＝90°＝∠ACB ，∵∠B ＝∠B ，∴△BGM ∽△BCA ，∴MG BM CA AB =，∴3610MG t =，∴MG ＝95t ；（2）由运动知，CN ＝2t ，∴BN ＝BC ﹣CN ＝8﹣2t ，由（1）知，MG ＝95t ，∴S 四边形ACNM ＝S △ABC ﹣S △BNM ＝12BC ×AC ﹣12BN ×MG ＝×8×6﹣12（8﹣2t ）×95t ＝95（t ﹣2）2+845，∵0＜t ＜103，∴t ＝2秒时，S 四边形ACNM 最小＝845cm 2；（3）由（1）（2）知，BM ＝3t ，BN ＝8﹣2t ，∵△BMN 与△ABC 相似，∴①当△BMN ∽BAC 时，BM BN AB BC=，∴382 108t t-=，∴t＝2011秒，②当△BMN∽△BCA时，BM BN BC AB=，∴382 810t t-=，∴t＝43秒，即：△BMN与△ABC相似，t的值为2011秒或43秒．【点睛】相似形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程是思想解决问题是解本题的关键．25．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P点坐标为（1，0）或（2，0）；（3）33y x44=+或44y x33=+．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标．（3）利用中心对称的性质求解：平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与 ODEF 对称中心的直线平分 ODEF的面积．【详解】解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，∴309330a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a1{b2=-=．∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：3k b0{b3+==，解得k1{b3=-=．∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3）．∴EF=y E﹣y F=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF=OD=2．∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与 ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积．①当P（1，0）时，点F坐标为（1，2），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（12，2）．设直线AG的解析式为y=k1x+b1，将A（﹣1，0），G（12，2）坐标代入得：2222k b0{3k b2-+=+=，解得223k4{3b4==．∴所求直线的解析式为：33 y x44 =+．②当P（2，0）时，点F坐标为（2，1），又D（0，2）．设对角线DF的中点为G，则G（1，3 2）．设直线AG的解析式为y=k2x+b2，将A（﹣1，0），G（1，32）坐标代入得：2222k b03k b2-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得223k43b4⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴所求直线的解析式为44 y x33 =+．综上所述，所求直线的解析式为33y x44=+或44y x33=+．21。

人教版九年级上册期中考试数学试卷一、选择题（10小题，每小题4分共40分）1．（4分）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x=23．（4分）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位4．（4分）用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6B．（x﹣1）2=6C．（x+2）2=9D．（x﹣2）2=95．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．65°6．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠07．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．（4分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠39．（4分）已知，α、β是关于x的一元二次方程x2+4x﹣1=0的两个实数根，则α+β的值是（）A．﹣4B．4C．4或﹣4D．﹣10．（4分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（6小题，每小题4分共24分）11．（4分）一元二次方程2x2=3x的根是．12．（4分）坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n=．13．（4分）已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c=0的根为．14．（4分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC ⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．16．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c ＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．三、解答题（6小题，共86分）17．（10分）解方程（1）2x2+3=7x（2）4（x+3）2=（x﹣1）2．18．（10分）二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求该二次函数的解析式；（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．19．（10分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（1）旋转中心是点，旋转角度是度；（2）若连结EF，则△AEF是三角形；并证明；（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．20．（10分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出B2的坐标．21．（10分）在“全民阅读”活动中，某中学对全校学生中坚持每天半小时阅读的人数进行了调查，2012年全校坚持每天半小时阅读有1000名学生，2013年全校坚持每天半小时阅读人数比2012年增加10%，2014年全校坚持每天半小时阅读人数比2013年增加340人．（1）求2014年全校坚持每天半小时阅读学生人数；（2）求从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率．22．（10分）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．23．（12分）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．24．（14分）抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）且A，B 两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题4分共40分）1．（4分）（2013•黑龙江）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2．（4分）（2012•兰州）抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x=2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x=0（y轴），故选C．3．（4分）（2012•兰州）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．4．（4分）（2016春•招远市期中）用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6B．（x﹣1）2=6C．（x+2）2=9D．（x﹣2）2=9【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2+2x=5，x2+2x+1=5+1，（x+1）2=6．故选：A．5．（4分）（2015•德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．65°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．6．（4分）（2009•成都）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．7．（4分）（2012•泰安）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a 上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选A．8．（4分）（2011•襄阳）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点．故选B．9．（4分）（2016秋•台江县校级期中）已知，α、β是关于x的一元二次方程x2+4x﹣1=0的两个实数根，则α+β的值是（）A．﹣4B．4C．4或﹣4D．﹣【分析】根据根与系数的关系即可得出α+β的值，此题得解．【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+4x﹣1=0的两个实数根，∴α+β=﹣=﹣4．故选A．10．（4分）（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q 两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选A．二、填空题（6小题，每小题4分共24分）11．（4分）（2011秋•鄱阳县期末）一元二次方程2x2=3x的根是x1=0，或x2=．【分析】移项得2x2﹣3x=0，把方程的左边分解因式得2x2﹣3x=0，使每个因式等于0，就得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵2x2=3x，∴2x2﹣3x=0，x（2x﹣3）=0，2x2﹣3x=0x=0或2x﹣3=0，∴x1=0或x2=，故答案为：x1=0或x2=．12．（4分）（2016秋•台江县校级期中）坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n=﹣1．【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．【解答】解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，∴m=﹣3，n=2，所以，m+n=﹣3+2=﹣1．故答案为：﹣1．13．（4分）（2015秋•巢湖市期中）已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c=0的根为﹣1，3．【分析】将x=﹣1，y=0代入抛物线的解析式可得到c=﹣3a，然后将c=﹣3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．【解答】解法一：将x=﹣1，y=0代入y=ax2﹣2ax+c得：a+2a+c=0．解得：c=﹣3a．将c=﹣3a代入方程得：ax2﹣2ax﹣3a=0．∴a（x2﹣2x﹣3）=0．∴a（x+1）（x﹣3）=0．∴x1=﹣1，x2=3．解法二：已知抛物线的对称轴为x==1，又抛物线与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0）；故而ax2﹣2ax+c=0的两个根为﹣1，3故答案为：﹣1，3．14．（4分）（2014•泰州一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1﹣x）2=16，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为20%．15．（4分）（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为1．【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故答案为1．16．（4分）（2015•贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是②④（填入正确结论的序号）．【分析】由图象可先判断a、b、c的符号，可判断①；由x=﹣1时函数的图象在x轴下方可判断②；由对称轴方程可判断③；由对称性可知当x=2时，函数值大于0，可判断④；结合二次函数的对称性可判断⑤；可得出答案．【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a＞0，∴abc＜0，故①、③都不正确；∵当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正确；由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点在2和3之间，∴当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣，∴y1＜y2，故⑤不正确；综上可知正确的为②④，故答案为：②④．三、解答题（6小题，共86分）17．（10分）（2016秋•台江县校级期中）解方程（1）2x2+3=7x（2）4（x+3）2=（x﹣1）2．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先把方程两边开方得到2（x+3）=±（x+1），然后解一次方程即可．【解答】解：（1）2x2﹣7x+3=0，（2x﹣1）（x﹣3）=0，2x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=，x2=3；（2）解：2（x+3）=±（x+1），所以x1=﹣7，x2=﹣．18．（10分）（2015秋•南开区期中）二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求该二次函数的解析式；（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，再取三组对应值代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）代入得，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．19．（10分）（2015•新泰市校级模拟）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（1）旋转中心是点A，旋转角度是90度；（2）若连结EF，则△AEF是等腰直角三角形；并证明；（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．【分析】（1）根据旋转变换的定义，即可解决问题．（2））根据旋转变换的定义，即可解决问题．（3）根据旋转变换的定义得到△ADE ≌△ABF ，进而得到S 四边形AECF =S 正方形ABCD =25，求出AD 的长度，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，由题意得：旋转中心是点A ，旋转角度是90度．故答案为A 、90．（2）由题意得：AF=AE ，∠EAF=90°，∴△AEF 为等腰直角三角形．故答案为等腰直角．（3）由题意得：△ADE ≌△ABF ，∴S 四边形AECF =S 正方形ABCD =25，∴AD=5，而∠D=90°，DE=2，∴．20．（10分）（2016秋•青海期中）已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3），B （3，4），C （2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）作出△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°后得到的△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；（2）作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2，并直接写出B 2的坐标．【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求，C 1（1，1）；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，B 2（﹣3，﹣4）．21．（10分）（2015秋•和县期末）在“全民阅读”活动中，某中学对全校学生中坚持每天半小时阅读的人数进行了调查，2012年全校坚持每天半小时阅读有1000名学生，2013年全校坚持每天半小时阅读人数比2012年增加10%，2014年全校坚持每天半小时阅读人数比2013年增加340人．（1）求2014年全校坚持每天半小时阅读学生人数；（2）求从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率．【分析】（1）根据题意，先求出2013年全校的学生人数就可以求出2014年的学生人数；（2）根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．设平均每年的增长率是x，列出方程求解即可．【解答】解：（1）由题意，得2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人，∴2014年全校学生人数为：1100+340=1440人；（2）设从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率为x，根据题意得：1000（1+x）2=1440，解得：x=0.2=20%或x=﹣2.2（舍去）．答：从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率为20%．22．（10分）（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0．故K的取值范围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．∵k为整数，∴k的值为﹣1或0．23．（12分）（2016秋•台江县校级期中）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【分析】（1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；（2）将x=45代入求出即可求出月销售量和销售利润；（3）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）当x=45时，600﹣10（x﹣40）=550（件），y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250（元）；（3）y=﹣10x2+1300x﹣30000，=﹣10（x﹣65）2+12250，故当x=65（元），最大利润为12250元．24．（14分）（2016秋•台江县校级期中）抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）且A，B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，列方程组可求a、b的值，写出解析式即可；（2）先求点C和D的坐标，求直线BD的解析式，根据横坐标m表示出点Q和M的纵坐标，由MQ∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明MQ=CD即可，因此列等式：（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4），求m即可；（3）要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，可先判断四边形CQBM是平行四边形，解得M点到BC的距离与Q到BC的距离相等，所以过M或Q点的与直线BC平行的直线与抛物线的交点即为所求，列方程组可得结论．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣4得：，解得：，∴抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4；（2）当x=0时，y=﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC=4，∵四边形DECB是菱形，∴OD=OC=4，∴D（0，4），设BD的解析式为：y=kx+b，把B（8，0）、D（0，4）代入得：，解得：，∴BD的解析式为：y=﹣x+4，∵l⊥x轴，∴M（m，﹣m+4）、Q（m，m2﹣m﹣4），如图1，∵MQ∥CD，∴当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4），化简得：m2﹣4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4，∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形；（3）如图2，要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，N点到BC的距离与Q到BC的距离相等；设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（8，0）、C（0，﹣4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x﹣4，由（2）知：当P（4，0）时，四边形DCQM为平行四边形，∴BM∥QC，BM=QC，得△MFB≌△QFC，分别过M、Q作BC的平行线l1、l2，所以过M或Q点的斜率为的直线与抛物线的交点即为所求，当m=4时，y=﹣m+4=﹣×4+4=2，∴M（4，2），当m=4时，y=m2﹣m﹣4=×16﹣×4﹣4=﹣6，Q（4，﹣6），①设直线l1的解析式为：y=x+b，∵直线l1过Q点时，∴﹣6=×4+b，b=﹣8，∴直线l1的解析式为：y=x﹣8，则，=x﹣8，解得x1=x2=4（与Q重合，舍去），②∵直线l2过M点，同理求得直线l2的解析式为：y=x，则，=x，x2﹣x﹣16=0，解得x1=4+4，x2=4﹣4，代入y=x，得，，则N1（4+4，2+2），N2（4﹣4，2﹣2），故符合条件的N的坐标为N1（4+4，2+2），N2（4﹣4，2﹣2）．。

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若关于x 的一元二次方程2420x x a -+=有两个相等的实数根，则a 的值为（）A ．2B ．-2C ．4D ．-43．下列函数：①23y =;②22y x =;③(35)y x x =-;④(12)(12)y x x =+-,是二次函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列语句中正确的是（）A ．长度相等的两条弧是等弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5．当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．22990x x --=化为()21100x -=B ．22740x x --=化为2781416x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为()2+4=25x D ．23-420x x -=化为221039x ⎛⎫-=⎪⎝⎭7．如图，将ABC ∆绕着点C 按顺时针方向旋转20︒，B 点落在'B 位置，A 点落在'A 位置，若''AC A B ⊥，则BAC ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒8．如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则CD 的长是A ．3B ．2.5C ．2D ．19．如图，正方形ABCD 的边长为5，点E 是AB 上一点，点F 是AD 延长线上一点，且BE =DF .四边形AEGF 是矩形，则矩形AEGF 的面积y 与BE 的长x 之间的函数关系式为（）A ．=5−B ．=5−2C ．=25−D ．=25−210．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac ＞0；②当x≥1时，y 随x 的增大而减小；③2a+b=0；④b 2-4ac ＜0；⑤4a-2b+c ＞0，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，O 是ABC 的外接圆，连结OA 、OB ，且点C 、O 在弦AB 的同侧，若50ABO ∠= ，则ACB ∠的度数为（）A ．50B ．45C ．40D ．3012．关于x 的一元二次方程9x 2-6x+k=0有两个不相等的实根，则k 的范围是（）A ．k 1<B ．k 1>C ．k 1≤D ．k 1≥二、填空题13．⊙O 的半径为3cm ，点O 到点P 10cm,则点P_________.14．某工厂第一年的利润是40万元,第三年的利润是y 万元,则y 与平均年增长率x 之间的函数关系式是___________.15．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD=1，，则BC 的长为____．16．如图,平面直角坐标系中,□OABC 的顶点A 坐标为(6,0),C 点坐标为(2,2),若经过点P(1,0)的直线平分□OABC 的周长,则该直线的解析式为_______________.三、解答题17．按要求解下列一元二次方程（1）24870x x +-=（用配方法）（2）2+52=0x x -（用公式法）18．如图，AB ＝AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DM ⊥AC 于点M.求证：DM 与⊙O 相切．19．要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．(1)求围栏的长和宽；(2)能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．20．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？21．如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D．(1)求证:BE=CF;(2)请探究旋转角等于多少度时,四边形ABDF为菱形,证明你的结论;(3)在(2)的条件下,求CD的长.22．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C （0，2）．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△C ；平移△ABC ，若A 的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；（2）若将△C 绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在轴上有一点P ，使得PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．23．如图，四边形ABCD 内接于O ，AD ，BC 的延长线交于点E ，F 是BD 延长线上一点，1602CDE CDF ∠=∠=︒．()1求证：ABC 是等边三角形；()2判断DA ，DC ，DB 之间的数量关系，并证明你的结论．24．二次函数2y x bx c =++的图象经过点(1，－8)，(5，0)．(1)求b ，c 的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．25．已知抛物线2y x bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为()1,0A -，与y轴的交点坐标为()0,3C -．（1）求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）根据图象回答：当x 取何值时，0y <？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA PB +的值最小时的点P 的坐标．参考答案1．C 【解析】试题解析：∵从左往右第二个图形不是中心对称图形，但是轴对称图形；第一、三、四个既是中心对称又是轴对称图形，∴四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有三个，故选C ．2．A 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出a 的值.【详解】解：∵一元二次方程2420x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(4)4120a ∆=--⨯⨯=，解得：2a =；故选择：A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.3．C 【分析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.【详解】解：①23y =是二次函数，正确；②22y x =不是二次函数，错误；③(35)y x x =-整理得253y x x =-+，是二次函数，正确；④(12)(12)y x x =+-整理得214y x =-，是二次函数，正确；∴一共有3个二次函数；故选择：C.【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.4．D 【详解】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．详解：A 、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B 、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D 、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D ．点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．5．D 【分析】根据选项中的二次函数图象和一次函数图象，判断a 和b 的正负，选出正确的选项．【详解】A 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足0ab >，故错误；B 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、二、四象限，0a <，0b >，不满足ab>0，故错误；C 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足ab>0，故错误；D 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过二、三、四象限，0a <，0b <，满足ab>0，正确故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象与各项系数的关系，解题的关键是掌握根据函数图象判断各项系数正负的方法．6．C 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．【详解】A 、由原方程，得22990x x --=，等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得()21100x -=；故本选项正确；B 、由原方程，得22740x x --=，等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，2781416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故本选项正确；C 、由原方程，得2890x x ++=，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x ＋4）2＝7；故本选项错误；D 、由原方程，得3x 2−4x ＝2，化二次项系数为1，得x 2−43x ＝23等式的两边同时加上一次项系数−43的一半的平方169，得221039x⎛⎫-=⎪⎝⎭；故本选项正确．故选：C．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．7．C【分析】由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，据此可进行解答.【详解】解：由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，由AC⊥A’B’可得∠BAC=∠A’=90°-20°=70°，故选择C.【点睛】本题考查了旋转的性质.8．C【解析】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2，∴x=2，∴CD=2，故选C．点睛：本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．9．D【解析】∵BE=DF,BE=x(已知)；∴DF=x；又∵AD＝AB＝5(已知)，AF＝AD+DF，AE＝AB＝BE（由图可得）；∴AF＝5+x,AE=5-x；∴S 长方形AEGF ＝AE ╳AF ＝(5+x)(5-x)＝25－x 2；故选D 。

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的是（）A ．ax 2+bx+c=0B ．x 2+21x =0C ．3x 2+2xy=1D ．x 2=63．下列命题中的真命题是（）A ．全等的两个图形是中心对称图形B ．轴对称图形都是中心对称图形C ．中心对称图形都是轴对称图形D ．关于中心对称的两个图形全等4．将抛物线23y x =先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线解析式是（）A ．23(2)4y x =--B ．23(2)4y x =-+C ．23(2)4y x =++D ．23(2)4y x =+-5．已知直角三角形的两边长是方程x 2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（）A ．7B ．5CD ．56．二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示，下列说法①a>0；②b>0；③c<0；④b 2−4ac >0，正确的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．47．方程（2x+3）（x ﹣1）=1的解的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有一个实数根8．若A (－3.5，y 1)、B (－1，y 2)、C (1，y 3)为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是()A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 39．在同一个直角坐标系中，一次函数y=ax+c ，与二次函数y=ax 2+bx+c 图像大致为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DP ⊥AB 于点P.若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是()A ．3B ．C ．D ．二、填空题11．已知点A （a ，1）与点A′（5，b ）是关于原点对称，则a=____，b=____．12．已知y=13（x+1）2﹣2，图象的顶点坐标为___，当x___时，函数值随x 的增大而减小．13．抛物线y=kx 2﹣7x ﹣7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________．14．如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是____________．15．如图，把ABC 绕点C 逆时针旋转90︒得到DCE ，若35A ∠=︒，则CDE ∠的度数为______．三、解答题16．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的结论是______．17．解方程:(1)﹣x2+4x﹣5=0(2)3x(2x+1)=4x+218．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）（1）请在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（2）请在图中作出△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2．19．已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．20．向阳村2014年的人均收入为1200元，2016年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率．21．如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．22．若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，求11αβ+的值．23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．24．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；（3）求点B旋转到点B1的位置所经过的路线的长．25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？（2）若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？-，与y轴26．如图，抛物线2=++与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为(3,0)y x bx cD--在抛物线上．交于点C，点(2,3)（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA PD+的最小值；△的面积为6，求点Q的坐标．（3）若抛物线上有一动点Q，使ABQ参考答案1．D【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.2．D【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．A、a=0时，是一元一次方程，故A错误；B、是分式方程，故B错误；C、是二元二次方程，故C 错误；D、是一元二次方程，故D正确；故选D．【考点】一元二次方程的定义．3．D【分析】根据中心对称及轴对称的性质解答即可．【详解】选项A，成中心对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定是中心对称图形，选项A错误；选项 B.，∵正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴轴对称图形都是中心对称图形错误；选项C ，∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴中心对称图形都是轴对称图形错误；选项D.，关于中心对称的两个图形全等，正确.故选D.【点睛】本题考查了中心对称及轴对称的性质，熟知中心对称及轴对称的性质是解决问题的关键.4．A 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．【详解】将抛物线23y x =先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，可得y=3（x-2）2-4．故选A.．【点睛】本题考查了抛物线的平移变化规律，熟知抛物线的平移变化规律“左加右减，上加下减”是解决问题的关键．5．D 【解析】试题分析：求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边．x 2﹣7x+12=0，（x ﹣3）（x ﹣4）=0，x ﹣3=0，x ﹣4=0，解得：x 1=3，x 2=4，即直角三角形的两边是3和4，当3和4；当4是斜边，3是直角边时，第三边是，即第三边是5D ．【考点】勾股定理；解一元二次方程-因式分解法．6．B【解析】试题分析：根据抛物线开口方向对①进行判断；根据抛物线的对称轴位置对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，所以③错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确．故选B．考点：二次函数图象与系数的关系．7．A．【解析】试题分析：将方程左边展开，化为一元二次方程的一般形式，求出根的判别式做出判断．方程（2x+3）（x﹣1）=1可化为2x2+x﹣4=0，∵△=1﹣4×2×（﹣4）=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【考点】根的判别式．8．C【详解】解：∵y=-x2-4x+5=-（x+2）2+9，∴对称轴是x=-2，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，比较可知，B（-1，y2）离对称轴最近，C（1，y3）离对称轴最远，即y3＜y1＜y2．故选：C．9．D 【分析】先分析一次函数，得到a 、c 的取值范围后，对照二次函数的相关性质是否一致，可得答案．【详解】解：依次分析选项可得：A 、分析一次函数y=ax+c 可得，a ＞0，c ＞0，二次函数y=ax 2+bx+c 开口应向上；与图不符．B 、分析一次函数y=ax+c 可得，a ＜0，c ＞0，二次函数y=ax 2+bx+c 开口应向下，在y 轴上与一次函数交于同一点；与图不符．C 、分析一次函数y=ax+c 可得，a ＜0，c ＜0，二次函数y=ax 2+bx+c 开口应向下；与图不符．D 、一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+bx+c 常数项相同，在y 轴上应交于同一点；分析一次函数y=ax+c 可得a ＜0，二次函数y=ax2+bx+c 开口向下；符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的系数与图象的关系，有一定难度，注意分析简单的函数，得到信息后对照复杂的函数．10．C 【详解】如图，过点D 作DE ⊥DP 交BC 的延长线于E ,∵∠ADC =∠ABC =90°,∴四边形DPBE 是矩形,∵∠CDE +∠CDP =90°,∠ADC =90°,∴∠ADP +∠CDP =90°,∴∠ADP =∠CDE ,∵DP ⊥AB ,∴∠APD =90°,∴∠APD =∠E =90°,在△ADP 和△CDE 中,ADP CDE ADP E AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADP ≌△CDE （AAS ）,∴DE =DP ,四边形ABCD 的面积=四边形DPBE 的面积=18,∴矩形DPBE 是正方形,∴DP=故答案为:11．-5-1【详解】试题分析：点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，可知，两点的横纵坐标均互为相反数．所以有a=﹣5，b=﹣1．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．12．（﹣1，﹣2）＜﹣1【解析】试题分析：∵y=13（x+1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），对称轴为x=﹣1，且开口向上，∴当x＜﹣1时，函数值随x的增大而减小，故答案为（﹣1，﹣2）；＜﹣1．【考点】二次函数的性质．13．k≥-74且k≠0【解析】试题分析：∵二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，∴{49280 kk≠+≥，∴k≥﹣74且k≠0．故答案为k≥﹣74且k≠0．【考点】抛物线与x轴的交点．14．60°．【解析】试题分析：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°，∠ACO=∠A=（180°﹣∠AOC）=（180°﹣40°）=70°，由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°．故答案为：60°．【考点】旋转的性质．15．55︒【分析】先根据旋转得到E A ∠=∠，90ACE ︒∠=，然后再根据直角三角形两锐角互余即可解答．【详解】∵把ABC 绕点C 逆时针旋转90︒得到DCE ，∴90ACE ︒∠=，E A ∠=∠，∵35A ∠=︒，∴35E ︒∠=，∴90903555︒︒︒︒∠=-∠=-=CDE E 故答案为：55︒【点睛】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等．16．①③④．【解析】试题分析：∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，∴a-b 1{35c c a b c +=-=++=，解得a 1{33c a =-==，∴y=﹣x 2+3x+3，∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确；对称轴为直线332(1)2x =-=⨯-，所以，当x ＞32时，y 的值随x 值的增大而减小，故②错误；方程为﹣x 2+2x+3=0，整理得，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，所以，3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0正确，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④．故答案为①③④．【考点】二次函数的性质．17．（1）方程没有实数解（2）x 1=﹣12，x 2=23【详解】试题分析：（1）通过计算判别式的值可确定方程没有实数解；（2）先把方程变形为3x（2x+1）﹣2（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程．试题解析：（1）x2﹣4x+5=0，△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，所以方程没有实数解；（2）3x（2x+1）﹣2（2x+1）=0，（2x+1）（3x﹣2）=0，2x+1=0或3x﹣2=0，所以x1=﹣12，x2=23．【考点】解一元二次方程-因式分解法．18．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；（2）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．19．二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【解析】试题分析：设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，再将点（1，﹣6）代入求出a的值，从而得解．试题解析：∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a（1+1）2+2=﹣6，解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【考点】待定系数法求二次函数解析式．20．该村人均收入的年平均增长率为10%．【解析】试题分析：设该村人均收入的年平均增长率为x，2012年的人均收入×（1+平均增长率）2=2014年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．试题解析：设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：1200（1+x）2=1452，解得：x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．答：该村人均收入的年平均增长率为10%．【考点】一元二次方程的应用．21．（1）点C的坐标为（0，4）．（2）当x=1时，y有最大值y=﹣43+83+4=163．【解析】试题分析：（1）首先求得AB，得出OC，求得点C的坐标；（2）利用待定系数法求的函数解析式，进一步利用顶点坐标公式求得最值即可．试题解析：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AO=1，OB=3，即AB=AO+OB=1+3=4．∴OC=4，即点C的坐标为（0，4）．（2）设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、C、B三点的坐标分别代入上式，得9304a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得a=﹣43，b=83x，c=4，∴所求的二次函数解析式为y=﹣43x2+83x+4．∵点A、B的坐标分别为点A（﹣1，0）、B（3，0），∴线段AB的中点坐标为（1，0），即抛物线的对称轴为直线x=1．∵a=﹣43＜0，∴当x=1时，y有最大值y=﹣43+83+4=163．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．22．2-3．【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得出α+β=2、α•β=﹣3，将代数式11αβ+通分可得出+αβαβ，再代入数据即可得出结论．试题解析：∵α、β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，α•β=﹣3，∴11αβ+=+αβαβ=2-3=2-3．【考点】根与系数的关系．23．△ABC 是直角三角形．理由见试题解析【详解】试题分析：根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a 2=b 2+c 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．试题解析：△ABC 是直角三角形，理由是：∵关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0，∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形．【考点】根的判别式．24．（1）135°．（2）证明见解析（3）【解析】试题分析：（1）图形在旋转过程中，边长和角的度数不变；（2）可证明OA ∥A 1B 1且相等，即可证明四边形OAA 1B 1是平行四边形；（3）利用弧长公式求得点B 划过的弧长即可．试题解析：（1）因为，∠OAB=90°，OA=AB ，所以，△OAB 为等腰直角三角形，即∠AOB=45°，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即OA 1=OA=6，对应角∠A 1OB 1=∠AOB=45°，旋转角∠AOA1=90°，所以，∠AOB 1的度数是90°+45°=135°．（2）∵∠AOA 1=∠OA 1B 1=90°，∴OA ∥A 1B 1，又OA=AB=A 1B 1，∴四边形OAA 1B 1是平行四边形．（3）L=90180⨯π【考点】旋转的性质；平行四边形的判定；弧长的计算．25．（1）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．【解析】试题分析：（1）设每件衬衫应降价x 元，根据每件的利润×销售量=平均每天的盈利，列方程求解即可；（2）根据：总利润=单件利润×销售量列出函数关系式，配方成二次函数顶点式可得函数最值情况．试题解析：（1）设每件衬衫应降价x 元，则依题意，得：（40﹣x ）（20+2x ）=1200，整理，得，﹣2x 2+60x+800=1200，解得：x 1=10，x 2=20，答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元；（2）设每件衬衫降价x 元时，商场平均每天赢利最多为y ，则y=（40﹣x ）（20+2x ）=﹣2x 2+60x+800=﹣2（x 2﹣30x ）+800=﹣2（x ﹣15）2+1250∵﹣2（x ﹣15）2≤0，∴x=15时，赢利最多，此时y=1250元，答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．26．（1）223y x x =+-；（2）（3）点Q 的坐标为(0,3)-或(2,3)--或(1-+或(1-【分析】（1）将A 、D 点代入抛物线方程2y x bx c =++，即可解出b 、c 的值，抛物线的解析式可得；（2）点C 、D 关于抛物线的对称轴对称，连接AC ，点P 即为AC 与对称轴的交点，PA+PD 的最小值即为AC 的长度，用勾股定理即可求得AC 的长度；（3）求得B 点坐标，设点()2,23Q m m m +-，利用三角形面积公式，即可求出m 的值，点Q 的坐标即可求得．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点(3,0),(2,3)A D ---，∴930,423,b c b c -+=⎧⎨-+=-⎩解得2,3,b c =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x =+-．（2）由（1）得抛物线223y x x =+-的对称轴为直线1,(0,3)x C =--．∵(2,3)D --，∴C ，D 关于抛物线的对称轴对称，连接AC ，可知，当点P 为直线AC 与对称轴的交点时，PA PD +取得最小值，∴最小值为AC ==（3）设点()2,23Q m m m +-，令2230y x x =+-=，得3x =-或1，∴点B 的坐标为(1,0)，∴4AB =．∵6QAB S = ，∴2142362m m ⨯⨯+-=，∴2260m m +-=或220m m +=，解得：1m =-1-0或2-，∴点Q 的坐标为(0,3)-或(2,3)--或(1-或(1-．【点睛】本题考察了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答。

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．抛物线()2211y x =--+的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()1,1-C ．()1,1D ．()1,2-3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若56ABD ∠=︒，则BCD ∠等于（）A ．16°B ．24°C ．34°D ．46°4．若1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则202024a b --的值为（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20225．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 是 CD 上的任意一点，则∠APB 的大小是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°6．若关于x 的方程x 2﹣2x ﹣k ＝0有实数根，则k 的值可能为（）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．07．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（）A ．B ．C ．16D ．88．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 关于x 轴对称，60AOC ∠=︒，90ABC ∠=︒，2OA =，将四边形OABC 绕点O 逆时针旋转90°后得到四边形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2021次得到四边形202120212021OA B C ，那么点2021B 的坐标是（）A ．()1+B ．()3,0C ．()0,1-D ．()3,0-10．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m二、填空题11．若一元二次方程20x c -=的一个根为x =，则另一个根为______．12．将抛物线()232y x =--向右平移1个单位长度后经过点()2,A m ，则m 的值为______．13．某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，可列方程为______．14．如图，以O 为圆心的圆与直线2y x =-+相交于A ，B 两点，若OAB 恰为等边三角形，则弧AB 的长度为______．15．如图，在Rt ABC △中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，将OA 绕点O 逆时针旋转()0180θθ︒<<︒至OP ，当BCP 恰为以BC 为腰的等腰三角形时，θ的值为______．三、解答题16．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()4,5A -，()3,0B -，()2,2C -．（1）若ABC 经过平移后得到111A B C △，已知点1C 的坐标为()3,2，写出顶点1A ，1B 的坐标，并画出111A B C △．（2）将ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到222A B C △，画出222A B C △．（3）若ABC 和333A B C △关于原点O 成中心对称，画出333A B C △．17．如图，在半圆O 中，P 是直径AB 上一动点，且6AB cm =，过点P 作PC AB ⊥交半圆O 于点C ，连接BC ，过点P 作PD BC ⊥于点D ．小明根据学习函数的经验，对线段AP ，CP ，PD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．对于动点P 在AB 上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP ，CP ，PD 的长度的几组值，如下表：位置长度位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10/AP cm 0.370.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51/CP cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65/PD cm1.401.962.272.312.272.131.871.390.890.48在AP ，CP ，PD 的长度这三个量中，若确定AP 的长度是自变量，CP 的长度和PD 的长度都是这个自变量的函数．（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，分别画出CP ，PD 的长度关于AP 的长度的函数图象．（2）结合函数图象，解决问题：当2CP PD =时，AP 的长度约为______cm ．（精确到0.1cm ）．18．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，BC 为⊙O 的直径，在线段OC 上取点D （不与端点重合），作DG ⊥BC ，分别交AC 、圆周于E 、F ，连接AG ，已知AG ＝EG ．（1）求证：AG 为⊙O 的切线；（2）已知AG ＝2，填空：①当四边形ABOF 是菱形时，∠AEG ＝°；②若OC ＝2DC ，△AGE 为等腰直角三角形，则AB ＝．19．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程32230x x x --=，通过因式分解可以把它转化为()2230x x x --=，解方程0x =和2230x x --=，可得方程32230x x x --=的解．问题：（1）方程32230x x x --=的解是10x =，2x =______，3x =______．（2）求方程32616x x x =+的解．拓展：（3）用“转化”x =的解．20．问题发现：（1）如图1，已知C 为线段AB 上一点，分别以线段AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，90ACD ∠=︒，CA CD =，CB CE =，连接AE ，BD ，线段AE ，BD 之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：（2）如图2，把Rt ACD △绕点C 逆时针旋转，线段AE ，BD 交于点F ，则AE 与BD 之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC CD =，BC CE =，90ACD BCE ∠=∠=︒，连接AB ，AE ，AD ，把线段AB 绕点A 旋转，若5,AB =，3AC =，请直接写出旋转过程中线段AE 的最大值．21．用适当的方法解下列方程：（1）()2222x x -=-（2）21080x x -+=22．如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点．（1）求证：PN 与⊙O 相切；（2）如果∠MPC=30°，，求劣弧 BE的长．23．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：A ADE ∠=∠；（2）若12AD =， 6.5DE =，求BC 的长．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠交x 轴于A ，B 两点，已知点A 的坐标为()4,0-，2AO BO =．（1）求抛物线的解析式．（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，x轴于E，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由，∠=∠，请直接写出点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得OPC OAC参考答案1．B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可．【详解】A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B：是轴对称图形，是中心对称图形，故正确；C：不是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；故答案选B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的分辨，熟记轴对称和中心对称的有关概念是解题的关键．2．C 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的图象和性质可以得到解答．【详解】解：∵二次函数()2y a x h k =-+图象的顶点坐标为（h,k ），∴抛物线()2211y x =--+的顶点坐标是（1，1），故选C ．【点睛】本题考查抛物线的应用，熟记二次函数的顶点式及其对应性质是解题关键．3．C 【分析】先根据圆周角定理由AB 是O 的直径得到90ADB ∠=︒，再根据互余得到9034A ABD Ð=°-Ð=°，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90905634A ABD \Ð=°-Ð=°-°=°，34BCD A \Ð=Ð=°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟悉相关性质是解题的关键．4．D 【分析】把1x =代入一元二次方程220x ax b ++=，得到21a b +=-，代入求职即可；【详解】∵1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，∴120a b ++=，∴21a b +=-，∴()()2020242020222020212022--=-+=-⨯-=a b a b ；故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，结合代数式求值是解题的关键．5．B 【分析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．【详解】解：连接OA 、OB 、如图所示：∵∠AOB ＝3606︒＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，故选：B ．【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．6．D 【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k 的范围即可．【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣2x ﹣k ＝0有实数根，∴△＝4+4k ≥0，解得：k≥﹣1．故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．7．A【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2求出CO及OP的长，再根据勾股定理可求出AP的长，进而得出结论．【详解】连接OA，∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，∴CO＝6，PO=4，∵AB⊥CD，∴，∴AB＝2AP＝2⨯=故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．C【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点．对照四个选项可知C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．9．A【分析】连接AC 交OB 于E ．解直角三角形求出点B 的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：连接AC 交OB 于E ．由题意，2OA OC ==，60AOC ∠=︒，90ABC ∠=︒，四边形AOCB 关于x 轴对称，30AOE ∴∠=︒，45ABE ∠=︒，cos30OE OA \=°=g ．sin 301AE EB OA ==°=g ，1B \，0)，11)B ，2(1B -，0)，3(0,1)B -，41B ，0)，观察图象可知，4次一个循环，202145051¸=Q L ，2021B \的坐标与1B 相同，故选：A ．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，熟悉探究规律的方法是解题的关键．10．B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+，代入得12a =-，12c =，∴抛物线的解析式为21122y x =-+．当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6B C B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．11．x =【分析】将一元二次方程20x c -=的一个根代入方程，求出c 的值，再利用直接开平方的方法解方程，求另一根即可．【详解】若一元二次方程20x c -=的一个根为x =，把x =20c -=，3c =，原方程为：230x -=，直接开平方得=x ±，则另一个根为x =故答案为：x =．【点睛】本题考查一元二次方程的根与解法问题，掌握一元二次方程的根的意义与方程的解法，会用已知根求待定系数，会解方程求其它根是解题关键．12．2【分析】根据“左加右减”的法则，求出抛物线的解析式，然后将点()2,A m 代入进行解答即可．【详解】解：将抛物线()232y x =--向右平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为()()2231242y x x =---=--，将点()2,A m 代入得：()22422m =--=，故答案是：2．本题考查的是二次函数图象平移的法则和根据二次函数关系式求参数，熟悉相关性质是解答此题的关键．13．()11452x x -=【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数为(1)2x x -，即可列方程．【详解】解：设一共有x 个球队参赛，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：()11452x x -=故答案为：()11452x x -=．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．14．9【分析】设直线2y x =-+交坐标轴于点C 、D ，作OE ⊥CD 于点E ，根据直线解析式求得C 、D 点坐标，得到CD 长，根据三角形面积公式得到OE 长，然后利用弧长公式，即可得到弧AB 的长度．【详解】设直线2y x =-+交坐标轴于点C 、D ，作OE ⊥CD 于点E当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，故点C 的坐标为（0，2），点D （2，0），故CD=，∵根据三角形面积公式，得：22OD OC CD OE ∙∙=，∴，∵△OAB 是等边三角形，∴60AOB ∠=︒∴OA===︒sin 6032OE ，∴弧AB的长度为：π⨯603=1809，故答案为：26π9．【点睛】本题考查弧长的计算、等边三角形的性质、一次函数与几何综合，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP 或BC=PC 两种情况说明讨论．【详解】解：当BC BP =时，如图1．∵90ACB ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，∴CO OA OP OB ===，∴COB POB ≌△△，∴20ABP ABC ∠=∠=︒，∴22040θ=⨯︒=︒；当BC PC =时，如图2，同理可证COB COP ≌△△，∴20P ABC OCB OCP ∠=∠=∠=∠=︒，∴140COP COB ∠=∠=︒，∴14040100θ=︒-︒=︒．故答案为40°或100°．【点睛】本题考查直角三角形和等腰三角形的综合运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形等边对等角的性质是解题关键．16．（1）1A ()1,5，1B ()2,0，见解析；（2）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据点C 平移后的坐标C 1，可以得到平移的规律，然后根据规律把A 、B 的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得；（2）把点A 、B 、C 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到A 2、B 2、C 2，连接三点坐标即可；（3）作出A 、B 、C 关于原点O 的中心对称点333A B C 、、，连接三点坐标即可．【详解】解：（1）如图，111A B C △即为所作；因为点()2,2C -平移后的对应点1C 的坐标为()3,2，所以ABC 向右平移5个单位长度得到111A B C △，所以点1A 的坐标为()1,5，点1B 的坐标为()2,0；（2）如图，作A 、B 、C 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到A 2、B 2、C 2，连接三点坐标得222A B C △即为所作；（3）如图，作出A 、B 、C 关于原点O 的中心对称点333A B C 、、，连接333A B C △即为所作．【点睛】本题考查了图形的作法，图形的平移、图形的旋转和图形的中心对称的作法，熟练掌握作图是做题的关键．17．（1）图见解析；（2）4.5【分析】（1）先描点，再画出图象即可；（2）由函数图象推断即可得出答案．【详解】（1）由图表观察，可看出随着AP 的变化，CP 和PD 都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP 的长度是自变量，CP 和PD 的长度都是这个自变量的函数．所以通过秒点，连线作函数图象如下：（2）由图象可推断：当2CP PD 时，线段AP 的长度约为4.5．【点睛】此题主要考查函数的概念和图象，正确理解函数的概念是解题关键．18．（1）证明见解析；（2）①60，②2．【分析】（1）连接OA ，证明∠OAG=90°，即可证得AG 为⊙O 的切线；（2）①连接OA ，AF ，OF ，当四边形ABOF 为菱形，则△AOB 为等边三角形，从而求出∠ACB ，∠DEC 的度数，根据对顶角相等即可得到∠AEG 的度数；②若△AGE 为等腰直角三角形，则可以得出△DEC,△ABC 均为等腰三角形，通过证明四边形AODG 是矩形，得到DC=AG ，从而得到BC 的长度，根据等腰直角三角形的性质，即可求出AB 的长．【详解】（1）证明：连接OA ．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵GA ＝GE ，∴∠GAE ＝∠GEA ，∵DG⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCA+∠DEC＝90°，∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，∴∠OAC+∠GAE＝90°，∴∠OAG＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为60．②如图3中，连接OA．∵△AGE 是等腰直角三角形，∴∠AEG ＝∠DEC ＝∠DCE ＝45°，∴△EDC ，△ABC 都是等腰直角三角形，∵OB ＝OC ，∴AO ⊥OC ，∴∠AOD ＝∠ODG ＝∠G ＝90°，∴四边形AODG 是矩形，∴AG ＝OD ＝2，∴OC ＝2OD ＝4，∴BC ＝2OC ＝8，∴AB ＝AC ＝2，故答案为2．【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．19．（1）1-，3；（2）10x =，22x =-，38x =；（3）3x =【分析】（1）32230x x x --=各项都有x ，提出公因式x ，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为()()130x x x +-=，解之即可，（2）方程32616x x x =+，化为一般形式326160x x x --=，各项都有x ，提出公因式x ，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为()()280x x x +-=解之即可，（3215x x -+=，方程两边平方，整理得22150x x +-=，利用十字相乘法分解为()()530x x +-=，解之求出x ，要注意无理方程的条件限定2150,0,x x -+≥⎧⎨≥⎩，进行取舍即可．【详解】解：（1）32230x x x --=，2(23)0x x x --=()()130x x x +-=123=0=13x x -=，，x 故答案为：1-；3．（2）方程32616x x x =+，可化为326160x x x --=，()26160x x x --=，()()280x x x +-=．∴0x =或20x +=或80x -=，∴10x =，22x =-，38x =．（3x =，方程两边平方，得2215x x -+=，即22150x x +-=，()()530x x +-=，∴50x +=或30x -=，15x =-，23x =．∵2150,0,x x -+≥⎧⎨≥⎩得07.5x ≤≤，∴3x =是原方程的解．【点睛】本题考查因式分解法解高次方程与无理方程问题，掌握因式分解的方法，和使无理方程有意义的条件，会用因式分解法解方程是解题关键．20．问题发现：（1）AE BD =；AE BD ⊥；拓展探究：（2）成立，理由见解析；拓展延伸：（3）5+【分析】问题发现：（1）根据题目条件证△ACE ≌△DCB ，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：（2）依然用SAS 证ACE DCB ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可证得；拓展延伸：（3）如图2，连接BD ，证明()ACE DCB SAS ≌，再通过ADB △的三边关系即可求解.【详解】解：问题发现：（1）如下图，延长BD ，交AE 于点F ，∵90ACD ∠=︒∴90,ACE DCB ︒∠=∠=又∵,CA CD CB CE==∴B ACE DC ≅∆ （SAS ），∴AE=BD ，∠CAE=∠CDB∵90CDB CBD ∠+∠=︒∴90CAE CBD ∠+∠=︒∴90AFD ∠=︒∴AF FB⊥∴AE ⊥BD ，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥拓展探究：（2）成立．理由：如图1，设CE 与BD 相交于点G ．∵90ACD BCE ∠=∠=︒，∴ACE BCD ∠=∠．又∵CB CE =，AC CD =，∴()ACE DCB SAS ≌，∴AE BD =，AEC DBC ∠=∠．∵90CBD CGB ∠+∠=︒，∴90AEC EGF ∠+∠=︒，∴90AFB ∠=︒，∴BD AE ⊥．拓展延伸：（3）AE 的最大值为5+．提示：如图2，连接BD ．∵90ACD BCE ∠=∠=︒，∴ACE BCD ∠=∠，又∵CB CE =，AC CD =，∴()ACE DCB SAS ≌，∴AE BD =，∵3AC CD ==，90ACD ∠=︒，∴=AD 在ADB △中，BD AD AB ≤+，∴5BD ≤，故AE 的最大值为5+【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，有2个形状相同的图形，有一个公共点，就是手拉手模型，手拉手模型必有全等，证明方法都是用“SAS”，所以熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．21．（1）12x =，2 2.5x =；（2）15x =25x =【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【详解】解：（1）22(2)2x x -=- ，22(2)(2)0x x ∴---=，则(2)(25)0x x --=，20x ∴-=或250x -=，解得12x =，2 2.5x =；（2）21080x x -+= ，2108x x ∴-=-，则21025825x x -+=-+，即2(5)17x -=，5x ∴-=则15x =25x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22．（1）证明见解析（2）43π【分析】（1）连接OE ，过O 作OF ⊥PN ，如图所示，利用AAS 得到△PEO ≌△PFO ，得到OF=OE ，即可确定出PN 与圆O 相切；（2）在Rt △POE 中，由∠MPC=30°，PE=，得到∠EOP=60°，OE=2，∠EOB=120°，利用弧长公式即可求出劣弧 BE的长．【详解】解：（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∵∠EPO=∠FPO，∠OEP=∠OFP，OP=OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，则PN与圆O相切；（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，则 BE的长l=1202180π⨯=43π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．23．（1）证明见解析；（2）15.2 BC=【分析】（1）连接OD，利用切线的性质与已知的直角，结合互余的性质可得答案，（2）连接CD，结合（1）问的结论，利用直径所对的圆周角是直角，证明AE=CE，设BD x=，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）证明：连接OD，DE是切线，90ODE ∴∠=︒，90ADE BDO ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OD OB =，B BDO ∴∠=∠，ADE A ∴∠=∠．（2）解：连接CD ．ADE A ∠=∠，AE DE ∴=，BC 是⊙O 的直径，90ACB ∠=︒，EC ∴是⊙O 的切线，ED EC ∴=，AE EC ∴=，5DE =，210AC DE ∴==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-，22226(8)10x x ∴+=+-，解得92x =，152BC ∴==．【点睛】本题考查圆的基本性质，切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．24．（1）233384y x x =+-；（2）存在，32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）3211,22⎛--+ ⎪⎝⎭或3211,22⎛--- ⎪⎝⎭【分析】（1）点A 的坐标为()4,0-，2AO BO =求出BO =2，设抛物线的解析式为()()24228y a x x ax ax a =+-=+-，由题意得83a -=-，解出即可，（2）存在．先求出AC 的解析式，设点D 的坐标为233384m m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，点E 的坐标为334m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，求出DE 距离解析式233333484DE y m m m ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用配方法求y 的最值即可，（3）点P 的坐标为3211,22⎛--+ ⎪⎝⎭或3211,22⎛--- ⎪⎝⎭．以线段AC 为直径作M ，分别交抛物线的对称轴于P ，Q 两点，求出AC 中点M 的坐标．过M 作MN ⊥PQ 于N ，求出弦心距MN 的长，连接PM 、QM ，利用勾股定理PN ，QN 即可．【详解】解：（1）∵点A 的坐标为()4,0-，AO =4,2AO BO =，BO =2，∴点B 的坐标为()2,0，设抛物线的解析式为()()24228y a x x ax ax a =+-=+-，∴83a -=-，解得38a =，∴抛物线的解析式为()()3428y x x =+-，即233384y x x =+-；（2）存在．理由：如图1，设直线AC 的解析式为3y kx =-，将点()4,0A -代入3y kx =-得34k =-，∴直线AC 的解析式为334y x =--，设点D 的坐标为233,384m m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，点E 的坐标为3,34m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()22233333333324848282DE y m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵308-<，∴当2m =-时，DE y 有最大值，∴点E 的坐标为32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）点P 的坐标为3211,22⎛--+ ⎝⎭或3211,22⎛--- ⎝⎭．如图2，以线段AC 为直径作M ，分别交抛物线的对称轴于P ，Q 两点，连接MP ，MQ ，作MN PQ ⊥，垂足为N ，∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,3-，∴AC 中点M 的坐标为32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∵抛物线233384y x x =+-的对称轴为直线1x =-，∴()121MN =---=．由勾股定理得5AC =，故1522MP MQ AC ===．在Rt MNP △中，52MP =，1MN =，∴212PN ==．∵点N 的坐标为31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点P 的坐标为3211,22⎛--+ ⎝⎭，点Q 的坐标为3211,22⎛--- ⎝⎭．由圆周角定理知OPC OQC OAC ∠=∠=∠，故点P 的坐标为3211,22⎛--+ ⎝⎭或3211,22⎛--- ⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线解析式，直线解析式，满足条件点坐标问题，掌握抛物线的性质，会求抛物线的解析式，直线解析式，会利用配方法求距离函数的最值，会利用同弧圆周角确定对称轴的交点，利用勾股定理求弦长是关键．。

九年级（上）期中数学试卷11一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）已知点A（a，﹣1）与B（2，b）是关于原点O的对称点，则（ ）A．a＝﹣2，b＝﹣1B．a＝﹣2，b＝1C．a＝2，b＝﹣1D．a＝2，b＝1 2．（4分）对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．与x轴有两个交点D．顶点坐标是（1，2）3．（4分）若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣3）2﹣4，则b的值分别为（ ）A．0B．5C．6D．﹣64．（4分）关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝k﹣2019，下列说法错误的是（ ）A．k＝2017方程无实数解B．k＝2018方程有一个实数解C．k＝2019有两个相等的实数解D．k＝2020方程有两个不相等的实数解5．（4分）以x＝为根的一元二次方程可能是（ ）A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝0 6．（4分）若⊙O半径为1，点P到圆心O的距离为d，关于的方程x2﹣2x+d＝0有两个实数根，则点P在（ ）A．⊙O的内部B．⊙O上C．⊙O的外部D．在⊙O上或⊙O的内部7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）A．3B．2C．2D．48．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（ ）A．2，B．2，πC．，D．2，9．（4分）为迎接“双十一”促销活动，某服装店从10月份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价500元的秋装，优惠后实际仅需320元．设该店秋装原本打x折，则有（ ）A．500（1﹣2x）＝320B．500（1﹣x）2＝320C．500（）2＝3200D．500（1）2＝32010．（4分）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（ ）A．12B．18C．24D．36二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是 ．12．（4分）已知关于x的方程x2﹣2mx﹣5n＝0有一个非零根n，则2m﹣n的值是 ．13．（4分）在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣3），点B绕点A逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 ．14．（4分）如图，AB为⊙O的弦，AC切⊙O于点A，BC过圆心O，若∠B＝20°，则∠C ＝ ．15．（4分）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶的时间t（秒）函数关系式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后停下来前进了 米．16．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣3＜x＜﹣2时，y＞0；当3＜x＜4时，y＜0．则a与c满足的关系式是 ．三、解答：（9小题，共86分）17．（8分）解方程：x2﹣4x+1＝0．18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4（1）以点D为对称中心，作出△ABD的中心对称图形；（2）求点A到BC的距离．19．（8分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为101cm2的矩形？请说明理由．20．（8分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．（1）求证：AP＝BQ；（2）当PQ⊥BQ时，求AP的长．21．（8分）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD∥AC交BC于点E．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+b的顶点在x轴上，P（p，m），Q（q，m）（p＜q）是抛物线上的两点．（1）当m＝b时，求p，q的值；（2）将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程．23．（11分）已知绿茶每千克成本50元，经研究发现销量y（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如表所示：销售单价x（元/kg）…7075808590…月销售量y（kg）…10090807060…（1）请根据上表，写出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）若该绿茶的月销售利润为w（元），且售单价得高于80元，求w与x之间的函数关系式，并求出x为何值时，w的值最大？（3）已知商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，在第一个月，按使w获得最大值的销售单价进行销售后；在第二个月受物价部门干预，销售单价不得高于78元，要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到1722元，求第二个月的销售单价的取值范围？24．（12分）如图，已知点A、B、P、D、C都在在⊙O上，且四边形BCEP是平行四边形．（1）证明：＝；（2）若AE＝BC，AB＝，的长度是，求EC的长．25．（13分）如图①，将抛物线y＝ax2（﹣1＜a＜0）平移到顶点恰好落在直线y＝x﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式（用含a、m的代数式表示）（2）如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、C三点，∠B＝90°，AB∥x轴，AD＝2，BD：BC＝1：2．①求△ADC的面积（用含a的代数式表示）②若△ADC的面积为1，当2m﹣1≤x≤2m+1时，y的最大值为﹣3，求m的值．参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）1．B；2．D；3．D；4．B；5．A；6．D；7．A；8．D；9．C；10．B；二、填空题（每题4分，共24分）11．x1＝0，x2＝3；12．﹣5；13．（4，﹣1）；14．50°；15．；16．c＝﹣8a；三、解答：（9小题，共86分）17【解答】解：移项得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，开方得：x﹣2＝±，∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．18【解答】解：（1）如图，△ECD为所作；（2）作AH⊥BD于H，如图，∵AD为中线，∴BD＝CD，而AD＝ED，∠ADB＝∠EDC，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE＝AB＝6，∠E＝∠BAD，在△AEC中，∵CE＝6，AE＝8，AC＝10，∴CE2+AE2＝AC2，∴△AEC为直角三角形，∠E＝90°，∴∠BAD＝90°，在Rt△BAD中，BD＝＝2，∵×BD×AH＝×AB×AD，∴AH＝＝，即点A到BC的距离为．19【解答】解：不能．理由如下：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）＝101时，x2﹣20x+101＝0，△＝b2﹣4ac＝202﹣4×101＝﹣4＜0，所以此一元二次方程无实数根．故用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为101cm2的矩形．20【解答】（1）证明：如图1中，∵CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴PA＝BQ．（2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H．∵PQ⊥BQ，∴∠PQB＝90°，∵∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴∠CQB＝135°，∵△ACP≌△CBQ，∴∠APC＝∠CQB＝135°，∴∠APC+∠CPQ＝180°，∴A、P、Q共线，∵PC＝2，∴CH＝PH＝，在Rt△ACH中，AH＝＝＝，∴PA＝AH﹣PH＝﹣．21【解答】解：（1）∵OD⊥BC于E，∴＝，∴BD＝CD，∴△BDC是等腰三角形．（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC于E，∴OD∥AC，∵点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AC＝×6＝3，在Rt△OBE中，∵BE＝4，OE＝3，∴OB＝＝＝5，即OD＝OB＝5，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．22【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x+b的顶点在x轴上，∴＝0，∴b＝1．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．∵m＝b＝1，∴x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2，∴p＝0，q＝2；（2）设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k．∵抛物线的对称轴是x＝1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，∴（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点，∴（3﹣1）2+k＝0，即k＝﹣4，∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位．23【解答】解：（1）根据表格数据可知：设y＝kx+b，将（70，100），（75，90）代入上式，得解得所以y＝﹣2x+240；答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+240．（2）根据题意，得w＝（x﹣50）•y＝（x﹣50）（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450当x＝85时，w的值最大，答：销售单价为85元时，w的值最大．（3）由（2）可知：第一个月还有3000﹣2450＝550元的投资成本没有收回，则要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到1722元，即w＝1722+550＝2272才可以．可得方程：﹣2（x﹣85）2+2450＝2272解得x1≈75.5，x2≈94.5（不符合题意，舍去）∵﹣2＜0，∴当x＜85时，w随x的增大而增大，∵销售单价不得高于78元，∴75.5≤x≤78．答：第二个月的销售单价的取值范围是75.5≤x≤78元．24【解答】（1）证明：连接PC，如图1，∵四边形BCEP是平行四边形，∴PE∥BC，∠E＝∠PBC，∴∠EPC＝∠PCB，∴＝；（2）解：如图2，连接AP、BD、CD、OA、OB、OC、OD、OP∵四边形PBCD是圆内接四边形，四边形APDC是圆内接四边形，∴∠EDC＝∠PBC＝∠PAC，∴△APE和△CDE是等边三角形，∴∠EAP＝60°，∵PB∥EA，∴∠APB＝∠EAP＝60°，∴∠AOB＝120°，作OF⊥AB于F，则∠AOF＝∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝，∴OA＝＝1，∵的长度是，∴＝，∴n＝30°，∴∠POD＝30°，∴∠PBD＝15°，∵∠PBC＝∠E＝60°，∴∠DBC＝45°，∴∠DOC＝90°，∵OC＝OD＝1，∴CD＝，∵△ECDs是等边三角形，∴EC＝CD＝．25【解答】解：（1）抛物线的顶点在直线y＝x﹣3上，横坐标为m，则顶点的坐标为（m，m﹣3），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+m﹣3＝ax2﹣2amx+am2+m﹣3；（2）①如图所示，AB∥x轴，AD＝2，∴点D（m+1，a+m﹣3），设：BD＝t，∵BD：BC＝1：2，则BC＝2t，则点C（m+1+t，a+m﹣3﹣2t），又点C在抛物线上，则：a+m﹣3﹣2t＝a（m+t+1﹣m）2+m﹣3，解得：t＝0（舍去）或﹣，∴S△ADC＝AD•CB＝﹣；②若△ADC的面积为1，则＝﹣＝1，解得：a＝﹣；∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m﹣3；当m＞2m+1时，即：m＜﹣1时，﹣（2m+1﹣m）2+m﹣3＝﹣3，整理得：4m2+3m+4＝0，△＝b2﹣4ac＜0，故此方程无实数解；当2m﹣1≤m≤2m+1时，即：﹣1≤m≤1，则m﹣3＝﹣3，解得：m＝0；当m＜2m﹣1时，即：m＞1，﹣（2m﹣1﹣m）2+m﹣3＝﹣3，整理并解得：m＝（舍去负值），故：m的值为：0或．。

人教版九年级上册期中考试数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．（x﹣3）x=x2+2B．ax2+bx+c=0C．x2=1D．x2﹣+2=02．（3分）下列方程中没有实数根的是（）A．x2+x+2=0B．x2+3x+2=0C．2015x2+11x﹣20=0D．x2﹣x﹣1=03．（3分）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（）A．x（x﹣l）=2970B．x（x﹣l）=2970C．x（x+l）=2970D．x（x+1）=29704．（3分）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1B．直线y=1C．直线y=﹣1D．直线x=﹣15．（3分）抛物线y=﹣2x2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2+3B．y=﹣2（x+1）2﹣3C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3D．y=﹣2（x ﹣1）2+36．（3分）抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m B．m＞1C．m＜1D．m且m≠18．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（）A．2B．3C．4D．89．（3分）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）方程x2=2x的根为．12．（4分）如果二次函数y=（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m=．13．（4分）当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣2的值是．14．（4分）二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=．15．（4分）方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=．16．（4分）抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2﹣4x﹣1=0．18．（6分）已知抛物线y=﹣2x2+4x﹣3．（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2014年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2016年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求毎年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2016年建设了多少万平方米廉租房？21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围：（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．22．（7分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？五.解答题（每小题9分，共27分）23．（9分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24．（9分）如图，抛物线y=x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S △P AB =8，并求出此时P 点的坐标．25．（9分）如图，抛物线y=x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB +PC 的值最小时的点P 的坐标；（3）若点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，求四边形ABCM 面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2016秋•乐昌市期中）下列方程是一元二次方程的是（）A．（x﹣3）x=x2+2B．ax2+bx+c=0C．x2=1D．x2﹣+2=0【分析】根据一元二次方程的定义作出判断．【解答】解：A、由已知方程得到：3x﹣2=0，属于一元一次方程，故本选项错误；B、当a=0时，它不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程属于分式方程，故本选项错误；故选：C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．2．（3分）（2016秋•乐昌市期中）下列方程中没有实数根的是（）A．x2+x+2=0B．x2+3x+2=0C．2015x2+11x﹣20=0D．x2﹣x﹣1=0【分析】分别计算出每个选项中方程的b2﹣4ac的值，即可判断．【解答】解：A、b2﹣4ac=1﹣8=﹣7＜0，没有实数根，此选项正确；B、b2﹣4ac=9﹣8=1＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；C、b2﹣4ac=121+161200=161321＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；D、b2﹣4ac=1+4=5＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．（3分）（2016秋•乐昌市期中）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（）A．x（x﹣l）=2970B．x（x﹣l）=2970C．x（x+l）=2970D．x（x+1）=2970【分析】设全班有x名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了2970张可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；又∵是互送贺卡，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2970．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意后，类比数线段来做，互赠张数就像总线段条数，人数类似线段端点数．4．（3分）（2012•西城区校级模拟）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1B．直线y=1C．直线y=﹣1D．直线x=﹣1【分析】根据顶点式二次函数解析式写出对称轴解析式即可．【解答】解：抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为x=﹣1．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式解析式是解题的关键．5．（3分）（2016秋•乐昌市期中）抛物线y=﹣2x2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2+3B．y=﹣2（x+1）2﹣3C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3D．y=﹣2（x ﹣1）2+3【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），所以，平移后的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．6．（3分）（2014•徐汇区一模）抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为的是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，﹣3）．故选B．【点评】此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．7．（3分）（2014•罗平县校级模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m B．m＞1C．m＜1D．m且m≠1【分析】由方程有实数根得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出m的范围．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，∴△=1﹣4（m﹣1）≥0，且m﹣1≠0，解得：m≤且m≠1．故选D【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．8．（3分）（2013•黄冈）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（）A．2B．3C．4D．8【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=6，解得α=4．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．9．（3分）（2011•钦州）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．【解答】解：∵在y=ax﹣2，∴b=﹣2，∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，∵①当a＞0时，∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，∵②当a＜0时，∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．10．（3分）（2016秋•乐昌市期中）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2【分析】分别把﹣4、﹣1、1代入解析式进行计算，比较即可．【解答】解：y1=﹣（﹣4+2）2﹣1=﹣3，y2=﹣（﹣1+2）2﹣1=﹣，y3=﹣（1+2）2﹣1=﹣，则y3＜y1＜y2，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上点的坐标满足其解析式．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2015秋•北塘区期末）方程x2=2x的根为x1=0，x2=2．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，或x﹣2=0，x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．12．（4分）（2012•闸北区一模）如果二次函数y=（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m=﹣2．【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m，注意二次项系数m﹣2≠0．【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y=（m﹣2）x2+x+（m2﹣4）上，∴m2﹣4=0，解得m=±2，又二次项系数m﹣2≠0，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键，判断二次项系数不为0是难点．13．（4分）（2015•科左中旗校级一模）当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣2的值是4．【分析】根据题意求出x2+3x的值，原式前两项提取3变形后，将x2+3x的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵x2+3x+5=7，即x2+3x=2，∴原式=3（x2+3x）﹣2=6﹣2=4．故答案为：4．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（4分）（2016秋•乐昌市期中）二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=﹣1．【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=﹣1对称，由此可得到抛物线的对称轴．【解答】解：∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同，∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=﹣1对称，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．15．（4分）（2016秋•乐昌市期中）方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=﹣2．【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意，得|m|=2，且m﹣2≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．16．（4分）（2016秋•乐昌市期中）抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是x＞3或x＜﹣1．【分析】由函数图象可知抛物线的对称轴为x=1，从而可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），y＜0，找出抛物线位于x轴下方部分x的取值范围即可．【解答】解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．∵y＜0，∴x＞3或x＜﹣1．故答案为：x＞3或x＜﹣1．【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两个交点的坐标是解题的关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）（2011•清远）解方程：x2﹣4x﹣1=0．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0，∴x2﹣4x=1，∴x2﹣4x+4=1+4，∴（x﹣2）2=5，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．（6分）（2016秋•乐昌市期中）已知抛物线y=﹣2x2+4x﹣3．（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．【分析】（1）把解析式化为顶点式可求得其对称轴和顶点坐标；（2）由抛物线的开口方向及对称轴，根据抛物线的增减性可求得x的取值范围．【解答】解：（1）∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为x=l，顶点坐标为（1，﹣1）；（2）∵抛物线开口向下，且对称轴为x=1，∴当x＞l时y随x的增大而减小．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x ﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．19．（6分）（2010•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．【解答】解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根为x1=x2=2．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）（2016秋•乐昌市期中）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2014年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2016年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求毎年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2016年建设了多少万平方米廉租房？【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2016年的投资，列出方程，解方程即可；（2）2016年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得3（1+x）2=6.75，解得x=0.5或x=﹣2.5（不合题意，舍去），x=0.5×100%=50%，即每年市政府投资的增长率为50%（2）∵12（1+50%）2=27，∴.2016年建设了27万平方米廉租房．【点评】本题考查了一元一次方程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．21．（7分）（2016秋•乐昌市期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围：（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=22﹣4（2k﹣4）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；（2）先确定整数k的值为1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可．【解答】解：（1）依题意得△=22﹣4（2k﹣4）＞0，解得：k＜：（2）因为k＜且k为正整数，所以k=l或2，当k=l时，方程化为x2+2x﹣4=0，△=18，此方程无整数根；当k=2时，方程化为x2+2x=0解得x1=0，x2=﹣2，所以k=2，方程的有整数根为x1=0，x2=﹣2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．22．（7分）（2000•甘肃）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【分析】（1）由销售利润=（销售价﹣进价）×销售量可列出函数关系式；（2）应用二次函数的性质，求最大值．【解答】解：（1）依题意，y=m（x﹣20），代入m=140﹣2x化简得y=﹣2x2+180x﹣2800．（2）y=﹣2x2+180x﹣2800=﹣2（x2﹣90x）﹣2800=﹣2（x﹣45）2+1250．当x=45时，y最大=1250．∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大为1250元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，用配方法求出函数最大值即可．五.解答题（每小题9分，共27分）23．（9分）（2014秋•深圳期末）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为（200+20x），每件获得的利润为（100﹣x﹣40），此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出二次方程，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即可．【解答】解：（1）设花边的宽度为xcm，根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，解得：x=5或x=65（舍去）．答：丝绸花边的宽度为5cm；（2）设每件工艺品定价x元出售，获利y元，则根据题意可得：y=（x﹣40）[200+20（100﹣x）]﹣2000=﹣20（x﹣75）2+22500；∵销售件数至少为800件，故40＜x≤70∴当x=70时，有最大值，y=22000当售价为70元时有最大利润22000元．【点评】考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，特别是二次函数的应用，其关键是从实际问题中整理出二次函数模型，难度中等．24．（9分）（2015•大庆模拟）如图，抛物线y=x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S △P AB =8，并求出此时P 点的坐标．【分析】（1）由于抛物线y=x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，那么可以得到方程x 2+bx +c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b 、c 的值．（2）根据S △P AB =8，求得P 的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P 点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程x 2+bx +c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b ，﹣1×3=c ，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x 2﹣2x ﹣3．（2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P 的纵坐标为|y P |，∵S △P AB =8，∴AB •|y P |=8，∵AB=3+1=4，∴|y P |=4，∴y P =±4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1±2，把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S △P AB =8．【点评】此题主要考查了利用抛物线与x 轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b 、c 的方程，解方程即可解决问题．25．（9分）（2016秋•乐昌市期中）如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN丄x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN=x+2，0N=﹣x，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）由y=0，得x2+x﹣2=0解得x=﹣2x=l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．设直线AC为y=kx+b，则﹣2k+b=0，b=﹣2：得k=﹣l，y=﹣x﹣2．对称轴为x=﹣，当x=﹣时，y=_（﹣）﹣2=﹣，∴P（﹣，﹣）．（3）过点M作MN丄x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN=x+2，0N=﹣x，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣x+2，S四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC=（x+2）（﹣x2﹣x+2）+（2﹣x2﹣x+2）（﹣x）+×1×2=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当x=_l时，S四边形ABCM的最大值为4．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．。

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．方程3x 2－4x －1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A ．3和4B ．3和－4C ．3和－1D ．3和12．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（）A ．-2B ．2C ．-3D ．33．下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正方形4．将二次函数y=（x ﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（）A ．（1，3）B ．（2，﹣1）C ．（0，﹣1）D ．（0，1）5．如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到ADE ∆，使点D 落在BC 上，且60B ∠=︒，则EDC ∠的度数等于（）A ．45︒B ．30°C ．60︒D ．75︒6．已知二次函数y=3（x ﹣1）2+k 的图象上有三点A，y 1），B （2，y 2），C y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 17．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC ＋BD ＝12，则四边形ABCD 的面积最大值是（）A ．12B ．18C ．24D ．368．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是（）A ．34B ．212C 21D ．129．若二次函数2()1y x m =--，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．1m =B ．1m >C ．1m ≥D ．1m ≤10．定义符号min{a ，b}的含义为：当a≥b 时min{a ，b}=b ；当a ＜b 时min{a ，b}=a ．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x 2+1，﹣x}的最大值是（）A ．512B ．512C ．1D ．0二、填空题11．若点(2,)A a 与点(,1)B b 关于原点O 对称，则a b +=_________.12．“武汉樱花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为30万人次，2016年约为40万人次，设观赏人数年平均增长率为x ，则根据题意可列方程________.13．已知二次函数246y x x =--，若16x -<<，则y 的取值范围为______．14．二次函数221y x mx =++的图象的顶点在坐标轴上，则m 的值为__________．15．若150BAC ∠=︒，D 、E 为线段BC 上的两点，60DAE ∠=︒，且AD AE =，若3DE =，5CE =，则BD 的长为__________．16．二次函数221y ax x =-+，若对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，求实数a 的范围_______．17．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 是AB 边上的点，将ADE ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到CDF ∆.（1）画出旋转后的图形，DEF ∠=.（2）若1AE =，求DF 和EF .三、解答题18．解一元二次方程：（1）2220x x --=（2）(4)5(4)0x x x -+-=19．来自武汉高校的若干个社团参加了“敢为人先，追求卓越”的城市精神的研讨会，参加研讨会的每两个社团之间都签订了一份合作协议，所有社团共签订了45份协议，共有多少个社团参加研讨会？20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC ∆的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为(2,2),(1,0),(3,1)A B C .（1）将ABC ∆关于x 轴作轴对称变换得111A B C ∆，则点1C 的坐标为______.（2）将ABC ∆绕原点O 按逆时针方向旋转90︒得222A B C ∆，则点2C 的坐标为______.（3）在（1）（2）的基础上，图中的111A B C ∆，222A B C ∆是中心对称图形，对称中心的坐标为______.（4）若以点D 、A 、C 、B 为顶点的四边形为菱形，直接写出点D 的坐标为______.21．一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边用长为30m 的篱笆围成，墙长12m ，设平行于墙的边长为xm .（1）设垂直于墙的一边长为ym ，直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围.（2）求菜园的最大面积.22．关于x 的方程22220x x a a -+-=的两根时等腰三角形的底和腰，且这样的等腰三角形有且只有一个，求a 的范围.23．已知，点(8,0)A 、(6,0)B ，将线段OB 绕着原点O 逆时针方向旋转角度α到OC ，连接AC ，将AC 绕着点A 顺时针方向旋转角度β至AD ，连接OD .（1）当30α=︒，60β=︒时，求OD 的长.（2）当60α=︒，120β=︒时，求OD 的长.（3）已知(10,0)E ，当90β=︒时，改变α的大小，求ED 的最大值.24．如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上一点（不与点B 重合），连AD ，线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，连CE ，求证：BD ⊥CE ．25．已知抛物线顶点A 在x 轴负半轴上，与y 轴交于点B ，1OB =，OAB ∆为等腰直角三角形.（1）求抛物线的解析式（2）若点C 在抛物线上，若ABC ∆为直角三角形，求点C 的坐标（3）已知直线DE 过点(1,4)--，交抛物线于点D 、E ，过D 作//DF x 轴，交抛物线于点F ，求证：直线EF 经过一个定点，并求定点的坐标.参考答案1．B【详解】方程3x2－4x－1＝0的二次项系数是3，和一次项系数是-4.故选B.2．B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-b a，x1•x2=ca．要求熟练运用此公式解题．3．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】A.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故不符合题意；故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.4．B【详解】二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得y=（x﹣1﹣1）2﹣2+1，即y=（x﹣2）2﹣1，所以顶点坐标为（2，﹣1），故选B．5．C【分析】由题意根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，然后利用全三角形的性质进行求解即可.【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=60°.故选C.【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，全等三角形的判定及性质，邻补角的定义的有关知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键.6．D【解析】试题分析：根据二次函数的解析式y＝3(x－1)2＋k，可知函数的开口向上，对称轴为x=1，根据函数图像的对称性，可得这三点的函数值的大小为y3＞y2＞y1.故选D点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.7．B【解析】设AC=x，则BD=12−x，则四边形ABCD的面积=12AC×BD=12×x×(12−x)=−12x²+6x=−12(x−6)²+18，∴当x=6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是18，故选B.8．C【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．【详解】连接AC1，∵四边形AB 1C 1D 1是正方形，∴∠C 1AB 1=12×90°=45°=∠AC 1B 1，∵边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，∴∠B 1AB=45°，∴∠DAB 1=90°-45°=45°，∴AC 1过D 点，即A 、D 、C 1三点共线，∵正方形ABCD 的边长是1，∴四边形AB 1C 1D 1的边长是1，在Rt △C 1D 1A 中，由勾股定理得：AC 122121+，则DC 12-1，∵∠AC 1B 1=45°，∠C 1DO=90°，∴∠C 1OD=45°=∠DC 1O ，∴DC 12-1，∴S △ADO =12×OD•AD=212，∴四边形AB 1OD 的面积是=2×2122-1，故选C ．9．C【详解】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m ）2-1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m ，-1），∴该二次函数图象在x ＜m 上是减函数，即y 随x 的增大而减小，且对称轴为直线x=m ，而已知中当x≤1时，y 随x 的增大而减小，∴x≤1，∴m≥1．故选C ．10．A【分析】理解min{a ，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【详解】在同一坐标系xOy 中,画出函数二次函数y =−x 2+1与正比例函数y =−x 的图象，如图所示，设它们交于点A.B.令21x x -+=-,即210,x x --=解得：152x +=或152，∴15511515,,,.2222A B ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭观察图象可知：①当152x -≤时,{}2min 1,x x -+-=21x -+,函数值随x 的增大而增大,其最大值为51,2-②当151522x -+<<时,{}2min 1,x x -+-=−x ,函数值随x 的增大而减小,其最大值为1,2-③当152x +≥时,{}2min 1,x x -+-=21x -+,函数值随x 的增大而减小,最大值为152-,综上所示,{}2min 1,x x -+-的最大值是51,2-故选A.【点睛】考查二次函数，正比例函数的图象与性质，理解运算定义的内涵，结合图象求解，注意数形结合思想在解题中的应用.11．3-【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【详解】解：由题意，得a=-1，b=-2，a+b=-1-2=-3，故答案为-3．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a ，b 是解题关键．12．230(1)40x +=【分析】设观赏人数年均增长率为x ，根据2014及2016年的观赏人次，即可得出关于x 的一元二次方程．【详解】解：设观赏人数年平均增长率为x ，由题意得230(1)40x +=.故答案为230(1)40x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．106y -≤<【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：222464410(2)10y x x x x x =--=-+-=--．∴当2x =时，y 有最小值，最小值为10-．16x -<<，∴当6x =时，y 有最大值，最大值为2(62)10.6y =--=．y ∴的取值范围为106y -≤<．故答案为106y -≤<．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．1或1-或0【分析】由二次函数y=x 2+2mx+1的图象的顶点在坐标轴上，分两种情况讨论即可．【详解】解：当图象的顶点在x 轴上时，∵二次函数y=x 2+2mx+1的图象的顶点在x 轴上，∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2，∴m=±1．当图象的顶点在y 轴上时，m=0，故答案为1或−1或0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是熟记二次函数的性质．15．16.5【分析】作AH BC ⊥，求出CH 和AC 的长，作EF ⊥AD 于点F ，作AG ∥EF 交BC 于点G ，，通过证明△ABC ∽GAC,可求出BC 的值，从而可求出BD 的值.【详解】解：作AH BC ⊥，∵60DAE ∠=︒，且AD AE =，∴△ADE 是等边三角形，∴DH=HE=12DE=32，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°,∴CH=32+5=132,AH==sin60°×AD=2,∴7=.作EF ⊥AD 于点F ，作AG ∥EF 交BC 于点G ，则∠AEF=∠DEF=30°,AF=DF ，∴∠AGC=150°，GE=DE=3，∴CG=2，∵150BAC ∠=︒，∴∠BAC=∠AGC,∵∠C=∠C,∴△ABC ∽GAC,∴BC AC AC CG =,∴772BC =,∴BC=492,∴BD=492-3-5=16.5.故答案为16.5.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数的知识，平行线分线段成比例定理，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.16．59a ≥【分析】由对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，用含x 的代数式表示出a 的取值范围，然后讨论含x 的代数式的取值即可求出实数a 的范围.【详解】∵对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，∴2210ax x -+>，即2221111x a x x -⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭+对34x <<成立，∵当34x <<时，2111x ⎛⎫-- ⎪⎭+⎝的值随x 的增大而减小，∴当x=3时，2111x ⎛⎫-- ⎪⎭+⎝取得最大值2119451=⎛⎫⎪⎭+-- ⎝，∵对满足34x <<的任意实数x 都有0y >成立，∴59a ≥.故答案为59a ≥.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的解法，二次函数的图像与性质，注意运用讨论二次项的系数和参数分离，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.17．解：（1）45︒；（2）DF =，E F =.【分析】（1）根据题意作出图形，然后再利用旋转的性质进行解答即可；（2）根据勾股定理求出DE 的长，从而得到DF 的长，最后再利用勾股定理求出EF 的长即可.【详解】（1）解：如图，由旋转角的定义可得∠EDF=90°，∴∠DEF=45°；（2）解：∵AE=1，AD=3，∴=由旋转的性质可得：DE=DF ，∴DF =，∵∠EDF=90°，DE=DF ，∴EF ==.【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、正方形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．（1）1x =±；（2）14x =，25x =-.【分析】（1）用配方法求解即可；（2）用因式分解法求解即可；【详解】（1）∵2220x x --=，∴222x x -=，∴22121x x -+=+，∴(x-1)2=3，∴x-1=±∴1x =±;（2）∵(4)5(4)0x x x -+-=,∴(4)(5)0x x -+=,∴x-4=0,或x+5=0,∴14x =，25x =-.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.19．10个.【分析】因为参加研讨会的每两个社团之间都签订了一份合作协议，设有x 个社团参加，则每个社团要签（x-1）份合同，签订合同共有1(1)452x x -=份，由题意列方程即可．【详解】解：设有x 个社团参加，依题意，得1(1)452x x -=解得：110x =，29x =-（舍去）.答：共有10个社团参加研讨会【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的一般思路是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．20．（1）(3,1)-；（2）(1,3)-；（3）11(,22；（4）(4,3).【分析】（1）根据轴对称图形的性质可知点C 的坐标为（3，-1）；（2）根据旋转变换图形的性质也可求出点C 2的坐标；（3）成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标；（4）根据菱形的判定进行求解即可.【详解】（1）如图，点C 1的坐标为（3，-1）；故答案为（3，-1）；（2）点C 2的坐标为（-1，3），故答案为（-1，3）；（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称，对称中心的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭；故答案为11,22⎛⎫⎪⎝⎭；（4）∵点D 、A 、C 、B 为顶点的四边形为菱形，∴点D 的坐标为（4，3）.故答案为（4，3）.【点睛】本题主要考查的是菱形的判定，轴对称变换，旋转作图，中心对称图形，点的坐标的确定，对称中的坐标变换，旋转中的对称变换等有关知识.21．（1）115(012)2y x x =-+<≤；（2）108m 2.【分析】（1）由(总长度-平行于墙的两边的长度)÷垂直于墙这边的长度即可写出函数解析式，根据墙的长度就可以求出x 的取值范围；（2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．【详解】（1）3011522x y x -==-+（0＜x≤12）；（2）设菜园的面积是S ，则S=xy =21225(15)22x --+=21225(15)22x --+,∴对称轴为x=15，当012x <≤时，S 随x 的增大而增大，∴当x=12时，S 有最大值，此时21225(1215)10822S =-⨯-+=.答：菜园的最大面积为2108m ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题，找出题目中的等量关系，列出函数解析式是解答本题的关键．22．203a <≤或423a ≤<或1a =.【分析】根据题意先求出方程的根，然后分情况讨论求解即可.【详解】解：()[(2)]0x a x a ---=两个根为1x a =，22x a =-，（1）当a 为腰，2a -为底时，22a a a a a a +>-⎧⎨+->⎩，解得：223a <<；（2）当2a -为腰，a 为底时，(2)2(2)(2)a a a a a a +->-⎧⎨-+->⎩，解得：403a <<，这样的等腰三角形有且只有一个，所以203a <≤或423a ≤<，当底和腰相等，即等边时，2a a =-，此时1a =，综上所述，203a <≤或423a ≤<或1a =.【点睛】本题主要考查的是因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键.23．（1）10；（2）；（3）6+.【分析】（1）将AO 绕点A 顺时针方向旋转60°至AN ，连接AN ，DN.通过SAS 证明△AOC ≌△AND ，再证明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解；（2）将AO 绕点A 顺时针方向旋转120°至AN ，连接AN ，DN.通过SAS 证明△AOC ≌△AND ，再证明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解；（3）将AO 绕点A 顺时针方向旋转90°至AN ，可得点N 为（8，8），利用两点距离公式求出NE 的长，然后根据D 在线段NE 上时，DE 最小为6NE ND -=；D 在线段NE的延长线上时DE 最大为6NE ND +=，从而求出DE 的最大值.【详解】解：（1）如图1，将AO 绕点A 顺时针方向旋转60°至AN ，连接AN ，DN.则△OAN 是等边三角形.∴ON=OA=AN=8.∴∠OAN ＝∠ONA=∠CAD=60°.∴∠OAN-∠NAC ＝∠CAD-∠NAC ，即∠OAC ＝∠NAD.在△AOC 和△AND 中AO ANOAC NAD AC AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△AND （SAS ）∴OC=ND ，∠AND ＝∠AOC=30°.又∵OB=6，∴OC=ND=6.∴∠OND ＝∠ONA+∠AND=90°.∴10OD ==；（2）如图2，将AO 绕点A 顺时针方向旋转120°至AN ，连接AN ，DN ，∴△OAN 是等腰三角形，∵∠OAN=120°，∴ON ==，∠AON ＝∠ANO=30°.∵∠OAN ＝∠CAD=120°.∴∠OAN-∠NAC ＝∠CAD-∠NAC ，即∠OAC ＝∠NAD.在△AOC 和△AND 中AO ANOAC NAD AC AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△AND （SAS ），∴OC=ND ，∠AND=∠AOC=60°.∴∠OND=∠AND+∠ANO=90°，又∵OB=6，∴OC=OB=ND=6.∴OD ====（3）如图3，将AO 绕O 顺时针旋转90°到AN ，连接AN 、DN 、EN.则N 为（8，8），则NE ===.则（1）可得：△AOC ≌△AND.∴ND=OC=OB=6.当D 在线段NE 上时，DE 最小为6NE ND -=；当D 在线段NE 的延长线上时，DE 最大为6NE ND +=.即DE 的最大值为6.【点睛】本题主要考查了旋转变换，三角形全等的判定与性质，勾股定理.解题的关键是将线段AO 按AC 的旋转方式旋转，进而构造全等三角形和直角三角形求解.24．见解析【详解】试题分析:根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC =∠ACB =45°,再根据旋转性质可得AD=AE ,∠DAE =90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD =∠CAE ,然后利用”边角边”证明△BAD 和△CEF 全等,从而得证.试题解析:∵∠BAC =90°,AB=AC ,∴∠ABC =∠ACB =45°,∵∠DAE =90°,∴∠DAE =∠CAE +∠DAC =90°,∵∠BAC =∠BAD +∠DAC =90°,∴∠BAD =∠CAE ,在△BAD 和△CAE 中,AB AC BAD AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CAE,∴△BAD ≌△CAE （SAS ）,∴BD=CE ,∠ACE =∠ABC =45°,∴∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°,∴BD ⊥CE .25．（1）221y xx =++；（2）(2,1)C -或(3,4)C -；（3）（-1,4）【分析】（1）先求出顶点坐标与y 轴交点坐标，根据顶点式求二次函数解析式；（2）根据直角三角形的判定定理找出△ABC 为直角三角形，分三种情况：当A 为直角顶点时，AC ⊥AB ；当B 为直角顶点时，BC ⊥AB ；当C 为直角顶点，分别确定点C 的坐标；（3）根据二次函数与方程的关系求解．【详解】（1）∵OB=1，点B 在y 轴的正半轴上，∴B （0，1），∵△OAB 为等腰直角三角形，∴OA=OB=1，∵顶点A 在x 轴负半轴上，∴顶点A （-1，0），∴设y=a(x+1)2,把B （0，1）代入得1=a×(0+1)2,∴a=1,∴22(1)21y x x x =+=++,（2）当A 为直角顶点时，AC ⊥AB ，设直线AB 解析式为y=mx+n ，∵B （0，1），A （-1，0），∴10n m n =⎧⎨-+=⎩,∴11m n =⎧⎨=⎩,∴直线AB 解析式为y=x+1，∵AC ⊥AB ，∴直线AC 解析式为y=-x-1，联立得2(1)1y x y x ⎧=+⎨=--⎩,解得：1121x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =-⎧⎨=⎩,∴C （-2，1）.当B 为直角顶点时，BC ⊥AB ，∵直线AB 解析式为y=x+1，∴直线BC 解析式为y=-x+1，同理可得C （-3，4），当C 为直角顶点不存在.综上所述点C 坐标为（-2，1）或（-3，4），（3）设DE 的解析式为4y kx k =+-，联立2421y kx k y x x =+-⎧⎨=++⎩，∴2(2)50x k x k +-+-=，得：25D E DE x x k x x k +=-⎧⎨-=-⎩①②，∵D ，E 关于对称轴对称，所以2F D x x =--，设EF 的解析式为y mx n =+联立，221y mx n y x x =+⎧⎨=++⎩，得2(2)10x m x n +-+-=，()2221D E E D D ED E x x x x m x x x x n +=--=-⎧⎪⎨⋅=--⋅=-⎪⎩③④，联立①②③④得n=m+4，所以4(1)4y mx m m x =++=++，过定点（-1，4），即直线EF 经过一个定点，定点的坐标为（-1，4）．【点睛】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，直角三角形的性质．熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数解析式，分类讨论及方程思想是解题的关键．。

唐山市路南区-第一学期期中质量检测九年级数学试卷（人教版） .11卷1一、选择题（每空2分，共24分）1．一元二次方程22=x 的解是A ．x=2或x=—2B ．x=2C ．x=4或x=—4D ．x=2或x=—22．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，旋转一定角度后，能与原图形完全重合，期中，旋转角度最小的是A B C D3．抛物线()3122+-=x y 的顶点坐标为 A ．（1,2） B ．（1,3） C ．（—1,3） D ．（1,—3）4．下列现象：①荡秋千；①呼啦圈；①跳绳；①转陀螺．其中是旋转的为A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．已知，一元二次方程0632=+-k x x 有实数根，则k 的取值范围是A ．3≤kB ．3≤k 且0≠kC ．3<kD ．3<k 且0≠k6．已知圆O 的直径为4，点P 到点O 的距离为3，则下列对于点P 与圆O 位置关系的说法正确的是A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不确定7．某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x ，则下列方程正确的是A ．()641252=+xB ．()641252=+xC ．()251642=-xD ．()251642=-x 8．如果两个图形可通过旋转而相互得到，则下列说法中错误的是A ．对应点连线的中垂线必经过旋转中心B ．这两个图形大小、形状不变C ．对应线段一定相等且平行D ．将一个图形绕旋转中心旋转某个角度后必与另一个图形重合9．二次函数122++-=kx x y （0<k ）的图象可能是10．如图圆O 的直径AB 垂直于CD ，垂足是E ，若①A=22.5°，OC=2，则CD 的长为A ．22B ．4C ．24D ．811．如图，在①ABC 中，AB=1，AC=2，现将①ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到①A’B’C’，连接AB’，并有AB’=3，则①A’的度数为A ．125°B ．130°C ．135°D ．140°12．对于下列说法：①在同一平面直角坐标系中，抛物线l1：23x y -=， l2：231x y -=，l3：223x y =它们的开口由大到小的顺序是l2>l3>l1；①对于二次函数232+-=x y ，当2>x 时，y 随x 的增大而减小；①对于二次函数m x x y ++=2，当x 为任意实数时都有0>y ，则41<m ；①抛物线1252-+=x x y 与y 轴的交点为（—1,0）。

人教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程2250x x ++=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根3．抛物线2(3)y x =+的顶点是（）A ．(0,3)B ．(0,3)-C ．(3,0)D ．(3,0)-4．一元二次方程2810x x -+=配方后可变形为（）A ．()2415x -=B ．()2415x +=C ．()2417x -=D ．()2417x +=5．已知二次函数21(2)54y x =--+，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是（）A ．2x >B ．2x <C ．2x >-D ．2x <-6．如图，AOB ∆绕点O 逆时针旋转65︒得到COD ∆，若30AOB ∠=︒，则BOC ∠的度数是（）A ．30°B ．35︒C ．40︒D ．65︒7．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A ．(1)21x x +=B ．(1)21x x -=C ．(1)212x x +=D ．(1)212x x -=8．已知二次函数的图象的顶点是(1,2)-，且经过点(0,5)-，则二次函数的解析式是（）A ．23(1)2y x =-+-B ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =---D ．23(1)2=--y x 9．已知2x =关于x 的方程23520x mx m -+-=的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰ABC ∆的两条边长，则ABC ∆的周长为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．6或1010．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，下列结论正确的是（）A ．0abc >B ．20a b +<C ．320b c -<D ．30a c +<二、填空题11．方程2250x -=的解是_____．12．将抛物线24y x =向下平移1个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是_______．13．如图，已知点A 的坐标是(-2)，点B 的坐标是(1-，，菱形ABCD 的对角线交于坐标原点O ，则点D 的坐标是______．14．小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．则S 与x 之间的函数关系式是_____．（不用写自变量的取值范围）15．若抛物线2(2)21y m x x =-+-与x 轴有两个公共点，则m 的取值范围是______．16．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC a ==，点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到CE ，连接AE ．下列结论：①BDC ∆≌AEC ∆；②四边形AECD 的面积是2a ；③若105BDC ∠=︒，则AD =；④2222AD BD CD +=．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．解方程：22150x x --=．18．如图，平面直角坐标系xOy 中，画出ABC 关于原点O 对称的111A B C ∆，并．写出1A 、1B 、1C 的坐标．19．已知二次函数243y x x =++．（1）求二次函数的最小值；（2）若点11(,)x y 、22(,)x y 在二次函数243y x x =++的图象上，且122x x -<<，试比较12,y y 的大小．20．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，广东省2019年公共充电桩的数量约为4万个，2021年公共充电桩的数量多达11.56万个，位居全国首位．（1）求广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计广东省2022年公共充电桩数量能否超过20万个？为什么？21．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，写出不等式22x bx c x -++>+的解集．22．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若0x =是方程的一个根，求方程的另一个根．23．如图，边长为6的正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABF ∆，G 是BC 上一点，且45EAG ∠=︒，连接EG ．（1）求证：AEG ∆≌AFG ∆；（2）求点C 到EG 的距离．24．平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax =-+与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）当12x -≤≤时，y 的最大值为3，求a 的值；（3）已知点(0,2)P ，(1,1)Q a +．若线段PQ 与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．25．在△ABC 中AB=AC ，点P 在平面内，连接AP 并将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ；【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．参考答案1．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．2．A 【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-，∆<0时，方程没有实数根；0∆>时，方程有两个不相等的实数根；0∆=时，方程有两个相等的实数根，将相应的系数代入判别式便可判断.【详解】∵224245420160b ac =-=-⨯1⨯=-=-<Δ根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-，当∆<0时，原方程没有实数根.故选A 【点睛】本题旨在考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解此类题目的关键.3．D 【解析】【分析】根据二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ）即可解答．【详解】解：抛物线2(3)y x =+的顶点是（﹣3，0），故选：D ．【点睛】本题考查二次函数2()y a x h k =-+的性质，熟知二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ）解答的关键．4．A 【解析】【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：∵x 2-8x+1=0，∴x 2-8x=-1，∴x 2-8x+16=15，∴（x-4）2=15．故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．5．A 【解析】【分析】根据y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0），当a ＜0时，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，可得答案．【详解】解：∵21(2)54y x =--+，∴a 14=-＜0，∴当x ＞2时y 随x 的增大而减小．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0），当a ＞0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小．6．B 【解析】【分析】根据旋转的性质得出旋转角∠AOC=65°即可．【详解】解：∵AOB ∆绕点O 逆时针旋转65︒得到COD ∆，∴∠AOC=65°，∵∠AOB=30°，∴∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=65°﹣30°=35°，故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，准确找到旋转角是解答的关键．7．D 【解析】【分析】类似的场次比赛相互问题可看做“握手问题”，由于赛制是单循环（每两队都赛一场），设有x 队参赛，因此比赛总的场次为()112x x -场，剧题意总场次为21场，依此等量关系列出方程.【详解】设共有x 队参赛，此次比赛总场次为()112x x -已知共比赛21场.根据题意列方程为()11212x x -=故答案选D.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系为解题的关键.8．C 【解析】【分析】利用待定系数法确定函数解析式即可；【详解】解：设该抛物线解析式是：y ＝a （x-1）2﹣2（a≠0）．把点（0，-5）代入，得a （0-1）2﹣2=-5，解得a=-3．故该抛物线解析式是23(1)2y x =---．故答案选：C 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，难度不大，需要掌握抛物线的顶点式．9．B 【解析】【分析】先求得方程的两个根，再根据等腰三角形的条件判断即可．【详解】∵2x =关于x 的方程23520x mx m -+-=的一个根，∴46520m m -+-=，∴2m =，∴方程23520x mx m -+-=变形为2680x x -+=，解得122,4x x ==，∵方程的两个根恰好是等腰ABC ∆的两条边长，∴其三边可能是2，2，4或4，4，2，∵2+2=4，故三角形不存在，故三角形的周长为10，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的解法，等腰三角形的分类，熟练解一元二次方程是解题的关键．10．D 【解析】【分析】根据抛物线的性质，对称轴，图形的信息，逐一计算判断即可．【详解】∵102ba-=>，∴0ab ＜，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴0c >，∴0abc ＜，故A 不符合题意；∵12ba-=，∴20a b +=，故B 不符合题意；∵1x =-时，y=a-b+c 0＜，∴2a-2b+2c 0＜，∵12ba-=，∴2a b =-，∴-b-2b+2c 0＜，∴3b-2c 0>，故C 不符合题意；∵1x =-时，y=a-b+c 0＜，∵12ba-=，∴2a b =-，∴3a+c 0＜，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图像，抛物线的性质，灵活运用图像及其性质是解题的关键．11．x=±5【解析】【分析】移项得x 2=25，然后采用直接开平方法即可得到方程的解．【详解】解：∵x 2-25=0，移项，得x 2=25，∴x=±5．故答案为：x=±5．【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．12．241y x =-##214y x =-+【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：24y x =向下平移1个单位长度所得抛物线解析式为：241y x =-．故答案为：241y x =-．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．13．(1【解析】【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则B ，D 关于原点对称，因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，对角线相交于坐标原点O∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，A 和C ；B 和D 均关于原点O 对称根据直角坐标系上一点(),x y 关于原点对称的点为()--x,y 可得已知点B 的坐标是(-1,，则点D 的坐标是(.故答案为：(.【点睛】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键.14．230S x x=-+【解析】【分析】根据矩形的周长及其一边长表示出另一边为（30－x ）米，再根据矩形的面积公式求函数关系式即可．【详解】∵矩形周长为60米，一边长x 米，∴另一边长为（30－x ）米，∴矩形的面积()23030S x x x x =-=-+．故答案为：230S x x =-+．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意，正确找出等量关系是解题的关键．15．1m >且2m ≠【解析】【分析】根据抛物线的定义，得2m ≠；结合题意，根据抛物线和一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．【详解】∵抛物线2(2)21y m x x =-+-∴20m -≠∴2m ≠∵抛物线2(2)21y m x x =-+-与x 轴有两个公共点，即2(2)210m x x -+-=有两个不同的实数根∴()()22421440m m ---=->∴1m >故答案为：1m >且2m ≠．【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．16．①③④【解析】【分析】根据旋转性质可得CD=CE ，∠ECD=90°由90ACB ∠=︒，可得∠ACE=∠DCB ，可证△ACE ≌△BCD （SAS ），可判断①正确；由四边形AECD 面积=三角形ABC 面积，可判断②不正确;由全等三角形性质可得∠AEC=∠BDC=105°，AE=BD ，由90ACB ∠=︒，AC BC =，可得∠CAB=∠EAC=∠B=45°，∠EAB=90°，∠ADE==30°，利用30度直角三角形性质可得ED=2AE=2BD ，再由勾股定理可判断③正确；利用勾股定理可得2222AD BD CD +=，可判断④正确．【详解】解：∵线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到CE ，∴CD=CE ，∠ECD=90°，∵90ACB ∠=︒∴∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠ACE=∠DCB ，在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），故①正确；S 四边形AECD=S △ACE+S △ACD=S △BCD+S △ACD=S △ABC=2111222AC BC a a a ⋅=⋅=，故②不正确；连结ED ，∵△ACE ≌△BCD ，∴∠AEC=∠BDC=105°，AE=BD ，∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠EAC=∠B=45°，∴∠EAB=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，∵CE=CD ，∠ECD=90°，∴∠CED=∠CDE=180452ECD︒-∠=︒，∴∠AED=∠AEC-∠CED=105°-45°=60°，∴∠ADE=90°-∠AED=90°-60°=30°，∴ED=2AE=2BD ，在Rt △AED 中，==，故③正确；在Rt △CED 中，DE 2=2222CF CD CD +=，在Rt △AED 中，∴AE 2+AD 2=BD2+AD 2=ED 2=2CD 2,∴2222AD BD CD +=，故④正确，正确的结论是①③④．故答案为①③④．17．13x =-，25x =．【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：22150x x --= ，(3)(5)0x x ∴+-=，则30x +=或50x -=，解得13x =-，25x =．18．图见解析，1(3,4)A -，1(5,1)B -、1(1,2)C -【分析】根据关于原点对称的点的坐标都是互为相反数计算即可．【详解】解：∵A （-3，4），B （-5，1），C （-1，2）∴它们关于原点O 对称的点分别为1(3,4)A -，1(5,1)B -、1(1,2)C -，画图如下：111A B C ∆为所求作的图形．19．（1）﹣1；（2）12y y <【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，进而求得最值即可；（2）求出该二次函数的对称轴，进而根据开口方向和增减性求解即可．【详解】解：（1）二次函数243y x x =++=()221x +-，∵a=1＞0，∴该二次函数有最小值，最小值是1-；（2）∵该二次函数图象的对称轴为直线x=﹣2，且开口向上，∴当122x x -<<时，y 随x 的增大而增大，∴12y y <．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．20．（1）70%；（2）预计广东省2022年公共充电桩数量不能超过20万个，理由见解析．【解析】【分析】（1）设2019年至2021年广东省公共充电桩数量的年平均增长率为x ，根据广东省2019年及2021年公共充电桩，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据广东省2022年公共充电桩数量=广东省2021年公共充电桩数量×（1+增长率），即可求出结论．【详解】解：（1）设广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率为x24(1)11.56x +=解得：10.7x =，2 2.7x =-（不合题意，舍去）答：年平均增长率为70%．（2）该省2022年公共充电桩数量11.56(10.7)19.65220=⨯+=<答：预计广东省2022年公共充电桩数量不能超过20万个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（1）22y x x =--+；（2）20x -<<【解析】【分析】（1）求出A ，B 点代入进而求出函数解析式；（2）直接利用A ，B 点坐标进而利用函数图象得出答案；【详解】解：（1）∵直线2y x =+与坐标轴交于A ，B 两点∴点A 的坐标是(2-，0)，点B 的坐标是(0，2).把(2-，0)，(0，2)代入2y x bx c =-++得：2420c b c =⎧⎨--+=⎩解得12b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式是22y x x =--+.（2）∵点A 的坐标是(2-，0)，点B 的坐标是(0，2).∴根据图像可得：不等式22x bx c x -++>+的解集是：20x -<<；【点睛】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式以及二次函数与不等式的关系，解题的关键是利用待定系数法得到关于b 、c 的方程，解方程即可解决问题．22．（1）54m ≥-；（2）3x =-或1x =【解析】【分析】（1）根据有两个实数根,得到不等式△≥0，计算即可；（2）确定m 的值，得到符合题意的一元二次方程，解得即可．【详解】解：（1）∵关于x 的方程22(21)10x m x m +++-=有两个实数根，∴△22(21)41(1)450m m m =+-⨯⨯-=+≥，解得：54m ≥-．（2） 0x =是方程的一个根，∴210m -=，∴1m =±，此时原方程为230x x +=或20x x -=.解得：10x =，23x =-或10x =，21x =．∴方程的另一个根为3x =-或1x =．23．（1）见解析；（2）125【解析】（1）根据正方形和旋转的性质得到AF AE =，EAG FAG ∠=∠，即可求解；（2）设CG x =，则6BG x =-，9EG FG BG BF x ==+=-，由勾股定理求得CG ，等面积法求解即可．【详解】（1）证明：正方形ABCD 中，90BAD ∠=︒由旋转的性质得，AE AF =，90D ABF ∠=∠=︒∴180ABC ABF ∠+∠=︒，∴点F ，点B ，点C 三点共线.∵90DAB ∠=︒，45EAG ∠=︒∴45DAE GAB ∠+∠=︒，∴45BAF GAB ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒∴EAG FAG∠=∠在AEG △和AFG 中AE AFEAG FAG AG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AF AEG G SAS △≌△（2）解：由（1）得：EG FG=∵正方形ABCD 的边长为6，E 是CD 的中点∴3DE CE BF ===设CG x =，则6BG x =-，9EG FG BG BF x==+=-在Rt ECG 中，2223(9)x x +=-解得4x =，即CG 4=由勾股定理得：5EG ==设点C 到EG 的距离为h 则1122ECG S CE CG GE h =⨯=⨯△，即125CE CG h GE ⨯==∴点C 到EG 的距离是125．24．（1）(0,1)A ，32x =；（2）12a =或89a =-；（3）10a -< 或2a ．【分析】（1）把0x =代入抛物线的解析式求解抛物线与y 轴的交点坐标即可，再利用抛物线的对称轴方程2b x a=-求解抛物线的对称轴即可；（2）分两种情况讨论，①当0a >时，抛物线的开口向上，12x -≤≤且()353112,2222--=>-=此时1x =-，y 取最大值；②当0a <时，抛物线的开口向下，12x -≤≤且()353112,2222--=>-=此时32x =，y 取最大值，再分别列方程求解a 即可；（3）分两种情况分别画出符合题意的图形，①当0a >时，如图，当点Q 在点A 的左侧（包括点)A 或点Q 在点B 的右侧（包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点；②当0a <时，如图，当Q 在点A 与点B 之间（包括点A ，不包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点，再根据点的位置列不等式即可得到答案.【详解】解：（1）令0x =，则1y =．(0,1)A ．抛物线的对称轴为3322a x a -=-=．（2）2234931(24a y ax ax a x -=-+=-+，抛物线的对称轴为32x =．①当0a >时，抛物线的开口向上，12x -≤≤且()353112,2222--=>-=此时1x =-，y 取最大值.∴()213(1)13a a --⨯-+=∴12a =.②当0a <时，抛物线的开口向下，12x -≤≤且()353112,2222--=>-=∴此时32x =，y 取最大值.∴233()31322a a -⨯+=∴89a =-.综上所述，12a =或89a =-．（3）∵抛物线231y ax ax =-+的对称轴为32x =．设点A 关于对称轴的对称点为点B ，(3,1)B ∴.(1,1)Q a + ，∴点,,Q A B 都在直线1y =上．①当0a >时，如图，当点Q 在点A 的左侧（包括点)A 或点Q 在点B 的右侧（包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点．10a ∴+ 或13a +．1a ∴- （不合题意，舍去）或2a ∴2a.②当0a <时，如图，当Q 在点A 与点B 之间（包括点A ，不包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点．013a ∴+< ．12a ∴-< ．又0a < ，10a ∴-<综上所述，a 的取值范围为10a -<或2a ．【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，求解抛物线的对称轴方程，抛物线的最值问题，抛物线与线段的交点问题，掌握数形结合的方法，清晰的分类讨论是解题的关键.25．[发现问题]：BQ=PC ；[探究猜想]：BQ=PC 仍然成立，理由见解析；[拓展应用]：线段CQ 长度最小值是1【解析】【分析】[发现问题]：由旋转知，AQ=AP ，∠PAQ=∠BAC ，可得∠BAQ=∠CAP ，可知△BAQ ≌△CAP （SAS ），BQ=CP 即可；[探究猜想]：结论：BQ=PC 仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP ，由∠PAQ=∠BAC ，可得∠BAQ=∠CAP ，可知△BAQ ≌△CAP （SAS ），可得BQ=CP ；[拓展应用]：在AB 上取一点E ，使AE=AC=2，连接PE ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，由旋转知，AQ=AP ，∠PAQ=60°，可求∠CAQ=∠EAP ，可证△CAQ ≌△EAP （SAS ），CQ=EP ，当EF ⊥BC （点P 和点F 重合）时，EP 最小，在Rt △ACB 中，∠ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB-AE=2，在Rt △BFE 中，∠EBF=30°，BE=2，可得EF=12BE=1即可【详解】[发现问题]：由旋转知，AQ=AP ，∵∠PAQ=∠BAC ，∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP ，∴∠BAQ=∠CAP ，在△BAQ 和△CAP 中，AQ AP BAQ CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAQ ≌△CAP （SAS ），∴BQ=CP ，故答案为：BQ=PC ；[探究猜想]：结论：BQ=PC 仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP ，∵∠PAQ=∠BAC ，∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP ，∴∠BAQ=∠CAP ，在△BAQ 和△CAP 中，AQ APBAQ CAP AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAQ ≌△CAP （SAS ），∴BQ=CP ；[拓展应用]：如图，在AB 上取一点E ，使AE=AC=2，连接PE ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，由旋转知，AQ=AP ，∠PAQ=60°，∵∠ABC=30°，∴∠EAC=60°，∴∠PAQ=∠EAC ，∴∠CAQ=∠EAP ，在△CAQ 和△EAP 中，AQ APCAQ EAP AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAQ ≌△EAP （SAS ），∴CQ=EP ，要使CQ 最小，则有EP 最小，而点E 是定点，点P 是AB 上的动点，∴当EF ⊥BC （点P 和点F 重合）时，EP 最小，即：点P 与点F 重合，CQ 最小，最小值为EP ，在Rt △ACB 中，∠ACB=30°，AC=2，∴AB=4，∵AE=AC=2，∴BE=AB-AE=2，在Rt △BFE 中，∠EBF=30°，BE=2，∴EF=12BE=1．故线段CQ 长度最小值是1．。