高一数学培优学案(1)必修1集合与函数题型梳理

高中数学必修一集合与函数概念知识点总结1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把统称为元素，把一些元素组成的叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是．②互异性：即给定集合的元素是．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作，a不是集合A的元素，记作2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用和表示集合．(1)列举法：把集合中的元素，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的表示集合的方法．3．常用数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法4．子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，则称集合A是集合B的子集5.集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果A⊆B，且B⊆A，就说集合A与B相等真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是B的真子集6.空集(1)定义：的集合叫做空集．(2)用符号表示为：(3)规定：空集是任何集合的. 是任何非空集合的7．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么8．集合的并集与交集的定义并集交集自然语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合符号语言图形语言9.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B B∪A A∩B B∩AA∪A＝A∩A＝A∪∅＝A∩∅＝A⊆B⇔A∪B＝A⊆B⇔A∩B＝A∪B⊇A，A∪B B A∩B⊆B，A∩B A10．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么称这个集合为全集．(2)符号表示：通常记作第1 页共4 页。

微课程2：集合的运算子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合A⊆B，但存在元素x ∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意x∈A，有x∈B，则A⊆B。

若集合A⊆B，但存在元素x ∈B ，且x∉A，则A B表示方法A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A。

A不是B的子集时，记作A B或B A。

若集合A是集合B的真子集，记作A B或B A。

性质①A⊆A ②∅⊆A③A⊆B，B⊆C⇒A⊆CA B，且B C⇒A C子集个数含n个元素的集合A的子集个数为n2含n个元素的集合A的真子集个数为n2－1空集不含任何元素的集合，记为∅。

空集是任何集合的子集，用符号语言表示为∅⊆A；若A非空（即A≠∅），则有∅A。

集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。

（3）图形语言（Venn图）表示：。

2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。

（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。

（3）图形语言表示（Venn图）：。

3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且x∉A}。

（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。

【典例精析】例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。

（1）{∅}表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；（5）如果A ⊇B 且A≠B ，那么B 必是A 的真子集； （6）A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立。

第一章集合与常用逻辑用语总结提升与检测知识归纳知识点1：集合的含义1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∈A.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点2：集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．知识点3：集合间的基本关系2．子集、真子集、集合相等的相关概念3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∈.(2)规定：空集是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A∈A.(2)对于集合A，B，C，∈若A∈B，且B∈C，则A∈C；∈若A B，B C，则A C.(3)若A∈B，A≠B，则A B.知识点4：并集与交集1．并集2．交集3．并集与交集的运算性质知识点5：补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集知识点6：充要条件1．充分条件与必要条件p qp不是q的充分条件(1)一般地，如果既有p∈q，又有q∈p，就记作p∈q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p∈q，那么p与q互为充要条件．(2)若p∈q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q∈p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．知识点7：全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∈”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∈x∈M，p(x)．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∈”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∈x∈M，p(x)”．3．含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∈x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∈x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∈x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∈x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．题型讲解题型1：集合的并、交、补运算【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．（1）用列举法表示集合A与B；（2）求A∩B及∈U(A∈B)．【解析】(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由题知，A∩B＝{2}，A∈B＝{1,2,3,4}，所以∈U(A∈B)＝{0,5,6}．【方法技巧】集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.【针对训练】1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∈U(A∈B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}【解析】D∈A＝{1,2}，B＝{2,3}，∈A∈B＝{1,2,3}，∈∈U (A ∈B )＝{4}．考点2：集合关系和运算中的参数问题【例2】 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． （1）若(∈R A )∈B ＝R ，求a 的取值范围； （2）是否存在a 使(∈R A )∈B ＝R 且A ∩B ＝∈？ 【解析】(1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∈∈R A ＝{x |x <0或x >2}． ∈(∈R A )∈B ＝R ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2. ∈－1≤a ≤0.(2)由(1)知(∈R A )∈B ＝R 时，－1≤a ≤0，而2≤a ＋3≤3， ∈A ∈B ，这与A ∩B ＝∈矛盾．即这样的a 不存在． 【方法技巧】根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A ∈B 的问题转化为A B 或A ＝B ，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.【针对训练】2．已知集合A ＝{x |－3≤x ＜2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且B ∈A ，求实数k 的取值范围. 【解析】 由于B ∈A ，在数轴上表示A ，B ，如图，可得⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≥－3，2k ＋1＜2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，k ＜12.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪－1≤k ＜12. 题型3：充分条件与必要条件【例3】 已知a ≥12，y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ，其中a ，c 均为实数．证明：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1成立的充要条件是c ≤34.【解析】 因为a ≥12，所以函数y ＝－a 2x 2＋ax ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝a 2a 2＝12a ，且0＜12a ≤1，当x ＝12a 时，y ＝14＋c . 先证必要性：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1，即14＋c ≤1，所以c ≤34.再证充分性：因为c ≤34，当x ＝12a 时，y 的最大值为14＋c ≤14＋34＝1，所以对于任意x ∈{x |0≤x ≤1}， y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ≤1，即y ≤1. 即充分性成立． 【方法技巧】利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.【针对训练】3．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，则实数a 的值为________． 【解析】－12或13 [p ：x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3.q ：ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，x ＝－1a.由题意知p q ，q ∈p ，故a ＝0舍去；当a ≠0时，应有－1a ＝2或－1a ＝－3，解得a ＝－12或a ＝13. 综上可知，a ＝－12或a ＝13.题型4：全称量词与存在量词【例4】（1）下列语句不是全称量词命题的是( )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高一(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个实数都有大小 （2）命题p ：“∈x ∈R ，x 2＞0”，则( )A ．p 是假命题；﹁p ：∈x ∈R ，x 2＜0B ．p 是假命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2≤0C ．p 是真命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2＜0D ．p 是真命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2≤0 【答案】(1) C (2) B【解析】(1)A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A 是全称量词命题；B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B 是全称量词命题；C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题；D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 是全称量词命题．故选C.(2)由于02＞0不成立，故“∈x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∈x∈R，x2＞0”的否定是“∈x∈R，x2≤0”，故选B.【方法技巧】“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.【针对训练】4．下列命题不是存在量词命题的是()A．有些实数没有平方根B．能被5整除的数也能被2整除C．在实数范围内，有些一元二次方程无解D．有一个m使2－m与|m|－3异号【解析】B选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．【解析】存在一个能被7整除的数不是奇数原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．章节检测(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示正确的是()A．{所有实数}＝R B．整数集＝{Z}C．∈＝{∈} D．1∈{有理数}【解析】D选项A不正确，因为符号“{}”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加“所有”；选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号；显然选项C不正确，选项D正确．2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∈(∈R B)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}【解析】B由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∈R B＝{x|x≥1}，∈A∈(∈R B)＝{x|x≥－1}．3．满足{1}∈X{1,2,3,4}的集合X有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【解析】D 集合X 可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个． 4．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥1”的否定是( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜1B ．不存在x ∈R ，使得x 2＜1C ．存在x ∈R ，使得x 2≥1 D.存在x ∈R ，使得x 2＜1【解析】D 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥1”的否定是：存在x ∈R ，使得x 2＜1.故选D.5．命题“∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1<0 B ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0 C ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0【解析】C 由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∈x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”．故选C. 6. “a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】B 当a ＝－1时，函数y ＝ax 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1与x 轴只有一个交点；但若函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点，则a ＝－1或a ＝0，所以“a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的充分不必要条件．7．a 2＞b 2的一个充分条件是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a ＝2，b ＝1 【解析】D A 中，当a ＝0，b ＝－2时，a 2＝0，b 2＝4，不能推出a 2＞b 2；B 中，当a ＝－1，b ＝1时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；C 中，当a ＝b 时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；D 中，a 2＝4，b 2＝1，能推出a 2＞b 2，故选D.8．下列命题中，真命题是( )A ．若x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 至少有一个大于1B ．∈x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．∈x ∈R ，x 2＋2≤0【解析】A 当x ＝2时，2x ＝x 2，故B 错误；当a ＝b ＝0时，满足a ＋b ＝0，但ab ＝－1不成立，故C错误；∈x ∈R ，x 2＋2＞0，故∈x ∈R ，x 2＋2≤0错误，故选A.9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a >1【解析】C 方程有一个正根和一个负根时，根据韦达定理知3a ＜0，即a ＜0，a <－1可以推出a ＜0，但a ＜0不一定推出a <－1，故选C.10．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ∈∈R B ，那么m 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】A 根据补集的概念，∈R B ＝{x |x ≥2m }． 又∈A ∈∈R B ，∈2m ≤2. 解得m ≤1，故m 的值可以是1.11．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |5≤x ≤16}，则能使A ∈B 成立的所有a 组成的集合为( ) A ．{a |2≤a ≤7} B ．{a |6≤a ≤7} C ．{a |a ≤7}D ．∈【解析】C 当3a －5<2a ＋1，即a <6时，A ＝∈∈B ； 当3a －5≥2a ＋1，即a ≥6时，A ≠∈，要使A ∈B ，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a －5≤16，2a ＋1≥5，解得2≤a ≤7.综上可知，a ≤7.12．满足“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件的电路图是( )【解析】C 由题图A ，闭合开关K 1或者闭合开关K 2都可以使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，不一定非要闭合开关K 1，因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充分不必要条件．由题图B ，闭合开关K 1而不闭合开关K 2，灯泡R 不亮；反之，若要使灯泡R 亮，则开关K 1必须闭合．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的必要不充分条件．由题图C ，闭合开关K 1可使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，开关K 1一定是闭合的．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件．由题图D ，闭合开关K 1但不闭合开关K 2，灯泡R 不亮；反之，灯泡R 亮也可不闭合开关K 1，只要闭合开关K 2即可．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的既不充分也不必要条件．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∈(∈U B)＝________.【解析】{x|x≤1}∈B＝{x|x＞1}，∈∈U B＝{x|x≤1}，则A∈(∈U B)＝{x|x≤1}．14．命题“∈1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．【解析】{a|a≤1}命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∈a≤1.15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．【解析】充分不必要由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．16．定义集合运算：A∈B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A∈B的所有元素之和为________．【解析】18当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0；当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12.即A∈B＝{0,6,12}．故集合A∈B的所有元素之和为18.三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：（1）p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；（2）p：∈x∈R，x2＋2x＋5＞0.【解析】(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∈x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；(2)由于“∈x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∈x∈R，x2＋2x＋5≤0”．18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∈R A，∈R(A∩B)，(∈R A)∩B.【解析】结合数轴，由图可知∈R A＝{x|x≤－2或x≥3}，又∈A∩B＝{x|－2<x<3}＝A，∈∈R(A∩B)＝∈R A＝{x|x≤－2或x≥3}，∈(∈R A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．19．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．（1）条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；（2）条件p ：A B ，结论q ：A ∈B ＝B .【解析】 (1)因为a ，b ∈R ，a ＋b ＞0，所以a ，b 至少有一个大于0，所以pq .反之，若ab ＞0，可推出a ，b 同号．但推不出a ＋b ＞0，即q p . 综上所述，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．(2)因为A B ∈A ∈B ＝B ，所以p ∈q .而当A ∈B ＝B 时，A ∈B ，即q p ，所以p 为q 的充分不必要条件．20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．（1）当m ＝－1时，求A ∈B ；（2）若A ∈B ，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∈B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ∈B ，知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∈.（1）若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；（2）若A ∩B ＝∈，求a 的取值范围．【解析】 (1)∈x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∈A ∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4， 解得a 的取值范围为43≤a ≤2. (2)由B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∈，∈a ＞0.若A ∩B ＝∈，∈a ≥4或3a ≤2，所以a 的取值范围为0＜a ≤23或a ≥4. 22．(本小题满分12分)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0. 【解析】法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy， 即1x ＜1y.必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy＜0. 因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0.所以1x ＜1y的充要条件是xy ＞0. 法二：1x ＜1y ∈1x －1y ＜0∈y －x xy＜0. 由条件x ＞y ∈y －x ＜0，故由y －x xy <0∈xy ＞0. 所以1x ＜1y∈xy ＞0， 即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.。

1.1.1 集 合【学习目标】使学生初步了解集合在数学中的地位，了解集合、元素的含义，掌握集合的表示方法、常用数集及其记法，把握集合的三个特征。

培养学生抽象概括的能力，使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性。

【课前自学】1．下列各组对象能组成集合的是（ ）A ．著名影星B ．我国的小河流C ．泰安二中2011级高一学生D ．高中数学的难题 2．下列叙述错误的是（ ）A ．2{|20}x x -=表示方程220x -=的解集B ．1{∉小于10 的质数}C ．所有正偶数组成的集合表示为{|2,}x x n n N =∈D ．集合{,,}a b c 与集合{,,}a c b 表示相同的集合3．下列各集合：①2{|10,}x x x R +=∈；②{|51,}x x x Z -<∈；③2,x N x Q x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭；④22{(,)|0,,}x y x y x R y R +=∈∈中，空集为 ；有限集为 ； 无限集为 .问题思考1．集合与元素的含义。

2．讨论集合中的元素的特征：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？ 3．两个集合能相等吗？若能应具备什么条件？4．表示集合的方法有几种?5.能否对集合进行分类？【问题展示】1．已知2{1,3,}x x ∈，试用适当的方法表示x 的集合。

2．用符号“∈”或“∉”填空（1）3.14 Q ；Z ；0 N（2） {|x x ；5 2{|1,}x x n n N =+∈ （3）(1,1)- 2{(,)|}x y y x =； (1,1)- 2{|}y y x =（4）0 {0}；0 φ； φ {}φ3．用描述法表示下列集合（1）偶数的集合；（2）不等式2x-3>5的解的集合；（3）以点A 为圆心，半径为3的圆。

4．（1）用列举法表示集合6,3x N x N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭。

【拓展延伸】1．已知{|2,},{|21,}A x x n n Z B x x k k Z ==∈==+∈，{|41,}C x x n n Z ==+∈，若,a A b B ∈∈，试分别指出a b +与集合A 、B 、C 的关系。

必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1。

1。

1 集合的含义与表示¤知识要点：1。

把一些元素组成的总体叫作集合(set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种:列举法，即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“｛ ｝”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3。

通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。

4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to )，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈,2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数。

解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.(2）用描述法表示为:{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B 。

解：由3217k +=,解得5k Z =∈，所以17A ∈;由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉;由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈。

【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； (2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3)反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合。

高一上学期知识点梳理第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、常见集合：正整数集合：*N 或+N ； 整数集合：Z 有理数集合：Q ； 实数集合：R . §1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.4、如果集合A 中含有n 个元素，集合A 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n –2个. §1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .{|,}A B x x A x B =∈∈或2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .{|,}A B x x A x B =∈∈且 3、全集、补集：{|,}UC A x x U x U =∈∉且 4、A B A A B B =⇔=⇔⊆A B （讨论） §1.2.1、函数的概念1、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.2、如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. ３、求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 §1.2.2、函数的表示法 解析法、图象法、列表法. 求解析式的方法：1. 换元法2.配凑法3.待定系数法4.方程组法如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f [g (x )]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)。

第一章 集合与函数的概念第一单元 集合一、知识要点学习探究1、生活中有很多集合的例子例如：1. 正整数1, 2, 3, ⋯⋯ ;2. 中国古典四大名著;3. 高10班的全体学生;4. 我校篮球队的全体队员;5. 到线段两端距离相等的点.你能否通过这些例子总结出集合的定义？及集合的简单表示方法？答案：一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写字母表示a,b,c把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），通常用大写字母表示A,B,C ……. 探究2、通过对下列集合的研究1.很小的数2.π的近似值3.高一年级优秀的学生;4.不超过 30的非负实数5.直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点;6.所有无理数7.大于2的整数 ; 8.正三角形全体归纳总结出集合中元素的特征，集合的分类，元素与集合的关系？答案：集合中元素的特征三要素：确定性，互异性，无序性集合：有限集和无限集元素与集合的关系 元素a 与集合A 的关系：属于或不属于解决问题1：(d1)若x ∈R ，则数集{1，x ，x 2}中元素x 应满足什么条件.探究3、探究教材上介绍的集合的三种表示，常用数集及简记符号 给出下列三个集合1．自然数集2.集合A={1,2,3,7,8,9}3.集合B={x ∣x>2}; B={(x,y)∣y=x+2};4.如图集合C答案：.集合的表示方法自然语言法；列举法；描述法；图形语言（Venn 图法）常用数集及其记法自然数集（N ）；正整数集N *；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 。

元素a 与集合A 的符号语言,A a ∈或A a ∉解决问题2：(d2,3)设x ∈R ，y ∈R ，观察下面四个集合A ＝{ y ＝x 2－1 }B ＝{ x | y ＝x 2－1 }CC ＝{ y | y ＝x 2－1 }D ＝{ (x , y ) | y ＝x 2－1 }它们表示含义相同吗?解决问题3：(d2,3)已知集合A ＝{x |ax 2＋4x ＋4＝0，x ∈R ，a ∈R}只有一个元素，求a 的值与这个元素. 对点练习1、（d1,2）已知集合{},1,0,1,2--=P ,则集合{}P x x y y Q ∈==,,则.______=Q2、(d1,2,3)已知集合{}N x x y y x M ∈-==,4),(2，则集合用列举法可表示为______________.3、（d1,2,3））一次函数y=x-3与y=-2x 的图像的交点组成的集合是 A. {}2,1- B. {}2,1-==y x C. {})2,1( - D. {})1,2-( 4、（d2,3）已知集合{}2,1,0=A ,则集合{}B y A x y x B ∈∈-=,中元素的个数有____个。

人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--知识点总结本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March人教版高中数学必修一第一章函数与集合概念知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … }如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A6、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系———子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题1.3集合基本关系-重难点题型精讲1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B。

4．空集的概念【题型1子集、真子集的概念】【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法。

②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素。

③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A。

【例1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（）A．3个B．4个C．8个D．16个【解题思路】化简集合A，再求子集个数即可。

【解答过程】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}。

∴A的子集共有23＝8。

故选：C。

【变式1-1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（）A．1个B．2个C．3个D．7个【解题思路】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集个数。

【解答过程】解：∵A＝{x|x2＜3，x∈N}＝{0，1}。

∴A有22﹣1个真子集，即3个真子集。

故选：C。

【变式1-2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（）A．A62B．C62C．62D．26【解题思路】有2个元素，相当于从6个数中随机抽取2个。

【解答过程】解：从6个数中随机选取2个，即为C62。

故选：B。

【变式1-3】（2021秋•尚志市校级月考）已知集合A={x∈N|86−x∈N}，则集合A的所有非空子集．的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【解题思路】解出集合A，再由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案。