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利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量)1,(-=a a OA 的模为5，则实数a 的值是 （ ）A ．－1B ．2C ．－1或2D ．1或－2球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径2．在等比数列{n a }中，=+-=-=>543412,9,1,0a a a a a a a n 则且 （ ）A ．16B ．27C ．36D ．813．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点B （ααsin ,cos ）的距离为1的α的一个值是 （ ） A ．12π B ．6πC ．3π-D ．4π-4．已知偶函数),0(||log )(+∞+=在b x x f a 上单调递减，则)1()2(+-a f b f 与的大小关系是（ ）A ．)1()2(+<-a f b fB ．)1()2(+=-a f b fC ．)1()2(+>-a f b fD ．无法确定的5．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这一正四面体某顶点到其相对面的距离是（ ） A ．36 B ．35 C ．33 D ．32 6．已知),()1,1(m m B m m A 与点+-关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）A ．01=-+y xB ．01=+-y xC ．01=++y xD ．01=--y x7．已知双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则这一双曲线的离心率是（ ） A ．25 B ．23 C ．3 D ．58．如图，某电路中，在A 、B 之间有1，2，3，4四个焊接点，若焊接点脱落，则电路不通. 则可能出现的使A 、B 之间的电路不通的焊接点脱落的不同的情况有 （ ） A ．4种 B ．10种C ．12种D ．13种9．设=-+-+-=++++=-n n n n n a a a a n x a x a x a a x )1(,4,)3(2102210ΛΛ则若 （ ） A ．256B ．136C ．120D ．1610．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线l 击出，经椭圆壁反弹后再回到点A ，若l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是（ ） A ．4bB ．)(2c a -C ．)(2c a +D ．a 411．已知不等式0)3(log 1<<-x x 成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．)1,33(B ．)33,0( C ．)1,31(D ．)33,31( 12．已知一个半径为21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是（ ）A ．354B ．483C ．336D ．324 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把各题的结果直接填在各题中的横线上.13．有一个简单的随机样本：6，10，12，9，14，15，则样本平均数x .14．设棱锥的底面面积是8，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是 . 15．函数)632cos(32sinπ++=x x y 的图象中相邻两条对称轴的距离是 .16．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线2-=x y 上，现将抛物线沿向量a 进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线2-=x y 移到点)24,2(+a a 处，则在平移中抛物线的顶点移动的距离d= .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知非钝角ο60,=∠∆B ABC 中，边AB 的长减去BC 的长等于AC 边上的高，若A C sin sin -和分别是方程04322=-+-m mx x 的两个根，求实数m 和角A 、C 的值.18．（本小题满分12分）已知函数b ax x x f +-=331)(在y 轴上的截距为1，且在曲线上一点P ),22(0y 处的切线斜率为31，求这一切线方程，并求该函数的极大值和极小值.19．（本小题满分12分）已知函数}1220|{,log 2a a a a x y a -<∈=其中. （1）判断函数x y a log =的单调性；（2）若命题|)2(|1|)(:|x f x f p -<为真命题，求实数x 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：（1）异面直线PM与FQ所成的角；（2）四面体P—EFB的体积；（3）（附加题，满分5分，全卷总分不超过150分）异面直线PM 与FQ的距离.21．（本小题满分12分）已知等差数列{a}前四项的和为60，第二项n与第四项的和为34，等比数列{n b }的前四项的和为120，第二项与第四项的和为90. （1）求数列{n a }、{n b }的通项公式；（2）对一切正整数n ，是否存在正整数p ，使得2n p b a ？无论存在与否，都请给出证明.22．（本小题满分14分）有如下命题：已知椭圆A A y x '=+,14922是椭圆的长轴，),(11y x P是椭圆上异于A 、A ′的任意一点，过P 点斜率为1194y x -的直线l ，若直线l 上的两点M 、M ′在x 轴上的射影分别为A 、A ′，则（1）|AM||A ′M ′|为定值4；（2）由A 、A ′、M ′、M 四点构成的四边形面积的最小值为12.请分析上述命题，并根据上述问题对于椭圆)0(12222>>=+b a by a x 构造出一个具有一般性结论的命题. 写出这一命题，并判断这一命题的真假.数学试题（文）参考答案1．C （解得5)1(22=-+a a ）2．B （即))(,3,9)(435421221q a a a a q a a q a a +=+=∴=++）3．C （|AB|=1|2sin |2)sin 2(sin )cos 2(cos 22==-+-ααααα）4．A （必有b=0，且012),2()2(,10>+>=-<<a f b f a 而）5．A （即求棱长为1的正四面体的高，))33()23(22-∴为） 6．B （直线与AB 垂直，且过AB 的中点，故得)212,212(,11+-=m m k 且过点）7．A （渐近线方程是a k y kx 再求由此得,41,022==-、)c8．D （1号接点脱落，有23种情况；1号接点正常，2号脱落有22种情况；1号、2号接点正常，3、4号接点都脱落有1种情况） 9．A （在展开式中令44321041=+-+--=a a a a a x 得） 10．D （由椭圆的第一定义得4a ） 11．D （必有1312,102>>+<<x x x 且） 12．A （6,)2332()2(222=∴⨯=-a a aR ）13．11 )61514912106(+++++即14．2 （设中截面面积是S ，则))21(82=S 15．π23（)32222),332sin(2cos 2332sin21⨯=∴+=+=ππT x x x y16．,2,2224(26-=-=+=a a a l 得由∴平移后抛物线的焦点为F （－4，－6），又（)0,2p在4,2=∴-=p x y 上，由此可以求得平移公式为⎩⎨⎧-='-=';6,6y y x x 代入原方程得平移后的抛物线方程是)6(8)6(2+=+x y ，其顶点坐标为（－6，－6））17．设△ABC 的AC 边上的高为h ，由∠B=60°，且三角形是非钝角三 角形，ChBC A h AB sin ,sin ==∴，依题意得AB －BC=h ，∴A C A C A C h ChA h sin sin ,sin sin sin sin ,sin sin -=-=-和又故得是方程4322-+-m mx x =0的两个根，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-∴;43)sin (sin ;sin sin 2m A C m A C 243m m -=∴， 即),0sin sin ,23(21,03442故舍去由对>-==∴=-+A C m m m m此时方程为021212=--x x，它的两个根是,12121=-=x x 和,1sin =∴C,21sin =A 即有οο90,30==C A18．依题意，,)(,1,1)0(2a x x f b f -='=∴=Θ又 由已知,61,31)22(=∴='a f,11122122)22(,16131)(03=+-==+-=∴f y x x x f ∴所求的切线方程是 ,66,061)(,02662),22(3112±==-='=-+--=-x x x f y x x y 得令即0)(66,0)(6666,0)(,66>'><'<<->'-<x f x x f x x f x 时当时当时当Θ ∴函数)(x f 有极大值 ,1546)66(+=-f 极小值.5461)66(-=f 19．（1）x y a a a a a a a a log ,102,02012},1220|{22=∴<<<+-∴-<∈函数即Θ 是增函数；（2）10,0,1|2log ||log ||)2(|1|(|<<><+-<x x x x x f x f a a 当必有即，,12log ,12log log ,0log <∴<+-<a a a a x x x 不等式化为这显然成立，此时,12log log ,0log ,1;1;10<+≥≥≥<<x x x x x x a a a 不等式化为时当当;21,2,12log ax a x x a <≤<<∴此时故综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是{}20|ax x <<20．（1）将已知图形以AD 、DC 、DM 为相邻的三条棱补成如图 所示的正方体，易知BF//MP ，连结BQ ，则∠QFB 即为异 面直线PM 与FQ 所成的角，由正方体的性质知△BFQ 是直 角三角形，由即所求的知,30,2221ο=∠==QFB a BF BQ 为30°；（2）由于DP=PE ，所以四面体P —EBF 的体积等于四面体D —EBF 的一半，所以所求的体积V=;63121)4(2133a a V V BDE A =⨯=--正方体（3）由（1）异面直线PM 与FQ 的距离即为MP 到平面BFQ 的距离，也即M 点到平面BFD 的距离，设这一距离为d ，,23a BC S d S V V DCF DBF DCF B DBFM ===--有而2)2(43a S BDF==.33232,23232a a a d a ==∴ 21．（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，等比数列的首项为1b ，公比为q ，依题意有n n n b n a q b d a q b q b q q b d a d a d a 3,54;3,3;4,9;90,1201)1(;3)3()(,602)14(441131141111=+=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=--⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+解得（2）由（1）=-+=--==+=5)18(59,459,954,92n n n nnnp p b 而得令 ,,51)888(1110*--∈-++++N n C C C n n n n n n 由于Λ 459≥-∴n ，且上式小括号中的数为8的倍数，故对于一切正整数n ，使得2n p b a =的正整数p 总存在.22．这一命题是：已知A A b a by a x '>>=+),0(12222是椭圆的长轴，),(11y x P 是椭圆上异于A 、A ′的任意一点，过P 点作斜率为1212y a x b -的直线l ，若直线l 上的两点M 、M ′在x 轴上的射影分别为A 、A ′则（1）|AM||A ′M ′|为定值2b ；（2）由A 、A ′、M ′、M 四点构成的四边形面积的最小值为ab 2，这一命题是真命题，证明如下：（1）不防设)0,(a A -、)0,(a A '由点斜式得直线l 的方程是),(112121x x y a x b y y --=-即221212b a y y a x x b =+，由射影的概念知M 与A 、M ′与A ′有相同有横坐标，由此可得⨯+==''∴-'+-'1112211221122|||||||),,(),,(y a x b ab y y M A AM ay x b ab a M ay x b ab a M M M22122122221122|||b y a x b b a b ay x b ab =-=-；（2）由图形分析知，不论四点的位置如何，四边形的面积|)|(|||21M A AM A A S ''+'=， ||,2||AM a A A 且='Θ、||M A ''都为正数， |)||(|||21M A AM A A S ''+'=∴ab M A AM a M A AM a 2)||||2(|)||(|=''≥''+=，即四边形的面积的最小值为2ab .。
湖北省黄冈中学2020届高三6月第二次模拟考试文科数学试卷考试时间：2020年6月16日下午15:00--17:00试卷满分：150分一．选择题，本届共12小题，每小’5分，在每小’绘出的四个造项中，只有一项是满足’目要求的．I.设金集为R，集合A＝｛λIlog,x <I},B = {x I x ＇主I ｝，则An([,.B)=CD .(0, 2)2.已知复数＝＝土ι，；为工的共领复数，则；在复平而内对应的点位于(I+ i)' C. (0, I) (-1,2) B.A. (-1,1) 。
..m 四象限c.第三忽限第二象限B. A. tn －�民银α，β，y 为三个不同的平而，下列命题z ①辛苦α／／β，α!l y .3.已知a,b 为两条不同跑线，则βIIr ：②者。
／／α，。
II /3，则αII p ：③若αJ_y,pj_y ，则α／／β：＠袋。
iα，b J_ a,贝I J a//t，，其中正确命题序号为（） A.G精 B.②怒地4.为了解运动健身减肥的效果．某健身房调查720,8肥胖者，健身之前他们的体重（单位：D .Q:将晦c.<D©kg）情况如校形阁l 所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如校i i 阁2所示百卦比制蜘蹦蹦拙脚。
百卦比蹦蹦…m m 蹦蹦体重(80,90) (90,100) (100,110) [100,110) (110,120) (90,100) 雄形因2体篮柱形阁2对比健身前后，关于这20z.肥胖者，下而结论不正确的是A .他们健身后，你氢在区间［90,100）内的人数增加了2个自．他们自主身后，体重在区问（100,110）内的人数没有改变c.因为你亟在（100,110）内所占比例没有发生变化，所以说明您身对你军没有任何影响D .他们健身后，原来体重在区伺（110,120）内的肥胖者体重都有减少湖北省黄网中学2020届高三6月第二次模拟考试文科数学武卷｛妥6页〉第l 页。
绝密★启用前2020届湖北省八校（黄冈中学等）高三下学期第二次联考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数212z i i=-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B根据题意，化简复数，对应复平面内的点的坐标，即可求解. 解：由题意，根据复数的运算可得复数2z i =-+， 则z 对应点()2,1-在第二象限， 故选B . 点评：本题考查复数的几何意义，属于基础题.2．已知集合U =R ，{}2,A x x n n ==∈N ，(){}20B x x x =->，则()U A B =I ð（） A ．{}0 B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,1,2答案：C根据题意，分析A 集合为大于等于0的偶数集，求解B 集合，计算补集，再求交集. 解：集合U =R ，因为集合A 为大于等于0的偶数集，集合{|0B x x =<或2}x >， 所以{}02U B x x =≤≤ð，{}0,2U A C B ⋂=. 故选：C . 点评：本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.3．已知椭圆2221(5)25x y a a +=>的两个焦点为12,F F ，且12||10F F =，弦MN 过点2F ，则1F MN ∆的周长为（）A ．10B ．20C ．D ．答案：D由焦距可求得c ，进而得到a ；由椭圆定义可求得结果. 解：12210F F c ==Q 5c ∴=a ∴=由椭圆定义知：12122MF MF NF NF a +=+==1F MN ∴∆的周长为1212MF MF NF NF +++=故选：D 点评：本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即4a .4．已知向量a r 是单位向量，()3,4b =r ，且//a b r r，则2a b -=r r （）A ．11B ．9C ．11或9D ．121或81答案：C根据题意，由//a b r r，可知两向量的夹角为0或π，利用向量数量积求模长，计算可求解. 解：由题意，因为//a b r r，则两向量的夹角为0或π，则有5b =r，cos 5a b a b θ⋅==±r r r r则211a b -===r r 或9.故选：C . 点评：本题主要考查向量数量积以及向量模长的运算，属于基础题.5．已知2lg 3a =，5log 2b =，0.512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c -<<答案：A根据题意，由指数函数单调性及对数函数单调性，分别比较,,a b c 与102，的大小关系，即可求解. 解： ∵2lg03a =<， 5510log 2log 52b <=<=0.5110.50.52c =>=. 故a b c <<. 故选：A 点评：本题考查指数式对数式比较大小问题，属于基础题.6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于15的概率是（）A ．310B ．15C ．23D ．13答案：B根据题意，列举三个数之和为15的所有情况，根据古典概型计算概率. 解：从三个阳数1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有10种取法， 合题意的有2种：{}1,5,9和{}3,5,7， 由此可得所求概率为15. 故选：B点评：本题考查古典概型的计算，属于基础题. 7．设x ，y 满足约束条件100x y x y --≤⎧⎨+≤⎩，目标函数3z x y =-，则（）A ．z 的最大值为3B ．z 的最大值为2C ．z 的最小值为3D ．z 的最小值为2答案：B根据题意，由约束条件画出可行域，转化目标函数，利用截距最小求得目标函数的最值. 解：由题意，根据约束条件，作出可行域，如图所示：3y x z =-，作图可得直线3y x z =-过点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭时目标函数在y 轴上的截距最小，进而z 有最大值2. 故选：B 点评：本题考查线性规划问题，当线性约束条件为开放区域时，取得最值的有可能是顶点或者边，需谨慎思考，本题属于中等题. 8．已知函数()π32sin cos 32f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域是（） A ．3322⎡-⎢⎣⎦B ．32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 答案：B根据三角恒等变化，利用两角和余弦公式、二倍角公式、辅助角公式，化简函数得()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由三角函数性质即可求解值域 解：()2π1π2sin cos sin cos sin 22sin 2323f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. 故选：B . 点评：本题考查三角函数求值域问题，考查三角恒等变换，属于基础题.9．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，()21xf x =-，则使不等式()3log 30f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．(),9-∞ B ．()0,9C ．()9,+∞D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B根据题意，分析函数()f x 的单调性及连续性，根据0x >时函数解析式，求得()23f =，化简不等式，利用函数单调性解抽象函数不等式，得到3log 2x <，再解对数不等式即可求解. 解：当0x >时，()21xf x =-是增函数且()0f x >，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()21xf x =-，又函数()f x 在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数， 且()23f =，进而原不等式化为()()3log 2f x f <， 结合()f x 的单调性可得3log 2x <，所以09x <<， 即原不等式的解集为()0,9， 故选：B .点评：本题考查函数的性质综合应用，考查利用函数单调性解不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.10．设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆22:1C x y +=相切于点P ，且P 位于第一象限，O 为坐标原点，则AOB V 的面积的最小值为（） A ．1 B．2CD ．2答案：A根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标(),0A a ，()0,B b ，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出2ab ≥，代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值. 解：依题意，设(),0A a ，()0,B b ，直线l 与圆22:1C x y +=相切于点P ，P 位于第一象限则直线过一、二、四象限，即0a >，0b >， 则直线方程为1x ya b+=，化简得bx ay ab +=，直线与圆相切，故圆心到直线的距离1d r ===，ab =≥，∴2ab ≥，当且仅当a b ==.∴112AOB S ab =≥V .即三角形面积最小值为1 故选：A . 点评：本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型. 11．如图所示，三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60°后恰好与PAC V 重合，若60PAB ∠=︒，且三棱锥P ABC -则R =（）。
2020年湖北省黄冈中学高考模拟试卷数学（二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数，则复数z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（）A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交或bα或b∥α3、映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”．已知集合A 中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为（）A．24B．6C．36D．724、已知在等比数列{a n}中，a2·a4·a6·a8=16，则a5的值为（）A．2B．－2C．－2或2D．不确定5、如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，则“向量且0＜x＜y＜1”是“点P在△ABD内”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6、某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列车平均分成2组，且列车甲与列车乙不在同一个小组．如果甲车所在小组的3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A．36种B．108种C．216种D．432种7、某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，给出下列命题：①该市这次考试的数学平均成绩为90分；②该市这次考试的数学成绩方差为100分；③分数在120分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；④及格率(90分或90分以上为及格)为50%；⑤分数在130分以上的人数几乎为0．其中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48、设F1、F2分别是椭圆：的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）9、设，若f(x)=x有且仅有两个实数解，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，2)B．[1，2)C．[1，＋∞)D．(－∞，1]10、如图2，正方体AC′中，E、F分别是BB′、B′C′的中点，点P在AEF确定的平面内，且P点到A 点和平面BCC′B′的距离相等，则P点轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、已知二项式的展开式的第4项与第5项之和为0，则x等于__________．12、_________．13、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．请从这个实事中提炼出一个不等式组是__________．14、已知向量a=(2cosα，2sinα)，b=(3cosβ，3sinβ)，其夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋=0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2=的位置关系是__________．15、请阅读定义：(1)如果就称直线y=a或y=b为y=f(x)的一条水平渐近线；(2)如果，就称直线x=x0为y=f(x)的一条竖直渐近线；(3)如果有a≠0使得，就称直线y=ax＋b为y=f(x)的一条斜渐近线”.下列函数的图像恰有两条渐近线的是_________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)已知，将f(x)的图像按向量平移后，图像关于直线对称．(1)求实数a的值，并求f(x)取得最大值时x的集合；(2)求f(x)的单调区间．17、(本小题满分12分)一个动点P从原点O出发，按如下规则同时沿y轴、x轴的方向进行移动：同时掷两枚骰子，(a)每掷1次，沿y轴方向移动＋1；(b)计算两枚骰子的点数之和，如果不大于4点或不小于10点，则沿x轴方向移动＋2；如果不小于5点且不大于9点，则沿x轴方向移动－1．(1)每掷1次，分别求沿x轴方向移动＋2的概率和沿x轴方向移动－1的概率；(2)求动点P到达点(2，7)的概率．18、(本小题满分12分)如图3，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．(1)求异面直线EG与BD所成的角；(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面EFQ的距离为，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．19、(本小题满分12分)已知数列{a n}满足a1=1，a n＋1=2a n＋1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足，证明：{b n}是等差数列；(3)证明：．20、(本小题满分13分)如图4，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍，且经过点M(2，1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．21、(本小题满分14分) 已知函数和点P(1，0)，过点P 作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．(1)设|MN|=g(t)，试求函数g(t)的表达式；(2)是否存在t，使得M、N与A(0，1)三点共线?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)在(1)的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，]内总存在m＋1个实数a1，a2，…，a m，a m＋1，使得不等式g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a m)<g(a m＋1)成立，求m 的最大值．试题答案一、选择题提示：1、，而点（1，－2）位于第四象限.2、根据直线与平面的位置关系，易知选D.3、共有个.4、.5、当点P在△ABD内时，根据图形易得0＜x＜y＜1，反之，若0＜x＜y＜1，当x，y无限接近于1时，易知点P在△ABC外部，所以是必要不充分条件.6、从除甲乙外的4辆列车中任选2辆与甲组成一个小组，有种，然后再把这3辆全排列有种，最后再把剩下的3辆全排列，也有种，故共有种.7、正态分布可记作N（90，100），故期望为90分，方差为100分，则①②正确；因为曲线关于直线x=90对称，故④正确；③错误，，故⑤正确.所以真命题有①②④⑤.8、设右准线与x轴交于点A，则，又|F2P|=|F1F2|=2c，故.9、当x>0时，函数f(x)是周期为1的函数，作出图像即可得出答案.10、过P作PH⊥面BCC′B′，作PG⊥EF，连接GH，则∠PGH为面AEF与面BCC′B′所成的角，故PGsin∠PGH=PH=PA，则为定值，且，故P点轨迹是椭圆.二、填空题答案：11、2 12、13、14、相离15、①③⑤⑥提示：11、，则，解得x=2.12、，.13、第二次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，第三次为钉长的，则有.14、.圆心到直线的距离，故直线与圆相离.15、根据定义求极限即可，可得①③⑤⑥有两条渐进线.三、解答题17、设“每掷1次，沿x轴方向移动＋2”为事件A；“每掷1次，沿x轴方向移动－1”为事件B；“动点P到达点（2，7）”为事件C．(1)掷两枚骰子点数之和不大于4点有下列四种情形：两枚均为1点；两枚均为2点；一枚1点，一枚2点；一枚1点，一枚3点．掷两枚骰子点数之和不小于10点也有四种情形：两枚均为5点；一枚5点，一枚6点；一枚4点，一枚6点；两枚均为6点．(2)由(a)知，动点P到达点（2，7），必须掷7次骰子，设沿x轴方向移动＋2有x次；沿x轴方向移动－1有y次．18、(1)取BC的中点M，连接GM，AM，EM，如图a，则GM∥BD，∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角．(2)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，如图b，则OR∥AD，∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA，又有AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB．又∵E，F分别是PA，PD中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB．又∵EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB．过A作AT⊥ER于T，则AT⊥平面EFQ，∴AT就是点A到平面EFQ的距离．设CQ=x(0≤x≤2)，则BR=CO=x，AR=2－x，AE=1，在Rt△EAR中，故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为．。
2020届湖北省黄冈中学高三下学期6月第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|1B x x =，则()R C A B ⋂=（ ）A ．(1,1)-B ．(1,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)【答案】C【解析】先化简集合A,B,再求()R C A B ⋂得解. 【详解】由2log 1x <，得02x <<． 由21x ，得1x -或1x ， 所以R C B {|11}x x =-<<， 所以(){}R C |01A B x x ⋂=<<， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查补集和交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平. 2．已知复数21(1)iz i -=+．则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先由复数的除法运算，化简z ，得到其共轭复数，进而可得出结果. 【详解】 因为2211(1)()11(1)22222------=====--+-i i i i i iz i i i ， 所以1122z i =-+，因此其在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的几何意义，熟记复数的除法运算法则，以及复数的几何意义即可，属于基础题型.3．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；④若a α⊥，b α⊥，则//a b ，其中正确命题序号为（ ） A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C【解析】用平面的法向量判断①，举例说明②③， 【详解】设n 是平面α的一个法向量，//αβ，则n 也是β的一个法向量，又//αγ，∴n 也是γ的一个法向量，这样,βγ的法向量是同一个向量，它们平行，①正确；正方体1111ABCD A B C D -中，直线11C D 与平面11ABB A 和平面ABCD 都平行，但平面11ABB A 和平面ABCD 不平行，②错误；同样正方体中平面11BCC B 与平面11ABB A 和平面ABCD 都垂直，但平面11ABB A 与平面ABCD 相交，故③错误； 根据线面垂直的性质定理知④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间线线、线面、面面间的位置关系，错误的命题可反例说明，正确的命题一般需要证明，而平行垂直问题可由平面的法向量，直线的方向向量判断．4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数增加了2个100,110内的人数没有改变B．他们健身后，体重在区间[)100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影C．因为体重在[)响110,120的肥胖者体重都有减少D．他们健身后，原来体重在区间[)【答案】C【解析】由所给的柱形图分析减肥前和减肥后体重在各个区间人数的变化，即可得到答案.【详解】A.体重在区间[90，100）内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，正确；B.他们健身后，体重在区间[100，110）内的百分比没有变，所以人数没有变，正确；C.他们健身后，出现了体重在[80，90）内的人，健身之前是没有这部分体重的，说明健身对体重还是有影响的，故错误；D.因为图2中没有体重在区间[110，120）内的比例，所以原来体重在区间[110，120）内的肥胖者体重都有减少，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查利用柱形图分析数据的变化，考查分析问题与数据处理的能力，属于基础题．5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”.他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说谎话，其他人说真话，可推出.【详解】由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则乙丁有一人说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进而可以判断丁说了假话.【点睛】本题考查简单的合情推理，属于基础题.6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的 1.5S =（单位：升），则器中米k 应为（ ）A ．2升B ．3升C ．4升D ．6升【答案】D【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，列方程求解． 【详解】程序运行变量值变化如下：1,n S k ==，满足4n <，2n =，22k kS k =-=；满足4n <，3n =，2233kk k S =-=；满足4n <，4n =，3344k k k S =-=；不满足4n <，输出4k S =，∴ 1.54k=，6k =． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，模拟程序运行，观察变量值的变化是解题的常用方法．7．若曲线ln y x =在1x =处的切线也是x y e b =+的切线，则b =（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．e -【解析】求出曲线ln y x =在1x =处的切线，设切线与曲线x y e b =+切于点00(,)x y ，根据导数的几何意义求出切点坐标，确定b 值． 【详解】 由ln y x =得1y x'=，|11y x '==，又ln10=，所以曲线ln y x =在1x =处的切线方程为1y x =-，设直线1y x =-与曲线x y e b =+切于点00(,)P x y ，由x y e b =+得e x y '=，00|x x x y e ='=，所以01x e =，00x =，所以001y e b =-=+，解得2b =-．故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题时要注意区分函数在某点处的切线与过某点的切线．对过某点的切线问题一般设切点坐标为00(,)x y ，由导数几何意义求出切线方程（或切线斜率），利用所过点求出切点坐标，得出结论．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O及点A ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22182y x -=D ．22128x y -=【答案】B【解析】由题意可得OA 的值，及渐近线的斜率，从而可求得渐近线倾斜角的余弦值，再由题意可得OF 与OA 的关系，及,,a b c 的关系求出,a b 的值，进而求出双曲线的方程. 【详解】解：由题意得2OA ==，且OA AF ⊥，12b a ==，所以1tan2b AOF a ∠==，所以cos AOF ∠=，所以 cos OF AOF OA ⋅∠=，即2c =，得c =因为222c a b =+，所以解得224,1a b ==，所以双曲线方程为2214x y -=，故选：B 【点睛】此题考查双曲线的性质和圆的性质，属于中档题.9．若函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()()132f f f >>B ．()()()123f f f >>C ．()()()213f f f >>D ．()()()321f f f >>【答案】B【解析】画出函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π7π,66⎛⎫⎪⎝⎭上的图象，结合图象可得出()()120f f >>，()30f <，进而可选出答案.【详解】由()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，列表如下：画出函数()f x 在π7π,66⎛⎫⎪⎝⎭上的图象，如下图因为π5π2π126123<<<<，且5π5π121212-<-，所以()()120f f >>， 因为2π7π336<<，所以()30f <， 所以()()()123f f f >>. 故选：B. 【点睛】本题考查比较三角函数值的大小，考查正弦函数图象的应用，注意数形结合方法的应用，属于中档题.10．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若325a a -=，则428a a +的最小值为（ ） A ．40 B ．20C ．10D ．5【答案】A【解析】用2a 表示q ，代入428a a +后用基本不等式求得最小值． 【详解】 ∵20a >，∴2222222222242(5)2525889102910408a a q a a a a a a a a a +=+=++⨯+=+≥=，当且仅当22259a a =，即253a =时等号成立． 故选：A ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题方法是消元法，即用代入消元法化二元函数为一元函数，然后求解．11．如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AD DC ⊥，2BC =，23AD =，60ACB ACD ∠=∠+︒，则tan ACD ∠=（ ）A ．32B 3C ．33D ．1【答案】A【解析】根据正弦定理和直角三角形的性质即可求解 【详解】解：设ACD θ∠=，在Rt ACD △中， 因为AD DC ⊥，23AD =所以23AC =在ABC 中，60ABC ∠=︒，60ACB ACD ∠=∠+︒，2BC =， 所以60BAC θ∠=︒-，由正弦定理得，232sin sin(60)sin 60θθ=︒-︒，所以sin 2sin(60)θθ=︒-，即2sin 3θθ=， 所以3tan 2θ=， 所以 3tan ACD ∠= 故选：A 【点睛】此题考查了正弦定理的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题12．已知函数()2,0,0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，()22g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()()0g f x m -=恰有三个不等实根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则213x x x --的最小值为（ ）A ．3ln 22- B ．3ln 22-+ C ．3ln 22-- D ．3ln 22+ 【答案】B【解析】分别画出()f x 和()g x 的图像，令()(),0t f x t =>，则()22g t t m t =-+=，要满足题意，则01m <<，此时y=m 与y=g(t)有两个交点12,t t ，且121201,12,+=2t t t t <<<<，通过12,t t 研究函数()f x 图像，由图可得1212=x e t x =，32=x t ，用1t 表示出213x x x --，构造函数求导可求最值.【详解】根据题意画出()f x 和()g x 的图像，如图，令()t f x =,则0t >,()g t m = , 当01m <<时，y=m 与y=g(t)有两个交点12,t t ，且121201,12,+=2t t t t <<<<， 当1t t =时对应两个x 值，当2tt =时对应一个x 值，则方程恰有三个不等实根1x ，2x ，3x ，且1212=x e t x =,32=x t ，取对数得112=ln x t ，所以213112111==2ln 22x x x t x t t t ------，构造函数()()1h =2ln 2012t t t t --<<，()141=222t h t t t-'-=，()=0h t '，14t =，h(t)在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在114⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增， 所以当14t =时函数h(t)取得最小值11113h =ln 2=ln 242242⎛⎫---+ ⎪⎝⎭ 故选：B【点睛】本题考查复合函数与分段函数的应用，同时考查导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法．二、填空题13．已知函数()22log f x x a x =+，若()25f =，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭______. 【答案】34-【解析】由()25f =，可求出a 的值，进而可求得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】由题意，()2222log 245f a a =+=+=，解得1a =，故()22log f x x x =+，所以2log 11113124244f ⎛⎫==-=-⎪⎝+⎭. 故答案为：34-. 【点睛】本题考查求函数值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14．在ABC 中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在BA 方向上的投影是______. 【答案】4【解析】把等式AB AC AB AC +=-平方，转化为向量的数量积，得AB AC ⊥，从而可得结论． 【详解】∵ AB AC AB AC +=-，∴22AB AC AB AC +=-，即22()()AB AC AB AC +=-，∴0AB AC ⋅=，∴AB AC ⊥，BC 在BA 方向上的投影就是cos 4BC CBA BA ∠==．故答案为：4． 【点睛】本题考查向量的投影，数量积的几何意义，考查向量数量积与向量垂直之间的关系．解题关键是把向量的模用数量积表示．15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______. 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】设椭圆右焦点为2F ，由对称性知，22AF F BFF ∠=∠，从而有260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义结合基本不等式得2mn a ≤，在焦点三角形中应用余弦定理，代入2mn a ≤，结合余弦函数性质可得离心率的范围． 【详解】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立， 在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF emnmn mn a +-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤．故答案为：10,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是把已知条件转化为焦点2FAF △中，260FAF ∠≤︒，然后椭圆定义，余弦定理，基本不等式求得结论．16．如图，矩形ABCD 中，22BC AB ==，N 为边BC 的中点，将ABN 绕直线AN 翻折到1AB N △，M 为线段1B D 的中点，则在ABN 翻折过程中，①与平面1AB N 垂直的直线必与直线CM 垂直； ②线段CM 5； ③异面直线CM 与1NB 所成角的正切值为33； ④当三棱锥1B AND -的体积最大时，三棱锥1B AND -外接球的体积是4π3. 上面说法正确的所有序号是______. 【答案】①②④【解析】取1AB 的中点K ，AD 的中点O ，连接KM ，KN ，1OB ，ON ，证明//CM 平面1B AN ，可判断①，证明过程中的结论可判断②③，当三棱锥1B AND -的体积最大时，平面1AB N ⊥平面AND ，由此确定O 是外接球球心，可判断④． 【详解】取1AB 的中点K ，AD 的中点O ，连接KM ，KN ，1OB ，ON ，连接OB 交AN 于E ，连接1EB ，∵K 是1AB 中点，N 是BC 中点，∴ ////KM AD NC ，12KM AD NC ==， ∴KMCN 是平行四边形，//CM KN ，又CM ⊄平面1ANB ，NK ⊂平面1ANB ，∴//CM 平面1B AN ，与平面1AB N 垂直的直线必与直线NK 垂直，即与CM 垂直，故①正确；2211CM NK B N B K==+221512⎛⎫=+=⎪⎝⎭，故②正确； 1KNB ∠即为异面直线CM 与1NB 所成的角，1111tan 2B K KNB B N ∠==，故③错误； 当平面1AB N ⊥平面AND 时，三棱锥1B AND -的体积最大，由已知AONB 是正方形，OB AN ⊥，即1,B E AN OE AN ⊥⊥，∴1OEB ∠是二面角1B AN O --的平面角，∴12OEB π∠=，∴222211OB OE EB OE EA OA ON OD =+=+===，O 为三棱锥1B AND -外接球球心，且1R OA ==，34433V R ππ==，故④正确. 故答案为：①②④【点睛】本题考查空间折叠问题，考查线面平行的判断，求异面直线所成的角，棱锥与其外接球体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力，解题关键是取1AB 的中点K ，证明//CM KN ，CM KN =．三、解答题17．2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，作为制造业城市，某市一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，在推动制造业高质量发展的大环境下，某市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改造探索，下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x （315x ≤≤）（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据：x5 7 9 11 y200298431609工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：模型①：31733x y =+模型②：68160y x =- 其中模型①的残差图如图所示：（1）在下表中填写模型②的残差（残差=真实值-预报值），判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由.x5 7 9 11 y200 298 431 609 残差e（2）研究人员统计了20个月的产品销售单价，得到频数分布表如下： 销售单价分组（万元）[)75,85[)85,95[)95,105频数 1064若以这20个月销售单价的平均值定为今后的月销售单价（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），结合你对（1）的判断当月产量为12件时，预测当月的利润. 【答案】（1）填表见解析；模型①更适宜作为y 关于x 的回归分析，答案见解析；（2）预测当月的利润为295万元.【解析】（1）求出模型②的残差数据，比较残差数据即可得到答案. （2）首先根据频率分布表得到平均值，设设月利润为Z 万元，得到387871733x Z x y x =-=-+-，再将12x =代入即可得到答案.【详解】（1）模型②的残差数据如下表：模型①更适宜作为y 关于x 的回归分析，因为：理由1：模型①这4个样本点残差的绝对值都比模型②的小；理由2：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄； 理由3：模型①这4个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近x 轴. （2）这20个月销售单价的平均值为801090610048720⨯+⨯+⨯=.设月利润为Z 万元，由题意知387871733x Z x y x =-=-+-.当12x =时，295Z =万元，所以当月产量为12件时，预测当月的利润为295万元. 【点睛】本题主要考查残差的概念和性质，同时考查了频率分布表求平均值，考查学生对数据的分析和处理，属于简单题.18．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，142nn n a a +⋅=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()()1211nn n n b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于任意的n *∈N ，均有n m T >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12n na ；（2）1m ≥.【解析】（1）由142n n n a a +⋅=，得11242n n n a a +++=，两式相除得24n na a +=，然后对n 分奇偶求解n a 即可；（2）由（1）可得()()11211221212121n n n nn n b --⎛⎫==-⎪++++⎝⎭，从而可求得2121n nT =-+，可得1n T <，所以1m ≥. 【详解】（1）由142n n n a a +⋅=，则11242n n n a a +++=，两式相除得：24n n a a +=. 当n 为奇数时，1121.42n n na +-==， 当n 为偶数时，112242nn n a --=⋅=，∴12n na .（2）由（1）知()()11211221212121n n n nn n b --⎛⎫==-⎪++++⎝⎭， 则01211111122*********n n n T -⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪+++++⎝⎭1122122121n n⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， ∴1n T <，由n m T >恒成立，则1m ≥. 【点睛】此题考查由递推式求数列的通项公式，裂项相消求和法，考查了计算能力，属于基础题. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AC AB =，11B C BC O =.（1）求证：1B C AB ⊥；（2）若160CBB ∠=︒，AC BC =，棱锥1A BB C -的体积为1，且点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，求三棱锥1A BB C -的表面积 【答案】（1）证明见解析；（2153.【解析】（1）由侧面11BB C C 为菱形，得1B C BO ⊥，再由1AC AB =，O 为1B C 的中点，得1B C AO ⊥，利用直线与平面垂直的判定可得1B C ⊥平面ABO ，从而得1B C AB ⊥；（2）点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，即AO ⊥平面11BB C C ，设2BC a =，由棱锥1A BB C -的体积为1，求解出a 的值，再求解三角形可得三棱锥1A BB C -的表面积. 【详解】（1）证明：连接AO ，∵侧面11BB C C 为菱形，∴1B C BO ⊥，又1AC AB =，O 为1B C 的中点，∴1B C AO ⊥， 而AOBO O =，∴1B C ⊥平面ABO ，∵AB 在平面ABO 内， ∴1B C AB ⊥.（2）解：点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，即AO ⊥平面11BB C C ， 在菱形11BB C C 中，∵160CBB ∠=︒，∴1B BC 为等边三角形， 又AC BC =，设2BC a =，则12122sin 6032BB C S a a a =⨯⨯⨯︒=△，3AO a =， 则12313313A BBC V a a a -===，即1a =. ∴12216156222ABBS ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭△， 同理可得15ABCS =， 11123=32AB CBB CSS==⨯ 则三棱锥1A BB C -的表面积为1512223152322S =⨯+⨯⨯=.【点睛】此题考查空间中线线垂直的证法，考查多面体体积及表面积的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()0,1F ，以PF 为直径的圆与x 轴相切，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）A 是曲线C 上异于坐标原点的任意一点，过点A 的直线l 交y 轴的正半轴于点B ，且AF BF =，另有直线l '∥l ，且l '与曲线C 相切于点D ，证明：直线AD 经过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析；定点的坐标是()0,1.【解析】（1）设出P 点坐标，根据题意可得1122y PF +=，进而得解； （2）设21,4A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,B n ，根据BF AF =，得到2124n m =+，进而得出直线l 的斜率，设点21,4D a a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用导数求出直线l '的斜率，借助直线l '∥l ，得到4a m=-，从而可求出直线AD 的斜率，利用点斜式方程，求出直线AD 的方程，进而得解.【详解】 （1）()0,1F ，设(),P x y ，则PF 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 以PF 为直径的圆与x 轴相切，∴1122y PF +=，即12y += 化简整理得：24x y =，∴曲线C 的方程为24x y =.（2）设21,4A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,B n ()0n >，抛物线C ：24x y =的焦点为()0,1F ， 由BF AF =，得21114n m -=+()0n >， 解得2124n m =+， 所以，直线l 的斜率22211244124m n m k m m mm ---===-， 直线l '∥l ，∴直线l '的斜率为k ，设点21,4D a a ⎛⎫⎪⎝⎭，214y x =，∴12y x '=，∴12k a =，∴122a m =-，解得4a m =-.∴直线AD 的斜率为2221144444AD m a m a m k m a m-+-===-， ∴直线AD 的方程为()221444m y m x m m--=-，整理可得24104m x y m --+=， 由010x y =⎧⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，故直线AD 经过的定点的坐标是()0,1. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程的求解及直线过定点问题，其中涉及到利用导数求切线斜率、两点之间的距离公式、斜率公式及点斜式方程，属于中档题.求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：①任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解；②分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点. 21．已知函数()ln f x x kx =+，k ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()x e g x x ax=-，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g x f x >.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导函数()'f x ，按0k ≥和k 0<分类讨论得出()'f x 的正负，得单调区间；（2）不等式即为ln x e ax x >，在01x <≤时易得成立，在1x >时，由a 的范围得210ln ln 2ax x e x x <≤，这样只要证明21ln 2x e e x x >即可，为此构造函数()22ln x e h x x x -=-（1x >），求得导数()()2221x e x x h x x---'=，再引入函数令()()221x x e x x ϕ-=--，由导数确定()ϕx 的单调性，函数值的正负，得()h x 的单调性，极值，证得结论． 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，()11kx f x k x x+'=+=， 当0k ≥时，()0f x '>，故函()f x 在()0,∞+上单调递增. 当k 0<时，令()0f x '=，解得1x k=-， 故函数()f x 在10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）根据已知条件，()ln f x x x =-，要证()()g x f x >，即证ln x e ax x >， ①当01x <≤时，e 1x >，ln 0ax x ≤，显然成立；②当1x >时，ln 0x x >，结合已知202e a <≤可得，210ln ln 2ax x e x x <≤， 于是问题就转化为证明21ln 2xe e x x >，即证22ln 0x e x x-->，令()22ln x e h x x x -=-（1x >），则()()2221x e x x h x x ---'=， 令()()221x x e x x ϕ-=--，则()221x x xe ϕ-'=-，()x ϕ'在()1,+∞上单调递增.∵()2110eϕ'=-<，()230ϕ'=>， ∴存在()01,2x ∈，使得()00x ϕ'=，即02021x x e-=，∴()x ϕ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()110ϕ=-<，()20ϕ=，故当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.∴()()21ln 20h x h ≥=->，故()0h x >，即得证.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，用导数证明不等式，不等式证明的关键是经过分类讨论后引入新函数，问题转化为求新函数的最值．解题中要注意多次求导，目的是确定单调性、函数值的正负．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）2.【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C ，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MON S OM ON sin π==2sin （23πθ+）MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．已知1()||f x x a x a=++-. （1）当1a =时，求不等式()6f x 的解集M ；（2）若a M ∈，求证：10()3f x . 【答案】（1）{|3M x x =-或3}x .（2）证明见解析【解析】（1）采用零点分段法进行分类讨论，由此求解出不等式的解集M ；（2）由绝对值的三角不等式确定出()f x 的最小值（用a 表示），再根据对勾函数的单调性说明()min 103f x ≥即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||-1|f x x x =++ ()6|1||1|6f x x x ⇔++-当1x -时，116,3,3x x x x ---+-∴-当11x -<<时，116x x +-+不成立，∴x ∴∈∅当1x 时，116,3,3x x x x ++-∴.综上得不等式的解集{|3M x x =-或3}x .（2）111()||||||f x x a x a a a a a =++-+=+ ,||3a M a ∈∴，令||t a =，则3t ，而1y t t =+在[3,)+∞是单调增的∴当3t =时，min 110333y =+= ∴当a M ∈时，10()3f x . 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，难度一般.（1）常见的解绝对值不等式的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）绝对值的三角不等式：x a x b a b -+-≥-，x a x b a b ---≤-.。
