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§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分学讲义
变分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化，通过对函数的微小的变化进行研究，得出函数最值及其性质的一门学科。
而“变分学讲义”就是介绍变分学基本概念及相关算法的一本教材。
下面对该讲义进行分步骤的阐述。
第一步：基本概念的介绍。
讲义首先介绍了变分学中的一些基本概念，例如自由度、泛函、变分、拉格朗日方程等等，这些概念是我们学习变分学的必备基础。
第二步：泛函及其变分。
教材接下来介绍了不同类型的泛函及其变分。
例如，长度泛函、曲线与面积泛函、最小曲面问题等等。
这些内容都是通过不同类型的泛函进行讲解的，让读者深入理解变分学的应用。
第三步：极值原理。
极值原理是变分学中最基础的理论之一，涉及到许多在力学、化学、物理等领域中使用的极值问题。
该讲义对此进行了详细的讲解，包括Euler-Lagrange方程及其应用、Legendre变换、Hamilton-Jacobi方程等等。
第四步：偏微分方程及变分原理。
除此之外，该讲义也介绍了偏微分方程及其与变分原理之间的联系。
利用变分原理可以求出偏微分方程的解，而偏微分方程也可以用来描述泛函的极值问题。
第五步：算法及应用。
最后，该讲义也介绍了许多变分学中的算法及其应用。
例如最小化算法、修正正交法等等。
这些算法可应用于不同领域，例如计算机图形学、机器学习、物理学等等。
综上所述，“变分学讲义”是一本介绍变分学基本概念及其相关算法的教材。
该讲义通过分步骤的方式，深入浅出地阐述了变分学的核心概念，可以帮助读者全面掌握变分学的理论基础及其应用。
变分法补充讲义（2004-02-17）1． 变分法的基本预备定理（基本引理）如果函数φ(x )在线段(x 0, x 1)上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数η(x )（例如，一阶或若干阶可微，在线段(x 0, x 1)的端点处为0，η(x )<ε 或|η(x )|<ε 和|η’(x )|<ε 等），有0)()(10=⎰x x dx x x ηφ，则在线段0)(10≡≤≤x x x x φ上。
证明：（反证法）假定在线段x 0 ≤ x ≤ x 1上一点x x =处0)(≠x φ，事实上，由φ(x )的连续性可知，φ(x )在点x 的一邻域)(10x x x ≤≤内不变号。
如果取η(x )也在这个邻域内不变号且在邻域之外等于0，即如图所示：则⎰⎰≠=110)()()()(x x x x dx x x dx x x ηφηφ因)()(x x ηφ在],[10x x 上保持定号，在],[10x x 之外等于0。
则与定理假设相矛盾，所以必有0)(≡x φ。
而如图所示的)(x η可选取：x 1x0x1[][]⎩⎨⎧∉∈--=10102120,0,)()(x x x x x x x x x x k n n η其中，k 未常数，n 正整数。
则)(x η连续，且有直到2n -1 阶连续导数。
2． （1.7）节补充（1）泛函变分的定义引理：泛函[])(x y J 的变分 []0)()(=+∂∂=ααδαδx y x y J J证明：定义泛函的变分为泛函增量的线性主部，即当泛函增量可以表示成：[][][]y y y y y L x y J y x y J J δδβδδmax ),(,)()(+=-+=∆其中，[]y y L δ,为关于y δ的线性泛函，当0),(,0max →→y y y δβδ时。
我们将[]J y y L δδ∆=,这时，取函数的增量为y αδ，即增加一个因子。
计算[]y y J αδ+对于α的导数在α=0时的取值：αααααJJ∆=∆∆→=→∆000limlim（由于是对α求导，α=0，0-=∆αα）[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅+=⋅⋅+=⋅+=→→→→y y y y y L y y y y y L yy y y y L δαααδβδαδααδβαδαααδαδβαδααααmax ),(lim ,max ),(lim,lim max ),(,lim0000当0→α时，0),(,0max →→y y y αδβαδ，而1±=αα，y δmax 为有限小量。
变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。
用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。
根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
