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习 题 一1. 写出下列随机试验得样本空间及下列事件中得样本点: （1）掷一颗骰子, 记录出现得点数、 ‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次, 记录出现点数、 ‘两次点数之与为10’, ‘第一次得点数, 比第二次得点数大2’；鼉礬釹碍衛環叶。
（3）一个口袋中有5只外形完全相同得球, 编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球, 观察其结果, ‘球得最小号码为1’；澀課詰訓壢贷绫。
（4）将 两个球, 随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去, 观察放球情况, ‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内, 通过某桥得汽车流量, ‘通过汽车不足5台’, ‘通过得汽车不少于3台’。
解 （1） 其中 ‘出现 点’ , 135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------, 其中‘ ’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
《概率论与数理统计》练习册（2010年版）参考答案第一章 概率论的基本概念第一节 一、选择题.1、D ；2、A ；3、C ；4、D ；5、B . 二、解答题.1、（1）、C B A D ++=；（2）、C B A E =；（3）、C B A C B A C B A F ++=；（4）、=G C B A C B A C B A C B A +++.第二节 一、填空题.1、0.3；2、5.0；3、1p -；4、0.3；5、0.6；6、32；7、2113；8、158；9、2517；10、0.25. 二、选择题.1、B ；2、D ；3、B ；4、A . 三、解答题.1、307)(,157)(21==A P A P .2、21)(51025231533123822=++=C C C C C C C C P . 3、1133123831234=+C C C C .第三节 一、填空题.1、0.7；2、73；3、2；4、12053，5320. 二、选择题.1、B ；2、A ；3、C ；4、D . 三、解答题.1、令A 表示取出的球是白球，i B 表示从第i 个箱子中取球)2,1(=i ，则21}{}{,204}|{,108}|{2121====B P B P B A P B A P ，故21}{=A P . 2、设A 表示取到的是次品，i B 表示取到的零件是由甲（=i 1）、乙（=i 2）、丙（=i 3）机床提供的， 则由已知条件得18.05.01.03.03.02.02.0}{=⨯+⨯+⨯=A P （1）82.0}{=A P ；（2）5.0}|{2=A B P .3、记事件A =“小孩说谎”，B =“小孩可信”，设()0.8P B =,()0.1P A B =,()0.5P A B =.由贝叶斯公式，小孩第一次说谎之后，()0.444P B A =；第二次说谎之后，()0.138P B A =. 第四节 一、填空题.1、23；2、0.5；3、0.8704；4、1(1)n p --,1(1)(1)n n p np p --+-；5、4353或；6、0.75. 二、选择题.1、A ；2、C ；3、D ；4、B ；5、A ；6、C . 三、解答题.1、令i A 表示第i 个灯泡可使用1000个小时以上，则2.0)(=i A P ，3,2,1=i ，104.02.0)2.01(2.0)(2133321321321321=⋅-+=+++C A A A A A A A A A A A A P .2、432222)1)(21(1r r r r r r +-=-+--.3、设事件A 表示“飞机被击落”，i B 表示“飞机被i 个人击中”),3,2,1,0(=i ，1C 表示“甲击中”，2C 表示“乙击中”，3C 表示“丙击中”.则由概率加法公式、乘法公式和事件的独立性得09.0)()(3210==C C C P B P ，14.0)(,41.0)(,36.0)(321===B P B P B P .由题意有,1)|(,6.0)|(,2.0)|(,0)|(3210====B A P B A P B A P B A P 由全概率公式得458.0)(=A P .4、记i A 表示甲第i 次掷6点，i B 表示乙第i 次掷6点，1,2,i =⋅⋅⋅.记B A ,分别表示甲、乙取胜，则15()(),()(),(1,2,)66i i i i P A P B P A P B i =====⋅⋅⋅，且111211223A A A B A A B A B A =+++⋅⋅⋅，由独立性和加法公式，有116)(=A P ，从而115)(1)(=-=A P B P .第二章 随机变量第一节 一、填空题. 1、2516. 二、选择题. 1、A ；2、C . 三、解答题.1、（1）不是分布函数，因为2)(lim 1=+∞→x F x .（2）不是分布函数，因为)(2x F 在),2(ππ是单调减少的. （3）是分布函数，符合分布函数的三条性质.2、由题意知2132,1=-=+a b a ，所以61=a ，65=b .于是61}1{=-=X P ，21}2{,1}1{====X P X P .3、由1)(lim =+∞→x F x 得1=A ；由于)(x F 是连续函数，111lim20=+→x x ，故0=B ，从而0=C .4、X 的取值i 只有1,0两个值，以j ω记掷骰子出现j 点（1,2,,6j =⋅⋅⋅）事件，所以21}{)0(,61)(531=⋃⋃===ωωωωP X P P j ，21)1(==X P ，故⎪⎩⎪⎨⎧=1210)(x F ， 1100≥<≤<x x x第二节一、填空题.1、14；2、12；3、2；4、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=,1,5.0,2.0,0)(x F .3,32,21,1≥<≤<≤<x x x x ；5、2719.二、选择题.1、C ；2、D . 三、解答题.分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=1918891550)(x F .2,21,10,0≥<≤<≤<x x x x 36}2{}1{}2521{==+==≤<X P X P X P .2、41}1{,42}0{,41}1{=====-=X P X P X P . 3、设所需抽取次数为随机变量X .(1)设k A 表示第k 次取得正品()4,3,2,1=k ，m B 表示第m 次取得次品()3,2,1=m .则,107)(}1{1===A P X P ,307)(}2{21===A B P X P 1201}4{,1207}3{====X P X P .所以同理可得：（3）X 的概率分布为：第三节 一、填空题.1、141；2、0>；3、4；4、1，12；5、1,0211,02xx e x e x -⎧<⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩；6、0.2. 二、选择题.1、B ；2、C ；3、A ；4、D .三、解答题.1、设电子元件的使用寿命为X ，i A 表示第i 个电子元件能使用200小时.则312006006001}200{)(-∞+-==>=⎰e dx e X P A P xi ，eA A A P a 11}{1321-=-=.2、（1）由0)(,1)(=-∞=+∞F F 得π1,21==B A . （2）21)1()1(}11{=--=<<-F F X P . （3）)1(1)()(2x x F x f +='=π.3、（1）ππ1,11)(112===-=⎰⎰-+∞∞-A A dx xA dx x f ；（2）3111}21|{|21212=-=<⎰-dx xX P π；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰∞-1arcsin 1210)()(x dx x f x F x，.1,11,1≥<≤--<x x x4、设1A 表示电压不超过200V ，2A 表示电压在200V ～240V 之间，3A 表示电压超过240V ，B 表示电子元件损坏，则,212.0)8.0(1)25220200(}200{)(1=Φ-=-Φ=≤=X P A P 576.0)8.0()8.0(}240200{)(2=-Φ-Φ=≤<=X P A P ，}240{)(3>=X P A P =212.0)8.0(1=Φ-，,2.0)|(,001.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P （1）1()0.0642;P P B ==（2）220.5760.001(|)0.0090.0642PP A B ⨯==≈.5、若)(x f 为概率密度，则必有,0)(≥x f 故02>++c bx ax 。
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。
§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。
第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2) dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.试求Y=X2的分布律.解答：所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3, 有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为表(a)表(b)解答：由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为亦即表P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22，fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.于是(1)(2)Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.。
吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。
（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。
解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。
解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。
解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。
4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。
A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
概率论与数理统计课后习题答案1. 引言概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，通过学习这门课程，我们可以理解和运用概率和统计的概念和方法，从而分析和解决实际问题。
本文档将提供《概率论与数理统计》课后习题的详细答案。
2. 习题答案第一章：概率论的基本概念和基本原理1.1 选择题a.概率是以【答案】】D.形式结果给出的。
b.从一副有 52 张牌的扑克牌中，任意取一张牌，其点数是 7 的概率是【答案】】C.$\\frac{4}{52}$。
1.2 计算题a.设 A, B 是两个事件，已知 P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，且P(A ∪ B) = 0.7，求P(A ∩ B)。
【解答】根据概率的加法定理可知，P(P∪P)=P(P)+P(P)−P(P∩P)代入已知数据，得到：0.7=0.5+0.4−P(P∩P)解上式得到P(A ∩ B) = 0.2。
所以，P(A ∩ B) = 【答案】0.2。
b.有两个相互独立的事件 A 和 B，且 P(A) = 0.3，P(A∪ B) = 0.5，求 P(B)。
【解答】由于事件 A 和 B 是相互独立的，所以根据概率的乘法定理可知，P(P∪P)=P(P)×P(P)代入已知数据，得到：0.5=0.3×P(P)解上式得到 P(B) = 0.5 ÷ 0.3 = 1.67。
所以，P(B) = 【答案】1.67。
第二章：随机变量及其分布2.1 选择题a.设 X 是一个随机变量，其概率密度函数为：$$ f(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{2}x & 0 < x < 2 \\\\ 0 &其他 \\end{cases} $$则 P(X < 1) = 【答案】】C. 0.25。
b.对 X 的分布函数 F(x) = 1 - e^{-x}, 其中x ≥ 0，下列说法中错误的是【答案】】B. F(x) 是一个概率密度函数。
习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生,B 与C 不发生，（2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3)C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7)C B A ,,中不多于两个发生， （8)C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － （AB+AC )或A － （B ∪C ) （2)A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3)A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4)A ，B ,C 都发生，表示为ABC(5）A ，B ，C 都不发生,表示为C B A 或S － (A+B+C ）或C B A ⋃⋃（6)A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生,相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为ABC C B A 或++(8）A,B ，C 中至少有二个发生.相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生.故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ,问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值,最小值是多少？解 由P （A ） = 0.6，P （B ） = 0。
7即知AB ≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理， P （A ∪B ）=P (A )+P (B )=0。
6+0。
7=1.3〉1与P （A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P （AB ）=P （A ）+P （B )－P (A ∪B )(*）(1)从0≤P （AB )≤P （A ）知,当AB =A ,即A ∩B 时P (AB ）取到最大值，最大值为 P （AB )=P （A ）=0。
习题er1. 解 (1) 设学生数为n ，则{0/,1/,2/,,100/}n n n n n Ω=L(2) 枚骰子点数之和为 {3,4,5,,18}Ω=L(3) 三只求放入三只不同A ，B ，C 盒子，每只盒子中有一个球的情况有 {(,,),(,,),(,,),(,,,),(,,),(,,)}a b c a c b b a c b c a c b a c a b Ω=其中(,,)a b c 表示A 盒子放入的球为a ，B 盒子放入的球为b ，C 盒子放入的球为c ，其余类似．(4) 三只求放入三只不同A ，B ，C 盒子情况有{(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0),,(,,)}abc abc abc ab c c a b Ω=L 其中(0,,0)abc 表示A 盒子没有放入球，B 盒子放入的球为,,a b c ，C 盒子没有放入球，其余类似，共3||327Ω==个样本点．(5) 汽车通过某一定点的速度设为v {|0}v v Ω=>．(6) 将一尺长的棍折成三段，各段的长度为,,x y z{(,,)|0,0,0,1}x y z x y z x y z Ω=>>>++=．(7) 对产品检验四个产品，连续检验到两个产品为不合格品是，需停止检验，检验的 结果为{(0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1),(1,1,0,1)}Ω=其中(0,1,0,0)表示第一次取到不合格品，第二次取到合格品，第三次取到不合格品，第四次取到不合格品，其余类似．2. 解 (1) 一只口袋中装有编号为1，2，3，4，5的五只球，任取三只，最小的为1的样本点有{(123),(134),(135)}A = 其中(123)表示取出的球为编号为1，2，3的球(无顺序)． (2) 抛一枚硬币两次，A =“第一次出现正面”的样本点有{(10),(11)}A =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．B =“两次出现不同的面”的样本点有{(10),(01)}B =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．C =“至少出现一次正面”的样本点有{(10),(0,1),(11)}C =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．(3) 检验一只灯泡的寿命，其寿命为t 不小于500小时，A =“灯泡寿命不小于500小时”的样本点有{|500}A t t =≥． (4) 某交换台在一分钟接到的呼唤次数不大于10， A =“某交换台在一分钟接到的呼唤次数不大于10”的样本点有{|0,1,2,,10}A n n ==L ．(5) 重复抛掷一枚硬币，当出现正面时停止， A =“抛了偶数次时首次出现正面”的样本点有{(0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,0,0,1),}A =L ，其中(0,1)表示第一次出现反面，第二次出现正面．3. 解 (1) ABC AB C =-;(2) AB C U U ;(3) ABAC BC U U ;(4) AB AC BC U U ;(5) ABC ABC ABC U U ; (6) ABC ABC ABC U U .4. 解 (1) 选到的是1980年或1980年以前出版的中文版数学书；(2) 该馆中凡是1980年或1980年以前出版的书都是中文版的； (3) 馆中所有数学书都是1980年以后出版的中文版书； (4) 是．5. 解 包含事件,A B 的最小事件域是{,,,,,,,,,,,,,}F A B A B A B A B AB AB A B A B AB AB A B A B =Ω∅U I U I U U U I6. 证明 (1) 对任意的,A ω∈即,A ω∉，等价于A ω∈，即A A ⊂；对任意的A ω∈即,A ω∉，等价于A ω∈，即A A ⊃； 即 A A =．(2) 对任意的,A B ω∈-即,,A B ωω∈∉，等价于A B ω∈I ，即A B A B -⊂I ； 对任意的A B ω∈I 即,,A B ωω∈∉，等价于A B ω∈-，即A B A B -⊃I ； 即 A B A B -=I ．(3) 由于C B ⊂，所以AC AB ⊂=∅，所以AC =∅． (4) 对任意的1,nn A ω∞=∈U 即存在0,n n Aω∈，等价于0n A ω∉，即：1n n A ω∞=∈I，即11,n n n n A A ∞∞==⊂U I；对任意的1n n A ω∞=∈I即1n n A ω∞=∉I 存在00,n n A ω∉，等价于0n A ω∈，即：1n n A ω∞=∈U ，即 11n n n n A A ∞∞==⊃U I； 即11nn n n A A ∞∞===U I．(5) 与(4)证明相似．(6) 显然,,A B B A AB --互不相容 显然A B B A AB A B --⊂U U U ；对任意的,A B ω∈U 即A ω∈或者,B ω∈，分为(a)AB ω∈，显然成立；(b)A B ω∈-, 显然成立；(c) B A ω∈-,显然成立.7. 解 (1) 设 11(),1,2,,k k k i i B A A k n -==-=L U ，其中0A=∅，显然,1,2,,k B k n =L 互不相容．(2) 两个事件互不相容是指,AB =∅，而相互对立是指,AB A B =∅=ΩU ，所以互不相容并不一定相互对立；反过来两个事件相互对立一定能够说明互不相容．(3) 对任意的1,nk k B ω=∈U 即存在000001,k k k k n k B A A A A ω-∈=-⊂⊂，所以1nkn k BA =⊂U ；反之对任意的n A ω∈即存在00,,k n k A A ω∈⊂，且0001k k k A A B ω-∈-=所以1nkn k BA =⊃U ；即1nkn k BA ==U ．对于无穷的形式类似可得．8. 解 设抽出的三球顺序为黑白黑为A ，(1) 放回抽样Ω中的元素个数为311n Ω=，A 中的元素个数为656A n =⋅⋅，所以3656()0.135211A n P A n Ω⋅⋅=== ； (2) 不放回抽样Ω中的元素个数为311n A Ω=，A 中的元素个数为656A n =⋅⋅，所以 311655()0.1515A n P A n A Ω⋅⋅=== ．9. 解 设其中相互指定的三本书放在一起A ，Ω中的元素个数为310n A Ω=，A 中的元素个数为183!A n A =，所以 183103!1()15A n A P A n A Ω===10. 解 设其中两名种子选手被分在不同队为A ，Ω中的元素个数为1020n C Ω=，A 中的元素个数为91182A n C C =，所以 91182102010()19A n C C P A n C Ω===．11. 解 设四A 全部集中在一个人手中为A ，Ω中的元素个数为1352n C Ω=，A 中的元素个数为91484A n C C =，所以 914841352()0.0106A n C C P A n C Ω==≈．12. 解 设6双首套中选择4只恰有一双配对为A ，Ω中的元素个数为412n C Ω=，A 中的元素个数为32623A n C =⋅⋅，所以 3264122316()33A n C P A n C Ω⋅⋅===．13. 解 设这n 个人任何两个人的生日都不在同一天为A(1) Ω中的元素个数为365n n Ω=，A 中的元素个数为365365!n nA n C n A =⋅=，所以365()365nA nn A P A n Ω== ； (2) 30n =时302936536521229()(1)(1)(1)0.3037365365365365nA nn A P A e n ⋅-⋅Ω===---≈=L14. 解 (1) 设选出的为严格上升为A ，Ω中的元素个数为n n N Ω=，A 中的元素个数为nA Nn C =，所以 ()nA Nn n C P A n NΩ== ；(2) 设选出的为单调升为A ，Ω中的元素个数为n n N Ω=，A 中的元素个数为1nA N n n C +-=，所以1()nA N n nn C P A n N+-Ω== ．15. 证明 原式等价于()()(1)()(1)211(1)(1)(2)(1)(2)(1)n n N n n N n N n n N n N n N N N N N N N N N n n-------⋅++++=-----+L L L 构造概率模型： 一口袋中中有n 个红球，N n -个黑球，k A 为第k 次首次抽到红球，则11()()1n nkkk k P A P A ====∑U其中 ()(1)(2)()(1)(2)(2)k n N n N n N n k P A N N N N k n-----+=---+L L即()()(1)()(1)211(1)(1)(2)(1)(2)(1)n n N n n N n N n n N n N n N N N N N N N N N n n-------⋅++++=-----+L L L16. 解 解法不对，由于每一个样本点等可能发生实际是指每一枚骰子出现任何一种可能是等可能的，而不是和出现的结果是等可能的．正确解法为 设为点数和为6为A ，(,)m n 为第一枚骰子出现点数为m ，第二枚骰子点数为n ，则{(,)|,1,2,,6}m n m n Ω==L ，{(,)|6}A m n m n =+=Ω中的元素个数为36n Ω=，A 中的元素个数为5A n =，所以5()36A n P A n Ω== ．17. 解 设平行弦距圆心的距离为x ，设弦长度大于R 为A ，则{|0}x x R Ω=<<，{|0}2A x x R =<<2()A L P A L R Ω===．18. 解 设正常信号到达时间为为x ，干扰信号到达时间为y ，设系统受到干扰为A ，则{(,)|0,60}x y x y Ω=<<，{(,)|010600560}A x y x y x y x y =<<<+<<<<+<或1160605555505022()0.23266060A S P A S Ω⋅-⋅-⋅===⋅．19. 解 设甲船到达时间为为x ，乙船到达时间为y ，设有一船要在码头外等到为A ，则{(,)|0,24}x y x y Ω=<<，{(,)|0203}A x y x y x y x y =<<<<<<+或112424(21212222)22()0.19702424A S P A S Ω⋅-⋅+⋅===⋅．20．解 设切取的第一段长度为x ，切取的第二段长度为y ，切取的第三段长度为x ，设三段能够形成以一个三角形为A ，则{(,,)|1,,,0}x y z x y z x y z Ω=++=>，{(,,)|,,,1,,,0}A x y z x y z x z y y z x x y z x y z =+>+>+>++=>，则 1/4()0.251A L P A L Ω===．21. 解 设硬币的圆心落在某一个正方形中，以正方形的中心建立直角坐标系，由于是对称的，硬币的圆心不妨设落在第一象限；设正方形的边长为a ，设硬币与正方形不相交为A ，则{(,)|0,}x y x y a Ω=<<，1{(,)|0,}22a A x y x y =<<-， 则22(1)/4()0.1/4A S a P A S a Ω-==≥，解得109a ≤．22. 证明 (1) 由棣莫根定理有： 1212n n A A A A A A =U UL U I I L I ,121212()1()1()n n n P A A A P A A A P A A A =-=-U UL U U UL U I I L I ;(2) 由于12121312121()(())()n n n A A A A A A A A A A A A A -=---U UL U U U U UL U U UL U 11121,(),2,,k k k B A B A A A A k n -==-=U UL U L ,显然k B 两两互不相容，12121312121()()()(())(())n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=+-+-++-U UL U U L U UL U 12121312121()()()()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=++++%U UL U L L ； (3) 显然有 1212()()()P A A P A P A ≤+U不妨设当k n =时成立有12123()()()()()n n P A A A P A P A P A P A ≤++++U UL U L ， 当1k n =+时成立有121121()()()n n n n P A A A A P A A A P A ++≤+U UL U U U UL U1231()()()()()n n P A P A P A P A P A +≤+++++L ．24. 解 (1) 由于 12,A A A ⊂所以有 12()()P A A P A ≤,121212()()()()P A A P A P A P A A =+-U , 121212()()()()P A A P A P A P A A =+-U , 1212()()()()1P A P A A P A P A ≥≥+-,即 12()()()1P A P A P A ≥+-；由于 123,A A A A ⊂所以有123,A A A A ⊃u u u u u u u r ,123()(),P A A A P A ≥u u u u u u u r, ()123123()(),P A A A P A A A P A =≥u u u u u u u rU U , ()123123()()()P A A A P A P A P A ≤++%U U , ()123123()()()()P A A A A P A P A P A ≤≤++U U ,由于()1()P A P A =-即 123()()()()2P A P A P A P A ≥++-； (2) 由于()()()()P A B P A P B P AB =+-U ,，()()()()P AB P A P B P A B =+-U ，()P AB p q r =+-；()()()P AB P B P AB r p =-=-； ()()()P AB P A P AB r q =-=-； ()1()1P AB P A B r =-=-U ．25. 解 设订购报纸分别A,B,C 为事件,,A B C(P 只订购A)(())()()()()P A B C P A P AB P AC P ABC =-=--+U0.450.10.050.030.3=--+=; (P 只订购AB)()()()P AB C P AB P ABC =-=-0.10.030.07=-=;(P 只订购B)(())()()()()P B A C P B P AB P BC P ABC =-=--+U 0.350.10.050.030.23=--+=;(P 只订购C)(())()()()()P C A B P C P AC P BC P ABC =-=--+U 0.30.080.050.030.2=--+=;(P 只订购一种报纸的）=(P 只订购A)+(P 只订购B)+(P 只订购C) 0.30.230.20.73=++=；(P 恰好订购两种报纸的）=(P 只订购AB)+(P 只订购BC)+(P 只订购AC) ()()()3()P AB P AC P BC P ABC =++- 0.10.080.0530.030.14=++-⋅=;(P 至少订阅一种）=(P 只订购一种)+(P 只订购两种)+(P 只订购三种) 0.730.140.030.9=++=．26. 解 设A 为任何一人都为拿到自己原来的卡片；设k A 为第k 个人拿到自己原来的卡片，1,2,,k n =L ，由于1nk k A A ==U ，且1()k P A n =，1,2,,k n =L ；1()(1)k j P A A n n =-，,1,2,,,k j n j n =<L ；1()(1)(2)k j l P A A A n n n =--，,,1,2,,,k j l n l j n =<<L ；L所以1()1()1()nk k P A P A P A ==-=-U11111()()()(1)()nnnk j k l j k k k j k nl j k nk P A P A A P A A A P A =≤<≤≤<<≤==-+-++-∑∑∑∏L11111(1)2!3!!n n =-++-+-L 1e -≈（由x e 的幂级数的展开式得到）．27. 解 设每分钟到达的呼叫次数为X ，则X 服从参数为4λ=的泊松分布844(8)0.0297718!P X e -===；4114(10)0.00284!k k P X e k +∞-=>==∑．28. 解 由于 ()()0.21(|),()()(|)0.42P AB P AB P A B P B P B P A B ====， ()()()()0.30.50.20.6P A B P A P B P AB =+-=+-=U ．29. 解 设三个孩子的家庭有一个女孩为B ， 至少有一个男孩为A ,7()8P B =, 6()8P AB =，所以6()68(|)7()78P AB P A B P B ===．30. 解 设k A 表示第k 次取到合格品，1,2,3k =，(P 第三次才取到合格平123121312)()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A ==109901009998=⋅⋅.31. 解 设i A 表示第i 次打开房门，1,2,,i k =L(P 第k 次才取到合格平12121121)()()(|)(|)k k k P A A A P A P A A P A A A A -==L L L2322()11(1)n n n k n n n k n n ---=⋅=--+-L ．32. 解 设种子等级为i 等分别为,1,2,3,4i A i =；种子能够长成优良小麦为B ，由全概率公式得到41()()(|)i i i P B P A P B A ==∑(10.020.0150.01)0.50.020.150.010.10.010.05=---⋅+⋅+⋅+⋅ 0.4825=．33. 解 设第一次取出没有用过的球数为i 为i B ，0,1,2,3i =；第二次取出的三个全为没有用过的球为A ，由全概率公式得到3()()(|)iii P A P B P A B ==∑33213123033393983973963333333312121212121212120.146C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=．34. 解 设第一次从甲口袋中取出的白球数为i 为i B ，0,1,2i =；第二次取出的两个球为白球为A ，由全概率公式得到2()()(|)i i i P A P B P A B ==∑221121212222222222b a b a a b a b a b C C C C C C C C C C C C C ααααβαβαβ+++++++++++=⋅+⋅+⋅．35．解 设任取的一个产品为不合格品为D ，产品是来自于机器生产的A,B,C 分别为,,A B C ，由全概率公式有()()(|)()(|)()(|)P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.350.040.40.020.0345=⋅+⋅+⋅= 由贝叶斯公式得到()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.36230.0345⋅==；()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.350.040.40580.0345⋅==；()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P C P D C P C D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.40.020.23190.0345⋅==；本题的结果可以发现由于已经知道产生的是不合格品在分担责任时，由于各个机器产生不合格品的概率不同，生产的产量不同均会影响各个机器的不合格品的概率不同．36．解 设接收的信号为“．”为A ，发出的信号为“．”为B ，()0.6,(|)0.7,P B P A B ==()0.4,(|)0.02P B P A B ==由贝叶斯公式得到()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+0.60.70.99810.60.70.40.02⋅==⋅+⋅； 其余类似．37. 证明 (1) 由于 (|)(|)P A B P A B =，所以()()()()P AB P AB P B P B =()()()()1()P AB P A P AB P B P B -=-()()(1())()()()P AB P B P A P AB P B -=- ()()()P AB P A P B =.(2) 由于,,A B C 相互独立，所以(())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ==+-U U()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+- ()(()()())P C P A P B P AB =+- ()()P C P A B =U ；(())()()()()()()P AB C P ABC P A P B P C P AB P C ===； (())()()()P A B C P AC BC P AC P ABC -=-=-(()())()()()P A P AB P C P A B P C =-=-； (3) 对任意的事件B 有()()0P AB P A ≤=，所以()()()P AB P A P B =； (4) 对任意的事件B 有()0P A =,由 (3)知A 与任何B 相互独立，所以A 与任何B 相互独立．(5) 12121212()()()()m m m n m m m n P AB P A A A A A A P A A A P A A A ++++==L L L L ．38. 证明 (1) 不妨设,A B 相互独立，则有()()()P AB P A P B =，但()0,()()0P AB P A P B =≠矛盾．所以,A B 不相互独立.(2) 原命题与逆否命题等价，所以显然．39. 解 设i A 为第i 台机器不需要工人照看，1,2,3i =；B 为最多有一台机器需要照看，123123123123()()()()()P B P A A A P A A A P A A A P A A A =+++0.90.80.70.10.80.70.90.20.70.90.80.3=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 0.902=.40. 解 设i A 为甲、乙、丙三人击中飞机，1,2,3i =；B 为飞机击落，123123123123123123123()0.2(()()())0.6(()()())1()P B P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A =++++++⋅0.2(0.40.50.30.60.50.30.60.50.7)0.6(0.40.50.30.40.50.70.60.50.7)0.40.50.7 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.458=.41. 解 设i A 为从100件中有4件音色不纯的乐器中取到3件音色不纯件数,0,1,2,3i =，为乐器通过测试为B ，00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++321123322396964964433331001001001000.9930.990.0530.990.050.05C C C C C C C C C C =+⋅⋅+⋅⋅+ 0.8625≈．42. 解 设i A 为第i 续电器节点闭合，1,,6i =L ；B 为为L 与R 是通路，1323564()()B A A A A A A A =U U U 1323564()(()())P B P A A A A A A A =U U U1323564123135613423562345641235612342345612456123456()()()()(()()()()()())(()()()())()P A A P A A P A A P A P A A A P A A A A P A A A P A A A A P A A A P A A A P A A A A A P A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A A =+++-+++++++++-23456343p p p p p p =+--+-．43. 解 (1) 四次试验中至少发生一次事件A 为B ，480()1()1(1)81P B P B p =-=--=， 解得 23p =； (2) n 次试验中至少发生一次事件A 为B ，()1()1(10.2)0.9nP B P B =-=--≥，解得ln0.1(10,2)0.1,,10.3189,11ln0.8nn n n -≤≥≥≥ 同理()1()1(10.2)0.99nP B P B =-=--≥解得ln0.01,20.6377,21ln0.8n n n ≥≥≥．44. 解 设k A 为4次中A 发生的次数为 ,1,2,3,4k k =1314()0.30.7P A C =⋅，4132344()10.70.30.7P A A A C =--⋅U U ，1234()()0.6()P B P A P A A A =⋅+U U13413440.30.70.610.70.30.7C C =⋅⋅+--⋅0.595=．45. 解 设甲投中的球数为X ，乙投中的球数为Y ，()(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== (0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)P X P Y P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==+==33112222223333330.30.40.70.30.60.40.70.30.60.40.70.6C C C C =+⋅⋅⋅+⋅⋅+ 0.3208=；()(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+==+==+==123132330.70.30.40.70.60.40.436C C =⋅⋅++=L .46.解 设单片元件毁坏的数目为X 服从二项分布(10000,0.0005)b ，由泊松定理有X 近似服从泊松分布(),5P λλ=，所以51(0)0.00670!P X e -===．47．解 设指定的一页上错字数为X ，则X 服从二项分布(200,0.025)b ，由泊松定理有X 近似服从泊松分布(),0.5P λλ=，所以0.530.5(3)0.0144!k k P X e k +∞-=≥==∑．48. 解 设产出的卵数为X ，孵出的有幼虫数为Y ，对任意的0,1,k =L 有()(,)n kP Y k P X n Y k +∞=====∑()(|)n k P X n P Y k X n +∞=====∑(1)!nk kn k n n ke C p p n λλ+∞--==-∑!(1)!!()!nk n k n k n e p p n k n k λλ+∞---==--∑0(1)!()!k k n k n k n k p e p k n k λλλ-+∞---==--∑(1)!k k p p e e k λλλ--=()!k p p e k λλ-=即孵出的幼虫数服从参数为p λ的泊松分布．习题二1. 解 22351(3)10C P X C ===,23353(4)10C P X C ===,24356(5)10C P X C ===,分布列为分布函数为0,1/10,34,()4/10,45,1, 5.x F x x x ⎧⎪ ≤<⎪=⎨ ≤<⎪⎪ ≥⎩．2. 解 分布列分别为分布函数为0,20,()1/2,2040,1,.x F x x x <⎧⎪= ≤<⎨⎪ ≥40⎩ 0,10,()1/2,1030,1,.y F y x x <⎧⎪= ≤<⎨⎪ ≥30⎩．3．解 定义0,5,1,5,2, 5.X ωωω <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩（注意可以定义不同的随机变量取值，分布函数不同）分布函数为 0,0,5/10,01,()6/10,12,1, 2.x x F x x x <⎧⎪ ≤<⎪=⎨ ≤<⎪⎪ ≥⎩．4. 解 1）不放回抽取383107(0)0.466715C P X C ====,21823107(1)0.466715C C P X C ====,12823101(2) 0.066715C C P X C ====．2）放回抽取3(0)0.8 0.5120P X ===，1133(1)0.20.80.3840P X C === 2213(2)0.20.80.0960P X C ===，3(3)(0.2)0.0080P X ===．5. 解 由于跳跃点的概率 000()()(0)P X x F x F x ==--(5)(5)(50)1/5,P X F F =-=----=同理得到(2)1/10,P X =-=，(0)2/10,P X ==(2)1/2.P X ==6．解 1）有概率分布列的规性得到1/431/21a a +++= 解得1/16a =．2）21Y X =-的分布列为7. 解 (3)(2)(0)(2)1(5)0.8P X P x P x P x P x >-==-+=+==-=-=，(||3)1(5)0.8P X P X <-=-=-=,(|1|2)(5)(2)0.7P X P X P X +>==-+==.8. 解 由于分布函数是右连续的, 1lim ()(1)x F x F +→=.所以211,1A A =⋅= {0.50.8}(0.8)(0.5)0.3900P X F F <≤=-=．(本题也可以利用分布密度函数的规性的条件得到)9. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，10210|110a a a dx x x +∞+∞=-==⎰ ， 解得 10a =，分布函数10,()0x F x <=，1021010101010,()|1x x x F x dt t t x≥==-=-⎰，101,10,()0,10.x F x xx ⎧- ≥⎪=⎨⎪ <⎩ 由()1/2,F k = 解得20k =.10. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，000||xx x x x axe dx axde axe ae dxae a +∞+∞+∞---+∞--+∞=-=-+ ==⎰⎰⎰得到 1a =. 0,()0,x F x <=000,()||1,xxxt t t xt xt xx xx F x te dt tde te e dtxe e xe e --------≥==-=-+ =--=--⎰⎰⎰0,0,()1,0.x xx F x xe e x -- ≤⎧=⎨-- >⎩.11. 解 1) 不能,由于不是单调不减；2) 不能,由于不是单调不减；3) 能,其他场合定义()1,0F x x =>．12. 解 1) 是连续型随机变量，2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他2) 不是，由于连续型随机变量取值与一点的概率为0，而(1)1/2P X ==．13. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，||0022|2x x x ae dx ade ae a +∞+∞---+∞-∞=-==⎰⎰,得到 12a =. 110,(),22xt x x F x e dt e ---∞<==⎰00011110,()|1,2222x t t xx x F x exdx e dt e e ----∞≥=+=-=-⎰⎰1,0,2()11,0.2xx e x F x e x --⎧ ≤⎪⎪=⎨⎪- >⎪⎩.14. 解 由方程 24420x x ξξ+++=有实根得到21616(2)0ξξ∆=-+≥，解得 21or ξξ≥ ≤-,由于(0,5)U ξ :，所以(2)3/5P ξ≥=．15. 解 设Y 为四次取值大于发生a 的次数，则(4,)Y b p :，其中()1,(01)p P X a a a =>=-<<又 (1)1(0)0.9P Y P Y ≥=-==，4(0)0.1P Y a === 解得 0.5623a =.16. 解 1) 55()()0.922X a P X a P --<=<=,查标准正态分布表得到 1(0.9) 1.2816-Φ=,解得a = 7.5631.2) |5|(|5|)()0.0122X aP X a P -->=>=,|5|()2()0.01222X a a P ->=-Φ=,得到()2a Φ=0.995查标准正态分布表得到1(0.995)-Φ=2.5758,a = 5.1517.17. 解 设优秀的最低分为a ,数学成绩为X ,根据条件得到()0.05P X a >=,7070()0.951010X a P -->= 查标准正态分布表得到1(0.95) 1.645-Φ=,解得 86.45a =.18. 解19. 证明 当a y b αβαβ+<<+时()()()()y F y P Y y P X y P X βαβα-=≤=+≤=≤11()y ay y a dx a b a b a b a βαββαααα----==-=---⎰, 1(),p y a y b b a αβαβαα=+<<+-,其他 ()0p y =1,,()0,.a yb p y b a αβαβαα⎧ +<<+⎪=-⎨⎪ ⎩其他 即Y 服从[,]a b αβαβ++的均匀分布,20. 解 1) 当0y >时133()()()()F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤11331,y x y e dx e--==-⎰21331(),03y p y y e y --=>,其他 ()0p y =21331,0,()30,.y y e y p y --⎧ >⎪=⎨⎪ ⎩其他,131,0,()0,.y e y F y -⎧⎪- >=⎨⎪ ⎩其他 2) 当01y <<时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y -=≤=≤=≥-ln x ye dx y +∞--==⎰,(),01p y y y =<<, 其他 ()0p y =.,1,()0,.y y p y 0<<⎧=⎨⎩其他 0,0,(),1,1,1y F y y y y ≤⎧⎪= 0<<⎨⎪ ≥⎩21. 解 1) 当1y e <<时，()()()(ln )XF y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤ln 0ydx =⎰,1(),1p y y e y=<<, 其他 ()0p y =1,1,()0,.y e yp y ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其他 2) 当0y ≤<+∞时 2()()(2ln )()y F y P Y y P X y P X e -=≤=≤=≥21.y edx -=⎰,21(),02yp y e y -=≤<+∞,其他 ()0p y =.21,0,()20,.ye y p y -⎧ ≤<+∞⎪=⎨⎪ ⎩其他 3) 当1y ≤<+∞时11()()()()F y P Y y P y P X X y =≤=≤=≥11.ydx =⎰,21(),1p y y y =≤<+∞, 其他 ()0p y =21,1,()0,.y yp y ⎧ ≤<+∞⎪=⎨⎪ ⎩其他22. 解 1) 当0y >时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤2ln 2.x ydx --∞=⎰,2ln 2(),0yp y y -=>,其他 ()0p y =2ln 2,0,()0,.yy p y -⎧ >= ⎩其他.2) 当0y >时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y -=≤=≤=≥-22ln .x dx +∞--=⎰, 2ln 2(),0yp y y -=>,其他 ()0p y =2ln 2,0,()0,.yy p y -⎧ >= ⎩其他.3) 当0y >时()()(||)()F y P Y y P X y P y X y =≤=≤=-≤≤22.x ydx --=⎰,22(),0y p y y -=>,其他 ()0p y =22,0,()0,.yyp y-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他.23. 证明不妨设0a>()()()()y bF y P Y y P aX b y P Xa-=≤=+≤=≤()y baXf x dx--∞=⎰1()()Xy bf y fa a-=,同理可得0a<的情形.24. 解由上题的结论可得yβ>时,()yf y eβλαλα--=,()0y f yβ≤=分布密度函数为,,()0,.ye yf yyβλαλβαβ--⎧>⎪=⎨⎪ ≤⎩25. 解设年化收益率为r,ln ln lnXr X XX==-2222215,()(1)4EX e D X e eσμμσσ++===-=解得22444(1),ln(1) =0.0176225225225eσσ=+=+≈, 2.6992μ=, ln X服从4( 2.6992,)225N，年化收益r服从44( 2.6992-ln10,)( 0.3966,)225225N N=.26. 解 1) 有规性得到1()22xf x dx Ae dx A+∞+∞--∞===⎰⎰得到1/2A=;2)111/21/2(1)xe dx e--=-⎰;3)当0x<,()1/21/2xt xF x e dt e-∞==⎰,当0x≥,()1/21/211/2xt t xF x e dt e dt e---∞=+=-⎰⎰,分布函数为1/2,0,()11/2,0.xxe x F x e x -⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩.27. 解 由2(1)(2),1!2!P X P X ee λλλλ--====解得1λ=,221,()1,()()2EX D X EX D X EX λλ== == =+=,11(3)3!P X e -==.28. 解 设Y 为3人中等车时间不超过2分钟的人数，X 为等车时间.(3,),Y b p :其中(2)2/5p P X =<=，223333(2)(2/5)(3/5)(2/5) 0.3520P Y C C ≥=+=.29． 解 设X 为800个保单发生理赔的次数，利润为Y ．(800,0.05)X b :， 8005002000Y X =⋅-⋅40000020008000.05320000EY =-⋅⋅=．30. 解 当0x >时，00()|1,xt x xx F x e dt e e λλλλ---==-=-⎰当0x ≤时，()0F x =1,0,()0,0.x e x F x x λ-⎧- >=⎨≤⎩ 011x x x EX xe dx xe dx xde λλλλ+∞+∞+∞---===-⎰⎰⎰0001111||x x x xe e dx e λλλλ+∞-+∞--+∞=-+==⎰.,22222211xxx EX x edx x e dx x de λλλλ+∞+∞+∞---===-⎰⎰⎰20222112|2x x x e xe dx λλλ+∞-+∞-=-+=⎰2221()()D X EX EX λ=-=.31. 解 设电子元件的寿命为1()1000X Exp :， Y 为3个电子元件在1000小时坏掉的个数 (3,)Y b p :，其中1000100010111000xp e dx e --==-⎰,系统寿命超过1000小时的概率为01013111123323(1)(0)(1)(1)()(1)()32P Y P Y P Y C e e C e e e e --------≤==+= =-+- =-.32. 解 20.400.320.30.2,EX =-⋅+⋅+⋅=-2222(2)0.400.320.3 2.8,EX =-⋅+⋅+⋅= 22()() 2.80.04 2.76D X EX EX =-=-= 22(35)3513.4E X EX +=+=，5)10()27.6D D X -==.33. 解 设Y 为抽取10产品中的次品个数 (10,0.1)Y b :,1010102(1)0.10.90.2639kk k k p P Y C -==>==∑.(4,)X b p :,4 1.0556EX p ==.34. 解1/10(1051) 2.7EX =+++=L .35. 解001(1)()()()()()x xEX x e dx x e dx ααβαβαααααβαβαβαβ+∞+∞--Γ+Γ=====ΓΓΓΓ⎰⎰,2112001(2)(1)()(1)()()()()x xEX x e dx x e dx ααβαβαααααααβαβαβαβ+∞+∞+-+-Γ++Γ+=====ΓΓΓΓ⎰⎰ 222()()Var X EX EX αβ=-=.36. 解 ||102x EX x e dx +∞--∞==⎰, 22||201(3)22x x EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===Γ=⎰⎰,22()()2D X EX EX =-=,||01||||(2)12x x E X x e dx xe dx +∞+∞---∞===Γ=⎰⎰.37. 解 预期收益记为X ，510(1)X R =+(0.010.10.020.10.030.20.040.30.050.20.060.1)0.037ER =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=,2222222(0.010.10.020.10.030.20.040.30.050.20.060.1)0.0016ER =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 222()()0.00160.037 2.0100e-004D R ER ER =-=-=,510(1)10370EX E R =⋅+=, 106()10() 2.0110D X D R ==⋅.38. 解 222222222222200x x x x xEX xedx xdexee dx σσσσσ----+∞+∞+∞+∞==-=-+=⎰⎰⎰,222222222222222222202222220222x x x x x xEX x e dx x dex exe dx x ed σσσσσσσσσ----+∞+∞+∞-+∞+∞==-=-+ ==⎰⎰⎰⎰,2222()()22Var X EX EX πσσ=-=-,22222242()x x xP X EX edx eeπσσσ--+∞->==-=.39. 解 设这债券价值为X ,则5%2EK =,1100(1)X K =+ ，解得1073.2EX =.习题三1.解 无放回2. 解3. 解 设X 为白色粉笔数，Y 为黄色粉笔数3126!(3,1)0.60.250.153!1!2!P X Y ===（多项分布的分布列）． 4. 解131102001194173(1,3)(6)(6)()882828P X Y dx x y dy x dx x dx -<<=--=--=-=⎰⎰⎰⎰ 14110200119415(1)(6)(122)(62)88288P X dx x y dy x dx x dx -<=--=--=-=⎰⎰⎰⎰5. 解 21120111()236x G xS dx dy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰， 224202022011(4)4(4)(6)(66)(2)8821182(64)(128).82863x x P X Y dx x y dy x x dxx x dx ---+≤=--=--- =-+=-+=⎰⎰⎰⎰26,01,,(,)0,.x x y x f x y ⎧ <<<<=⎨⎩其他， 当01,x <<22()66()x X xf x dy x x ==-⎰，其他 ()0X f x =，26(),01,()0X x x x f x ⎧- <<=⎨⎩，其他. 当01,y <<())Y yf y dx y ==-，其他，()0Y f y =，),01,()0Y y y f y ⎧- <<⎪=⎨⎪⎩，其他.6. 解 1,01,01,(,)0,.x y f x y <<<<⎧=⎨ ⎩其他当01,x <<1()11X f x dy ==⎰，其他，()0X f x =，1,01,()0X x f x <<⎧=⎨⎩，其他. 当01,y <<1()11Y f y dx ==⎰，其他，()0Y f y =1,01,()0Y y f y <<⎧=⎨⎩，其他.． 2222{(1/2)(1/2)1/4}1{(1/2)(1/2)1/4}P X Y P X Y -+-≥=--+-<116π=-.7. 解 2222(,)16(1)(1())23F x y x yx y π∂=∂∂⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222211()6(1())(1())2(1())232X f x dy x y x ππ+∞-∞==+++⎰， 222211()6(1())(1())3(1())233Y f y dx x y y ππ+∞-∞==+++⎰．8. 解 设Y 为五次到达银行未等到服务的次数 ,(5,)Y b p :,其中25101{10}5x p P X e dx e +∞--=>==⎰，2255{}(1),0,1,,5k k k P Y k C e e k ---==- =L ，25{1}1{0}(1).P Y P Y e -≥=-==-9. 解 设圆周分为面积大小相同的两块半圆,以1Y =表示表明刻度为1的半圆, 以0Y =表示表明刻度有[0,1]的半圆.当0x <时,()0F x ξ=，当01x ≤<时,1()2F x x ξ=， 当1x ≥时,11()122F x ξ=+=.故分布函数为0,0,1(),01,21, 1.x F x x x x ξ <⎧⎪⎪= ≤<⎨⎪ ≥⎪⎩.10. 解 电子元件损坏为A ,由全概率公式得到{}{,200}{,200240}{,240}P A P A X P A X P A X =<+≤≤+>2002202402202002200.1()0.001(()())2525252402200.2(1())0.06425---=Φ+Φ-Φ+- -Φ=,{200240,}{200240|}{}P X A P X A P A <<<<=0.009= .11. 解 1,,,()()(,)0,.a x b c y d b a d c f x y ⎧<<<<⎪--=⎨⎪ ⎩其他当,a x b <<11()()()d X c f x dy b a d c b a==---⎰,其他，()0X f x =,1,,()0X a x b f x b a⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩，其他. 当,c y d <<11()()()b Y a f y dx b a d c d c==---⎰,其他，()0Y f y =,1,,()0Y c y d f y d c⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩，其他.. 由于 (,)()()X Y f x y f x f y = ,所以,X Y 相互独立.12. 解 由分布密度函数的规性得到222(1x y R c R dxdy +≤=⎰⎰，320()2()13RRc R c Rd d c R d ππρρρθπρρρ-=-==⎰⎰⎰,解得 33c R π=.同理得到222233336(()23x y r Rr r R dxdy R R π+≤=-⎰⎰．13. 解 由分布密度函数的规性得到222arctan |arctan |1(1)(1)c dxdy c x y c x y π+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞===++⎰⎰， 解得 21c π=.111100222200111arctan |arctan |(1)(1)16dxdy x y x y ππ==++⎰⎰， 由于2211(),()(1)(1)X Y f x f y x y ππ==++，(,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立.14． 解 由分布密度函数的规性得到2222200sin()sin()(cos sin )21A x y dxdy dx A x y dy A x x dx A πππππ+=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰,解得 12A =, 分布密度函数为1sin(),0,0(,)2220x y x y f x y ππ⎧+ <<<<⎪=⎨⎪ ⎩，其他..15. 解 由于(,)X Y 服从2222()()r x a y b R ≤-+-≤上的均与分布，面积为22()R r π-，所以密度寒素为2222221 ,()(),()(,)0r x a y b R R r f x y π⎧≤-+-≤⎪-=⎨⎪ ⎩，其他..16. 解 221 ,1,(,)0x y f x y π⎧ +≤⎪=⎨⎪ ⎩，其他. ,边缘密度函数为 ,01,()0X x f x <<=⎪ ⎩，其他.,,01,()0Y y f y <<=⎪ ⎩，其他., 当01y <<时，| ,(,)(|)()0X Y Y x f x y f x y f y <== ⎩，其他..17. 解 1400(7.14)(6.86){}{,}!()!m n mnnm m e P X n P X n Y m m n m --=======-∑∑140!(7.14)(6.86)!!()!nm n m m e n n m n m --==-∑ 14(7.14)(6.86)!nmm n m nm e Cn --==∑1414!n e n -=，0,1,2,n =L ， 14(7.14)(6.86){}{,}!()!m n mn m n m e P Y m P X n Y m m n m --+∞+∞=======-∑∑14 6.866.860(7.14)(6.86)!()!m n m n m e e e m n m --+∞--==-∑ 7.14(7.14),0,1,2,!me m m -==L ， {,}{|}{}P X n Y m P X n Y m P Y m ======147.14(7.14)(6.86)!()!(7.14)!m n mme m n m e m ----= 6.86(6.86),0,1,2,,,0,1,2,,()!n m e n m n n m --===-L L ,{,}{|}{}P X n Y m P Y m X n P X n ======1414(7.14)(6.86)!()!(14)!m n mne m n m e n ----=!7.14 6.86()(),0,1,2,,,0,1,2,,!()!1414m n mn n m n m n m -===-L L .18. 解22112222211221()()()()(,)[2]}2(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ----=--+-2222()()}2yf yμσ-=-,2112 |2211222222222(,)1()()() (|)[2()2(1)()()]}2X YYf x y x x yf x yf yy yμμμρρσσσμμσσ---==--+---+222112222211221()()()()[2]}2(1)2x x y yμμμρμρρσσσσ----=--+-22221212112221221()()[()2()]}2(1)2y yx xσμρσμμρμρσσσ--=----+-212122121()[]}2(1)yxσμμρρσσ-=----,所以2212112()|(,(1))yX Y y Nσμμρσρσ-=+-:.19 . 解由卷积公式得到22()22()()()x x zZ X Yf z f x f z x dx dx-+∞+∞---∞-∞=-=⎰⎰22()242zxzdx-+∞---∞=⎰24z-=,即(0,2)X Y N+:.21. 解当0z>时22222221(){}2x yx y zF z P z e dxdyζξηπ+-+<=+≤=⎰⎰2220012rd e rdrπθπ-=⎰21ze-=-,21,0,()0,0.ze zF zzζ-⎧⎪- >=⎨⎪ ≤⎩21,0,()20,0.ze zf zzζ-⎧>⎪=⎨⎪ ≤⎩.25. 解22222222222()222221{}2x ya bx yka bX YP k e dxdya bπ-++<+≤=⎰⎰2220012rkd e rdrπθπ-=⎰⎰221ke-=-.。
