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奥数质数合数分解质因素讲义及答案数的整除（2）质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。
（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。
（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。
）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。
（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（5）因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。
例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。
解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。
任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。
例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。
分解质因数顺口溜分解质因数是小学数学中的重要知识点之一，通过对数字的质因数分解可以计算它的最大公约数、最小公倍数等问题。
为了帮助同学们更好地掌握分解质因数，以下是一篇关于分解质因数顺口溜的文章。
一、什么是质数和合数？在分解质因数之前，我们需要先知道什么是质数和合数。
1. 质数：只能被1和它本身整除的数，例如2、3、5、7、11、13等。
2. 合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数，例如4、6、8、9、10、12等。
二、分解质因数的基本步骤分解质因数的基本步骤是：先将数字分解成质数的乘积，再将这些质数按从小到大的顺序排列。
以12为例，它可以分解为2*2*3。
这里我们先找到它的质因数2，由于12可以被2整除，因此我们将12除以2得到6。
接着，我们再将6继续除以2，得到3。
此时，3是一个质数，同时也是12的因数。
因此，12可以表示为2*2*3。
三、分解质因数的顺口溜接下来，我们来说说分解质因数的顺口溜：质数是生成数，合数可分解。
先看能否被2，再看能否被3，再看5或7，或11或13，到最后若不能分，则那就是个质啦！意思是说，分解质因数时，先判断所分解的数字是否是质数或合数。
如果是质数，则它就是一个质因数。
如果是合数，则尝试把它分解成两个因数，再对这两个因数分别进行质因数分解。
首先，我们尝试用2除以这个数，看是否能够整除。
如果可以，就把这个数除以2，保留商作为新的数，并继续尝试用2除以这个数。
如果这个数不能被2整除，就尝试用3除以这个数，以此类推。
当最后得到的数已经是一个质数时，就把这个质数加入到分解结果中即可。
四、总结分解质因数是小学数学的重要知识点之一，通过掌握这一技巧，我们可以更好地解决一些数论问题。
希望本篇文章中提供的顺口溜可以帮助同学们更好地记忆分解质因数的方法，从而更好地掌握这一知识点。
....1. 能夠利用短除法分解2. 整數唯一分解定理：讓學生自己初步領悟“任何一個數字都可以表示為...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的結構，而且表達形式唯一”一、質因數與分解質因數 （1）.質因數：如果一個質數是某個數的約數，那麼就說這個質數是這個數的質因數.（2）.互質數：公約數只有1的兩個自然數，叫做互質數.（3）.分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的質因數.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的質因數，其中後一個式子叫做分解質因數的標準式，在求一個數約數的個數和約數的和的時候都要用到這個標準式.分解質因數往往是解數論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數字的特徵.（4）.分解質因數的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符號） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一個大於1的自然數n 都可以寫成質數的連乘積，即：知識點撥教學目標5-3-4.分解質因數（一）.... 312123k a a a a kn p p p p =⨯⨯⨯⨯其中為質數，12k a a a <<<為自然數，並且這種表示是唯一的.該式稱為n 的質因數分解式.例如：三個連續自然數的乘積是210，求這三個數.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知這三個數是5、6和7. 三、部分特殊數的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模組一、分解質因數【例 1】 分解質因數20034= 。
【考點】分解質因數 【難度】1星 【題型】填空【關鍵字】走美杯，決賽，5年級，決賽，第2題，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三個連續自然數的乘積是210，求這三個數是多少？【考點】分解質因數 【難度】1星 【題型】填空【解析】 210分解質因數：2102357=⨯⨯⨯，可知這三個數是5、6和7。
学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。
2. 最小的质数是2,最小的合数是4。
3. 常用的100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为1,3,7,94. 部分特殊数的分解：=⨯1000173137=⨯=⨯⨯1111141271=⨯100171113111337=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯⨯1998233337199535719=⨯⨯⨯+==⨯⨯10101371337 2008222251=⨯⨯⨯200720084015511735. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。
例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。
251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17＞商14,由此说明251是质数。
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分3例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
第十三讲质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。
把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。
具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。
分解质因数【适用场景】沪教版--六年级上册--新课【知识定位】分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。
分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
【知识梳理】1.质数、合数的定义：问：1的约数有：1；2的约数有：1，2；3的约数有：1，3；4的约数有：1，2，4；6的约数有：1，2，3，6；7的约数有：1，7；12的约数有：1，2，3，4，6，12；……从上面各数的约数的个数中我们可以看到：一个自然数的约数的个数有三种情况：①只有一个约数的，如1。
因此，1不是质数，也不是合数。
②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7……③有两个以上约数的，如4，6，12……所以，我们将属于第__②__种情况的，即：除了1和本身以外，不再有别的约数，这样的数叫做质数。
我们将属于第__③__种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。
2.质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。
我们观察下面这些式子：4=1×2×2；6=1×2×38=1×2×2×2；10=1×2×5；12=1×2×2×3；……从上面各数的约数的情况中我们可以看到：一个合数最终总是能被写成质数相乘的形式，这里，我们就将这些质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=2×3×3这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。
这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做6是18的质因数。
3.互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。
第一板块：质数与合数森森大课堂质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数(也叫做素数)。
合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
注意：①0和1不是质数，也不是合数。
②常用的100以内的质数：2 、3、5 、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。
③除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。
考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点。
⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9。
这也是很多题解题思路，需要大家注意。
判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数K 2，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数。
例如：149很接近144＝12×12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
有1个2n ＋1位整数，(n 是整数，n ≥1)，21222231111个个n n L L 是质数还是合数？已知P 是质数，P 2＋1也是质数，求P 5＋1997是多少？如果a ，b 均为质数，且3a ＋7b ＝41，则a ＋b _______。
数论综合（一）(★★)(★★)(★★)第二板块：约数个数及和定理⑴请把111555分解质因数(写成分解质因数的标准式)；⑵111555可以写成两个连续奇数的乘积，这两个奇数之和是多少？森森大课堂一、质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
奥数讲座第一讲一般复合应用题
第二讲和差、和倍问题
第三讲差倍、年龄问题
第四讲盈亏问题
第五讲鸡兔同笼问题
第六讲容斥原理
第七讲植树问题
第八讲方阵问题
第九讲平均数问题
第十讲行程问题（一）
第十一讲行程问题（二）
第十二讲数的整除
第十三讲分解质因数
第十四讲求因数个数
第十五讲最大公因数和最小公倍数
第十六讲余数问题
第十七讲周期问题
第十八讲尾数与平方数第十九讲奇偶分析
第二十讲数列
第二十一讲幻方和数阵第二十二讲一笔画
第二十三讲分数应用题第二十四讲比和比例第二十五讲还原问题第二十六讲牛吃草问题
第十三讲分解质因数
2009年03月09日星期一下午 07:41
1、有四个不同质因数的最小自然数是多少？
2×3×5×7=210
2、把232323的全部质因数的和表示为AB，那么A×B×AB的积是多少？
232323=3×7×13×23×37 3＋7＋13＋23＋37=83 8×3×83=1992
3、31÷（）=（）…… 7，要在算式的括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？
31－7=24 24=2×2×2×3 2×2×2=8 2×2×3=12 3种
4、六（1）班同学买了310本本子，如果分给每个同学相同数量的本子后还余下37本，问：六（1）班有多少个同学？
310－37=273 273=3×7×13 39人
5、有四个小朋友，年龄逐个增加1岁，四人年龄的乘积是360，问：其中年龄最大的一个是几岁？
360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6
6、某个院子里共有5个小朋友，每个小朋友的年龄都小于13岁，他们年龄的乘积是18480，这5个小朋友中年龄最小的最少是几岁？
18480=2×2×2×2×3×5×7×11=4×6×10×7×11=8×6×5×7×11=2×12×10×7×11
这5个小朋友中年龄最小的最少是2岁
7、有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄数的乘积是1620，问这三个学生年龄各是多少岁？
1620=2×2×3×3×3×3×5=9×12×15
8、在右面的算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字之和是多少？
1992=2×2×2×3×83=24×83 2＋4＋8＋3=17
9、将14、33、35、30、75、39、143、169八个数平均分成两组，使这两组的乘积相等。
14=2×7 33=3×11 35=5×7 30=2×3×5 75=3×5×5 39=3×13 143=11×13 169=13×13
（14，75，33，169）（30，35，39，143）或者（14，75，39，143）（30，35，33，169）
10、把26、33、34、35、63、85、91和143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公因数是1，那么至少要分成几组？
26=2×13 33=3×11 34=2×17 35=5×7 63=3×3×7 85=5×17 91=7×13 143=11×13
（35，33，26 ）（63，143，85）（91，34）至少要分成3组
11、一个数是五个2，三个3，两个5，一个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数。
这些两位数的因数中，最大的是几？
96
12、班主任老师带领一班同学去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，则共种了572棵。
那么，这个班有学生多少人？平均每人种树多少棵？
572=2×2×11×13=4×143=（老师+3学生）×143棵不可能
572=（老师+12学生）×44棵
572=（老师+21学生）×26棵
572=（老师+285学生）×2棵
572=（老师+51学生）×11棵比较合理
13、已知3个连续偶数的连乘积是19□□□□8，求这三个偶数。
122×124×126=1906128
14、刘华是个老运动员，她曾荣获过一次全国女子跳高冠军，当年运动员号码她一直铭记在心。
说来也巧，这个号码的百位数字比十位数字大1，十位数字比个位数字大1，号码数又正是当年年号各位数字的连乘积。
你知道她的号码是多少？
432 1968年
15、“24”能写成三个连续自然数的乘积：24=2×3×4。
但是18却不行。
请找一个自然数，使得用它乘以18后，所得的积能写成三个连续自然数的乘积。
18=2×3×3 7×8×9=7×2×2×2×3×3 18×28=7×8×9
16、能否找到自然数a和b，使a2 =2002＋b2？
a2－b2=（a ＋b ）×（a －b ）=2002=2×7×11×13 a和b要同时是奇数或者同时是偶数，所以找不到自然数a和b
17、设长方形的长和宽均为自然数，且面积的数量等于其周长的数量的2倍。
满足这些条件的长方形有多少个？
a×b=4(a＋b) b－4=b×4÷a (b=5 a=20) (b=6 a=12) (b=8 a=8)
18、1×2×3×4×5×……×99×100的积的末尾有多少个连续的零？
100÷5=20 20÷5=4 20＋4=24
19、在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个零？
1000÷5=200 200÷5=40 40÷5=8 8÷5=1……3 200＋40＋8＋1=249
20、不计算，求48×925×38×435的积的末尾有几位是连续的零？
925=5×5×37 435=5×87 积的末尾有3位是连续的零
21、要使乘积195×86×72×380×□的末五位都是零，□中应填入的自然数最小值应是多少？
195=5×49 380=2×2×5×19 86=2×43 72=2×2×2×9 □=5×5×5=125
22、把若干个自然数1、2、3、……，乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
估算50÷5=10 10÷5=2 10＋2=12 最后出现的自然数最小应该是55
23、已知A、B、C、D是四个互不相同的自然数，且A·B·C·D＝1988，求A＋B＋C＋D的最大值。
1988=2×2×7×71=1×2×7×142 1＋2＋7＋142=152
24、已知在乘积1×2×3……×N的尾部恰好有100个连续的“0”。
其中N是最后一个乘数。
N最小是多少？
估算400÷5=80 80÷5=16 16÷5=3……1 最后出现的自然数最小应该是405。
