这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析
（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明
（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数
)(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上
的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。
（2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分⎰dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即
⎰
+=C x F dx x f )()(。
（3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系，)(x F 只是)(x f 的某个原函数，而
⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的
不定积分，例如3,2
1,122
2
-+
+x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2
才是x 2的
不定积分（其中C 是任意常数）。
（4）)(x f 的不定积分⎰dx x f )(中隐含着积分常数C ，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数C 。
（5）原函数存在的条件：如果函数)(x f 是某区间上连续，则在此区间上)(x f 的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分
dx e
x
dx dx x
x x
⎰
⎰
⎰-2
,ln ,sin
都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。
（二）换元积分法的几点说明
换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。
（1）第一换元积分法（凑微分法）：令)(x u u = 若已知⎰+=C x F dx x f )()(，则有
[][]C x F dx
x x f +='⎰)()()(ϕϕϕ
其中)(x ϕ是可微函数，C 是任意常数。
应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式）。 （1）a b ax d a
b x d dx )((1)(+=+=、)0≠，a
b 为常数
具体应用为
⎰⎰++=
+)()(1)(b ax d b ax a
dx b ax m
m
=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++⋅+C b ax a
C m b ax a m ln 11
)(11
)1()1(-=-≠m m
（2） )(1
11
b x
d a d x x a a
++=
+
)()1(11
b ax
d a
a a ++=
+
a (、
b 、a 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。例如：
x d dx x
x x d dx x dx xdx 21),
(3
2,
2
12
==
=
（3）)ln (1ln 1b x a d a
x d dx x
+=
=b a ,(为常数，)0≠a
（4）,0(ln )(,>=
=a a
a d dx a de dx e x
x
x x
且)1≠a ；
（5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-= （6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7）
)(arctan 112
x d dx x
=+
（8）
)(arcsin 112
x d dx x
=-
在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求
⎰
+dx x
x f 2
11)
(arctan
时，应将
dx x
dx 2
1+凑成x d arctan ；求
dx x
x arc f ⎰
+2
11)
cot (
时，应将
dx x
2
11+凑成x darc cot -；而求dx x
x
⎰
+2
12时，211
x +就不能照搬上述两种凑法，应将xdx 2凑成2dx ，即)1(222x d dx xdx +==。
（2）第二换元法积分法：令)(t x ϕ=，常用于被积函数含2
2
x a ±或2
2
a x -等形式。 常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示：
（3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。
（三）关于积分形式不变性
在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理：
