第二讲微积分基本公式

微积分公式与运算法则 Jenny was compiled in January 2021微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）=αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。

) (x f 在子区间 ] , [ x a 上可积， 设 ) (x f 在 ] , [b a 上可积，对于 ] , [ b a x Î " ， 考察 ò xadx x f ) ( . 记为 ò xadt t f ) ( . 若 x 在 ] , [b a 内变动，则取定一个x 值， òxadtt f ) ( 便有一个对应值，即在 ] , [ b a 上定义了一个函数.并记为 ò = xadt t f x ) ( ) ( F ， ) (b x a £ £ . —（*）称（*）为积分上限函数（变上限积分）§6.2 微积分基本定理 6.2.1 原函数存在定理定理 设函数 ) (xf 在 ] , [ b a 上可积, 则变上限积分 ò = xat t f x Φ d ) ( ) ( 在 ] , [ b a 上连续. 证 )( ) ( x Φ x x Φ - + = D j D , ) , ( b a x Î " ,) , ( , b a x x x Î + D D 使得 取 tt f t t f xa xx a d ) ( d ) ( ò ò- = +D t t f t t f t t f xax x xxad ) ( d ) ( d ) ( ò ò ò - + = +Dò+ = x x xt t f D d ) ( ) (x f 在 ] , [b a 上可积,所以 ) (x f 在 ] , [ b a 上有界. 设 M x f £ ) ( . ò+ £ x x xt t f D d ) ( x M D× £ 当 0 ® x D 时,0 ® j D .故 ) (x j 在 ] , [ b a 上连续. ab x yo x x D+ )(x F x )(x f y =设函数 ) (x f 在 ] , [b a 上连续,则变上限积分 ò = xa t t f x Φ d ) ( ) ( ] , [b ax Î 在 ] , [ b a 上可导,且, ) ( d ) ( d d ) ( x f t t f x x Φ xa= = ¢ ò 证 xx Φ x x Φ x x Φ x x D D D j D D D ) ( ) ( lim lim ) ( 0 0 - + = = ¢ ® ® , ) , ( b a x Î " ,) , ( , b a x x x Î + D D 使得 取 ,d ) ( lim 0 xtt f xx x x D = ò D + ® D a b x yo x x D+ )(x F x )(x f y = , ) ( lim 0 xxf x D D x D ® = 之间 与在 x x x D x + ， ) ( lim 0x f x ® D = ，时 0 ® D x , x ® x 而 ) (x f 在 ] , [b a 上连续, . ) ( ) ( x f x Φ = ¢ 所以 积分中值定理定理1.可导连续 可积 Þ Þ 可积函数作变限积分后连续; 连续函数作变限积分后可导.连续函数求导后不一定连续, . , x y = 例如积分使函数的性质变好,求导使函数的性质变坏.原函数存在定理 若 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续，则ò = xadt t f x ) ( ) ( F 是 ) (x f 在 ] , [ b a 上的一个原函数．， ) ( d ) ( d d x f t t f x xa= ò ò b x t t f x d ) ( d d ò )( d ) ( d d x a t t f xa . ) ( )] ( [ x x f a a ¢ × = 变限积分函数的求导ò - = xbt t f x d ) ( d d ， ) (x f - = 设 ) (x a 在 ] , [ b a 上可导,则， 设 ò = xa t t f x Φ d ) ( ) ( 证 ，则 )] ( [ d ) ( )( x Φ t t f x aa a = ò ò )( d ) ( d d x at t f x a 所以 ) ( )] ( [ x x Φ a a ¢ × ¢ = . ) ( )] ( [ x x f a a ¢ × = (1) (2) (3)设 ) (x a ， ) (x b 在 ] , [ b a 上可导,则ò )( ) ( d ) ( d d x x t t f x b a . ) ( )] ( [ ) ( )] ( [ x x f x x f a a b b ¢ × - ¢ × = 由 ò)( )( d ) ( x x t t f b a òò- = )( )( d ) ( d ) ( x ax att f t t f a b 即可得结论.(4)证ò 2d ) ( d d x at t f x . 2 ) ( 2x x f × = 例1. 求下列变限积分函数的导数., d sin ) ( 1ò = xt t x f ; sin ) ( x x f = ¢ , d 1 ) ( 22ò + = xt t xf ; 1 ) ( 2x x f + - = ¢ò 3 2 d ) ( d d x xt t f x . 2 ) ( 3 ) ( 22 3 x x f x x f × - × = , d e) ( sin 12ò- = x t t x f ;cos e ) ( 2 sin x x f x× = ¢- (1) (2) (3) (4) (5)设 ) (x f 为连续函数, , d ) ( ) ( ln 1 ò = xxt t f xF 则) (x F ¢ . ) 1( 1 ) (ln 1 2 x f xx f x + = 例2. ) (ln x f = ) 1( x × )1( xf - ) 1 ( 2 x - ×例3. 求下列极限.221 d ) (arctan lim) 1 ( xt t xx + ò+¥® ¥ ¥分析：这是 型未定式，应用洛必达法则.221 ) (arctan limxx x x + = +¥ ® 原式 . 42p= 解xx tt x x sin d cos lim) 2 ( 22ò ® 222 d cos limxt t x x ò ® = 原式 .1 = 解 等价无穷小替换xx x x 2 cos 2 lim 40 ® = 4cos lim x x ® = ÷ øöç è æ 0 021cos 0d e lim) 3 ( 2xt xt x ò - ® xx xx 2 )sin ( e lim 2cos 0- × - = - ® 原式解 .e2 1 = 2e lim2 cos 0xx - ® = ÷ øöç è æ 0 0设 ò - = x at t f a x xx F d ) ( ) ( 2，其中 ) (x f 是连续函数, 则 =® ) ( lim x F ax .证 ) ( lim x F ax ® 例4. ax tt f x xaa x - = ò ® d ) ( lim 2ax tt f a xaax - × = ò ® d ) ( lim2)( lim 2x f a a x ® × = .) ( 2a f a =证1 2)( d ) ( ) ( ) ( ) ( a x tt f x f a x x F xa- - - = ¢ò 只要证明 0 d ) ( ) ( ) ( £ -- ò xa t t f x f a x 即可.,d ) ( ) ( ) ( ) ( ò- - = xat t f x f a x x g 令 )( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x f a x x f x g - ¢ - + = ¢ 则 ,0 £ 设 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续,在 ) , ( b a 内可导,且 0 ) ( £ ¢ x f , 记 ò - = x at t f a x x F d ) ( 1) ( .证明:在 ) , ( b a 内 0 ) ( £ ¢ x F . 例5. ) ( ) ( x f a x ¢ - = 所以 ) (x g 单调减少, 而 ,0 ) ( = a g 故当 ) , ( b a x Î 时, . 0 ) ( ) ( = £ a g x g 证毕由积分中值定理，， ) )( ( d ) ( a x f t t f xa- = ò x ) , (x a Î x 2)( ) )( ( ) ( ) ( ) ( a x a x f x f a x x F - - - - = ¢ x 而 0 ) ( £ ¢x f , ) (x f 单调减少, 故 ) ( ) ( x f x f £ , 所以 0 ) ( £ ¢ x F ， ) , ( b a x Î .证2 ,)( d ) ( ) ( ) ( ) ( 2a x tt f x f a x x F xa- - - = ¢ò ,) ( ) ( ax f x f - - = x设 t t f t x x Φxad ) ( ) ( ) ( 2ò - = ， 其中 ) (x f 连续， 求 ) (x Φ¢ 。

微积分常用公式及运算法则1.基本导函数：(1)常数函数导数公式：若f(x)=C，其中C是常数，则f'(x)=0。

(2) 幂函数导数公式：若f(x) = x^n，其中n是常数，则f'(x) = nx^(n-1)。

(3) 指数函数导数公式：若f(x) = a^x，其中a是正常数且a≠1，则f'(x) = a^x * ln(a)。

(4) 对数函数导数公式：若f(x) = log_a(x)，其中a是正常数且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

(5)三角函数导数公式：- sin函数导数：(sinx)' = cosx。

- cos函数导数：(cosx)' = -sinx。

- tan函数导数：(tanx)' = sec^2(x)。

- cot函数导数：(cotx)' = -csc^2(x)。

- sec函数导数：(secx)' = secx * tanx。

- csc函数导数：(cscx)' = -cscx * cotx。

(6)反三角函数导数公式：- arcsin函数导数：(arcsinx)' = 1 / sqrt(1 - x^2)。

- arccos函数导数：(arccosx)' = -1 / sqrt(1 - x^2)。

- arctan函数导数：(arctanx)' = 1 / (1 + x^2)。

- arccot函数导数：(arccotx)' = -1 / (1 + x^2)。

- arcsec函数导数：(arcsecx)' = 1 / (x * sqrt(x^2 - 1))，其中，x， > 1- arccsc函数导数：(arccscx)' = -1 / (x * sqrt(x^2 - 1))，其中，x， > 1(1)常数乘法法则：若f(x)=C*g(x)，其中C是常数，则f'(x)=C*g'(x)。

微积分公式大全一、基本公式：1.微分基本公式（导数）：（1）常量函数导数：(k)'=0；（2）幂函数导数：(x^n)'=n·x^(n-1)；（3）指数函数导数：(a^x)'= ln(a)·a^x；（4）对数函数导数：(log_a x)'= 1/(x·ln(a))；（5）三角函数导数：(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec^2 x；（6）反三角函数导数：(arcsin x)'=1/√(1-x^2), (arccos x)'=-1/√(1-x^2), (arctan x)'=1/(1+x^2)；（7）复合函数导数：f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)；2.积分基本公式：（1）不定积分：∫(k)dx=kx+C, ∫(x^n)dx= (x^(n+1))/(n+1)+C；（2）定积分：∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 在[a, b] 上的一个原函数；（3）换元积分：∫f(g(x))·g'(x)dx=∫f(u)du, 其中 u = g(x)；（4）分部积分：∫u·dv = u·v - ∫v·du；二、微分学公式：1.高阶导数：如果函数f(x)的n阶导数存在，则记作f^(n)(x)，有以下公式：（1）常函数的n阶导数为0；（2）幂函数的n阶导数为n!(n-1)!·x^(n-m)；（3）指数函数的 n 阶导数为a^x·ln^n(a)；（4）对数函数的n阶导数为(-1)^(n-1)·(n-1)!/x^n；（5）三角函数的n阶导数：sin(x)：n 为奇数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为cos(x+ nπ/2)；cos(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 -cos(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；tan(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 (-1)^(n-1)·2^(n-1)·B_n·(2n)!·x^(2n-1)，其中 B_n 为 Bernoulli 数；n为偶数时，n阶导数为0；2.泰勒展开：函数f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)·(x-a)+f''(a)·(x-a)^2/2!+......+f^(n)(a)·(x-a)^n/n!+......；当x接近a时，可以使用前n阶导数来估算函数的值；三、积分学公式：1.牛顿-莱布尼茨公式：设函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则有∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)；2.反常积分：（1）瑕积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域内发散；（2）收敛式积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域外收敛为 ln，x；（3）点收敛、条件收敛和绝对收敛；3.广义积分：（1）广义积分存在：∫(a~+∞)f(x)d x= A 表示对于任意定义域上的f(x)，在 a 之后的任意区间上都是收敛的；（2）比较判别法：若存在p>0和M>0，使得，f(x)，<=M·g(x)，那么当f(x)的积分是收敛的，那么g(x)的积分也是收敛的；（3）绝对收敛：如果，f(x)，在定义域上是收敛的，那么f(x)的积分是绝对收敛的；（4）积分判别法：如果积分是收敛的，但是f(x)的绝对值不是；或者f(x)的绝对值是收敛的，但是积分是发散的，那么f(x)的积分是条件收敛的；以上仅是微积分常用公式的集合，只能作为参考，实际应用仍需根据具体问题进行判断和运用。

微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，应用广泛，内容繁多。

在这里，我将为您介绍一些微积分中的基本公式和定理。

请注意，这里只是列举一些常用的公式，若要深入学习微积分，请参考相关教材和课程。

1.导数的基本公式：- 常数导数法则：对于常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。

- 幂函数导数法则：对于幂函数f(x) = x^n ，其中n是常数，则其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。

-和差导数法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

-积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

-商法则：若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.基本积分公式：- 反微分法则：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

- 平方差公式：∫(a^2 - x^2)^(1/2) dx = (1/2)(x√(a^2 - x^2) + a^2sin^(-1)(x/a)) + C。

- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C，其中e是自然对数的底数。

- 三角函数积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

3.特殊函数和公式：-泰勒级数展开：函数f(x)在点a处的泰勒展开式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...。

- 自然对数函数和指数函数的微分法则：d/dx(ln(x)) = 1/x，d/dx(e^x) = e^x。