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八年级数学阅读理解题集题目1：小明和小红共有20块糖果，小明的糖果数是小红的两倍。
问小明有多少块糖果？解析：设小红有x块糖果，则小明有2x块糖果。
根据题意得到方程2x + x = 20，解方程可得x = 5，所以小明有10块糖果。
题目2：某商店折扣价售卖一款原价为200元的电脑，打折后降价为原价的80%。
小明购买了这款电脑，他需要支付多少钱？解析：原价为200元，打折后为200 * 80% = 160元。
所以小明需要支付160元。
题目3：一个边长为3cm的正方形，内部有一条延长线，将该正方形分成一大角和三小角。
大角的度数是小角度数的两倍，求小角的度数。
解析：设小角的度数为x度，则大角的度数为2x度。
根据正方形内角和为360度，得到方程2x + 3x = 360，解方程可得x = 60，所以小角的度数为60度。
题目4：甲、乙两个人同时从两个不同的地点出发，相向而行，两人相距100km。
甲的速度是乙的两倍，乙每小时行驶的距离是多少？解析：设乙每小时行驶的距离为x km，则甲每小时行驶的距离为2x km。
根据题意得到方程x + 2x = 100，解方程可得x = 25，所以乙每小时行驶25km。
题目5：一个数乘以4再减去5等于17，这个数是多少？解析：设这个数为x，则根据题意得到方程4x - 5 = 17，解方程可得x = 6，所以这个数是6。
题目6：某书店有300本书，其中3/5是数学书，其余是故事书。
故事书的数量是数学书的几分之一？解析：数学书的数量为3/5 * 300 = 180本。
故事书的数量为300 - 180 = 120本。
所以故事书的数量是数学书的1/180。
通过以上题目的解析，我们可以发现在数学中，应用数学知识解决问题是非常重要的。
希望大家能够掌握数学的基础知识，提高自己的数学能力。
阅读理解题型训练1.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD=90︒．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ．2．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ．3．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB = AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D ， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1）ADCOBBOCDA111210987654321图2图1A'A ABCBC（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？ 请说明你的猜想并给予证明.4.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
初二数学阅读试题及答案一、选择题1. 已知一个数的平方是49，那么这个数可能是（）。
A. 7B. -7C. 7或-7D. 以上都不对答案：C解析：一个数的平方是49，那么这个数可以是7或者-7，因为7的平方是49，-7的平方也是49。
2. 一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么这个三角形的周长是（）。
A. 16B. 21C. 26D. 以上都不对答案：B解析：等腰三角形的两腰相等，所以周长为底边长加上两倍的腰长，即6+5+5=16。
3. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是（）。
A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C解析：一个数的绝对值是5，那么这个数可以是5或者-5，因为5的绝对值是5，-5的绝对值也是5。
二、填空题4. 已知一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长为______。
答案：5解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边长的平方和的平方根，即√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。
5. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。
答案：-2解析：一个数的立方是-8，那么这个数是-2，因为(-2)³=-8。
三、解答题6. 已知一个二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,2)和(2,3)，且对称轴为x=1，求这个二次函数的解析式。
答案：y=x²-2x+1解析：首先，由于对称轴为x=1，我们可以设二次函数的顶点式为y=a(x-1)²+k。
将点(1,2)代入得2=a(1-1)²+k，即k=2。
再将点(2,3)代入得3=a(2-1)²+2，即a=1。
所以二次函数的解析式为y=(x-1)²+2=x²-2x+1。
7. 一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，求这个三角形的面积。
答案：24解析：首先，我们可以从底边的两个端点向腰作垂线，将等腰三角形分为两个直角三角形。
【英语】八年级数学上册阅读理解专项练
习
一、阅读下面的数学题并回答问题。
1.若ab=0，则a= __ 或b= __ 。
答：a=0或b=0。
2.当x>0 时，(-2x+6)÷(x-3) 的值的范围是 __ 。
答：(-∞，-2)∪(3，+∞)。
3.已知k是1到9之间的整数，下列k的取值中，使下列不等式成立的是（ __ ）.
2×3^k < 81
答：k=3或k<3。
4.把大于0，小于10的数字排成一个五位数，使千位百位还有个位上的数字之和等于十位和数字，其五位数是（ __ ）.
答：。
5.已知正整数n，且100≤n<1000，将n的个、十、百位上数字分别用a、b、c表示。
若n=a^b+c，请问n最小是多少？
答：当a=2、b=2、c=4时，n最小，即264=2^2+4。
二、阅读下面的文学作品，回答问题。
甲乙丙丁四名运动员参加了100米比赛，裁判员按照比赛成绩，前四名分别是甲、乙、丙、丁。
下面是他们的论述：
甲：我得了第一。
乙：我不是倒数第一。
丙：我得了第三，不是第一和第二。
丁：我不是第一，我是倒数第二。
请问甲、乙、丙、丁四个人中，哪个人拿到了比赛的冠军。
答：甲。
因为乙是倒数第二，那么丁比他倒数第一，而丙不是第一和第二，所以，他只能是第三，那么剩下的甲就是第一。
数学阅读测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是素数？A. 4B. 9C. 11D. 14答案：C2. 如果一个圆的半径是5厘米，它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B二、填空题1. 一个数的平方根是4，这个数是___________。
答案：162. 一个直角三角形的两个直角边分别是3和4，斜边的长度是___________。
答案：5三、简答题1. 什么是勾股定理？答案：勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
2. 什么是圆周率π？答案：圆周率π是一个数学常数，它表示圆的周长与直径的比例，其值约为3.14159。
四、计算题1. 计算下列表达式的值：(3+5) × (2-1)。
答案：402. 一个班级有40名学生，如果每个学生需要2本书，那么总共需要多少本书？答案：80本五、证明题1. 证明：对于任意的正整数n，n² - 1总是可以被2整除。
答案：对于任意的正整数n，我们可以将n表示为2k或2k+1，其中k是整数。
当n=2k时，n² - 1 = (2k)² - 1 = 4k² - 1 = (2k-1)(2k+1)，显然可以被2整除。
当n=2k+1时，n² - 1 = (2k+1)² - 1 = 4k² + 4k = 2(2k² + 2k)，同样可以被2整除。
因此，对于任意的正整数n，n² - 1总是可以被2整除。
六、应用题1. 一个长方形的长是20厘米，宽是15厘米。
如果将这个长方形的长和宽都增加5厘米，新的长方形面积是多少？答案：新的长方形的长为25厘米，宽为20厘米。
面积为25×20=500平方厘米。
2. 一个工厂每天生产100个零件，如果生产效率提高10%，那么每天将生产多少个零件？答案：生产效率提高10%意味着每天生产的零件数为原来的110%，即100×1.1=110个零件。
八年级数学上期末复习新题型（阅读理解、新定义找规律）精选一、阅读理解题 1．阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线．．．．．划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”完成下列问题：（1）图4的划分方法是否正确？答：_______________．（2）判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由； 答：____________________________________________________________________． （3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．图4图5图6图1图2图32.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围。
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q，使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________。
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。
（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明。
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC ＝90°。
阅读理解题型训练1.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD=90︒．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ．2．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ．3．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB = AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D ， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1）ADCOBBOCDA111210987654321图2图1A'PPA ABCBC（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？ 请说明你的猜想并给予证明.4.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
八年级数学阅读理解练习题1. 一家餐馆每天都会提供两种套餐供顾客选择。
今天，餐馆提供了A套餐和B套餐。
其中，A套餐的价格为12元，B套餐的价格为15元。
某顾客购买了5份A套餐和3份B套餐，总共花费了多少元？2. 玛丽每天骑自行车上学。
她发现自己上学所需的时间与她骑车的速度成反比。
如果她以10公里/小时的速度骑车，她需要20分钟到达学校。
那么，以15公里/小时的速度骑车，她到学校需要多长时间？3. 一块蛋糕被等分成了8份。
小明吃了其中的3份，小红吃了其中的1份。
还剩下多少份蛋糕？4. 某公司一批产品中有72个次品。
如果这批产品总数的20%是次品，那么这批产品的总数是多少？5. 一个矩形花坛的长是12米，宽是8米。
花坛的周长上围绕着一条边长相等的石子路，石子路的宽度为1米。
那么，石子路的面积是多少平方米？6. 黄先生在一个月内每天都步行同样的距离上班。
他发现自己每天步行花费的时间与他的步行速度成正比。
如果他以5公里/小时的速度步行，他需要30分钟到达办公室。
那么，以6公里/小时的速度步行，他需要多长时间？7. 一家超市每袋糖果的重量不完全相同。
今天，小明购买了2袋糖果。
第一袋重量为0.3千克，第二袋重量为0.5千克。
那么，两袋糖果的总重量是多少千克？8. 某图书馆的图书总量为15000本。
其中，小说类图书占总量的20%，其余为非小说类图书。
那么，非小说类图书的数量是多少本？9. 某班级有40名同学，其中男生占总人数的35%。
那么，女生的人数是多少？10. 甲、乙两个人开始进行一场马拉松比赛。
甲每小时的速度为10公里，乙每小时的速度为12公里。
如果他们同时起跑，那么他们何时能够相遇？注意：以上每题都可以使用计算器进行计算。
初二数学应用英语阅读理解20题1<背景文章>Tom is a student in Grade Eight. One day, he went to the supermarket with his mother. They wanted to buy some fruits. When they came to the fruit section, Tom saw that apples were sold at 5 yuan per kilogram and oranges were sold at 8 yuan per kilogram. Tom's mother wanted to buy 3 kilograms of apples and 2 kilograms of oranges. Tom quickly calculated the total cost in his mind. He thought that 3 kilograms of apples cost 3 times 5 yuan, which is 15 yuan. And 2 kilograms of oranges cost 2 times 8 yuan, which is 16 yuan. So the total cost is 15 yuan plus 16 yuan, which is 31 yuan.After buying the fruits, they went to the cashier to pay. The cashier told them that there was a promotion. If they spent more than 30 yuan, they could get a discount of 5 yuan. Tom was very happy because they could save some money. He quickly calculated the new total cost. After deducting the discount, the new total cost is 31 yuan minus 5 yuan, which is 26 yuan.Tom and his mother left the supermarket happily. Tom realized that mathematics is very useful in daily life. It can help us solve many problems.1. Apples are sold at ___ yuan per kilogram.A.3B.4C.5D.6答案：C。
1．阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)解：原式＝12(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)＝12(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)＝12(34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)…＝364－12例2：因式分解：x 4＋x 2＋1解：原式＝x 4＋x 2＋1＝x 4＋2x 2＋1－x 2＝(x 2＋1)2－x 2＝(x 2＋1＋x )(x 2＋1－x )根据材料解决下列问题：(1)计算：(1＋12)(1＋122)(1＋124)(1＋128)…(1＋12512)；(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14＋4)(54＋4)(94＋4)…(494＋4)(34＋4)(74＋4)(114＋4)…(514＋4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x 4＋4来表示，所以他决定先对x 4＋4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题．请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x 4＋4；②计算：(14＋4)(54＋4)(94＋4)…(494＋4)(34＋4)(74＋4)(114＋4)…(514＋4)．解：(1)原式＝2×(1－12)×(1＋12)(1＋122)(1＋124)(1＋128)…(1＋12512)＝2×(1－121024)(2)①x 4＋4＝x 4＋4x 2＋4－4x 2＝(x 2＋2)2－(2x )2＝(x 2＋2x ＋2)(x 2－2x ＋2)＝[(x ＋1)2＋1]·[(x －1)2＋1]②当x ＝1时，14＋4＝1×5，当x ＝3时，34＋4＝5×17当x ＝5时，54＋4＝17×37，当x ＝7时，74＋4＝37×65当x ＝9时，94＋4＝65×101，当x ＝11时，114＋4＝101×145……原式＝1×5×17×37×65×101…×(502＋1)5×17×37×65×101×145…×(502＋1)(522＋1)＝1522＋1＝127052．已知a＋b＝1，ab＝－1．设S1＝a＋b，S2＝a2＋b2，S3＝a3＋b3，…，S n＝a n＋b n(1)计算S2；(2)请阅读下面计算S3的过程：a3＋b3＝a3＋b3＋(b2a－b2a)＋(a2b－a2b)＝(a3＋b2a)＋(b3＋a2b)－(b2a＋a2b)＝a(a2＋b2)＋b(b2＋a2)－ab(b＋a)＝(a2＋b2)(b＋a)－ab(b＋a)∵a＋b＝1，ab＝－1，∴S3＝a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2)－ab(a＋b)＝1×S2－(－1)×1＝S2＋1＝．你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果；再计算S4；(3)猜想并写出S n－2，S n－1，S n三者之间的数量关系(不要求证明，且n是不小于2的自然数)，根据得出的数量关系计算S8．解：(1)S2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝12﹣2×(－1)＝3(2)S3＝a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2)－ab(a＋b)＝1×S2－(－1)×1＝S2＋1＝4∵S4＝a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝(a2＋b2)2－2(ab)2又∵a2＋b2＝3，ab＝－1∴S4＝7(3)∵S1＝1，S2＝3，S3＝4，S4＝7，∴S1＋S2＝S3，S2＋S3＝S4猜想：S n＋S n－1＝S n－2∵S3＝4，S4＝7，∴S5＝S3＋S4＝4＋7＝11∴S6＝S4＋S5＝7＋11＝18，S7＝S5＋S6＝11＋18＝29∴S8＝S6＋S7＝18＋29＝473．若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝22＋12；再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”并说明理由；（2）已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．解：（1）1＝12＋02，4＝22＋02，9＝32＋02∵29＝52＋22，∴29是“完美数”（2）S＝(x2＋4x)＋(4y2－12y)＋k＝(x2＋2·x·2＋22)＋[(2y)2－2·2y·3＋32]＋k－13＝(x＋2)2＋(2y－3)2＋k－13∵S为“完美数”，∴k－13＝0（3）设m＝a2＋b2，n＝c2＋d2（a、b、c、d都是整数）则mn＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2c2＋2abcd＋b2d2)＋(a2d2－2abcd＋b2c2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2∵a、b、c、d都是整数，∴mn可表示为两个整数的平方和∴mn也是“完美数”4．阅读材料解决问题材料一：一个正整数x能写成x＝a2－b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2＋b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F(x)＝a2＋b2．例如：24＝72－52，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，32＝92－72，32＝62－22，因为92＋72＞62＋22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F(32)＝92＋72．材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是“雪松数”；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F(t)的最大值．解：（1）112＝112－32，40=72－32（2）若10是“雪松数”，可设a2－b2＝10（a，b均为正整数，且a≠b）则(a＋b)(a－b)＝10，又10＝2×5＝10×1∵a，b均为正整数∴a＋b＞a－b＋b＝5－b＝2＋b＝10－b＝1＝72＝32＝112＝92均与a，b均为正整数矛盾∴10不是“雪松数”（3）设t＝—ab ba（a，b均为正整数，且a≠b，0＜a，b≤9）另一个“南麓数”为t′＝—mnnm（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9）则t＝(10m＋n)2－(10n＋m)2＝99(m2－n2)＝99(m＋n)(m－n)∴99(m＋n)(m－n)＝1000a＋100b＋10b＋a＝1001a＋110b整理得(m＋n)(m－n)＝10a＋b＋a＋b9∵a，b，m，n均为正整数∴3≤a＋b≤17∴a＋b＝9＝2＝7＝5＝4符合题意t的值分别为2772，5445经探究2772＝6942－6922，∴F(2772)＝6942＋6922＝9605005445＝27232－27222，∴F(5445)＝27232＋27222＝14824013∴F(t)的最大值为：14824013。
八年级阅读理解题专项练习1.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD=90︒．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ．请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC , 分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形 ABDE 、AGFC 、BCHI , 连接EG 、FH 、ID ．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为1，则以EG 、FH 、ID 的长度为 三边长的三角形的面积等于 ．图3解：△BCE 的面积等于 2 ………1分 （1）如图（答案不唯一）…2分 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的 一个三角形是△EGM . …………3分 （2） 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角 形的面积等于 3 ． …………5分2.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内．．点．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．BOCDAIHG FABCDEEDCBAG（1）如图2，AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ． 求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．3．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ．4.△A B C 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，B P =B A ， 若0︒＜∠PBC ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．5．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB = AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D ， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；图（1）（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明. 图（2）111210987654321第12题图6.（石景山二）25．（1）如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你 猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的 数量关系，并证明你的结论．7.问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3图2 图１图2图1A'B8.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）图39.如图，在△ABC 中，90C ∠=,M 是AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B 。
已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连结MP ，MQ ，PQ 。
在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B.一直减小 C. 先减小后增大 D.先增大后减少 10. （2012山东省青岛市，23，10）（10分）问题提出：以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共（m+n ）个点为顶点，可把原n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以△ABC 的三个顶点和它内部的一个点P ，共4个点为顶点，可把△ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC 分割成3个互不重叠的小三角形.探究二：以△ABC 的三个顶点和它内部的2个点P 、Q ，共5个点为顶点，可把△ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC 的内部，再添加1个点Q ，那么点Q 的位置会有两种情况： 一种情况，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q 在△PAC 内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如图③；显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形.探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC 分割成个互不重叠的小三角形，并在图④画出一种分割示意图.探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把△ABC分割成个互不重叠的小三角形。
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形。
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点，可把△ABC分割成个互不重叠的小三角形。
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）23.【解析】观察图形发现：内部每多一个点，则多2个三角形，从而得到一般规律为n+2(m-1)或2m+n-2.根据根据规律逐一解答.【答案】探究三：7分割示意图.（答案不唯一）.探究四：3+2（m-1）或2m+1探究拓展：4+2（m-1）或2m+2问题解决：n+2(m-1)或2m+n-2实际应用：把n=8,m=2012代入上述代数式，得2m+n-2=2×2012+8-2=4024+8-2=4030. 【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解题关键是结合图形，探寻其规律，发现规律才能顺利解题，体现特殊到一般的数学思想．11.在由m ×n （m ×n ＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，（1）当m 、n 互质（m 、n 除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：猜想：当m 、n 互质时，在m ×n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m 、n 的关系式是______________________________（不需要证明）； 解：（2）当m 、n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立， 17：解析：（1）通过题中所给网格图形，先计算出2×5，3×4，对角线所穿过的小正方形个数f ，再对照表中数值归纳f 与m 、n 的关系式.（2）根据题意，画出当m 、n 不互质时，结论不成立的反例即可. 解：（1）如表：f=m+n-1（2）当m 、n 不互质时，上述结论不成立，如图2×42×4点评：本题是操作探究题，根据操作规则得出数据，并归纳总结其中规律，对于错误结论的证明，只要举出反例即可.12．操作与探究：（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.点A B ，在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B ''，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是 ；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是 ；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是 ；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（00m n >>，），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，。
