八年级数学阅读理解题专项练习

燕山26．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以把多项式2++x bx c 变形为2()++x m n 的形式．例如，243x x -+＝24443x x -+-+＝2(2)1x --．观察上式可以发现，当2-x 取任意一对互为相反数的值时，多项式243x x -+的值是相等的．例如，当2-x ＝±1，即x ＝3或1时，243x x -+的值均为0；当2-x ＝±2，即x ＝4或0时，243x x -+的值均为3．我们给出如下定义：对于关于x 的多项式，若当+x m 取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x ＝-m 对称，称x ＝-m 是它的对称轴．例如，243x x -+关于x ＝2对称，x ＝2是它的对称轴．请根据上述材料解决下列问题：(1) 将多项式265-+x x 变形为2()++x m n 的形式，并求出它的对称轴；(2) 若关于x 的多项式221+-x ax 关于x ＝－5对称，则a ＝ ； (3) 代数式22(21)(816)++-+x x x x 的对称轴是x ＝ ．西城23. （本题10分）（1）如果2(3)(2)++x x x mx n -+=，那么m 的值是 ，n 的值是 ； （2）如果21()()2+2x a x b x x ++=-， ①求(2)(2)a b --的值；②求22111a b++的值．25．（本题4分）观察下列等式： ①1111212--=-⨯；②1111 23434 --=-⨯；③1111 35656 --=-⨯；④1111 47878 --=-⨯；……根据上述规律回答下列问题：（1）第⑤个等式是；（2）第n个等式是（用含n的式子表示，n为正整数）．通州石景山26．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1特例2=，特例3，特例4特例5= （填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律为： ． （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律．= ；=（a ，b 均为正整数），则a b +的值为 ．平谷28. 我们已经学过()()()2---,x a x b x a b x ab =++如果关于x 的分式方程满足abx a b x+=+（a ,b 分别为非零整数），且方程的两个跟分别为12=,x a x b =. 我们称这样的方程为“十字方程”.例如：2=3x x +可化为1212=3x x⨯+=+ ∴12=1,2x x = 再如：6=-5x x+ 可化为()()-2-3-2-3=-5x x ⨯+= ∴12=-2,-3x x = 应用上面的结论解答下列问题：（1）“十字方程”8-6x x +=，则12= , x x =; （2）“十字方程”2--1x x =的两个解分别为12,x a x b ==，求11a b+的值；（3）关于x 的 “十字方程”2243n nx n x ++=+-的两个解分别为1212,()x x x x <， 求211xx +的值.密云26.阅读下面材料： 将形如cx dax b++的分式表示成一个整式与一个分式和（或差）的形式，可以先观察分母的特征，设法用含有分母的代数式表示分子再变形解决问题. 例如21111111x x x x x +++==++++ ，212(1)2132111x x x x x -+--==-+++. 解决问题：（1）已知3122x mx x +=+--，则m =______. （2）已知211mx nm x x +=+++，用含m 的代数式表示n . （3）已知m >0,x >1,直接写出21mx mx --与2m 的大小关系.门头沟26．阅读理解：材料:小华在学习分式运算时，通过具体运算：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545=-⨯，…， 发现规律：()11111n n n n =-⨯++（n 为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律，快速计算:111111111111911122334910223349101010++++=-+-+-++-=-=⨯⨯⨯⨯．根据材料，回答问题：在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算：特例111111122+=+-⨯，特例2111112323+=+-⨯，特例3111113434+=+-⨯，特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．……（2=________________________（n 为正整数），并证明了此规律成立．（3）应用规律：222222222211111111111111112233489910+++++++++++ ()()()22222222111111111111151223211n nn n n +++++++++----， 那么n = ．怀柔25．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：54=1+14. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”.例如：像52x x ++，21x x -，…，这样的分式是假分式；像34x -，21xx -，…，这样的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.例如：()23531222x x =x x x +++=++++； ()()211111111x x x x x x x +-+==++---. 解决下列问题:(1)写出一个假分式为： ； (2)将分式13x x +-化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）(3)如果分式22x xx --的值为整数，求x 的整数值.海淀27.在分式中，若 M ，N 为整式，分母 M 的次数为 a ，分子 N 的次数为b (当 N 为常数时，b = 0 )，则称分式 为(a - b ) 次分式. 例如， 为三次分式.（1）请写出一个只含有字母 x 的二次分式 ；（2） 已知 （其中 m ，n 为常数）.① 若 m = 0 ， n = -5 ，则 A ⋅ B ， A + B ， A - B ， A 2 中，化简后是二次分式的为；② 若 A 与 B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为 1，求2m + n 的值.丰台26．在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明.例如，利用图1中边长分别为a ，b 的正方形，以及长为a ，宽为b 的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式： .请你解答下面的问题：（1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：_________________； （2）利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为22252a ab b ++的长方形ABCD ，请你分析这个长方形的长和宽.图1222()2a b a ab b +=++图3图2a ab b a b a b a b a a b ab大兴朝阳24．阅读材料：对于两个实数a ，b 大小的比较，有如下规律：若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b =0，则a =b ；若a -b ＜0，则a ＜b . 反过来也成立． 解决问题：（1）已知实数x ,则()()37x x ++ ()()46x x ++（填“＜”，“=”或“＞”）； （2）甲、乙二人同时从A 地出发去B 地，甲用一半时间以每小时x km 的速度行走，另一半时间以每小时y km 的速度行走；乙以每小时x km 的速度行走一半路程，另一半路程以每小时y km 的速度行走. 若x ≠y ，判断谁先到达B 地，并说明理由．下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：（1）()()37x x ++ ()()46x x ++（填“＜”，“=”或“＞”）；（2）先到达B 地的是 .说明：设甲从A 地到B 地用2t h ，则A ，B 两地的路程为(x +y )t km ，乙从A 地到B 地用)22x y x yt x y+++(h.昌平27. 是无理数，而无理数是无限不循环小数. 的小数部分1的小数部分. 理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分. 的整数部分为11.参考小燕同学的做法，解答下列问题：（1________；（2）已知77的小数部分分别为a和b，求a2+2ab+b2的值；（3）39=x y，其中x是整数，0 < y < 1，那么325x y=________；（4（m为正整数）的整数部分为n，那么m m的小数部分为________（用含m，n的式子表示）.。

八年级数学阅读理解题集题目1：小明和小红共有20块糖果，小明的糖果数是小红的两倍。

问小明有多少块糖果？解析：设小红有x块糖果，则小明有2x块糖果。

根据题意得到方程2x + x = 20，解方程可得x = 5，所以小明有10块糖果。

题目2：某商店折扣价售卖一款原价为200元的电脑，打折后降价为原价的80%。

小明购买了这款电脑，他需要支付多少钱？解析：原价为200元，打折后为200 * 80% = 160元。

所以小明需要支付160元。

题目3：一个边长为3cm的正方形，内部有一条延长线，将该正方形分成一大角和三小角。

大角的度数是小角度数的两倍，求小角的度数。

解析：设小角的度数为x度，则大角的度数为2x度。

根据正方形内角和为360度，得到方程2x + 3x = 360，解方程可得x = 60，所以小角的度数为60度。

题目4：甲、乙两个人同时从两个不同的地点出发，相向而行，两人相距100km。

甲的速度是乙的两倍，乙每小时行驶的距离是多少？解析：设乙每小时行驶的距离为x km，则甲每小时行驶的距离为2x km。

根据题意得到方程x + 2x = 100，解方程可得x = 25，所以乙每小时行驶25km。

题目5：一个数乘以4再减去5等于17，这个数是多少？解析：设这个数为x，则根据题意得到方程4x - 5 = 17，解方程可得x = 6，所以这个数是6。

题目6：某书店有300本书，其中3/5是数学书，其余是故事书。

故事书的数量是数学书的几分之一？解析：数学书的数量为3/5 * 300 = 180本。

故事书的数量为300 - 180 = 120本。

所以故事书的数量是数学书的1/180。

通过以上题目的解析，我们可以发现在数学中，应用数学知识解决问题是非常重要的。

希望大家能够掌握数学的基础知识，提高自己的数学能力。

阅读理解题型训练1.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD=90︒．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ．2．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ．3．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB = AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D ， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1）ADCOBBOCDA111210987654321图2图1A'A ABCBC（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？ 请说明你的猜想并给予证明.4.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

初二数学阅读试题及答案一、选择题1. 已知一个数的平方是49，那么这个数可能是（）。

A. 7B. -7C. 7或-7D. 以上都不对答案：C解析：一个数的平方是49，那么这个数可以是7或者-7，因为7的平方是49，-7的平方也是49。

2. 一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么这个三角形的周长是（）。

A. 16B. 21C. 26D. 以上都不对答案：B解析：等腰三角形的两腰相等，所以周长为底边长加上两倍的腰长，即6+5+5=16。

3. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是（）。

A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C解析：一个数的绝对值是5，那么这个数可以是5或者-5，因为5的绝对值是5，-5的绝对值也是5。

二、填空题4. 已知一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长为______。

答案：5解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边长的平方和的平方根，即√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。

5. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。

答案：-2解析：一个数的立方是-8，那么这个数是-2，因为(-2)³=-8。

三、解答题6. 已知一个二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,2)和(2,3)，且对称轴为x=1，求这个二次函数的解析式。

答案：y=x²-2x+1解析：首先，由于对称轴为x=1，我们可以设二次函数的顶点式为y=a(x-1)²+k。

将点(1,2)代入得2=a(1-1)²+k，即k=2。

再将点(2,3)代入得3=a(2-1)²+2，即a=1。

所以二次函数的解析式为y=(x-1)²+2=x²-2x+1。

7. 一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，求这个三角形的面积。

答案：24解析：首先，我们可以从底边的两个端点向腰作垂线，将等腰三角形分为两个直角三角形。

【英语】八年级数学上册阅读理解专项练
习
一、阅读下面的数学题并回答问题。

1.若ab=0，则a= __ 或b= __ 。

答：a=0或b=0。

2.当x>0 时，(-2x+6)÷(x-3) 的值的范围是 __ 。

答：(-∞，-2)∪(3，+∞)。

3.已知k是1到9之间的整数，下列k的取值中，使下列不等式成立的是（ __ ）.
2×3^k < 81
答：k=3或k<3。

4.把大于0，小于10的数字排成一个五位数，使千位百位还有个位上的数字之和等于十位和数字，其五位数是（ __ ）.
答：。

5.已知正整数n，且100≤n<1000，将n的个、十、百位上数字分别用a、b、c表示。

若n=a^b+c，请问n最小是多少？
答：当a=2、b=2、c=4时，n最小，即264=2^2+4。

二、阅读下面的文学作品，回答问题。

甲乙丙丁四名运动员参加了100米比赛，裁判员按照比赛成绩，前四名分别是甲、乙、丙、丁。

下面是他们的论述：
甲：我得了第一。

乙：我不是倒数第一。

丙：我得了第三，不是第一和第二。

丁：我不是第一，我是倒数第二。

请问甲、乙、丙、丁四个人中，哪个人拿到了比赛的冠军。

答：甲。

因为乙是倒数第二，那么丁比他倒数第一，而丙不是第一和第二，所以，他只能是第三，那么剩下的甲就是第一。

专题18 新定义与阅读理解题1．（2019•湘西州）阅读材料：设a r=（x 1，y 1），b r=（x 2，y 2），如果a r∥b r，则x 1•y 2=x 2•y 1，根据该材料填空，已知a r=（4，3），b r=（8，m ），且a r∥b r，则m =__________． 【答案】6【解析】∵a r=（4，3），b r=（8，m ），且a r∥b r，∴4m =3×8，∴m =6；故答案为：6． 【名师点睛】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键． 2．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A =80°，则它的特征值k =__________． 【答案】85或14【解析】①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：218080︒-︒=50°， ∴特征值k =808505︒=︒； ②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°–80°–80°=20°，∴特征值k =208014︒=︒； 综上所述，特征值k 为85或14；故答案为85或14．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A 的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．3．（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7．则（1）用含x 的式子表示m =__________； （2）当y =–2时，n 的值为__________．【答案】（1）3x；（2）1．【解析】（1）根据约定的方法可得：m=x+2x=3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可得x+2x+2x+3=m+n=y．当y=–2时，5x+3=–2．解得x=–1．∴n=2x+3=–2+3=1．故答案为：1．【名师点睛】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．4．（2019•枣庄）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求4⊗（–3）的值；（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值．【答案】（1）5；（2）1 3 .【解析】（1）根据题中的新定义得：原式=8–3=5；（2）根据题中的新定义化简得：2241x yx y-=⎨+=-⎧⎩①②，①+②得：3x+3y=1，则x+y=13．【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2019•济宁）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1<x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）=6x（x＞0）是减函数．证明：设0<x1<x2，f（x1）–f（x2）=()212112121266666x xx xx x x x x x---==．∵0<x1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．∴()21126x xx x-＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．∴f （x 1）＞f （x 2），∴函数f （x ）═6x（x ＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f （x ）=21x+x （x <0）， f （–1）=21(1)-+（–1）=0，f （–2）=21(2)-+（–2）=–74． （1）计算：f （–3）=__________，f （–4）=__________； （2）猜想：函数f （x ）=21x+x （x <0）是__________函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想．【答案】（1）–269，–6316；（2）增；（3）见解析． 【解析】（1）∵f （x ）=21x+x （x <0），∴f （–3）=21(3)-–3=–269，f （–4）=21(4)-–4=–6316，故答案为：–269，–6316； （2）∵–4<–3，f （–4）＞f （–3）， ∴函数f （x ）=21x+x （x <0）是增函数， 故答案为：增； （3）设x 1<x 2<0， ∵f （x 1）–f （x 2）=12221211x x x x +--=（x 1–x 2）（1–122212x x x x +）∵x 1<x 2<0，∴x 1–x 2<0，x 1+x 2<0，∴f （x 1）–f （x 2）<0，∴f （x 1）<f （x 2）， ∴函数f （x ）=21x+x （x <0）是增函数． 【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．6．（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn =10m +n ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc =100a +10b +c ．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x+3x=45，则x=__________；②若7y–8y=26，则y=__________；③若93t+58t=131t，则t=__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．【解析】（1）①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．7．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②–①得2S–S=S=22019–1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．【答案】（1）210–1；（2）11312-；（3）a=1时，S=n+1；a≠1时，S=111naa+--．【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②，②–①得2S–S=S=210–1，∴S=1+2+22+…+29=210–1；故答案为：210–1；（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②–①得2S=311–1，所以S=1131 2-，即3+32+33+34+ (310)1131 2-；故答案为：1131 2-；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②， ②–①得：（a –1）S =a n +1–1，a =1时，不能直接除以a –1，此时原式等于n +1；a ≠1时，a –1才能做分母，所以S =111n a a +--，即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n=111n a a +--. 【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法．认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法． 8．（2019·江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念（2）把满足21n y x nx =--+（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为：1k --，2k --，3k --，…，k n --（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由.【答案】（1）①②③（2）①2,124n n n P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，21y x =+．③不平行，直线n n C A 的斜率（比例系数）为k n +，与n 取值有关(若两直线平行，则斜率会相等). 【解析】（1）①当x =0,1231y y y ===，所以正确；②123,,y y y 的对称轴分别是直线112x =-，21x =-，332x =-，所以正确；③123,,y y y 与1y =交点（除了点C ）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．（2）①2224124n n n y x nx x +⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，所以顶点24,24n n n P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令顶点n P 横坐标2n x =-，纵坐标244n y +=，22241142n n y x +⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭， 即：n P 顶点满足关系式21y x =+.②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， ∴C n C n –1两点之间的铅直高度=()2211k nk k k nk k --++---+=． C n C n –1两点之间的水平距离=1()1k n k n --+---=． ∴由勾股定理得C n C n –12=k 2+1，∴C n C n –1③n n C A 与11n n C A --不平行． 理由：根据题意得：()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++，(),1n A n -，()11,1n A n --+．过C n ，C n –1分别作直线y =1的垂线，垂足为D ，E ，所以D （–k –n ，1），E （–k –n +1，1）. 在Rt △DA n C n 中，tan ∠DA n C n =()2211()n n k nk C D k nkk n A D n k n k---++===+----，在Rt △EA n –1C n –1中，tan ∠EA n –1C n –1=()22111111(1)n n k nk k C E k nk kk n A E n k n k-----+++-===+--+---+，∵1k n +-≠k n +，∴tan ∠DA n C n ≠tan ∠EA n –1C n –1， ∴n n C A 与11n n C A --不平行．9．（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC 中，M 是BC 边上一点（不含端点B ，C ），N 是△ABC 的外角∠ACH 的平分线上一点，且AM =MN ．求证：∠AMN =60°．点拨：如图②，作∠CBE =60°，BE 与NC 的延长线相交于点E ，得等边△BEC ，连接EM ．易证：△ABM ≌△EBM （SAS ），可得AM =EM ，∠1=∠2；又AM =MN ，则EM =MN ，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN =60°． 问题：如图③，在正方形A 1B 1C 1D 1中，M 1是B 1C 1边上一点（不含端点B 1，C 1），N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，且A 1M 1=M 1N 1．求证：∠A 1M 1N 1=90°．【答案】见解析.【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1、EC 1， 如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1=90°=∠A 1B 1M 1， ∴△EB 1C 1是等腰直角三角形， ∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点， ∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°， ∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°， ∴E 、C 1、N 1三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，111111111111A B EB A B M EB MM B M B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ）， ∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°．【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．10．（2019·甘肃天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG 、BE ，∵∠CAG =∠BAE =90°，∴∠CAG +∠BAC =∠BAE +∠BAC ，即∠GAB =∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG =∠AEC ，又∠AEC +∠AME =90°，∴∠ABG +∠AME =90°，即CE ⊥BG ，∴四边形CGEB 是垂美四边形，由（2）得，CG 2+BE 2=CB 2+GE 2，∵AC =4，AB =5，∴BC =3，CG，BE∴GE 2=CG 2+BE 2-CB 2=73，∴GE【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．。

八年级数学阅读理解练习题1. 一家餐馆每天都会提供两种套餐供顾客选择。

今天，餐馆提供了A套餐和B套餐。

其中，A套餐的价格为12元，B套餐的价格为15元。

某顾客购买了5份A套餐和3份B套餐，总共花费了多少元？2. 玛丽每天骑自行车上学。

她发现自己上学所需的时间与她骑车的速度成反比。

如果她以10公里/小时的速度骑车，她需要20分钟到达学校。

那么，以15公里/小时的速度骑车，她到学校需要多长时间？3. 一块蛋糕被等分成了8份。

小明吃了其中的3份，小红吃了其中的1份。

还剩下多少份蛋糕？4. 某公司一批产品中有72个次品。

如果这批产品总数的20%是次品，那么这批产品的总数是多少？5. 一个矩形花坛的长是12米，宽是8米。

花坛的周长上围绕着一条边长相等的石子路，石子路的宽度为1米。

那么，石子路的面积是多少平方米？6. 黄先生在一个月内每天都步行同样的距离上班。

他发现自己每天步行花费的时间与他的步行速度成正比。

如果他以5公里/小时的速度步行，他需要30分钟到达办公室。

那么，以6公里/小时的速度步行，他需要多长时间？7. 一家超市每袋糖果的重量不完全相同。

今天，小明购买了2袋糖果。

第一袋重量为0.3千克，第二袋重量为0.5千克。

那么，两袋糖果的总重量是多少千克？8. 某图书馆的图书总量为15000本。

其中，小说类图书占总量的20%，其余为非小说类图书。

那么，非小说类图书的数量是多少本？9. 某班级有40名同学，其中男生占总人数的35%。

那么，女生的人数是多少？10. 甲、乙两个人开始进行一场马拉松比赛。

甲每小时的速度为10公里，乙每小时的速度为12公里。

如果他们同时起跑，那么他们何时能够相遇？注意：以上每题都可以使用计算器进行计算。

初二数学应用英语阅读理解20题1<背景文章>Tom is a student in Grade Eight. One day, he went to the supermarket with his mother. They wanted to buy some fruits. When they came to the fruit section, Tom saw that apples were sold at 5 yuan per kilogram and oranges were sold at 8 yuan per kilogram. Tom's mother wanted to buy 3 kilograms of apples and 2 kilograms of oranges. Tom quickly calculated the total cost in his mind. He thought that 3 kilograms of apples cost 3 times 5 yuan, which is 15 yuan. And 2 kilograms of oranges cost 2 times 8 yuan, which is 16 yuan. So the total cost is 15 yuan plus 16 yuan, which is 31 yuan.After buying the fruits, they went to the cashier to pay. The cashier told them that there was a promotion. If they spent more than 30 yuan, they could get a discount of 5 yuan. Tom was very happy because they could save some money. He quickly calculated the new total cost. After deducting the discount, the new total cost is 31 yuan minus 5 yuan, which is 26 yuan.Tom and his mother left the supermarket happily. Tom realized that mathematics is very useful in daily life. It can help us solve many problems.1. Apples are sold at ___ yuan per kilogram.A.3B.4C.5D.6答案：C。

1．阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)解：原式＝12(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)＝12(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)＝12(34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)…＝364－12例2：因式分解：x 4＋x 2＋1解：原式＝x 4＋x 2＋1＝x 4＋2x 2＋1－x 2＝(x 2＋1)2－x 2＝(x 2＋1＋x )(x 2＋1－x )根据材料解决下列问题：(1)计算：(1＋12)(1＋122)(1＋124)(1＋128)…(1＋12512)；(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14＋4)(54＋4)(94＋4)…(494＋4)(34＋4)(74＋4)(114＋4)…(514＋4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x 4＋4来表示，所以他决定先对x 4＋4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题．请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x 4＋4；②计算：(14＋4)(54＋4)(94＋4)…(494＋4)(34＋4)(74＋4)(114＋4)…(514＋4)．解：(1)原式＝2×(1－12)×(1＋12)(1＋122)(1＋124)(1＋128)…(1＋12512)＝2×(1－121024)(2)①x 4＋4＝x 4＋4x 2＋4－4x 2＝(x 2＋2)2－(2x )2＝(x 2＋2x ＋2)(x 2－2x ＋2)＝[(x ＋1)2＋1]·[(x －1)2＋1]②当x ＝1时，14＋4＝1×5，当x ＝3时，34＋4＝5×17当x ＝5时，54＋4＝17×37，当x ＝7时，74＋4＝37×65当x ＝9时，94＋4＝65×101，当x ＝11时，114＋4＝101×145……原式＝1×5×17×37×65×101…×(502＋1)5×17×37×65×101×145…×(502＋1)(522＋1)＝1522＋1＝127052．已知a＋b＝1，ab＝－1．设S1＝a＋b，S2＝a2＋b2，S3＝a3＋b3，…，S n＝a n＋b n(1)计算S2；(2)请阅读下面计算S3的过程：a3＋b3＝a3＋b3＋(b2a－b2a)＋(a2b－a2b)＝(a3＋b2a)＋(b3＋a2b)－(b2a＋a2b)＝a(a2＋b2)＋b(b2＋a2)－ab(b＋a)＝(a2＋b2)(b＋a)－ab(b＋a)∵a＋b＝1，ab＝－1，∴S3＝a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2)－ab(a＋b)＝1×S2－(－1)×1＝S2＋1＝．你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果；再计算S4；(3)猜想并写出S n－2，S n－1，S n三者之间的数量关系(不要求证明，且n是不小于2的自然数)，根据得出的数量关系计算S8．解：(1)S2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝12﹣2×(－1)＝3(2)S3＝a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2)－ab(a＋b)＝1×S2－(－1)×1＝S2＋1＝4∵S4＝a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝(a2＋b2)2－2(ab)2又∵a2＋b2＝3，ab＝－1∴S4＝7(3)∵S1＝1，S2＝3，S3＝4，S4＝7，∴S1＋S2＝S3，S2＋S3＝S4猜想：S n＋S n－1＝S n－2∵S3＝4，S4＝7，∴S5＝S3＋S4＝4＋7＝11∴S6＝S4＋S5＝7＋11＝18，S7＝S5＋S6＝11＋18＝29∴S8＝S6＋S7＝18＋29＝473．若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝22＋12；再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”并说明理由；（2）已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．解：（1）1＝12＋02，4＝22＋02，9＝32＋02∵29＝52＋22，∴29是“完美数”（2）S＝(x2＋4x)＋(4y2－12y)＋k＝(x2＋2·x·2＋22)＋[(2y)2－2·2y·3＋32]＋k－13＝(x＋2)2＋(2y－3)2＋k－13∵S为“完美数”，∴k－13＝0（3）设m＝a2＋b2，n＝c2＋d2（a、b、c、d都是整数）则mn＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2c2＋2abcd＋b2d2)＋(a2d2－2abcd＋b2c2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2∵a、b、c、d都是整数，∴mn可表示为两个整数的平方和∴mn也是“完美数”4．阅读材料解决问题材料一：一个正整数x能写成x＝a2－b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2＋b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F(x)＝a2＋b2．例如：24＝72－52，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，32＝92－72，32＝62－22，因为92＋72＞62＋22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F(32)＝92＋72．材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是“雪松数”；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F(t)的最大值．解：（1）112＝112－32，40=72－32（2）若10是“雪松数”，可设a2－b2＝10（a，b均为正整数，且a≠b）则(a＋b)(a－b)＝10，又10＝2×5＝10×1∵a，b均为正整数∴a＋b＞a－b＋b＝5－b＝2＋b＝10－b＝1＝72＝32＝112＝92均与a，b均为正整数矛盾∴10不是“雪松数”（3）设t＝—ab ba（a，b均为正整数，且a≠b，0＜a，b≤9）另一个“南麓数”为t′＝—mnnm（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9）则t＝(10m＋n)2－(10n＋m)2＝99(m2－n2)＝99(m＋n)(m－n)∴99(m＋n)(m－n)＝1000a＋100b＋10b＋a＝1001a＋110b整理得(m＋n)(m－n)＝10a＋b＋a＋b9∵a，b，m，n均为正整数∴3≤a＋b≤17∴a＋b＝9＝2＝7＝5＝4符合题意t的值分别为2772，5445经探究2772＝6942－6922，∴F(2772)＝6942＋6922＝9605005445＝27232－27222，∴F(5445)＝27232＋27222＝14824013∴F(t)的最大值为：14824013。

八数上册期末专项训练资料：（阅读理解）问题探究以及拓展延伸训练题1.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下右图： 23a b 3ab +2.阅读：计算252147920⨯+解：原式()()()=+⨯-+-25002150021211=-+-⨯+2225000021212211=-+250000421=249959解答下列问题：；（用含字母a b ， 的式子表示）⑵.⑶.巧算3.阅读材料，分解因式：()()()()()()()--+=---=+---=-+-2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1；这种分解因式的方法叫分组分解法；分组分解法要有目的性，比如分组后能提取公因式，分组后能运用公式等，同时分组还要有预见性，要报证下一继续分解.请用分组分解法分解因式： ⑴.-+-3322a b a b ab = ； ⑵.-++22a b 2a 1 = .4.观察以下等式：第1个等式：=+211112 ；第3个等式：=+211326 ；第3个等式：=+2115315； 第4个等式：=+2117428 ；第5个等式：=+2119545；……按照以上规律，解决下列问题：⑴.写出第6个等式: ;⑵.写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示 ），并证明.5.阅读下面的解题过程：已知=+2x 13x 1，求+24x x 1 的值. 解：又=+2x 13x 1知≠x 0，所以 +=+=2x 11x 3x x .又+⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭24222x 111x x 27x x x . 所以+24x x 1的值为：17 .上面这种解法称为“倒数法”；请利用“倒数法”解答：已知+=1x 4x ，求++242x x x 1= . ,,212018这212018++7.著名数学教育家C·波利亚有句名言：“发现问题比解决题更重要”.这句话启发我们：要想学好数学，就要善于观察、发现、探索问题的规律性本质，要有一双敏锐的眼睛；请观察下列算式，再填空：-=⨯-=⨯2223181,5382,；则：⑴. -=⨯22758；⑵. -=⨯22978；⑶.()-=⨯22985；⑷. ()-=⨯2138.⑸.通过观察归纳，并用含字母n 的式子表示这一规律，并进行验证.8.某装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A,B 型板材若干块，A 型板材规格是⨯a b ,B 型板材规格为⨯b b ，现在只能够得规格是⨯150b 的标准板材（单位：cm ） ⑴.若设==a 60cm,b 30cm ，一张标准板材尽可能的材出A 型、B 型板材，共有下表三种裁法，图1是裁法一的裁剪示意图.则表中，=m ，=n .⑵.为装修需要，小明家又购买了若干C 型板材,其规格是⨯a a ，并做成如图2的背景墙，请写出图中所表示的等式： .⑶.若规定一个二次三项式++22a 4ab 3b ，试用拼图的方式将其分解因式（请仿照图2，在几何图形中标上有关数量）10.仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式()±+=±222a 2ab b a b 以及()±2a b 的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用.比如：已知x,y 满足-+++=22x 2x y 6x 100，求x,y 的值 .我们可以这样处理： 解：∵=+1091 （拆项）∴()()-++++=22x 2x 1y 6x 90 ∴()()-++=22x 1y 30（配方） 又()()-≥+≥22x 10,y 30 ∴-=x 10 ，+=y 30∴==-x 1,y 3上面主要是采用了拆项后配成完全平方的办法，再利用非负数的性质为桥梁来解决问题 . ⑴.若又++-+=22x 4x y 2y 50 ⑵.已知x,y 满足-+-225x 4xy y 6x ⑶.试求+-242x x 的最大值.11.我们都知道，在本期学习的因式分解中，只要没有特别加以说明都是指在有理数范围内分解因式，比如把-4a 9分解因式：()()-=+-422a 9a 3a 3，这样就达到题目的要求了；但如果要求在实数范围内将 -4a 9分解因式，由于=23 ，所以-4a 9在实数范围内还可以继续分解的结果为()(+2a 3a a .有个这样的一个题目：在实数范围内将+-2x 2x 5分解因式.小明是这样做的：()(+-=++--=+-=+++222x 4x 2x 4x 442x 26x 2x 2.小明去问老师是否可以这样做？老师说这种做法也是对的，并称赞小明在现有的知识条件下，能想到用这种添拆项的技巧解题实属难能可贵，转化是数学最重要的思想，这也是一种转化！ 请同学们根据上面的阅读材料按要求解答下列各题：⑴.多项式-+23ax 6ax 3a 分解因式为 ； ⑵.多项式-22x 3在实数范围内分解因式为 ； ⑶.在实数范围内将下列各式分解因式（写出过程）： ①.--22ay 12ay 2a ； ②.()()-+--222x 2x 2x 2x 3.12.理解和规律拓展探究题：已知：()()-+=-21x 1x 1x ，()()-++=-231x 1x x1x ，()()-+++=-2341x 1x xx 1x⑴.猜想填空：()()-+++++23n 1x 1x x x x = ；⑵.根据你的猜想进行下列运算：图 2ab b b 图 1①.()()-+++++++999832x 1xx x x x 1；②.+++++239912222： ③. ++++23n 2222.13.已知下列关于x 的分式方程：方程1:=-12x 1x ； 方程2:=+23x x 1； 方程3:=++34x 1x 2； …… 方程n ： .⑴.填空：方程 1的解为 ，方程2的解为 ； ⑵.解分式方程3；⑶.根据上述方程的规律及解的特点，直接写出方程n 及它的解.14.阅读解答：=-=⨯11111222； +=-+-=-=⨯⨯111111211122322333；…… 根据上面的材料解答：⑴.填空：①.()()()=-+111x x 1； ②.()()()()=---111x 1x 2；⑵.计算：()()()()()()()()()++++++++++++++11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2019x 2020x 2020x 2021.15. 阅读下面材料：例.解方程：-=-----1111x 1x 2x 3x 4 解：()()()()()()()()-----=---------x 2x 1x 4x 3x 1x 2x 1x 2x 3x 4x 3x 4（分别通分）()()()()=----11x 1x 2x 3x 4（整理）()()()()--=--x 1x 2x 3x 4（交叉相乘）解得：=5x 2（解整式方程） =5x 2时，()()()()----≠x 1x 2x 3x 40（验根）所以原方程的解为：=5x 2.（写解） 借鉴上面的解法解方程： ⑴.-=-++++1111x 5x 6x 7x 8； ⑵.+=+++++1111x 5x 6x 7x 8.16.数学课上，老师出示了如下的题目：在等边⊿ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =,如图①，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴.特殊情况,探索结论当点E 为AB 的中点时，如图②，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“> ”, “< ”或“= ”）. ⑵.特列启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是AE DB （（填“> ”, “< ”或“= ”）. 理由如下：如图③，过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F （请你完成以下解答过程）. ⑶.拓展讨论，设计新题在等边等边⊿ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED BC =,若⊿ABC 的边长为1 ，AE 2=,求CD 的长（请直接写出结果．．．．．．．）.17. 已知△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且=BM CN ,直线BN 与AM 相交于Q 点．就下面给出的三种情况（如图①、②、③），先用量角器分别测量∠BQM 的大小，然后猜测∠BQM 等于多少度？并利用图③证明你的结论．C A ED 图 ① D EA 图 ② D A E C F 图 ③QNMABC图③QNMABC图②QNMABC图①18. 已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，BAD BCE90∠=∠= ,M为DE 的中点，过点E与AD的平行的直线EN交射线AM于点N.⑴.当A B C、、三点在同一直线上时，如图1，求证：M为AN的中点；⑵.将图1中△BCE绕点B旋转，当A B E、、三点在同一直线上时，如图2；求证：△CAN 为等腰直角三角形.⑶.将图1中△BCE绕点B旋转，当A B E、、三点不在同一直线上时，如图3，⑵中的结论是否仍然成立（不需证明）？90,点D在90,90,直角顶点22. 直线MN与PQ互相垂直，垂足为点O,点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动,点A,B不与点O重合.⑴.如图1，AD平分∠BAO,BC平分∠ABO;若∠=BAO40 ,求∠ADB的度数；⑵.如图2，AD平分∠BAO,BC平分∠ABM,BC的反向延长线交AD于点D.①.若∠=BAO40 ,则∠ADB= （直接写结果，不必说理）；②.点A,B在运动过程中，∠ADB的度数是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明理由.⑶.如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AD，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D,F;在△ADF中，如果一个角是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数.DA图3D图2D图1图2图1图1图1图2图 1图 2。