高考数学千锤百炼 (7)

高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

题目千千，难题重重，高考数学，战鼓擂。

一纸试卷，千军万马，沙场点兵，谁主沉浮？方程组里，变量飞舞，不等式间，束缚自如。

函数图像，曲线翩翩，解析几何，线条交错。

几何图形，多面舞动，三角函数，周期轮回。

概率统计，变幻莫测，数据分布，笑谈自如。

解析几何，轨迹追寻，数列极限，求和不止。

三角恒等，公式翻涌，正弦余弦，角度转瞬。

立体几何，空间构想，截面投影，几何变换。

解析几何，圆与直线，距离公式，点线共舞。

函数导数，斜率攀升，极限概念，无限趋近。

数学之美，奥秘无穷，高考战场，挥洒青春。

加减乘除，规律掌控，几何图形，巧妙构造。

三角变换，角度互换，数列极限，无限拓展。

函数性质，奇偶变换，概率统计，随机漫步。

数学之美，如诗如画，高考之卷，智慧之舞。

一题一解，千锤百炼，高考数学，勇者胜出。

几何图形，空间想象，函数导数，趋势探寻。

概率统计，随机事件，数学之美，妙不可言。

加减乘除，基础稳固，几何图形，空间构造。

三角函数，周期变换，数列极限，无限追求。

解析几何，点线面交，立体几何，空间想象。

数学之美，如梦似幻，高考之卷，智慧展现。

一题一解，千锤百炼，高考数学，勇者胜出。

加减乘除，基础稳固，几何图形，空间构造。

三角函数，周期变换，数列极限，无限追求。

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（全国通用版）2019版高考数学大二轮复习考前强化练7 解答题组合练（C）理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大二轮复习考前强化练7 解答题组合练（C）理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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考前强化练7 解答题组合练(C)1。

在△ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b，c，满足4a cos B-b cos C=c cos B。

（1)求cos B的值；（2)若=3，b=3,求a和c的值。

2。

(2018河南六市联考一，理17）已知数列{a n}中，a1=1,其前n项的和为S n,且满足a n=(n≥2）。

(1）求证:数列是等差数列；(2)证明：当n≥2时，S1+S2+S3+…+S n〈.3.(2018河北保定一模,理19)如图，四棱台A1B1C1D1-ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A 1B1=A1A=,AB=2，AC=2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1,M为C1C的中点。

(1）证明:AM⊥D1D；(2）若∠ABC=30°，且AC≠BC,求二面角B1—CC1—D1的正弦值.4.（2018河南郑州一模，理19）如图，在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6，BC=2,AC=2,D,E分别为线段AB，BC上的点,且AD=2DB,CE=2EB，PD⊥AC。

（1)求证：PD⊥平面ABC；(2）若PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角。

5.已知椭圆C:=1(a>b〉0）的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且|PM|=｜MN|,点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A，B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1，B1.（1）求椭圆C的方程。

专题16 数列放缩证明不等式必刷100题任务一:邪恶模式(困难)1-100题提示:几种常见的数列放缩方法： （1）()()21111211n n n n n n <=-≥--； （2）()2111111n n n n n >=-++； （3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭； （4）()1111111312231nn n n⎛⎫+<+++++< ⎪⨯⨯-⎝⎭；（5(()22n =<=≥； （6(2=>=； （7==； （8）()()()()()()()1211222211212121212122212121nn n n n nnn n n n n n---=<==----------()2n ≥；（9=<=2⎡⎤==()22n <≥；（10=<=()22n -≥； （11）()()01211122221111111n n n nn C C C n n n n =<==--++-+++-； （12）()()()111121122121212121n n n nn n n ---<=-≥-----.一、单选题1．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n =+++++，那么下列结论正确的是 A ．413S << B ．5443S << C ．322S <<D ．2S >2．已知数列{}n a 满足0n a >，12a =，且()2211n n n n a na a ++=+，*n ∈N ，则下列说法中错误的是（ ）A ．222n n a n+≤B ．222232423222234na a a a n++++< C ．11n n a a +<< D ．12n n a a +≤<3．已知数列{}n a 满足113a =，()2*12N nn n a a a n n+=+∈，则下列选项正确的是（ ）A ．20212020a a <B ．2021202114043a << C ．2021202104043a << D ．20211a >4．已知数列{}n a 满足112a =，211n n na a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（ ）． A ．83B ．269C ．2627D ．35．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()111n p p a n n +=+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1p =-时，则2019S π<B ．当0p =时，则2019S π>C ．当12p =时，则20191S >D ．当1p =时，则20191S >第II 卷（非选择题）二、解答题6．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设2n n nab =，证明：222121112nb b b ++⋅⋅⋅+<.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，且()f x 在点(),n n P n S 处的切线的斜率为n K . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nk n b =-，求证：12311111nb b b b +++⋯+<.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足n b 2na-=，求证：数列{}n b 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析9．已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）记12111n n T S S S =+++，求证：1334n T ≤<．10．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1S ，2S ，4S 成等比． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，证明对任意的*n N ∈，1232n b b b b +++⋯+<恒成立．11．已知数列{a n }的前n 项和为 S n 12n n a +=（n ∈N*），且a 1＝2．数列{b n }满足b 1＝0，b 2＝2，121n n b n b n +=-，n ＝2，3，…．（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）求数列 {b n } 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于 n ∈N *，1121222221n nnb b b a a a -+++≥-．12．已知函数2()(0)f x ax bx a =+≠的导函数()22f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n P n S 均在函数()y f x =的图象上．若()132n n b a =+ （1）当2n ≥时，试比较1n b +与2n b 的大小；（2）记)*n c n N =∈试证1240039c c c ++⋯+<.13．已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈．⑴求3a ;⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈14．数列{}n a 满足：()12323121n n a a a na n ++++=-+；数列{}n b 满足：1222n n n b b n ++=+，且11b a =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1nn i i T b ==∑，证明：13n T ≤<；（3）设1n n n c a b +=，证明：3333123111114n c c c c ++++<.15．在下列条件：①数列{}n a 的任意相邻两项均不相等，且数列{}2n n a a -为常数列，②()()112n n S a n n N *=++∈，③()3112,12,n n a S S n n N *+-==+≥∈中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，___________. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）设()2211k k k b k N S S *+=∈⋅，数列{}k b 的前n 项和记为n T ，证明：()34n T n N *<∈.16．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()612n n n S a a =++，*n N ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()211n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：()21log 3n n T a +<+，*n N ∈.17．已知数列{}n a 中，121112,34n n n a a a a a +-===-，， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设12b 1,2b n ==>， 117722n n n b n a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求证：1 2.i i bi ∞=<∑18．数列{}n a 满足()*2n n nS a n =∈N ，n S 是{}n a 的前n 项的和，21a =． （1）求n S ；（2）证明：1311222nn a +⎛⎫<+< ⎪⎝⎭．19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n a a S +=，（1）求证：2214n n n a a S ++<；（2<20．已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，1n =、2、．（1）证明：对任意的0x >，()2112131n n a x x x ⎛⎫≥-- ⎪+⎝⎭+，1n =、2、；（2）证明：2121n n a a a n +++≥+.21．已知数列{}n a 满足12a =，121n n na a a +-=.（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）令121n nb a a a =，证明：222211n b b b +++<.22．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n =+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21n an b =-，证明：当*n ∈N 时，312122122n nb b b n n b b b +++++<+≤.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n n a S +=. （1）求{}n a 通项公式； （2）若1111n n nc a a =++-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：21n T n <+.24．已知数列{}n a 满足112a =，1223241n n n a a n ++-=-，n *∈N .（1）设121n n b a n =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N .25．已知数列{}()0n n a a ≠满足()2*12N n a a n n ⎛=∈ ⎝． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：231111n a a a +++⋅⋅⋅+<．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，14nn n a a a +=+． （1）求证113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求证：32n S <． 27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，数列{}n S n是公差为12的等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21(1)n n b n a =+，求证：对于任意的*n N ∈，12341n b b b +++<.28．已知数列{}n a 满足123a =，12122n na a a a -=-，2n ≥，n *∈N .（1）（i ）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（ii ）求数列{}n a 的通项公式； （2）记1212n n T a a a =，n *∈N ，22212n n S T T T =+++，证明：当n *∈N 时，12235n n n a S a +-<<.29．已知数列{}n a 满足11a =，()*111,n n a a n n N -=+>∈，数列{}n b 是公比为正数的等比数列，12b =，且22b ，3b ，8成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足2(2)nn n nb ac n ⋅=⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n S .（3）若数列n d 满足1(1)n nn d b =+-，求证：12253n d d d +++<.30．已知数列{}n a 的首项14a =，其前n 项和为n S ，且满足134n n a S +=+，，其中n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：()11232n n a n nn N a *+--<+<∈-．31．已知数列{}n a 满足11a =，{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：53n T <.32．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，*1)n a n N +=∈ （1）若24n n a b =，求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式： （2）若3n n b a =，（i ）求证：102n a <≤； （ii ）12*182()()41353n n a n N n -⋅≤≤∈+33．已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <．34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3556,3,a S a n N *==∈.（1）求n a 与n S ；（2）设n b 12311222n b b b b n n ++++<+-+.35．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----.36．已知数列{}n a 满足12a =，12(1)(*)n n a S n n N +=++∈（1）求证：{}1n a +是等比数列；并写出{}n a 的通项公式（2）求证：对任意()*n n N ∈，有12311111724n a a a a ++++<37．已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，且344S a +=，34a +是2a ，4a 的等差中项．n （2）求证：1231111117333335n n a a a a a -+++++<-----．38．已知数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足{}22,n n S n n b =+是正项等比数列，且121,b b =是1a 和4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求证：112233111154n n a b a b a b a b ++++<++++.39．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：11a =，()*118N n n n n a a n n a a +++=∈-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足211=-n n b a ，12S n n b b b =+++，求n S ；（3）若数列{}n c 满足11n nc a =+，123...n n T c c c c =⋅⋅⋅⋅，求证：n T40．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-．n （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．41．已知各项为正数的数列{}n a 满足：11,2,3,4,,2n n a n a -==-且1n a ≠．（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列． （2）若110,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，证明：对一切正整数n，都有13215n a a a a -<⋅⋅42．已知数列{}n a 满足：112a =，()132n n n a a n N a *+=∈+. （I ）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （II ）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证1116n S <.43．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35a = ，713a = .（1）求n a 和n S ；（2）当2n ≥ 时，证明：12111714n S S S n +++≤- .44．已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N . （1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .45．已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足n 、n a 、n S 成等差数列．(Ⅰ)求1a ，2a 的值，并证明：数列{}1n a +是等比数列； (Ⅱ)证明：3124123222n na a a a n n a a a a +<+++⋯+<+．46．给定数列{}n a ，若满足1a a =(0a >且1)a ≠，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a +=⋅，则称数列{}n a 为“指数型数列”．(1)已知数列{}n a 的通项公式4n n a =，证明：{}n a 为“指数型数列”； (2)若数列{}n a 满足：112a =，()1123*n n n n a a a a n N ++=+∈；①判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； ②若数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：34n S <.47．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21n n n S a S =-． （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）证明：2221274n S S S +++<．48．已知函数()32x f x x=-，数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，且114a =. （1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n S <.49．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()2n n S a n n N *=-∈．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）求证：121111122n n a a a -<+++<．50．已知数列{}n a 中，12a =，其前n 项和n S 满足：23n n S a n =+-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令(1)1n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有56n T <．51．已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列2{}n a 的前n 项和为n T ，且2430n n n S S T -=+，*n N ∈．（Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：121112111n a a a +++<---.52．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2112,32 2.n n n a S a ++==-+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明121111118n a a a +++<．53．已知数列{}n a 满足1a a =，2221()n n n n n S n S a a n N *+=++∈，. (1)若{}n a 为不恒カ0的等差数列，求a ；(2)若13a =，证明：1n a ＜.54．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()11.n n a S n N ++=+∈ (Ⅰ)求通项公式n a ；(Ⅱ)记12111n n T S S S =++⋯+，求证：31222n n T -≤<．55．已知正项数列{}n a 满足2*1()n n n a a a n N +=-∈.（1）求证:101a <<，且当2n ≥时，12n a n ≤+； （2）求证:2ln(1)n i i a n =<+∑.56．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，S 2＝212b .(1)若b 2是a 1，a 3的等差中项，求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若a n ∈N ＋，数列{n a b }是公比为9的等比数列，求证：11S ＋21S ＋31S ＋…＋1n S ＜74.57．已知数列{}n a ，11a =，二次函数()()21122n n n f x a x a x -+=+-的对称轴为12x =. (1) 证明：数列{}2n n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设21n n n b a =-，求证：122311232n n b b b n n b b b +-<++<.58．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-.（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 13n T <.59．已知数列{}n a 满足112a =，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈．（1）求证：数列1{}1n a -是等差数列； （2）求证：231223411n n a a a a n n n a a a a +<+++<+．60．数列{}n a 满足1212242n n n a a na -++++=-，*n N ∈. （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设121log n n b a =+，求证：2221211174n b b b +++<.61．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈. (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.62．已知函数()221x f x x =+，数列{}n a 满足112a =，()1n n a f a +=，*n N ∈.（1）求证：1112n n a a +≤<<； （2）求证：()()()2222132112231n n n n a a a a a a a a a a a a ++---++⋯+<63．已知数列{a n }满足()212331n n n n a a a a ++=+.(Ⅰ)若方程f (x )=x 的解称为函数y =f (x )的不动点,求a n +1=f (a n )的不动点的值； (Ⅱ)若112,1n n n a a b a -==+,求证：数列{ln b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项． (Ⅲ)当任意*n N ∈时，求证：12312n b b b b +++⋯+<.64．数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +2n ．（1）求证数列{a n +2n }是等比数列；（2）证明：对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n <32．65．已知数列{}n a 满足条件：1a t =,121n n a a +=+（1）判断数列{}1n a +是否为等比数列；（2）若1t =，令12nn n n c a a +=⋅,1,k n k nT c ==∑ 证明1n T <66．已知数列{}n a 中，14a =，132(2)nn a a n（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）证明：1112n i i a ．67．已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且12 1.n n n a a n ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式n a；（2）设*)nb n N =∈，求证：12 1.n b b b +++<68．已知正项数列{}n a1，（n∈N +，n≥2），且a 1＝4．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证12111+...na a a +＜1（n∈N +）69．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a ＝3，前n 项和为S n ，{}n b 是等比数列，1b ＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求证：1211134n S S S +++<对一切*n N ∈都成立．70．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）记1231111n n T S S SS =++++，证明：12n T <<71．已知数列{}n a 满足11a =，且点()1,2n n n a a +-在函数()3f x x =的图象上．（1）求证：12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式： （2）若1n n n a b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：233n S n >+．72．已知数列{}n a 满足123a =，且当2n ≥时，12122n na a a a -=-． （1）求证：数列1{}1na -是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记1212n n T a a a =，22212n n S T T T =+++，证明：当n *∈N 时，123n n a S +-<．73．已知数列{}n a 满足113a =，11113n n n a a +++=． （1）证明：数列1134n n a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1235n a a a ++⋅⋅⋅+<．74．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2324n n n S a a =+-，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记n b ={}n b 的前n 项和为n T ，*n∈N ，求证：2n T <．75．数列{}n a 满足122a a ==，21212n n a a +-=，22221n n n a a a ++=+，*n ∈N . （1）求3a ，4a 及n a (用n 表示)； （2）设22111n n n b a a +=-，求证：14n n b ≤； （3）求证：1232211111156n n a a a a a ++-+⋅⋅⋅+-<.76．已知{}n a 是公比1q >的等比数列，且满足2312a a +=，1432a a =，数列{}n b 满足：11121...3246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n n n b c b b a ++-=⋅⋅，求证：1211...1n n nc c c b a ++++<-⋅. 77．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()123n n n a S n *+=+∈N .（1）求n S （用n 表示）；（2）求证：当2n ≥时，不等式12123527n n S S S n a S a +++<-成立.78．已知函数(),y f x x N +=∈，满足：①对任意,a b N +∈，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+； ②对任意*n N ∈都有[()]3f f n n =． （1）试证明：()f x 为+N 上的单调增函数； （2）求(1)(6)(28)f f f ++； （3）令(3),n n a f n N +=∈，试证明：121111.424n n n a a a <+++<+79．已知正项数列{}n a 满足11a =，112382n n n n a a a a +++=-. （1）试比较n a 与2的大小，并说明理由； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：当*n N ∈时，25n S n >-.80．已知数列{}n a 满足()2*12342326n n n n N a a n a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=∈． （1）求数列{}n a 的通项；（2）设n n a b n=，若2222123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，求证：1163662n n n a S a ++<<--．81．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，且对任意的*n N ∈，2n n b a =+，12n n n a b b +=-.（1）求2a ，3a 及数列{}n b 的通项公式；（2）记()11213n n n n a c b +++=-，*n N ∈， 求证：2123148n c c c n n ≤+++<++，*n N ∈.82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，()()*163212,n n S na n n n n N +=-++∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1211156n a a a +++<．83．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对每个n N +∈，112n n n S a ++，，成等差数列，且1236a a a +，，成等比数列.（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：21211111(13)103n n a a a -+++≤-84．数列{}n a ，11a =，()12*23n n a a n n N n +-=+∈（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，说明理由.（2）设112n n n b a n -=+-，123n n S b b b b =++++，证明：当2n ≥时，513n n S n <<+.85．已知数列{}n a 满足()2*1121,N 1n n n a a a n n +==∈+. （Ⅰ）证明：1n n a a +<；（Ⅱ）证明1223112n n a a a n a a a n+++⋯+≤+-； （Ⅲ）证明：14n a >.86．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，12(1)n n S n a +=-，n *∈N ． （1）求2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211174n S S S ++⋅⋅⋅+<．87．已知数列{}n a 满足10,2n a a >=，且()22*1(1)n n n n a na a n ++=+∈N . （1）证明：1n a >；（2）证明：2223229(2)495n a a a n n ++⋯+<.88．已知数列{}n a 、{}n b 满足14a =，252a =，12n n n a b a ++=，()*12n n n n n a b b n N a b +=∈+． （Ⅰ）求证：12n n a a +<<； （Ⅰ）设数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1839n S n <+； （Ⅰ）设数列{}n a 的前n 项和为n T ，求证：当1n >时，823n T n <+．89．已知数列{}n a 满足101a <<，()1ln 1n n n a a a +=-+，*n N ∈． （Ⅰ）证明：01n a <<；（Ⅰ）证明：212n n a a +<； （Ⅰ）若112a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：916n S <．90．在数列{}n a 中，已知211212,31n n n a a a a +==+，其中*n N ∈. （1）求2a 的值，并证明：1n n a a +>；（2）证明：121na n +； （3）设12111111n n T a a a =++++++，求证：34n T n >-.91．已知数列{}n a 满足：1120n n n n a a a a --+-=，()2,n n N ≥∈，11a =前n 项和为n S 的数列{}n b 满足：11b =，()1122,12n n n n n n a a a b n n N a a ---=≥∈-，又()12,n n n S c n n N b -=≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：()23111821112,3n n n N c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++<≥∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.92．已知数列{}n a ，111,3(1)+==+-n n n a a a .(1)记(1)4nn n b a -=+，证明:{}n b 是等比数列； (2)当k 是奇数时，证明:1111163k k k a a +++<； (3)证明:12111...2n a a a +++<.93．已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N .(1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:1211134n a a a +++<.94．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(1)n n S S n ++=+()*n ∈N . （1）用a 表示2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当32a =时，证明：对任意*n N ∈，都有2222232121111112n na a a a -++++<.95．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()111ln ln ln ln n n n n a a a b b ++=-=-，212T a =，432T a =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：121112nT T T +++<．96．已知数列{}n a ，11a =，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若12n n a a +-=，()*n ∈N ，求证：22111111n n n n a a a a -+-++>+，其中3n ≥，*n ∈N ； （2）若对任意*n ∈N 均有131n n a a +=-，求{}n S 的通项公式； （3）若对任意*n ∈N 均有11n n n a a a +=+，求证：234n n S S -<．97．已知数列{}n a ，112a =，()2*11124n n n a a a n N +=+∈，设()1n f n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数．设()()1f n n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ．求证：（1）判断n a 与12的大小，并说明理由；（2）证明：()*112n n a n N a +≤∈； （3）证明：当3n >时，327432n T <<．98．已知数列{}n a 中，111,2(1)n n n a a a +==+-.（1）证明：(1){}3nn a -+是等比数列； （2）当k 是奇数时，证明：111192k k k a a +++<；（3）证明：121113na a a +++<.99．已知数列{}n a 满足：2*112,1,n n n a a a a n N +==-+∈． （1）证明：当*2n n N >∈且时，11211n n n a a a a a +-=+； （2）证明：20171220171111112a a a -<+++<．100．已知数列{}n a 满足11a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，记n S ，n T 分别是数列{}n a ，{}2n a 的前n 项和，证明：当*n N ∈时，（1）1n n a a +<；（2）21121n n T na +=--；（31n S <<.。

专题11 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题任务一:善良模式(基础)1-40题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b = （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值．2．已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域．3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin b A c a +=. （1）求角A ；（2）若a =2tan tan tan a b cA B C=+，求ABC 的面积.4．在ABC 中，120BAC ∠=︒，sin ABC ∠=D 是CA 延长线上一点，且24AD AC ==. （1）求sin ACB ∠的值； （2）求BD 的长.5．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Abc C +--=． ．1．求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC 的面积．6．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos c b b A -=⋅.（1）若a =3b =，求c ； （2）若角2C π=，求角B .7．已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB （1）求B 的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值.8．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()sin cos 0a B B C ++=． （1）若sin 2a A b =，求sin B ；（2）若a =2sin sin B C =，求ABC 的面积．9．在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，cos cos 2cos 0b C c B A ++=，且1a =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ABC 的周长.10．已知函数()()()cos sin f x x x x x =∈R . （1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭6b =，求ABC 的面积的取值范围.11．在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b = （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值12．在ABC 中，已知2cos S bc A =，其中S 为ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边. （1）求角A 的值；（2）若6tan 5B =，求sin 2C 的值.13．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3sin c a B =，cos B =， （．）求证：4A π=；（．）若边AB 上中线CD ABC 的面积．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC △ABC 的周长的最小值．15．已知平面向量(sin cos ,2sin )a x x x =+，(sin cos ,)b x x x =-，函数()(R)f x a b x =⋅∈． （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）若(0,)m π∈，223m f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin m 的值．16．在ABC 中，4ABC π∠=，D 是边BC 上一点，且5AD =，3cos 5ADC ∠=.（1）求BD 的长；（2）若ABC 的面积为14，求AC 的长.17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=． （1）求B ；（2）若4b =，求ABC 的面积的最大值．18．如图，在ABC ∆中，2AC =，3A π∠=，点D 在线段AB 上.（1）若1cos 3CDB ∠=-，求CD 的长；（2）若2AD DB =，sin ACD BCD ∠=∠，求ABC ∆的面积.19．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos A b C c B a +=． （1）求角A ；（2）在ABC 中，D 为BC 边上一点，且()12AD AB AC =+，2AD =，求ABC 面积的最大值．20．已知函数()21sin sin 22f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.21．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin 2sin cos 0A B C B --=. （1）求内角C 的大小；（2）若ABC ∆的周长为6+c 的长度.22．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足 ()()cos 2cos b A c a B π=+-. (1)求角B 的大小;(2)若b =ABC ∆a c +的值.23．已知函数()23sin cos f x x x x =x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期;（2）若2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，263a ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求3cos 2a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.24．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足sin 4sin b B a A =，()2222bc b a c =--.（1）求角B 的大小； （2）求()sin 2A B -的值.25．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为,,,cos 23cos()1a b c C A B ++=. (1)求角C ；(2)若2c =，求ABC 面积的最大值.26．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =. （1）求角C 的大小；（2）若3PB =，sin BAP ∠=ABC 的面积.27．已知向量()2cos ,sin a x x =,()cos ,b x x =-,且()1f x a b =⋅-． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移12π个单位,得到函数()y g x =的图象,求方程()1g x =在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上所有根之和．28．已知函数443()2sin cos 224x x f x x =++-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上对称轴、对称中心及其最值.29．函数()()2sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，02πϕ<<），且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点()1,2. （1）求ϕ；（2）计算()()12f f ++…()2019f .30．设函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-．（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1()2f A =，2223a b =，1c =，求ABC ∆的面积．31．已知通数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图像经过点1,62π⎛⎫- ⎪⎝⎭，图像与x 轴两个相邻交点的距离为π．（．）求()f x 的解析式：（．）若335f πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin θ的值．32．已知向量()3sin ,2cos a x x =-，()2cos ,cos b x x =，函数()1()f x a b x =⋅+∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若()2f A =，4C π，2c =，求ABC∆的面积ABC S ∆.33．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足：()2222sin sin b c a C c B +-=.（．）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.34．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .35．在①sinsin 2A Bb c B +=)cos sin c A b a C -=-，③cos cos cos c a b C A B+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________. （1）求C ；（2）若ABC 的面积为AC 的中点为D ，求BD 的最小值.36．在①22cos a b c B -=（A +B ）＝1+22sin 2C这两个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，已知___． （1）求角C 的值；（2）若b ＝4，点D 在边AB 上，CD 为∠ACB 的平分线，△CDB ，求边长a 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.37．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=，②222sin sin sin sin sin B C A B C +-=cos b cC C a++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． （1）求角A ；（2）若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 38．在①cos cos 2B b C a c=-+，②sin sin sin A b cB C a c +=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，求AC 边上的垂线长.39．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b cB C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，7b =，5c =，求a 的值.40．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．①()sin sin()sin a c A c A B b B -++=；②2S AB CB =⋅（其中S 为ABC 的面积）；③sin cos c B C -=．（1）若4,3b ac ==，求a c +的值；c ，求a的取值范围．（2）若ABC为锐角三角形，且2任务二:中立模式(中档)1-40题1．在．2sin tan a B b A =；．cos sin b a C A =；．()22222cos a c b bc A +-=-三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a =___________. （1）求角A 的大小； （2）求ABC 面积的最大值.2．已知函数2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<，直线3x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）令()22263g x f x f x m ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12,x x 是函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的零点，求()12cos x x +的值.3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c sin cos c B C +=. （1）求角B 的大小；（2）若b =D 为AC 边上一点，1BD =，且___________，求ABC 的面积.（从①BD 为ABC ∠的平分线，②D 为AC 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 面积的大小为S 32AB AC S ⋅=. （1）求A 的值；（2）若ABC 的外接圆直径为1，求22b c +的取值范围.5．在ABC 中，1a =，2b =．（1）若边c =ABC 的面积S ；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出sin A ． ①2B A =； ②π3A B +=； ③2C B =6．已知(1,2)m x ω=，2(2sin 1,cos )n x x ωω=-，令().f x m n =⋅其中01ω<<，满足()43f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，()1f B =且1c =，求ABC 的面积的取值范围．7．在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sin sin 2B C b a B +=，③2tan tan tan B bA B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． （1）求角A 的大小；（2）已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．8．如图，D 是直角ABC 斜边上一点（不含端点），AB AD =，记BAD ∠=α，ADC β∠=．（1sin 2αβ-的最大值；（2）若AC =，求角β的值．9．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2cos 2a C b c =+． （1）求A ；（2）若AM 是角A 的平分线，且2AM =，求ABC 的面积的最小值．10．1.已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，()()3cos cos 4cos cos a b A a B c A a C c +=+，再从下面条件①与②中任选1个作为已知条件，完成以下问题．（1）证明：ABC 为锐角三角形；（2）若8CA CB ⋅=，CD 为ABC 的内角平分线，且与AB 边交于D ，求CD 的长． ①2cos 3C =；②1cos 9A =．11．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=cos b cC C a++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求角A ；（2）若O 是ABC 内一点，120,150,1,3∠=︒∠=︒==AOB AOC b c ，求tan ABO ∠．12．在“①2cos a B c =；②(),m a c b =-，(),n c b a b =++，//m n ”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，已知4b =，D 是AB 边上的点，且3AD DB =，()211sin sin 2cos sin224C A B C -=+，若_______________，求CD 的长度.13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2sin B C A +=，3sin 4sin =b C c A ，点D 在射线AC 上，满足cos 2cos ABD B ∠=. （1）求ABD ∠；（2）设ABD ∠的角平分线与直线AC 交于点E ，求证：111BA BD BE+=.14．在ABC 中，内角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若2222sin sin sin cos cos C A B A B -=++. （1）求C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.15．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =cos (cos )+-C B B cos 0A =.（1）求角A 的大小；（2）求2b c +的取值范围.16．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7cos 25c B a b =-. （1）求cos C ；（2）若点A ，B 是函数()2sin 133f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象在某个周期内的最高点与最低点，求ABC 面积的最大值.17．在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝CD ＝2，AD ＝3． （1）证明：3cos A －4cos C ＝1；（2）记△ABD 与△BCD 的面积分别为S 1，S 2，求S 12＋S 22的最大值．18．在锐角ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c b a B b A -=-. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长的范围.19．在．cos cos 2B b C a c -=+，．sin sin sin A b cB C a c+=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，AB 边上的中垂线交AC 于D 点，求BD 的长.20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小； （2）求ABC 周长的范围．21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b cC a-=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的周长为6，求ABC 面积S 的最大值．22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A Bc B b +=． （1）求角C 的大小；（2）若8b =，cos B D 为边BC 上一点，且7AD =，求BD DC 的值．23．如图，在ABC 中，AB AC >，AD 、AE 分别为BC 边上的高和中线，4=AD ，3DE =（1）若90BAC ∠=︒，求AB 的长；（2）是否存在这样的ABC ，使得射线AE 和AD 三等分BAC ∠?24．已知函数2())2sin 1,(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图像相邻的对称轴之间的距离为2π（1）求函数()f x 的解析式及其减区间；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，且a =26f A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ABC 的周长的取值范围．25．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin (1cos )3sin cos cos sin B C A C A C +=+ 且π2C ≠. （1）求证：2b a =；（2）若2c =，求ABC 的面积的最大值.26．在ABC 中，AC AB >，31cos 32A =，8AB =.（1）若ABC S =△BC ；（2）若()1cos 8B C -=，求ABC S ∆.27．1.已知向量()cos ,sin m x x →=，()cos x n x →=，设()12f x m n →→=⋅-，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求()f x 的值域； （2）若方程()23f x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，求()12cos x x +，()12cos x x -的值.28．如图，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =，且cos (2)cos -=-a c B c b C .（1）求角C 的大小；（2）在ABC 内有点M ，CMA CMB ∠=∠，且3BM AM =，直线CM 交AB 于点Q ，求cos CQA ∠.29．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且满足22,c a ab =+记ABC 的面积为S. （1）求证：2C A =；（2）若ABC 为锐角三角形，4b =，且S λ<恒成立，求实数λ的范围.30．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，并完成下列问题： （1）求B ；（2）若4AC =，求ABC 的周长的最大值．条件①：cos (2)cos 0b C a c B --=；条件②：()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-． 注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分． 31．在①cos cos 2B b C a c =-+，②sin sin sin A b cB C a c+=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，BD 是ABC ∠的平分线交AC 于点D ，若1BD =，求4a c +的最小值.32．在①cos cos 2B b C a c=-+，②sin sin sin A b cB C a c +=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足3ACD π∠=，AD =ACDS的最值33．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若b =2-c a 的取值范围.34．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos c a b A -=，3b =.（1）求B 的大小；（2）若a =ABC 的面积；（3）求ac a c+的最大值.35．如图，在四边形ABCD 中，34ABC π∠=，AB AD ⊥，AB =（1）若AC =ABC ∆的面积；（2）若6ADC π∠=，CD =AD 的长.36．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，求a c b+的取值范围.37．在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++． （1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状；（3）若3a =，求ABC 周长的最大值．38．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B =（1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.39．现给出三个条件：①a sin 2A C +＝b sin A ，②a cos C ＋c cos A ＝2b cosB ，③2c －a ＝2b cos A .从中选出一个补充在下面的问题中，并解答问题．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．40．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高50m AB =，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°．（1）求出山高BE （结果保留整数）；（2）如图，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离m MD x =，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角AMB ∠最大?参考数据：sin80.14︒≈，sin370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈．任务三:邪恶模式(困难)1-20题1.ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC 面积的2倍．（1）求sin sin B C∠∠的值；（2）从①1AD =，②DC =cos C =这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD 和AC 的长．2．已知函数()()1sin sin cos 2f x x x x ωωω=+-（0>ω）图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求()f x 的单调递增区间以及()f x 图象的对称中心坐标；（2）是否存在锐角α，β，使2π23αβ+=，3ππ222f f αβ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α，β的值；若不存在，请说明理由．3．已知函数()2()2sin 1(0,0 )2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 2π. （1）求()f x 的解析式与单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移 6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求方程()22()30g x x +-=的所有根的和.4．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>.（1）当03ω<<时，函数()()3y f x f x πω=--的图象关于直线512x π=对称，求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）若()f x 的图像向右平移3π个单位得到的函数()g x 在[,]2ππ上仅有一个零点，求ω的取值范围．5．在平面四边形ABCD 中，3AB =，5AD =，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒（1）求BD 的长；（2）求AD BC AB CD ⋅+⋅的最大值．6．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足3ACD π∠=，AD = 求BC 的取值范围.7．已知A ∠是ABC 的内角，函数()()3cos sin 2f x x x A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最大值为14．（1）求A ∠的大小；（2）若()()124g x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()()2410g x m g x -+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦在,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．8．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=；（1）当π12θ=时，求四边形ABCD 的面积. （2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值.9．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=，已知4CD =m ，2CE =m ．（1）当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值．10．已知向量1(sin ,1),3cos ,2m x n x ⎛⎫==- ⎪⎭．令函数()()f x m n m =+⋅． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ACB ∠的角平分线交AB 于D ．其中，函数()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a b +的最小值．11．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值.12．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.1360°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；②设△POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值.14．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．15．已知a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且ABC 的面积214S c =.（1）记(2,1)m c =，(2,cos )n a B =-，若//m n . （i ）求角C ， （ii ）求a b的值；（2）求a b的取值范围.16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =米，AD =BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB 为直径的圆，且300AB =米，景观湖边界CD 与AB 平行且它们间的距离为A 点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ ．设2AOP θ∠=．（1）用θ表示线段,PQ 并确定sin 2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ 的长度设计到最长，求PQ 的最大值．18．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某市的一条健康步道，AB ，AC 为线段，BC 是以BC 为直径的半圆，AB =，4km AC =，6BAC π∠=.（1）求BC 的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A D C --（B ，D在AC 两侧），AD ，CD 为线段.若3ADC π∠=，A 到健康步道B C D --的最短距离为，求D 到直线AB 距离的取值范围.19．已知函数()21cos 2sin 222xxxf x ωωω=+-（0>ω）在一个周期内的图象如图所示，A 为()f x 图象的最高点，B ，C 为()f x 图象与x 轴的交点，且ABC 为等腰直角三角形.（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若()85f α=，且84,33α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()1f α+的值；（3）已知函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在()0,2x ∈，使()()24g 12g x a x ⎡⎤+=⋅-⎣⎦成立，求a 的取值范围.20．已知△ABC 中，函数3()cos()sin()2f x x A x π=+⋅-的最大值为14. （1）求△A 的大小；（2）若1()2(())4g x f x =+，方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，求实数m 取值范围.。

专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=.（1）证明:当12λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ；（2）当14λ=时，求二面角1D BC C --的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点．（1）求证：PC BM ⊥；（2）求二面角B PM C --的正弦值．7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC 中，4AB AC ==，BC =D 为BC 中点，现将ABD 沿折痕AD 翻折至如图2所示位置，使得3BDC π∠=，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．（1）证明：//BC 平面DEF ；（2）求四面体BCDE 的体积．9．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，BC =BB 1=4，1AC AB ==BCC 1=60°.（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1：（2）设二面角C -AC 1-B 的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，∠BAD =90°，已知PA PC ==，2,3AD AB BC ===.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若二面角P AC B --的余弦值为13，求四棱锥P ABCD -的体积.11．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2．（1）求证：平面CC 1D 1D ⊥底面ABCD ；（2）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为3π，求线段ED 1的长度．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是斜边PA 的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点．（1）求证：平面DEM ⊥平面PAB ；（2）若直线MF 与平面ABCD E DM F --的余弦值．13．如图所示，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面EAB ⊥底面ABCD ，EA EB =，F 在侧棱CE 上，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离．14．在三棱锥B －ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）求二面角1B EC C --的大小.16．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =．（1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.19．如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅰ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积.21．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，,AB AC AA λ'==点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点． (∠)证明：MN ∠平面A ACC '';(∠)若二面角A MN C '--为直二面角，求λ的值．22．如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点. （∠）证明：SO ⊥平面;ABC（∠）求二面角A SC B --的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为ⅠBAD ＝120°，且PAⅠ平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MNⅠ平面ABCD ；(2) 过点A 作AQⅠPC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====∠O 为AC 的中点． ∠1）证明：PO ⊥平面ABC ∠∠2）若点M在棱BC上，且2，求点C到平面POM的距离．MC MB25．如图，在三棱锥P∠ABC中，P A∠AB∠P A∠BC∠AB∠BC∠P A∠AB∠BC∠2∠D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A∠BD∠(2)求证：平面BDE∠平面P AC∠(3)当P A∠平面BDE时，求三棱锥E∠BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAⅠCD，ADⅠBC，ⅠADC=ⅠPAB=90°，BC=CD=1AD．2（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CMⅠ平面PAB ，并说明理由；（Ⅰ）证明：平面PABⅠ平面PBD ．27．如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFEⅠ平面ABC ，ⅠACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BFⅠ平面ACFD ；（Ⅰ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DEⅠ平面A 1C 1F.29．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.∠1）证明：11D A BC A ⊥平面∠∠2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．（∠）证明CD AE ⊥；（∠）证明PD ⊥平面ABE ；--的大小．（∠）求二面角A PD C任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥CE ，AE ⊥CD ，BC AD ∥，AB =3，CD =4，AD =2BC =10.（1）证明：∠AED 是锐角；（2）若AE =10，求二面角A -BE -C 的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12A E EA =（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E ，求二面角1E D C D --的余弦值.35．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．36．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，3AB =，1CD =，AD =60ABC ∠=，30BAD ∠=，点E 在AB 上，满足AD DE ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若点F 为PA 的中点，求平面PCD 与平面DEF 所成角的余弦值.37．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22PA AB ==，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF PC ⊥于点F .（1）求证：平面AEF ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =．（1）求证：11A F C E ⊥；（2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且P A =AB ，90PAB ∠=.（1）证明：PC BD ⊥；（2）若60ABC ∠=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l ．（1）求证：//l CD ；（2）求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，且AB BC AE ED ===，PA PD ==.（1）求证：CE PD ⊥.（2）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求二面角E l A --的余弦值.44．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，4BC =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，1,,CD PD DC PM MD =⊥⊥．（1）证明：BC PM ⊥；（2）若PA =BN 与平面PDC 所成角的正弦值．45．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A到平面1A PO的距离；--的余弦值大小.（2）求二面角1A PB O46．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；BA，试问:是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ（2）设BQ=λ1在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．48．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为57，求点M 到底面ABCD 的距离.49．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点.(Ⅰ)求证：EF //平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AC B --的平面角的大小为2π3，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.50．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧面是正方形，60DAB ∠=︒，经过对角线1AC 的平面和侧棱1BB 相交于点F ，且12B F BF =．（1）求证：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1F AC C --的余弦值．51．直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周的旋转的上底面面积为9π，下底面面积为36π，侧面积为，且二面角111B AA C --为90，P ，Q 分别在线段1CC ，BC 上．（∠）若P ，Q 分别为1CC ，BC 中点，求1AB 与PQ 所成角的余弦值；（∠）若P 为1CC 上的动点、Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C --的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）．（Ⅰ）判断四面体1234A A A A -的形状特征； （Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的23（即4123OA OA '=），如图（3），将2A ，3A ，4A '置于地面，求1OA 与面234A A A '所成角θ的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --E 点位置，若不存在，请说明理由．57．如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,AE EF BE ＝＝ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,2,BAC AB AC A A A B ∠=︒====侧棱1A A ⊥平面,ABC 点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）当二面角C BD A --的余弦值为，求λ的值.59．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1,45AB BC ABC ∠===，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 是1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.60．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PB BD PD ===PA =（1）证明：PC ⊥平面ABCD ；（2）如图，取BC 的中点为E ，在线段DE 上取一点F 使得23DF FE =，求二面角F PA C --的大小.61．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,AA AC A B A D ====E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．62．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，4OP OA ==，3OB =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足()01PM MC λλ=<<．（1）若三棱锥P MBD -体积是169，求λ的值；（2）若直线PA 与平面MBD λ的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；（2）当E和F分别为B C''和A C''的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面P AD ．（2）若AB ＝P A ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M 定F 的位置；若不存在，说明理由．65．如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M B C λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --λ的值．66．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB AD ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，PA =（1）点E 在线段PC 上，37PE PC =，点F 在线段PD 上，35PF PD =，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）设M 是直线AC 上一点，求CM 的长，使得MP 与平面PCD 所成角为45︒．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB =，2PA =，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF PC λ=．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．68．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且1AB BC ==，2AD =，PA PD =，M 为AD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为（1）求四棱锥PABCD ﹣的体积；（2）在棱CD 上(不含端点)是否存在一点Q ，使得二面角C AP Q --？若存在，请确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.69．已知四棱锥P ABCD -P 中，底面ABCD 是平行四边形，PA AB =，PAD BAD ∠=∠，,E F 分别是,AB DC 的中点，2,3,AD PF PE ===（1）求证：AD ⊥平面PAB ；（2）若PB =B PC A --的余弦值.70．如图，矩形ABCD 中，AB ADλ=()1λ>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[]2,3λ∈时，求cos θ的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为,PA BD 中点，2PA PD AD ===．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角E DF A --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.∠()0BA PA PD ⋅+=；∠PC ∠点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图，平面五边形PABCD 中，PAD △是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD △沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F M 、分别是AB CE 、的中点，且___________.（1）求证：AB FM ⊥；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆()222210x y a b a b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比.75．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值.76．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，平面ACD 与平面BCD 垂直且CD =（1）若2AB AC ==，证明：45BCD ∠<︒；（2）若33AB AC ==，当ACD △与BCD 面积之和最大时，求二面角C AB D --的余弦值.77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为DB 1Ⅰ平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．78．平面凸六边形11MBB NC C 的边长相等,其中11BB C C 为矩形,1190BMC B NC ∠=∠=︒．将BCM ,11B C N △分别沿BC ,11B C 折至ABC ,111A B C ,且均在同侧与平面11BB C C 垂直,连接1AA ,如图所示,E ,G 分别是BC ,1CC 的中点．（1）求证：多面体111ABC A B C -为直三棱柱；（2）求二面角1A EG A --平面角的余弦值．79．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.80．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF Ⅰ平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.81．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.82．设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面POC ⊥平面ABC .（2）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.83．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，2AB DC ==，14AA =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；（Ⅰ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角E 在母线PC 上，且1,AE CE EC BD ==⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABD ；（2）设线段PO 上动点为M ，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．85．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=.（1）求二面角1A AB C 所成角θ的正弦值.（2）,M N 分别是棱11A C ，11B C 的中点，又2AP BP =.求经过,,M N P 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -的截面的周长.86．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111AC AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．87．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，CD =PD =（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．88．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为12231111()2k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠++∠+∠，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，1AA =P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）89．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．91．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上.92．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，ⅠABC =3π，ⅠB 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===。

2020.5.4题1：已知0>a ，函数x ax x f -=331)(，若)(x f 存在极小值点m ，且)()(n f m f =，且n m ≠，则=mn _____.题2：如图，在ABC ∆中，AB AD 21=，31=，CD 与BE 交于点P ，1=AP ，4=BC ，2=⋅BC AP ，则AC AB ⋅的值为________.题3：已知数列}{n a 满足,31=a 且).(4321*+∈+-=N n a a a n n n )(I 试用数学归纳法证明：);(3*∈≥N n a n )(II 证明：);(1*+∈>N n a a n n )(III 设数列}11{na +的前n 项和为,n S 证明：)(141*∈<≤N n S n解法一：解： )0( 31)(3>-=a x ax x f ，∴1)(2'-=ax x f 令0)('=x f ，则a a x ±=2,1∴当a a x -<和a a x >时，0)('>x f ，则)(x f 单调递增当a a x a a <<-时，0)('<x f ，则)(x f 单调递减∴aa x =时，)(x f 取极小值 )(x f 存在极小值点m ，∴a am =∴aa a a a a a a a f m f 32)(31)()(3-=-== )()(n f m f =且nm ≠∴方程a a x ax 32313-=-有n m ,两根即：方程02323=+-a a x a x 有n m ,两根，且a a m =和a a n -<易知：aa m x ==为二重根∴方程转化为交点式：0)()(2=--n x a a x 展开：0)12()2(23=-+++-a n x a n a a x a a n x 对比系数得：⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+=+a n a a a a n a a a a n 2231202a a n 2-= a a m =，∴2-=mn .【解法二】)0( 31)(3>-=a x ax x f ，∴1)(2'-=ax x f 令0)('=x f ，则a a x ±=2,1∴当a a x -<和a a x >时，0)('>x f ，则)(x f 单调递增当a a x a a <<-时，0)('<x f ，则)(x f 单调递减∴aa x =时，)(x f 取极小值 )(x f 存在极小值点m ，∴a am =∴21m a = )( )()(n m n f m f ≠=，即：n an m am -=-333131∴n m n m a -=-)(3133)(3))((22n m n mn m n m a -=++- 21m a =，n m ≠∴2223m n mn m =++，即：0222=-+m mn n ∴02)(2=-+m n m n ，∴0)2)(1(=+-m n m n ∴1=m n （舍）或2-=m n ，即2=m n .解： C P D ,,三点共线，∴ACx AD x AP )1(-+= AB AD 21=，∴AC x AB x AP )1(2-+=----① E P B ,,三点共线，∴AEy AB y AP )1(-+= AC AE 31=，∴AC y AB y AP 31-+=------②∴由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=52543112y x y x y x ∴AC AB AP 5152+=∴))(5152(AB AC AC AB BC AP -+=⋅251515222=⋅++-=AC AB AC AB 即：10222=⋅++-AC AB AC AB 22)5152(AC AB AP +=125425125422=⋅++=即：254422=⋅++ 4=BC ∴22)(AB AC BC -=16222=⋅-+=AC AB AC AB 令a AB =2，b AC =2，c AC AB =⋅∴311622544102=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++=++-c c b a c b a c b a 即：⋅的值为31.题3解析：解析：)(I 证明：显然331≥=a 成立，假设)(3*∈≥N k a k 成立，则331034393421≥=+-≥+-=+k k k a a a 3≥∴n a 对一切*∈N n 恒成立)(II 证明：03)2(34221>-=-+-=-+n n n n n n a a a a a a );(1*+∈>∴N n a a n n )(III 证明：4111,01111=+=≥∴>+a S S a n n 等式4321+-=+n n n a a a 两边同时减6得)1)(2(2)2(321+-=--=-+n n n n n a a a a a 1121211121(31)1)(2(1)2(3111+--=-⇒+--=+-=-∴++n n n n n n n n a a a a a a a a2121111---=++n n n a a a 2121212121211111111322121-+-++-+-+---=++++++=∴+n n n n a a a a a a a a a S 12112121111<--=---=++n n a a a 点评：本题第一问考察数学归纳法，注意数学归纳法的证明步骤，切勿忘记说明第一项满足.第二问可用作差法判断数列的增减性,结合第一问即可得出结果!第三问考察数列放缩，具有高等背景，需要借助不动点等知识！在借助不动点，对所给等式两边同时减去6以后，得到的式子有两个处理方向，类等比迭代放缩或裂项放缩，经过尝试等比放缩在本题中很难达到需要证明的精度，而使用裂项放缩刚好可以达到精度.需要说明的是裂项放缩是所有放缩方式中最强的放缩，能使用等比放缩的一定可以裂项放缩，但能裂项放缩的不一定能使用等比放缩!。

01函数与导数近几年高考中，函数类试题一般会出现2道选择题、2道填空题、1道解答题。

其中，选择题和填空题经常考的知识点更偏向反函数，函数的定义域和值域，函数的单调性、奇偶性、周期性，函数的图象、导数的概念和应用等，这些知识点要着重复习。

而在分值颇高的解答题中，通常会考查考生对于函数与导数、不等式运用等考点的掌握运用情况。

掌握题目背后的知识点，建立自己的答题思路是非常重要的。

值得考生们注意的是，函数和导数的考查，经常会与其他类型的题目交叉出现，所以需要重视交叉考点问题的训练。

02三角函数、平面向量和解三角形三角函数是每年必考题，虽是重点但难度较小。

哪怕是基础一般的同学，经过二轮复习的千锤百炼，都可以掌握这部分内容。

所以，三角函数类题目争取一分都不要丢!从题型来看，会覆盖选择题、填空题、解答题三大类型。

大题会出现在二卷解答题的第一个，也证明此类型题目的难度比较小。

在三角函数的部分，高三考生需要熟练的知识点有不少。

(1)掌握三角变换的所有公式，理解公式的意义、应用场景、考查形式、使用方法等。

(2)熟悉三角变换常用的方法，化弦法、降幂法、角的变换法等。

应用以上方法进行三角函数式的求值、化简、证明。

(3)掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题。

(4)熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质。

同时，也要掌握这些函数图象的形状、特点。

(5)掌握三角函数不等式口诀：sinα上正下负;cosα右正左负;tanα奇正偶负。

03数列数列是高中数学的重要内容，每年高考都会考查等差数列、等比数列等重点知识点。

考查题型常为填空题、选择题、解答题。

小题考查的知识点大都比较基础，难度不大;解答题中有难度中等，最后一题的综合题目难度较大。

近年的高考试题中相关题目主要考查数列本身知识，等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式;数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合;数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

高考数学有哪些应试技巧高考数学有哪些应试技巧_高频考点学好数学的关键是方法的掌握，数学不仅是一门科学，而且是一种普遍适用的技术。

它是科学的大门和钥匙，学数学是令自己变的理性的一个很重要的措施，数学本身也有自身的乐趣。

下面是小编为大家整理的高考数学有哪些应试技巧，希望能帮助到大家!高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。

2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。

首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。

3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。

象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。

一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。

可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在。

并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。

高等数学下知识点总结6篇高等数学下知识点总结6篇借鉴经验和教训，对自己的工作和生活进行反思和总结，从而不断进步。

深入学习，专攻某一领域有利于个人成长和职业发展。

下面就让小编给大家带来高等数学下知识点总结，希望大家喜欢!高等数学下知识点总结1第一，函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式。

主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。

对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。

考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。

训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。

【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。

－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。

2020.5.3题1：已知,1,0,=+≥b a b a 则229402213b a +++的最大值是,最小值是.题2：已知平面向量,,满足是单位向量，,1,2,1=⋅=⋅=⋅c b a ++的取值范围为____________.题3：已知x x x x f ln 21)(-=（1）求)(x f 的单调区间;（2）若a x f =)(有两个不等实根,,21x x 求证：ex x 21121>+题1解析：解析：解法一：求导判断导函数的单调性)()1(940221394022132222a f a a b a =-+++=+++)1,0(,)1(940)1(18216)(22∈-+--+='a a a a aa f 9)1(401821622+--+=a a 显然2162+a 在)1,0(上单调递增;9)1(40182+-a 在)1,0(上单调递减)(a f '∴在)1,0(上单调递增且注意到0)31(='f ∴当)31,0(∈a 时,)(,0)(a f a f <'单调递减;当)1,31(∈a 时,)(,0)(a f a f >'单调递增;11544029213)31()(min =+++==∴f a f 10433}10433,17max{)}1(),0(max{)(max +=+==∴f f a f 解法二：割线放缩与切线放缩令22940)(,21)(b b g a a f +=+=,易证0)(,0)(>''>''b g a f )(),(b g a f ∴在]1,0[上均为凹函数且单调递增注意到13,3)1(,1)0(-=∴==AB k f f 1)13(21)(2+-≤+=∴a a a f 同理102)1027(940)(2+-≤+=b b b g ≤++-+-≤+++∴1043)1027(2)13(3940221322b a b a 104331043))(13(3+=+++-b a 当且仅当⎩⎨⎧==01b a 时取.”“=注意到112)32(,11332(,311)31(,112)31(=='=='g g f f)(a f ∴在31=a 处的切线方程为11311231(112311+=⇒-=-x y x y )(b g ∴在32=b 处的切线方程为1120113)32(113112+=⇒-=-x y x y 11511551140116119116940221322==+++≥+++∴b a b a 综上：229402213b a +++的最大值是10433+,最小值是.115注释：对于为什么要取)(a f 在31=a 处的切线，)(b g 在32=b 处的切线，这个可采用待定法确定，令⇒'=')(2)(3b g a f 31)1(940)1(1821622=⇒-+-=+a a a a a 解法三：借助”“1的代换及丢项放缩)3(32332)(321322222b a b ab a a b a a +≤++=++=+)7102(280494029)(402940222222b a ab b a b b a b +≤++=++=+b a b a b a b a 17)10433()7102(2)3(3940221322++=+++≤+++∴10433))(10433(+=++≤b a 当且仅当⎩⎨⎧==01b a 时取.”“=最小值同解法二.题2解析：解析： 是单位向量，设),(),,(),0,1(q p n m ===1121121-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅nq nq mp p m c b c a b ab =+4214114184118122222222=+≥++=+++++=+++++=n n n n q p n m当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====1121q n p m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===1121q n p m 时取.”“=c a ++的取值范围是),4[+∞题3解析：解析：（1）)ln 1(2121ln 211)(x x x f -=--='，令0)(='x f 得.e x =当e x <<0时，,0)(>'x f )(x f 单调递增；当e x >时，,0)(<'x f )(x f 单调递减；故)(x f 的单调递增区间是),,0(e 单调递减区间是).,(+∞e （2）方法一：巧妙换元，借助函数单调性令,112211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t x t x 即证e t t 221>+由,)(a x f =得,ln 21a x x x =-即,1ln 211a t t t =-化简得,2ln 2t t a +=其中21,t t 是此方程的两个根)(21t t >，令,22ln )(t t t h +=则,21ln )(2t t t h +-='由0)(>'t h 可得,10e t <<故)(t h 在)1,0(e 递增，在),1(+∞e 递减.所以.0121>>>t e t 要证：,221e t t >+即证：,1221e t e t >->即证：),2()(21t e h t h -<即证：),2()(22t e h t h -<令),2()()(x e h x h x g --=下面证:0)(<x g 在)1,0(e恒成立.,)2(21)2ln(21ln )2()()(22x ex e x x x e h x h x g -+-+--=-'-'='令='+=)(,21ln )(2x F x x x F )(,02ln 214)1(ln 4234x F x x x x x x ∴>--=+-在1,0(e 上单调递增.)()2(x F x eF >-∴)(,0)(x g x g >'∴在1,0(e 上单调递增.0)1()(=<∴eg x g 得证.方法二：巧妙换元，借助齐次化处理不妨设21212111,t t x x x x >⇒>∴<令,112211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t x t x 即证e t t 221>+由,)(a x f =得,ln 21a x x x =-即,1ln 211a t t t =-化简得,2ln 2t t a +=其中21,t t 是此方程的两个根)(21t t >，令,22ln )(t t t h +=则,21ln )(2t t t h +-='由0)(>'t h 可得,10e t <<故)(t h 在)1,0(e 递增，在),1(+∞e递减.)1(ln 211ln 211ln 211ln 211ln 211ln 21121212211222111>==++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+t t t t t t at t at t a t t t a t t t =--++=+=--+=⇒+=++∴12ln 2ln ln ln ln ,12ln 2ln ln 2ln ln 221222t t t t t t t t t t t t t t t t 122ln --+t tt t 0)1(ln 21)(),(41ln )1(ln ln 221>---='=--+=+t t t t t g t g t t t t t 故)(t g 在),1(+∞上单调递增.41ln 41ln )1()(lim(lim lim 111-++=--+=→→→t t t t t t x g x x x 2212112ln ln ,2e t t t t >⇒->+∴-et t t t x x 2211212121>>+=+∴注释：此法最后的洛必达法则只适合部分地区，为了使此种方法更具一般性可以采用下列方法，)1(1)1(2ln ),(41ln )1(ln ln 21>+->=--+=+t t t t t g t t t t t 241)1(21)1(41ln )1(ln ln 21-=-+-⋅-+>--+=+∴t t t t t t t t t et t t t x x 2211212121>>+=+∴证明中使用的)1(1)1(2ln >+->t t t t 以及)1)(1(21ln >-<t t t t 需要证明，在此省略.方法三：巧妙换元，借助对数平均不等式令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧II =+I =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==)(ln 211)(ln 211ln 211ln 21111112121an n am m a n n n a m m m n x m x n x m x nm n m a n m mn a --=⇒II -I ++=⇒II +I )ln (ln 21)()(,ln 212)()(21,1ln 211)ln (ln 21ln 212e mn mn n m n m n m n m mn >∴->⇒+>--=++emn n m x x 221121>>+=+方法四：灵活变形，直接借助对数平均不等式⇒--=+--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-21122121221122211111ln 21ln 2111ln 21ln 212ln 211ln 211ln 21ln 21x x x x x x x x x a x x a x a x x x a x x x 2212121121221211ln 2121)ln (ln 21ln 212e x x x x x x x x x x x x x x <⇒>-⇒+>--=+-ex x x x 212112121>>+∴注释：最后法三和法四的证明用到了对数平均不等式，即对于任意的b a b a ≠>,0,有2ln ln b a b a b a ab +<--<可用齐次化的方法进行证明.。