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相似矩阵的性质与判定条件相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵理论和应用中都有广泛的应用。
本文将介绍相似矩阵的性质以及判定条件，以便更好地理解和应用这个概念。
一、相似矩阵的定义在线性代数中，给定一个n阶矩阵A和一个可逆矩阵P，如果满足$P^{-1}AP = B$，则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，矩阵A和B互为相似矩阵，记作A~B。
其中，矩阵P是相似变换矩阵。
二、相似矩阵的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值。
即矩阵A和B的特征值相同，即$det(A-\lambda I) = det(B-\lambda I)$，其中I为单位矩阵，$\lambda$为特征值。
2. 相似矩阵有相同的特征多项式。
矩阵A和B的特征多项式相同，即$|A-\lambda I| = |B-\lambda I|$。
3. 相似矩阵有相同的迹。
矩阵A和B的迹相同，即$tr(A) = tr(B)$，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
4. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵A和B的秩相同，即$r(A) = r(B)$，其中r(A)表示矩阵A的秩。
5. 相似矩阵的乘积不变。
如果A和B是相似矩阵，那么对于任意的矩阵C，都有$CAC^{-1} = CBC^{-1}$。
三、相似矩阵的判定条件1. 相似矩阵具有相同的标准型。
如果两个矩阵A和B的标准型相同，那么它们互为相似矩阵。
2. 相似矩阵具有相同的秩和相同的特征多项式。
如果两个矩阵A和B具有相同的秩和相同的特征多项式，那么它们互为相似矩阵。
3. 相似矩阵具有相同的Jordan标准型。
如果两个矩阵A和B的Jordan标准型相同，那么它们互为相似矩阵。
四、相似矩阵的应用相似矩阵在矩阵表示、特征值计算、矩阵对角化等方面有着广泛的应用。
在线性代数的教学和研究中，相似矩阵的概念和性质是不可或缺的基础内容。
总结：相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，矩阵A和B互为相似矩阵意味着它们具有相同的特征值、特征多项式、迹和秩。
相似矩阵的有关性质及其应用作 者 王国强 数学系 数学与应用数学专业 指导教师 金银来 数学系 教授摘要 若矩阵P 可逆,则矩阵P -1AP 与A 称为相似。
相似矩阵有很多应用。
例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。
本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。
关键词：相似矩阵；对角化；Jordan 标准型；特征向量；特征值Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. For example, we candiscuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordan ’s normal form; characteristic value; characteristic vector1 相似矩阵有关定义定义1.1设A,B 是n 阶方阵,如果存在可逆阵P 使得P -1AP=B,则称矩阵A 与B 相似.定义 1.2矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使),,(2,11n diag AP P λλλ =-,n λλ,,1 为A 的n 个特征值.2 相似矩阵有关性质a. 已知P -1AP=B,即A 相似于B,则ⅰ) |A|=|B|; ⅱ) t r (A)=t r (B); ⅲ) |A-λI |=|B-λI |.b. 若A 与B 都可对角化,则A 与B 相似的充分条件是A 与B 由相同的特征多项式.c. A 的属于同一特征值i λ的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应i λ的特征向量.d. A 的属于不同特征值的特征向量线形无关.e. 实对称矩阵A 的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.f. 若λ是实对称矩阵A 的r 重特征值,则A 对应特征值λ恰有r 个线性 无关的特征向量.g. 任何一个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似. h. 对n 阶方阵A ，以下三条等价: ⑴A 可对角化;⑵A 有n 个特征值（重根按重数计），且∀r （＞1）重特征值λ; ⑶A 有n 个线性无关的特征向量.i. 对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.3 相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.3.1 将常系数线性微分方程组⎝⎛+++=+++=+++=.;;22112222121212121111n nn n n n n n n n u a u a u a dtduu a u a u a dt du u a u a u a dt du (3-1)写成矩阵形式为Au dtdu= (3-2)其中u=(T n u u u ),,,21 ,n n ij a A *)(=为系数矩阵,令(3-2)式的解u=x e t λ, (3-3)即 (T n u u u ),,,21 =T n t x x x e ),,,(21 λ. 将(3-3)式代入（3-2）得λx e t λ=A x e t λ=Ax e t λ,化简得X AX λ=,即(3-3)式中λ为A 的特征值,X 为λ对应的特征向量;若A 可对角化,则存在n 个线性无关的特征向量,,,,21n x x x 于是得到(3-2)式的n 个线性无关的特解.u 1=111x e t λ, u 2=22x e t λ,, u n =n t x e n λ.它们的线性组合 =u c 1111x e t λ+c222x e t λ+…+cnn t x e n λ,(3-4)(其中n c c c ,,,21 为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式u=),,,(21n x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ttt n e e e λλλ 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21, 记 c=(n c c c ,,,21 )T ,Λt e =diag (t t t n e e e λλλ,,,21 ) p=),,,(21n x x x ,则(3-1)式或(3-2)式有一般解c pe u t ∆=(3-5) 对于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∆=00,u t u u dt du(3-6) 解为01u p pe u t -∆=(3-7)因为t=0代入(3-5)式得 c=01u p -. 例3.1 解线性常系数微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+=.2;54;313212211x x dt dx x x dt dx x x dt dx 已知初始值为: .2)0(,1)0(,1)0(321=-==x x x解 本题的初始值问题为⎪⎩⎪⎨⎧-===Tx x Axdt dx)2,1,1()0(0其中 110450102A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可得A 的约当标准形,即有可逆矩阵 P =012025111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-3001300021J AP P . 由(3-7)式,该初值问题的解为01x P Pe X tJ -=(3-8)其中 ,!)(!2)(2 +++++=n tJ tJ tJ I e ntJ(3-9)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n n n nn C J 30033000230013000211 (3-10)将(3-10)式代入(3-9)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tJ e te e e e 333200000(3-11)再将(3-11)式及1,-P P 代入(3-8)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t tt t t t te t e e t e t e te e et x t x t x x 32333332321)34(2)61()31(21101202511300000111520210)()()( 例3.2 解线性微分方程组11111221221122221122..............................n n n n n n n nn n dx a x a x a x dt dx a x a x a x dtdx a x a x a xdt⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪⎪=+++⎪⎩(3-12)解 令12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12n dx dt dx dX dt dt dx dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组(3-12)可表示成矩阵形式 dXAX dt= (3-13)假设A 可以相似对角化,即存在可逆矩阵P ,使得112(,,,)n P AP diag λλλ-=其中12,,,n λλλ为A 的全部特征值.于是令X PY=(3-14) 其中12(,,,)T n Y y y y =,将式(3-14)代入式(3-13)，得()d PY APY dt= 即dYPAPY dt=(3-15)在上式两端同时左乘1P -,得112(,,)n dYP APY diag Y dtλλλ-==即111222n n n dy y dt dy y dtdy ydtλλλ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 将上式积分,得121122,,,n tt t n n y C e y C e y C e λλλ===(3-16) 其中1C ,2C ,,n C 为积分常数.将式(3-16)代入(3-15)式,可得121122n t tt n n X C Pe C P e C P e λλλ=+++其中i P 为矩阵P 的第i 列,也是A 的对应于特征值i λ的特征向量,1,2,,i n =.3.2 对于n 阶线性齐次常系数微分方程1111()()()()0n n n n n n d x t d x t dx t a a a x t dt dtdt---++++=(3-17) 可令2112321,,,,n n n dx d xd xx x x x x dt dtdt--==== 于是可得与方程(3-17)同解的方程组12231121n n n ndx x dt dx x dt dx a x a x a x dt-⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=----⎪⎩(3-18)式(3-18)可写成矩阵形式dXAX dt=(3-19) 其中12(,,)T n X x x x =,12(,,,)T n dx dx dx dXdt dt dt dt=, 11010000001n n A a a a -=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例3.3 求解微分方程323234120d x d x dx x dt dt dt--+=(3-20)解 令21232,,x x dx d xx x dt dt===于是(3-20)式可变成等价的方程组122331231243dx x dt dx x dt dx x x x dt ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-++⎪⎩即dXAX dt= 其中 123(,,)T X x x x =,312(,,)T dx dx dx dX dt dt dt dt=,010*******A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可求得A 的特征值为1233,2,2λλλ===-，对应的特征向量分别为123(1,3,9),(1,2,4),(1,2,4)T T T X X X ===-于是由上例知,312112233t tt X C C C X eX e X e λλλ=++322123111322944t t t C C C e e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而3221123t t t C C C x x e e e -==++ 其中(1,2,3)i C i =为任意常数.4 相似矩阵在现实生活中的应用例4.1 污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:解 设x 0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y 0是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第t 个期间的污染和工业发展水平分别记为x t 和y t ,它们之间的关系是：1111322t t t t t t x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩t=1,2,…(4-1)记 A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2213 , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t y x α , 则(4-1)的矩阵形式为 ,1-=t t A αα t=1,2,… (4-2)如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平0α=[],00Ty x 利用(4-2)就可以预测第k 个期间该地区的污染和工业发展水平k α,这是因为由(4-2)可得.,,,0021201αααααααk k A A A A ====这表明k α可通过k A 求得,为此考察A 能否对角化,计算出A 的特征多项式.()f λ=|A E -λ|=)4)(1(2213--=----λλλλ由A 有2个相异的特征值1和4知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11=λ,解,0)(=-X A E 可得A 属于1的一个特征向量[].211T=ξ对于,42=λ解,0)4(=-X A E 可得A 属于4的一个特征向量[].112T=ξ令[],21ξξ=P 有A=[].411-P Pdiag[],424*22414*213112113140011211411⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-k k k k k kkPPdiag A 所以 k α=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-+-++=00000)42()4*22()41()4*21(31y x y x A kk kk kα (4-3)(4-3)就是所要的预测结果,对不同的0α值代入(4-3)即可求得k α.例如：若[]T110=α，有[]Tk kk 44=α,(实际上此时0α就是属于4的特征向量,所以[]);44400Tk kk k k A ===ααα若[],210T=α有[].42413111Tk k k +++-+-=α这些都表明,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视.例 4.2 人口流动模型——假设某省城人口总数保持不变,每年有20％的农村人口流入城镇,有10％的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k 年该省城的城镇人口和农村人口分别设为k x ,k y ,据题意有11110.90.20.10.8k k k kk k x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩ 即0.90.20.10.8A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ k k k x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 110()k k k k A A A A αααα--====为计算k A ,仍考察A 能否对角化.计算出A 的特征多项式0.90.2()(1)(0.7)0.10.8f E A λλλλλλ--=-==----由于A 有2个相异的特征值1和0.7知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11λ=解()0E A X -=可得A 属于1的一个特征向量[]121Tξ=; 对于20.7λ=解(0.7)0E A X -=可得A 属于0.7的一个特征向量[]211Tξ=-. 令[]12P ξξ=,有1[10.7]A Pdiag P -=,11(0.7)k k A Pdiag P -⎡⎤=⎣⎦1021112(0.7)22*(0.7)111112330(0.7)1(0.7)12*(0.7)k k k k k ⎡⎤+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用 00x y m +=,可得00000002(0.7)22*(0.7)131(0.7)12*(0.7)2(2)(0.7)13(2)(0.7)k kkk k k kk x A y m x y m x y αα⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦从而有000021(2)(0.7)3311(2)(0.7)33kk k k x m x y y m x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩数列{}{},k k x y 的极限为21lim ,lim 33k k k k x m y m →∞→∞== 这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有23为城镇人口,13为农村人口. 例4.3 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收的新非熟练工补齐,新老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年一月统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ,记成向量n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a)求n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的关系式,并写成矩阵形式n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=A n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(b)验证14=1η⎛⎫ ⎪⎝⎭,2-1=1η⎛⎫⎪⎝⎭,是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;(c)当111x 2=y 12⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，求n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【思路】本题的关键在于读懂题意,写出n+1x 与n+1y ,用n x ,n y 来表达的关系式:第n 年初熟练工与非熟练工所占百分比为n x 和n y ,第n+1年初的熟练工所占的百分比n+1x 由两部分构成。
相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~.二.相似矩阵的重要性质性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似.2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似.3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似.〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式.证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜.从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.现在来分别证明这两个不等式.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm n n m m a a a a a a a a a 212222111211，B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m s s b b b b b b b b b212222111211令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj mk ikb a∑=1，因而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）.即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）.同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）.这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕>引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由A=1-P B,又由秩（A ）≤秩（B ）,所以秩（A ）=秩（B ）=秩（PA ）.同理可证, 秩（A ）=秩（AQ ）.从而, 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩.证明:设A,B 相似即存在数域P 上的可逆矩阵C,使得 B=1-C AC , 由引理2可知秩（B ）=秩（1-C AC ）=秩（AC ）=秩（A ）. 〈证毕>性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A 与B 相似,由性质3可知B A = .若A 可逆,即0≠A ,从而0≠B 故B 可逆； 若A 不可逆,即0=A ,从而0=B ,故B 不可逆. 〈证毕〉性质5 若A 与B 相似,则n A 相似于n B .(n 为正整数)证明:由于A 与B 相似,即存在数域P 上的可逆矩阵X,使得AX X B 1-=,从而X A X AX X AX X AX X n n 1111----=•••个,即 n A 相似于n B . 〈证毕〉性质6 设A 相似于B,)(x f 为任一多项式,则)(A f 相似于)(B f . 证明:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 于是Ea B a Ba B a B f E a A a A a A a A f n n nn n n n n 01110111)()(++++=++++=----由于A 相似于B,由性质5可知k A 相似于k B ,(k 为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得X A X B K k 1-=,因此)()()(01110111111011111B f Ea B a B a B a E a AX X a X A X a X A X a X E a A a A a A a X X x f X n n nn n n n n n n n n =++++=++++=++++=-----------这就是说)(A f 相似于)(B f . 〈证毕〉性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A 相似于B ，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得AC C B 1-=， 则AE C C A E C A E CACC EC C AC C C C AC C E B E -=-=-=-=-=-=--------λλλλλλλ1111111由此可见，B 与A 有相同的特征多项式. 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A 相似于B 。
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
矩阵相似变换矩阵相似变换是线性代数中一个重要的概念，它在很多领域中都有广泛的应用。
本文将从基本概念、相似矩阵的性质以及实际应用等方面对矩阵相似变换进行解读。
一、基本概念矩阵相似变换是指对一个矩阵进行线性变换，使得变换后的矩阵与原矩阵有相同的特征值。
具体来说，对于一个n阶矩阵A和一个可逆矩阵P，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=B，那么矩阵B与矩阵A相似。
二、相似矩阵的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值：相似矩阵不仅特征值相同，对应的特征向量也相同。
这一性质在矩阵的谱分解、对角化等问题中有广泛的应用。
2. 相似矩阵的迹相等：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和，相似矩阵的迹相等。
这一性质在矩阵的特征值求和、矩阵的迹运算等问题中有重要的应用。
3. 相似矩阵的行列式相等：矩阵的行列式是指矩阵的特征值的乘积，相似矩阵的行列式相等。
这一性质在矩阵的特征值求积、矩阵的行列式运算等问题中有重要的应用。
三、实际应用1. 特征值分析：通过矩阵相似变换，可以将一个复杂的矩阵转化为对角矩阵，从而更方便地进行特征值分析。
这在物理、化学、生物等领域中有广泛的应用，例如求解量子力学中的能级问题。
2. 线性方程组求解：通过矩阵相似变换，可以将一个线性方程组转化为一个更简单的形式。
这在工程、经济学等领域中有广泛的应用，例如求解电路中的电流和电压分布问题。
3. 图像处理：矩阵相似变换在图像处理中起着重要的作用。
通过对图像矩阵进行相似变换，可以实现图像的旋转、缩放、平移等操作，从而达到图像处理的目的。
四、总结矩阵相似变换是线性代数中的一个重要概念，它在特征值分析、线性方程组求解、图像处理等领域中有广泛的应用。
通过矩阵相似变换，可以将复杂的问题转化为简单的形式，从而更方便地进行分析和求解。
同时，相似矩阵具有一些重要的性质，如相同的特征值、相等的迹和行列式等，这些性质在实际应用中也起到了重要的作用。
因此，熟练掌握矩阵相似变换的概念和性质，对于理解和应用线性代数具有重要意义。
矩阵相似1. 引言矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中有广泛的应用。
矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值，相同的特征多项式和相同的秩。
2. 矩阵相似的定义设A和B是两个n阶复矩阵，如果有一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称矩阵A和B相似。
其中P-1是矩阵P的逆矩阵。
3. 矩阵相似的性质矩阵相似是一种等价关系，即具有反身性、对称性和传递性。
反身性是指任何矩阵都与它自己相似，对称性是指如果矩阵A与矩阵B 相似，则矩阵B也与矩阵A相似，传递性是指如果矩阵A与矩阵B 相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
4. 矩阵相似与特征值矩阵相似的一个重要性质是两个相似的矩阵具有相同的特征值。
特征值是指矩阵对应的线性方程组Ax=λx中的λ值，其中x是非零向量。
相似的矩阵具有相同的特征值的原因是它们对应的特征多项式相同。
特征多项式是指将矩阵减去λI（其中I是单位矩阵）后的行列式，它的根就是矩阵的特征值。
5. 矩阵相似与秩矩阵相似的另一个性质是两个相似的矩阵具有相同的秩。
秩是指矩阵中线性无关列的最大个数。
由于相似的矩阵具有相同的特征值，所以它们对应的特征向量的个数相同，而特征向量是线性无关的，因此两个相似的矩阵的秩也相同。
6. 矩阵相似与对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
相似矩阵具有相同的特征值，因此可以通过选择适当的变换矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是对角矩阵。
对角矩阵是一个只有主对角线上有非零元素的矩阵。
对角化可以大大简化矩阵的运算，对于一些特定的应用来说非常有用。
7. 应用领域矩阵相似在许多领域中有广泛的应用。
在物理学中，矩阵相似性是量子力学中重要的概念之一，用于描述系统的量子态之间的变换。
在图论中，矩阵相似性与图的同构性密切相关，用于研究网络结构的相似性。
在机器学习和数据挖掘中，矩阵相似性可以用于聚类分析和模式识别。
8. 结论矩阵相似性是线性代数中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
矩阵相似的性质与应用的研究1引言矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教案中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。
矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。
由于矩阵相似的应用范围相当广泛。
本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。
2矩阵相似的定义与基本性质2.1矩阵相似的定义令I二I为非奇异矩阵，考察矩阵1^1的线性变换令线性变换的特征值为，对应的特征向量为R，即将式——1代入上式，即有 -------------- 1或 ---------- 1令一或—：，则式------------------ 1 可以写作比较― 和亠两式可知，矩阵A和一1具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即二刃。
由于矩阵和—I的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。
于是:设、都是阶方阵，若有可逆方阵，使______ I ，则称是的相似矩阵。
或者说矩阵与相似。
对进行运算—称为对进行相似变换。
可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。
2.2矩阵相似的一些基本性质：自反性：。
对称性：三则二。
传递性：3及丄可得：二11如果阶矩阵，相似，则它们有相同的特征值。
但逆命题不成立。
相似矩阵另外的一些特性：1＞相似矩阵有相同的秩。
2＞相似矩阵的行列式相等。
3＞相似矩阵或都可逆，或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆也相似。
4＞y 贝y 亠，亠、•亠I 、亠I ＜若，均可逆）、」从而，有相同的特征值。
3相似对角矩阵的有关性质3.1矩阵可相似对角化的引入与定义设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。
又―I与______ 是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是。
则线性变换在这两组基下的矩阵与相似，即我们自然会问：矩阵可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基__________________ ，使得线性变换在这组基下的矩阵是个对角矩阵呢？我们逐步解决这个问题。
首先设想矩阵能相似与一个对角矩阵，即设(1>因而有(2>若把写成分块矩阵这里________ 1代表的个列向量。
应用矩阵乘法规则，容易验证故由（2＞式可得(3>这说明，若能够与对角矩阵相似，则可逆矩阵的每个列向量<非零向量）都满足（3>式。
简言之，对于阶矩阵，维列向量-，并且存在个线性无关的特征向量_____ f 相应的特征值分别为即有 ______________ B 取. u II 最终可得到即与对角形矩阵相似。
3.2矩阵可相似对角化的性质<1）如果两个矩阵和都可以相似同一个对角矩阵，那么• •。
<2）如果回阶矩阵勺的每个回重特征根因，有__I 则勺与对角矩阵相似，否则不相似，其证明如下：证明：设阶矩阵的互异特征根为II亠I ，其重数分别为I□三I ，则有._■<打必有回个特征根），而由_____________ T 式得到I即齐次线性方程组____________ '的基础解系有个解向量。
由_____ =：_______ ■式知道勺有巴个线性无关的特征向量，故可得到与对角矩阵相似。
<3）阶矩阵可相似对角化的充分必要条件是具有个线性无关的特征向量。
<4）数域上的级矩阵可相似对角化的充分必要条件是对每个特征值均有几个重数等于代数重数。
<5）数域上的级矩阵可相似对角化的充分必要条件是的最小多项式是上互素的一次因式的乘积。
定理：级矩阵可相似对角化的充分必要条件是：列其中目，回,…，目是勺的所有互不相同的特征根。
证明：必要性若可相似对角化，则」，又由___________ I ，故有充分性：若」，则有个线性无关的特征向量，故可相似对角化。
3.3相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形。
由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。
利用它不仅容易求出矩阵的乘幕，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。
定义：形如的方阵称为阶若尔当块。
其中可以是实数，也可以是复数定理：矩阵的充要条件是他们相应的特征矩阵------------- 1每个阶复矩阵都与一个若尔当标准形相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵唯一决定。
复矩阵可对角化的充要条件是的特征矩阵的初等因子全为一次式。
4矩阵相似的应用4.1矩阵相似在代数方面的应用.例1.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后 将勺熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。
新、老非熟工和非熟练工所占百分比分别为 _和_，记成向量 盂(2)验证 回回 是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值;化简得X |对其用矩阵表示即为区=目目，于是211练工经过培训及时间至年终考核有*成为熟练工。
设第巴年一月份统计的熟练的关系式并写成矩阵形式(3)当时，求—解：＜1)按题意有[HJ-=[HJ 。
故凶为凶的特征向量，且相应的特征值凹，故 为 的特征向量，且乡音的特征值为 [.由 乂 [，有 X ]于是有 X ] 又 X ]，故例2著名的Fib on acci 数列0,1,1,2,3,5,8,13, …利用矩阵特征值、对角化相似解决这个问题，并求-解：这个数列的递推关系为(2)令 ，则由」 知， ， 线性无关。
因(3)由于有_||因此有工=」=_I列(1>初始条件为________ I .令，所以PR (2>，则（2＞式成为(3> 由（3＞式得出1 (4> 于是，欲求Fibonacci数列的通项公式，只要计算，我们利用的相似简化来计算的特征多项式为」，它的两个根:II ，是的特征值.因此可对角化.解齐次线性方程组得到它的一个基础解系同理可得_ = 的一个基础解系是令X ］，则于是[X I(5>从(4>式及初始条件得 a (6>比较(6>式两边的第2个分量得(7>这就是Fibonacci数列的通项公式。
那么接下来就容易算出:4.2相似矩阵与变系数线性方程间的关系为求变系数方程组——I的解，其中任7j ，尸是• •连续函数矩阵：(i>定义：设_i是一|函数矩阵。
若存在非奇异常数矩阵，使得—），则称两和两相似。
当然在变换一I下，方程组＜1）可以化为方程组丨*1<2 )其中『习，_____ 1。
只要求出方程组＜2）的解，即可求出方程组＜1）的解。
反之亦然，即方程组＜1）与方程组＜2）等价的引理设-I I二均为bi函数矩阵，若T和T相似，则---- 与 --------- 1 相似，其中上为单位矩阵，一为的函数4.3相似矩阵与微分方程间的关系对于一阶齐次线性微分方程组其中wi是自变量』的函数，a设则上述方程组写成矩阵形式为如果此矩阵凶可以与一个对角矩阵相似，即耳那么必然存在一个可逆矩阵回使得3故可以得到匚即I K I那么原来的齐次微分方程可以简化为如下形式:而现在求解问题就简单明了了。
定义：设是阶常系数矩阵，如果对任意的，初值问题凶的解I」满足|=T|］则称微分方程组.* | 的解是渐进稳定的。
对于任意的」，上述初值问题的解 _渐进稳定的充分必要条件是矩阵的相似对角矩阵的对角线元素值都有负实部。
现在我们举一个实际的例子对上面所研究的问题加以理解与应用。
例如：解线性微分方程组□解：方程组右边的系数矩阵为□令卜］，则方程组改写为LrJ所以对于阶方阵的特征矩阵由此必然存在一个非奇异矩阵若尔当矩阵，使得现在求非奇异矩阵，设|二_|〕由于二I , I分别为单特征值和二重特征值，所以有因此可知和为对应于两个相异特征值2和1的特征向量，切，11!而,1是广义特征向量, 工，故非奇异矩阵习为:现在我们可以得到I 即 广I那么上面的方程的坐标写法为丨， 口 ， I显然可以直接解得.EZJ1 ， 占那么也就可以得到在由—，即得式中 ―I 为任意常数4.4相似矩阵与控制系统的稳定性关于动态系统稳定性的精确定义，最早是由李雅普若夫vLyapu nov ）提出的，现简述如下：已知系统在自由运动时，齐次状态方程一般形式为 系统处于平衡状态 时，二。
若扰动使系统的平衡状态受到破坏，在讨 时，产生初始状态 ------- ，则 叵后，系统的运动会使状态 —I 随时间变化。
若果对应于无论多么小的包含的圆或球域 •，总存在一个包含 的圆 或球域|_，在初始状态 不超出的条件下，当I 二 时，-I 的运动轨迹始终在 口的范围内，则称系统的平衡状态是稳定的。
用数学关系表示就 故可以做变换lh_J，则由 可以得到 I ■是，若系统满足则系统的平衡状态就是稳定的，其中为欧几里的范数。
在保证稳定的前提下，当无限增长时，若还存在II X 1即系统状态最终将回到原有的平衡状态，则称平衡状态是渐进稳定的。
如果对于无论多么小的•- •在P 范围内的初始状态，当后—的轨迹将最终超越—的范围之外。
则称平衡状态是不稳定的。
现在对于连续时间线性定常系统的齐次状态方程设矩阵非齐异，系统的平衡状态为。
由于扰动产生初始状态，则系统的运动轨迹为如果对于任意初始状态，由它所引起的响应满足则按照李雅普诺夫定义，称系统是渐进稳定的。
对于系统上J ，如果采用由系数矩阵m的特征向量构成的变换矩阵对系统做线性变换，即令工［则有由线性代数理论可知，I或者为对角线矩阵或者为若尔当标准型矩阵。
其对角线元素为上的特征值，即特征方程I 的根J 。
现在我们可以得到一个结论：一个连续线性定常系统，渐进稳定的充分必要条件是：它的系统矩阵特征值全部都具有负实部。
例如：判断系统的稳定性。
解：由于特征方程为系统的特征值为I 」，因此系统是渐进稳定的。
又由于传递函数口的极点41 ,因此系统是稳定的5结束语本文通过对矩阵相似性质与应用问题的深入探讨，我获益非浅，一方面对于矩阵相似的定义以及相关理论的熟练掌握。
特别是将矩阵相似与可对角化矩阵这两个问题紧凑的联系在一起。
将矩阵问题应用定义定理转化为与一个相似对角型矩阵或者是若尔当标准型进而使问题研究简化。
由于矩阵相似的性质特性决定其应用范围相当广泛。
比如其在微分方程、自动控制理论基础等领域的应用，使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯通起来。
